for bare trær Andre forelesning

Formler eller bevis e.l. som er uklare? Si ifra, så kan jeg gå g jennom dem. Forelesningene er ment å være en hjelp til å forstå det man leser i boka ikke «spoon-feeding» av det samme som står der for bare trær Andre forelesning

Bellman-Ford BFS/DFS Binære søketrær Binærsøk Bubblesort Bucket sort Counting sort Dijkstra DAGshortest-path Edmonds- Karp Floyd- Warshall Hashing Heapsort Huffmankoding Insertion sort Kruskal Merge sort Prim Quicksort Radix sort Randomized Select Select Selection sort Sterke komponenter Topologisk sortering

http://boingboing.net/2008/06/19 O-notasjonen representerer en øvre grense. Det er en grunn til det

Round Robin Kvadratisk Knockout Lineær

(Eksempel på en form for tellebevis: Tell en mengde på to ulike måter de to resultatene må være like.) To måter å finne antall håndtrykk på: n-1 + + 0 og alle hilser på n 1; del på to for å få antall håndtrykk. Disse må være like.

n 1 1 n

En annen måte å se det på: Alle tar n 1 personer i hånda (n*(n 1)). Vi har da telt hvert håndtrykk to ganger, og må dele på 2. I vårt tilfelle: Innsetting blant k ferdigsorterte tar O(k) tid, og k går fra 1 til n, så vi får (ca.) 1 + 2 + + n, som gir kvadratisk kjøretid. n n 1 2 Nesten n 2. Kvadratisk. Dette må også pugges!

Hvor lang tid tar det å fylle en petri-skål med amøber vha. celledeling? Turnering. Hvor mange kamper (og runder)? Igjen to fremgangsmåter: Halvering i hver runde: 1 + 2 + 4 + + n/2. Hver kamp slår ut én: n 1.

n = 2 h h = log 2 n

Skriv av og pugg denne figuren! Antall *runder* blir logaritmisk. n 1 Interne noder = turneringer. Eliminér alle utenom vinneren. n log 2 n n 2 n 2 = n Totallssystemet: 111 = 1000-1 etc. 1 1 1 Innhold fordeles nedover, og summen forblir den samme. n 20 spørsmål: Hvor mange doblinger fra 1 til n? Halveringer fra n til 1? Med 20 spørsmål kan man skjelne mellom ca. 1 mill. (Hva med 300?)

IN DUKSJON RE KURSJON

A? A? B? B? B! B! A! A! A? A!

Assume Delegate 1 n 1 n n n 1 1 Deduce Extend

Litt tilfeldig valgte forenklinger (De fleste forenklinger vil kunne gi oss ideer.) Kan dere komme på andre forenklinger/ spesialtilfeller? Gir det dere noen ideer? Hva om sekvensen har lengde 2? Hva om alle utenom ett element er sortert? Hva om vi bare skal få på plass det minste? Hva om alle elementene er enten 0 eller 1?

Hva om sekvensen har lengde 2? 5 3 3 5 Hmm. Bytter plass på to elementer ved siden av hverandre samtidig med at vi sammeligner dem. Kanskje nyttig grunnoperasjon?

Hva om alle utenom ett element er sortert? 0 1 3 4 5 2 6 0 1 2 3 4 5 6 Hmm. Det må flyttes forbi elementer, som må forskyves, én og én. Kanskje vi bare kan dytte det gjennom med sammenligning/ombytting av naboer?

Hva om vi bare skal få på plass det minste? 6 2 3 0 1 4 5 0 6 2 3 1 4 5 Lignende situasjon, men må må vi *finne* den minste. Det hadde vært bra om vi kunne bake det inn i sammenligninger/ombyttinger. (Dette kan vi også ta videre for å komme frem til selection sort og bubble sort.)

Hva om alle elementene er enten 0 eller 1? 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 Hmm. Nullene til venstre trenger vi ikke flytte på. Hvis vi finner en ny null så må den presses gjennom evt. enere, inn i null-gruppen, med sammenlign-og-bytt - taktikken.

Mens dere tenker

Vær oppmerksom på at tabeller i læreboka indekseres fra 1 til n så indekseres de i Java og Python fra 0 til n-1 x > x x i j i j x x > x Insertion-Sort(A) 1 for j = 2 to A.length 2 x = A[j] 3 // Sett x inn i A[1.. j 1]: 4 i = j 1 5 while i > 0 and A[i] > x 6 A[i + 1] = A[i] 7 i = i 1 8 A[i + 1] = x Nå har vi jo allerede smugtittet på kjøretiden, da vi sammenlignet med merge sort men hvordan kommer vi frem til den?

con-tra-pos-i-tive [ kon-tr^-poz-i-tiv] n. Logic A proposition derived by negating and permuting the terms of another, equivalent proposition; for example, All not-y are not-x is the contrapositive of All X are Y.

Hovedstrategien: Finn et kjent problem og en transform. Eksempel fra eksamen: Finn korteste vei fra p1 til p2 uten å krysse linjestykker på veien. Naturlig å bruk en korteste-vei-algoritme, men mange gjorde ikke det. Mye er vunnet på å kunne velge riktig algoritme fra pensum. Reduksjon: Det er jo bare å Ikke juks hvis du skal bruke det i bevis Selv om vi kommer tilbake til det siden, er det mange som har litt trøbbel med å bruke reduksjon til å vise at ting er *vanskelige* så vi ser litt på det allerede (som en forsmak).

Nytt problem Vanskelig problem Enkelt Enkelt Enkelt problem Nytt problem Nytt = enkelt Reduksjon + løsning Nytt = vanskelig Ellers: Selvmotsigelse

Nytt problem Enkelt Vanskelig problem Nytt = hvem vet? Enkelt å gjøre alt vanskelig

Ikke la dere lure av ordet reduksjon her! X? Det er jo bare å Y. Hvilken vei gir informasjon? Hvis jeg vil vise at A er vanskelig og jeg vet at B er vanskelig må jeg redusere _ til _

Hvis jeg vil vise at A er vanskelig og jeg vet at B er vanskelig må jeg redusere B til A «B? Det er jo bare å A» Hvis A var enkelt ville B også være det

Problem

Virkemåte

Styrke

Svakhet

Kjøretid

Problem Krav Virkemåte Styrke Svakhet Kjøretid

Etter tips fra Alexander Bjerkan. Flere eksempler + kode: http://hurl.no/aht Insertion Sort

Sortering For hver i Sett inn blant i-1 Lavt konstantledd Skalerer dårlig Θ(n 2 ) Merk at vi kan få O(n) i best-case her, hvis vi implementerer riktig. Sortering ved innsetting Hvordan kan vi få bra best-case på nesten alle algoritmer?

reduksjon! rekursjon dekomp. induksjon gjenbruk travers.

Sykelløs Traversering

Besøk noder Evt. på leting Siden vi ser bort fra sykler gjelder dette altså bare for trær. Merk: Metodene her fungerer også for DAGs. Det eneste som skjer er at enkelte noder blir besøkt flere ganger. Ingen sykler Foreløpig Besøk deltrær Rekursivt Grundig Retningsløs Θ(n) Traversering

Venstrehåndsregelen. Fungerer bare hvis vi ikke har sykler.

Først: Høyreregelen. Så: Rekursiv formulering. Bilde: Hver node er en person. Det sendes rundt en påmeldingsliste. Hver person er ansvarlig for at alle underordnede signerer. Når har hver person lista? (Når signerer han/hun? Pre-, post- og in-fix.) B D F A C E G D B A B C B D F E F G F D

Traversering av trær. Dybde-først-søk, egentlig. Kjerneeksempel på rekursjon. Helt «likt» med mange rekursive algoritmer som ikke eksplisitt har trær å jobbe med. Helt essensielt å forstå grundig! Først: Prefikstraversering.

Infiks

Postfiks

Prefiks-, infiks- og postfikstraversering på tavla. Rekursjonen evt. illustrert ved hjelp av folk som står i «stack» (DFS). Se så hva som skjer hvis de står i kø i stedet (BFS). Merk at nodene her står i BFSrekkefølge. A B C D E F G

Hva er forskjellig? DFS/Infixordning. Søketre-egenskap. Evt. demonstrer søk. «Ledet DFS» bare halve det rekursive arbeidet. D Minimum og maksimum kan finnes lett. Hva blir kjøretiden på alt dette? B F A C E G

Forg jenger/ etterkommer: Ser bare på etterkommer. Vi vil nå kunne gå oppover, så vi har piler begge veier. D Tilfelle 1: Vi har et høyre deltre velg minimum der. Tilfelle 2: Vi har ikke et høyre deltre. Velger da «Den laveste forfader med venstre barn som også er en forfader (eller oss selv)». B F A C E G

Best-case/average-case: Roughly balansert. Full traversering: O(n). Å traversere k etterfølgende noder: O(lg n + k). Søk, minimum, maksimum, forgjenger, etterfølger: O(lg n). Generelt (worst-case): «h» (høyden) i stedet for «lg n». Vi kan få h = n (lenket liste). log 2 n n 2 n 1 n n 2 = n 1 1 1 n Nok et bilde for å huske antall interne noder: Anta at alle foreldre (interne noder) har to iskrem hver, og at de gir dem til barna sine. Alle vil da ha is, bortsett fra rota. Ser du hvorfor det betyr at vi har n løvnoder og n 1 interne?

reduksjon! rekursjon dekomp. induksjon gjenbruk travers. Traversering

Binærsøk

Søk Kun sortert Rekursiv Halvering Tabell Liste Θ(lg n) Binærsøk

ALF Tenk på et tall mellom 1 og 100. BETH OK. (Hun tenker på 42.) ALF Er det over 50? BETH Nei. ALF Over 25? BETH Ja. ALF Over 37? BETH Ja. Over 43? Nei. Over 40? Ja. Over 42? Nei. Over 41? Ja. ALF BETH ALF BETH ALF BETH ALF BETH 7 spørsmål = lg2 100

Vi leter etter 27. 3 13 15 16 27 28 29 32 39 46 49 73 77 85 88 3 13 15 16 27 28 29 32 39 46 49 73 77 85 88 3 13 15 16 27 28 29 32 39 46 49 73 77 85 88 3 13 15 16 27 28 29 32 39 46 49 73 77 85 88 3 13 15 16 27 28 29 32 39 46 49 73 77 85 88 Forkast halve tabellen i hver iterasjon Her spesialbehandler vi midt-elementet Ja, vi kan velge om vi vil bruke rekursjon eller iterasjon. Og: Ved at vi sjekker midt-elementet spesifikt kan vi av og til avslutte tidligere. Konstant best-case.

n 1 n log 2 n n 2 n 2 = n 1 1 1 n

reduksjon! rekursjon dekomp. induksjon gjenbruk travers. Binærsøk

Nøkler i interne noder eller ikke Binære eller ikke Fortsatt traversering av trær. Denne gangen: På leting etter løvnode *med* veiskilt. + Søketrær

Søk Ordnede verdier Rekursiv «Halvering» Tilfeldige verdier Sorterte verdier Avg Θ(lg n) Ω(1), O(n) Søk i søketre uten balansering

Innsetting og søk. Rekursjon igjen. Evt. forklar på tavla. Diskuter kjøretid (best-/ worst-case). D B F A C E G

reduksjon! rekursjon dekomp. induksjon gjenbruk travers. Søk i søketre uten balansering

Balansering

Vi kan rotere begge veier. Husk at A, C og E her godt kan ha deltrær under seg, og at B kan ha et tre over seg, som må flyttes til D (eller omvendt). B D Garanterer ikke balansering i seg selv: Må brukes til å overholde en eller annen global «policy». A D B E C E A C Mulig policy: AVL-trær Høyden på deltrær har maks-diff på 1

Nodesplitting Heller ingen garanti for balansering. Brukes som regel med flere barn enn 2, og krav til både maks- og min-grad for noder. B For eksempel: Indre noder har minst 2, og maks 3 barn. Da kan vi sørge for balansering uansett. Mer generelt: B-trær. B B E A D E A D E Mulig policy: 2-3-trær Indre noder har 2 eller 3 barn

Θ(lg n) Innsetting og søk i selvbalanserende søketre