Front page. 1.1 What is printed?

Transkript

1 Front page UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: IN-KJM1900 Grunnkurs i programmering for naturvitenskapelige anvendelser Eksamensdag: 18. desember 2017 Tid for eksamen: Vedlegg: 1 (ODESolver.pdf) Tillatte hjelpemidler: Ingen. Les gjennom hele oppgavesettet før du begynner å løse oppgavene. Dersom du savner opplysninger i en oppgave, kan du selv legge dine egne forutsetninger til grunn og gjøre rimelige antagelser, så lenge de ikke bryter med oppgavens ånd. Gjør i så fall rede for forutsetningene og antagelsene du gjør. All kode i oppgavetekstene er skrevet i Python 3. Du kan skrive svaret ditt enten i Python 2 eller Python 3, men du bør ikke blande de to versjonene. De fleste oppgavene resulterer i ganske kort kode hvor det normalt er lite behov for kommentarer med mindre man gjør noe komplisert eller ikke-standard (i så fall skal kommentarene forklare ideene bak program- konstruksjonene slik at det blir lett å vurdere koden). En oppgave kan be deg skrive en funksjon. Et hovedprogram der man kaller funksjonen er da ikke påkrevd, med mindre det er eksplisitt angitt. I denne typen oppgaver kan du også anta at nødvendige moduler er importert utenfor funksjonen. I andre tilfeller der du blir spurt om å skrive et program, er eksplisitt import av moduler en viktig del av besvarelsen. Maksimal poengsum på eksamen er 84 poeng. Det er totalt 25 oppgaver, og poengsummen for hver oppgave er oppgitt. 1.1 What is printed? Hva skrives ut i terminalvinduet når denne koden kjøres? s = -2 for k in range(2, 5, 2): s += 2 print(s) Maks poeng: What is printed? Hva skrives ut i terminalvinduet når denne koden kjøres? a = [8, 9, 10, 11] b = a[1:-1] a[1] = 10 print(b[0]) 1/17

2 Maks poeng: What is printed? Hva skrives ut i terminalvinduet når denne koden kjøres? for i in range(2, 5): print(i,end = ' ') for j in range(i-1, i+1): if i!= j: print(j, end = ' ') Maks poeng: What is printed? Hva skrives ut i terminalvinduet når denne koden kjøres? Husk at funksjonen enumerate(a), hvis a er en string av lengde n, vil returnere en liste av tupler [(0,a[0]), (1,a[1]),..., (n-1,a[n-1])]. def freq_lists(dna_list): n = len(dna_list[0]) A = [0]*n T = [0]*n G = [0]*n C = [0]*n for dna in dna_list: for index, base in enumerate(dna): if base == 'A': A[index] += 1 elif base == 'C': C[index] += 1 elif base == 'G': G[index] += 1 elif base == 'T': T[index] += 1 return A, C, G, T dna_list = ['GGTAG', 'GGTAC', 'GGTGC'] A, C, G, T = freq_lists(dna_list) print(a) 2/17

3 [0,0,0,2,0] ['C','G','T','A','G'] [0,0,0,1,0] [2,0,0,0,0] [0,0,0,'A',0] Maks poeng: What is printed? Hva skrives ut i terminalvinduet når denne koden kjøres? import numpy as np def fibonacci(n=3): x = np.zeros(n+1, int) x[0] = 1 x[1] = 1 for n in range(2, N+1): x[n] = x[n-1] + x[n-2] return n, x[n] print(fibonacci(n=2)) [0,1,1,2] [0,1,1,2,3] (2,2) (1,1,2,3) Maks poeng: What is printed? Hva skrives ut i terminalvinduet når denne koden kjøres? Hvis du mener at ingenting skrives ut så skriv dette eksplisitt i svaret ditt, f.eks. "Ingenting skrives ut". def primetable(k): n = 5 primelist = [2,3,5,7,11] print(primelist) diff = primelist for i in range(1,k): for j in range(n-i): diff[j] = abs(diff[j+1]-diff[j]) print(diff[:n-i]) primetable(2) 3/17

4 Words: 0 Maks poeng: What is printed? Hva skrives ut i terminalvinduet når denne koden kjøres? dna_list = ['GGTAG', 'GGTAC', 'GGTGC'] print(dna_list[len(dna_list)]) An error message 'C' GGTGC ['GGTAG', 'GGTAC', 'GGTGC'] Maks poeng: What is printed? Hva skrives ut i terminalvinduet når denne koden kjøres? import numpy as np a = np.linspace(0,5,1) a.append(6.0) print(a) 4/17

5 [ ] [ ] [ ] An error message Maks poeng: What is correct? Bare ett av følgende utsagn er riktig. Hvilket? En test-funksjon returnerer 0 hvis testen passerer. Hvis en testfunksjon kjører stille (uten feilmelding) så betyr det at funksjonen som testes ikke er korrekt. En test-funksjon skal alltid inneholde en return-setning. En testfunksjon skal alltid ha minst ett argument. En test-funksjon kan ha flere assert-setninger. Maks poeng: What is correct? Bare ett av følgende utsagn er riktig. Hvilket? Kallet numpy.sin(2) vil gi en feilmelding, siden 2 ikke er en array. Numpy arrays kan bare brukes til å lagre tall. Å legge sammen to Numpy arrays av lengde n vil gi en array av lengde 2n. Vektorisering betyr å unngå eksplisitte for-løkker i koden. Maks poeng: Lists Hvilket av følgende uttrykk vil ikke gi en liste av lengde 5? 5/17

6 list(range(2))+list(range(3)) [e**2 for e in range(1,5)] [0]*5 [2,3]+[0,2,3] Maks poeng: What is printed? Hva skrives ut i terminalvinduet når denne koden kjøres? Hvis du mener at ingenting skrives ut så skriv dette eksplisitt i svaret ditt, f.eks. "Ingenting skrives ut". def harmonic(m): s = 0 for k in range(1, M+1): s += 1.0/k return s def test_harmonic(): M = 3 expected = / /3 computed = harmonic(m) success = abs(expected-computed) < 1E-14 message = 'Error detected' assert success, message test_harmonic() Words: 0 Maks poeng: Heaviside function 6/17

7 Den såkalte Heaviside-funksjonen er definert som: Skriv en Python-funksjon heaviside(x), som implementerer denne funksjonen. 1 Maks poeng: Test function Skriv en test-funksjon for funksjonen heaviside(x) fra forrige oppgave. Velg x-verdier -1.0 og 1.0, og sammenlikne resultatet av funksjonen med de forventede verdiene 0.0 og Maks poeng: 4 7/17

8 Maks poeng: Numerical differentiation Den deriverte til en matematisk funksjon f(x) kan estimeres med en differanse-approksimasjon: for et lite tall h. Implementer en Python-funksjon diff(f,x,h), som bruker denne formelen til å estimere den deriverte til en funksjon f i et punkt x. Funksjonen skal returnere funksjonsverdien f(x) og den estimerte deriverte. Argumentet f kan være en vilkårlig matematisk funksjon implementert i Python, som tar ett inputargument og returnerer en verdi. 1 Maks poeng: Formatted output Skriv et Python-program som evaluerer nøyaktigheten til funksjonen diff(f,x,h) for å estimere den deriverte til sin(x). Programmet skal velge for i=1,2,3,4, og regne ut feilen, som er absolutt-verdien til differansen mellom den numeriske deriverte og den analytiske verdien. Programmet skal skrive ut x, h og feilen i en pent formatert tabell, som listet opp under. Du kan anta at funksjonen diff(f,x,h) er skrevet i samme fil som programmet ditt, så du trenger ikke gjenta eller importere denne funksjonen. Inkluder annen nødvendig import. Utskriften fra programmet skal se slik ut: /17

9 1 Maks poeng: Prime numbers Et primtall er et heltall k > 1 som bare kan deles med seg selv og 1. Med andre ord, for å bestemme om et tall k er et primtall trenger vi bare å sjekke at k ikke kan deles med noen av heltallene 2, 3,..., k- 1. For å teste dette i Python, merk at k kan deles med j hvis og bare hvis Python-uttrykket k % j == 0 er True (for eksempel, 12 kan deles på 6 siden 12 % 6 == 0 er True). (Merk: det finnes langt mer effektive metoder for å avgjøre om k er et primtall, men vi skal ikke se på dette her.) Skriv en Python-funksjon is_prime(k) som returnerer verdien True hvis k er et primtall, og verdien False hvis k ikke er et primtall. Du kan anta at k er et positivt heltall. 1 Maks poeng: 5 9/17

10 3.1 Euler's method: what is true? Hva er sant om Eulers metode? Velg de alternativene som er riktige påstander: Det er en metode for å finne tilnærmede løsninger av initialverdiproblemer Eulers metode er basert på definisjonen av den deriverte til en funksjon Eulers metode gir generelt bedre svar dersom tidssteget reduseres Eulers metode er bedre enn Newtons metode på likninger av formen f(x)=0 Maks poeng: The Birkenes model 10/17

11 Illustrasjonen viser den hydrologiske delmodellen av birkenesmodellen. Svar på alle de følgende spørsmål, og merk svarene a)-e). a) Hvilke størrelser i figuren er inndata i form av observerte tidsserier (lest inn fra fil i prosjektet)? b) Hvilke strømmer gir et positivt bidrag til A? 11/17

12 c) Hvilke strømmer gir et negativt bidrag til B? d) Beskriv hva rollen til A sig er. (Du trenger ikke skrive formelen.) e) Beskriv hva rollen til Q over er. (Du trenger ikke skrive formelen.) Words: 0 Maks poeng: Electroneutrality I birkenesmodellen har vi følgende likning for elektronøytralitet i reservoarene A og B: Her er x=[h + ], og s = [SO 4 2- ]. Velg et eller flere alternativer Noen av likevektskonstantene K H osv. endrer seg fra reservoar til reservoar. Vi kan ikke løse den hydrologiske delmodellen uten å løse f(x)=0 f(x)=0 dersom netto elektrisk ladning i en vannprøve er null. I birkenesmodellen finner vi ionekonsentrasjoner. med Newtons metode. Leddene i f(x) er Størrelsen s er alltid negativ Maks poeng: What is printed? (Newtons method) 12/17

13 Illustrasjonen viser et Pythonskript som bruker Newtons metode for å løse likningen Det er mange løsninger til denne likningen, for eksempel for alle heltall. Studér skriptet nøye. Hva printes av dette skriptet? Vink: I denne oppgaven er det ikke meningen at du skal regne ut hva som skjer på papir. Du kan løse oppgaven med kunnskapen du har om Newtons metode samt ved å studere skriptet. 1) f(x_0) = , x_1 = f(x_1) = , x_2 = f(x_2) = , x_3 = f(x_3) = , x_4 = f(x_4) = , x_5 = f(x_5) = , x_6 = ) f(x_0) = , x_1 = f(x_1) = , x_2 = f(x_2) = , x_3 = f(x_3) = , x_4 = f(x_4) = , x_5 = f(x_5) = , x_6 = ) f(x_6) = , x_7 = Alternativ 1 Alternativ 2 Alternativ 3 13/17

14 Maks poeng: Implementing Newton's method Følgende er et Python-skript som finner kuberoten av et tall ved Newtons metode. Funksjonen cube_root har en bug i implementeringen av Newtons metode. Finn denne bugen, og skriv inn det korrekte programmet. Vink: I denne oppgaven trenger du å kjenne iterasjonen i Newtons metode, og størrelsene som inngår der. Du can bruke copy-paste på koden, og så redigere. def cube_root(y): """ Beregn kuberoten av y med Newtons metode.""" maxit = 20 tol = 1e-16 x = 1.0 f = lambda x: x**3 - y df = lambda y: 3*y**2 for k in range(maxit): fx = f(x) dfx = df(y) if abs(fx) < tol: break if df == 0.0: raise(valueerror, "f'(x)=0") x = x - fx/dfx return x tall = 2.0 rot = cube_root(tall) print("kuberoten av %f er %.15f " % (tall, rot)) 1 Maks poeng: Implementation of Euler's method 14/17

15 3.6 Implementation of Euler's method Under er et Python-skript. Studér skriptet nøye. Skriptet definerer en funksjon euler() som løser et initialverdi med Eulers metode. Deretter anvendes metoden på initialverdiproblemet Det er en bug i implementeringen av Eulers metode. Det er kun 1 linje som må rettes for at funksjonen skal bli riktig. Finn feilen, og skriv inn hele det rette programmet. Vink: Du kan bruke copy/paste for å slippe å skrive alt manuelt. import numpy as np def euler(f, y0, t_final, n_steps): """ Apply Euler's method to the differential equation dy/dy = f(y,t), y(0) = y0, for 0 <= t <= t_final, using in total n_steps Euler steps. Returns a tuple (t,y) of time and solution vectors. """ t = np.linspace(0,t_final,n_steps+1) h = t[1]-t[0] y = np.zeros(n+1) y[0] = y0 for j in range(n): y[j+1]=y[j] - h*f(t[j],y[j]) return (t,y) def f(y,t): return -t*y n = 100 t_final = 5.0 (t,y) = euler(f, 1.0, t_final, n) 1 Maks poeng: 5 The Birkenes model 2 15/17

16 3.7 The Birkenes model 2 Følgende er noen påstander om den kjemiske delmodellen. Velg alle de riktige alternativene: Aluminium, kalsium, bikarbonat og hydronium antas alltid å være likevekt i reservoar A og B I hvert reservoar er konsentrasjonen til hydronium bestemt av likevektsbetingelser og sulfatkonsentrasjon. Sulfat transporteres gjennom modellen og forsvinner med strømmen i bekken Q, og også med evapotranspirasjon E_A og E_B Sulfat antas å ikke reagere med noen andre ioner. Aluminium, kalsium, bikarbonat og hydronium transporteres fra reservoar A til reservoar B, og ut i bekken Q. Dette er beskrevet med en differensiallikning/initialverdiproblem. Maks poeng: Mass balance 16/17

17 Illustrasjonen viser et Python-skript som simulerer en enkel reservoarmodell ("bøttemodell") med Eulers metode. Denne modellen er som følger: Vannstanden A(t) tilfredsstiller Her er Q(t) en utgående strøm ("hull i bøtte") med uttrykk Videre er P(t) en innkommende strøm gitt ved P(t) = p dersom t<=1 og P(t)=0 ellers. Likningen tilfredsstiller massebalanse, det vil si at Dette tilnærmer vi som VS = HS, der VS = A(t final ) - A(0), og der h er tidssteget. Oppgave: utvid skriptet med linjer som utfører massebalansesjekk, det vil si regner ut VS, HS og VS- HS og rapporterer resultatet til konsoll. Du trenger kun å skrive de linjene som trengs. Anta at koden settes inn på linje 30 i skriptet, før plottingen. 1 Maks poeng: 8 17/17