A new study has found that cockroaches are morons in the morning and geniuses in the evening in terms of their learning capacity.

Transkript

1 A new study has found that cockroaches are morons in the morning and geniuses in the evening in terms of their learning capacity. Previous studies suggest that the learning capacity of both people and rats are also affected by their internal biological clocks. But the effect is far more dramatic in cockroaches and it is the first time it has been found in insects. And, no, the researchers didn t try giving their cockroaches a sip of coffee to see if it revived them! slashdot.org, 28. sep 07 1

2 Choices, choices Tiende forelesning Dynamisk programmering: En serie med valg der valgmulighetene er avhengige av hva vi har valgt før. DAG- SP er erkeeksemplet (og den underliggende modellen for all DP). 2

3 Hva er et snitt? Eksempler på tavla: En sti s-x-y-z-t. To stier (noen kapasiteter 1, noen 2): s- x-y-t og s-u-v-t. Flere mulige snitt. Hva blir det minimale? Hva er kapasiteten til et snitt? Hvor mange snitt kan vi ha? Hva er et minimalt snitt? Hvorfor er min. snittkapasitet lik maks flyt? Eksempel på prosjektutvelgelse: Fire prosjekter: x, y, u og v. x er avhengig av y og u er avhengig av v, så vi har kanter xy og uv. x har verdi 4 og y har kostnad 2, mens u har verdi 10 og v har kostnad Diskuter endringer som f.eks. å redusere kostnaden til v fra 11 til 9, eller å legge til kantene xv eller uy.

4 Først, den abstrakte beskrivelsen av Floyd-Warshall (og Edmonds-Karp) Level 1 4

5 Finnes det en sti med ledig kapasitet fra s til t? Hver kant: Enten og f < c eller og f > 0 Øk flyt langs denne stien Bruk f.eks. BFS til å finne stien (E K) Ford-Fulkerson: 5 Generell metode. Ikke nødvendigvis polynomisk. Velger vi BFS får vi Edmonds-Karp, som har kjøretid på O(VE^2). (Det går an å gjøre det bedre.)

6 Det er to mulige tolkninger av dette: Vi «opphever» 5 av de 7 som går mot venstre ved å sende 5 til mot høyre. De 7 mot venstre tilsvarer 7 mot høyre, som kan økes opp mot 0. 4/9 7/8 Vi kan øke med 5 fra venstre til høyre Hva foregår «egentlig»? Ved å øke flyten inn i midt-noden fra venstre og å redusere flyten inn i noden fra høyre med samme mengde har noden samme flyt-sum, så vi ødelegger ingenting. 6

7 Eksempel Bruker ikke BFS her w 0/2 x 0/3 0/3 s 0/2 0/1 0/3 0/1 0/2 0/3 0/2 t y 0/3 z 7

8 Eksempel w 0/2 x 0/3 0/3 s 0/2 0/1 0/3 0/1 0/2 0/3 0/2 t y 0/3 z Alle kanter i stien går fremover, og minimums-kapasiteten er 2. 8

9 Eksempel Her er flyten økt med den maksimale ledige kapasiteten. w 2/2 x 0/3 0/3 s 2/2 0/1 2/3 0/1 2/2 0/3 2/2 t y 0/3 z 9

10 Eksempel Ny sti denne gangen med noen baklengskanter. I disse ser vi ikke etter ledig kapasitet, men flyt som kan kanselleres. w 2/2 x 0/3 0/3 s 2/2 0/1 2/3 0/1 2/2 0/3 2/2 t y 0/3 z Blant forover-kantene er minste ledige kapasitet 3. Blant bakover-kantene er minste flyt 2. Minimum blir altså 2. 10

11 Eksempel w 2/2 x 2/3 2/3 s 2/2 0/1 0/3 0/1 0/2 0/3 2/2 t y 2/3 z Igjen er flyten langs stien økt med det maksimale mulige (2). Flyt i fremoverkanter økes flyt i bakover-kanter reduseres. Totalt økes flyten fra s til t uten at vi bryter noen regler. 11

12 Eksempel w 2/2 x 2/3 2/3 s 2/2 0/1 0/3 0/1 0/2 0/3 2/2 t y 2/3 z Ikke mulig å finne noen flere flytforøkende stier, så vi er ferdige. 12

13 Eksempel w 2/2 x 2/3 2/3 s 2/2 0/1 0/3 0/1 0/2 0/3 2/2 t y 2/3 z Her er et minimalt snitt, med kapasitet lik maksflyten (4). Det er ikke mulig å presse mer flyt igjennom dette snittet. 13

14 Bokas implementasjon (veldig utbredt): Residualnett verk. Level 2a 14

15 I stedet for å tenke forover og bakover hver for seg så setter vi bare negativt fortegn på bakoverflyt. I boka opererer de med et eksplisitt «residualnett verk». Hvis det går flyt f går det flyt f Vi har bare kanter der vi kan få mer flyt Enten ved å øke f til c for eller ved å øke f til 0 for 15

16 En annen konkret implementasjon (den originale, mer eller mindre): «Merkelappmetoden» Level 2b 16

17 Under én iterasjon (BFS) I hver node vil vi huske hvor mye flyt vi har klart å transportere så langt og hvor den kom fra (og evt. om det var en «oppheving» av flyt som gikk ut). Y Flyt inn eller ut? +/X/8 Hvor mye? Hvor fra? 17

18 Kjør BFS Langs kanter der f < c Mot kanter der f > 0 Forgjengertabell bruker vi jo allerede i BFS (π). I tillegg trenger vi altså bare lagre hvor mye flyt vi får ført til noden (inkludert fortegn/retning). For hver node, lagre Hvor kom vi fra? Går flyten inn eller ut? Hvor mye flyt kan vi få hit? Hvis vi kom til slutten Oppdater flyten og begynn på nytt 18

19 Maks flyt I graf m kapasiteter Forøkende stier Bruk BFS Heltallsvekter: Gir oss heltallsflyt. (Selv om heltallsprogrammering generelt er NP-komplett.) Hvis vi kan bruke vilkårlig søk (og ikke BFS) så kan vi få eksponentiell kjøretid. Den generelle metoden (uten at vi bestemmer traverserings-metoden) heter Ford-Fulkerson. Edmonds Karp 19 O(VE 2 ) Hver sti: O(E). Fyller minst én av E kanter. Hver kant kan fylles flere ganger (ulike retninger), men avstanden til starten langs stien må øke. Kan maks øke V ganger.

20 Og så var det legeproblemet vårt, da. Sett på passende kapasiteter. Fridager Vi får likevel ikke begrenset oss til én dag per lege per ferieperiode Leger Kilde Sluk 20

21 Fridager Gadgets Leger Kilde Sluk Vi lager os ekstra-noder for å begrense flyten fra hver lege til hver ferie-periode! 21 Denne typen konstruksjoner er med på å gjøre maks-flyt til et svært allsidig verktøy.

22 Maks-flyt: Akkurat passe komplisert 22

23 Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Heapsort Huffmankoding Insertion sort Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering 23

24 Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Heapsort Huffmankoding Insertion sort Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering 24

25 D&C Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær LP Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Gr. Heapsort Huffmankoding Insertion sort NPC Flyt+ Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort En salig blanding av designmetoder, problemtyper med tilhørende algoritmer, kompleksitetsklasser Randomized for problemer og matematisk teori Select(Mye av dette er også knyttet opp mot de seks grunnverktøyene; D&C og dekomponering, f.eks.) Select Θ etc. DP er en designmetode. Sterke Splitt-og-hersk Topologisk Selection eller Divide sort & komponenter Conquer/D&C (eksemplifisert sortering ved f.eks. Mergesort og Quicksort) og grådighet ( Gr., eksemplifisert ved Huffman-koding) er to andre. 25 DP

26 D&C Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær LP Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Gr. Heapsort Huffmankoding Insertion sort NPC Flyt+ Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Θ etc. Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering DP 26

27 D&C Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær LP Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Gr. Heapsort Huffmankoding Insertion sort NPC Flyt+ Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Θ etc. Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering DP 27

28 Hvordan finner vi den lengste stigende subsekvensen?

29 w(q a, q b, s c, s d ) = is a scaling factor, used to account for es, and t(s i ) is the timestamp for the given note n a query q and a tune s can then be defined as d(q, s) = min i {d(q, s, i)}. ( a given alignment i, d(q, s, i) is minimized by choosing α as m j=2 α = (t(s i j ) t(s ))(t(q ij 1 j) t(q j 1 )) m i=2 (t(s. (4) i j ) t(s ij 1 ))2 Since the optimal value for α is given as a function of the alignment i, the optimization task in (3) becomes a matter of finding an optimal alignment. Assuming, for now, that the value of α is known, the optimization may be expressed recursively as follows: d(q 1:a, s 1:b ) = min Det finnes 2 n -1 mulige subsekvenser. Vi ønsker å finne den lengste stigende i polynomisk tid. Vi kan også f.eks. sette en maks-grense på «hoppene». (Dette minner bl.a. om en algoritme for musikksøk ) c {d(q 1:a 1, s 1:c ) + w(q a 1, q a, s c, s b ) 2 } 29 and s 1:b are prefixes of q and s, of length a and b, respectively. may be solved iteratively, by dynamic programming (Be simply consists of constructing a two-dimensi the partial solutions, and iterating over 1999) for examples of the same htein distance (edit dis ication of th

30 Dette er en enkel løsning men hvordan virker den egentlig? Vi kommer tilbake til saken (Det finnes også en mer effektiv løsning, med kjøretid O(n*log(n)) for i = 1 n for j = i 1 if A[i] > A[j] L[i] max(l[i], L[j]+1) 30

31 reduksjon! rekursjon dekomp. induksjon gjenbruk travers. Dynamisk programmering 31

32 reduksjon! rekursjon dekomp. induksjon gjenbruk travers. Dynamisk programmering 32

33 Ha DAG-SP i bakhodet! Relax inn fra forg jengere, i topologisk sortert rekkefølge. «Oppskrift» på dynamisk programmering. 1. Karakteriser strukturen til en optimal løsning. 2. Definér verdien til en optimal løsning rekursivt. 3. Beregn den optimale verdien «bottom-up», og ta vare på del-løsninger. struktur definisjon 4. Beregn løsningen som ga den optimale verdien. Memoisering (merk: bare én «r»): Kjør rekursjonen direkte, men lagre delløsninger (og bruk dem i stedet for rekursjon, om mulig). beregning løsning 33

34 Kjent? 34

35 Erke- Eksempel «DAG-Shortest-Path» 35

36 Erke- e s k E l e p m Dijkstra blir ganske likt, bare at vi har litt grådighet i tillegg (og at den topologiske ordningen må jukses til litt). forgjengere minimum topsort, relax tilbakesporing Tilbakesporingen g jøres ved at vi setter en forg jenger i en forg jentertabell hver gang vi endrer minimum i dollar-fasen. Standardløsning. «DAG-Shortest-Path» 36

37 Eksempel Floyd-Warshall 37

38 Ek s l e p em innom hvem? min(med, uten) innom 1, 2, tilbakesporing Floyd-Warshall 38

39 Noen nye Går ikke igjennom samlebåndseksemplet her. Viktig, på mange måter, siden det er «typisk DP» men det er egentlig bare DAG-SP, som vi jo har snakket om en del fra før. 39

40 Eksempel 0/1 Ryggsekkproblemet 40

41 $60 $100 $120 41

42 30 $ $ $ $ $60 10 $60 42

43 Delproblemparametre: Hvor stor plass har vi (igjen)? Hvor mange objekter har vi (igjen)? På sett og vis litt som Floyd-Warshall: Hvilke objekter får vi bruke? (Men også: Hvor mye plass får vi bruke?) 43

44 0 c[i, w] = c[i 1, w] max{vi + c[i 1, w wi ], c[i 1, w]} 44 if i = 0 or w = 0 if wi > w if i > 0 and w wi

45 DP-01K(v, w, n, W) for k 0 W c[0, k] 0 for i 1 n c[i, 0] 0 for k 1 W if w[i] k if v[i] + c[i 1, k w[i]] > c[i 1, k] c[i, k] v[i] + c[i 1, k w[i]] else c[i, k] c[i 1, k] else c[i, k] c[i 1, k] 45

46 Som før: Ta vare på valg i hver rute Nøst deg bakover fra siste rute 46

47 Pseudopolynomisk kjøretid: Polynomisk avhengig av verdien til et heltall som er en del av instansen altså egentlig eksponentiell som funksjon av problemstørrelsen (målt i lagringsplass). Dette er verdt å ha med seg når vi ser på NP-kompletthet. Problemet er NPkomplett, og ingen kjenner noen polynomiske løsninger på slike problemer så da hadde det jo vært rart om kjøretiden var polynomisk :-) Kjøretid: O(nW) Lett å gå seg bort i disse tingene. Pseudopolynomiske algoritmer kan faktisk være ganske effektive i praksis, f.eks. for rimelige verdier av W i dette tilfellet. Ikke polynomisk pseudopolynomisk! Hvis m = lg W er problemstørrelsen O(n + m) og kjøretiden O(n2 m ) 47

48 Ek s l e p em Optimale søketrær 48

49 Optimaliseringskriteriet blir den vektede (med vekt p_i) summen av dybdene (+1) til nøklene k_i. K = [k 1,, kn], k1 < k2 < < kn Vil bygge et binært søketre over K Sannsynlighet p i for søk etter ki Vil minimere forventet søkekostnad Antar at alle søk lykkes. 49

50 ; E Forventet søketid: ; 9 ; G ; F ; H 6 0,7#8 < (; 6 ) 0,7#8 < (; 6 ) EH E I I F E 19 G 9 1E H E 1J 919H 50

51 ;! ; " ; # Forventet søketid: (Optimalt.) ; $ Merk: Ikke sikkert vi vil ha minimal høyde. Heller ikke sikkert den høyeste sannsynligheten ender i rota. ; % 8 &'()* < (; 8 ) &'()* < (; 8 ) 2 8 " " +!#!,, % % +"# $! +$ # " +% "+", 51 Brute force: Bygg alle mulige binære søketrær (BST), og sett inn nøklene. Beregn forventet søkekostnad. Velg beste. Men det er Ω(4 n /n 3/2 ) BST-er med n noder.

52 Hvis T inneholder nøklene ki kj så må T være optimalt for disse nøklene vises lett ved selvmotsigelse.!!" 52

53 ! " Hvis vi antar at rota inneholder kr (som en hypotese) så vil alle k<kr være til venstre (og tilsv. for høyre). Begge deltrær må (som nevnt i forrige foil) være optimale for de gitte nøklene. Hvis vi undersøker alle k = ki kj som mulige røtter, og har (og løser problemet rekursivt) så er vi garantert å finne den optimale løsningen for ki kj!! #! "!"! "#"! $ 53

54 %&'()*& +,(&-.,* /012(&*!" ' 9*,:*17786:!"# w(8, ; ) = w(8, * $) + 2* + w(* + $, ; )% Hvis j = i 1 er treet tomt. &'()(*+)(, &-8, ;. = &-8, * $. + &-* + $, ;. + w(8, ; )% e[i, j] er forventet kostnad for optimalt BST over ki kj. &'/0 (1"2#/+3 200"4(0 #'2# 5( 26)( '/:' 9(8 /0 <* % ;( 7+3<#% &)8 266 :237/72#(0, 237 =/:9 #'( >(0# /* ; = 8 $, &-8, ;. = 4/3 {&-8, * $. + &-* + $, ;. + w(8, ; )} /* 8 ;. 8 * ; A+"67 5)/#( 2 )(:")0/B( 26C+)/#'4% % %!"#$%&'() *( "$&'#*+,"+%&'"( D0 E"0"26,F 5(<66 0#+)( #'( B26"(0 /3 2 #2>6(? Vi legger til w(i, j) (dvs. alle p-ene legges til én gang) fordi høyden til alle noder i deltrærne øker med én. w(i, j) er summen av pi pj &- "$.. #$ 6 + 6%. " #$ :23 0#+)( :23 0#+)( &-6 + $, 6. 54

55 [trekk pusten dypt] 55

56 !"#$%&'()*#(!, ", #)!"# $ + $" # + + %" %,$, $ +-. w,$, $ +-.!"# & + $" # %"!"# $ + $" # & + + %" ' $ + & + %,$, '- w,$, '- w,$, ' +- +! '!"# ( $ $" ' Kubisk kjøretid. /012/3 % 435 (**) l (liten L) i hovedløkken er størrelsen på deltrærne vi beregner. i er start og j er slutt for nøklene i det aktuelle deltreet. %" ) %,$, ( +- + %,( + +, '- + w,$, '- &! ) < %,$, '- $'() %,$, '- ) (**),$, '- ( 56

57 !"#$%&'!%(")%*+,-(.$%(!""#)!!""#/0, $ %8! 749 6:; 3<<68!"#$%&'!%(")%($'.%&==(0,! 0,!, 7>;?68,!""#)!"#$%&'!%(")%($'.%&==(! + 0, $,!, 734@:68,!""#)!"#$%&'!%(")%($'.%&==(&, ',!, (&!,!""#)!" & ' #$%& #!""#/&, ' %8 # 7498 (&! 7A:4>B <? %8!!"#$%&'!%(")%($'.%&==(&, # 0, #, 7>;?68,!""#)!"#$%&'!%(")%($'.%&==(# + 0, ', #, 734@:68,!""#) 57

58 Eksempel Longest Common Subsequence. Finner en felles subsekvens hos to sekvenser. Lengden kan brukes som et likhetsmål. Denne type algoritmer er vanlig i bioinformatikk og informasjonsg jenfinning. LCS 58

59 59 Dette er jo mer greatest common subset, også kjent som snitt/ intersection som det jo er trivielt å regne ut i lineær tid vha. f.eks. hashing :-)

60 60

61 Noen eksempler. En Brute Forceløsning vil ha en kjøretid på (n2^m) ser du hvorfor? s p r i n g t i m e h o r s e b a c k p i o n e e r s n o w f l a k e m a e l s t r o m h e r o i c a l l y b e c a l m Merk: John Stewarteksemplet ser bare på snittet av bokstavmengdene et mye enklere problem (som lett kan løses i lineær tid vha. f.eks. hashing). 61 s c h o l a r l y

62 X i = [x1,, xi], Yi = [y1,, yi] X = X m, Y = Yn Z = [z 1,, zk] er en LCS av X og Y 62

63 Hvis de ikke deler siste element kan LCS-en utvides en selvmotsigelse. Hvis x m = yn: z k = xm = yn og Z k 1 er en LCS av Xm 1 og Yn 1 Det samme gjelder her hvis Xm-1 og Yn-1 har en lenger felles subsekvens så kan vi finne en lenger total felles subsekvens enn Z igjen en selvmotsigelse. 63

64 Hvis xm yn og zk xm: I begge tilfeller må Z være en felles subsekvens. Hvis det eksisterte en som var lenger vil den også være lenger totalt en selvmotsigelse. Z er en LCS av X m 1 og Y Hvis xm yn og zk yn: Z er en LCS av X og Y n 1 64

65 !" #$%%&'()* '+," -'.&+ 0.&(&1+(& # +1 '7+ 8&9:&4*&8 *+4'3) ;(&!< 34 56# +1 ;(&!<&8 8&9:&4*&8" c[i,j] er lengden på en LCS av Xi og Yj.!"#$%&'(" )*%+$,-.'*/ =&!4& #>6, ;? +1 56# +1 <6 34B = ; " C& 734' #>5, 4?" )1 6 = D +( ; = D, D )1 6, ; > D 34B >6 = 3 ;, #>6, ;? = #>6 E, ; E? + E %3<(#>6 E, ;?, #>6, ; E?) )1 6, ; > D 34B >6 " = 3 ;. FA3)42 7& *+:@B 7()'& 3 (&*:(8)G& 3@A+()'.% H38&B +4 '.)8 1+(%:@3')+4" 0($ 7)'. H+I+2 H3'" J2!!2! 65 Enten er xi og yj like eller ikke. Hvis de er det skal xi=yj=zk være med. Ellers vil Z være en LCS enten av Xi-1 og Y eller av X og Yj-1. Vi vet ikke hvilken, men prøver begge og velger den største.!2!

66 Rekursjon? Enten vi gjør det rekursivt eller iterativt: Legg svarene i en tabell. J2!!2!!2!,2!!2,!2, J2E E2!,2,,2,!2E,2,!2E!2E J2D D2! E2, E2,,2E E2,,2E,2E!2D 66

67 !"#$!%&'()(!, ", #, $)!"# % * $" # %" &+%,,-,!"# ', $" $ %" &+,, '-,!"# % * $" # %"!"# ' * $" $ %" &! ( % = ) ' $'() &+%, '- &+% *, ' *- + * *+%, '-. / (*+( &! &+% *, '- &+%, ' *- $'() &+%, '- &+% *, '- *+%, '-. / (*+( &+%, '- &+%, ' *- *+%, '-. / #($,#) & 012 * I b-tabellen lagrer vi en referanse til hvor vi «kom fra». 67

68 K L L M M * K L L M M * L L L M M * L M M M M * L M M M M * M M M M M * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * + &!, & -. * & /! # - # (. 0 - &! -. 68

69 X nedover til venstre, Y bortover på toppen. Nedoverpil: Dropp en bokstav fra X vekt 0. Bortoverpil: Dropp en bokstav fra Y vekt 0. Skråpil: Ta med bokstav fra X/Y: Vekt 1. Finn lengste vei fra øverst t.v. til nederst t.h. Dette er rett og slett DAG Shortest Path (eller Longest Path, da som jo blir like lett for DAG-er). 69

70 !"#$%&'()(!, ", #, $)!" # = * +, $ = * #$%& '%#('&!"!-#, $. = / 0 #$%&!"#$%&'()(!, ", # 1, $ 1) 2,345 % # %)*%!"!-#, $. = / 0 #$%&!"#$%&'()(!, ", # 1, $) %)*%!"#$%&'()(!, ", #, $ 1) 70

71 Egenskaper bak DP Optimal substruktur: En optimal løsning bygger på optimale løsninger på delproblemer Overlappende delproblemer: Fordi flere problemer deler delproblemer lønner det seg å lagre dem 71 Korteste vei? Har begge deler. Lengste vei (uten sykler)? Har ikke optimal substruktur Hvis vi ikke har overlappende delproblemer *kan* vi bruke DP, men det er egentlig ingen vits det blir bare splitt-og-hersk med unødvendig lagring av delproblemer.

72 ! 72

73 2 C 2 D < 2 Korteste vei oppdeling i delproblemer som må optimaliseres. Korteste veier består av korteste del-veier. 73

74 A * Lengste vei. Betrakt q-r-t, en maksimal sti fra q til t. Består den av lengste vei fra q til r og fra r til t? *Nei*! Vi kan ikke bruke DP (og har ingen annen god løsning heller). - ( 74

75 Og så var det denne, da

76 for i = 1 n for j = i 1 if A[i] > A[j] L[i] max(l[i], L[j]+1) A L For hvert element, let bakover etter lovlige forgjengere. (Å lete bakover er nyttig hvis vi vil begrense spranglengden.) Delproblemene er lengste subsekvens som slutter på en gitt posisjon, og det er disse vi bruker når vi leter bakover. (Vi kan også lagre hva vi valgte dvs. hva som er forgjengeren, altså pilene i figuren.) 76

77 Kan du finne en subkvadratisk løsning? Hint: Binærsøk 77

78 D&C Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær LP Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Gr. Heapsort Huffmankoding Insertion sort NPC Flyt+ Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Θ etc. Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering DP 78

79 D&C Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær LP Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Gr. Heapsort Huffmankoding Insertion sort NPC Flyt+ Kruskal Merge sort Prim Mer Quicksort DP neste gang Radix :-) sort Randomized Select Select Θ etc. Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering DP 79

80 80