INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2015 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Prioritetskø og Heap Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 1 / 25
Prioritetskø M.A.W. Data Structures and Algorithm Analysis kap. Kø implementasjoner vi kjenner FIFO - Liste LIFO - Stack Vi ønsker ofte bedre kontroll over elementene i køen Eksempel: Job scheduler (OS) Jobber kan ikke kjøre ferdig før neste slipper til Jobber tas typisk ut og settes inn igjen Round-Robin kan bli urettferdig Prioritet kan gjøre fordeling rettferdig Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 2 / 25
Prioritetskø - grensesnitt Prioritet er gitt ved heltall (lavt tall = høy prioritet) Vi kan se på prioritet som tid vi maksimalt kan vente insert(p, x) sett inn element x med prioritet p deletemin() fjern element med høyest prioritet Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 3 / 25
Prioritetskø - Datastruktur og Kompleksitet Forskjellige datastrukturer kan implementere et slikt grensesnitt Liste (sortert eller uordnet) Søketre Heap uordnet liste sortert liste søketrær (worst/av. case) insetting sletting Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 4 / 25
Prioritetskø - Datastruktur og Kompleksitet Forskjellige datastrukturer kan implementere et slikt grensesnitt Liste (sortert eller uordnet) Søketre Heap insetting sletting uordnet liste O(1) O(n) sortert liste O(n) O(1) søketrær (worst/av. case) O(n)/O(log 2 (n)) O(n)/O(log 2 (n)) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 4 / 25
Prioritetskø - Heap Heap er den vanligste implementasjonen av en prioritetskø Vi skal se på en implementasjon som kalles binær heap En binær heap er et binærtre med et strukturkrav En binær heap er et komplett binærtre Og et ordningskrav Barn er alltid større eller lik sine foreldre Ordet Heap blir også brukt om dynamisk allokert minne Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 5 / 25
Prioritetskø - Heap Heap er den vanligste implementasjonen av en prioritetskø Vi skal se på en implementasjon som kalles binær heap En binær heap er et binærtre med et strukturkrav En binær heap er et komplett binærtre Og et ordningskrav Barn er alltid større eller lik sine foreldre Ordet Heap blir også brukt om dynamisk allokert minne Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 5 / 25
Prioritetskø - Heap Heap er den vanligste implementasjonen av en prioritetskø Vi skal se på en implementasjon som kalles binær heap En binær heap er et binærtre med et strukturkrav En binær heap er et komplett binærtre Og et ordningskrav Barn er alltid større eller lik sine foreldre Ordet Heap blir også brukt om dynamisk allokert minne Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 5 / 25
Prioritetskø - Heap Heap er den vanligste implementasjonen av en prioritetskø Vi skal se på en implementasjon som kalles binær heap En binær heap er et binærtre med et strukturkrav En binær heap er et komplett binærtre Og et ordningskrav Barn er alltid større eller lik sine foreldre Ordet Heap blir også brukt om dynamisk allokert minne Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 5 / 25
Binær Heap - Strukturkrav - Komplett Binætre Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 / 25
Binær Heap - Strukturkrav - Komplett Binætre Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 / 25
Binær Heap - Strukturkrav Ett komplett binærtre har følgende egenskaper Treet vil være i perfekt balanse Bladnoder vil ha høydeforskjell på maksimalt 1 Treet med høyden h har mellom 2 h og 2 h+1 1 noder Den maksimale høyden på treet vil være log 2 (n) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 7 / 25
Binær Heap - Ordningskrav 4 7 12 17 1 23 17 31 24 37 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 8 / 25
Binær Heap - Representasjon Binærtreet er komplett så vi kan legge elementene i en array Vi kan enkelt finne foreldre og barn ut i fra array index Venstre barn: index 2 Høyre barn: index 2 +1 Foreldre: (int) index/2 Vi kan risikere å måtte allokere ny array og kopiere alle elementene Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 9 / 25
Binær Heap - Representasjon A B C D E F G H I J 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A B C D E F G H I J Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 10 / 25
Binær Heap - insert 4 7 12 17 1 23 17 31 24 37 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 7 12 17 1 23 17 31 24 37 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 11 / 25
Binær Heap - insert 4 7 12 17 1 23 17 31 24 37 5 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 7 12 17 1 23 17 31 24 37 5 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 11 / 25
Binær Heap - insert 4 7 12 17 5 23 17 31 24 37 1 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 7 12 17 5 23 17 31 24 37 1 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 11 / 25
Binær Heap - insert 4 5 12 17 7 23 17 31 24 37 1 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 5 12 17 7 23 17 31 24 37 1 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 11 / 25
Binær Heap - insert Legg det nye elementet på neste ledige plass i heapen La det nye elementet flyte opp til riktig posisjon Dette kalles percolate up i læreboka Siden treet er i balanse kan vi maksimalt flyte O(log 2 (n)) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 12 / 25
Binær Heap - deletemin 4 7 12 17 1 23 17 31 24 37 22 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 7 12 17 1 23 17 31 24 37 22 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 13 / 25
Binær Heap - deletemin 7 12 17 1 23 17 31 24 37 22 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 12 17 1 23 17 31 24 37 22 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 13 / 25
Binær Heap - deletemin 22 7 12 17 1 23 17 31 24 37 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 7 12 17 1 23 17 31 24 37 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 13 / 25
Binær Heap - deletemin 7 22 12 17 1 23 17 31 24 37 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 22 12 17 1 23 17 31 24 37 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 13 / 25
Binær Heap - deletemin 7 1 12 17 22 23 17 31 24 37 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 1 12 17 22 23 17 31 24 37 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 13 / 25
Binær Heap - deletemin Vi fjerner rot elementet fra heapen Vi lar det siste elementet bli ny rot Vi lar den nye rota flyte ned til riktig posisjon Dette kalles percolate down i læreboka Siden treet er i balanse kan vi maksimalt flyte O(log 2 (n)) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 14 / 25
Binær Heap - Andre Operasjoner findmin kan gjøres i konstant tid delete fjern vilkårlig element fra heapen Vi kan også endre prioritet på elementer i heap Senking av prioritet kalles ofte increasekey Øking av prioritet kalles ofte decreasekey Både increasekey og decreasekey gjøres typisk ved å: Lokalisere element i heapen Øk eller senk prioritet La elementet flyte opp eller ned avhengig av operasjon delete kan typisk gjøres ved decreasekey + deletemin Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 15 / 25
Oppgave Hvilken av følgende BT er ikke en heap?: 1 4 3 4 4 4 5 4 3 7 5 7 (A) (B) (C) I: A, B og C II: B og C III A og C Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 1 / 25
Oppgave Basert på prioritetskø, hvor fort kan vi sortere n tall?: I: O(n) II: O(n 2 ) III: O(nlogn) IV: O(logn) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 17 / 25
Binær Heap - Sortering Vi kan bruke en binær heap til å sortere Vi kan bygge en binær heap (insert) på O(n log 2 (n)) Vi kan ta ut alle elementene (deletemin) på O(n log 2 (n)) 2 O(n log 2 (n)) = O(n log 2 (n)) (worst case) Oppbygging av heap kan også effektiviseres Legg alle elementene på heapen (inn i arrayen) foreach node som ikke er bladnode: percolatedown(node) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 18 / 25
Binær Heap - Sortering Vi kan bruke en binær heap til å sortere Vi kan bygge en binær heap (insert) på O(n log 2 (n)) Vi kan ta ut alle elementene (deletemin) på O(n log 2 (n)) 2 O(n log 2 (n)) = O(n log 2 (n)) (worst case) Oppbygging av heap kan også effektiviseres Legg alle elementene på heapen (inn i arrayen) foreach node som ikke er bladnode: percolatedown(node) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 18 / 25
Venstreorientert Heap En venstreorientert heap er en prioritetskø implementert som en variant av binær heap Ordningskrav: samme som ordningskravet til binær heap Strukturkrav: La null path length npl(x) være lengden av den korteste veien fra x til en node uten to barn. npl(l) npl(r) hvor l og r er venstre og høyre barnet til x forsøker å være ubalansert! Å flette to binære heaper (merge) tar Θ(N) for heaper med like størrelser Venstreorientert Heap støtter merge i O(log n) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 19 / 25
Venstreorientert Heap En venstreorientert heap er en prioritetskø implementert som en variant av binær heap Ordningskrav: samme som ordningskravet til binær heap Strukturkrav: La null path length npl(x) være lengden av den korteste veien fra x til en node uten to barn. npl(l) npl(r) hvor l og r er venstre og høyre barnet til x forsøker å være ubalansert! Å flette to binære heaper (merge) tar Θ(N) for heaper med like størrelser Venstreorientert Heap støtter merge i O(log n) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 19 / 25
Venstreorientert Heap - Strukturkrav 1 1 0 0 0 0 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 20 / 25
Venstreorientert Heap - Strukturkrav 1 1 0 0 1 0 0 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 20 / 25
La H1 og H2 være to heaper. Merge kan gjøres rekursivt: sammenligner H1.rot med H2.rot. Antar nå at H1.rot er minst. la den høyre subheapen til H1 være heapen som man får ved å merge H1.høyre med H2 bevare strukturkravet ved å bytte ut (swap) rotens høyre og ventre barn. Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 21 / 25
Merge - Eksempel 3 8 8 10 8 12 7 21 14 17 19 24 37 18 12 7 19 24 37 18 17 7 37 18 17 23 33 33 7 3 37 8 12 7 10 17 18 19 24 8 37 21 14 12 7 33 17 18 23 19 24 8 37 33 17 18 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 22 / 25
Merge - Eksempel 3 8 8 10 8 12 7 21 14 17 19 24 37 18 12 7 19 24 37 18 17 7 37 18 17 23 33 33 7 3 37 8 12 7 10 17 18 19 24 8 37 21 14 12 7 33 17 18 23 19 24 8 37 33 17 18 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 22 / 25
Merge - Eksempel 3 8 8 10 8 12 7 21 14 17 19 24 37 18 12 7 19 24 37 18 17 7 37 18 17 23 33 33 7 3 37 8 12 7 10 17 18 19 24 8 37 21 14 12 7 33 17 18 23 19 24 8 37 33 17 18 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 22 / 25
Merge - Eksempel 3 8 8 10 8 12 7 21 14 17 19 24 37 18 12 7 19 24 37 18 17 7 37 18 17 23 33 33 7 3 37 8 12 7 10 17 18 19 24 8 37 21 14 12 7 33 17 18 23 19 24 8 37 33 17 18 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 22 / 25
Merge - Eksempel 3 8 8 10 8 12 7 21 14 17 19 24 37 18 12 7 19 24 37 18 17 7 37 18 17 23 33 33 7 3 37 8 12 7 10 17 18 19 24 8 37 21 14 12 7 33 17 18 23 19 24 8 37 33 17 18 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 22 / 25
Merge - Eksempel 3 8 8 10 8 12 7 21 14 17 19 24 37 18 12 7 19 24 37 18 17 7 37 18 17 23 33 33 7 3 37 8 12 7 10 17 18 19 24 8 37 21 14 12 7 33 17 18 23 19 24 8 37 33 17 18 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 22 / 25
Merge - Eksempel 3 10 8 12 7 21 14 17 19 24 37 18 23 33 3 12 7 19 24 8 37 33 17 18 10 21 14 23 Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 23 / 25
Kompleksitet insert: utføre merge med en en-noders heap deletemin: fjerne rotnoden og merge høyre og venstre subheap O(log n) Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 24 / 25
Neste Forelesning: 17. september Grafer Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 4 25 / 25