Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4265 Stokastiske prosesser Våren 2004 Løsningsforslag - Øving 12 8.9 Vi ser på dette som eit M/M/1 system der varene utgjør køen og kundene står for servicen. X t antall varer på hylla. a) Andel som går bort tomhendte P 0 [ P 0 1 + ( ] k 1 µ µ) +... + 1 µ ) k+1 (Se s. 440) 1 ( µ b) Snittid en vare står på hulla. (antar FIFI-prinsippet) (for L se neste punkt) W L L (1 P k ) c) Snittantall varer: k L np n k n( µ )n k ( µ )n ] [1 + k( µ )k+1 (k + 1)( µ ] )k Se s. 440) (µ ) [1 ( µ )k+1 d) Vi ser på systemet der utfallsrommet er slik at n j k slik at når: j 0 j antall kunder i kø og 0 varer. j 0 j antall varer i hyllene og 0 kunder i kø. 16. januar 2004 Side 1
Balanselikningene blir: e) Snitt-antall kunder i kø X blir da: µp k P k 1 ( + µ)p j P j 1 + µp j+1 n < j < k E[X] P n µp n+1 k 1 1 j n j n P j jp j + k 0 P j j0 1 j n jp j 8.18 Vi har følgende køsystem: a) X n Antall i systemet Ω {0, 1, 2, 3} 16. januar 2004 Side 2
b) Grensesannsynligheten blir fra figuren, siden dette er en fødsels- og dødsprosess: P 0 [ 1 + µ + 1 2 P 1 µ P 0 P 2 1 ( ) 2 P 0 2 µ P 3 1 ( ) 3 P 0 4 µ ( ) 2 + 1 µ 4 ( ) ] 3 1 µ c) La N være antallet kunder i systemet når en ny kunde ankommer. Forventet tid i systemet blir da betinget på N 2. E [ W N 2 ] E [ Tid i kø N 2 ] + E [ Servicetid ] 1 2µ + 1 µ d) Andel potensielle kunder som kommer inn i systemet 1 P 3. e) Alternativ 1: W E [ W ] 2 E [ W N n ] P (N n) 2 E [ W P n N n ] 1 P 3 (Betinger på at kunden går inn i systemet, dvs. N 2) [ ( 1 1 1 1 P 3 µ (P 0 + P 1 ) + µ + 1 ) ] P 2 2µ Alternativ 2: W E [ W ] L a [ L E [ X ] 3 k0 kp ] k a (1 P 3 ) 16. januar 2004 Side 3
8.20 a) X Antall kunder ved hver av serverene; Ω {(0, 0), (1, 0), (0, 1)(1, 1)} Systemet følger da b) Dette er ikke en fødsels- og dødsprosess, så her må vi tilbake til balanseligningene for å kunne løse systemet: Rate UT Rate INN ( 1 + 2 )P 00 µ 1 P 10 + µ 2 P 01 ( 1 + 2 + µ 1 )P 10 1 P 00 + µ 2 P 11 ( 1 + µ 2 )P 01 2 P 00 + µ 1 P 11 (µ 1 + µ 2 )P 11 ( 1 + 2 )P 10 + 1 P 01 og P 00 + P 10 + P 01 + P 11 1 c) L P 10 + P 01 + 2P 11 d) W L a L 1 (1 P 11 ) + 2 (P 00 + P 10 ) 16. januar 2004 Side 4
8.21 8.23 Se boka s. 675 a) Ω { b, n n 0 } der b er sammenbrudd og n er antall i systemet. Systemet følger figur??. Figur 1: Oppgave 8.23 b) Dette er ikke en fødsels- og dødsprosess, og vi får balanselikningene P 0 µp 1 + βp b ( + µ + α)p n P n 1 + µp n+1 n 1 βp b α [1 (P 0 + P b )] c) d) Alternativ 1: W L a np n (1 P b ) Total servicerate µ s µ(1 P 0 P b ). Andel kunder som fullfører Total servicerate Total ankomstrate µ s µ(1 P 0 P b ) a (1 P b ) 16. januar 2004 Side 5
Alternativ 2: Betinger på antall N i systemet ved ankomst: Pr{ fullfører } Pr{ Alle N + 1 fullfører før breakdown N n } Pr{ N n } 1 P b ( ) µ n+1 P n. µ + α 1 P b e) Andel potensielle kunder som ankommer under et sammenbrudd P b. 8.37 a) Vi ønsker å finne d 0 (jevnfør defininsjonen på side 430). I følge Proposition 8.1 så er i vårt tilfelle d 0 a 0, samtidig som a 0 P 0 i følge Proposition 8.2. Svaret er altså P 0. b) Forventet arbeid i systemet ved avgang E[ Antall ved avgang ] E[ S ] E[ Antall ved ankomst ] E[ S ] L E[ S ] W E[ S ] (W Q + E[ S ]) E[ S ] 2 E[ S 2 ]E[ S ] 2(1 E[ S ]) + (E[ S ])2 Eksamen, aug 99 oppg.3 NB!! I denne oppgaven er kø og køsystem det samme (L Q er IKKE definert i pensumet) Med kø menes køsystem. a) P r{x( 1 2 ) 5} 5 k0 ( 1 2 )k e 1 2 k! 5 k0 10 k k! e 10 0.067 P r{x(1) 10 X( 1 2 ) 5} P r{x(1) X( 1 2 ) 5 X( 1 2 ) 5} P r{x(1) X( 1 2 ) 5} P r{x( 1 2 ) 5} 0.067 16. januar 2004 Side 6
Køformelen: L W der L: forventet antall i kø : ankomstrate W : forventet tid i kø Forklarende figur: b) Ved likevekt må (gjennomsnittlig) antall ankomster være lik (gjennomsnittlig) antall avganger. Dette gir at L W. Grunnfordelingen er gitt ved: dvs. π k θ k π 0 der θ k 0 1 k 1 og π 0 µ 1 µ 2 µ k ( ) k k θ k () k ( ) k 1 1 k0 hvis < 1 1 k0 θ k π 0 1 ( π k 1 ) ( ) k, k 0, 1, 2,... forutsatt at < 1, hvis ikke vil antall personer vokse over alle grenser. c) L k π k k0 k0 ( k 1 ) ( ) k ( 1 ) ( 1 ) 2 1 16. januar 2004 Side 7
L W W L W 1 1 1 d) La N være antall behandlinger en kunde gjennomgår før han forlater køsystemet. Fra situasjonen er det klart at N er geometrisk fordelt med parameter p, dvs E[N] 1 p. La U være total tid en kunde bruker i køsystemet og la T i være tiden han benytter for i te gjennomgang slik at U N k1 T i W E[U] E[U N n] P r{n n} n1 [ n ] E T i P r{n n} n1 i1 ne[t i ] P r{n n} n 1 E[T i ] E[N] E[T i] p Har at T i x(t) j0 W j der x(t) er antall kunder i kø i det vår kunde stiller seg bakerst i køen for i te gang, og W 1,..., W x(t) er behandlingstidenen for kundenen foran i køen og W 0 er behandlingstid for vår kunde. Får da: E[T i ] E[T i x(t) k] P r{x(t) k} k0 (k + 1)E[W j ] P r{x(t) k} k0 E[W j ] (k + 1)π k k0 E[W j ]( kπ k + 1) k0 E[W j ](L + 1) 1 µ ( 1 + 1) 1 µ 1 1 16. januar 2004 Side 8
W 1 µ 1 p 1 Om kunden skal ha ny behandling kommer først i køen vil dette ikke forandre resultatene foran fordi fødsels- og dødsintensitetene blir uforandret og i utregning av L ble ikke noen antagelse angående kø-ordning benyttet. Dermed vil også kø-formelen gi samme svar for W. 16. januar 2004 Side 9