Eksamen 16.05.2008 AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål
Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel: Vedlegg: Andre opplysningar: Framgangsmåte og forklaring: 5 timar Sjå gjeldande reglar. Ingen På første side av svararket skal du skrive namn og type på den lommereknaren du har brukt på eksamen. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing. Før inn nødvendig mellomrekning. Skriv forklaring der dette er påkravd, for å vise kva du har gjort. Ved opne oppgåveformuleringar bør du forklare kvifor du har valt di tolking av oppgåva og din løysingsstrategi. Hugs å oppgi eventuelle kjelder. Grafar og bruk av grafisk lommereknar: Oppgi dei lommereknarfunksjonane du har brukt. Det er ikkje nødvendig å oppgi alle tastetrykka. Hugs å skrive målestokk og einingar på aksane når du teiknar grafar i svaret. Du treng ikkje føre inn tabell over utrekna funksjonsverdiar dersom det ikkje er spurt spesielt etter det i oppgåva. Ved grafisk løysing på lommereknar er det tilstrekkeleg at du skisserer forma på kurva i svaret. På skissa skal svaret markerast tydeleg. Rettleiing om vurderinga: Karakteren blir fastsett etter ei heilskapleg vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du viser grunnleggjande dugleikar kan bruke hjelpemiddel gjennomfører logiske resonnement ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan bruke fagkunnskap i nye situasjonar vurderer om svar er rimelege forklarer framgangsmåtar og grunngir svar skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar, nemningar, tabellar og grafiske framstillingar Eksamen, AA6526 Matematikk 3MX Side 2 av 12
Oppgåve 1 2 a) Deriver funksjonen f x tan3x b) Finn integralet x 3 ln x dx c) Løys likninga 1 sin x cos x ved rekning. 2 d) Gitt funksjonen f x sin x cos x x 0, 2 1) Finn f ved rekning. 4 2) Vis at f 2 4 3) Kva kan du seie om grafen til funksjonen f i punktet som har førstekoordinat x ut frå svara i 1) og 2)? 4 e) Når han kjøper vaskemaskin, kan kunden velje å betale 4999 kroner kontant eller 501 kroner per månad i 12 månader, første gong når maskinen blir kjøpt. 1) Kva månadleg rente må vi bruke dersom dei to tilboda skal ha same noverdi? 2) Kva årleg rente svarer dette til? Eksamen, AA6526 Matematikk 3MX Side 3 av 12
Oppgåve 2 I Oslo er lengda på dagen, det vil seie så mange timar som sola er over horisonten, omtrent 6 timar på det kortaste. Dette er ved vintersolkverv den 21. desember, det vil seie dag nummer 355. Den lengste dagen er 18 timar. Dette er ved sommarsolkverv den 21. juni, det vil seie dag nr. 172. Daglengda kan beskrivast ved funksjonen f x asincx d der f x er daglengda målt i timar og x er dagnummeret. a) Bruk opplysningane ovanfor til å vise at f( x) 6 sin(0,0172x 1,39) 12 b) Teikn grafen til f for x 0, 365. c) Bruk f x til å finne eventuelle vendepunkt. Kommenter svaret. Gjennomsnittsverdien til ein funksjon i eit intervall a, b 1 er gitt ved f xdx b a. b a d) Bruk dette til å finne gjennomsnittleg daglengd i Oslo over eit år. Kommenter svaret. Oppgåve 3 I ei brukarundersøking på ein større vidaregåande skole vart 120 tilfeldig valde elevar spurde om dei treivst svært godt på skolen. Det var 73 elevar som svarte ja til dette. a) Finn eit estimat for den delen av elevane på skolen som treivst svært bra. Rekn ut standardfeilen. b) Lag eit 95 % konfidensintervall for den delen som likte seg svært godt på skolen. c) Rektor seier til lokalavisa: Hos oss trivst 60 % av elevane svært godt. Drøft denne påstanden i lys av dei utrekningane du har gjort. På ein annan skole hadde dei gjennomført ei liknande undersøking. Dei hadde funne at eit 95 % konfidensintervall for den delen som treivst svært godt, var 0,315, 0,369. d) Finn estimatet og standardfeilen for denne undersøkinga. e) Kor mange elevar er blitt spurde i denne undersøkinga? Eksamen, AA6526 Matematikk 3MX Side 4 av 12
Oppgåve 4 Du skal svare på anten alternativ I eller alternativ II. Dei to alternativa er likeverdige ved vurderinga. (Dersom svaret inneheld delar av begge, vil berre det du har skrive på alternativ I, bli vurdert.) Alternativ I Ein sirkel har sentrum i (2, 3) og radius 4. a) Skriv opp likninga til denne sirkelen. b) Finn eventuelle skjeringspunkt mellom sirkelen og linja l gitt ved x 6 t l : y 3 t Likninga til ein annan sirkel er gitt ved 2 2 x y x y 10 12 36 0 c) Finn koordinatane til sentrum og radius i sirkelen. d) Finn ei parameterframstilling for tangenten til denne sirkelen i punktet ( 9, 3). Alternativ II Gitt funksjonen f x x sin x a) Teikn grafen til f når x 10, 10. b) Finn ved rekning nullpunkta til funksjonen. c) Bestem det ubestemte integralet f xdx. 10 d) Finn f xdx. Forklar geometrisk kva dette integralet fortel oss. 10 Eksamen, AA6526 Matematikk 3MX Side 5 av 12
Oppgåve 5 Ein partikkel følgjer ei bane gitt ved vektorfunksjonen r t 5cos t, 2sin t, t [0, 2 ] a) Finn ved rekning skjeringspunkta mellom bana og koordinataksane. b) Teikn ei skisse av bana. c) Bestem farts- og akselerasjonsvektoren til partikkelen. d) Samanlikn retningane for r t, v t og at for t og t. 2 e) Kor lang er bana? f) Vis ved rekning at vektorfunksjonen kan omformast til likninga x y 5 2 2 2 1 2 2 Eksamen, AA6526 Matematikk 3MX Side 6 av 12
Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler: Vedlegg: Andre opplysninger: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer Se gjeldende regler. Ingen På første side av svararket skal du skrive navn og type på den lommeregneren du har brukt på eksamen. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Før inn nødvendig mellomregning. Skriv forklaring der dette er påkrevd, for å vise hva du har gjort. Ved åpne oppgaveformuleringer bør du forklare hvorfor du har valgt din tolkning av oppgaven og din løsningsstrategi. Husk å oppgi eventuelle kilder. Grafer og bruk av grafisk lommeregner: Oppgi de lommeregnerfunksjonene du har brukt. Det er ikke nødvendig å oppgi alle tastetrykkene. Husk å skrive målestokk og enheter på aksene når du tegner grafer i besvarelsen. Du trenger ikke føre inn tabell over utregnede funksjonsverdier dersom det ikke er spurt spesielt etter det i oppgaven. Ved grafisk løsning på lommeregner er det tilstrekkelig at du skisserer kurvens form i besvarelsen. På skissen skal svaret markeres tydelig. Veiledning om vurderingen: Karakteren fastsettes etter en helhetlig vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser grunnleggende ferdigheter kan bruke hjelpemidler gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Eksamen, AA6526 Matematikk 3MX Side 7 av 12
Oppgave 1 2 a) Deriver funksjonen f x tan3x b) Finn integralet x 3 ln x dx c) Løs likningen 1 sin x cos x ved regning. 2 d) Gitt funksjonen f x sin x cos x x 0, 2 1) Finn f ved regning. 4 2) Vis at f 2 4 3) Hva kan du si om grafen til funksjonen f i punktet som har førstekoordinat x ut fra svarene i 1) og 2)? 4 e) Når han kjøper vaskemaskin, kan kunden velge å betale 4999 kroner kontant eller 501 kroner per måned i 12 måneder, første gang når maskinen kjøpes. 1) Hvilken månedlig rente må vi bruke dersom de to tilbudene skal ha samme nåverdi? 2) Hvilken årlig rente svarer dette til? Eksamen, AA6526 Matematikk 3MX Side 8 av 12
Oppgave 2 I Oslo er dagens lengde, det vil si antall timer sola er over horisonten, omtrent 6 timer på det korteste. Dette er ved vintersolverv den 21. desember, det vil si dag nummer 355. Den lengste dagen er 18 timer. Dette er ved sommersolverv den 21. juni, det vil si dag nr 172. Daglengden kan beskrives ved funksjonen f x asincx d der f x er daglengden målt i timer og x er dagnummeret. a) Bruk opplysningene ovenfor til å vise at f( x) 6 sin(0,0172x 1,39) 12 b) Tegn grafen til f for x 0, 365. c) Bruk f x til å finne eventuelle vendepunkter. Kommenter svaret. Gjennomsnittsverdien til en funksjon i et intervall a, b 1 er gitt ved f xdx b a. b a d) Bruk dette til å finne gjennomsnittlig daglengde i Oslo over et år. Kommenter svaret. Oppgave 3 I en brukerundersøkelse på en større videregående skole spurte man 120 tilfeldig valgte elever om de trivdes svært godt på skolen. Det var 73 elever som svarte ja til dette. a) Finn et estimat for andelen elever på skolen som trivdes svært bra. Regn ut standardfeilen. b) Lag et 95 % konfidensintervall for den andelen som likte seg svært godt på skolen. c) Rektor sier til lokalavisen: Hos oss trives 60 % av elevene svært godt. Drøft denne påstanden i lys av de beregningene du har gjort. På en annen skole hadde de foretatt en lignende undersøkelse. De hadde funnet at et 95 % konfidensintervall for andelen som trivdes svært godt, var 0,315, 0,369. d) Finn estimatet og standardfeilen for denne undersøkelsen. e) Hvor mange elever er blitt spurt i denne undersøkelsen? Eksamen, AA6526 Matematikk 3MX Side 9 av 12
Oppgave 4 Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen. (Dersom besvarelsen inneholder deler av begge, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert.) Alternativ I En sirkel har sentrum i (2, 3) og radius 4. a) Skriv opp likningen til denne sirkelen. b) Finn eventuelle skjæringspunkter mellom sirkelen og linja l gitt ved x 6 t l : y 3 t Likningen til en annen sirkel er gitt ved 2 2 x y x y 10 12 36 0 c) Finn koordinatene til sentrum og radius i sirkelen. d) Finn en parameterframstilling for tangenten til denne sirkelen i punktet ( 9, 3). Alternativ II Gitt funksjonen f x x sin x a) Tegn grafen til f når x 10, 10. b) Finn ved regning funksjonens nullpunkter. c) Bestem det ubestemte integralet f xdx. 10 d) Finn f xdx. Forklar geometrisk hva dette integralet forteller oss. 10 Eksamen, AA6526 Matematikk 3MX Side 10 av 12
Oppgave 5 En partikkel følger en bane gitt ved vektorfunksjonen r t 5cos t, 2sin t, t [0, 2 ] a) Finn ved regning skjæringspunktene mellom banen og koordinataksene. b) Tegn en skisse av banen. c) Bestem farts- og akselerasjonsvektoren til partikkelen. d) Sammenlikn retningene for r t, v t og at for t og t. 2 e) Hvor lang er banen? f) Vis ved regning at vektorfunksjonen kan omformes til likningen x y 5 2 2 2 1 2 2 Eksamen, AA6526 Matematikk 3MX Side 11 av 12
Kolstadgata 1 Postboks 2924 Tøyen 0608 OSLO Telefon 23 30 12 00 Telefaks 23 30 12 99 www.utdanningsdirektoratet.no