Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave September 2010

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave September 2010 MAT1015 Matematikk 2P Nynorsk/Bokmål

Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del 2 skal leverast inn seinast etter 5 timar. Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Du skal svare på alle oppgåvene. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing. Poeng i Del 1 og Del 2 er berre rettleiande i vurderinga. Karakteren blir fastsett etter ei samla vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du viser reknedugleik og matematisk forståing gjennomfører logiske resonnement ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan bruke fagkunnskap i nye situasjonar kan bruke formålstenlege hjelpemiddel vurderer om svar er rimelege forklarer framgangsmåtar og grunngir svar skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar, nemningar, tabellar og grafiske framstillingar Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 2 av 20

DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (4 poeng) Grete og Per fyller etanol i eit beger. Dei veg begeret fleire gonger mens dei fyller på etanolen. Resultata plottar dei som punkt i eit koordinatsystem. Sjå ovanfor. a) Teikn av koordinatsystemet med punkta i svaret ditt. Teikn ei rett linje som passar godt med punkta i koordinatsystemet. Finn funksjonsuttrykket for linja. b) Omtrent kor mykje veg begeret, og omtrent kor mykje veg éin liter etanol? Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 3 av 20

Oppgåve 2 (12 poeng) a) Finn gjennomsnittet og medianen for tala 2 5 8 4 6. b) 1) Rekn ut 6 2 3 3 0 3 2 3 2) Rekn ut og skriv svaret på standardform 7 12 6,4 10 2,5 10 c) 1) Skriv 10112 i titalssystemet. 2) Skriv talet 17 i totalssystemet. d) Ein bil er i dag verd 270 000 kroner. Verdien av bilen har gått ned med 10 % det siste året. Vi reknar med at verdien også vil gå ned med 10 % neste år. 1) Kor mykje vil bilen vere verd om eitt år? 2) Kor mykje var bilen verd for eitt år sidan? e) Dersom ein person får i seg meir enn kan det gi alvorlege helseskadar. 3,5 10 11 g av eit giftig stoff per kilo kroppsvekt, Set at ein person som veg 70 kg, har fått i seg Kan inntaket gi alvorlege helseskadar? 1,210 12 g av stoffet. Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 4 av 20

Oppgåve 3 (8 poeng) Sommaren 2007 var 175 skoleelevar på sommarleir. Etter leiren blei dei spurde om kor mykje pengar dei hadde brukt på brus, is og godteri. Resultata frå undersøkinga er vist i tabellen nedanfor. Pengar brukt (kroner) Klassemidtpunkt m Frekvens Hyppigheit f Relativ frekvens s Produkt m s 0,40 20 21 0,12 2,40 40,80 60 70 2) 24,0 80,120 100 49 3) 28,0 120,160 140 21 0,12 16,8 160,200 180 1) 0,08 14,4 Totalt 175 1,00 85,6 a) Kva for tal skal stå i felta som ikkje er fylte ut, og som er merkte 1), 2) og 3)? b) Framstill dataa over pengeforbruket i eit eigna diagram. c) Kor mykje pengar brukte kvar av dei 175 elevane i gjennomsnitt? Kristian påstår at han med ein gong kan seie at for dette datamaterialet er medianen lågare enn gjennomsnittet. d) Forklar korleis Kristian kan sjå dette direkte ut frå tabellen ovanfor. Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 5 av 20

DEL 2 Med hjelpemiddel Oppgåve 4 (6 poeng) Kjelde: http://www.aftenposten.no/nyheter/iriks/article2274451.ece (25.04.2010) Nokre elevar i Oslo ville undersøkje kor mange personar det var i kvar bil som køyrde inn til sentrum om morgonen. Dei talde kor mange personar det var i 30 bilar, og fekk dette resultatet: 2 1 4 3 3 1 1 2 5 1 3 1 2 2 1 4 5 1 1 4 4 1 2 1 1 1 2 2 4 4 a) Finn medianen og gjennomsnittet for dette datamaterialet. b) Framstill datamaterialet i eit sektordiagram. Kor stor del av bilane har meir enn éin passasjer? Elevar i ein annan by gjennomførte ei tilsvarande undersøking. Dei fekk dette resultatet: 1 2 1 3 2 4 1 1 3 2 2 2 3 2 3 2 1 2 4 1 2 4 1 3 2 1 2 2 3 1 c) Finn standardavviket både for dette datamaterialet og for datamaterialet frå Oslo. Det eine standardavviket er større enn det andre. Per påstår at han kunne sett dette direkte ut frå resultata frå undersøkingane. Korleis kunne han greidd det? Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 6 av 20

Oppgåve 5 (10 poeng) Kjelde: Utdanningsdirektoratet Marit vil låne 75 000 kroner i banken til 9,5 % rente per år. Ho lurer på korleis lånet vil vekse dersom ho ikkje betaler renter eller avdrag. a) Kor stort vil lånet vere etter 10 år? b) Forklar at storleiken på lånet etter x år kan uttrykkjast ved funksjonen f gitt ved f ( x ) 75000 1,095 x c) Teikn grafen til f. Bruk x - verdiar frå og med 0 til og med 10. d) Kor lang tid går det før lånet er dobbelt så stort? Espen tok opp eit lån for fem år sidan. Han har ikkje betalt renter eller avdrag. I dag er lånet dobbelt så stort som det var då han tok det opp. Vi reknar med at renta i prosent per år har vore den same heile denne perioden. e) Kor stor har renta i prosent per år vore for dette lånet? Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 7 av 20

Oppgåve 6 (6 poeng) Stad i universet Jorda Saturn Pluto Sentrum av Mjølkevegen Avstand til sola (meter) 1,50 10 1,43 10 5,96 10 1,20 10 11 12 12 20 Tabellen ovanfor viser avstanden frå nokre stader i universet til sola. a) Eit fly har farten 250 m/s. Kor mange år ville dette flyet brukt på ei reise frå jorda til sola? b) Tenk deg at du lagar ein modell der avstanden frå jorda til sola er 40 cm. Finn avstanden til sola frå Saturn, Pluto og sentrum av Mjølkevegen i denne modellen. Vurder om eitt eller fleire av dei svara du får, bør skrivas på standardform. Frå oppgåve b) vil du sjå at avstanden frå sola til sentrum av Mjølkevegen blir stor i modellen. Du bestemmer deg derfor for å lage modellen mindre. I den nye modellen skal avstanden frå sola til sentrum av Mjølkevegen vere 5,0 m. c) Kor stor blir avstanden frå sola til jorda i den nye modellen? Skriv svaret på standardform. Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 8 av 20

Oppgåve 7 (8 poeng) Kjelde: http://www.sib.no/bilder/dsc_1293.jpg/view (26.04.2010) Dersom du skal leggje opp eit effektivt treningsprogram, bør du kjenne til makspulsen din (den høgaste hjartefrekvensen du kan oppnå). Makspuls er avhengig av alder. Du kan finne ein tilnærma verdi for makspulsen din ved å rekne ut 220 minus alderen din. a) Finn eit funksjonsuttrykk f ( x ) som viser denne samanhengen mellom alderen til ein person og makspulsen til personen. Den mest nøyaktige måten å finne makspulsen din på er å gjennomføre ein fysisk test der du pressar deg maksimalt for å sjå kor høg puls det er mogleg å oppnå. Fem personar med ulik alder har gjennomført ein slik test. Resultata ser du i tabellen nedanfor. Alder, x år 18 25 37 48 60 Makspuls 195 189 183 175 166 b) Bruk regresjon til å vise at funksjonen g gitt ved g ( x ) 0,67x 207, der x er alder, er ein matematisk modell som viser samanhengen mellom alder og makspuls dersom ein tek utgangspunkt i datamaterialet ovanfor. c) Teikn grafane til f og g i same koordinatsystem. Vel x - verdiar frå og med 18 til og med 60. Dei to modellane f og g gir litt ulike verdiar for makspuls. d) For kva aldersgruppe er forskjellen mellom verdien dei to modellane gir for makspuls mindre enn 3? Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 9 av 20

Oppgåve 8 (6 poeng) På første stolrad i ein teatersal er det 10 plassar, på andre rad er det 12 plassar, og på tredje rad er det 14 plassar. Sjå figuren nedanfor. Slik held det fram med å auke med to plassar for kvar rad bakover i salen. a) 1) Kor mange plassar er det på rad 6 og på rad 10? 2) Forklar at det på rad n vil vere (8 2 n) plassar. På første rad er billettprisen 350 kroner. På rad nummer to er prisen 340 kroner. Slik går prisen ned med 10 kroner for kvar rad bakover i salen. b) Forklar at billettane på rad n til saman kostar (8 2 n) (360 10 n) kroner. c) På kva for rad kostar billettane mest til saman? Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 10 av 20

Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer. Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Du skal svare på alle oppgavene. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 11 av 20

DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (4 poeng) Grete og Per fyller etanol i et beger. De veier begeret flere ganger mens de fyller på etanolen. Resultatene plotter de som punkter i et koordinatsystem. Se ovenfor. a) Tegn av koordinatsystemet med punktene i besvarelsen din. Tegn en rett linje som passer godt med punktene i koordinatsystemet. Finn funksjonsuttrykket for linjen. b) Omtrent hvor mye veier begeret, og omtrent hvor mye veier én liter etanol? Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 12 av 20

Oppgave 2 (12 poeng) a) Finn gjennomsnittet og medianen for tallene 2 5 8 4 6. b) 1) Regn ut 6 2 3 3 0 3 2 3 2) Regn ut og skriv svaret på standardform 7 12 6,4 10 2,5 10 c) 1) Skriv 10112 i titallsystemet. 2) Skriv tallet 17 i totallsystemet. d) En bil er i dag verdt 270 000 kroner. Bilens verdi har avtatt med 10 % det siste året. Vi antar at verdien også vil avta med 10 % neste år. 1) Hvor mye vil bilen være verdt om ett år? 2) Hvor mye var bilen verdt for ett år siden? e) Dersom en person får i seg mer enn det gi alvorlige helseskader. 3,5 10 11 g av et giftig stoff per kg kroppsvekt, kan Anta at en person som veier 70 kg, har fått i seg Kan inntaket gi alvorlige helseskader? 1,210 12 g av stoffet. Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 13 av 20

Oppgave 3 (8 poeng) Sommeren 2007 var 175 skoleelever på sommerleir. Etter leiren ble de spurt om hvor mye penger de hadde brukt på brus, is og godteri. Resultatene fra undersøkelsen er vist i tabellen nedenfor. Penger brukt (kroner) Klassemidtpunkt m Frekvens Hyppighet f Relativ frekvens s Produkt m s 0,40 20 21 0,12 2,40 40,80 60 70 2) 24,0 80,120 100 49 3) 28,0 120,160 140 21 0,12 16,8 160,200 180 1) 0,08 14,4 Totalt 175 1,00 85,6 a) Hvilke tall skal stå i feltene som ikke er fylt ut, og som er merket 1), 2) og 3)? b) Framstill dataene over pengeforbruket i et egnet diagram. c) Hvor mye penger brukte hver av de 175 elevene i gjennomsnitt? Kristian påstår at han med én gang kan si at for dette datamaterialet er medianen lavere enn gjennomsnittet. d) Forklar hvordan Kristian kan se dette direkte ut fra tabellen ovenfor. Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 14 av 20

DEL 2 Med hjelpemidler Oppgave 4 (6 poeng) Kilde: http://www.aftenposten.no/nyheter/iriks/article2274451.ece (25.04.2010) Noen elever i Oslo ville undersøke hvor mange personer det var i hver bil som kjørte inn til sentrum om morgenen. De telte antall personer i 30 biler og fikk følgende resultat: 2 1 4 3 3 1 1 2 5 1 3 1 2 2 1 4 5 1 1 4 4 1 2 1 1 1 2 2 4 4 a) Finn medianen og gjennomsnittet for dette datamaterialet. b) Framstill datamaterialet i et sektordiagram. Hvor stor del av bilene har mer enn én passasjer? Elever i en annen by gjennomførte en tilsvarende undersøkelse. De fikk følgende resultat: 1 2 1 3 2 4 1 1 3 2 2 2 3 2 3 2 1 2 4 1 2 4 1 3 2 1 2 2 3 1 c) Finn standardavviket både for dette datamaterialet og for datamaterialet fra Oslo. Det ene standardavviket er større enn det andre. Per påstår at han kunne sett dette direkte ut fra resultatene fra undersøkelsene. Hvordan kunne han klart det? Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 15 av 20

Oppgave 5 (10 poeng) Kilde: Utdanningsdirektoratet Marit vil låne 75 000 kroner i banken til 9,5 % rente per år. Hun lurer på hvordan lånet vil vokse dersom hun verken betaler renter eller avdrag. a) Hvor stort vil lånet være etter 10 år? b) Forklar at størrelsen på lånet etter x år kan uttrykkes ved funksjonen f gitt ved f ( x ) 75000 1,095 x c) Tegn grafen til f. Bruk x - verdier fra og med 0 til og med 10. d) Hvor lang tid går det før lånet er dobbelt så stort? Espen tok opp et lån for fem år siden. Han har verken betalt renter eller avdrag. I dag er lånet dobbelt så stort som det var opprinnelig. Vi regner at renten i prosent per år har vært den samme hele denne perioden. e) Hvor stor har renten i prosent per år vært for dette lånet? Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 16 av 20

Oppgave 6 (6 poeng) Sted i universet Jorda Saturn Pluto Sentrum av Melkeveien Avstand til sola (meter) 1,50 10 1,43 10 5,96 10 1,20 10 11 12 12 20 Tabellen ovenfor viser avstanden fra noen steder i universet til sola. a) Et fly har farten 250 m/s. Hvor mange år ville dette flyet brukt på en reise fra jorda til sola? b) Tenk deg at du lager en modell der avstanden fra jorda til sola er 40 cm. Finn avstanden til sola fra Saturn, Pluto og sentrum av Melkeveien i denne modellen. Vurder om ett eller flere av de svarene du får, bør skrives på standardform. Fra oppgave b) vil du se at avstanden fra sola til sentrum av Melkeveien blir stor i modellen. Du bestemmer deg derfor for å lage modellen mindre. I den nye modellen skal avstanden fra sola til Melkeveiens sentrum være 5,0 m. c) Hvor stor blir avstanden fra sola til jorda i den nye modellen? Skriv svaret på standardform. Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 17 av 20

Oppgave 7 (8 poeng) Kilde: http://www.sib.no/bilder/dsc_1293.jpg/view (26.04.2010) Hvis du skal legge opp et effektivt treningsprogram, er det lurt å kjenne til makspulsen din (den høyeste hjertefrekvensen du kan oppnå). Makspuls er avhengig av alder. Du kan finne en tilnærmet verdi for makspulsen din ved å regne ut 220 minus alderen din. a) Finn et funksjonsuttrykk f ( x ) som viser denne sammenhengen mellom alderen til en person og makspulsen til personen. Den mest nøyaktige måten å finne makspulsen din på er å gjennomføre en fysisk test der du presser deg maksimalt for å se hvor høy puls det er mulig å oppnå. Fem personer med ulik alder har gjennomført en slik test. Resultatene ser du i tabellen nedenfor. Alder, x år 18 25 37 48 60 Makspuls 195 189 183 175 166 b) Bruk regresjon til å vise at funksjonen g gitt ved g ( x ) 0,67x 207, der x er alder, er en matematisk modell som viser sammenhengen mellom alder og makspuls dersom man tar utgangspunkt i datamaterialet ovenfor. c) Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem. Velg x - verdier fra og med 18 til og med 60. De to modellene f og g gir litt ulike verdier for makspuls. d) For hvilken aldersgruppe er forskjellen mellom verdien de to modellene gir for makspuls mindre enn 3? Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 18 av 20

Oppgave 8 (6 poeng) På første stolrad i en teatersal er det 10 plasser. På andre rad er det 12 plasser, og på tredje rad er det 14 plasser. Se figuren nedenfor. Slik fortsetter det å øke med to plasser for hver rad bakover i salen. a) 1) Hvor mange plasser er det på rad 6 og på rad 10? 2) Forklar at det på rad n vil være (8 2 n) plasser. På første rad er billettprisen 350 kroner. På rad nummer to er prisen 340 kroner. Slik avtar prisen med 10 kroner for hver rad bakover i salen. b) Forklar at billettene på rad n til sammen koster (8 2 n) (360 10 n) kroner. c) På hvilken rad koster billettene mest til sammen? Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 19 av 20

Formler som skal være kjent ved Del 1 av eksamen i MAT1015 Matematikk 2P (Formelarket kan ikke brukes på Del 1 av eksamen.) Potenser Standardform Plassverdisystemer Vekstfaktor Statistikk p q pq a a a p a ab p a p b p pq a q 0 a a 1 p q pq a a p 1 a p p a p a a p b b n a k 10 1 k 10 og n er et helt tall Enkle omregninger p 1 100 p 1 100 Gjennomsnitt Median Eksamensoppgavene lages ut fra kompetansemålene i læreplanen, og utvalget av formler ovenfor angir derfor ikke begrensninger av kompetansemål som kan prøves i Del 1. Dersom oppgavetemaet krever det, kan mer kompliserte formler bli oppgitt som en del av oppgaveteksten i Del 1. Det forutsettes at en behersker grunnleggende formler og framgangsmåter fra tidligere kurs og skolegang. Eksempeloppgåve/Eksempeloppgave, MAT1015 Matematikk 2P Side 20 av 20