Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit Kontekesamen TFY415/FY16 Innføring i kvantefysikk 15 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU August 15 kl. 9.-13. Tillatne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator Rottmann: Matematisk Formelsamling Rottmann: Matematische Formelsammlung Barnett & Cronin: Mathematical Formulae Angell og Lian: Fysiske størrelser og enheter: navn og symboler Oppgåve 1 a) Vi har [V (r)] J og difor [ar] J. Dette impliserer at [a] j/m N. αr er dimensjonslaus sidan dette leddet er i eksponenten. Dette impliserer at [α] 1/m. b) Skissa er vist i figur 1. For at prøvebølgjefunksjon skal vere akseptabel, må den vere normerbar. Dette impliserer (etter vinkelintegrasjonen) R (r)r dr < A e αr r dr <. (1) 1
Figure 1: Radialbølgjefunksjonen for α 1, α og α 1. Dette er oppfylt for α >.. c) Normeringsintegralet er! 1 ψ d 3 r A r e αr dr A r e αr dr Y lm(θ, φ) dω A 1 4α 3, () der vi i tredje linje har brukt at Y lm (θ, φ) er ortonormert. Dette gjev der fasen til ψ er reell. A α 3, (3) d) Midlere potensiell energi er gjeven ved integralet V (α) a ψrψ d 3 r 4aα 3 r 3 e αr dr Ylm(θ, φ) dω 4aα 3 r 3 e αr dr 3a α. (4) e) Midlere kinetisk energi finn ein ved innsetting av ψ (x) i uttrykket for K. Dette gjev { [ K (α) d 3 r ψ h m r + r r ˆL ]} h ψ r. (5)
Vi bruker nå at ψ er eigenfunksjon til ˆL med eigenverdi h l(l + 1). Etter integrasjon over vinklane får ein K (α) h m 4α3 h m 4α3 dr r e αr [ r + r ] l(l + 1) e αr r r [ α r αr l(l + 1) ] e αr dr h m α [1 + l(l + 1)]. (6) Dette er på forma som er oppgjeven i oppgåva med B h m. (7) f) Vi definerer C h [1 + l(l + 1)] slik at forventningsverdien til energien m kan skrivast som Vi skal minimalisere α som ein finn ved å løyse H (α) 3a α + Cα. (8) Ein får då d H (α) dα α C 3a α. (9), (1) med løysing α ( ) 1 3a 3. (11) 4C Innsett i likninga får ein ved litt opprydding H (α ) ( 9a C 4 ( 9a 4 ) 1 3 ( ) 1 + 1 3 ) 1 3 ( ) ( 1 + 1 h ) 1 3 3 [1 + l(l + 1)] 1 3. (1) m Her ser ein at l gjev lågast energi. Det effektive potensialet V eff (r) V (r) + h l(l + 1) mr, (13)
er minst for l. Ein ventar då å finne grunntilstanden for l og variasjonsmetoden viser dette. Merknad: For å vise at verdien α som vi har funne tilsvarer eit minimum, må ein sjekke den andrederiverte av H (α). Ein får som viser at dette er minimum. d H (α) dα C + 3 α >, (14) Oppgåve a) Ved innsetting får ein ˆL z f(φ, θ) hf(φ, θ), (15) ˆL f(φ, θ) h f(φ, θ), (16) Dersom vi bruker eigenverdilikningane ˆL z Y lm (θ, φ) hy lm (θ, φ) og ˆL Y lm (θ, φ) h l(l + 1)Y lm (θ, φ), finn vi eigenverdiane m 1 og l 1. b) Ved rotasjon ein vinkel π rundt y-aksen har vi transformasjonane x z, (17) y y, (18) z x. (19) Dette impliserer sin θe iφ sin θ(cos θ + i sin θ) x r + iy r z r + iy r cos θ + i sin θ sin φ. () Dette gjev g(θ, φ) 3 ( cos θ + i sin θ sin φ). (1) 8π c) Ved innsetting får ein at g(θ, φ) er ein eigentilstand til ˆLx med eigenverdi h. Altså er m 1. Sidan vi har rotert ein eigentilstand til ˆL z med eigenverdim 1 rundt ein vinkel π rundt y-aksen får vi ein eigentilstand til
ˆL x med eigenverdi m 1. d) Vi kan skrive g(φ, θ) 3 ( cos θ + i sin θ sin φ) 8π [ 3 cos θ + 1 8π sin θ ( e iφ + e iφ)]. () Det første leddet er ein eigenfunksjon til ˆL z med eigenverdi. Det vil seie m. Det andre leddet er ein eigenfunksjon til ˆL z med eigenverdi h. Det vil seie m 1. Det tredje leddet er ein eigenfunksjon til ˆL z med eigenverdi h. Det vil seie m 1. Moglege måleresultat er såleis m, ±1 og g(θ, φ) er ikkje ein eigenfunksjon til ˆLz. L z er difor ikkje skarp i denne tilstanden. Merknad: Sidan koeffisienten foran dei to ledda inni hakeparantesen har same absolutverdi, er sannsynlegheiten for å måle m 1 og m 1 like store. Middelverdien er difor ˆL z. Oppgåve 3 a) Dersom ˆF ˆF, har vi ψ ˆF ψ dτ ψ ˆF ψ dτ ( ˆF ψ) ψ dτ, (3) der vi andre linje har brukt definisjonen av ˆF. Dersom ψ er eigenfunksjon ψtil ˆF med eigenverdi f finn vi f ψ ψ dτ (fψ) ψ dτ f ψ ψ dτ. (4) Sidan normeringsintegralet ikkje er null finn vi f f eller at f er reell. Vidare har vi med ˆF d og definisjonen av ˆF ψ (x) ˆF ψ(x) ( ˆF ψ(x) ) ψ(x) ( ) d ψ(x) ψ(x). (5)
Delvis integrasjon gjev ψ (x) ˆF ψ(x) dψ (x) ψ(x) dψ (x) x x dψ (x) dψ(x) dψ(x), (6) der vi har brukt at ψ(± ) sidan ψ(x) er kvadratisk integrerbar. Integrasjon ein gong til gjev ψ (x) ˆF ψ(x) ψ dψ(x) x + ψ (x) d ψ(x) x ψ (x) d ψ(x) ψ (x) ˆF ψ(x), (7) der vi har nytta at ψ (± ) sidan ψ(x) er kvadratisk integrerbar. Sidan ψ(x) er ein vilkårleg kvadratisk integrerbar funksjon har vi ˆF ˆF som operatoridentitet og ˆF er difor hermitesk. b) Vi antek det motsette, nemleg at det finst to lineært uavhengige løysingar av Schrödingerlikninga med same energi E, Divisjon gjev da h m ψ 1 (E V )ψ 1, (8) h m ψ 1 (E V )ψ. (9) ψ 1 ψ ψ 1 ψ. (3) Eller Dette kan ein omskrive til Integrasjon gjev da ψ 1ψ ψ ψ 1. (31) d (ψ 1ψ ψ ψ 1 ). (3) ψ 1ψ ψ ψ 1 C, (33)
der C er ein integrasjonskonstant. Denne likninga gjeld for alle x, også x ±. I x ± er ψ 1 ψ sidan dei representerer bundne tilstandar. Venstre sida av (33) er difor lik null og vi finn C. Dette gjev Integrasjon gjev ψ 1 ψ 1 ψ ψ. (34) ln ψ 1 ln ψ + K, (35) der K er ein ny integrasjonskonstant. Tilslutt kan ein skrive ψ 1 e K ψ. (36) Altså er ψ 1 og ψ proporsjonale og difor lineært avhengige. Vi antok at ψ 1 og ψ var lineært uavhengige og har såleis kome fram til ei sjølvmotseiing. Altså er bundne tilstandar i ein romleg dimensjon ikkje degenererte. c) Dersom vi bruker klassisk fysikk vil partikkelen sprette tilbake viss E < V (1%refleksjon). Dersom E > V vil partikkelen beveges seg mot høgre med redusert hastighet (1% transmisjon) Kvantemekanisk vil refleksjonskoeffisienten, det vil seie sannsynlegheiten for at partikkelen blir reflektert v ere lik 1 når E < V. Dette er klassisk oppførsel. Når E > V er refleksjonskoeffisienten ein avtagande funksjon av E, men er positiv. Dette er altså ikkje-klassisk oppførsel. Sjå figur. Figure : Refleksjonskoeffisient for eit potensialsprang som funksjon av E/V. d) I potensrekkjemetoden skriv vi løysinga til ei differensiallikning som ei rekkje f(x) a n x n+s, (37) n1
der s er eit heiltal. Ein finn uttrykke for dei ulike deriverte av f(x) ved å derivere kvart ledd i rekkja. Til dømes er f (x) a n (n + s)x n+s 1, (38) n1 Ein sett nå inn for dei ulike ledda i differensiallikninga og samlar ledd med same potens x k for alle k. Koeffisienten foran må då vere identisk lik null og dette gjev ein rekursjonsformel der a n er uttrykt ved hjelp av lågare koeffisientar, vanlegvis a n 1 og a n. Av og til må ein krevje at rekkja bryt av, det vil seie at a k for k n for passe n (bundne tilstandar). Døme på bruk av potensrekkjemetoden er harmonisk oscillator, Legendres differensiallikning og radiallikninga for hydrogenatomet.