Eksamen 25.05.2010 MAT0010 Matematikk Elever (10. årstrinn) Del 1 Skole: Bokmål Kandidatnr.: Del 1 + ark fra Del 2
Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 skal deles ut samtidig. Del 1 skal du levere innen 2 timer. Del 2 skal du levere innen 5 timer. Ingen hjelpemidler er tillatt, bortsett fra vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Del 1 har 22 oppgaver. Du skal svare på alle oppgavene. Skriv med penn når du krysser av eller fører inn svar i Del 1. I regneruter skal du vise hvordan du kommer fram til svaret. Ved konstruksjon skal du bruke passer, linjal og blyant. Du skal ikke kladde på oppgavearkene. Bruk egne kladdeark. På flervalgsoppgavene setter du bare ett kryss per spørsmål. Eksempel: Hvilken verdi har uttrykket 2 3 (1+2 2)? 35 50 62 75 Veiledning om vurderingen: Den høyeste poengsummen i Del 1 er 27, men den er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering på grunnlag av Del 1 og Del 2. Sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er kreativ og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar Andre opplysninger: skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Bildet på forsiden Hjelpemidler på Del 1 (kilde: Utdanningsdirektoratet)) Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 2 av 12
Del 1 skal leveres innen 2 timer Høyst 27 poeng Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut: a) 334 465 b) 854 328 c) 4,3 7 d) 264 : 4 Oppgave 2 (2 poeng) Gjør om: a) 2,5 t min b) 4,7 mil km c) 2,3 L (liter) dl (desiliter) d) 6250 g kg Oppgave 3 (1 poeng) Regn ut: a) 2 2 3 3 2(5 4) b) 1 3( 2) Oppgave 4 (2 poeng) Regn ut: a) 8 4 b) 13 13 5 2 6 3 c) 7 1 9 2 d) 3 6 : 10 Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 3 av 12
Oppgave 5 (1,5 poeng) Løs ligningene: a) 4x 7 47 b) Løs oppgave 5 a) her: x x 1 2 3 Løs oppgave 5 b) her: Oppgave 6 (0,5 poeng) Teresa var i Tyskland. Der kjøpte hun en ipod som kostet 348 (euro). Kursen på 1 var 8,732. Omtrent hva kostet ipod-en i norske kroner? Kilde: http://www.msvu.ca/mediacentre/uconnect/photos/ipod-touch.jpg (30.04.2009) ca. 2000 kroner ca. 3000 kroner ca. 4000 kroner ca. 5000 kroner Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 4 av 12
Oppgave 7 (0,5 poeng) Tegn inn symmetriaksene på den likesidede trekanten nedenfor. Oppgave 8 (2 poeng) En sylinder har radius r 5 cm og høyde h 10 Regn ut overflaten av sylinderen. Bruk π 3. cm. Løs oppgave 8 her: Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 5 av 12
Oppgave 9 (1,5 poeng) Løs ligningsettet ved regning: I x y 3 II 2x 3y 8 Løs oppgave 9 her: Oppgave 10 (0,5 poeng) Avstanden fra Oslo til Bergen er ca. 300 km i luftlinje. Bruk kartet til høyre. Hva er målestokken for dette kartet? Bergen Oslo Kilde: www.rosenmetoden.net/bilder/ norgeskart_green.gif (19.10.2009) 1:30 000 1:150 000 1:3 000 000 1:15 000 000 Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 6 av 12
Oppgave 11 (3 poeng) a) Konstruer en trekant ABC der AB er 7 cm, A 45 og B 60 b) Trekanten ABC er en del av parallellogrammet ABCD. Konstruer parallellogrammet. Ta med hjelpefigur og konstruksjonsforklaring. Kilde: www.utdanningsmagasinet.no (07.09.2009) Løs oppgave 11 a) og 11 b) her: Hjelpefigur: Konstruksjonsforklaring: Konstruksjon: Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 7 av 12
Oppgave 12 (0,5 poeng) Hva er funksjonsuttrykket til grafen? y x 1 1 y 2x 2 y x 2 y 2x 1 Oppgave 13 (0,5 poeng) I en butikk koster en mobiltelefon 2990 kroner. Hvis du kjøper den på Internett, får du 10 % rabatt. Hvor mange kroner får du i rabatt? Svar: kroner Kilde: www.godset.no/filarkiv/image/diverse/ mobiltelefon.jpg (30.04.2009) Oppgave 14 (1,5 poeng) Rulett er et sjansespill. Et amerikansk ruletthjul har 18 røde lommer, 19 svarte lommer og 1 grønn lomme. Hjulet snurres rundt. En kule trilles rundt i motsatt retning og stopper i én av lommene. a) Utfallsrommet har utfall. Kilde: www.palaceofcoins.com/images /gameimages/casino_roulette.jpg (19.10.2009) b) Hva er sannsynligheten for at kula stopper i en svart lomme? Svar: (brøk) % (prosent) Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 8 av 12
Oppgave 15 (1 poeng) Nedenfor ser du et bilde av en eske og en horisontlinje. Esken har to forsvinningspunkter på horisontlinja. Vis hvordan du finner de to forsvinningspunktene. Horisontlinje Kilde: Utdanningsdirektoratet Oppgave 16 (0,5 poeng) Esken i oppgave 15 ovenfor har lengde 20 cm, bredde 15 cm og høyde 10 cm. Hva er volumet av esken? Svar: cm 3 Oppgave 17 (1,5 poeng) 10 personer ble spurt om hvor mange mobiltelefoner de hadde hatt i løpet av de tre siste årene. De svarte slik: 1 1 2 3 5 3 1 1 2 1 a) Typetallet er b) Medianen er c) Gjennomsnittet er Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 9 av 12
Oppgave 18 (1,5 poeng) Til høyre ser du en skisse av en rettvinklet trekant. a) Arealet av trekanten er 2 m 8 m x b) Regn ut lengden av x ved hjelp av Pytagoras-setningen. 6 m Løs oppgave 18 b) her: Oppgave 19 (0,5 poeng) Avstanden fra månen til jorda er 8 3, 84 10 meter. Radiosignaler fra en astronaut på månen går med lysets hastighet, det vil si 300 000 000 m/s. Omtrent hvor mange sekunder bruker radiosignalene fra månen til jorda? ca. 0,1 s ca. 1 s ca. 10 s ca. 100 s Neil Armstrong, USA Første menneske på månen Kilde: en.wikipedia.org/wiki/file: Neil_Armstrong_pose.jpg (08.01.2009) Norsk romfartssenter Oppgave 20 (1 poeng) Sondre tar en buss til skolen. Bussen går klokka 07.38 hver morgen. En dag kommer han 5 minutter for sent til denne bussen. Neste buss går ikke før klokka 09.19. Hvor lenge må Sondre vente på neste buss? Svar: t min Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 10 av 12
Oppgave 21 (1 poeng) Faktoriser uttrykkene: a) 6a 3b 2 2 b) a 2ab b Oppgave 22 (1 poeng) Hvor mange ganger større blir volumet av en kule når radien fordobles fra r til 2r? Vis med formelregning. V 3 4πr 3 Kilde: Utdanningsdirektoratet Radius r Radius 2r Løs oppgave 22 her: Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 11 av 12
Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grønland 0135 OSLO Telefon 23 30 12 00 www.utdanningsdirektoratet.no
Eksamen 25.05.2010 MAT0010 Matematikk Elever (10. årstrinn) Del 2 Mobiltelefoner Teano Det gylne snitt Bokmål
Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 skal deles ut samtidig. Del 1 skal du levere innen 2 timer. Del 2 skal du levere innen 5 timer. Etter at Del 1 er levert inn, er alle hjelpemidler tillatt, unntatt Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Framgangsmåte og forklaring: Før Del 1 er levert inn, er ingen hjelpemidler tillatt, bortsett fra vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Del 2 har 7 oppgaver. Du skal svare på alle oppgavene. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Vis hvordan du kommer fram til svarene. Før inn nødvendige mellomregninger. Skriv med penn. I regnearkoppgaver skal du ta utskrift av det ferdige regnearket. Husk å vise hvilke formler du har brukt i regnearket. Du skal levere utskriftene sammen med resten av besvarelsen. Vedlegg: Veiledning om vurderingen: Hvis du bruker dynamisk geometriprogram, skal du skrive hva programmet heter, beskrive framgangsmåten og ta utskrift. Vedlegg 1 skal leveres inn sammen med besvarelsen. Den høyeste poengsummen i Del 2 er 40, men den er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering på grunnlag av Del 1 og Del 2. Sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er kreativ og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar Andre opplysninger: skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Bilder på forsiden Elever med mobiltelefoner (kilde: Utdanningsdirektoratet. Brukt etter tillatelse) Mobiltelefoner (kilde: www.idg.no/multimedia/...510m.jpeg (11.02.2009) Teano (kilde: Utdanningsdirektoratet, illustratør: Ann Christin Strand) Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 2 av 12
Del 2 skal leveres innen 5 timer Høyst 40 poeng Hjelpemidler: Se side 2 Mobiltelefoner Oppgave 1 (6 poeng) Maria skal kjøpe ny mobiltelefon med ekstrautstyr. Se bilder og priser nedenfor. Mobiltelefon 899 kroner Minnekort 249 kroner Handsfree 399 kroner Mobilveske 249 kroner Headset 598 kroner Kilde: www.euronics.no (07.09.2009) a) Maria skal bruke mellom 1300 og 1600 kroner på mobiltelefonen og ekstrautstyr. Gi to eksempler på hva hun kan kjøpe. b) Maria får tilbud om å kjøpe mobiltelefonen, minnekort, handsfree og mobilveske for 1600 kroner. Hvor mange prosent rabatt får hun da? Terese vil kjøpe én mobiltelefon, én mobilveske og ett minnekort. Hun velger mellom det du ser på bildene nedenfor. Kilde: www.komplett.no (07.09.2009) c) Hvor mange ulike kombinasjoner av én mobiltelefon, én mobilveske og ett minnekort kan Terese velge mellom? I butikken er det en kurv med 15 mobilvesker. To av mobilveskene har en feil som ikke er synlig i pakningen. Først kjøper Maria en mobilveske fra kurven. Like etterpå kjøper Terese en annen mobilveske fra kurven. d) Hva er sannsynligheten for at begge to kjøper en mobilveske med feil? Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 3 av 12
Oppgave 2 (4 poeng) d Kilde: http://www.gsmdome.com/wp-content/uploads /2009/02/nokia-5800-nam.jpg (18-05-2009) Med størrelsen på en mobilskjerm mener vi lengden av diagonalen på skjermen, målt i tommer. Se diagonalen d på bildet ovenfor. a) Mobiltelefonen ovenfor er avbildet i målestokk 1:2. Mål diagonalen d på bildet og regn ut den virkelige lengden av diagonalen på skjermen. Oppgi lengden i centimeter med én desimal. b) Gjør om den virkelige lengden av diagonalen fra centimeter til tommer. 1 tomme = 2,54 cm. Mobiltelefonen på bildet nedenfor har en kvadratisk skjerm. Bildet er forminsket. Diagonalen på denne skjermen er 2,5 tommer. Kilde: www.unwiredview.com/wpcontent/uploads/2007/09/samsung-sghi780-blackijack-2.jpg (18-05-2009) c) Finn arealet av skjermen. Oppgi svaret i 2 cm. Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 4 av 12
Oppgave 3 (9 poeng) PRISOVERSIKT FOR MOBILABONNEMENT PRISER * Snakkis Talkis Pratis Pris per måned (kroner) 49 139 229 Pris per ringeminutt (kroner) 0,99 0,29 0 ** * Vi ser bort fra oppstartspris på samtalene i denne oppgaven. ** Gjelder inntil 500 ringeminutter i måneden. Nikolai har ett av de tre abonnementene ovenfor. Han betaler 49 kroner per måned og 0,99 kroner per ringeminutt. a) Hvilket abonnementet har Nikolai? b) x er antall ringeminutter per måned, og y er samlet kostnad per måned målt i kroner. 1) Forklar at funksjonsuttrykket for samlet kostnad per måned til Snakkisabonnementet er y 0,99x 49 2) Sett opp funksjonsuttrykket for samlet kostnad per måned til Talkis-abonnementet. c) Tegn grafene til de to funksjonsuttrykkene i oppgave b) i samme koordinatsystem. d) Hvor mange ringeminutter må Nikolai ha hver måned for at det skal lønne seg å bytte abonnement fra Snakkis til Talkis? e) Alexandra har et Pratis-abonnement. Det betyr at jo mer Alexandra ringer, jo lavere blir samlet kostnad per ringeminutt. Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn det som mangler. Antall ringeminutter per måned 10 50 150 250 350 500 Samlet kostnad per ringeminutt 22,90 0,46 f) Hvor mange ringeminutter må Alexandra ha i løpet av en måned for at samlet kostnad per ringeminutt skal bli 0,79 kroner? Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 5 av 12
Oppgave 4 (6 poeng) Oppgave 4 a), b) og c) skal løses ved hjelp av regneark. Vis hvilke formler du har brukt. Kilde: Utdanningsdirektoratet. Brukt etter tillatelse. Hver av de tre vennene June, Christoffer og Hanna har et mobilabonnement. Christoffer har disse ringeminuttene fra januar til juni: Måned Januar Februar Mars April Mai Juni Ringeminutter 254,5 220,9 208,3 204,7 205,4 223,2 a) Lag et passende diagram over Christoffers ringeminutter fra januar til juni. b) Hvor mange ringeminutter har Christoffer i gjennomsnitt per måned fra januar til juni? June har i gjennomsnitt 281,2 ringeminutter per måned, mens Hanna har i gjennomsnitt 124,5 ringeminutter per måned. Se tabellen nedenfor. Navn Ringeminutter i Samlet kostnad (kroner) gjennomsnitt per måned Snakkis Talkis Pratis Christoffer 229,00 June 281,2 229,00 Hanna 124,5 229,00 c) Lag tabellen ovenfor i et regneark. Sett inn svaret fra oppgave 4 b) i tabellen. Bruk opplysningene fra oppgave 3 og regn ut hva abonnementene Snakkis og Talkis vil koste for hver av de tre vennene. Vis hvilke formler du har brukt i regnearket. d) I dag har Christoffer abonnementet Talkis, June har abonnementet Snakkis, og Hanna har abonnementet Pratis. Kan noen av vennene spare penger på å skifte abonnement? Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 6 av 12
Teano og det gylne snitt Oppgave 5 (4 poeng) Teano (500-tallet f.kr.) var gift med den berømte Pytagoras. Teano er en av de første kvinnelige matematikerne vi vet om. Hun tilhørte den pytagoreiske skolen i Hellas og skrev om det gylne snitt. Det gylne snitt er et forholdstall som vi finner i naturen, kunsten, arkitekturen og i teknologi og design. Dette forholdstallet er tilnærmet lik 1,618. Kilde: Utdanningsdirektoratet I et gyllent rektangel er lengde 1,618 bredde bredde lengde a) Ta mål og avgjør hvilken av ipod-ene nedenfor som har en form som likner mest på et gyllent rektangel. Kilde: www//techplore.com/technology/wp-content/ uploads/2009/07/newipods.jpg (09.11.2009) Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 7 av 12
b) Et kredittkort er et tilnærmet gyllent rektangel. Bildet av kredittkortet nedenfor er forminsket. Den korteste siden på kredittkortet er 5,4 cm. Regn ut den lengste siden på kredittkortet. Kilde: www.prepaidvirtualcreditcards.com /visa-classic-credit-card.jpg (03.04.2009) Oppgave 6 (7 poeng) Nedenfor ser du hvordan vi kan sette sammen kvadrater K 1,K 2,K 3,K 4,K5 og K6 i flere trinn rundt punktet P. s1 er lengden av siden i kvadratet K 1, s2 er lengden av siden i kvadratet K2 og så videre. Du ser at s 1, s 1, s 2, s 3, s 5 og s 8. 1 2 3 4 5 6 Tallene ovenfor er en del av den såkalte Fibonacci-tallfølgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, a) Hva er de to neste tallene i Fibonacci-tallfølgen? b) Bruk vedlegg 1 og tegn kvadrat K7 og kvadrat K 8. Husk at vedlegg 1 skal leveres inn sammen med besvarelsen din. Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 8 av 12
Dersom vi tegner kvartsirkler inne i kvadratene med start i punktet P, får vi en såkalt Fibonaccispiral som vi kan oppdage i naturen. Se figur og bilde nedenfor. Kilde: http://shells.tricity.wsu.edu/archerdshellcollection /Cephalopoda/Nautilidae.html (03.04.2009) Nautilus-skjell c) Bruk vedlegg 1 og tegn Fibonacci-spiralen ferdig til og med kvadrat K 8. Bruk passer. Husk at vedlegg 1 skal leveres inn sammen med besvarelsen din. Hver gang vi legger til et nytt kvadrat, danner kvadratene til sammen et rektangel. Jo flere kvadrater vi tar med, jo nærmere kommer vi til et gyllent rektangel. d) Hvor mange kvadrater må vi minst ta med for at lengde delt på bredde i rektanglet skal bli 1,618 når vi runder av til tre desimaler? Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 9 av 12
Oppgave 7 (4 poeng) A A B 5 1 Det gylne snitt deler et linjestykke slik at 1, 618 (Figur 1). B A 2 Fra et linjestykke som er delt på den måten, kan vi lage et gyllent rektangel (Figur 2). A A B A B Figur 1: Det gylne snitt Figur 2: Et gyllent rektangel a) Du skal nå konstruere et gyllent rektangel slik de greske matematikerne gjorde det. Bruk framgangsmåten og hjelpefiguren nedenfor. Framgangsmåte: Konstruer et kvadrat ABCD med sider på 7 cm. Konstruer midtpunktet E på linjestykket AB. Forleng linjestykkene AB og DC. Sett passerspissen i E. Slå en bue fra C. Buen treffer forlengelsen av AB i F. Konstruer normalen fra F til G. Rektangelet AFGD er nå et gyllent rektangel. Hjelpefigur: Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 10 av 12
b) Vi skal se på en figur med samme form som i oppgave a) og med samme navn på punktene. Men her i oppgave b) skal lengden av sidene i kvadratet ABCD være 2. Vi har altså at: ABCD er et kvadrat der AB 2 AFGD er et rektangel E er midtpunktet på AB CE EF Vis ved regning at AF 5 1 AD 2 Geometrien har to store skatter. Den ene er Pytagoras læresetning; den andre er det gylne snitt. Den første kan vi sammenligne med gull; den andre kan vi kalle en verdifull juvel. Johannes Kepler (1571 1630) Tysk matematiker og astronom Fritt fra Mysterium Cosmograficum (1596) Kilde: www.plus.maths.org (23.09.2009) Eksamen, MAT0010 Matematikk Våren 2010 Side 11 av 12
Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grønland 0135 OSLO Telefon 23 30 12 00 www.utdanningsdirektoratet.no
Vedlegg 1 til Oppgave 6 b) og 6 c) fra Del 2 (Teano) Eksamen, MAT0010 Matematikk, 10. årstrinn, 25.05.2010 Bokmål Skole: Kandidatnr.: NB! Husk å levere inn dette vedlegget sammen med besvarelsen din.