À ËÃÇÄ Æ Á ËÌ Î Æ Ê ÁÒ Ø ØÙØØ ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ä Ò Ò ÓÖ Ð Ñ Ò Ì ÐÙ ÝÒ Ñ ¾¼¼½ Î ÇÔÔ Ú ½ I hele oppgaven er u z = 0, og vi har ingen z-avhengighet, så u(r,φ) = u r (r,φ)e r +u φ (r,φ)e φ. a) For viskøs strøm må hastigheten til væsken på sylinderoverflaten være lik hastigheten til overflaten selv (heftebetingelsen): u r (a,φ) = 0, u φ (a,φ) = ωa. Hastigheten uendelig langt vekk fra sylinderen forsvinner: u r (r,φ) 0, u φ (r,φ) 0 as r. Siden dl = adφe φ for en sirkel med radius a, blir sirkulasjonen rundt sylinderoverflaten: 2π Γ = u dl = u φ adφ = 2πωa 2 = 6.28m 2 /s. r=a 0 b) På grunn av sylindersymmetri er alle verdier av φ likeverdige, så hastighetskomponentene avhenger ikke av φ, u r = u r (r), u φ = u φ (r). Kontinuitetsligningen (dvs. massebevaring) gir da u r r + u r r = 1 (ru r ) = 0, r r med løsning ru r (r) = A konstant. Når vi setter inn grensebetingelsen u r (a) = 0. finner vi A = au r (a) = 0, så A = 0 og følgelig u r (r) = 0 for alle r (r a). Dette resultatet kan også finnes uten å regne. Vi tenker oss at vi deler volumet utenfor sylinderen i tynne konsentriske sylindriske skall. Massebevaring medfører da at det må strømme like mye olje inn i som ut av hvert skall. Siden det ikke kan strømme olje ut av (eller inn i) sylinderen, kan det imidlertid ikke strømme olje inn i (eller ut av) skallet umiddelbart utenfor sylinderen heller. Hvis vi gjentar dette argumentet for hvert enkelt sylindrisk skall, finner vi at vi ikke kan ha noen strøm i r-retningen i det hele tatt. Videre gir da φ-komponenten av Navier Stokes ligning: ( 2 u φ 0 = µ r 2 + 1 u φ r r u ) φ r 2. For eksempel ved innsetting finner vi at u φ (r) = C/r er en løsning av denne ligningen, som oppfyller randbetingelsen u( ) = 0. Integrasjonskonstanten C bestemmes av randkravet (heftebetingelsen) i r = a: u φ (a) = C a = ωa = C = ωa2 = Γ 2π. c) Av r-komponenten av Navier Stokes ligning har vi: som ved integrasjon gir: p r = ρu2 φ = ργ2 r 4π 2 r 3, p = p 0 ργ2 8π 2 r 2 = p 0 1 2 ρω2a4 r 2. Siden u 0 når r, reduserer Bernoullis ligning seg til: p p 0 = 1 2 ρu2 = 1 2 ρu2 φ = 1 2 ρω2a4 r 2, som gir samme svaret. [Dette kunne vi også ha innsett ved å bemerke at resultatet for viskøs strøm ikke avhenger av viskositeten µ, og følgelig også må gjelde for ikke-viskøs strøm.] 1
d) Symmetrien i problemet er som før, og vi har fortsatt inkompressibel strøm, så vi må fortsatt ha u r (r) = 0 og u φ = u φ (r). Grensebetingelsene (heftebetingelsen) for viskøs strøm blir da u φ (a) = ωa på sylinderoverflaten og u φ (b) = 0 på rørveggen. e) Ligningen foru φ (r) er fortsatt som gitt i b), og ved (for eksempel) innsetting av den oppgitte løsningen u φ (r) = A/r +Br i Navier-Stokes ligning i φ-retningen kontrollerer man at dette virkelig er løsning. Konstantene A og B bestemmes av randkravene i r = a og r = b: A +Ba = ωa a A b +Bb = 0 = A = ωa2 b 2 b 2 a 2 B = ωa2 b 2 a 2 f) Av det oppgitte uttrykket for u i sylinderkoordinater, har vi: ( uφ ζ = ( u) z = r + u ) φ = 2B = 2ωa2 r b 2 a 2 = 66.7s 1, så strømmen er ikke lenger hvirvelfri. Sirkulasjonen rundt en sirkel med radius r blir: 2π ( A Γ(r) = u dl = )rdφ r +Br = 2π ( A+Br 2) = 2πB(b 2 r 2 ) = 2πωa 2b2 r 2 b 2 a 2. 0 Kontroll: Γ(a) = 2πωa 2 som før og Γ(b) = 0, siden u φ (b) = 0. g) Av oppgitt formel finner vi: ( uφ τ = µ r u ) φ r r=b = 2µA b 2 (= 2µB) = 2µω a2 b 2 a 2 = 0.867Pa. Fortegnet i formelen for τ er valgt for å gjenspeile at oljen søker å trekke røret i strømretningen Samlet kraft på rørveggen blir da F = 2πLbτ. Dreiemomentet som behøves til å holde på røret er motsatt lik oljens dreiemoment på det, altså: ÇÔÔ Ú ¾ M = Fb = 2πb 2 Lτ = 4πµAL = 4πµωL a2 b 2 b 2 a 2 = 0.436Nm. a) Leddene i Navier Stokes ligning kan karakteriseres som følger: ρ u/ t: akselerasjonsledd; ρ(u )u: treghetsledd; p: trykkledd; µ 2 u: viskøst ledd. Reynoldstallet R x = ρux/µ = Ux/ν, der U er hastighetsskalaen. Dimensjonsanalyse gir [ρ(u )u] = [ρ]u 2 /L og [µ 2 u] = [µ]u/l 2, så siden [x] = L, er R x = treghetsledd viskøst ledd = ρux µ b) For fri strøm dominerer den viskøse kraften ved lave hastigheter (lave reynoldstall), mens tregheten dominerer ved høye. På grunn av grensebetingelsen u = 0 ved veggen, vil hastigheten alltid være lav nær denne, og viskositeten kan aldri neglisjeres her. Dette er årsaken til at vi alltid har et viskøst grensesjikt, selv om viskositeten kan neglisjeres i resten av strømmen. c) For todimensjonal strøm lyder x-komponenten av Navier Stokes ligning: u u ( x +v u y = 1 p 2 ) ρ x +ν u x 2 + 2 u y 2 Hvis strømmen varierer på en lengdeskala L i x-retningen og på en skala δ (grensesjikttykkelsen) i y-retningen, med δ L, har vi 2 u x 2 U L 2 2 u y 2 U δ 2 hvorav resultatet følger. d) Siden grensesjiktet er tynt, kan ikke trykket være svært forskjellig fra trykket utenfor, hvor vi har ikke-viskøs strøm, så p(x,y) p 0 (x,y) (for flere detaljer, se Tritton 11.2). Vi har videre { < 0 ugunstig trykk-gradient p 0 = 0 nøytral trykk-gradient x > 0 gunstig trykk-gradient En gunstig trykk-gradient virker stabiliserende på strømmen, en ugunstig virker destabiliserende. 2
e) Siden η = 0 når y = 0, blir u(x,0) = u 0 f (0) = 0, så f (0) = 0. Videre: v(x,0) = u 0 (x)[f(0) 0 f (0)] = u 0 (x)f(0), så vi må ha f(0) = 0. Dessuten er u(x, ) = u 0 = u 0 f ( ), så f ( ) = 1. f) Når R x vokser, blir grensesjiktet ustabilt. Ved R x 1500 (for nøytral trykk-gradient) får vi en enkel ustabil bølge-modus (Tollmien-Schlichting bølge). Deretter vil vi få et frekvensbånd av ustabile moder. Den videre prosess er kjent som en K-type overgang, en får først tre-dimensjonale (transverselle) ustabiliteter og så stiger kompleksiteten i strømningsmønsteret stadig, i det ustabilitetene selv blir ustabile, til en får en situasjon med fullt utviklet turbulens, først i begrensede områder (turbulente flekker). Turbulente grensesjiktet er todelte, med et indre viskøst undersjikt og utenfor dette et sjikt med et logaritmisk hastighetsprofil. Fullt utviklede turbulente grensesjikt oppstår for reynoldstall av størrelsesorden 300 000 til 3 000 000. g) Av definisjonen av viskøs skjærspenning har vi ved veggen (y = η = 0): ( u τ W = µ y + v ) x y=0 Siden v(x,0) = 0 har vi også ( v/ x) y=0 = 0, slik at: τ W = µ ( ) ( u = µ u 0 f (η) η ) = µu 0f (0) y y=0 y η=0 (x) = f (0)µu 0 u0 ρ µx = f (0) u2 0ρ Rx. Vi ser at τ W 0 når R x. Men eksperimentelt forblir τ W endelig i denne grensen (typisk τ W = cρu 2 0, med c = 0.0012 0.0025, bare svakt avhengig av R x ). Teorien for turbulente grensesjikt gir en endelig τ W. h) Siden 360km/h = 100m/s og 90km/h = 25m/s, finner vi (med x som vingekorden): R x = u { 0x 2 10 ν = 7 passasjerfly 2.5 10 5 modellseilfly. Vi ser at strømmen rundt nesten hele vingen må være turbulent for passasjerflyet, mens den kan være nært laminær for modellseilflyet (sml. f ovenfor). i) Med en vingekorde for modellen på x = 0.15m blir skalaen 1:20. For å få samme reynoldstall, R x, må vi følgelig ha en u 0 som er 20 større, dvs. u 0 = 2000m/s. Men dette gir Mach-tallet M = u 0 /c = 6.0, dvs. solid overlydhastighet. For slike verdier av M kan luften på ingen måte betraktes som inkompressibel, og vi kan ikke bruke dynamisk similaritet til å sammenligne måleresultater for forskjellige verdier av M. 3