1 Universitetet i Agder (University of Agder) Fakultet for økonomi og samfunnsfag (Faculty of Economics and Social Sciences) EXSAM Course code: BE-34 Course name: Statistics and finance Date: 29. November 11 Duration: 9-13 Number of pages included front page Permissible aids: Marks: 1 (5 pages in English and 5 pages in Norwegian) All books, copies, notes and calculators that may not communicate wireless. The students can read either the English or the Norwegian copy. The students can answer in either English or Nonvegian PROBLEM 1 1n 1994 a report about lifetime was made. It contains estimated expected lifetime (response variable), estimated by rescarchers, for 119 countries. The dataset had the following variables: = expected lifetime (estimated by researchers) for children born in 1992 for each country TV = number of TV per 1 inhabitant in each country in 199 Doc = number of persons (in 1) per doctor in each country in 199 GDP = gross domestic product (in 1 $) per capita in each country in 1991 a) State the theoretical model behind a linear regression analysis to study the relationship between lifetime and the other variables. Estimate the siun of the cocfficients of TV, Doc and GDP. Give short reasons for your signs. By Excel a regression analysis was done. Parts of the output and some residual plots are given below: Re ression Statistics Multiple R,847 R Square,717 Square,71 Standard Error 5,669 Observations 119
2 Coefficients Standard Error t Stat P-value Intercept 6,296,975 61,866 4,8E-9 TV,117,55 2,116,36523 Doc -,288,42-6,835 4,14E-1 GDP,77,166 4,263 4,16E-5 1 1 z -1 ø 4111+ 4 8 1 if$ - TV - Dcz 1 * * 4t, n 54.4 rx 15 25-1 44> - GDP b) State the estimated regression model (the regression line). Use it to estimate the lifetime in a country with in average 2 persons per TV, 1 persons per doctor and gross domestie product of 15 dollar. How can you frorn the plots see that we have not found a good model for estimating lifetime? PROBLEM 2 Kristiansand kommune (municipality) has each autumn in some years done an exploration about the use of lights on bicycles when it is dark in the morning. In the autumn 9 they inspected 628 bicycles, in the autumn 1 they inspeeted 87 bicycles and in the autumn 11 they inspected 96 bicycles. In the table below it is used following short terms: FB = number of bicycles with light in the front and back F = number of bicycles with light only in the front B U = number of bicycles with light only back = number of bicycles without any light FB F B U sum Year 9 241 136 25 226 628 Year 1 277 189 35 36 87 Year 11 382 248 12 264 96
3 State the null hypothesis and the alternative hypothesis for a homogeneity test to see if some of the years have different probability distributions for use of light. Give the test statistic. What is critical value for a test at 1% significance level? To help in the calculation work you get the table below where the parentheses contain estimated numbers in each combination under Ho. Work through the test from a) with 1% level and give the conclusion. FB F B U SLIM Year 9 241 136 25 226 628 (241.4) (153.7) (19.3) (213.5) Year 1 277 189 35 36 87 (31.3) (197.5) (24.8) (274.4) Year 11 382 248 12 264 96 (348.3 (221.8) (27.9) (38.1) Sum 9 573 72 796 2341 Estimate the general proportions that do not use any light in 9 and in 11. Describe shortly the development in use of light through these three years, where you especially notice positive elements in the development. Use the data from 9 and 11 to make a 95% confidence interval for (p9 /1),i.e. the difference between proportions not using light in these two years. PROBLEM 3 An investigation was done to study the effect of three types of fertilizer (A, B, C) on the corn yield Yuproduced on four different places (D, E. F, G). The table below gives Yytogether with the averages for both rows and columns. A B C Average D 74 92 86 84 E 79 91 88 86 F 82 81 77 8 G 78 93 84 85 Average 78,25 89,25 83,75 83,75 State I-1and HA for a paired test to see if fertilizer B gives larger expected yield than fertilizer C. Do the test by 5% significance level. We shall now analyze the data set by randomized blocks to see if there are differences between the yields of corn produced by the different types of fertilizer. Why can the use of randomized blocks be preferable here compared to a One-way design? State Hy and HA for the test. What is critical value for a test at 5% significance level?
4 c) Below it is given an Anova-table where all values except one are removed. Copy the table and write in the missing values. Show the different calculations. Do the test and give the conclusion. Source for SS df MS variation Fertilizer Block Error 132 Total PROBLEM 4 The boat company Minong in Wisconsin produces among others small quality boats for fishing. The demand for such boats has increased a lot. They can produce the boats by one or more stations. At each station it will be one or more workers. In the period 1976-1999 the company increased number stations from 1-17 and number workers from 2-22. The data set contains n=24 observations with the following variables: Y = Number of boats sold S = Number of stations used in the production. W = Total number of workers on the stations. In this problem we shall study different relationships bctween S, W and Y. The company first want to estimate [(,fli and fl2 in a model that except for uncertainty has the form (*) Y = flows's P2. All variables are transformed by taking logarithms. The new variables are called LnY, LnW and LnS. Below it is given two plots for the development through the time. 5 ve 4 fl CO 3. 1 o 25 Stasjoner o Year o o o COO Workers o Year o, o o 15 **"." o * 1,r CP <T *** 5 **** 1975 198 1985 199 1995 1975 198 1985 199 1995 Year a) How can you from these plots see that it will be a strong correlation between all these three variables? Use the regression analysis below to set up the estimated linear regression model (the regression line). Set also up the estimated model on the form )27=fi WP'S fj1.
5 Standard Re ression Statistics Coefficients Error T Stat P-value Multiple R,992 Intercept 3,951,977 31,666 3,28E-19 R Square,984 LnS,1929,121 1,889,72758 Square,982 LnW,7813,1195 6,539 1,78E-6 Standard Error,111 Observations 24 The company also want a model with the restriction claiming that fli + /12= 1. By this restriction the (*) can be given as (**) Y = p wpisl -P, b) Show by caleulation that ( ) can be written as the expression Y V`P = (3, S S, and that ty this expression can be transformed to (***) Ln, = Ln([3)+fi,LnW. S) What can be the purpose of this restriction? Give an interpretation of the pararneter fl in this model. The regression analysis below uses following variables: LnY/S = Lni and LnW/S = Re ression Statistics Coefficients Standard Error T Stat P-value Multiple R,893 Intercept 3,23,439 68,917 3,37E-27 R Square,798 LnW/S,845,96 9,322 4,26E-9 Square,789 Standard Error,111 Observations 24 e) Calculate a 95% confidence interval for fl, in this model. Give an interpretation of the coefficient of determination R2 for this analysis. Kirsten Bjorkestial Ellen Sandberg End English text
6 Norwegian copy: Universitetet i Agder (Norsk kopi) Fakultet for økonomi og samfunnsfag EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: Dato: Varighet: Antall sider inkl. forside Tillatte hjelpemidler: Merknader: BE-34 Statistics and finance 29. november 11 9 13 5 (etter 5 sider med engelsk tekst) Alle bøker, kopier, notater og kalkulatorer som ikke kan kommunisere trådløst. Studentene kan lese enten den norske eller den engelske kopien. Studentene kan svare på enten norsk eller engelsk. OPPGAVE 1 I 1994 ble det i en rapport lagt fram tall over estimert forventet levealder (respons variabel), estimert av forskere, for 119 land. Datasettet består av følgende variable: = forventet levealder (anslag beregnet av forskere) for barn født i 1992 i hvert land TV antall TV-apparater pr 1 innbyggere i hvert land i 199 Doc = antall personer (i 1) pr lege i hvert land i 199 GDP = reell brutto nasjonalprodukt (i 1 $) pr innbygger i hvert land i 1991 a) Sett opp den teoretiske modellen som ligger bak en lineær regresjonsanalyse for se på sammenhengen mellom levealder og de andre variablene. Gjør anslag for fortegnene til koeffisientene som hører til TV, Doc og GDP.Gi korte begrunnelser for fortegnene. Ved hjelp av Excel gjennomføres regresjonsanalyse. residualplott er vist nedenfor: Deler av utskriftene sammen med noen Re ression Statistics Multiple R,847 R Square,717 Square,71 Standard Error 5,669 Observations 119
7 Standard Coefficients Error t Stat P-value Intereept 6,296,975 61,866 4,8E-9 TV,117,55 2,116,36523 Doc -,288,42-6,835 4,14E-1 GDP,77,166 4,263 4,16E-5 1 o cs -1 1 1, * 7.1 4 8 1-1 sjlt 4111 ; 4 6 8 - - 11/ Doc * v, 1 * * a** T =. * *r D; 44.frss4r ce 4,1 15-1. 4. 5 * 25 - GDP b) Sett opp den estimerte regresjonsmodellen (regresjonslinjen). Bruk denne til å estimere levealderen til et land som i gjennomsnitt har 2 personer pr TV. 1 personer pr lege og et gjennomsnittlig brutto nasjonalprodukt på 15 dollar. Hvordan kan du ut fra plottene se at vi ikke her har funnet noen god modell for å estimere levealder? OPPGAVE 2 Kristiansand kommune har hver høst i noen år gjennomført en undersøkelse av syklisters bruk av lys på syklene mens det fremdeles er mørkt om morgenen. Høsten 9 ble det undersøkt 628 syklister, høsten 1 ble det undersøkt 87 syklister og høsten 11 ble det undersøkt 96 syklister. I tabellen nedenfor benyttes følgende forkortelser: FB = antall sykler med lys foran og bak F = antall sykler med kun lys foran B = antall sykler med kun lys bak U = antall sykler uten lys FB F B U sum År 9 241 136 25 226 628 År 1 277 189 35 36 87 År 11 382 248 12 264 96
8 Sett opp nullhypotese og altemativ hypotese for en homogenitetstest for å se om noen av de tre årene har ulik sannsynlighetsfordeling for bruk av lys. Sett opp testobservator. Hva er kritiske verdi til en test på 1% signifikans nivå? For å lette regnearbeidet får du oppgitt tabellen nedenfor der det i parentes er satt inn estimert antall i hver kombinasjon under Ho. Gjennomfør testen fra a) med 1% signifikans nivå og kom med en konklusjon. FB F B U sum År 9 241 136 25 226 628 241.4) (153.7) (19.3) (213.5) År 1 277 189 35 36 87 (31.3) (197.5) (24.8) (274.4) År 11 382 248 12 264 96 (348.3 (221.8) (27.9) (38.1) Sum 9 573 72 796 2341 Estimer den generelle andelen som ikke bruker lys i 9 og 11. Beskriv kort utviklingen av lysbruk i løpet av disse tre årene, der du spesielt nevner positive trekk i utviklingen. Bruk data for 9 og 11 til å lage et 95% konfidensintervall for (P9-P11), dvs, forskjellen i andel som ikke bruker lys disse to årene. OPPGAVE 3 Et forsøk ble satt opp for å se på effekten av tre typer gjødsel (A. B. C) på mengde avling av mais på fire ulike steder (D, E, F, G). Tabellen nedenfor gir avling Y sammen med gjennomsnitt for både rader og kolonner. A 8 C Gj.sn. D 74 92 86 84 E 79 91 88 86 F 82 81 77 8 G 78 93 84 85 Gj.sn. 78,25 89,25 83,75 83,75 Sett opp Ho og HA for en paret test for å se om gjødsel type B gir større forventet avling enn gjødsel type C. Gjennomfør testen ved 5% signifikans nivå. Datasettet skal nå analyseres ved randomiserte blokker for å se om det er forskjell på avling ved ulike typer gjødsel. Hva kan være fordelen med å bruke randomisert blokk design framfor et One-way design her? Sett opp H og 1-14for testen. Hva blir kritisk verdi for en test på 5% nivå?
9 c) Nedenfor er det satt opp en Anova-tabell der alle verdiene unntatt en er tatt bort. Kopier tabellen og fyll inn tallene som mangler. Vis de ulike utregningene. Gjennomfor testen og kom med en konklusjon. Kilde for SS df A/IS varias-on G-ødsel Blokk Feil 132 Total OPPGAVE 4 Båtprodusentfirmaet Minong i Wisconsin produserer blant annet små kvalitetsbåter til fisking. Etterspørselen etter slike båter har hatt en stor økning. Båtene kan produseres ved bruk av en eller tlere stasjoner. Hver av disse stasjonene er bemannet med en eller flere arbeidere. I perioden 1976-1999 økte firmaet antall stasjoner fra 1-17 og antall ansatte fra 2-22. V4 Selve datasettet består av n=24 observasjoner med følgende variable: Y = Antall solgte båter S = Antall stasjoner brukt i produksjonen. W = Total antall arbeidere på stasjonene. denne oppgaven skal vi se på ulike sammenhenger mellom antall S, W og Y. Firmaet ønsker først å estimere fio. fli ogfiz i en modell som bortsett fra usikkerhet har formen (*) Y = fiowil[sp:. Alle variablene er transformert ved å ta logaritmer. De nye variablene er kalt LnY, LnW og LnS. Nedenfor er det gitt to plott som viser utviklingen over tid. 5 4 Boats of 3 o o o o 25 15 1 Stasjoner Year Workers Year ** Number 1 o 1975 198 1985 199 Year 1995 5 1975 198 1985 199 1995 a) Hvordan kan du ut fra plottene se at det vil være en sterk korrelasjon mellom alle disse tre variablene? Bruk regresjonsanalysen nedenfor til å sette opp den estimerte lineære regresjonsmodellen ( regresjonslinjen). Sett også opp den estimerte modellen på formen f =.
1 Standard Re ression Statistics Coefficients Error T Stat P-value Multiple R,992 Intercept 3,951,977 31,666 3,28E-19 R Square,984 LnS,1929,121 1,889,72758 Square,982 LnW,7813,1195 6,539 1,78E-6 Standard Error,111 Observations 24 Bedriften ønsker videre en modell med restriksjoner der de krever at flj + /32= 1. Ved denne restriksjonen kan (*) uttrykkes på formen (**) Y = puivash31 w 13, b) Vis ved regning at ( ) kan skrives om til uttrykket =/3 S, og at dette y` (w` uttrykket kan transformeres til (***) Lnr = Ln(p)+1,31Lm,S S, Hva kan være hensikten med denne restriksjonen? denne modellen. Gi en tolkning av parameteren fli i (117 I regresjonsanalysen nedenfor er det brukt følgende variable: LnY/S = Ln og LnW/S = S, S Standard Re ression Statistics Coefficients Error T Stat P-value Multiple R,893 Intercept 3,23,439 68,917 3,37E-27 R Square,798 LnW/S,845,96 9,322 4,26E-9 Square,789 Standard Error,111 Observations 24 c) Lag et 95% konfidensintervall for fili denne modellen. Gi en tolkning av forklaringskraften R2 for analysen. Kirsten Bjørkestøl Ellen Sandberg