Likning En likning inneholder alltid et likhetstegn og minst e n ukjent. Den ukjente kaller vi som regel eller y, men alle bokstavene i alfabetet kan brukes. löse likninger gôr ut pô Ô nne den ukjente verdien som gjör at venstresiden blir lik höyresiden. Likninger egner seg godt Ô bruke nôr noe er avhengig av hverandre eller forholder seg til hverandre. Multiplikasjonsregelen Vi kan multiplisere med samme faktor pô begge sider av likhetstegnet i en likning. 5 =2 5 =2 5 5 =0 Divisjonsregelen Vi kan dividere med samme faktor pô begge sider av likhetstegnet i en likning. =2 = 2 =2 Addisjons- og subtraksjonsregelen Vi kan addere og subtrahere det samme leddet pô begge sider av likhetstegnet i en likning. =3 +4=7 +=3+ +4 4=7 4 =9 =3 90
EMNE LIKNINGER OG ULIKHETER 2 Over yttingsregelen/ yttebytte-regelen Denne regelen sier det samme som addisjons- og subtraksjonsregelen: Vi kan ytte et ledd fra den ene siden av likhetstegnet til den andre dersom vi samtidig forandrer fortegnet til leddet. =3 + 4 =7 =3+ =7 4 =9 =3 Flere regler i NÔr vi skal löse en likning og mô bruke e n eller ere av reglene, samme oppgave kan det lönne seg Ô bruke reglene i denne rekkefölgen: I Addisjons- og subtraksjonsregelen/over yttingsregelen II Multiplikasjonsregelen III Divisjonsregelen ProblemlÖsning NÔr tallene i en oppgave er avhengige av hverandre eller stôr i forhold til hverandre, kan den löses som en likning. sette pröve sette pröve pô en likning er det samme som Ô kontrollere om venstresiden er lik höyresiden nôr vi har satt den verdien vi har funnet for den ukjente, inn i den opprinnelige likningen. Flere ledd med samme ukjent NÔr vi har likninger som har ere ledd med den samme ukjente, samler vi alle leddene med den ukjente pô den ene siden og trekker dem sammen etter de reglene vi har l rt i algebraen.talleddene samler vi pô den andre siden för vi löser likningen pô vanlig môte. Likninger med Vi bruker först reglene fra algebra og sô reglene fra likninger nôr vi löser parenteser likninger med parenteser. 4ð3 4Þ ð3 +Þ =2ð2 Þ ð2 Þ ð3 +Þ =ð4 2Þ 2 3 =4 2 2 3 4 = 2 ++ 5 =20 5 = 20 5 5 =4 9
EMNE LIKNINGER OG ULIKHETER 2 Andregradslikninger Andregradslikninger eller kvadratiske likninger er likninger der minst ett av leddene er et ukjent ledd opphöyd i andre potens. NÔr vi skal löse slike likninger, mô vi kombinere det vi har l rt om algebra, likninger, kvadrattall og kvadratrot. 2 = p ffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 2 = p = ffiffiffiffiffi = 4 =+4eller = 4 fordi begge svarene gir 2 =. p ffiffi Kvadratrota,, er alltid positiv, men nôr vi har en likning med 2,blir bôde kvadratrota og minus kvadratrota lösninger fordi 2 =ð Þ 2. Flere brökledd Er det ere brökledd i likningen, multipliserer vi alle leddene med nevnerne og forkorter. SÔ löser vi likningen pô vanlig môte. 2 2 + 3 = 5 + = 5 3 +2=5 3 =3 = Den ukjente inevneren Den ukjente kan like godt v re under brökstreken som over brökstreken i likninger med bröker. OgsÔ her mô vi multiplisere med fellesnevneren. I likninger med en ukjent i nevneren kan ikke den ukjente v re 0. Vi skriver at ¼ 0. Eksempel : =3 =3 =3 =2 Eksempel 2: 2 + 3 2 + 3 + = 2 + = 2 3+2 +=3 =9 92
EMNE LIKNINGER OG ULIKHETER 2 To ukjente Likninger kan ha to störrelser som vi ikke kjenner verdien av. Da bruker vi som oftest og y om de ukjente. Dersom to likninger har de samme to ukjente, kan vi löse dem som et likningssett. Addisjons- I 3 + y =3 metoden II y =5 Vi adderer likningene og nner verdien av den ene ukjente. I 3 + y =3 II y =5 I+II 4 = 8 4 4 = 8 4 =2 Vi setter inn =2i den ene likningen og nner y. II y =5 2 y =5 y =5 2 y = 3 y = 3 Innsettings- I 3 + y = 3 metoden II y =5 Vi gjör om den ene likningen slik at den ene ukjente blir uttrykt ved hjelp av den andre ukjente. II y =5 =5+y 93
EMNE LIKNINGER OG ULIKHETER 2 Vi setter inn den omgjorte likningen i den andre. I 3 + y =3 3ð5 +yþ + y =3 5 + 3y + y =3 4y =3 5 4y 4 = 2 4 y = 3 Vi setter inn y = 3 ilikningiog nner. I 3 + y =3 3 + ð 3Þ =3 3 3=3 3 3 = 3 =2 Ulikhet Over yttingsregelen for ulikheter Divisjonsregelen for ulikheter NÔr vi bruker tegnene <,, > eller i et uttrykk med e n eller ere ukjente, kaller vi uttrykket en ulikhet. Tall og bokstaver kan yttes fra det ene siden av ulikheten til den andre siden dersom vi skifter fortegn. Vi kan dividere med et positivt tall eller en bokstav pô begge sider av ulikheten. Dersom vi dividerer med et negativt tall eller en bokstav med negativt fortegn pô begge sider, mô vi snu ulikhetstegnet for at ulikheten skal stemme. Multiplikasjons- Vi kan multiplisere med et positivt tall eller en bokstav pô begge sider av regelen for ulikheten. Dersom vi multipliserer med et negativt tall eller en bokstav ulikheter med negativt fortegn pô begge sider, mô vi snu ulikhetstegnet for at ulikheten skal stemme. 2 3 > 7 3 > 7 2 3 5 < 3 3 < 5 3 < 2 ð 3Þ > 2 ð 3Þ 3 > 94