INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 12: Herman Ruge Jervell 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 8. mai 2006 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 2 / 27 Regler Innhold 1 Regler 2 Gerhard Gentzen (1908-1945) Aksiomer: enkle sekventer som Γ, L, L der L er litteral (atomær eller negasjon av atomær) Strukturelle regler: datastrukturen for sekventer : Fire typer α, β, γ, δ Velger en versjon av sekventkalkyle som gjør det vanskelige snitteliminasjonsteoremet så enkelt som mulig. Velger ensidig sekventkalkyle. Enkelt å oversette argumentet til andre systemer. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 3 / 27 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 4 / 27
Språket 1 Språket 2 Litteraler: L og L Konnektiver: F G og F G Kvantorer: x.fx og x.fx Negasjon er definert: F = F F G = F G F G = F G x.fx = x.fx x.fx = x.fx Lengden av en formel er gitt ved Litteraler: l(l) = 1 Konnektiver: l(f G) = l(f G) = 1 + max(l(f ), l(g)) Kvantorer: l( x.fx) = l( x.fx) = 1 + l(fx) Sekvent endelig bag (multiset) av formler. Skrives Γ og Γ, F.... Skriver F for F Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 5 / 27 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 6 / 27 Strukturelle regler Aksiom er der L er litteral.de logiske reglene er Γ, L, L Γ, F, G Γ, F G α Γ, F Γ, G Γ, F G β Γ, x.fx, Ft Γ, x.fx Regel δ oppfyller egenvariabelbetingelse. γ Γ, Fa Γ, x.fx δ Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 7 / 27 Den eneste strukturelle regelen er kontraksjon Γ, F, F Γ, F Siden sekventer er bager, så kan vi bytte om på rekkefølgen av formler i sekventer uten videre de representerer samme bag. Ved bruk av kontraksjon kan vi forenkle formuleringen av noen av reglene. Det er f eks vanlig å ha i stedet for regel γ Γ, Ft Γ, x.fx γ men da glemmer en fort at regel γ skal gi en prosess der vi fra x.fx kan etter hvert produsere alle instanser Ft når vi falsifiserer formelen. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 8 / 27
Snitt Viktigste avledete regel Snitt Varianter av Snitt Γ, F Γ, F Γ Snitt F kalles snittformelen. Observer Dette er ikke en av de vanlige reglene følger den intenderte meningen med sekventer Vansker med en mekanisering av snitt Må gjette på snittformel A A B B Antagelse Modus ponens Antagelse, Teorem Antagelse Teorem ble innført av Gerhard Gentzen. Vi skal se at vi kan eliminere bruk av snitt, men mot at vi får en voldsom økning av størrelsen på derivasjonen. Dette er hovedtemaet i denne forelesningen. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 9 / 27 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 10 / 27 Derivasjoner Trær Se på premissene og konklusjonen i våre regler. Den aktive formelen er den som blir endret Ekstraformlene i konklusjonen finnes også i premissene Gitt en formel vi kan spore forekomstene av formelen opp i derivasjonen gjennom ekstraformler inntil den ender enten opp som aktiv formel eller som aksiom Tråd en sporing av slike forekomster av samme formel Gitt en formel i konklusjonen av en derivasjon Kompleksitet Grad og høyde av derivasjoner D Γ[g, h] D er en derivasjon av sekventen Γ Graden g : alle snittformler er av lengde g Høyden h : derivasjonen har høyde h (høyde = høyden av derivasjonstreet) D Γ[g, h ] alle snittformler er av lengde < g derivasjonen har høyde < h Her har vi markert tråden. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 11 / 27 og varianter der vi utelater D eller kombinasjoner av g, g og h, h Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 12 / 27
Vanlige og enkle En regel Γ Et hygienisk lemma 1 La V være en mengde variable og anta D Γ[g, h]. Da finnes derivasjon D uten bruk av egenvariable fra V slik at D Γ[g, h]. er en (vanlig) avledet regel om Γ og en enkel avledet regel om Γ[g, h] [g, h] Ved induksjon over høyden av derivasjonen D Opplagt om ikke siste regel er γ. Så anta at siste regel er Γ, Fa Γ, x.fx Forts... Dette er litt forskjellig definisjon en den i forelesningene. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 13 / 27 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 14 / 27 Et hygienisk lemma 2 Tynning Tynningsregelen er Forts... Anta at siste regel er Γ, Fa Γ, x.fx La b være en ny fersk variabel verken brukt i D eller med i V og bruk induksjon til å finne D Γ, Fa[g, h ] uten egenvariable fra V {b}. Erstatt a med b i D slik at vi får D Γ, Fb[g, h ] og D Γ, x.fx[g, h] der D ikke innholder egenvariable fra V Γ Γ, Tynning Tynningsregelen er en enkel avledet regel. Anta D Γ[g, h] og etter hygienisk lemma at D ikke inneholder egenvariable som er i sekventen. Legg til i alle sekventer i D og vi får D Γ, [g, h] Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 15 / 27 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 16 / 27
Omvending av α, β og δ 1 Omvending av α, β og δ 2 Samme bevis for alle disse reglene. Gjør dette for regel β 1. Så anta at vi har Γ, F G. Kan anskueliggjøre dette ved Γ, F G Γ, x.fx Γ, F, G α Γ, Ft δ Γ, F G Γ, F β 1 Γ, F G Γ, G Omvendingene av reglene α, β og δ er enkle avledete regler Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 17 / 27 β 2 Her har vi markert tråden over F G dvs forekomstene av F G fra den i konklusjonen og oppover. Tråden avsluttes i punkter med enten aksiom eller konklusjon i β-regel. Erstatt samtlige punkter i denne tråden med F. Ved aksiomer gjør ikke noe. Ved konklusjon av β-regel med hovedformel F G kutt ut høyre premiss og fortsett med venstre premiss. Vi får en ny derivasjon av Γ, F der verken grad eller høyde blir større. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 18 / 27 Selve lemmaet Litteral Se på derivasjonen av Γ, L Anta at F har lengde g og anta Γ, F [g, h] og Γ, F [g, h]. Da har vi Γ[g, 2h] Det interessante tilfellet er når lengden til F er g og i den endelige derivasjonen ikke bruker noe snitt med så stor snittformel Bevis er over oppbyggingen av F Vi får tre tilfeller for F litteral, konnektiv, kvantor Vi har markert tråden over L. Vi stryker nå vekk alle forekomstene i tråden. Se på topppunktene i tråden L inngår som aksiom. Etter stryking av L vil da sekventen se slik ut Γ 0, L. Da setter vi derivasjonen Γ 0, Γ, L på toppen. Aksiom der L ikke inngår. Det vil fortsette å være et aksiom etter stryking av L i tråden. Vi ender opp med derivasjon Γ[0, 2h]. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 19 / 27 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 20 / 27
Konnektiver Kvantorer 1 Se på derivasjonen av Γ, x.fx Vi antar Γ, F G[g, h] og Γ, F G[g, h] Tilfellet h = 1 er trivielt da er begge sekventene aksiomer. Ved omvending Γ, F [g, h], Γ, G[g, h] og Γ, F, G[g, h] Snittformlene F og G er av lengde < g Vi får Γ[g, h + 2] For h > 1, så er h + 2 2h, og vi har Γ[g, 2h] Vi har markert tråden med x.fx. I den tråden ønsker vi å stryke alle forekomster av den. Problemet er med forekomster av typen Γ 0, x.fx, Fs Γ 0, x.fx Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 21 / 27 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 22 / 27 Kvantorer 2 Prosessen I tråden har vi en rekke termer brukt til γ-regler som involverer x.fx. For hver slik forekomst av term setter vi inn Γ, Γ 0, Fs Γ, Γ 0, Fs Γ, Γ 0 Bruker δ-omvending og tynning og får Dette gir og hovedlemmaet er bevist Γ, Γ 0, Fs[g, h] Γ[g, 2h] Prosess for eliminering av snitt Gitt derivasjon Finn maksimal lengde av snittformel Finn snitt av maksimal lengde så høyt oppe i derivasjonen som mulig Eliminer dette snittet ved bruk av hovedlemmaet Får derivasjon med færre snitt av maksimal lengde Gjenta så lenge det er flere snitt igjen Denne prosessen forutsetter at derivasjonene er velfunderte vi kan plukke ut snitt så høyt oppe som mulig. Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 23 / 27 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 24 / 27
Teorem Teorem beviset Teorem Γ[g, h] Γ[g 1, 2 h ] Γ[0, 2 h g ] 2 h 0 = h 2 h n+1 = 2 (2h n ) D Γ[g, h] Vi bruker så hovedlemmaet på snitt av grad g Dette gjøres fra toppen og nedover Kan se dette som en rekursjon over høyden h i D Vi får h fordoblinger Dermed Γ[g 1, 2 h ] Vi får et 2-er tårn 2 22. Resten av teoremet følger. Dette gir et voldsomt estimat. En derivasjon med høyde 5 og snittgrad 2 får en snittfri derivasjon med høyde mindre enn med parenteser den vriene veien som estimat for høyden av den snittfrie derivasjonen. 4294967296 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 25 / 27 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 26 / 27 Diskusjon En kan ikke unngå slik vekst Matematiske bevis bruker snitt Mekanisering av bevis unngår snitt Interaktiv bevissystem brukeren gir forslag til snitt Stort uutforsket tema snittintroduksjon Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 08.05.2006 27 / 27