E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister Bokmål 8. desember 2003 Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Les opplysningene på neste side.
Eksamenstid: 5 timer Antall sider: Oppgavesettet har 9 tekstsider medregnet forsiden. Antall vedlegg: Ingen Vedlegg som skal leveres inn sammen med besvarelsen: Ingen Andre opplysninger: På første side av svararket skal du skrive navn og type på den lommeregneren du har brukt på eksamen. 2
Framgangsmåte og forklaring: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Før inn nødvendig mellomregning. Skriv forklaring der dette er påkrevd, for å vise hva du har gjort. Grafer og bruk av grafisk lommeregner: Ved åpne oppgaveformuleringer bør du begrunne hvorfor du har valgt din tolkning av oppgaven og ditt valg av løsningsstrategi. Husk å oppgi eventuelle kilder. Oppgi de lommeregnerfunksjonene du har brukt. Det er ikke nødvendig å oppgi alle tastetrykkene. Husk å skrive målestokk og enheter på aksene når du tegner grafer i besvarelsen. Du trenger ikke føre inn tabell over utregnede funksjonsverdier dersom det ikke er spurt spesielt etter det i oppgaven. Ved grafisk løsning på lommeregner er det tilstrekkelig at du skisserer kurvens form i besvarelsen. På skissen skal svaret markeres tydelig. Vurdering: Karakteren fastsettes etter en helhetlig vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser grunnleggende ferdigheter kan bruke hjelpemidler gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger 3
OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonene: 1) f ( x) = 2cos3x 2) 2 gx ( ) = x sinx b) Løs likningene ved regning: 1) 4 tan(0,3 x) = 1 x R 2) 4sinx 3cosx= 2 x 0, 2π c) Bruk substitusjon og finn det ubestemte integralet: x2 2x e dx d) 1) Forklar at vi kan skrive: 6 6 6 6 0,6666... = + + + + 10 100 1000 10000 2) Bruk formelen for summen til en uendelig geometrisk rekke til å skrive 0,6666 som en brøk. e) La X være en normalfordelt stokastisk variabel med forventningsverdi µ og standardavvik σ. Bestem µ og σ når du får oppgitt at: PX ( > 7) = 0,04 og PX ( 3) = 0,35 4
OPPGAVE 2 I et spesielt samfunn ønsker alle familier å få én sønn, men for øvrig ønsker de så få barn som mulig. De stopper derfor å få barn når de har fått en sønn. Ingen av familiene får mer enn fem barn. I denne oppgaven lar vi sannsynligheten for å få gutt være lik 1 2. a) Forklar at sannsynligheten for at en familie får to jenter og én gutt er 1 8. Vi definerer den stokastiske variabelen: X = antall barn i en tilfeldig familie Eksempler: X = 3 når familien får tre barn født i rekkefølgen jente, jente, gutt. Familien får fem barn (X = 5) når de først får fire jenter og så en gutt eller ei jente. b) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor. Antall barn x P(X = x) 1 2 3 4 5 1 2 1 4 c) Regn ut: 1) Forventningsverdien µ = EX ( ) 2) Standardavviket σ = SD( X ) Per og Kari er uenige om hvor mange gutter og jenter det vil bli i et slikt samfunn i det lange løp. Kari mener at det vil bli flest gutter, mens Per mener at det vil bli flest jenter, da ingen familier vil ha mer enn én gutt, mens de kan ha opp til fem jenter. d) Avgjør om Per eller Kari har rett. 5
OPPGAVE 3 Vanndybden i et sund er 9,0 m ved flo og 6,0 m ved fjære. Vi antar at dybden y målt i meter er en sinusfunksjon av tida x, der x er antall timer etter midnatt målt i desimaltall. Fra en avis får vi følgende tidspunkter for flo og fjære i et bestemt døgn: Flo Fjære Flo Fjære Klokkeslett 24 01 36 07 48 13 00 20 Tilhørende verdi av x 1,4 7,6 13,8 20,0 a) Tegn inn punktene i et koordinatsystem, og skisser en sinuskurve som passer. Et uttrykk som passer med sinuskurven ovenfor, er: y = 1,5 sin(0,507x + 0,86) + 7,5 b) Forklar hvordan man har funnet dette uttrykket ved å ta utgangspunkt i grafen ovenfor. c) Bruk uttrykket til å finne vanndybden klokka 15 06. d) En båt skal passere gjennom sundet. Båten krever minst 7,0 m vanndybde. Bruk uttrykket til å finne ut når på døgnet denne båten kan passere. 6
OPPGAVE 4 Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen. (Dersom besvarelsen inneholder deler av begge, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert.) Alternativ I P 1 30 P 2 30 30 P 3 O 1 P 0 Punktene P0, P1, P2, P 3,... fremkommer ved å konstruere en serie med formlike, rettvinklede trekanter slik figuren ovenfor viser. a) Tegn av figuren i besvarelsen. Fortsett figuren ved å tegne inn punktet P 4. b) Vis at OP0 + OP1+ OP2 + OP3 er en geometrisk rekke. c) Vis at PP 0 1+ PP 1 2+ PP 2 3 danner rekken 2 3 1 1 1 3 + 3 + 3 2 2 2 d) Bestem summen av den uendelige rekken PP 0 1+ PP 1 2+ PP 2 3+L 7
Alternativ II Bildet ovenfor viser sporet av et elektron som beveger seg i et boblekammer. Et slikt spor kan vi for eksempel beskrive ved vektorfunksjonen r 0,1 t 0,1 t rt () = e cos t, e sint r a) Tegn grafen til r for t 0, 4π r 0,1 t b) Vis at fartsvektoren vt ( ) = e [ 0,1 cost+ sin t, cost+ 0,1 sin t ] c) Sett vt () = vt r (). Vis at farten vt () = 1,01e 0,1 t d) Finn ved regning 2π vt ()dt, og gi en tolkning av svaret. 0 8
OPPGAVE 5 En kurve K er i polarkoordinater gitt ved: 2 r = 1+ 2cosθ θ 0, π 3 Denne kurven kalles Pascals snegl. a) Tegn K i et koordinatsystem. b) Bestem skjæringspunktene mellom kurven og koordinataksene. c) Finn arealet av det flatestykket som er begrenset av K og x-aksen. d) Hvor stor del av dette arealet ligger i 2. kvadrant? Når en kurve K er gitt i polarkoordinater ved likningen r = r(θ ), kan man bevise at lengden L av kurven mellom θ = α og θ = β er gitt ved formelen: β 2 2 L= ( r( θ )) + ( r ( θ)) dθ α e) Bruk formelen til å finne lengden av K. 9