Frekvenser, toner, harmoni

Transkript

1 Tid - frekvens beskrivelse Noter har vært brukt i omtrent denne form siden 1000-tallet Viser at frekvens er helt sentral for vår oppfatning av lyd INSTITUTT FOR INFORMATIKK 1 Frekvenser, toner, harmoni Renstrøken a: 440 Hz 1 oktav er dobling: a =..., 0, 440, 880,... 1 halvtoner i en oktav, geometrisk rekke: f 0 a 1 = f 0 => a = 1/1 Låter harmonisk: Mange overlappende overtoner Kvint 7 halvtoner 7/1 =1,4983 3/ Kvart 4 halvtoner 4/1 =1,3348 4/3 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 13 1

2 Ørets følsomhet veide støymålinger INSTITUTT FOR INFORMATIKK 15 Enheter Frekvens f Antall svingninger pr sekund, målt i Hertz (Hz) Hørsel ca Hz, telefon Hz Trykk p Kraft pr flateenhet F/A Måles i Pascal (Pa) = N/m Atmosfæretrykk ved havoverflaten: 1 atm = Pa Minste hørbare lyd 0 μpa ( atm) Tetthet ρ Luft: ρ 0 = 1.99 kg/m 3 (tørr luft ved havnivå) Vann: ρ 0 = 1000 kg/m 3 = 1 kg/liter (4 C) Hastighet v m/s v = du/dt = ù [u med prikk over], der u er sted (x,y,z) Effekt P eller W måles i Watt; P = E/t = Fs/t, enhet W = J/s = kgm /s 3 Intensitet, I, W/m INSTITUTT FOR INFORMATIKK 16

3 Akustiske trykkbølger: en analogi Figur: J Hovem, TTT4175 Marin akustikk, NTNU I et rør med gass eller en væske blir det seksjoner med varierende tetthet. Her vist ved to forskjellige tidspunkter Analogt med en kø av mennesker eller biler Kalles trykkbølge eller longitudinalbølge Andre typer bølger: Transversalbølger: elektromagnetiske bølger (lys, radio,...) eller skjærbølger = akustiske bølger i faste stoffer (seismikk) Overflatebølger: havbølger INSTITUTT FOR INFORMATIKK 17 Statiske og dynamiske størrelser Trykk: p 0 +p p, p 0 er statisk trykk, typ. 1 atm = Pascal (Pa) Tetthet: ρ 0 + ρ ρ 0 er statisk tetthet målt i kg/m 3 Variasjonene er små: (ρ - ρ 0 )/ρ < 10-3 Forskyvning: u 0 +u i m Partikkelhastighet: h t v = du/dt målt i m/s INSTITUTT FOR INFORMATIKK 18 3

4 Tre enkle prinsipper bak den akustiske bølgeligningen ρu& x z dz 1. Kontinuitetsligningen: ( ρu& x ) ρu& x + dx konservering av masse x. Newtons. lov: F = m a 3. Tilstandsligningen: forhold mellom forandring i trykk og dy volum (I én dimensjon er dette y dx Hookes lov: F = k x fjær) x Figur: J Hovem, TTT4175 Marin akustikk, NTNU INSTITUTT FOR INFORMATIKK 19 Bølgeligningen i kartesiske koordinater Akustisk bølgeligning: Laplaceoperatoren: c lydhastighet 340 m/s luft 1490 m/s vann 1540 m/s kroppsvev s enten trykk, p, eller partikkelhastighet, v. 1 s = 1 s c t s s s s = + + x y z Bølgeligningen sier noe om hvordan trykk/partikkelhastighet forplanter seg INSTITUTT FOR INFORMATIKK 0 4

5 Løsning av bølgeligningen Bølgeligningen er lineær så løsningen kan f.eks. uttrykkes som en sum av komplekse eksponensialer Dette er en Fourier-rekke En Fourier-rekke kan uttrykke et vilkårlig signal unntatt patologiske funksjoner oppfunnet for å finne begrensningene til Fourier-teori Et vilkårlig signal kan være løsning av bølgeligningen Dets form bevares når det utbrer seg. Derfor kan vi snakke sammen, derfor virker radio og TV osv, osv Hvilke komponenter av Fourier-rekken som eksiteres avhenger av grensebetingelser, lydkilde osv INSTITUTT FOR INFORMATIKK 1 Harmonisk løsning i x,y,z Prototypløsninger i en dimensjon: s 1 (t)=asin(ω (t x/c)) (fram) s (t)=asin(ω (t + x/c)) (tilbake) ω vinkelfrekvens = πf Planbølge, idealisering som forutsetter uendelig stor kilde Merk: Ingen avhengighet av avstand! Generalisering: A sin(ω t k x)) k - bølgetall, romlig vinkelfrekvens, i et enkelt medium som luft er k= ω/c INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5

6 Bølgelengde Løsning: s(t)=asin(ω (t x/c)) Periodisitet i tid: ω (t +T) = ω t + π => T= π/ω da ω= πf blir det T= 1/f Periodisitet i rom: ω (x+λ)/c = ω x/c + π => ωλ/c = π eller λ = c/f Alternativt: ti t Hvor langt går bølgen i løpet av en periode? λ = Tc = c/f INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 Oppgave Avstand mellom ørene er ca 17 cm. Vurder denne avstanden i forhold til typiske bølgelengder for lyd ved å finne ved hvilke frekvenser den er ⅛, ¼, ½, >1 bølgelengde? INSTITUTT FOR INFORMATIKK 4 6

7 Bølgeligningen i sfæriske koordinater Antar sirkulær symmetri: r 1 r r s 1 = r c t s Løsning: A s ( r, t) = exp ω / r { j ( t r c) } Avhenger både av tid og sted! INSTITUTT FOR INFORMATIKK 5 Direktivitet I(θ=0) Radiation from a directional source I ref Radiation from an omnidirectional source Figur: J Hovem, TTT4175 Marin akustikk, NTNU INSTITUTT FOR INFORMATIKK 6 7

8 Sfærisk løsning Punktkilde: ~mikrofoner og høyttalere Resiprositet: Bølger ser ikke forskjell på fram og tilbake kan bytte om kilde og mottaker Demping som funksjon av avstand: s ~ 1/r, s 0 ~1/r 0 => s / s 0 =r 0 /r r 0 er referanseavstand, oftest r 0 =1m Lydkilde r 0 I 0 r I Ill.: Kongsberg Maritime INSTITUTT FOR INFORMATIKK 7 Intensitet Trykk og partikkelhastighet henger sammen ved akustisk impedans (et stykke fra kilden): Z=p/v=ρc Intensitet: I = <p v> (midlet over en periode) I = <p> /ρc = p /ρc Trykk faller med r som p=a/r I = A / (r ρc) Elektrisk analog: U = R I p = Z v og effekt P = U I = U /R Trykk = spenning, hastighet = strøm Husk: effektivverdi av en sinus fra amplituden: <U>=U/ Effektivverdi = rms = den likespenning som gir samme effekt INSTITUTT FOR INFORMATIKK 8 8

9 Utstråling fra en punktkilde Ingen foretrukket retning, omnidireksjonalitet Effekt samme intensitet i alle retninger, dvs over et kuleskall, så effekten blir: W= 4πr I= πr ( A/r) /ρc = π A /ρc Utsendt effekt er uavhengig av avstand ingen tap. Effekten spres over et større og større kuleskall slik at intensiteten faller med avstand. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 9 Fall i intensitet med avstand I ~ 1/ r og I 0 ~ 1/ r 0 I/ I 0 =(r 0 /r ) r r 0 u& 0 db fra intensitet: 10log(I/ I 0 )= 0log(r/r 0 ) Figur: J Hovem, TTT4175 Marin akustikk, NTNU INSTITUTT FOR INFORMATIKK 30 9

10 Effekt trykk for sfærisk kilde I=<p> /ρc, <p> - effektivverdien av trykk I = W/4πr Kombinert: <p> = ρcw/4πr db: 0logp=10log(ρc/4π)+10logW-0logr Kilde i luft: c=343 m/s, ρ=1.7 kg/m 3 10log(ρc/4π)=15.4 db 0logp= logW-0logr - relativt 1 Pa 0logp= logW-0logr - relativt 0 μpa da -0log(0e-6) = 94 db og =109.4 INSTITUTT FOR INFORMATIKK 31 Effekt trykk for planbølge <p> = ρcw I luft: W=10-1 svarer til p = [ρcw] 1/ = sqrt{343*1.7*1e-1} = 0.9 μpa 0 μpa Derfor ser man noen ganger db-skalaen referert til 10-1 W i stedet for 0 μpa NB! Gjelder bare planbølger I db: 0logp=10log(ρc)+10logW 6+10logW db høyere enn for sfærisk bølge INSTITUTT FOR INFORMATIKK 3 10

11 Oppgave En høyttaler som står i fritt rom gir ut et lydtrykk på m Hvor stort er lydtrykket på 10 m avstand? INSTITUTT FOR INFORMATIKK 33 Hvilken akustisk effekt svarer til 90 db 1m? Bruker 0logp= logW-0logr 0logr - relativt 0 μpa Regner med sfærisk bølge da høyttaler punktkilde 90 = logW => W=0.011 Watt Dette er typisk lydtrykk fra en høyttaler ved 1 Watt elektrisk pådrag, dvs virkningsgrad 1.1% 98.9% 9% av effekten går med til å varme opp høyttaleren Bare hornhøyttalere er vesentlig mer effektive, derfor brukes de ved store konserter der det trengs kw. INSTITUTT FOR INFORMATIKK 34 11