UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitskaplege fakultet Eksamen i emnet MNF130 Diskrete strukturar Fredag 21. mai 2010, kl. 09-12, altså 3 timar. NYNORSK Ingen tillatne hjelpemiddel. Oppgåvesettet er på 3 sider med oppgåvene 1-10. Engelsk omsetjing på sidene 4-6. Les nøye gjennom oppgåvesettet. Alle svar skal grunngjevast, men grunngjevingane skal vere korte. Det må vere med nok mellomrekning til at framgangsmåten går tydeleg fram av det du skriv. OPPGÅVE 1 (5 poeng) Grunngjev, ved hjelp av ein sanningstabell, at proposisjonane p q og p q er logisk ekvivalente. Syn dinest at (p q) r og ( p r) ( q r) er logisk ekvivalente. OPPGÅVE 2 (5 poeng) Syn at A B = A B for alle mengder A og B. (Her ser vi på alle mengder som delmengder av ei universell mengd U, og D tyder komplementet av ei mengd D med omsyn på U.) OPPGÅVE 3 (5+5 poeng) (a) La n vere eit ikkjenegativt heiltal og la A vere ei endeleg mengd med n element. Kor mange ulike delmengder har A? Gjev eit prov for ditt svar. (b) Gjev eit kombinatorisk prov for formelen n ( ) n = 2 n, k k=0 der n og k er heiltal slik at 0 k n. Syn òg kort korleis denne formelen er eit korollar (ei følgjesetning) av Binomialteoremet. OPPGÅVE 4 (5 poeng) Finn og rett opp feilen i følgjande resonnement: PROBLEM: Vi kastar to myntar og vil finne sannsynet for at båe myntane syner mynt. LØYSING: Det finst tre ulike utfall: to gonger mynt, to gonger krone eller ein mynt og ei krone. Sidan utfallet vi er interessert i (to gonger mynt) er eitt av desse tre, er sannsynet 1/3. 1
2 OPPGÅVE 5 (5 poeng) For alle ikkjenegative heiltal n lèt vi tala a n vere definert rekursivt ved a 0 = 1, a 1 = 6 og a n = 6a n 1 9a n 2 for n 2. Prov at a n = (n + 1)3 n for alle heiltal n 0. OPPGÅVE 6 (5+5 poeng) La f : Z N vere funksjonen definert ved f(x) = x 2. (Vi nyttar konvensjonen at N er mengda av alle ikkjenegative heiltal.) (a) Avgjer om f er injektiv (ein-til-ein) eller surjektiv (på). (b) Definér den binære relasjonen R på Z ved (x, y) R viss og berre viss f(x) = f(y). Prov at R er ein ekvivalensrelasjon. Kva er ekvivalensklassane til 0, til 1, til eit vilkårleg heiltal a forskjellig frå null? OPPGÅVE 7 (5+5 poeng) (a) Teikn Hassediagrammet til den partielt ordna mengda ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 40}, ), der er delingsrelasjonen. Er denne mengda òg totalt ordna? (b) Finn alle maksimale, minimale, største og minste element, om dei finst. OPPGÅVE 8 (5+5 poeng) La m vere eit heiltal slik at m 2. Sjå på påstanden ( ) For alle heiltal a og b, viss ab 0 (mod m), då er a 0 (mod m) eller b 0 (mod m). (a) Syn at (*) er sann om m er eit primtal. (b) Syn at (*) ikkje er sann når m ikkje er eit primtal. (Viss du ikkje greier å syne dette for vilkårleg m, sjå på tilfellet m = 4 eller m = 6.) OPPGÅVE 9 (5 poeng) Sjå på mengda av bitstrenger Σ = {0 n 1 m 0 n m, n N}, der vi nyttar konvensjonen at N er mengda av ikkjenegative heiltal og at 0 0 1 0 0 0 = λ, den tomme strengen. Gjev ein frasestrukturgrammatikk med mengd av terminale element T = {0, 1} og startsymbol S som genererer mengda Σ. Du må sjølv velje dei naudsynte ikkjeterminale elementa og finne produksjonane. Ikkje gløym å faktisk syne at grammatikken genererer Σ.
OPPGÅVE 10 (5 poeng) Du er på fest. Heile kvelden presenterer mange folk seg for kvarandre og handhelser på kvarandre. Etter ei stund har du ikkje fleire samtaleemne att. Diverre skjer dette nett når ei/ein vedunderleg kvinne/mann 1 står rett ved sida av deg. Etter å ha tenkt litt, seier du: Talet på personar som har trykt eit odde tal hender, er eit partal. Den andre personen smiler og svarar: Ja, og minst to personar har trykt like mange hender. Forklår kort kvifor dei to utsegna er sanne ved å nytte matematiske omgrep. 3 The number of what is even? Oh, who cares! LUKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen 1 Vel det som passar.
4 English translation of Exam in MNF130 Spring 2010 Friday, May 21st, 09-12, that is, 3 hours. Warning: The following translation for the examination in MNF130 is not an official one. Thus, complaints cannot be made on the basis of possible errors in this text. No aids permitted. The translation consists of 3 pages with the problems 1-10. Read the problem set thoroughly. Give reasons for all your answers, but in a short and concise way. You should include enough calculations to make your methods transparent. PROBLEM 1 (5 points) Justify, by means of a truth table, that the propositions p q and p q are logically equivalent. Then show that (p q) r and ( p r) ( q r) are logically equivalent. PROBLEM 2 (5 points) Show that A B = A B for any sets A and B. (Here we regard all sets as being subsets of a universal set U, and D denotes the complement of a set D with respect to U.) PROBLEM 3 (5+5 points) (a) Let n be a nonnegative integer and let A be a finite set with n elements. How many different subsets does A have? Give a proof of your answer. (b) Give a combinatorial proof of the formula n ( ) n = 2 n, k k=0 where n and k are integers satisfying 0 k n. formula is a corollary of the Binomial Theorem. Also briefly show how this PROBLEM 4 (5 points) Find and correct the mistake in the following reasoning: PROBLEM: We flip two coins and want to find the probability that both coins show heads. SOLUTION: There are three possible outcomes: two heads, two tails, or one head and one tail. Since the event we are interested in (two heads) is one of these three outcomes, the probability is 1/3.
5 PROBLEM 5 (5 points) Let the numbers a n, for all nonnegative integers n, be defined recursively by a 0 = 1, a 1 = 6 and a n = 6a n 1 9a n 2 for n 2. Prove that a n = (n + 1)3 n for all integers n 0. PROBLEM 6 (5+5 points) Let f : Z N be the function defined by f(x) = x 2. (We use the convention that N is the set of nonnegative integers.) (a) Decide whether f is injective (one-to-one) or surjective (onto). (b) Define the binary relation R on Z by (x, y) R if and only if f(x) = f(y). Prove that R is an equivalence relation. What are the equivalence classes of 0, of 1, of an arbitrary nonzero integer a? PROBLEM 7 (5+5 points) (a) Draw the Hasse diagram for the partially ordered set ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 40}, ), where is the divisibility relation. Is this set also totally ordered? (b) Find all maximal, minimal, greatest and least elements, if any. PROBLEM 8 (5+5 points) Let m be an integer such that m 2. Consider the statement ( ) For all integers a and b, if ab 0 (mod m), then a 0 (mod m) or b 0 (mod m). (a) Show that (*) is true if m is a prime number. (b) Show that (*) is not true when m is not prime. (If you don t manage to show this for arbitrary m, then consider the case m = 4 or m = 6.) PROBLEM 9 (5 points) Consider the set of bit strings Σ = {0 n 1 m 0 n m, n N}, where we use the convention that N is the set of nonnegative integers and that 0 0 1 0 0 0 = λ, the empty string. Give a phrase-structure grammar with set of terminal elements T = {0, 1} and start symbol S that generates the set Σ. You will have to choose the necessary nonterminal elements and find the productions. Do not forget to actually show that the grammar generates Σ.
6 PROBLEM 10 (5 points) You are at a party. Throughout the evening many people introduce themselves and shake hands. After a while you run out of conversation topics. Unfortunately, this happens at the very moment when a gorgeous woman/man 2 is standing right next to you. After a little thinking you say: You know, the number of people who have shaken an odd number of hands, is even. The other person smiles and replies: Yes, and at least two people have shaken the same number of hands. Explain briefly why the two statements are true using mathematical concepts. The number of what is even? Oh, who cares! GOOD LUCK! Andreas Leopold Knutsen 2 Choose what is appropriate.