7/7/5 Kfli - Vigurreikningur Skoðum fyrst einvíð færslu, þ.e. færslu eftir tlnlínu Skilgr..: Færsl d eftir tlnlínunni milli punktn x og x er d = x x Færsl upp eftir tlnlínu (til hægri) er jákvæð, en færsl til vinstri er neikvæð d = x x > x x Undirúningsnámskeið í stærðfræði.kennslustund Vektorr Snjólug Steinrsdóttir Vigrr Vigur er færsl milli tveggj punkt í hnitkerfi, t.d. milli punktnn = (x, y ) og = (x, y ). Skilgr..: Vigurinn er tlntvennd og er rituð sem dálkur d x x x d y y y Tölurnr d x og d y nefnst hnit vigursins Vigrr Punkturinn er upphfspunktur vigursins Punkturinn er endpunktur vigursins = (x,y ) x y y = (x,y ) x (x, y ) Vigrr Vigur sem táknr færslu milli og er táknður með Vigur sem er ekki með neinn ákveðinn upphfspunkt er táknður með, eð Skilgr..3: Núllvigurinn er með sm upphfsog endpunkt: = eð Vigrr Smi vigurinn getur hft hvð upphfs- punkt sem er, en ef stærð eð stefn vigurs reytist, þá er ekki lengur um sm vigurinn ð ræð.
7/7/5 Vigrr Skilgr..4: Vigurinn frá upphfspunkti hnitkerfisins O = (,) til punktsins P = (x,y) nefnist stðrvigur punktsins P x OP y Vigurinn frá O til P hefur því sömu hnit og punkturinn P Smlgning vigr Skilgr..5: Summ vigrnn og er + = + = = + = Vigurreikningr Regl.: Víxlregln + = + Þ.e: Ekki skiptir máli í hvð röð vigrr eru lgðir smn Vigurreikningur Regl.: Tengiregln (+)+ = +(+) Þ.e: Ekki þrf ð not svig þegr lgðir eru smn mrgir vigrr = + = + + = + + ++ + Vigurreikningr Regl.3: Innskotsregln = + Vigurreikningr Frádráttur er ndhverf ðgerð við smlgningu. - táknr þnn vigur sem leggj þrf við svo ð út komi -
7/7/5 Hlltl Skilgr..6: Hlltl vigursins er h ef. Ef =, þá hefur vigurinn eng hlltölu. Skilgr..7: Tveir vigrr eru sgðir ver smsíð ef þeir hf sömu hlltölun. Þett er ritð: Núllvigurinn er ekki smsíð neinum vigri. h Hlltl línu Jfnn fyrir hlltl línu sem fer í gegnum punktn (x, y ) og (x, y ) er sýnd hér... y P y P x x lmenn jfn línu er: y = hx+q Setjum inn hnit punktnn: y hx q y hx q Drögum þá seinni frá þeirri fyrri, þá fáum við ð lokum: y y h x x Lengd vigurs Skilgr..9: Ef vigurinn hefur hnitin og, þá er lengd vigursins runtln. lndð mrgfeldi Þegr vigur er mrgfldður með tölu, þá kemur út nýr vigur með sömu hlltölu, en nýj lengd. Skilgr..: lndð mrgfeldi vigursins og tölunnr s er nýr vigur s: s s s 5 6 lndð mrgfeldi - reglur Hér eru ýmsr reglur þr sem lndð mrgfeldi kemur fyrir: s = s Ef s =, þá er s= eð = Ef og s, þá er s Ef og, þá er til ein og ðeins ein tl s, þnnig ð = s lndð mrgfeldi - reglur Hér eru fleiri reglur sem yggjst á lönduðu mrgfeldi: s(t) = (st) (s + t) = s + t t( + ) = t + t = 3
7/7/5 Smstefn eð ggnstefn Ef vigurinn er mrgfeldi f vigrinum, þá eru þeir nnð hvort smstefn eð ggnstefn. Þeir eru smstefn ef = s og s > Þeir eru ggnstefn ef = s og s < Einingvigrr Einingvigrr hf lltf lengdin. Mjög mikilvæg sértilfelli eru einingvigrrnir sem eru smstefn x-ás og y-ás, oft táknðir með i og j. i j Með þessum vigrum er hægt ð umrit t.d. vigurinn á nýjn og þægilegn hátt: i j Smlgningrndhverf Ef summ tveggj vigr er núll, þá eru þeir smlgningrndhverfur hvors nnrs. Vigrrnir og eru smlgningr-ndhverfur, vegn þess ð +(-) = Vigrrnir P og P eru einnig smlgningrndhverfur. Þá er hægt ð umskrif innskotsreglun: P P P P P P ð leys upp vigur Sérhvern vigur er hægt ð rit á forminu = s + t, þr sem og eru einhverjir ósmsíð vigrr, hvorugur með lengd. Þá er sgt ð úið sé ð leys vigurinn upp eftir og. t s Innfeldi Innfeldi vigrnn og er runtln: = + Innfeldi kllst einnig depilmrgfeldi. Hornið á milli vigrnn í innfeldi hefur áhrif á svrið. Ef hornið er hvsst (t.d. 3 ), þá er innfeldið jákvætt, ef vigrrnir eru hornréttir, þá er innfeldið núll og ef hornið er gleitt (t.d. ), þá er innfeldið neikvæð tl. 3 Reglur um innfeldi Víxlregln: = Dreifiregln: (+) = + (t) = (t) = t( ) (s + t) = s( ) + t( ) (+) (+d) = + d + + d = + = + + - = + - 4
7/7/5 Reglur um innfeldi, frh = ½ ( + - - ) = ½ ( + - - ) Regl.3: Ef vigrrnir og eru hornréttir (), þá gildir ð =. Regl.4: Fyrir hornrétt vigr () gildir um hlltölur þeirr ð: h h = - Sm gildir um hornréttr línur, mrgfeldi hlltln þeirr er -. Þvervigur Snúningur í grfi, t.d. um 9, er hugsður rngsælis, þ.e. frá x-ás í áttin ð y-ás. Skilgr..4: Þvervigurinn f, sem er ritður Þ, er sá vigur sem fæst þegr vigrinum er snúið um 9. Dæmi: i Þ = j, j Þ = -i j i Þ 6 Regl.5: (t) Þ = t Þ (+) Þ = Þ + Þ Regl.6: Ef Þvervigur, frh. þá er Þ. Kfli - Hornföll Lín er sögð ver stefnd ef henni tilheyrir ákveðin stefn. T.d, þá eru ásrnir í hnitkerfum með stefnur. Færsl í stefnu línunnr er þá ýmist jákvæð eð neikvæð. Sléttur flötur er sgður ver stefndur ef honum tilheyrir ákveðin umferðrstefn. Snúningur í umferðrstefnu fltrins er þá jákvæður, en neikvæður í hin áttin. 8 Snúningur og horn Þegr línu m er snúið þnnig ð hún lendi í sömu stefnu og línn n, þá er hornið sem svrr til snúningsins táknð með (m,n). Gráðutl snúningsins er ekki r ein tl, t.d. 5, heldur óendnleg mrgr tölur, t.d. 5 + h 36. (h = heil tl). n (m,n) m Stefnuhorn Stefnuhorn vigurs í hnitkerfi, er hornið frá einingrvigrinum i til vigursins. i (i,) Hornið frá vigrinum til vigursins er: (,) = (i,) - (i,) 5
7/7/5 ogeining (rdin) Stærð horns er oft mæld í ogeiningum (rd). Ein ogeining, mæld eftir hring-ferli, er jfn löng og rdíus hringsins. r Ummál hrings = r = 36 r 36 r 8 ogeining (rdín) ogmál horns er /r, þr sem er lengd ogns á hring með rdíus r. Horn er með stærðin rd ef lengd ogns er jöfn rdíus hringsins. Einn rdíni = 8 / = 57.958 Til ð reyt úr rd yfir í gráður, þá er mrgfldð með 8/. Heill hringur er lltf rdínr. Hornföll Við notum einingrhringinn, einingrvigur e og stefnupunktinn P til ð skilgrein hornföllin. O e v P = (os, sin ) os e sin Hornföll, frh. os = x-hnit punktsins P sin = y-hnit punktsins P tn = sin /os (ef os ) ot = os /sin (ef sin ) Regl.3: os + sin = og: tn er hlltl vigursins e 33 Myndræn túlkun á tn og ot Regl.4: Línn gegnum punktn O og P sker línurnr x = og y = í punktum sem smsvr tn og ot (y = ) P = (ot, ) e T (x = ) T = (, tn ) Nokkur gildi hornfllnn Tfln sýnir gildi hornfllnn fyrir hornin, 3, 45, 6, 9. /6 /4 /3 / sin ½ / 3/ os 3/ / ½ tn /3 3 ósk. ot ósk. 3 /3 6
7/7/5 Horn milli vigr Regl.6: Ef vigrrnir og og hornið á milli þeirr er, þá gildir ð = os Þ = sin Hornfllreglur () Regl.7: sin( + h ) = sin(), h er heil tl os( + h ) = os(), h er heil tl tn( + h ) = tn(), h er heil tl ot( + h ) = ot(), h er heil tl Skýringin er ð hornföllin eru lotuundin, hnit punktsins P reytst ekki ef heilli eð hálfri umferð er ætt við hornið. 38 Hornfllreglur () Regl.8: sin(-) = -sin() os(-) = os() tn(-) = -tn() ot(-) = -ot() sin( ) - os( ) Hornið - fæst með því ð spegl þð um x-ásinn. 39 Hornfllreglur (3) Regl.9: sin(+) = -sin() os(+) = -os() tn(+) = tn() ot(+) = ot() sin() Hornið + fæst með því ð æt hálfri umferð við hornið. os() 4 Hornfllreglur (4) Regl.: sin(-) = sin() os(-) = -os() tn(-) = -tn() ot(-) = -ot() sin() Hornið - fæst með því ð spegl hornið um y-ásinn. os() 4 Hornfllreglur (5) Regl.: sin(+/) = os() os(+/) = -sin() tn(+/) = -ot() ot(+/) = -tn() sin() Hornið +/ fæst með því ð æt 9 við hornið. os() 4 7
7/7/5 Hornfllreglur (6) Regl.: sin(/-) = os() os(/-) = sin() tn(/-) = ot() ot(/-) = tn() sin() os() Hornið /- fæst með því ð spegl hornið um 45 línun. 43 Regl.3: Tengsl hornfll os( ) sin( ) tn ( ) Þessi regl fæst með því ð nýt reglun: os () + sin () =, og sin() = os() tn() tn( ) tn ( ) 44 3. Kfli - þríhyrningr Regl 3.: Fltrmál þríhyrningsins er fundið með reglunni: ( ) ) Þ sin( ) h 45 Sínusregln Regl 3.: Um gildir sin( ) sin( ) R sin( ) R táknr rdíus umhrings þríhyrningsins Kósínusregln Regl 3.3: Um gildir = + os() = + os() = + os() 4. Kfli - Keilusnið lmenn jfn hrings: Hringferill er sfn punkt P = (x, y) sem eru í fjrlægðinni r frá miðpunktinum = (x, y ). Ef Q = (x, y ), þá gildir ð: r = (x-x ) + (y-y ) Þessi jfn kllst lmenn jfn hrings. y y o x o r P Q x 48 8
7/7/5 5. Kfli Stikun hrings Punkturinn P = (x, y) liggur á hring sem er með miðjun = (x, y ). Vigurinn frá til P hefur þá lengdin r, sem er rdíus hringsins. llir punktr á hringnum uppfyll jöfnun P = P e, þr sem hornið getur tekið hvð gildi sem er. Hornið er stikinn í jöfnunni (prmeter), og má ver hvð runtl sem er. Stikun hrings, frh. Stikjfn hrings er þá: os( ) P=(x,y) P P e r sin( ) e x x os( ) r =(x, y ) y y sin( ) x x r os( ) y y r sin( ) lmenn jfn línu lmenn jfn línu gegnum punktinn P = (x, y ) með þverilinn n = [,] er: x + y + = þr sem = -(x + y ) P = (x, y ) n P = (x, y) lmenn jfn línu, frh. lmenn jfnn fæst með því ð rit innfeldi tveggj vigr úr hnitkerfinu: P P x x n y y ( x x) ( y y) x y ( x y) x y 5 lmenn jfn línu, frh. Hægt er ð umrit lmennu jöfnun á eftirfrndi hátt: y = x => y = (/)x (/) Þessi útgáf smsvrr hlltöluforminu fyrir ein línu, þ.e. y = hx + q Hlltln smkvæmt lmenn forminu er þá: h = / og skurðpunktur línunn við y-ásinn er: q = / Stikun línu Stikun línu gegnum punktinn P = (x, y ) með stefnuvigurinn = [p, q] er: P = (x, y ) x y P = (x, y) x tp y tq 9
7/7/5 Stikun línu, frh. Vigurinn er smsíð línunni, og þr f leiðndi smsíð vigrinum P P. Ef t er lengd vigursins P P, þá fæst eftirfrndi: x x p t y y q P P t Stikun línu, frh. Hlltl línu smkvæmt stikjöfnunni er: h = q/p Stikjfnn er eins og vél sem við getum notð til ð frmleið punkt sem llir lend á línunni, r í mismunndi fjrlægð frá upphfspunktinum P. Skrefin sem við tökum út frá P miðst við lengd stefnuvigursins. x x tp og y y tq Ofnvrp vigurs á línu Ofnvrp vigursins á línun L er innfeldið e, sem smsvrr færslunni frá til. Einingrvigurinn e er smsíð línunni. Ofnvrpsvigurinn er þá: ( e)e e L Ofnvrpsvigur, frh. Einnig er hægt ð reikn ofnvrpsvigur f á vigurinn með eftirfrndi jöfnu: Hægt er ð not þess jöfnu til ð finn ofnvrp vigursins á línun L. Nóg er ð finn einhvern vigur sem er smsíð L, t.d. með því ð not hlltölu línunnr. 57 Fjrlægð punkts frá línu Fjrlægð punkts P = (x,y) frá línunni L = ) er fundin smkvæmt: L x y d( L, P) P = (x,y ) P P = (x,y) n (x + y + Fjrlægð punkts frá línu, frh. ókstfurinn d í jöfnunni d(l,p) táknr fjrlægð, þ.e. d = distne. Þegr sett er inn í jöfnun, þá eru gildin á, og sótt í lmennu jöfnu línunnr, en gildin á x og y eru sótt í punktinn P. Þverillinn n hefur x-færslun og y-færslun. Stærðin táknr þr f leiðndi lengd þverilsins n
7/7/5 Fjrlægð punkts frá línu, frh. Fjrlægð punkts frá línunni getur verið ýmist jákvæð eð neikvæð stærð. Þverillinn n skilgreinir jákvæðu stefnun. Fjlægðin d smsvrr lengd striksins P P, en þð strik er í run ofnvrp vigursins P P á þverilinn n.