Kort oppsummering av pensum til nå

Transkript

1 Kort oppsummering av pensum til nå Ole Christian Lingjærde, Dept of Informatics, UiO 2. oktober 2018

2 Dagens agenda Quiz Lister ellers arrays: hva skal jeg bruke? Vektorisering: når fungerer det? Plotting: enkle oppskrifter Øvelse A.14, 5.14

3 Quiz 1 Hva skrives ut nedenfor? Program A x = [] for i in range(5): x = x + [i] print(x) Program B x = [] for i in range(5): x = [i] + x print(x)

4 Svar på Quiz 1 Hva skrives ut nedenfor? Program A x = [] for i in range(5): x = x + [i] print(x) # [0, 1, 2, 3, 4] Program B x = [] for i in range(5): x = [i] + x print(x) # [4, 3, 2, 1, 0]

5 Quiz 2 Hva skrives ut nedenfor? Program A x = [0, 1, 2, 3] for i in range(len(x)): x[i] = i * x[i] print(x) Program B x = [0, 1, 2, 3, 4] for i in range(len(x)-1): x[i] = x[i+1]**2 print(x) Program C x = [0, 1, 2, 3, 4] for i in range(1,5): x[i] = x[i-1]**2 print(x)

6 Svar på Quiz 2 Hva skrives ut nedenfor? Program A x = [0, 1, 2, 3] for i in range(len(x)): x[i] = i * x[i] print(x) # [0, 1, 4, 9] Program B x = [0, 1, 2, 3, 4] for i in range(len(x)-1): x[i] = x[i+1]**2 print(x) # [1, 4, 9, 16, 4] Program C x = [0, 1, 2, 3, 4] for i in range(1,5): x[i] = x[i-1]**2 print(x) # [0, 0, 0, 0, 0]

7 Quiz 3 Hva skrives ut nedenfor? Program A x = [2*i for i in range(1,4)] print(x) Program B x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] for i in range(len(x)): x[i] = x[6-i] print(x)

8 Svar på Quiz 3 Hva skrives ut nedenfor? Program A x = [2*i for i in range(1,4)] print(x) # [2, 4, 6] Program B x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] for i in range(len(x)): x[i] = x[6-i] print(x) # [7, 6, 5, 4, 5, 6, 7]

9 Quiz 4 Hva skrives ut nedenfor? Program A x = [[0,1,2],[4,5,6],[8,9,10]] x.reverse() print(x) Program B x = [[0,1,2],[1,2,3],[2,3,4]] y = [[1,2,3,4,5][e[-1]] for e in x] print(y)

10 Svar på Quiz 4 Hva skrives ut nedenfor? Program A x = [[0,1,2],[4,5,6],[8,9,10]] x.reverse() print(x) # [[8, 9, 10], [4, 5, 6], [0, 1, 2]] Program B x = [[0,1,2],[1,2,3],[2,3,4]] y = [[1,2,3,4,5][e[-1]] for e in x] print(y) # [3, 4, 5]

11 Lister og arrayer Lister og arrayer kan begge brukes til å lagre mange verdier. Lister Svært fleksible (insert og delete, blanding av datatyper, etc) Alle matematiske operasjoner må gjøres ett element av gangen Arrayer Mindre fleksible (bare en datatype av gangen) Mange vektoriserte matematiske operasjoner tilgjengelig Gjør programmering lettere, raskere Gjør programkjøring raskere

12 Så hva skal jeg bruke? Arrayer: spesielt nyttige for å håndtere numeriske vektorer og matriser i situasjoner hvor det gir mening å utføre matematiske operasjoner samtidig på alle elementene Lister: alltid en opsjon (hvis ikke det er krav om arrayer) Fra array til liste: l = list(a) Fra liste til array: a = np.array(l) NB: konvertering mellom array og liste er ikke effektivt når det er veldig lange lister/arrayer.

13 Sammenlikning av lister og arrayer List Array x = [1,2,3,4] x = np.array([1,2,3,4]) x = [0]*n x = np.zeros(n) x = [1]*n x = np.ones(n) x = range(n) x = np.arange(n) xnew = x xnew = x xnew = x[:] xnew = x.copy() xnew = x+x xnew = np.append(x,x) h = float(b-a)/(n-1) x = [a+i*h for i in range(n)] x = np.linspace(a,b,n) for elem in x: for elem in x: print(elem) print(elem) xnew = [0]*len(x) for i in range(len(x)): xnew[i] = math.sin(x[i]) xnew = np.sin(x) xnew = [0]*len(x) for i in range(len(x)): xnew[i] = x[i] + 2*x[i]**2 xnew = x + 2*x**2

14 Utfordring Python (og boka) byr på mange valg: Python 2 eller Python 3? (små forskjeller i syntaks) Lister eller arrayer? (store forskjeller i syntaks) Plotte med matplotlib eller scitools? Skrive np.linspace(..) og plt.plot(..) eller bare linspace(..) og plot(..)? Bruke from numpy import * etc? Initiere lister med a = [0]*n eller bruke a.append(..)?

15 Hvordan bruke numpy-funksjoner Generell regel: Bruk import numpy as np og referer til numpy-funksjoner som np.linspace(..), np.zeros(..), etc. Unntak: For matematiske funksjoner (sin, cos, log,...) kan du bruke from numpy import sin, cos og referere til dem som sin(..), cos(..), etc. For flere detaljer, se læreboka (5th ed.), side 235 og 243.

16 Vektorisering Numpy-pakken støtter vektoriserte beregninger. Ta for eksempel følgende (ikke-vektoriserte) kode: def f_list(n): import math x = [0]*N; y = [0]*N; z = [0]*N for i in range(n): x[i] = 1 + i**2 for i in range(n): y[i] = 1 + i * x[i] - math.tanh(x[i]) for i in range(n): z[i] = abs(y[i]) return z Denne kunne vært vektorisert slik: def f_array(n): import numpy as np x = 1 + np.arange(n)**2 y = 1 + np.arange(n) * x - np.tanh(x) z = np.abs(y) return z

17 Hvor mye raskere er vektorisert kode? Sammenlikning av CPU-tid import time N = 10**7 t0 = time.clock() f_list(n) t1 = time.clock() - t0 print('nonvectorized: %4.2f seconds' % t1) t0 = time.clock() f_array(n) t1 = time.clock() - t0 print('vectorized: %4.2f seconds' % t1) Terminal> python compare_time.py Nonvectorized: 6.67 seconds Vectorized: 0.29 seconds Den vektoriserte (numpy) løsningen er 23 ganger raskere!

18 Vektorisering er ikke alltid mulig De fleste eksemplene i Appendix A (Difference Equations) kan ikke vektoriseres. Årsak: differanselikninger uttrykker x n som en funksjon av x n 1, x n 2,.... Da trenger vi en løkke for å beregne x 1, x 2,... en av gangen. Valget mellom lister og arrayer blir da en smakssak - og avhengig av hva annet vi ønsker å gjøre med dataene i programmet.

19 Grafplotting Boka nevner en rekke muligheter for grafplotting: matplotlib.pyplot, scitools.std, EasyViz, Mayavi. Bare den første av disse er nødvendig i dette kurset. Den anbefalte måten å bruke plottefunksjonene på er å skrive import matplotlib.pyplot as plt og så bruke plt.plot(..) etc (se side 243 i læreboka). Når du bruker plt.plot(x,y) kan variablene x og y være enten arrayer eller lister.

20 Plotte en enkelt kurve Anta x og y er numeriske lister eller arrayer av samme lengde. Bare plotte kurve import matplotlib.pyplot as plt plt.plot(x, y) # Create plot plt.savefig('figure1.pdf') # Save plot as pdf plt.show() # Show plot on screen Plotte kurve med dekorering import matplotlib.pyplot as plt plt.plot(x, y, 'r-') # Red line (use 'ro' for red circle) plt.xlabel('x') # Label on x-axis plt.ylabel('y') # Label on y-axis plt.title('my plot') # Title on top of plot plt.axis([0,5,0,1]) # Range on x-axis [0,5] and y-axis [0,1] plt.show()

21 Eksempel 1 Tangentfunksjonen import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.linspace(-3.14, 3.14, 100) y = np.tan(x) plt.plot(x, y, 'r-') # Red line (use 'ro' for red circle) plt.xlabel('x') # Label on x-axis plt.ylabel('tan(x)') # Label on y-axis plt.title('the tangent function') plt.show()

22 Resultat

23 Eksempel 2 Følgen 0.25, sin(0.25), sin(sin(0.25)),... import matplotlib.pyplot as plt import math N = 5000 y = [0]*N y[0] = 0.25 for i in range(1,n): y[i] = math.sin(y[i-1]) plt.plot(range(n), y, 'b-') # Blue line plt.xlabel('n') # Label on x-axis plt.ylabel('x(n)') # Label on y-axis plt.title('the sequence x(n) = sin(x(n-1)), x(0)=0.25') plt.show()

24 Resultat

25 Plotte flere kurver oppå hverandre Anta at x1 og y1 er numeriske lister eller arrayer av samme lengde, og tilsvarende for x2 og y2. Bare plotte kurvene import matplotlib.pyplot as plt plt.plot(x1, y1, 'r-') plt.plot(x2, y2, 'b-') plt.show() Plotte kurvene med dekorering import matplotlib.pyplot as plt plt.plot(x1, y1, 'r-') plt.plot(x2, y2, 'b-') plt.legend(['y1', 'y2']) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('my multiplot') plt.axis([0,7,0,7]) plt.show()

26 Eksempel 1: Polynomer import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np def p(t,k): return t**(k+1) col = ['r-', 'b-', 'm-', 'k-', 'g-'] t = np.linspace(-1, 1, 100) for k in range(5): plt.plot(t, p(t,k), col[k]) # Plot t^1, t^2,..., t^5 plt.xlabel('t') plt.ylabel('p(t)') plt.legend(['t', 't^2', 't^3', 't^4', 't^5']) plt.title('polynomials') plt.show()

27 Resultat

28 Eksempel 2: Julia set Dette er et eksotisk eksempel for spesielt interesserte. Se om du kan finne ut hva som skjer i programmet! Hint: de to verdiene i z representerer realdelen og imaginærdelen av et komplekst tall. import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np n = 150 x = np.linspace(-2, 2, n); z = [0, 0] for i in range(n): for j in range(n): z[0] = x[i]; z[1] = x[j]; k = 0 while abs(z[0])+abs(z[1]) < 100 and k < 100: z = [z[0]**2-z[1]**2-0.75, 2*z[0]*z[1]] k = k+1 if k < 100: plt.plot(i, j, 'b.') plt.show()

29 Resultat: en fraktal

30 Multipanel plott Anta at x1 og y1 er numeriske lister eller arrayer av samme lengde, og tilsvarende for x2 and y2. Kurver med titler import matplotlib.pyplot as plt plt.subplot(1,2,1) plt.plot(x1, y1, 'r-') plt.title('title for left panel') plt.subplot(1,2,2) plt.plot(x2, y2, 'b-') plt.title('title for right panel') plt.show()

31 Eksempel: polynomer import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np def p(t,k): return t**k t = np.linspace(-1, 1, 100) for k in range(1,5): plt.subplot(2,2,k) plt.plot(t, p(t,k), 'r-') plt.xlabel('t') plt.ylabel('p(t)') plt.legend(['t^%d' % k]) plt.show()

32 Resultat

33 Fil-lesing: oppsummering Du bør huske følgende funksjoner: Essentials for file reading To open a file: infile = open('filnavn.txt', 'r') To read whole file into a string: s = infile.read() To read whole file into a list (each element is a line): a = infile.readlines() To read the next line: s = infile.readline() To read all remaining lines and split into separate words: for line in infile: a = line.split() # a[0], a[1],... are the words on the line To close the file: infile.close()

34 Live programming: eksempel 1 Anta at tekstfilen names.txt ser slik ut: Kari Ola Katrine Ingrid Nils Are Jonas Ella Arne Elin Arvid Kristin Oppgave: skriv et program som leser filen over og lager en ny fil names2.txt med samme innhold, men hvor rader og kolonner er byttet om: Kari Nils Arne Ola Are Elin Katrine Jonas Arvid Ingrid Ella Kristin

35 Live programming: eksempel 2 Fra en blodprøve kan man måle CRP (C-reactive protein). Normalt nivå er CRP < 5, mens CRP > 10 er tegn på infeksjon. Tekstfilen CRP.txt ser slik ut (CRP-verdi og fødselsnummer): CRP ID Oppgave A: Les filen inn i to lister crp (float) og id (string). Oppgave B: Beregn og skriv ut høyeste CRP-verdi Oppgave C: Beregn og skriv ut antall CRP-verdier over 10 Oppgave D: Beregn og skriv ut ID er til pasienter med CRP > 10 Oppgave E: Plot punktene (i, CRP[i]) med passende tekst på x-akse og y-akse

36 Hint: Section A.1.8 explains how this task can be solved for the Taylor approximation of e x. Exercise A.14 Find difference equations for computing sin x The purpose of this exercise is to derive and implement difference equations for computing a Taylor polynomial approximation to sin x: sin x S(x; n) = n j=0 ( 1) j x 2j+1 (2j + 1)! To compute S(x; n) efficiently, write the sum as S(x; n) = n j=0 a j, and derive a relation between two consecutive terms in the series: x 2 a j = (2j + 1)2j a j 1. Introduce s j = S(x; j 1) and a j as the two sequences to compute. We have s 0 = 0 and a 0 = x. a) Formulate the two difference equations for s j and a j.

37 Exercise A.14 (cont d) b) Implement the system of difference equations in a function sin_taylor(x, n) which returns s n+1 and a n+1. The latter is the first neglected term in the sum (since s n+1 = n j=0 a j) and may act as a rough measure of the size of the error in the Taylor polynomial approximation. c) Verify the implementation by computing the difference equations for n = 2 by hand (or in a separate program) and comparing with the output from the sin_taylor function. Automate this comparison in a test function. d) Make a table or plot of s n for various x and n values to illustrate that the accuracy of a Taylor polynomial (around x = 0) improves as n increases and x decreases. Hint: sin_taylor(x, n) can give extremely inaccurate approximations to sin x if x is not sufficiently small and n sufficiently large. In a plot you must therefore define the axis appropriately.

38 Key idea Computing series with many terms can be time-consuming. A common strategy is to see if the nth term can be found faster using the (n 1)st term. Calculating S(x; n) = a 0 + a a n Suppose in the following that x is fixed and let s n+1 = S(x; n). 1) We can find s n+1 from s n and a n : s n+1 = s n + a n 2) We can also find a n using a n 1 and x: a n 1 = ( 1) n 1 x 2n 1 (2n 1)! and a n = ( 1) n x 2n+1 (2n + 1)! Thus we have the relation: a n = a n 1 x 2 2n(2n + 1)

39 Answer to exercise A.14 a) Question Formulate the two difference equations for s n and a n. Answer Set s 0 = 0 and a 0 = x. For n = 1, 2,... let s n = s n 1 + a n 1 a n = a n 1 x 2 /(2n(2n + 1))

40 Answer to exercise A.14 b) Question Implement the system of difference equations in a function sin_taylor(x, n) which returns s n+1 and a n+1. Answer 1: storing all updates def sin_taylor(x,n): s = [0.0]*(n+2) a = [0.0]*(n+2); a[0] = x for i in range(1,n+2): s[i] = s[i-1] + a[i-1] a[i] = -a[i-1]*x**2/(2*i*(2*i+1)) return s[n+1], abs(a[n+1]) Answer 2: storing only last update def sin_taylor2(x,n): s = 0 a = x for i in range(1,n+2): s = s + a a = -a*x**2/(2*i*(2*i+1)) return s, abs(a)

41 Answer to exercise A.14 c) Question Verify the implementation by computing the difference equations for n = 2 and comparing with the output from the sin_taylor function. Automate this comparison in a test function. Answer (part 1) def sin_two_terms(x): s = [0]*4 a = [0]*4 a[0] = x s[1] = s[0] + a[0] a[1] = -a[0]*x**2 / (2*1*(2*1+1)) s[2] = s[1] + a[1] a[2] = -a[1]*x**2 / (2*2*(2*2+1)) s[3] = s[2] + a[2] a[3] = -a[2]*x**2 / (2*3*(2*3+1)) return s[3], abs(a[3])

42 Answer to exercise A.14 c) Answer (part 2) def sin_taylor(x,n): <as before> def sin_two_terms(x): <as before> def test_sin_taylor(): x = 0.63 # Just an arbitrary x-value for validation tol = 1e-14 # Tolerance s_expected, a_expected = sin_two_terms(x) s_computed, a_computed = sin_taylor(x,2) success1 = abs(s_computed - s_expected) < tol success2 = abs(a_computed - a_expected) < tol success = success1 and success2 message = 'Output is different from expected!' assert success, message

43 Answer to exercise A.14 c) Answer (part 3) In [10]: sin_two_terms(0.63) Out[10]: ( , e-06) In [11]: sin_taylor(0.63, 2) Out[11]: ( , e-06) In [12]: test_sin_taylor() In [13]:

44 Answer to exercise A.14 d) Question Make a table or plot of s n for various x and n values to illustrate that the accuracy of a Taylor polynomial (around x = 0) improves as n increases and x decreases. Answer (part 1) We first make a plan: For a given x and n we can calculate the Taylor approximation s n+1 with the statement s = sin_taylor(x,n)[0]. To calculate s n for various x and n, we must decide what x-values and n-values to use. We decide here to use a uniform grid of M x-values on [0, 1], and n = 1, 2,..., N. We write a method producing an M x N table of all the calculated s-values.

45 Answer to exercise A.14 d) Answer (part 2) def make_table(m,n): import numpy as np x = np.linspace(0, 1, M) n = np.arange(1,n+1) S = np.zeros((m,n)) for i in range(m): for j in range(n): S[i,j] = sin_taylor(x[i], n[j])[0] return S, x, n

46 Filename: read_2columns. Exercise 5.14 Plot data in a two-column file The file: contains two columns of numbers, corresponding to x and y coordinates on a curve. The start of the file looks as this: Make a program that reads the first column into a list x and the second column into a list y. Plot the curve. Print out the mean y value as well as the maximum and minimum y values. Hint: Read the file line by line, split each line into words, convert to float, and append to x and y. The computations with y are simpler if the list is converted to an array.

47 Answer to exercise 5.14 # Read file infile = open('xy.dat12', 'r') x = [] y = [] for line in infile: s = line.split() x.append(eval(s[0])) y.append(eval(s[1])) infile.close() # Plot the points (x[i],y[i]) import matplotlib.pyplot as plt plt.plot(x, y, 'mo') plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.show() # Print mean, min and max of y import numpy as np ya = np.array(y) print('mean of y: %g' % np.mean(ya)) print('min of y: %g' % np.min(ya)) print('max of y: %g' % np.max(ya))

48 Result