UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON00 - Matematikk /Mikro Eam: ECON0 Mathematics /Microeconomics Eksamensdag: Tuesda 7 mai 008 Sensur kunngjøres: Onsdag 806008 Date of eam: Tuesda Ma 7 008 Grades will be given: Wednesda June 8 008 Tid for eksamen: kl 09:00 5:00 Time for eam: 09:00 m 03:00 m Ogavesettet er å 0 sider The roblem set covers 0 ages English version on age 6 Tillatte hjelemidler: Ingen tillatte hjelemidler Resources allowed: No resources allowed Eksamen blir vurdert etter ECTS-skalaen A-F, der A er beste karakter og E er dårligste ståkarakter F er ikke bestått The grades given: A-F, with A as the best and E as the weakest assing grade F is fail Ogave Finn f () for de følgende funksjonene: 3 a) f ( ) 3 + b) f ( ) ln c) Finn F og e f ( ) F for følgende funksjoner d) F(, ) 3 ln e) F (, ) ln( e )
Deriver følgende funksjoner mh f ( ) f) h( ) g g) h ( ) f ( ) h) h ( ) f ( ) i) h( ) f ( ) Ogave Hvilke av disse åstandene er generelt sanne/usanne? a) + a 3 + a 3 b) e ln 3 c) ln( + ) ln + 3ln Ogave 3 En bedrift står overfor ettersørsel i to markeder gitt ved 0 q 0 og har roduksjonskostnader c(, ) + +, der og er de kvanta bedriften selger i de to markedene til de resektive risene og q a) Vis at rofitten kan skrives som: π (, ) 3 + 0 3 + 0 b) Finn stasjonærunktet for funksjonen π (, ), og (c) avgjør om det er et minimum eller maksimum
3 Ogave 4 Anta at en forbruker kjøer mengdene og av to goder Prisene å godene er og Forbrukeren har en inntekt lik m og har nttefunksjonen u (, ) a) Hva er den økonomiske tolkningen av u'(, )? u'(, ) Anta nå at u (, ) + ln b) Finn forbrukerens otimale valg av og når begge godene kjøes c) Drøft om forbrukeren kan tenkes å ikke ville kjøe begge godene, og finn ettersørselen i dette tilfellet Ogave 5 Betrakt Slutsk-likninga m h h der og er ettersørselen etter to goder og er henholdsvis ordinær ettersørsel (Marshall-ettersørsel) og komensert ettersørsel (Hicks-ettersørsel), og m angir henholdsvis riser og inntekt Forklar med ord det økonomiske innholdet i m Ogave 6 Anta at en forbruker har følgende nttefunksjonen, der og er mengder av to goder: u + La være risen å -godet, og sett for enkelhets skld risen å -godet til Forbrukeren har en gitt inntekt og kjøer begge godene a) Forklar og begrunn hvordan du vil måle konsumentoverskuddet ved forbruk av
4 b) Vis at ved otimal tilasning er c) Hvordan vil konsumentoverskuddet endres dersom faller fra til 0,5? Ogave 7 Sant eller usant? For hvert av utsagnene nedenfor skal du angi om det er sant eller usant Gi kort begrunnelse for svaret ditt i hvert tilfelle a) Anta at en forbrukers referanser kan karakteriseres ved nttefunksjonen u (, ) ln( a) + bln, mens en annen forbrukers referanser kan karakteriseres ved nttefunksjonen v (, ) ( a ) b + c a, b og c er ositive konstanter Vi betrakter godekombinasjoner der > a og > 0 De to forbrukerne har samme referanser b) En forbruker har inntekten m og kjøer mengdene og av to goder til risene og Forbrukeren tilasser seg otimalt og har ettersørselsfunksjonen I tilasningsunktet er (,, m), (,, m) 0, og (,, m) m m (,, m ) c) Når en bedrift har fallende gjennomsnittskostnader, vil det å sette grensekostnad lik ris innebære overskudd d) Anta at et rofittmaksimerende monool selger i to markeder, kalt marked og marked Monoolet står overfor ettersørselsfunksjonene ositive konstanter, og står for kvantum og for ris A og, A, der A og A er,5
5 Monoolet tar høest ris i marked e) Et rofittmaksimerende monool kan ta en ris for adgang til godet som selges (inngangsenger, tilkntningsavgift, el) og en ris er enhet som omsettes (variabelledd) Vi antar for enkelhets skld at grensekostnaden i roduksjonen er konstant Monoolet står overfor to forskjellige ter forbrukere med ulik ettersørselsfunksjon Monoolet vil ta en ris er enhet som omsettes, som er lik grensekostnaden Ogave 8 Anta at markedets ettersørsel etter en vare er gitt ved den aggregerte ettersørselsfunksjonen E(, α ), mens tilbudet er gitt ved den aggregerte tilbudsfunksjonen T(, β ) der er risen å varen og α og β er skiftarametrer Anta at de artiellderiverte mh henholdsvis α og β er ositive a) Hva vil du forutsette om de artiellderiverte mh? Begrunn kort og verbalt Anta at markedet vi ser å er verdensmarkedet for mat I det siste har følgende forhold fått me omerksomhet: i Inntekten har økt me, sesielt i enkelte land i Asia ii Korn og andre vekster er tatt i bruk i andre anvendelser enn mat, feks biodiesel iii Det har vært tørke i store områder b) Forklar hvordan forholdene i, ii og iii kan uttrkkes ved hjel av endringer i skiftarametrene c) Velg ett av tilfellene i, ii, iii og analser virkningene av skiftet å likevektsris og kvantum Ogave 9 Anta at en bedrift bruker mengdene L og K av to innsatsfaktorer for å rodusere et kvantum f( LK, ) La w være risen å L og q være risen å K Foretaket er risfast kvantumstilasser i markedet for K, men er ene-ettersørrer (monosonist) i markedet for L og står overfor tilbudsfunksjonen w(l) skrevet å risform Foretaket ønsker å rodusere en gitt mengde til lavest mulig kostnader a) Sett o kostnadsminimeringsroblemet, b) utled betingelsene for løsning av dette roblemet, og c) tolk betingelsene
6 English version Problem Find f () for the following functions: 3 a) f ( ) 3 + Find b) c) F and f ( ) ln e f ( ) F for the following functions: d) F(, ) 3 ln e) F (, ) ln( e ) Find the derivatives of the following functions with resect to f ( ) f) h( ) g g) h ( ) f ( ) h) h ( ) f ( ) i) h( ) f ( ) Problem Which of these statements are generall true/false?
7 a) + a 3 + a 3 b) e ln 3 c) ln( + ) ln + 3ln Problem 3 A firm faces demand in two markets given b 0 q 0 and has a cost of roduction c(, ) + +, where and are the quantities traded in the two markets at the resective rices and q a) Show that rofits can be eressed as π (, ) 3 + 0 3 + 0 b) Find the stationar oint of the function π (, ), and (c) decide whether it is a minimum or a maimum Problem 4 Suose that a consumer urchases quantities and of two goods The rices of the goods are and, resectivel The consumer has income m and the utilit function u (, ) a) What is the economic interretation of Now assume that u (, ) + ln u'(, )? u'(, ) b) Find the consumer s otimal choice of and when both goods are being urchased
8 c) Discuss whether the consumer ma choose not to bu both goods and find his/her demand in this case Problem 5 Consider the Slutsk equation m h h where and denote demand for two goods and are, resectivel, the ordinar demand (Marshallian demand) and comensated demand (Hicksian demand), and m denote rices and income, resectivel Elain in words the economic content of m Problem 6 Suose that a consumer has the following utilit function, where and are the quantities of two goods: u + Let denote the rice of the -good, and, for simlicit, set the rice of the -good equal to one The consumer has a fied income and bus both goods a) Elain how ou would measure the consumer s surlus from consuming and state the reason for our answer b) Show that the otimal demand is c) How does the consumer s surlus change if declines from to 05? Problem 7 True or false?
9 For each statement below ou are asked to state whether it is true or false State briefl the reasons for our answer in each case a) Suose that a consumer s references can be characterised b the utilit function u (, ) ln( a) + bln, while the references of an other consumer can be characterised b the utilit function v (, ) ( a ) b + c a, b and c are ositive constants We consider consumtion bundles where > a and > 0 The two consumers have the same references b) A consumer has income m and urchases quantities and of two goods at rices and The consumer chooses the otimal consumtion bundle and has the demand function (,, m ) At the otimum (,, m), (,, m) 0, and (,, m) m m c) Where a firm has decreasing average cost, equating marginal cost to rice will iml ositive rofits d) Suose that a rofit maimising monool sells its outut in two markets, called market and market The monool faces demand functions A and, A, where A,5 and A are ositive arameters, and denotes quantit and denotes rice The monool charges the higher rice in market e) A rofit maimising monool can charge a fee for access to the good being sold (admission fee, connection fee, etc) and charge a rice er unit sold (er-unit charge) For simlicit we assume that the marginal cost of roduction is constant The monool faces two tes of consumers with different demand
0 The monool will charge a rice er unit traded which equals the marginal cost Problem 8 Suose that market demand for a commodit is given b the aggregate demand function E(, α ), while sul is given b the aggregate sul function T(, β ) where is the rice of the commodit and α and β are shift arameters Assume that the artial derivatives wrtα and β are ositive a) What would ou assume about the artial derivatives wrt? State our reasons verball and briefl Assume that the market under surve is the world market for food Recentl, the following circumstances have received much ublicit: i Income has increased sharl, in articular in some Asian countries ii Grain and other cros have been diverted to other uses than food, eg biodiesel iii Drought has occurred in large areas b) Elain how the henomena i, ii, and iii can be eressed b means of changes in the shift arameters c) Select one of the cases i, ii, iii and analse the effects of the shift on the equilibrium rice and quantit Problem 9 Assume that a firm uses the inuts L and K to roduce an outut f( LK, ) Let w denote the rice of L and let q be the rice of K The firm is a rice taker in the market for K but is a single buer (monosonist) in the market for L and faces the inverse sul function w(l) The firm wants to roduce a fied quantit at the lowest ossible cost a) Formulate the cost minimisation roblem, b) derive the conditions for the solution of the roblem, and c) interret the conditions