Norwegian university of science and technology Department of engineering cybernetics Kontaktperson under eksamen: Navn: Professor Bjarne Foss Tlf: 92422004 Norsk/nynorsk utgave/utgåve Eksamen i TTK4135 Optimalisering og regulering Optimization and Control Tirsdag 27. mai 2008 Kl: 0900-1300 Tillatte hjelpemidler / Tilletne hjelpemiddel: D - Ingen trykte eller skrevne hjelpemidler / Inga trykte eller skrevne hjelpemiddel. Godkjent kalkulator med tomt minne / Godkjend kalkulator med tomt minne Nyttig informasjon nnes i vedlegg / Nyttig informasjon nns i vedlegg (Denne informasjonen er gitt på engelsk for å samsvare med pensumlitteraturen som den er hentet ifra). Sensur faller 17.6 / Sensur fell 17.6. 1
1 QP (35%) Gitt følgende QP-problem min f(x) = 1 x2r n 2 xt Gx + x T d s:t: a T i x = b i; i 2 E a T i x b i; i 2 I hvor G = G T : Alternativt kan likhetsbetingelsene skrives som Ax = b; A 2 R mn : a Formuler Kuhn-Tucker betinglsene for QP-problemet over.. b Anta E = ;, I = ; (ingen bibetinglser) og G 0, dvs. positive de nit. Vis at Newton retningen er gitt av p N k = G 1 (Gx + d) Vis at p N k er en avtagende retning (descent direction). Vis at algoritmen x k+1 = x k + p N k iterasjon. alltid konvergerer til optimum på en c Anta G 0 og at G er en dårlig kondisjonert matrise (ill-conditioned matrix). Foreslå en metode for å modi sere G slik at den blir godt kondisjonert (well conditioned matrix). Svar gjerne ved å skrive en kort pseudo-kode. Hva slags problem gir en dårlig kondisjonert G-matrise (ill-conditioned G-matrix) opphav til? d Formuler følgende investeringsproblem som et QP-problem (du skal ikke beregne løsningen). Et selskap trenger 60 millioner kroner for å nansiere en ny produksjonsprosess, og tre ulike banker har kommet med tilbud om å låne ut hele eller deler av dette beløpet. Alle bankene forlanger at lånet med renter skal tilbakebetales over 6 år. Tilbakebetalingsplanen er imidlertid forskjellig fra bank til bank, som vist i tabellen. (Tabellen skal tolkes slik at prosentandelene som er oppgitt gjelder lånebeløpet pluss renter, f.eks. for Bank 1 skal det betales totalt 175% (30+40+50+55) av lånebeløpet). Prosent (%) av totalbeløp som skal tilbakebetales hvert år År 1 År 2 År 3 År 4 År 5 År 6 Bank 1 0 0 30 40 50 55 Bank 2 5 15 25 35 40 45 Bank 3 40 40 0 35 15 15 Selskapet ser det som en fordel om de låner på en slik måte at de totale årlige betalingene på lånet er så like som mulig. Likevel ønsker de ikke å betale mer enn totalt 40 millioner kroner i renter. Formuler et QP-problem som skal nne hvor mye penger som skal lånes fra hver bank, slik at selskapets mål er tilfredsstilt. 2
2 MPC (35%) a Forklar kort prinsippet for MPC. Bruk en skisse i forklaringen. b Hva er de viktigste grunnene til suksessen for MPC i industrien. forklaringen til 2 årsaker. Begrens c Alle praktiske systemer er ulineære. Hvorfor er majoriteten av MPC-applikasjoner basert på lineære modeller? Gitt et optimaliseringsproblem (3), (4), (5), (6), (7) for å regulere et dynamisk system med MPC. ((3) - (7) er gitt i Appendix) d Anta at prediksjonshorisonten n = 10 for en MPC applikasjon. Anta videre at u i 2 < m hvor m = 2. (Indeks i refererer til tiid). Antallet frie reguleringsvariable er da 102 = 20 på prediksjonshorisonten. I en gitt applikasjon er det nødvendig å begrense antall frihetsgrader (frie reguleringsvariable) til 6 selv om prediksjonshorisonten er n = 10: Forklar hvordan dette kan gjøres. Bruk en skisse i forklaringen. e Anta nå i tillegg at antallet regulerte variable y i 2 < j er j = 2. Det betyr at dimensjonen på pådraget u i er lik dimensjonen til y i. Integralvirkning kan oppnås ved å reformulere MPC problemet. Foreslå en reformulering. Anta at alle tilstander måles. (Hint: Du kan utvide antall tilstander). Problemet over har to pådrag og to regulerte variable. Kan integralvirkning oppnås dersom en eller to pådrag er i metning, dvs. en eller to ulikheter (6) er aktive? Begrunn svaret. f Ugyldig løsning (Infeasibility handling): I ere tilfeller kan forstyrrelser skyve tilstandene utenfor det tillatte området (feasible region), dvs. at MPC QP problemet ikke har noen gyldig (feasible) løsning. Det er viktig at en praktisk implementasjon håndterer dette, Foreslår en metode for å håndtere dette problemet. 3
3 Konveksitet og ulineær programming (30%) Gitt et generelt optimaliseringsproblem (1). a La x 0 være en lokal løsning av (1), og anta at (1) er et konvekst problem. Vis at x 0 er en global løsning av (1). (A preses verbal forklaring vil gi noen poeng, men et bevis er nødvendig for full score). b Anta at alle bibetingelser er lineære, dvs. at alle c i er lineære funksjoner. Det betyr at den gyldige mengden (feasible set) er konveks. Hvilke egenskaper må f ha dersom optimaliseringsproblemet (1) skal være et konvekst problem? La n = 2 og f = x 2 1 + x 2 2. Er (1) et konvekst problem i dette tilfellet? La n = 1 og f = x 3 1. Er (1) et konvekst problem i dette tilfellet? c Reformuler problemet (1) til et maksimeringsproblem. d Anta at I =?, dvs. at det er ingen ulikhetsbetingelser. De ner en passende Merit-funksjon som kan benyttes i en SQP-algoritme for dette tilfellet. e Anta at I =?, E = f1g ; n = 2; c 1 (x) = x 2 1 + x 2 2 1; f(x) = x 1 + x 2. Anta at en SQP-algoritme i iterasjon nr.5 gir følgende verdier: x = (1:0; 0:5) T og Lagrangian variabel = 0:7. Formuler det lokale QPproblem i iterasjon nr.5. Er dette lokale QP-problemet konvekst? Hva er null-rommet (null-space) til begrensningene for det lokale QP-problemet? 4
Appendix Part 1 E and I given below are two nite sets of indices. General optimization problem. f and c i are di erentiable functions: min f(x) (1) x2rn c i (x) = 0; c i (x) 0; i 2 E i 2 I The Lagrangian function is given by L(x; ) = f(x) X i2e[i T i c i (x) The KKT-conditions for (1) are given by: r x L(x ; ) = 0 (2) c i (x ) = 0; i 2 E c i (x ) 0; i 2 I i 0; i 2 I i c i (x ) = 0; i 2 E [ I 2nd order (su cient) conditions for (1) are given by: 8 < rc i (x ) T w = 0 for all i 2 E w 2 F 2 ( ), rc i (x ) T w = 0 : rc i (x ) T w 0 for all i 2 A(x ) \ I with i > 0 for all i 2 A(x ) \ I with i = 0 Theorem (Second-Order Su cient Conditions) Suppose that for some feasible point x 2 R n there is a Lagrange multiplier vector such that the KKT conditions (2) are satis ed. Suppose also that w T r xx L(x ; )w > 0; for all w 2 F 2 ( ); w 6= 0: Then x is a strict local solution for (1). 5
LP-problem on standard form: s:t: min f(x) = x2r ct x n Ax = b x 0 where A 2 R mn and rank(a) = m: QP-problem on standard form: min f(x) = 1 x2r n 2 xt Gx + x T d s:t: a T i x = b i; i 2 E a T i x b i; i 2 I where G = G T : Alternatively, the equalities can be written Ax = b; A 2 R mn : Iterative method: x k+1 = x k + k p k x 0 given x k ; p k 2 R n ; k 2 R p k is the search direction and k is the line search parameter. Part 2 Linear quadratic control of discrete dynamic systems A typical optimal control problem on the time horizon 0 to n might take the form min f 0 (z) = 1 nx 1 f(y i y ref;i ) T Q i (y i y ref;i ) (3) z 2 i=0 + (u i u i 1 ) T P i (u i u i 1 )g + 1 2 (y n y ref;n ) T S(y n y ref;n ) subject to equality and inequality constraints x i+1 = A i x i + B i u i ; 0 i n 1 (4) y i = Hx i x 0 = given ( xed) (5) U L u i U U ; 0 i n 1 (6) Y L y i Y U ; 1 i n (7) 6
where system dimensions are given by u i 2 < m x i 2 < l y i 2 < j z T = (u T 0 ; ::; u T n 1; x T 1 ; ::; x T n ) 2 < mn+ln The subscript i refers to the sampling instants. That is, subscript i + 1 refers to the sample instant one sample interval after sample i. Note that the sampling time between each successive sampling instant is constant. Further, we assume that the control input u i is constant between each sample. 7