UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksaen i: ECON00 Mateatikk /Mikro Exa: ECON00 Matheatics /Micro Eksaensdag: Tirsdag 9. ai 007 Sensur kunngjøres: Onsdag 0. juni Date of exa: Tuesday, May 9, 007 Grades will be given: Wednesday, June 0. Tid for eksaen: kl. 09:00 5:00 Tie for exa: 09:00 a.. 03:00 p.. Oppgavesettet er på 5 sider The proble set covers 5 pages English version on page 3 Tillatte hjelpeidler: Ingen tillatte hjelpeidler Resources allowed: No resources allowed Eksaen blir vurdert etter ECTS-skalaen. A-F, der A er beste karakter og E er dårligste ståkarakter. F er ikke bestått. The grades given: A-F, with A as the best and E as the weakest passing grade. F is fail. Oppgave - x g- x La f ( x) xe e = + der er en konstant. a) Beregn f ( x) og f ( x). b) Finn en x * so tilfredsstiller f ( x *) = 0. Drøft hvordan x* avhenger av. c) Avgjør o x * er et lokalt aksius- eller iniuspunkt. d) Skisser grafen til f( x ) når = 0. (Hint: li f( x) =- og li f( x) = 0.) x - x Oppgave En onopolist står overfor en etterspørselsfunksjon x = A p, der x er etterspurt kvantu til prisen p. (A er en positiv konstant.) Produksjonskostnadene til onopolisten er cx, der c er en konstant ed 0 < c < A. a) Vis at den profittaksierende tilpasningen er kjennetegnet ved en onopolpris ( p ) og solgt kvantu ( x ), der = + p c og x =.
b) Beregn onopolprofitten og vis hvordan denne varierer ed grensekostnaden. Myndighetene er av den oppfatning at onopolisten produserer for lite av denne * varen og vil derfor få den til å selge et kvantu x = A c av varen gjenno en stykksubsidie. c) For hvilken stykksubsidie vil en nå dette ålet? Oppgave 3 En bedrift produserer en vare i engde x ed produktfunksjonen x= Fn ( ), der n er anvendte arbeidstier. Vi antar at F (0) = 0, F ( n) > 0 og F ( n) < 0. Bedriften selger varen til en gitt pris p og opptrer også so prisfast kvantustilpasser ved kjøp av arbeidstier, ed pris w per tie. a) Forklar hva de oppgitte betingelsene på produktfunksjonen betyr. b) Gjør rede for bedriftens tilpasning når ålet er å aksiere profitten. Hva er betingelsen for at bedriften vil ønske å produsere? c) Utled bedriftens tilbudsfunksjon for varen og etterspørselsfunksjon for arbeidstier. Vis ved derivasjon hvordan tilbudet av varen og bruken av arbeidsinnsats påvirkes av en økning i produktprisen en økning i tielønna en proporsjonal økning i produktpris og tielønn d) Anta at bedriften blir pålagt å betale en avgift på t kroner per enhet solgt av varen. Hva skjer o avgiften øker? e) Vis til slutt hvordan bedriftens tilpasning påvirkes av at det innføres en skatt på profitten på 00 τ %, der 0< τ <. Oppgave 4 a) Løs probleet: ax( x y cx ky xy) - - - - +. Her er c og k positive paraetere. Du kan anta at probleet har en løsning. b) Bruk Lagranges etode for å løse: ax/ in - ( - x) - ( - y) gitt at ( ) x + y = R. Her er R > 0 en konstant. Lag en figur so illustrerer løsningen for R =, og 3. Har du funnet aksiu eller iniu? Regn ut Lagrangeultiplikatoren og drøft hvordan den varierer ed R. Gi en intuitiv forklaring på hvorfor Lagrangeultiplikatoren skifter fortegn når R går fra verdier indre enn til verdier større enn.
Oppgave 5 En konsuent har preferanser for to varer, gitt ved nyttefunksjonen Uc (, c ). Du skal anta at denne nyttefunksjonen er tilstrekkelig deriverbar, de partielt deriverte av første orden er begge strengt positive, og den arginale substitusjonsbrøken er avtakende. Konsuenten er prisfast kvantustilpasser og betaler prisene p og p for hver enhet av de to varene, og har i utgangspunktet en gitt inntekt so i sin helhet brukes til kjøp av de to varene. a) Forklar hva so enes ed arginal substitusjonsbrøk og hva so enes ed at den er avtakende. b) Forklar hva stigningstallet til budsjettlinja uttrykker. c) Bruk Lagranges etode til å finne tilpasningen og forklar hva so kjennetegner denne når begge varer blir konsuert. d) Still opp de ordinære etterspørselsfunksjonene og forklar hvordan etterspørselen etter en av varene påvirkes av en økning i inntekten en økning i prisen på varen selv en økning i prisen på den andre varen e) Virkningen på etterspørselen etter en vare av en prisendring kan splittes opp i en inntektseffekt og en substitusjonseffekt. Vis og forklar disse effektene i en figur. f) Anta til slutt at konsuenten, i tillegg til inntekten, ottar en gave i for av en viss engde, c, av vare. Forklar hvordan en slik gave vil påvirke budsjettbetingelsen og vis i en figur hvordan en økning i prisen på vare nå vil kunne påvirke tilpasningen til konsuenten. English version Proble - x g- x Let f ( x) = xe + e where is a constant. a) Calculate f ( x) and f ( x). b) Find a value x * satisfying f ( x *) = 0. Discuss how x* varies with. c) Deterine whether x * is a local axiu or iniu. d) Sketch the graph of f(x) when = 0. (Hint: li f( x) =- and li f( x) = 0.) x - x 3
Proble A onopolist is facing a deand function x = A p, where x is deand at price p. (A is a positive constant.) Cost of production is cx, where c is a constant with 0 < c < A. a) Show that profit axiisation leads to a onopoly price ( p ) and output ( x ), given by = + p c and x =. b) Calculate the onopoly profit and show how this profit will vary with arginal cost. The governent argues that the onopoly produces too little, hence it wants to * induce the onopolist to sell an aount given by, x = A c, by granting a subsidy per unit output. c) Calculate the subsidy that is required to reach this target. Proble 3 A fir is producing x units of a good by eans of the production function x= Fn ( ), where n is nuber of an-hours. We assue that F (0) = 0, F ( n) > 0 and F ( n) < 0. The fir is selling its output at a given price p and also acts as a price taker in the arket for an-hours, by paying a price w per hour. a) Explain what the given assuptions on the production function iply. b) Show how the fir will behave when its objective is to axiise profit. Which condition ust be satisfied in order that the fir wants to produce? c) Derive the fir s supply function for the output and the deand function for the input. Show by eans of differentiation how output supply and input deand will be affected by an increase in the product price an increase in the wage rate a proportional increase in product price and wage rate d) Suppose that the fir is required to pay a unit tax equal to t kroner per unit of the output sold. What will happen if the tax increases? e) Finally, you are asked to show how the fir s behaviour will be affected by a tax on profit, at a tax rate equal to 00 τ %, where 0< τ <.. Proble 4 a) Solve the proble: ax( x y cx ky xy) - - - - +, where c and k are positive paraeters. You can assue that the proble has a solution. 4
( ) b) Use Lagrange s ethod to solve: ax/ in - ( - x) - ( - y) subject to x + y = R, where R > 0 is a constant. Draw a figure illustrating the solution for R =, and 3. Is it a axiu or a iniu? Calculate the Lagrange ultiplier and discuss how it varies with R. Give an intuitive explanation for why the Lagrange ultiplier changes sign when R goes fro values less than to values greater than. Proble 5 onsuer has preferences for two goods, represented by a utility function Uc (, c ). Assue that this utility function is sufficiently differentiable with strictly positive partial derivatives of the first order and with decreasing arginal rate of substitution. The consuer is a price taker and is facing prices p and p per unit of the two goods, and has, as a point of departure, a given incoe that is fully spent on the two goods. a) Explain what is eant by the arginal rate of substitution and what it eans by it being decreasing. b) Provide an interpretation of the slope of the budget line. c) Use Lagrange s ethod to derive the consuer s behaviour and explain its properties when both goods are consued. d) Forulate the ordinary deand functions and explain how deand for one of the goods will be affected by an increase in the incoe an increase in the own price of the good an increase in the price of the other good e) The effect on deand for a good of a price change can be decoposed into an incoe effect and a substitution effect. Show and explain these effects by eans of illustrations or diagras. f) At last let us assue that the consuer in addition to the incoe receives a gift consisting of a certain aount c, of good. Explain how such a gift will affect the budget constraint and illustrate by help of a diagra how an increase in the price of good ay affect the behaviour of the consuer. 5