Eksamen 0.05.016 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål
Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 3 timar. Del skal leverast inn seinast etter 5 timar. Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Alle hjelpemiddel er tillatne, med unntak av Internett og andre verktøy som tillèt kommunikasjon. Del 1 har 7 oppgåver. Del har 4 oppgåver. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil ein alternativ metode kunne gi låg/noko utteljing. Rettleiing om vurderinga: Bruk av digitale verktøy som grafteiknar og CAS skal dokumenterast med utskrift eller gjennom ein IKT-basert eksamen. Poeng i Del 1 og Del er berre rettleiande i vurderinga. Karakteren blir fastsett etter ei samla vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du viser rekneferdigheiter og matematisk forståing gjennomfører logiske resonnement ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjonar kan bruke formålstenlege hjelpemiddel forklarer framgangsmåtar og grunngir svar skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar, nemningar, tabellar og grafiske framstillingar vurderer om svar er rimelege Andre opplysningar: Kjelder for bilete, teikningar osv.: Alle grafar og figurar: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side av 0
DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (5 poeng) Deriver funksjonane gitt ved a) b) f x x x ( ) 3 6 4 g x x x 3 ( ) 5ln( ) c) hx ( ) x 1 x 1 Oppgåve (5 poeng) Polynomet P er gitt ved 3 P( x) x 7x 14x k a) Vis at P er deleleg med ( x ) viss og berre viss k 8. b) Sett k 8 og faktoriser P ved hjelp av lineære faktorar. c) Løys ulikskapen Px ( ) 0. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 3 av 0
Oppgåve 3 (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved 1 f( x) x e x, Df a) Vis at f ( x) x(1 x )e x 1 b) Bestem eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f. c) Lag ei skisse av grafen til f, når du får vite at fx ( ) 0 når x d) Bruk skissa til å avgjere kor mange vendepunkt grafen til f har. Marker vendepunkta på skissa. Oppgåve 4 (4 poeng) Ein likesida ABC har side lik 6. Høgda frå C treffer AB i H. BEDC er eit kvadrat. Ein sirkelboge med sentrum i C og radius CE treffer forlenginga av AB i punktet F. Sjå figuren nedanfor. D C E A H B F a) Bestem lengdene av linjestykka CH, CF og HF. b) Vis at forholdet AF AB er lik «det gylne snitt» 1 5. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 4 av 0
Oppgåve 5 (6 poeng) Punkta A (1, 1), B (5, ) og C (3, 5) er gitt. a) Bruk vektorrekning til å avgjere om punkta ligg på ei rett linje. Punktet D er gitt ved D(0, t ). b) Bestem eventuelle verdiar av t slik at CDA 90. c) Bestem eventuelle verdiar av t slik at ABCD blir eit trapes. Oppgåve 6 (4 poeng) Elevane på Vg1 må velje fag for Vg. Camilla vil ha realfag som programområdet sitt og må derfor velje minst to realfag. Skolen tilbyr fem realfag og åtte fag frå andre programområde. a) Kor mange fagkombinasjonar er mogleg dersom ho skal ha to realfag og to andre fag? b) Camilla skal velje fire fag. Kor mange fagkombinasjonar er mogleg dersom minst to av faga skal vere realfag? Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 5 av 0
Oppgåve 7 (5 poeng) Ein funksjon f er gitt på forma f( x) x p x q Vi kan finne eventuelle nullpunkt til f ved hjelp av ein geometrisk konstruksjon. Framgangsmåten er gitt i boksen nedanfor. 1) Set av punkta A (0, 1) og B( p, q) i eit koordinatsystem. ) Konstruer sirkelen som har AB som diameter. 3) Skjeringspunkta mellom sirkelen og x-aksen er nullpunkta til f. a) Bruk framgangsmåten til å konstruere sirkelen når f x x x ( ) 8 Kva er nullpunkta til f, ifølgje konstruksjonen? Vi skal no sjå på det generelle tilfellet f( x) x p x q b) Vis at sentrum S og radien r til sirkelen er gitt ved p 1, q S og r p ( q 1) 4 c) Bestem likninga for sirkelen uttrykt ved p og q. Vis at sirkelen skjer x-aksen i nullpunkta til funksjonen f. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 6 av 0
DEL Med hjelpemiddel Oppgåve 1 (6 poeng) Vi har to bunkar med kort. I bunke A er det 5 raude og 3 svarte kort. I bunke B er det 3 raude og 4 svarte kort. Vi vel tilfeldig éin av bunkane og trekkjer tilfeldig kort frå denne bunken. Vi definerer desse hendingane: F: Vi vel bunke A R: Vi trekkjer raude kort a) Bestem PF ( ), PF ( ), P( R F ) og P( R F ). b) Bestem PR. ( ) c) Bruk Bayes setning til å bestemme P( F R ). Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 7 av 0
Oppgåve (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved x fx ( ) 5e, x 0 a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til f. Rektangelet OABC er gitt ved punkta O (0, 0), Ax (, 0), B( x, f( x )) og C(0, f( x )). b) Forklar at arealet til rektangelet er gitt ved x x T( x) 5 e c) Bestem det største arealet rektangelet kan få. Bestem den tilhøyrande verdien for x. Oppgåve 3 (8 poeng) Gitt tre punkt A (1, 3), B (4, 0) og C (5, 5). a) Bestem ei parameterframstilling for linja gjennom B og C. b) Eit punkt P ligg på linja. Forklar at vi kan skrive AP [3 t, 3 5 t] for ein t. c) Bruk mellom anna skalarprodukt til å finne koordinatane til P slik at AB AP. d) Bruk CAS til å bestemme kva for koordinatar P kan ha når BAP 45. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 8 av 0
Oppgåve 4 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved fx ( ) 1, x 0 x ABC har hjørna A( r, f( r )), B( s, f( s )) og C( t, f( t )) på grafen til f, der r, s, t er tre parametrar. 1. l 1 a) Vis at linja gjennom A som står normalt på linja gjennom B og C, er gitt ved 1 y st ( x r) r På same måte kan vi vise at linja gitt ved 1 y rt ( x s) s l gjennom B som står normalt på linja gjennom A og C, er b) Linjene l og l 1 skjer kvarandre i eit punkt P. Bruk CAS til å vise at P alltid vil liggje på grafen til f. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 9 av 0
Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 3 timer. Del skal leveres inn senest etter 5 timer. Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Del 1 har 7 oppgaver. Del har 4 oppgaver. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, kan en alternativ metode gi lav/noe uttelling. Veiledning om vurderingen: Bruk av digitale verktøy som graftegner og CAS skal dokumenteres med utskrift eller gjennom en IKT-basert eksamen. Poeng i Del 1 og Del er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger vurderer om svar er rimelige Andre opplysninger: Kilder for bilder, tegninger osv.: Alle grafer og figurer: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 10 av 0
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved a) b) f x x x ( ) 3 6 4 g x x x 3 ( ) 5ln( ) c) hx ( ) x 1 x 1 Oppgave (5 poeng) Polynomet P er gitt ved 3 P( x) x 7x 14x k a) Vis at P er delelig med ( x ) hvis og bare hvis k 8. b) Sett k 8 og faktoriser P ved hjelp av lineære faktorer. c) Løs ulikheten Px ( ) 0. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 11 av 0
Oppgave 3 (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved 1 f( x) x e x, Df a) Vis at f ( x) x(1 x )e x 1 b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til f. c) Lag en skisse av grafen til f, når du får vite at fx ( ) 0 når x. d) Bruk skissen til å avgjøre hvor mange vendepunkt grafen til f har. Marker vendepunktene på skissen. Oppgave 4 (4 poeng) En likesidet ABC har side lik 6 cm. Høyden fra C treffer AB i H. BEDC er et kvadrat. En sirkelbue med sentrum i C og radius CE treffer forlengelsen av AB i punktet F. Se figuren nedenfor. D C E A H B F a) Bestem lengdene av linjestykkene CH, CF og HF. b) Vis at forholdet AF AB er lik «det gylne snitt» 1 5. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 1 av 0
Oppgave 5 (6 poeng) Punktene A (1, 1), B (5, ) og C (3, 5) er gitt. a) Bruk vektorregning til å avgjøre om punktene ligger på en rett linje. Punktet D er gitt ved D(0, t ). b) Bestem eventuelle verdier av t slik at CDA 90. c) Bestem eventuelle verdier av t slik at ABCD blir et trapes. Oppgave 6 (4 poeng) Elevene på Vg1 må velge fag for Vg. Camilla vil ha realfag som sitt programområde og må derfor velge minst to realfag. Skolen tilbyr fem realfag og åtte fag fra andre programområder. a) Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom hun skal ha to realfag og to andre fag? b) Camilla skal velge fire fag. Hvor mange fagkombinasjoner er mulig dersom minst to av fagene skal være realfag? Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 13 av 0
Oppgave 7 (5 poeng) En funksjon f er gitt på formen f( x) x p x q Vi kan finne eventuelle nullpunkt til f ved hjelp av en geometrisk konstruksjon. Framgangsmåten er gitt i boksen nedenfor. 1) Sett av punktene A (0, 1) og B( p, q) i et koordinatsystem. ) Konstruer sirkelen som har AB som diameter. 3) Skjæringspunktene mellom sirkelen og x-aksen er nullpunktene til f a) Bruk framgangsmåten til å konstruere sirkelen når f x x x ( ) 8 Hva er nullpunktene til f, ifølge konstruksjonen? Vi vil nå se på det generelle tilfellet f( x) x p x q b) Vis at sentrum S og radien r til sirkelen er gitt ved p 1, q S og r p ( q 1) 4 c) Bestem likningen for sirkelen uttrykt ved p og q. Vis at sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til funksjonen f. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 14 av 0
DEL Med hjelpemidler Oppgave 1 (6 poeng) Vi har to bunker med kort. I bunke A er det 5 røde og 3 svarte kort. I bunke B er det 3 røde og 4 svarte kort. Vi velger tilfeldig én av bunkene og trekker tilfeldig kort fra denne bunken. Vi definerer følgende hendelser: F: Vi velger bunke A R: Vi trekker røde kort a) Bestem PF ( ), PF ( ), P( R F ) og P( R F ). b) Bestem PR. ( ) c) Bruk Bayes setning til å bestemme P( F R ). Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 15 av 0
Oppgave (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved x fx ( ) 5e, x 0 a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f. Rektangelet OABC er gitt ved punktene O (0, 0), Ax (, 0), B( x, f( x )) og C(0, f( x )). b) Forklar at arealet til rektangelet er gitt ved x x T( x) 5 e c) Bestem det største arealet rektangelet kan få. Bestem den tilhørende verdien for x. Oppgave 3 (8 poeng) Gitt tre punkt A (1, 3), B (4, 0) og C (5, 5). a) Bestem en parameterframstilling for linjen gjennom B og C. b) Et punkt P ligger på linjen. Forklar at vi kan skrive AP [3 t, 3 5 t] for en t. c) Bruk blant annet skalarprodukt til å finne koordinatene til P slik at AB AP. d) Bruk CAS til å bestemme hvilke koordinater P kan ha når BAP 45. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 16 av 0
Oppgave 4 (4 poeng) Funksjonen f er gitt ved fx ( ) 1, x 0 x ABC har hjørnene A( r, f( r )), B( s, f( s )) og C( t, f( t )) på grafen til f, der r, s, t er tre parametere. 1 l 1 a) Vis at linjen gjennom A som står normalt på linjen gjennom B og C, er gitt ved 1 y st ( x r) r På samme måte kan vi vise at linjen A og C, er gitt ved 1 y rt ( x s) s l gjennom B som står normalt på linjen gjennom b) Linjene l og l 1 skjærer hverandre i et punkt P. Bruk CAS til å vise at P alltid vil ligge på grafen til f. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 17 av 0
Blank side. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 18 av 0
Blank side. Eksamen REA30 Matematikk R1 Våren 016 Side 19 av 0
Schweigaards gate 15 Postboks 9359 Grønland 0135 OSLO Telefon 3 30 1 00 www.utdanningsdirektoratet.no