UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON30/40 Matematikk : Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON30/40 Mathematics : Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 0. desember 03 Sensur kunngjøres: 3. januar 04 Date of exam: Tuesday, December 0, 03 Grades will be given: January 3, 04 Tid for eksamen: kl. 4.30 7.30 Time for exam:.30 p.m. 5.30 p.m. Oppgavesettet er på 5 sider (inkl. forsiden) The problem set covers 5 pages (incl. cover sheet) English version on page 4 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler, samt lommekalkulator er tillatt Resources allowed: All written and printed resources, as well as calculator is allowed. Eksamen blir vurdert etter ECTS-skalaen. A-F, der A er beste karakter og E er dårligste ståkarakter. F er ikke bestått. The grades given: A-F, with A as the best and E as the weakest passing grade. F is fail.
Universitetet i Oslo / Økonomisk institutt Bokmål ECON30/40 Matematikk 0. desember 03, 430 730. Oppgavesettet er på sider. Alle trykte eller skrevne hjelpemidler samt lommeregnere er tillatt. Karakterskalaen går fra A (beste karakter) til E for bestått, og F for ikke bestått. Alle svar skal begrunnes. Du kan benytte all informasjon oppgitt i et tidligere bokstavpunkt (f.eks. (a) ) til å løse et senere (f.eks. (c) ), uansett om du klarte å besvare det førstnevnte. Et senere bokstavpunkt trenger ikke bygge på svar på eller informasjon oppgitt i et tidligere. Oppgave I dette problemet lar du t være en konstant, og ser på det lineære ligningssystemet A t x = b mhp. den ukjente vektoren x, der 3t A t = 0, og b = 0. t t (a) Finn q slik at A t har determinant lik q t(t 6). (b) For hvilke verdier av konstanten t vil ligningssystemet A t x = b ha (i) entydig løsning, (ii) ingen løsning, (iii) flere løsninger? Oppgave La p > 0 være en konstant og la g(x) = (x + p)e px + pxe px. (a) (i) Finn lim x g(x) (ii) Vis at lim g(x) = 0. x + eller vis at den ikke eksisterer. (b) Vis at det finnes en ˆx < 0 slik at g(ˆx) = 0. (c) Finn g(x) dx og avgjør om g(x) dx konvergerer. p
Oppgave 3 La r være en positiv konstant. Se på problemet minimer e y+( r)x r ln(x + y + r/) når x + y = r Skriv ut de tilhørende Lagrange-betingelsene, og vis at de er ekvivalent med r(x + r)e rx + = 0. (Hint: Eliminer multiplikatoren og deretter y.) Oppgave 4 (a) (i) Vis at [ ] t(ln t ) ln t e t dt = t( ln t)e t + C (ii) Vis at t ( ln t) er en partikulær løsning av differensialligningen ẋ(t) = x(t) + t(ln t ) ln t, t > 0 ( ) (b) Finn den allmenne løsningen av differensialligningen ( ). (Hint: Bruk del (a).) (c) En partikulær løsning av ( ) går gjennom punktet der (t, x) = (, 3). Finn ligningen for tangentlinjen i dette punktet. Oppgave 5 En eksamensoppgave i ECON555 i desember 0, førte til ligningssystemet (e tu + e tu )v u + s = 0 (e tu e tu )tv = som definerer u og v som kontinuerlig deriverbare funksjoner av s og t rundt det punktet P der s = (e + 3)/(e ), t = /4, u = og v = 4 e/(e ). (Dette skal du ikke vise.) (a) Differensier ligningssystemet (dvs., regn ut differensialer). (b) Bruk det differensierte systemet til å finne verdien av u/ s i P. (Du skal bruke det differensierte systemet, selv om svaret kan finnes på andre måter.)
University of Oslo / Department of Economics English ECON30/40 Mathematics December 0th 03, 430 730. There are pages of problems to be solved. All printed and written material may be used, as well as pocket calculators. Grades given run from A (best) to E for passes, and F for fail. You are required to state reasons for all your answers. You are permitted to use any information stated in an earlier letter-enumerated item (e.g. (a) ) to solve a later one (e.g. (c) ), regardless of whether you managed to answer the former. A later item does not necessarily require answers from or information given in a previous one. Problem In this problem, let t be a constant and consider the linear equation system A t x = b in the unknown vector x, where 3t A t = 0, and b = 0. t t (a) Find q such that A t has determinant equal to q t(t 6). (b) For what values of the constant t will the equation system A t x = b have (i) unique solution, (ii) no solution, (iii) several solutions? Problem Let p > 0 be a constant and let g(x) = (x + p)e px + pxe px. (a) (i) Find lim x g(x) (ii) Show that or show that it does not exist. lim g(x) = 0. x + (b) Show that there exists an ˆx < 0 such that g(ˆx) = 0. (c) Find g(x) dx and decide whether g(x) dx converges. p
Problem 3 Let r be a positive constant. Consider the problem minimize e y+( r)x r ln(x + y + r/) subject to x + y = r Write out the associated Lagrange conditions, and show that they are equivalent to r(x + r)e rx + = 0. (Hint: Eliminate the multiplier and then y.) Problem 4 (a) (i) Show that [ ] t(ln t ) ln t e t dt = t( ln t)e t + C (ii) Show that t ( ln t) is a particular solution of the differential equation ẋ(t) = x(t) + t(ln t ) ln t, t > 0 ( ) (b) Find the general solution of the differential equation ( ). (Hint: Use part (a).) (c) One particular solution of ( ) passes through the point where (t, x) = (, 3). Find the equation for the tangent line at that point. Problem 5 of the form An exam problem in ECON555 in December 0, led to an equation system (e tu + e tu )v u + s = 0 (e tu e tu )tv = which defines u and v as continuously differentiable functions of s and t around the point P where s = (e+3)/(e ), t = /4, u = and v = 4 e/(e ). (You are not supposed to show this.) (a) Differentiate the equation system (i.e. calculate differentials). (b) Use the differentiated system to find the value of u/ s at P. (You are required to use the differentiated system, even though there might be other methods.)