Forelesning 12. Levetider. STK november Eksempel: Klinisk forsøk. Fra studiens start ved tid
|
|
- Ole Fredriksen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Eksempel: Klinisk forsøk Forelesning STK - november 7 S O Samuelsen Fra studiens start ved tid Nye pasienter oppdages og inkluderes i studien Pasientene følges opp til død, eller til de ikke lenger vil delta i studien eller til studiens avslutning Sensurering Overlevelses- og hazardfunksjon Estimering av overlevelse, Kaplan-Meier Log-rank test for forskjell i overlevelse 5 Proporsjonal hazard modell, Cox-regresjon 6 Parametrisk regresjon, Poissonregresjon Forelesning p55 Forelesning p5 Levetider Eller mer generelt: Tid til en hendelse Eksempel: Klinisk forsøk, forts Skjematisk: Død angis ved og sensur ved Tid til død Tid til en maskin slutter å virke Tid til sykdom Varighet av ekteskap Varighet av arbeidsforhold Alder ved seksuell debut Typisk problem: Sensurering: Ilive ved oppfølgingstidens utløp Fig til venstre: kalendertid, Fig til høyre tid inkl i studien Patient Observations 5 5 Time (months) Patient Observations reorganised 5 5 Survival times (months) Forelesning p55 Forelesning p5
2 " -, Levetider, formelt For eksponensialfordelingen levetid for individ nr, dvs konstant tid til sensur for individ nr Observerer ikke (eller ), men bare Responsene i levetidsanalyse er parene kombinasjon av kontinuerlig variabel Sensurert levetid for individ nr Indikator for død for individ nr, dvs og binær variabel f(t) 5 5 Tetthet t S(t) 6 8 Overlevelsesfunksjon t Feks regresjon på uten hensyn til Trenger egne metode for levetidsdata! gir ikke mening H(t) 5 6 Kumulativ hazard h(t) Hazard Forelesning p555 t t Forelesning p75 Fordelingsfunksjoner for levetid Weibullfordelingene: Tetthet sa P Med : Eksponensialfordeling, konstant Overlevelsesfunksjon Med : Økende hazard Hazard sa P Med : Avtagende hazard Kumulativ hazard! Betegner for "Survival" Fortolkn hazard: Sanns for død i lite intervall om t (delt på Har da følgende sammenhenger ) hazard alpha= alpha=- alpha= (*)+ 5 tid Kumulativ P Forelesning p655 Forelesning p85
3 " ", ) ( -, ), - ) Begrunnelse for Kaplan-Meier: I live rett før P(Dø ved tid I live rett før P(Overleve ved tid Dermed Overleve P(Overleve P(overleve Overleve P(Overleve P(Overleve Sier at Kaplan-Meier er ikke-parametrisk fordi vi ikke har antatt at levetidene følger en parametrisk fordeling Forelesning p5 uansett fordeling for Kan bruke Et konstruert datasett: Sensurerte levetider der * indikerer sensurert verdi! " Døde Under risk Tid ' ' * + * ' ' * ' ' * * ) ( 5 ( Forelesning p5 Weibullfordelingene, forts For Weibullfordelingen has Forelesning p955 Kaplan-Meier estimator for overlevelsesfunksjon, Lar, med indikatorfunksjon tid for hendelse nr j sa antall døde ved antall "under risiko" ved ved Kaplan-Meier estimatoren Estimerer da når Forelesning p55
4 R-beregning av Kaplan-Meier > y<-c(,, 5, 6, 7, 8, 8,, ) > d<-c(,,,,,,,, ) > library(survival) > survtest<-survfit(surv(y,d)) > survtest Call: survfit(formula = Surv(y, d)) n events median 95LCL 95UCL Inf > names(survtest) [] "n" "time" "nrisk" "nevent" "surv" "type" [7] "stderr" "upper" "lower" "conftype" "confint" "call" > cbind(survtesttime,survtestnrisk,survtestnevent,survtestsurv) [,] [,] [,] [,] [,] [,] [,] [,] [5,] [6,] 8 7 [7,] 7 [8,] Forelesning p55 Eksempel: 5 danske melanomapasienter S(t)=P(T>t) Tid til død av melanoma (årsaksspesikt) Tid til slutt på oppfølging eller død av annen årsak tid (aar) > survfit(surv(time,dead)) Call: survfit(formula = Surv(time, status == )) n events median 95LCL 95UCL 5 57 Inf Inf Inf Forelesning p55 R-plott av Kaplan-Meier > plot(survfit(surv(y,d))) Kumulativ hazard: Nelson-Aalen estimatoren Estimering av kumulativ hazard: Nelson-Aalen estimatoren 6 8 Kan på denne bakgrunn alternativt estimere, evt ved Estimering av hazard Mulig, men vanskeligere (*)+ og tetthet : ved 6 8 Forelesning p55 Forelesning p65
5 Variansestimering for Var Var og : Var Grafisk sml i R y<-c(,,,7,,,8,9,,7,,,5,6,6,7,7,,6,58, 67,8,,6,,5,56,68,89,96,96,5,8,,,,,5 6,8,6,68,7,8) d<-c(rep(,6),rep(,6),c(,,,,,,,,,,,,,,,,,,, gr<-c(rep(,),rep(,)) plot(survfit(surv(y,d) gr),lty=:,xlab="time (months)",ylab="sur legend(,,c("kontroll","behandling"),lty=:,bty="n") når få dødsfall ved hvert tidspunkt 95 Konfidensintervall for S(t): Var Survival 6 8 Kontroll Behandling 5 5 Forelesning p755 Time (months) Forelesning p95 Sammenligning av to grupper Eksempel: Er overlevelse bedre med ny terapi? Overlevelsesdata med trad terapi Overlevelsesdata med ny terapi Log-rank test Antall døde i kontrollgruppa Antall døde i behandlingsgruppa "Forv" ant døde gruppe under H :Samme dødelighet Sammenligner Grafisk: Plott Kaplan-Meier estimator i gruppe og Hypotesetest: Logrank-test der "antall under risk" og gruppe Tester hypotesen ved eller ekvivalent Var antall døde i ved tid N i under H Forelesning p855 Var under H Forelesning p5
6 Log-rank test, forts En konservativ test (for store p-verdier) gis ved under H survdiff(surv(y,d) gr) Call: survdiff(formula = Surv(y, d) gr) N Observed Expected (O-E)ˆE (O-E)ˆV gr= gr= Chisq= 7 on degrees of freedom, p= 9 Eks: Melanoma, S(t)=P(T>t) 6 8 grupper av tumortykkelse 5 5 tid (aar) > survdiff(surv(time,dead) grthick) Call: survdiff(formula = Surv(time, status == ) grthick) N Observed Expected (O-E)ˆE (O-E)ˆV grthick= grthick= grthick= Forelesning p55 Chisq= 6 on degrees of freedom, p= 9e-7 Forelesning p5 Log-rank test: Sammenligning av H Samme dødelighet i alle grupper Testobservator: Antall døde i gruppe grupper "Forventet" ant døde i gruppe Uttrykk for er litt komplisert, men testen kan ofte tilnærmes (konservativ) med The proportional hazards model: One covariate Hazard rate for subject with one covariate : where baseline hazard is hazard for subject with Interpretation: Hazard rate ratio (or loosely Relative Risk), HR + In particular with binary HR Forelesning p55 Forelesning p5
7 ( ( ( Example: Mortality rates among men and women, Statistics Norway,, smoothed Proportional hazards model: Several covariates Binary covariate indicator of men Hazard rate for individual with covariate vector Prop hazard model not valid in age interval - years Prop hazard model roughly valid in interval -85 years with HR where baseline hazard is hazard function for individual log(hazard) hazard-ratio 6 8 with all Interpretation: Hazard rate ratio (HR) Another subject with where, log(hazard) hazard-ratio and HR otherwise: Forelesning p555 Forelesning p75 Example : Melanomadata = time to death from melanoma hazard = indicator of ulceration, without ulceration hazard ratio between those with and Example : Melanomadata = sex (M=, F=) = indicator of ulceration, age, thickness (mm) = tumor thickness (mm) subject, ( ( thickness (mm) subject = mm, = rate ratio w mm difference hazard ratio between those with and without ulceration adjusted for sex, age and thickness Forelesning p655 Forelesning p85
8 ! Estimation in the proportional hazards model Cox Regression: With baseline hazard by likelihood for censored data Gompertz: parametrically specified Death at Let P Subject died at Weibull: With baseline by Poissonregression With baseline hazard by Cox-regression piecewise constant on arbitrary function where hazard of subject at t = subjects under observation at = riskset at Note depend on only, Forelesning p955 not on the baseline hazard Forelesning p5 Comparison of different types of baseline hazards Cox Partial likelihood: Assume subject died at log(hazard rate) Gompertz log(hazard rate) Weibull Estimate by maximizing (Cox, 97) Note: We may estimate and anything about the baseline without saying log(hazard rate) Piecewise constant intervals log(hazard rate) Piecewise constant intervals The partial likelihood behaves as a usual likelihood In particular standard errors of Cox-estimator and confidence Forelesning p55 intervals for are produced "automatically" Forelesning p5
9 Example : Melanomadata R-kode og utskrift: survival 6 8 Women Men Sex 5 time (days) survival 6 8 Yes No Ulceration 5 time (days) Tumor size > coxph(surv(time,dead) sex+ulcer+age+thickn,data=mel) Call: coxph(formula = Surv(time, dead) sex + ulcer + age + thickn, da coef exp(coef) se(coef) z p sex ulcer age 8 7 thickn survival 6 8 < years -69 years 7+ years survival 6 8 st Quantile nd Quantile rd Quantile th Quantile Likelihood ratio test=6 on df, p=e-8 n= time (days) time (days) Forelesning p55 Forelesning p55 Example : Melanomadata Mer R-kode og utskrift: Variable se( ) Z-value p-value > summary(coxph(surv(time,dead) sex+ulcer+age+thickn,data=mel)) coxph(formula = Surv(time, dead) sex + ulcer + age + thickn, da tumorsize (mm) 89 ulceration 6 76 sex (F=,M=) 7 6 age (years) 8 7 Variable HR HR HR tumorsize (mm) ulceration sex (F=,M=) age (years) 96 n= 5 coef exp(coef) se(coef) z p sex ulcer age 8 7 thickn exp(coef) exp(-coef) lower 95 upper 95 sex ulcer 7 57 age thickn Rsquare= 8 (max possible= 97 ) Likelihood ratio test= 6 on df, p=e-8 Wald test = 9 on df, p=57e-8 Score (logrank) test = 67 on df, p=79e-9 Forelesning p55 Forelesning p65
10 + + + Comparison Cox-regression and Log-rank > summary(coxph(surv(time,dead) ulcer,data=mel)) coef exp(coef) se(coef) z p ulcer e-7 Example: Exponential distribution Hazard: (constant in time) Survival function Likelihood contribution: exp(coef) exp(-coef) lower 95 upper 95 ulcer 6 9 Rsquare= (max possible= 97 ) Likelihood ratio test= 8 on df, p=968e-8 Wald test = 8 on df, p=6e-7 Score (logrank) test = 96 on df, p=5e-8 > survdiff(surv(time,dead) ulcer,data=mel) Likelihood where and + Total no of deaths Total observation time N Observed Expected (O-E)ˆE (O-E)ˆV ulcer= ulcer= Chisq= 96 on degrees of freedom, p= 5e-8 Forelesning p755 The likelihood is maximized for the occurrence exposure rate "Occurrence" "Exposure" Forelesning p95 Likelihood for right-censored data Assume that lifetimes stem from a distribution with density, survival function and hazard Alternatively with parametrization the likelihood becomes Right-censored obs: and Likelihood which gives a loglikelihood where the the likelihood contribution Exact observed Right censored is given by P and a scorefunction which lead to the estimate Thus we can summarize the likelihood contribution as ( )+ Forelesning p855 Forelesning p5
11 " " Parametrization, contd The information matrix - evaluated at and so the standard error of and a 95 confidence interval for is given as becomes is given as Connection to Poisson-likelihood: Importance The importance of this result is that likelihood-based inference for right-censored data with constant hazard rate can be carried out as if the expectation With extension to regression data where model can be fit as a GLM were Poisson-distributed with the " Forelesning p55 Forelesning p5 Connection to Poisson-likelihood: Assume that for some we have Regression, exponential baseline In the previous argument we could well have different hazard rates for different individuals In particular with If we observe the likelihood contribution would be which is a proportional hazards model with constant baseline we can fit the model as if Returning to the likelihood contribution of our right-censored data under an exponential distribution ( ) we find Po and our old friend "glm" with the log-link and a linear predictor ( )+ and so we have will fit the data Forelesning p55 In R the contribution from (*)+ enters as an "offset" Forelesning p5
12 Example: Melanomadata, Poisson-regression To see how this works we fit a Poisson-regression to the melanoma-data under the assumption of a constant baseline Poisson-regression, piecewise constant hazard However, the assumption of a constant hazard relaxed to piecewise constant hazard: may be > glmfit<-glm(dead offset(log(time))+thickn+i(-ulcer)+ sex+i(age),family=poisson) when - Coefficients: Estimate Std Error z value Pr(> z ) (Intercept) < e-6 *** thickn ** I( - ulcer) *** sex I(age) Null deviance: 8 on degrees of freedom Residual deviance: 9 on degrees of freedom for suitable partition For interval, -, and for A proportional hazards model be fit with Poisson-regression as if let Indicator for event in Observation length in can then This fit is compared to our previous Cox-regression for the Po corresponding model Forelesning p555 Forelesning p75 Example: Melanomadata, Cox-regression > coxph(surv(time,dead) thickn+i(-ulcer)+sex+i(age)) coef exp(coef) se(coef) z p thickn I( - ulcer) sex I(age) 8 7 Likelihood ratio test=6 on df, p=e-8 n= 5 The results are quite similar, we did not gain anything, but did not loose either However that the Poisson-regression is more restrictive It requires a constant baseline whereas Cox-regression allows for arbitrary baseline hazard function Forelesning p655 Poisson regression: Aggregated data By care of on the argument about constant hazard is taken Again we would not gain compared with a Cox-regression However Cox-regression is quite computer intensive and has not been possible to carry out on large data sets (until recently) However, the Poisson-regression result can be extended to aggregated data Assume that the covariate vector take on only a small number of values and let for one of these Then the total observational time in + + is the number of events and with covariate value Forelesning p85
13 Poisson regression: Aggregated data, contd The model Po thus with Poisson-regression can then be fitted as Today we will probably analyze large population survival data with Cox-regression since we then do not need to do the data aggregation There are however still reasons to use Poisson-regression techniques: Additive hazard models (or other link functions) Multiple time scales Time-dependent covariates Forelesning p955 Comparison accelerated and proportional hazards It is interesting to note that accelerated hazard models and proportional hazards models are equivalent if (and only if) the survival times are Weibull distributed The models do however differ with respect to parametrisation If the baseline-hazard for the Weibull distribution is given as the regression parameter under the accelerated failure time formulation and the regression parameter under the proportional hazard formulation the parameters relate by the expression " Accelerated failure time models can be fitted in R with the routine survreg Forelesning p55 Accelerated failure time models: Comparison acc and prop haz: Melanomadata Assume that the hazard of unit is given as > coxph(surv(time,dead) thickn+i(-ulcer)+sex+i(age)) for some baseline hazard Then corresponding survival function is given as coef exp(coef) se(coef) z p thickn I( - ulcer) sex I(age) 8 7 > summary(survreg(surv(time,dead) thickn+i(-ulcer)+sex+i(age) where We may then say that time passes by at rate for a unit with covariate compared to a unit with covariate equal to zero! Such accelerated failure time models are frequently used in industrial testing and reliability studies Value Std Error z p (Intercept) e-8 thickn e- I( - ulcer) e- sex e- I(age) e- Log(scale) e- Scale= 87 Forelesning p555 Forelesning p55
14 " Comparison acc and prop haz: Melanomadata > koefcox<-coxph(surv(time,dead) thickn+i(-ulcer) +sex+i(age))coef > koefacc<-survreg(surv(time,dead) thickn+i(-ulcer) +sex+i(age))coef > koefacc[:5]koefcox thickn I( - ulcer) sex I(age) > survreg(surv(time,dead) thickn+i(-ulcer)+sex+i(age))scale [] 865 The estimates thus (roughly) have the same degree of significance have opposite signs Other issues: Checking and testing of proportional hazards assumption Estimation of cumulative baseline hazard in Cox-regression Time-dependent covariates Other regression models (eg Aalen additive) Left-truncated data Interval censored data Tied or discrete survival times Frailty models dependent survival data Life event history models estimated scale parameter Master course: STK8 Forløpsanalyse (gis Høst 8) Forelesning p555 Forelesning p555 Proportional hazards model and cloglog-link We have P P -,! Under the proportional hazards model Thus!! and with ( )+! we get P or (*)+ ( )+ Forelesning p555
Forelesning 11. STK november Eksempel: Klinisk forsøk. Fra studiens start ved tid t = 0
Eksempel: Klinisk forsøk Forelesning 11 Fra studiens start ved tid t = 0 Nye pasienter oppdages og inkluderes i studien Pasientene følges opp til død, STK3100-10. november 2008 S. O. Samuelsen eller til
DetaljerLevetid (varighet av en tilstand)
Levetid (varighet av en tilstand) Levetidsanalyse (survival analysis) Rosner.8-. av Stian Lydersen Forlesning 6 april 8 Eksempler: Tid til personen dør (målt fra fødsel, fra diagnose, fra behandling) Tid
DetaljerLifetime (duration of a state)
Lifetime (duration of a state) Survival analysis (Levetidsanalyse) Rosner.8-. By Stian Lydersen Lecture april Examples: Time to death (from birth, from diagnosis, from treatment start) Time to a diagnosis
DetaljerSlope-Intercept Formula
LESSON 7 Slope Intercept Formula LESSON 7 Slope-Intercept Formula Here are two new words that describe lines slope and intercept. The slope is given by m (a mountain has slope and starts with m), and intercept
DetaljerUnit Relational Algebra 1 1. Relational Algebra 1. Unit 3.3
Relational Algebra 1 Unit 3.3 Unit 3.3 - Relational Algebra 1 1 Relational Algebra Relational Algebra is : the formal description of how a relational database operates the mathematics which underpin SQL
DetaljerEksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse Faglig kontakt under eksamen: Jacopo Paglia Tlf: 967 03 414 Eksamensdato: Fredag 7. juni 2019 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet
DetaljerBioberegninger, ST november 2006 Kl. 913 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler, lommeregner.
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Førsteamanuensis Jarle Tufto Telefon: 99 70 55 19 Bioberegninger, ST1301 30.
DetaljerGeneralization of age-structured models in theory and practice
Generalization of age-structured models in theory and practice Stein Ivar Steinshamn, stein.steinshamn@snf.no 25.10.11 www.snf.no Outline How age-structured models can be generalized. What this generalization
DetaljerPhysical origin of the Gouy phase shift by Simin Feng, Herbert G. Winful Opt. Lett. 26, (2001)
by Simin Feng, Herbert G. Winful Opt. Lett. 26, 485-487 (2001) http://smos.sogang.ac.r April 18, 2014 Introduction What is the Gouy phase shift? For Gaussian beam or TEM 00 mode, ( w 0 r 2 E(r, z) = E
DetaljerEksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ
Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Mehmet Mehmetoglu Tlf.: 91838665 Eksamensdato: Eksamenstid (fra-til): Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i STK3100 Innføring i generaliserte lineære modeller Eksamensdag: Mandag 6. desember 2010 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet
Detaljer0:7 0:2 0:1 0:3 0:5 0:2 0:1 0:4 0:5 P = 0:56 0:28 0:16 0:38 0:39 0:23
UTKAST ENGLISH VERSION EKSAMEN I: MOT100A STOKASTISKE PROSESSER VARIGHET: 4 TIMER DATO: 16. februar 2006 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator; Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag): Rottman: Matematisk
DetaljerMedisinsk statistikk, KLH3004 Dmf, NTNU 2009. Styrke- og utvalgsberegning
Styrke- og utvalgsberegning Geir Jacobsen, ISM Sample size and Power calculations The essential question in any trial/analysis: How many patients/persons/observations do I need? Sample size (an example)
DetaljerDatabases 1. Extended Relational Algebra
Databases 1 Extended Relational Algebra Relational Algebra What is an Algebra? Mathematical system consisting of: Operands --- variables or values from which new values can be constructed. Operators ---
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Mandag 27. mai 2013 Tid: 09:00 13:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Mandag 27. mai 2013
DetaljerUNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS
UNIVERSITY OF OSLO DEPARTMENT OF ECONOMICS Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Date of exam: Tuesday, June 8, 203 Time for exam: 09:00 a.m. 2:00 noon The problem set covers
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Fredag 26. mai 2006
DetaljerLogistisk regresjon 2
Logistisk regresjon 2 SPSS Utskrift: Trivariat regresjon a KJONN UTDAAR Constant Variables in the Equation B S.E. Wald df Sig. Exp(B) -,536,3 84,56,000,25,84,08 09,956,000,202 -,469,083 35,7,000,230 a.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1000 Innføring i anvendt statistikk Eksamensdag: Mandag 3. desember 2018. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Torsdag 14. desember 2006 Tid: 09:0013:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist, tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
DetaljerMASTER I IDRETTSVITENSKAP 2018/2020. Individuell skriftlig eksamen. STA 400- Statistikk. Mandag 18. mars 2019 kl
MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2018/2020 Individuell skriftlig eksamen i STA 400- Statistikk Mandag 18. mars 2019 kl. 10.00-12.00 Eksamensoppgaven består av 5 sider inkludert forsiden Sensurfrist: 8.april 2019
DetaljerDynamic Programming Longest Common Subsequence. Class 27
Dynamic Programming Longest Common Subsequence Class 27 Protein a protein is a complex molecule composed of long single-strand chains of amino acid molecules there are 20 amino acids that make up proteins
DetaljerEndelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition)
Endelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition) Allen Carr Click here if your download doesn"t start automatically Endelig ikke-røyker for Kvinner! (Norwegian Edition) Allen Carr Endelig ikke-røyker
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON30/40 Matematikk : Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON30/40 Mathematics : Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 0. desember
DetaljerEksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4275 Levetidsanalyse Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf: 975 89 418 Eksamensdato: Lørdag 31. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerForelesning 7 STK3100
( % - -! " stimering: MK = ML Forelesning 7 STK3100 1 oktober 2007 S O Samuelsen Plan for forelesning: 1 Generelt om lineære modeller 2 Variansanalyse - Kategoriske kovariater 3 Koding av kategoriske kovariater
DetaljerEmneevaluering GEOV272 V17
Emneevaluering GEOV272 V17 Studentenes evaluering av kurset Svarprosent: 36 % (5 av 14 studenter) Hvilket semester er du på? Hva er ditt kjønn? Er du...? Er du...? - Annet PhD Candidate Samsvaret mellom
DetaljerMoving Objects. We need to move our objects in 3D space.
Transformations Moving Objects We need to move our objects in 3D space. Moving Objects We need to move our objects in 3D space. An object/model (box, car, building, character,... ) is defined in one position
DetaljerNeural Network. Sensors Sorter
CSC 302 1.5 Neural Networks Simple Neural Nets for Pattern Recognition 1 Apple-Banana Sorter Neural Network Sensors Sorter Apples Bananas 2 Prototype Vectors Measurement vector p = [shape, texture, weight]
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Eksamensag: Tirsag 3. juni 2008
Detaljer5 E Lesson: Solving Monohybrid Punnett Squares with Coding
5 E Lesson: Solving Monohybrid Punnett Squares with Coding Genetics Fill in the Brown colour Blank Options Hair texture A field of biology that studies heredity, or the passing of traits from parents to
DetaljerSVM and Complementary Slackness
SVM and Complementary Slackness David Rosenberg New York University February 21, 2017 David Rosenberg (New York University) DS-GA 1003 February 21, 2017 1 / 20 SVM Review: Primal and Dual Formulations
DetaljerChecking Assumptions
Merlise Clyde Duke University November 16, 2016 Linear Model Linear Model: Y = µ + ɛ Assumptions: µ C(X) µ = Xβ ɛ N(0 n, σ 2 I n ) Focus on Wrong mean for a case or cases Wrong distribution for ɛ Cases
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON20/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON20/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Fredag 2. mai
DetaljerGraphs similar to strongly regular graphs
Joint work with Martin Ma aj 5th June 2014 Degree/diameter problem Denition The degree/diameter problem is the problem of nding the largest possible graph with given diameter d and given maximum degree
DetaljerTrigonometric Substitution
Trigonometric Substitution Alvin Lin Calculus II: August 06 - December 06 Trigonometric Substitution sin 4 (x) cos (x) dx When you have a product of sin and cos of different powers, you have three different
DetaljerEksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ
Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Mehmet Mehmetoglu Tlf.: 91838665 Eksamensdato: 7. desember 2015 Eksamenstid (fra-til): 9.00-13.00
DetaljerRegresjonsmodeller. HEL 8020 Analyse av registerdata i forskning. Tom Wilsgaard
Regresjonsmodeller HEL 8020 Analyse av registerdata i forskning Tom Wilsgaard Intro Mye forskning innen medisin og helsefag dreier seg om å studere assosiasjonen mellom en eller flere eksponeringsvariabler
DetaljerL12-Dataanalyse. Introduksjon. Nelson Aalen plott. Page 76 of Introduksjon til dataanalyse. Levetider og sensurerte tider
Page 76 of 80 L12-Dataanalyse Introduksjon Introduksjon til dataanalyse Presentasjonen her fokuserer på dataanalyseteknikker med formål å estimere parametere (MTTF,, osv) i modeller vi benytter for vedlikeholdsoptimering
DetaljerHONSEL process monitoring
6 DMSD has stood for process monitoring in fastening technology for more than 25 years. HONSEL re- rivet processing back in 990. DMSD 2G has been continuously improved and optimised since this time. All
DetaljerInformation search for the research protocol in IIC/IID
Information search for the research protocol in IIC/IID 1 Medical Library, 2013 Library services for students working with the research protocol and thesis (hovedoppgaven) Open library courses: http://www.ntnu.no/ub/fagside/medisin/medbiblkurs
DetaljerNeuroscience. Kristiansand
Neuroscience Kristiansand 16.01.2018 Neuroscience Frank E. Sørgaard Medisinsk rådgiver «Hvordan kan MS medikamentenes effekt og sikkerhet sammenlignes»? Neuroscience Når det ikke finne head to head studier
DetaljerPrøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011.
Prøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011. Oppgave 1 (a) Angi tetthet/punktsannsynlighet for eksponensielle klasser med og uten sprednings(dispersjons)ledd. Nevn alle fordelingsklassene du kjenner som kan
DetaljerAndrew Gendreau, Olga Rosenbaum, Anthony Taylor, Kenneth Wong, Karl Dusen
Andrew Gendreau, Olga Rosenbaum, Anthony Taylor, Kenneth Wong, Karl Dusen The Process Goal Definition Data Collection Data Preprocessing EDA Choice of Variables Choice of Method(s) Performance Evaluation
DetaljerEksamensoppgave i SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap
Institutt for sosiologi og statsvitenskap Eksamensoppgave i SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Faglig kontakt under eksamen: Arild Blekesaune Telefon: 911 89 768 Eksamensdato: 10.12.2015
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON1910 Poverty and distribution in developing countries Exam: ECON1910 Poverty and distribution in developing countries Eksamensdag: 1. juni 2011 Sensur
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Mandag 1. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet
DetaljerGenerelle lineære modeller i praksis
Generelle lineære modeller Regresjonsmodeller med Forskjellige spesialtilfeller Uavhengige variabler Én binær variabel Analysen omtales som Toutvalgs t-test én responsvariabel: Y en eller flere uavhengige
DetaljerChecking Assumptions
Checking Assumptions Merlise Clyde STA721 Linear Models Duke University November 20, 2017 Linear Model Linear Model: Y = µ + ɛ Assumptions: µ C(X) µ = Xβ ɛ N(0 n, σ 2 I n ) Focus on Wrong mean for a case
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 7. juni
DetaljerLogistisk regresjon 1
Logistisk regresjon Hovedideen: Binær logistisk regresjon håndterer avhengige, dikotome variable Et hovedmål er å predikere sannsynligheter for å ha verdien på avhengig variabel for bestemte (sosiale)
DetaljerKræsjkurs i STAT101. Noen anbefalinger Regn mange(5-10) oppgavesett til eksamen:
Kræsjkurs i STAT101 Noen anbefalinger Regn mange(5-10) oppgavesett til eksamen: Legg vekt på å forstå hva formlene brukes til, det vil si når, og hvordan? Lær sammenhengen mellom fordelingene og tema i
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSIEE I OSLO ØKONOMISK INSIU Eksamen i: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag:. desember 207 Sensur kunngjøres:
DetaljerForelesning 8 STK3100
$ $ $ # Fortolkning av Dermed blir -ene Vi får variasjonen i '& '& $ Dermed har fortolkning som andel av variasjonen forklart av regresjonen Alternativt: pga identiteten Forelesning 8 STK3100 p3/3 Multippel
DetaljerDen som gjør godt, er av Gud (Multilingual Edition)
Den som gjør godt, er av Gud (Multilingual Edition) Arne Jordly Click here if your download doesn"t start automatically Den som gjør godt, er av Gud (Multilingual Edition) Arne Jordly Den som gjør godt,
DetaljerForelesning 10 STK3100
Momenter i multinomisk fordeling Forelesning 0 STK300 3. november 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning:. Multinomisk fordeling 2. Multinomisk regresjon - ikke-ordnede kategorier 3. Multinomisk regresjon
DetaljerAnalyse av kontinuerlige data. Intro til hypotesetesting. 21. april 2005. Seksjon for medisinsk statistikk, UIO. Tron Anders Moger
Intro til hypotesetesting Analyse av kontinuerlige data 21. april 2005 Tron Anders Moger Seksjon for medisinsk statistikk, UIO 1 Repetisjon fra i går: Normalfordelingen Variasjon i målinger kan ofte beskrives
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT2400 Analyse 1. Eksamensdag: Onsdag 15. juni 2011. Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Onsdag 6. desember
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Date of exam: Friday, May
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Xxxdag xx. juni 2008 Tid: 09:0013:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: NN EKSAMEN I FAG TMA4275 LEVETIDSANALYSE Xxxdag xx. juni 2008 Tid: 09:0013:00 Tillatte
DetaljerSOS 301 og SOS31/ SOS311 MULTIVARIAT ANALYSE
1 SOS 301 og SOS31/ SOS311 MULTIVARIAT ANALYSE Eksamensdag: 8 desember 1997 Eksamensstad: Dragvoll, paviljong C, rom 201 Tid til eksamen: 6 timar Vekt: 5 for SOS301 og 4 for SOS31/ SOS311 Talet på sider
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013
Eksamen 9. desember 2013 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsskisse Oppgave 1 a) Define the following events: A: Getting an ace as your first card B: Getting
DetaljerEksamensoppgave i TMA4320 Introduksjon til vitenskapelige beregninger
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA432 Introduksjon til vitenskapelige beregninger Faglig kontakt under eksamen: Anton Evgrafov Tlf: 453 163 Eksamensdato: 8. august 217 Eksamenstid (fra
Detaljer0:6 0:3 0:1 0:4 0:2 0:4
UTKAST EKSAMEN I: MOTA STOKASTISKE PROSESSER ENGLISH VERSION VARIGHET: 4 TIMER DATO: 22. november 26 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator; Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag): Rottman: Matematisk
DetaljerKategoriske data, del I: Kategoriske data - del 2 (Rosner, ) Kategoriske data, del II: 2x2 tabell, parede data (Mc Nemar s test)
Kategoriske data, del I: Kategoriske data - del (Rosner, 10.3-10.7) 1 januar 009 Stian Lydersen To behandlinger og to utfall. (generelt: variable, verdier). x tabell. Uavhengige observasjoner Sammenheng
DetaljerDean Zollman, Kansas State University Mojgan Matloob-Haghanikar, Winona State University Sytil Murphy, Shepherd University
Dean Zollman, Kansas State University Mojgan Matloob-Haghanikar, Winona State University Sytil Murphy, Shepherd University Investigating Impact of types of delivery of undergraduate science content courses
DetaljerLineære modeller i praksis
Lineære modeller Regresjonsmodeller med Forskjellige spesialtilfeller Uavhengige variabler Én binær variabel Analysen omtales som Toutvalgs t-test én responsvariabel: Y én eller flere uavhengige variabler:
Detaljeri=1 t i +80t 0 i=1 t i = 9816.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Jo Eidsvik 901 27 472 EKSAMEN I FAG SIF5075 LEVETIDSANALYSE Torsdag 22. mai 2003 Tid:
DetaljerInstitutt for økonomi og administrasjon
Fakultet for samfunnsfag Institutt for økonomi og administrasjon Statistiske metoder Bokmål Dato: Torsdag 19. desember Tid: 4 timer / kl. 9-13 Antall sider (inkl. forside): 8 Antall oppgaver: 3 Oppsettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT BOKMÅL Eksamen i: ECON1710 Demografi grunnemne Eksamensdag: 10.12.2013 Sensur blir annonsert: 03.01.2014 Tid for eksamen: kl. 14:30 17:30 Oppgavesettet er på 5
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 4. juni 2010 Tid for eksamen: 9.00 12.00 Oppgavesettet
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 6, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Fremgangsmetode: P X 1 < 6.8 Denne kan finnes ved å sette opp integralet over
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON3120/4120 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag
DetaljerSTILLAS - STANDARD FORSLAG FRA SEF TIL NY STILLAS - STANDARD
FORSLAG FRA SEF TIL NY STILLAS - STANDARD 1 Bakgrunnen for dette initiativet fra SEF, er ønsket om å gjøre arbeid i høyden tryggere / sikrere. Både for stillasmontører og brukere av stillaser. 2 Reviderte
DetaljerSpeed Racer Theme. Theme Music: Cartoon: Charles Schultz / Jef Mallett Peanuts / Frazz. September 9, 2011 Physics 131 Prof. E. F.
September 9, 2011 Physics 131 Prof. E. F. Redish Theme Music: Speed Racer Theme Cartoon: Charles Schultz / Jef Mallett Peanuts / Frazz 1 Reading questions Are the lines on the spatial graphs representing
DetaljerIntroduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM)
Literatur / program Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) STK3100-20. august 2007 Sven Ove Samuelsen Plan for første forelesning: 1. Introduksjon, Literatur, Program 2. ksempler 3. Uformell
DetaljerEXAMINATION PAPER. Exam in: STA-3300 Applied statistics 2 Date: Wednesday, November 25th 2015 Time: Kl 09:00 13:00 Place: Teorifagb.
EXAMINATION PAPER Exam in: STA-3300 Applied statistics 2 Date: Wednesday, November 25th 2015 Time: Kl 09:00 13:00 Place: Teorifagb.,hus 1, plan 3 Approved aids: Calculator All printed and written The exam
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Bio 2150A Biostatistikk og studiedesign Eksamensdag: 6. desember 2013 Tid for eksamen: 14:30-17:30 (3 timer) Oppgavesettet er
DetaljerKartleggingsskjema / Survey
Kartleggingsskjema / Survey 1. Informasjon om opphold i Norge / Information on resident permit in Norway Hvilken oppholdstillatelse har du i Norge? / What residence permit do you have in Norway? YES No
DetaljerPerpetuum (im)mobile
Perpetuum (im)mobile Sett hjulet i bevegelse og se hva som skjer! Hva tror du er hensikten med armene som slår ut når hjulet snurrer mot høyre? Hva tror du ordet Perpetuum mobile betyr? Modell 170, Rev.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON360/460 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Exam: ECON360/460 - Resource allocation and economic policy Eksamensdag: Fredag 2. november
DetaljerLøsningsforslag øving 9, ST1301
Løsningsforslag øving 9, ST1301 Oppgave 1 Regresjon. Estimering av arvbarhet. a) Legg inn din egen høyde, din mors høyde, din fars høyde, og ditt kjønn via linken på fagets hjemmeside 1. Last så ned dataene
DetaljerEksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4267 Lineære statistiske modeller Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: August 2014 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT BOKMÅL Utsatt eksamen i: ECON2915 Vekst og næringsstruktur Eksamensdag: 07.12.2012 Tid for eksamen: kl. 09:00-12:00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:
DetaljerFYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai :15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt)
FYSMEK1110 Eksamensverksted 23. Mai 2018 14:15-18:00 Oppgave 1 (maks. 45 minutt) Page 1 of 9 Svar, eksempler, diskusjon og gode råd fra studenter (30 min) Hva får dere poeng for? Gode råd fra forelesere
DetaljerRight Triangle Trigonometry
Section. Rigt Triangle Trigonometr. Reflection in te -ais and a vertical sift two units upward =. f Reflection in te -ais and a orizontal sift tree units to te left = ( + ) = = Section. Rigt Triangle Trigonometr
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2013
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 6, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Vi antar X er normalfordelt, X N(3315, 575 2 ). Ved bruk av tabell A.3 finner
DetaljerEksamen i: STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 31. mai 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget
FA K U L T E T FO R NA T U R V I T E N S K A P O G TE K N O L O G I EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 31. mai 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER STAT100 Vår 2011
EKSAMENSOPPGAVER STAT100 Vår 2011 Løsningsforslag Oppgave 1 (Med referanse til Tabell 1) a) De 3 fiskene på 2 år hadde lengder på henholdsvis 48, 46 og 35 cm. Finn de manglende tallene i Tabell 1. Test
DetaljerHØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN
HØGSKOLEN I NARVIK - SIVILINGENIØRUTDANNINGEN EKSAMEN I FAGET STE 6243 MODERNE MATERIALER KLASSE: 5ID DATO: 7 Oktober 2005 TID: 900-200, 3 timer ANTALL SIDER: 7 (inklusiv Appendix: tabell og formler) TILLATTE
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt ksamen i: ECON3120/4120 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus and linear algebra Eksamensdag:
DetaljerThe regulation requires that everyone at NTNU shall have fire drills and fire prevention courses.
1 The law The regulation requires that everyone at NTNU shall have fire drills and fire prevention courses. 2. 3 Make your self familiar with: Evacuation routes Manual fire alarms Location of fire extinguishers
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1 Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30 18.00. Oppgavesettet
DetaljerHvor mye praktisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye)
INF247 Er du? Er du? - Annet Ph.D. Student Hvor mye teoretisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen, 5 = mye) Hvor mye praktisk kunnskap har du tilegnet deg på dette emnet? (1 = ingen,
DetaljerFakultet for informasjonsteknologi, Institutt for matematiske fag EKSAMEN I EMNE ST2202 ANVENDT STATISTIKK
Side av 9 NTNU Noregs teknisk-naturvitskaplege universitet Fakultet for informasonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for matematiske fag Bokmål Faglig kontakt under eksamen Bo Lindqvist
DetaljerAccuracy of Alternative Baseline Methods
Accuracy of Alternative Baseline Methods Dr. Steven Braithwait Christensen Associates Energy Consulting IEPEC - Paris June 2010 Outline Demand response & role of baseline loads Measures of baseline performance
DetaljerMaple Basics. K. Cooper
Basics K. Cooper 2012 History History 1982 Macsyma/MIT 1988 Mathematica/Wolfram 1988 /Waterloo Others later History Why? Prevent silly mistakes Time Complexity Plots Generate LATEX This is the 21st century;
DetaljerKapittel 3: Studieopplegg
Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere
Detaljer