Forelesning 6 STK3100/4100

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Forelesning 6 STK3100/4100"

Transkript

1 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 1/4 Forelesning 6 STK3100/ oktober 2012 Presentasjon av S. O. Samuelsen (modifisert av Geir H12) Plan for forelesning: 1. GLM Binære data 2. Link-funksjoner 3. Parameterfortolkning logistisk regresjon 4. Parameterfortolkning andre linkfunksjoner 5. Goodness-of-fit: Hosmer-Lemeshow-test

2 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 2/4 Binomiske responser Anta Y i Bin(n i,π i ) er uavhengige. Da har vi data fra en eksponensiell klasse. f(y,θ i,φ i ) = ( ni y ) π y i (1 π i) n i y i =c(y) exp(yθ i a(θ i )) der θ i = log(π i /(1 π i )),a(θ i ) = n i log(1 + exp(θ i )) mens spredningsleddet φ i = 1 er kjent og c(y) = ( n i y ). Som kjent blir E[Y i ] = a (θ i ) = n i exp(θ i ) 1+exp(θ i ) = n iπ i = µ i og Var[Y i ] = φ i a (θ i ) = n i exp(θ i ) (1+exp(θ i )) 2 = n i π i (1 π i ).

3 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 3/4 Binomiske eller binære responser Anta Y i Bin(n i,π i ) er uavhengige. Kan alltid definere 1 for j = 1,...,Y i Y i,j = 0 for j = Y i + 1,...,n i som gir oss binære data.

4 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 4/4 Binære responser eller grupperte data? Y i Bin(n i,π i ),i = 1,...,k eller Y i Bin(1,π i ),i = 1,...,n = i n i Estimering ekvivalent ved begge representasjoner Testing for sammenlikning av modeller også ekvivalent Goodness-of-fit test (devians) blir forskjellig! χ 2 n q n = k for grupperte data n = k i=1 n i for binære data Krav devians goodness-of-fit test: Y i Bin(n i,π i ) der n i π i > 5 og n i (1 π i ) > 5

5 Biller > dim(beetle) [1] 8 3 > glm(cbind(dode,ant-dode) Dose,family=binomial,data=beetle) Coefficients: (Intercept) Dose Degrees of Freedom: 7 Total (i.e. Null); Null Deviance: Residual Deviance: AIC: Residual > dim(beetle2) [1] > glm(dode Dose,family=binomial,data=beetle2) Coefficients: (Intercept) Dose Degrees of Freedom: 480 Total (i.e. Null); Null Deviance: Residual Deviance: AIC: Residual Forelesning 6 STK3100/4100 p. 5/4

6 GLM binære responser Uavhengige binære Y i med suksess-sannsynlighet π i (n i = 1 her) Lineær prediktor η i = β T x i Linkfunksjon g(π i ) = η i Vi har så langt hovedsaklig sett på link-funksjonen som gir π i g(π i ) = log( ) = logit(π i ) 1 π i π i = exp(η i) 1 + exp(η i ) = g 1 (η i ) Spesielt er dette den kanoniske link-funksjonen, i.e. kanonisk parameter θ i = η i Som kjent gir logit-linken logistisk regresjon. Forelesning 6 STK3100/4100 p. 6/4

7 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 7/4 Krav til linkfunksjon for binære responser g() bør være glatt (deriverbar) strengt monoton (voksende) verdier over alle reelle tall g([0, 1]) = R eller ekvivalent g 1 (R) = [0, 1] g 1 (η) kumulativ fordelingsfunksjon for kontinuerlig fordeling på R Logit-linken tilfredstiller disse kravene. Spesielt er g 1 (η) kumulativ i "logistisk fordeling" der tettheten er exp(η) (1 + exp(η)) 2

8 Kumulativ og tetthet i "standard" logistisk fordeling Kumulativ logistisk fordeling Tetthet logistisk fordeling F(x) f(x) x Tettheten er symmetrisk om x = 0, så forventningen er lik 0. Dessuten kan det vises at variansen i standard-logistisk x x 2 exp(x) (1 + exp(x)) 2dx = π2 3 = Forelesning 6 STK3100/4100 p. 8/4

9 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 9/4 Probit-link: Invers av kumulativ for standard-normal Siden kravet til en link-funksjon er at den er invers av en kumulativ er en naturlig kandiat til link: g(η) = Φ 1 (η) der Φ(y) = y 1 2π exp( 1 2 x2 )dx. Siden tettheten i standardnormalfordelingen er symmetrisk om y = 0 får vi ofte resultater tilsvarende logist regresjon med probit link (probit analyse). Imidlertid Normalfordelingen har lettere haler enn logistisk fordeling, kan ha situasjoner der probit passer bedre

10 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 10/4 Kumulativ og tetthet for logit og probit Kumulative fordelingsfunksjoner Tettheter F(x) logistisk probit (skalert) f(x) x x

11 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 11/4 Sammenlikning estimater E[Y i ] =g 1 (η i ) g 1 (0) + (g 1 ) (0)η i ηi l logit = φ(0)η p i probit Dvs for η i 0, ηi l η p φ(0)/0.25 = (8/π) 1.6 eller β l j 1.6 β p j

12 R-utskrift Biller: Logit vs. Probit > logfit<-glm(cbind(dode,ant-dode) Dose,binomial(link=logit),beetle > profit<-glm(cbind(dode,ant-dode) Dose,binomial(link=probit),beetl > logfit Coefficients: (Intercept) Dose Degrees of Freedom: 7 Total (i.e. Null); 6 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC: > profit Coefficients: (Intercept) Dose Degrees of Freedom: 7 Total (i.e. Null); 6 Residual Null Deviance: Residual Deviance: AIC: > logfit$coef/profit$coef (Intercept) Dose Forelesning 6 STK3100/4100 p. 12/4

13 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 13/4 Akaike informasjonskriterium (AIC) defineres generelt ved AIC = 2ˆl + 2q der q = antall parametre i modellen og ˆl maksimum log-likelihood under modellen. Akaike-kriteriet benyttes ved å velge den modellen med minst AIC-verdi.

14 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 14/4 R-utskrift Biller: Logit > summary(logfit) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) <2e-16 *** Dose <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: on 7 degrees of freedom Residual deviance: on 6 degrees of freedom AIC: 41.43

15 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 15/4 R-utskrift Biller: Probit > summary(profit) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) <2e-16 *** Dose <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: on 7 degrees of freedom Residual deviance: on 6 degrees of freedom AIC: Number of Fisher Scoring iterations: 4

16 clog-log-link basert på Gumbel-fordelingen Linken η i = g(π i ) = log( log(1 π i )) kalles den "komplementære log-log-linken" Dens inverse er gitt ved π i = 1 exp( exp(η i )) = F(η i ) som er kumulativ for (den standardiserte) Gumbelfordelingen. Egenskaper: ikke er symmetrisk veldig lette haler mot + haler som logistisk fordeling mot forventning er - Eulers s konstant 0.58 varians π 2 / Forelesning 6 STK3100/4100 p. 16/4

17 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 17/4 Kumulativ og tetthet Gumbelfordeling Kumulative fordelingsfunksjon Gumbel Tetthet Gumbel F(x) f(x) x x

18 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 18/4 R-utskrift Biller: Clog-log > clogfit<-glm(cbind(dode,ant-dode) Dose,binomial(link=cloglog),bee > summary(clogfit) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) <2e-16 *** Dose <2e-16 *** Null deviance: on 7 degrees of freedom Residual deviance: on 6 degrees of freedom AIC: Number of Fisher Scoring iterations: 4 > logfit$coef/clogfit$coef (Intercept) Dose

19 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 19/4 Sammenlikning med AIC > AIC(logfit,profit,clogfit) df AIC logfit profit clogfit cloglog-link gir best tilpasning.

20 Tilpassede sannsynligheter for billedata med logistisk regresjon og cloglog-link: andel dode biller logistisk cloglog dose (log_10) Cloglog-linken treffer observerte andeler bedre enn logistisk regr., svarer til residual-devians på 3.45 for cloglog og for logistisk regresjon. Forelesning 6 STK3100/4100 p. 20/4

21 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 21/4 2. ordens ledd > form = cbind(dode,ant-dode) Dose+I(Doseˆ2) > logfit2<-glm(form,binomial(link=logit),beetle) > profit2<-glm(form,binomial(link=probit),beetle) > clogfit2<-glm(form,binomial(link=cloglog),beetle) > AIC(clogfit,logfit2,profit2,caufit2,clogfit2) df AIC clogfit logfit profit clogfit

22 Tilpassede sannsynligheter for billedata også med logistisk regresjon og 2. gradsledd i Dose andel dode biller logistisk cloglog logistisk, 2. gradsledd dose (log_10) 2. gradsledd ga en devians på 3.19 sammenlignet med 3.44 for cloglog-linken. AIC-verdier ble med 2. gradsledd og for cloglog. Forelesning 6 STK3100/4100 p. 22/4

23 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 23/4 GLM Binomiske / binære responser Y i Bin(n i,π i ) der linkfunskjonen g(π i ) = η i = β T x i er invers av kontinuerlig kumulativ fordelingsfunksjon på R. Følgende linkfunksjoner er implementert i R: Logistisk regresjon: g(π i ) = log(π i /(1 π i )) ekvivalent med g 1 (η i ) = exp(η i) 1+exp(η i ) Probit-analyse: g(π i ) = Φ 1 (π i ) clog-log-link g(π i ) = log( log(1 π i )) ekvivalent med π i = 1 exp( exp(η i )) "Cauchit-analyse" g(π i ) = tan(π(π i 0.5)) log-link g(π i ) = log(π i ) (ikke invers av kumulativ over R)

24 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 24/4 Parameterfortolkning logistisk regresjon Vi definerer odds for begivenhet ved: π = Odds 1 π For logistisk regresjon blir oddsen, med η = β T x, Odds = exp(η) 1+exp(η) 1 exp(η) 1+exp(η) = exp(η) 1+exp(η) 1 1+exp(η) = exp(η) dvs η = log Odds

25 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 25/4 Parameterfortolkning logistisk regresjon: Odds-ratio La x k = x k,k j,x j = x j + 1, dvs x x = (0,...,0, 1, 0,...,0), Forholdet mellom oddsene med kovariater x og x, kalt odds-ratioen, (med π = e η /(1 + e η ) og η = β T x ) OR j = π 1 π π 1 π = exp(β j ) = Odds Odds = exp(η η) = exp(β T (x x)) eller omvendt β j = log(or j ), dvs. regresjonsparametrene fortolkes som log-odds-ratioer eller relativ endring i odds (på log skala)

26 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 26/4 Odds-ratio Relativ Risk når sannsynlighetene er små En "relativ risk" er definert som forholdet mellom to sannsynligheter, f.eks. RR = π π Spesielt når både π og π er små blir 1 π 1 og 1 π 1. Dermed får vi OR = π π 1 π 1 π π π = RR Dvs for små sannsynligheter måler exp(β j ) (tilnærmet) relativ endring i sannsynlighet når x j øker med en enhet.

27 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 27/4 Tilnærmelsen OR RR Relativ risk Odds-ratio π π = π = π = π = π = π = π =

28 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 28/4 Sannsynlighetene er nær 0.5 Anta π = δ og π = 0.5 δ. Da blir 1 π = 0.5 δ = π og 1 π = δ = π slik at OR = π π 1 π 1 π = ( ) π 2 = RR 2 π dvs. ikke tilnærmelse mellom størrelsene og OR avviker vesentlig mer fra 1 enn RR

29 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 29/4 Uttrykket odds: Spill I ett pengespill satser man en innsats 1 og får deretter utbetalt U = G hvis man vinner. Hvis man taper får man ikke innsatsen tilbake. Gevinsten etter å ha spilt er derfor 1 hvis en taper spillet G = hvis en vinner spillet G 0 Vi antar at sannsynlighet for å tape er π. Hvis spillet er rettferdig er 0 = E[G] = G 0 (1 π) 1 π, dvs. G 0 = π 1 π = Odds for å tape

30 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 30/4 Parameter-fortolkning med clog-log-link π =1 exp( exp(β T x)) eller η =β T x = log( log(1 π)) For π liten er log(1 π) π (Taylor) som gir η log(π) π exp(η) og dermed RR j = π π exp(β j)

31 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 31/4 Eksempel: Studie av dødelighet med Wilm s tumor 444 døde, 3471 overlevende > glm(d unfav+factor(stg),family=binomial(link=logit), data=nwts)$coef (Intercept) unfav factor(stg)2 factor(stg)3 factor(stg) > glm(d unfav+factor(stg),family=binomial(link=cloglog), data=nwts)$coef (Intercept) unfav factor(stg)2 factor(stg)3 factor(stg)

32 Fortolkning av parametre med probitanalyse Noen ganger har vi kontinuerlige responser, Y i0 N(β T x i,σ 2 ) (f.eks. normalfordelt), men velger å studere 1 hvis Y i0 < γ = terskelverdi Y i = 0 hvis ikke Eks. Y i0 = fødselsvekt Y i = 1 hvis Y i0 < 2500 gram 0 hvis ikke Eks. Psykometriske målinger, Y i0 = score på depresjonsskala 1 hvis Y i0 > terskelverdi Y i = 0 hvis ikke Forelesning 6 STK3100/4100 p. 32/4

33 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 33/4 Underliggende skala 1 hvis Y i0 < γ = terskelverdi Y i = 0 hvis ikke tetthet Y0

34 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 34/4 Probit, forts. Hvorfor binære respons? Tradisjon for tabellanalyse Direkte score Y i0 kan være svært skjevfordelt Direkte score er kanskje ikke registert, bare noe vi forestiller oss ("latent" variabel) Vi finner sammenhengen mellom Y i0 N(β T x i,σ 2 ) Y i = I(Y i0 γ) ved π i = P(Y i = 1) = P(Y i0 γ) = Φ( γ σ (β σ ) x i )

35 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 35/4 Sammenheng parametre i probit og underliggende skala Forventning for E[Y i0 ] = β T x i = β 0 + β 1 x i1 + + β p x ip svarer altså til probitmodell der α 0 = γ β 0 σ Φ 1 (π i ) = α 0 + α 1 x i1 + + α p x ip α j = β j for j = 1,...,p σ Merk: Standardavviket σ for den underliggende skalaen er ikke mulig å identifisere.

36 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 36/4 Eksempel: Fødselsvekt og svangerskapsvarighet > summary(lm(vekt svlengde+sex)) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) svlengde e-06 *** sex * --- Residual standard error: on 21 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.64, Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 21 DF, p-value: 2.194e-05 Vi får altså estimert ˆσ =

37 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 37/4 Eksempel: Fødselsvekt og svangerskapsvarighet, forts. > lavvekt<-1*(vekt<2800) > table(lavvekt) > > glm(lavvekt svlengde+sex,family=binomial(link=probit))$coef (Intercept) svlengde sex > -lm(vekt svlengde+sex)$coef/177.1 (Intercept) svlengde sex Definerer Y i = 1 hvis fødselsvekten er mindre enn 2800 gram. Får probit-estimater ˆα j ˆβ j ˆσ fra lineær regresjon.

38 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 38/4 Goodness of fit-tester for binomiske data Hvis Y i Bin(n i,π i ) og (a) n i π i > 5 og (b) n i (1 π i ) > 5 for i = 1,...,N er tilnærmet Residual devians Pearson kjikvadrat = 2( l ˆl) χ 2 N p X 2 = n i=1 (Y i n iˆπ i ) 2 n iˆπ i (1 ˆπ i ) χ2 N p der l er log-likelihood i mettet modell, ˆl log-likelihood for den tilpassede modellen med p parametre og ˆπ i estimerte sannsynligheter i denne modellen. Hvis D og X 2 er vesentlig større enn N p tyder det på at modellen passer dårlig. Ofte er imidlertid Y i -ene binære og betingelsen (a) og (b) er da ikke oppfylt.

39 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 39/4 To strategier for goodness-of fit med binære data Med kategoriske kovariater: Aggreger til binomiske data Hosmer-Lemeshow test Aggregering består i å Tell opp antall individer etter alle nivåer av de kategoriske variablene Tell opp antall Y i = 1 etter alle nivåer av de kategoriske variablene Gjør glm-tilpasning på aggregerte data Modellen er OK hvis D og X 2 små i forhold til χ 2 der Ñ p Ñ er antall komb. av nivåer over de kategoriske variablene Krever forventet antall suksesser/fiaskoer i hver gruppe > 5

40 Eks. Aggregering: Wilm s tumor > table(nwts$unfav) > table(nwts$stg) > nwts2 = aggregate(nwts$d,by=list(nwts$unfav,nwts$stg),fun=table) Group.1 Group.2 x.0 x > nwts2 = data.frame(unfav=nwts2$group.1,stg=nwts2$group.2, n=nwts2$x[,1]+nwts2$x[,2],d=nwts2$x[,2]) Forelesning 6 STK3100/4100 p. 40/4

41 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 41/4 Eks. Aggregering: Wilm s tumor > glmfit = glm(cbind(d,n-d) as.factor(unfav)+as.factor(stg),data=nw > glmfit (Intercept) unfavaggr factor(stgaggr)2 factor(stgaggr)3 factor(stga Degrees of Freedom: 7 Total (i.e. Null); 3 Residual Null Deviance: Residual Deviance: 3.33 AIC: > X2<-sum(residuals(glmfit,type="pearson")ˆ2) > X2 [1]

42 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 42/4 Eks. Aggregering: Wilm s tumor Siden residual devians D = 3.33 X 2 = 3.26 = Pearson kjikvadrat er lite sammenlignet med residualt antall frihetsgrader df = 3 virker modellen OK. Men er forventet antall suksesser og "fiaskoer" > 5? Ja, beregner disse: > round((nwts2$n*glmfit$fit,2) > round((nwts2$n*(1-glmfit$fit),2)

43 Hosmer-Lemeshow test Hvis mange kategoriske variable eller skala-kovariater vil ikke aggregering hjelpe. Kan istedet bruke Hosmer-Lemeshow test: Gjør glm-tilpasning Ordner individene etter tilpassede sannsynligheter ˆπ (1) ˆπ (2) ˆπ (n) Lager 10 like store grupper etter ordningen Beregner π gr = gj.sn. av ˆπ (i) i gruppe gr = 1, 2,...,10 Beregner antall observasjoner n gr og antall suksesser Y gr i gruppe gr Beregner Hosmer-Lemeshow X 2 hl = 10 gr=1 (Y gr n gr π gr ) 2 n gr π gr (1 π gr ) Hvis modellen er OK has tilnærmet X 2 hl χ2 8, dvs. df = 10 2 = 8 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 43/4

44 Forelesning 6 STK3100/4100 p. 44/4 Eks. Xhl 2 : Wilm s tumor > glmfit<-glm(d unfav+factor(stg)+yr.regis+age, data=nwts,family=binomial) > library(mkmisc) > HLgof.test(glmfit$fit,nwts$d) $C Hosmer-Lemeshow C statistic data: glmfit$fit and nwts$d X-squared = , df = 8, p-value = $H Hosmer-Lemeshow H statistic data: glmfit$fit and nwts$d X-squared = , df = 8, p-value =

45 Eks. X 2 hl : Wilm s tumor > glmfit<-glm(d unfav+factor(stg)+yr.regis+age,family=binomial) > kuttoff<-sort(glmfit$fit)[c(round(length(d)*(1:10)/10))] > gr<-rep(1,length(d)) > for (i in 1:9) gr<-gr+(glmfit$fit>kuttoff[i]) > table(gr) > ngr<-as.numeric(table(gr)) > ngr [1] > dgr<-numeric(0) > for (i in 1:10) dgr[i]<-sum(d[gr==i]) > dgr [1] > for (i in 1:10) pigr[i]<-mean(glmfit$fit[gr==i]) > round(pigr,3) [1] > X2HL<-sum((dgr-ngr*pigr)ˆ2/(ngr*pigr*(1-pigr))) > X2HL [1] > 1-pchisq(X2HL,8) [1] Forelesning 6 STK3100/4100 p. 45/4

Forelesning 6 STK3100/4100

Forelesning 6 STK3100/4100 Binomiske eller binære responser Forelesning 6 STK3100/4100 26. september 2008 Geir Storvik (S. O. Samuelsen) Plan for forelesning: 1. GLM Binære data 2. Link-funksjoner 3. Parameterfortolkning logistisk

Detaljer

Forelesning 7 STK3100

Forelesning 7 STK3100 Parameterfortolkning logistisk regresjon Forelesning 7 STK3100 6. oktober 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Parameterfortolkning logistisk regresjon 2. Parameterfortolkning andre linkfunksjoner

Detaljer

Forelesning 6 STK3100

Forelesning 6 STK3100 Scorefunksjon og estimeringsligninger for GLM Forelesning 6 STK3100 29. september 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Observert og forventet informasjon 2. Optimeringsrutiner 3. Iterative revektede

Detaljer

Forelesning 8 STK3100

Forelesning 8 STK3100 $ $ $ # Fortolkning av Dermed blir -ene Vi får variasjonen i '& '& $ Dermed har fortolkning som andel av variasjonen forklart av regresjonen Alternativt: pga identiteten Forelesning 8 STK3100 p3/3 Multippel

Detaljer

Generaliserte Lineære Modeller

Generaliserte Lineære Modeller Lineær regresjon er en GLM Generaliserte Lineære Modeller Responser (Y i -er) fra normalfordelinger Lineær komponent η i = β 0 + β 1 x i1 + + β p x ip E[Y i ] = µ i = η i, dvs. linkfunksjonen g(µ i ) =

Detaljer

Generaliserte Lineære Modeller

Generaliserte Lineære Modeller Eksponensiell klasse Generaliserte Lineære Modeller Y i f(y i ;θ i ) = c(y i ;φ) exp((θ i y i a(θ i ))/φ) µ i = E[Y i ] = a (θ i ) σ 2 i = Var[Y i ] = φa (θ i ) = φv (µ i ) STK3100-4. september 2011 Geir

Detaljer

Forelesning 10 STK3100

Forelesning 10 STK3100 Momenter i multinomisk fordeling Forelesning 0 STK300 3. november 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning:. Multinomisk fordeling 2. Multinomisk regresjon - ikke-ordnede kategorier 3. Multinomisk regresjon

Detaljer

Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM)

Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) p. 1/25 Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) STK3100-23. august 2010 Sven Ove Samuelsen/Anders Rygh Swensen Plan for første forelesning:

Detaljer

Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller

Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller p. 1/34 Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller STK3100/4100-23. august 2011 Geir Storvik (Oppdatert

Detaljer

Prøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011.

Prøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011. Prøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011. Oppgave 1 (a) Angi tetthet/punktsannsynlighet for eksponensielle klasser med og uten sprednings(dispersjons)ledd. Nevn alle fordelingsklassene du kjenner som kan

Detaljer

Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM)

Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) Literatur / program Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) STK3100-20. august 2007 Sven Ove Samuelsen Plan for første forelesning: 1. Introduksjon, Literatur, Program 2. ksempler 3. Uformell

Detaljer

Forelesning 7 STK3100/4100

Forelesning 7 STK3100/4100 Forelesning 7 STK3100/4100 p. 1/2 Forelesning 7 STK3100/4100 8. november 2012 Geir Storvik Plan for forelesning: 1. Kontinuerlige positive responser 2. Gamma regresjon 3. Invers Gaussisk regresjon Forelesning

Detaljer

Forelesning 5 STK3100/4100

Forelesning 5 STK3100/4100 Forelesning 5 STK3100/4100 p. 1/4 Forelesning 5 STK3100/4100 27. september 2012 Presentasjon laget av S. O. Samuelsen (modifisert av Geir H12) Plan for forelesning: 1. Poissonfordeling 2. Overspredning

Detaljer

Forelesning 7 STK3100

Forelesning 7 STK3100 ( % - -! " stimering: MK = ML Forelesning 7 STK3100 1 oktober 2007 S O Samuelsen Plan for forelesning: 1 Generelt om lineære modeller 2 Variansanalyse - Kategoriske kovariater 3 Koding av kategoriske kovariater

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i STK3100 Innføring i generaliserte lineære modeller Eksamensdag: Mandag 6. desember 2010 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet

Detaljer

Forelesning 7 STK3100/4100

Forelesning 7 STK3100/4100 Gamma regresjon Forelesning 7 STK3100/4100 26. september 2008 Geir Storvik Plan for forelesning: 1. Kontinuerlige positive responser 2. Gamma regresjon 3. Invers Gaussisk regresjon Modell: Har y Gamma(µ,ν),

Detaljer

Forelesning 11 STK3100/4100

Forelesning 11 STK3100/4100 Forelesning STK300/400 Plan for forelesning: 3. oktober 20 Geir Storvik. Generaliserte lineære blandede modeller Eksempler R-kode - generell formulering av modell Tillater innbygging av avhengigheter mellom

Detaljer

Forelesning 9 STK3100

Forelesning 9 STK3100 Poissonfordelingen: Forelesning 9 STK3100 20. oktober 2007 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Poissonregresjon 2. Overspredning 3. Quasi-likelihood 4. Andre GLM-er Poissonfordelingen kan oppstå ved

Detaljer

STK juni 2016

STK juni 2016 Løsningsforslag til eksamen i STK220 3 juni 206 Oppgave a N i er binomisk fordelt og EN i np i, der n 204 Hvis H 0 er sann, er forventningen lik E i n 204/6 34 for i, 2,, 6 6 Hvis H 0 er sann er χ 2 6

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Torsdag 14. desember 2006 Tid: 09:0013:00

EKSAMEN I FAG TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Torsdag 14. desember 2006 Tid: 09:0013:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist, tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 202 Statistiske slutninger for den eksponentielle fordelingsklasse. Eksamensdag: Fredag 15. desember 1995. Tid for eksamen:

Detaljer

Forelesning 3 STK3100

Forelesning 3 STK3100 Eks. Fødselsvekt mot svangerskapslengde og kjønn Forelesning 3 STK3100 8. september 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Generelt om lineære modeller 2. Variansanalyse - Kategoriske kovariater

Detaljer

Eksponensielle klasser

Eksponensielle klasser Eksponensielle klasser, de Jong & Heller, Kap. 3 Eksponensielle klasser STK3100-1. september 2008 Sven Ove Samuelsen En stokastisk variabel Y sies å ha fordeling i den eksponensielle fordelingsklasse dersom

Detaljer

Forelesning 8 STK3100/4100

Forelesning 8 STK3100/4100 Forelesning STK300/400 Plan for forelesning: 0. oktober 0 Geir Storvik. Lineære blandede modeller. Eksempler - data og modeller 3. lme 4. Indusert korrelasjonsstruktur. Marginale modeller. Estimering -

Detaljer

Tilleggsoppgaver for STK1110 Høst 2015

Tilleggsoppgaver for STK1110 Høst 2015 Tilleggsoppgaver for STK0 Høst 205 Geir Storvik 22. november 205 Tilleggsoppgave Anta X,..., X n N(µ, σ) der σ er kjent. Vi ønsker å teste H 0 : µ = µ 0 mot H a : µ µ 0 (a) Formuler hypotesene som H 0

Detaljer

Eksamen i: STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 31. mai 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget

Eksamen i: STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 31. mai 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget FA K U L T E T FO R NA T U R V I T E N S K A P O G TE K N O L O G I EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 31. mai 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget

Detaljer

Forelesning 9 STK3100

Forelesning 9 STK3100 > = = @ A ( A ( + + arameterfortolkning listisk regresjon Forelesning STK300 oktober 00 S O Samuelsen lan for forelesning arameterfortolkning listisk regresjon arameterfortolkning andre linkfunksjoner

Detaljer

Forelesning STK september 2011

Forelesning STK september 2011 Forelesning STK3100 12. setember 2011 Geir Storvik (S. O. Samuelsen) Plan for forelesning: 1. Mer om evians 2. Devians og Gooness-of-fit tester 3. GLM og resiualer En Mettet (saturate) moell er en moell

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Mandag 1. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1 Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30 18.00. Oppgavesettet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet

Detaljer

Eksponensielle klasser og GLM

Eksponensielle klasser og GLM !! 3 ksponensielle klasser, Dobson, Kap 3 ksponensielle klasser GLM n stokastisk variabel sies å ha fordeling i den eksponensielle fordelingsklasse som tettheten pktsannsh til kan skrives på formen STK3-3

Detaljer

Logistisk regresjon 1

Logistisk regresjon 1 Logistisk regresjon Hovedideen: Binær logistisk regresjon håndterer avhengige, dikotome variable Et hovedmål er å predikere sannsynligheter for å ha verdien på avhengig variabel for bestemte (sosiale)

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. B154 «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark (4 sider) med egne notater. Godkjent kalkulator.

EKSAMENSOPPGAVE. B154 «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark (4 sider) med egne notater. Godkjent kalkulator. Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-2004 Dato: 29.september 2016 Klokkeslett: 09 13 Sted: Tillatte hjelpemidler: B154 «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og

Detaljer

7. november 2011 Geir Storvik

7. november 2011 Geir Storvik Forelesning 13 STK3100/4100 Plan for forelesning: 7. november 2011 Geir Storvik Generaliserte lineære blandede modeller 1. Sammenlikning ulike estimeringsmetoder 2. Tolkning parametre 3. Inferens Konfidensintervaller

Detaljer

(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].

(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2018) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)

Detaljer

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009:

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Beregning av sannsynlighet i en binomisk forsøksrekke generelt Sannsynligheten for at suksess intreffer X

Detaljer

Løsningsforslag STK1110-h11: Andre obligatoriske oppgave.

Løsningsforslag STK1110-h11: Andre obligatoriske oppgave. Løsningsforslag STK1110-h11: Andre obligatoriske oppgave. Oppgave 1 a) Legg merke til at X er gamma-fordelt med formparameter 1 og skalaparameter λ. Da er E[X] = 1/λ. Små verdier av X tyder derfor på at

Detaljer

Forelesning 6 STK3100

Forelesning 6 STK3100 Forelesning STK3 september 7 S O Samuelsen Plan for forelesning: Mer om evians GLM resiualer 3 Test for H : Offset Observert forventet informasjon Optimeringsrutiner Iterative revektee minste kvarater

Detaljer

Forelesning 9 STK3100/4100

Forelesning 9 STK3100/4100 p. 1/3 Forelesning 9 STK3100/4100 Plan for forelesning: 18. oktober 2012 Geir Storvik 1. Lineære blandede modeller 2. Marginale modeller 3. Estimering - ML og REML 4. Modell seleksjon p. 2/3 Modell med

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE STA «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator. Rute.

EKSAMENSOPPGAVE STA «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator. Rute. Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-2004. Dato: Mandag 24. september 2018. Klokkeslett: 09-13. Sted: Administrasjonsbygget K1.04 Tillatte hjelpemidler: «Tabeller og

Detaljer

Forelesning 11 STK3100/4100

Forelesning 11 STK3100/4100 Forelesning 11 STK3100/4100 Plan for forelesning: 1. november 2012 Geir Storvik 1. Generaliserte lineære blandede modeller Eksempler R-kode GLMM - generell formulering av modell Likelihood og estimering

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1000 Innføring i anvendt statistikk Eksamensdag: Mandag 3. desember 2018. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas Tlf: 988 47 649 Eksamensdato: 22. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09.00-13.00

Detaljer

(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].

(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2017) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)

Detaljer

EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER

EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av?? Bokmål Kontakt under eksamen: Thiago G. Martins 46 93 74 29 EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Torsdag

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Bio 2150A Biostatistikk og studiedesign Eksamensdag: 6. desember 2013 Tid for eksamen: 14:30-17:30 (3 timer) Oppgavesettet er

Detaljer

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100

Detaljer

EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLAR

EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLAR Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Nynorsk Kontakt under eksamen: Thiago G. Martins 46 93 74 29 EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLAR Torsdag

Detaljer

Forelesning 9 STK3100/4100

Forelesning 9 STK3100/4100 Forelesning 9 STK3100/4100 Plan for forelesning: 17. oktober 2011 Geir Storvik 1. Lineære blandede modeller 2. Marginale modeller 3. Estimering - ML og REML 4. Modell seleksjon p. 1 Modell med alle antagelser

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 13: Lineær regresjon og korrelasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag http://wiki.math.ntnu.no/st0202/2012h/start 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons-

Detaljer

j=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader.

j=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader. FORMELSAMLING TIL STK2120 (Versjon av 30. mai 2012) 1 Enveis variansanalyse Anta at Y ij = µ + α i + ɛ ij ; j = 1, 2,..., J i ; i = 1, 2,..., I ; der ɛ ij -ene er uavhengige og N(0, σ 2 )-fordelte. Da

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK2120 Statistiske metoder og dataanalyse 2. Eksamensdag: Fredag 7. juni 2013. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er

Detaljer

EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER

EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Ingelin Steinsland (92 66 30 96) EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Tirsdag

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE STA «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator. Rute.

EKSAMENSOPPGAVE STA «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator. Rute. Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1001. Dato: Tirsdag 26. september 2017. Klokkeslett: 09 13. Sted: Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler: «Tabeller og formler i statistikk»

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER STAT100 Vår 2011

EKSAMENSOPPGAVER STAT100 Vår 2011 EKSAMENSOPPGAVER STAT100 Vår 2011 Løsningsforslag Oppgave 1 (Med referanse til Tabell 1) a) De 3 fiskene på 2 år hadde lengder på henholdsvis 48, 46 og 35 cm. Finn de manglende tallene i Tabell 1. Test

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas Tlf: 988 47 649 Eksamensdato: 4. juni 2016 Eksamenstid (fra til): 09.00

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE STA-2004.

EKSAMENSOPPGAVE STA-2004. Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-2004. Dato: Torsdag 28. september 2017. Klokkeslett: 09 13. Sted: Tillatte hjelpemidler: Teorifagsbygget. «Tabeller og formler i

Detaljer

Kategoriske data, del I: Kategoriske data - del 2 (Rosner, ) Kategoriske data, del II: 2x2 tabell, parede data (Mc Nemar s test)

Kategoriske data, del I: Kategoriske data - del 2 (Rosner, ) Kategoriske data, del II: 2x2 tabell, parede data (Mc Nemar s test) Kategoriske data, del I: Kategoriske data - del (Rosner, 10.3-10.7) 1 januar 009 Stian Lydersen To behandlinger og to utfall. (generelt: variable, verdier). x tabell. Uavhengige observasjoner Sammenheng

Detaljer

DEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK

DEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK INNHOLD 1 INNLEDNING 15 1.1 Parallelle verdener........................... 18 1.2 Telle gunstige.............................. 20 1.3 Regneverktøy og webstøtte....................... 22 1.4 Oppgaver................................

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk H2015 TMA4240 Statistikk H2015 Funksjoner av stokastiske variabler (kapittel 7+notat) Fokus på start med kumulativ fordeling 7.2 Funksjon av en SV (inkludert en-entydighet). Fordeling til max/min (fra notat).

Detaljer

Generelle lineære modeller i praksis

Generelle lineære modeller i praksis Generelle lineære modeller Regresjonsmodeller med Forskjellige spesialtilfeller Uavhengige variabler Én binær variabel Analysen omtales som Toutvalgs t-test én responsvariabel: Y en eller flere uavhengige

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST110 Statistiske metoder og dataanalyse Eksamensdag: Mandag 30. mai 2005. Tid for eksamen: 14.30 20.30. Oppgavesettet er på

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1120 Statistiske metoder og dataanalyse 2 Eksamensdag: Mandag 4. juni 2007. Tid for eksamen: 14.30 17.30. Oppgavesettet er

Detaljer

Bioberegninger, ST1301 Onsdag 1. juni 2005 Løsningsforslag

Bioberegninger, ST1301 Onsdag 1. juni 2005 Løsningsforslag Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bioberegninger, ST1301 Onsdag 1. juni 2005 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Verdien av uttrykkene blir som følger: >

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. 1) Oppgaver fra boka:

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. 1) Oppgaver fra boka: MOT30 Statistiske metoder, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave.5 (.3:5) ) Først om tolking av datautskriften. Sammendrag gir følgende informasjon: Multippel R =R,

Detaljer

Formelsamling i medisinsk statistikk

Formelsamling i medisinsk statistikk Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3

Detaljer

Tillatte hjelpemidler: C3: alle typer kalkulator, alle andre hjelpemidler

Tillatte hjelpemidler: C3: alle typer kalkulator, alle andre hjelpemidler EKSAMENSOPPGAVER Institutt: Eksamen i: Tid: IKBM STAT100 Torsdag 13.des 2012 STATISTIKK 09.00-12.30 (3.5 timer) Emneansvarlig: Solve Sæbø ( 90065281) Tillatte hjelpemidler: C3: alle typer kalkulator, alle

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller

Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: August 2014 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforsalg til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015

Løsningsforsalg til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Løsningsforsalg til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 R-kode for alle oppgaver er gitt bakerst. Oppgave 1 (a) Boksplottet antyder at verdiene er høyere for kvinner enn for menn.

Detaljer

Logistisk regresjon 2

Logistisk regresjon 2 Logistisk regresjon 2 SPSS Utskrift: Trivariat regresjon a KJONN UTDAAR Constant Variables in the Equation B S.E. Wald df Sig. Exp(B) -,536,3 84,56,000,25,84,08 09,956,000,202 -,469,083 35,7,000,230 a.

Detaljer

Introduksjon Lineære blanda modellar Generaliserte lineære blanda modellar Analyser av modellar Eit randproblem Oppsummering. Blanda modellar i R

Introduksjon Lineære blanda modellar Generaliserte lineære blanda modellar Analyser av modellar Eit randproblem Oppsummering. Blanda modellar i R Blanda modellar i R Jorunn Slagstad Universitetet i Bergen 20. desember 2006 1 Introduksjon 2 Lineære blanda modellar 3 Generaliserte lineære blanda modellar 4 Analyser av modellar 5 Eit randproblem 6

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER

EKSAMEN I EMNE TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73 59 35 38 EKSAMEN I EMNE TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER

Detaljer

Oppsummering av STK2120. Geir Storvik

Oppsummering av STK2120. Geir Storvik Oppsummering av STK2120 Geir Storvik Vår 2011 Hovedtemaer Generelle inferensmetoder Spesielle modeller/metoder Bruk av R Vil ikke bli testet på kommandoer, men må forstå generelle utskrifter Generelle

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30

Detaljer

Forelesning 5 STK3100

Forelesning 5 STK3100 Devians Forelesning 5 STK3100 22. setember 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Mer om evians 2. Devians og Gooness-of-fit tester 3. GLM og resiualer 4. Observert og forventet informasjon 5. Otimeringsrutiner

Detaljer

vekt. vol bruk

vekt. vol bruk UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: 10. desember 2010. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er

Detaljer

Prøveeksamen STK2100 (fasit) - vår 2018

Prøveeksamen STK2100 (fasit) - vår 2018 Prøveeksamen STK2100 (fasit) - vår 2018 Geir Storvik Vår 2018 Oppgave 1 (a) Vi har at E = Y Ŷ =Xβ + ε X(XT X) 1 X T (Xβ + ε) =[I X(X T X) 1 X T ]ε Dette gir direkte at E[E] = 0. Vi får at kovariansmatrisen

Detaljer

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser. ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35

Detaljer

Kapittel 6 - modell seleksjon og regularisering

Kapittel 6 - modell seleksjon og regularisering Kapittel 6 - modell seleksjon og regularisering Geir Storvik 21. februar 2017 1/22 Lineær regresjon med mange forklaringsvariable Lineær modell: Y = β 0 + β 1 x 1 + + β p x p + ε Data: {(x 1, y 1 ),...,

Detaljer

Fra boka: 10.32, 10.33, 10.34, 10.35, 10.3 og (alle er basert på samme datasett).

Fra boka: 10.32, 10.33, 10.34, 10.35, 10.3 og (alle er basert på samme datasett). Fra boka: 10.32, 10.33, 10.34, 10.35, 10.3 og 10.37 (alle er basert på samme datasett). ############ OPPGAVE 10.32 # Vannkvalitet. n=49 målinger i ulike områder. # Forutsetter at datasettene til boka (i

Detaljer

Ekstraoppgaver STK3100 h10

Ekstraoppgaver STK3100 h10 Ekstraoppgaver STK3100 h10 Oppgave 1 En-veis variansanalyse modellen kan formuleres som Y ij = µ + α i + ɛ ij (1) der α i = 0 og ɛ ij er i.i.d N(0, σ 2 ). Her representerer er Y ij j te observasjon fra

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet

Detaljer

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"

Inferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - Fornuftig verdi Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1100 Statistiske metoder og dataanalyse 1 - Løsningsforslag Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30

Detaljer

Eksamensoppgave i ST2304 Statistisk modellering for biologer og bioteknologer

Eksamensoppgave i ST2304 Statistisk modellering for biologer og bioteknologer Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST2304 Statistisk modellering for biologer og bioteknologer Faglig kontakt under eksamen: Ola H. Diserud Tlf.: 93218823 Eksamensdato: Onsdag 21. mai 2014

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon

Detaljer

Notater i ST2304 H. T. L. 1 Fordelingsfunksjonene i R α-kvantilen... 3

Notater i ST2304 H. T. L. 1 Fordelingsfunksjonene i R α-kvantilen... 3 Notater i ST2304 H. T. L Innhold 1 Fordelingsfunksjonene i R 2 1.1 α-kvantilen....................................... 3 2 Fisher test for ubalanserte modeller 4 2.1 Test mellom alternative modeller...........................

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK2120 Skisse til løsning/fasit. Eksamensdag: Torsdag 5. juni 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider.

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

Eksamensoppgåve i TMA4267 Lineære statistiske modellar

Eksamensoppgåve i TMA4267 Lineære statistiske modellar Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4267 Lineære statistiske modellar Fagleg kontakt under eksamen: Øyvind Bakke Tlf: 73 59 81 26, 990 41 673 Eksamensdato: 22. mai 2015 Eksamenstid (frå

Detaljer

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 11. november 2017) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET

Detaljer

Eksamen i: STAT100 Statistikk. Tid: Tirsdag (3.5 timer)

Eksamen i: STAT100 Statistikk. Tid: Tirsdag (3.5 timer) EKSAMENSOPPGAVE Institutt: IKBM Eksamen i: STAT100 Statistikk emnekode emnenavn Tid: Tirsdag 13.12 2016 09.00 12.30 (3.5 timer) ukedag og dato kl. fra til og antall timer Emneansvarlig: Solve Sæbø Navn

Detaljer

Ridge regresjon og lasso notat til STK2120

Ridge regresjon og lasso notat til STK2120 Ridge regresjon og lasso notat til STK2120 Ørulf Borgan februar 2016 I dette notatet vil vi se litt nærmere på noen alternativer til minste kvadraters metode ved lineær regresjon. Metodene er særlig aktuelle

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE

EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Fredag 26. mai 2006

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik

Detaljer