UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Mandag 5. juni 205 Date of exam: Monday, June 5, 205 Tid for eksamen: kl. 09:00 2:00 Time for exam: 09:00 a.m. 2:00 noon Oppgavesettet er på totalt 5 sider (inkl. forsiden) The problem set covers 5 pages pages (incl. cover sheet) English version on page 4 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler, samt lommekalkulator er tillatt Resources allowed: All written and printed resources, as well as calculator, is allowed Eksamen blir vurdert etter ECTS-skalaen. A-F, der A er beste karakter og E er dårligste ståkarakter. F er ikke bestått. The grades given: A-F, with A as the best and E as the weakest passing grade. F is fail.
Universitetet i Oslo / Økonomisk institutt (Bokmålsversjon.) ECON420 Matematikk 2 (utsatt prøve) 5. juni 205, 0900 200. Oppgavesettet er på 2 sider. Alle trykte eller skrevne hjelpemidler samt lommeregnere er tillatt. Karakterskalaen går fra A (beste karakter) til E for bestått, og F for ikke bestått. Alle svar skal begrunnes. Du kan benytte all informasjon oppgitt i en tidligere del eller et tidligere punkt (f.eks. (a) eller i) ) til å løse et senere (f.eks. (c) eller ii) ), uansett om du klarte å besvare det førstnevnte. En senere del/punkt trenger ikke bruke svar på eller informasjon oppgitt i et tidligere. Oppgave Definer for hvert reelt tall w matrisene A w og M w ved 2 5w 5 A w = 2 4 w, M w = 3w 3 3 5 0 2 (a) Regn ut (i) A w M w, (ii) M wa wa w M w og (iii) determinanten A w. (Apostrofen er notasjon for den transponerte. Et hint for punkt (ii): er det en rask måte å løse ved hjelp av (i)?) (b) For hver verdi av konstanten w, løs A w x = (0, 0, w 2) med hensyn på den ukjente x. (c) Bruk del (a) og del (b) til å finne den inverse til A w, eller vis at den ikke eksisterer. Om du ikke klarer dette kun ved hjelp av (den relevante informasjonen fra) del (a) og (b), kan du få score opp til «B» ved å finne A w med valgfri metode. Oppgave 2 (a) Vis at ln ( t ) dt = (t ) ln( t ) t t/2 + C. (b) Konvergerer integralet 4 ln ( t ) dt? (Hint: På et stadium i utregningen kan det være ønskelig å sette s = t.) (c) Finn den generelle løsningen av differensialligningen ẋ = x /5 ln ( t ).
Oppgave 3 I enkelte problemer for å finne optimale tidspunkter i økonomi, møter man ligningssystemer som er på formen F (p, x, y) = q F (E) (p, x, y) = 0 x og definerer kontinuerlig deriverbare funksjoner x = x(p, q) og y = y(p, q). I denne oppgaven lar du F (p, x, y) = x + ln x yx p+ der alle variabler er positive. (a) Differensier (dvs. regn ut differensialer) systemet, og forklar hvorfor en av ligningene ikke vil ha noe dx-ledd. (b) Finn et generelt uttrykk for x q(p, q). Oppgave 4 Gjennom denne oppgaven, definer for x 0, y 0 funksjonene u(x) = x c + x 2c, v(x, y) = f(x, y) u(x), f(x, y) = x a y 2a g(x, y) = u(x) + u(y) ( = x c + x 2c + y c + y 2c) der a og c er positive konstanter, og slik at 3a < c. (a) Er noen av funksjonene f, g, u og/eller v (i) konkav(e)? (ii) konveks(e)? (iii) homogen(e)? Hvilke(n)? (Du vil trenge at 0 < 3a < c for minst ett av svarene.) I det følgende, betrakt problemet maksimer f(x, y) når g(x, y) 2 + 2 c + 2 2c, x /2, y /2 (P) (b) Skriv ut Kuhn Tucker-betingelsene og vis at de ikke er tilfredsstilt i punktet (x, y) = (/2, /2). (Hint: h(/2), hva sier det om g(/2, /2)?) (c) Anta at c = 2. Vis at Kuhn Tucker-betingelsene er tilfredsstilt i punktet (x, y) = (, 2). (d) Anta igjen at c = 2. Hvilken av følgende påstander er riktig, eller er alle gale? Det er ingen score for ubegrunnet svar! Påstand i) Det vi vet til og med del (c), er tilstrekkelig til å konkludere at punktet (x, y) = (, 2) løser problemet (P). Påstand ii) Det vi vet til og med del (c), er tilstrekkelig til å konkludere at problemet (P) har en løsning, men i hvert fall i dette kurset må man regne mer for å avgjøre hvorvidt (x, y) = (, 2) løser problemet (P). Påstand iii) Punktet (, 2) løser ikke problemet (P) derimot løser det problemet med å minimere f over samme mengde. 2
University of Oslo / Department of Economics (English version.) ECON420 Mathematics 2 (postponed exam) June 5th 205, 0900 200. There are 2 pages of problems to be solved. All printed and written material may be used, as well as pocket calculators. Grades given run from A (best) to E for passes, and F for fail. You are required to state reasons for all your answers. You are permitted to use any information stated in an earlier part or item (e.g. (a) or i) ) to solve a later one (e.g. (c) or ii) ), regardless of whether you managed to answer the former. A later part or item does not necessarily utilize answers from or information given in a previous one. Problem Define for each real number w the matrices A w and M w by 2 5w 5 A w = 2 4 w, M w = 3w 3 3 5 0 2 (a) Calculate (i) A w M w, (ii) M wa wa w M w and (iii) the determinant A w. (The prime denotes matrix transpose. A hint for item (ii): is there a quick way to solve it by way of (i)?) (b) For each value of the constant w, solve A w x = (0, 0, w 2) with respect to the unknown x. (c) Use parts (a) and (b) to find the inverse of A w, or show that it does not exist. If unable to do so using only (the relevant information from) parts (a) and (b), you can get score of a B by finding A w using any method of your choice. Problem 2 (a) Show that ln ( t ) dt = (t ) ln( t ) t t/2 + C. (b) Does the integral 4 ln ( t ) dt converge? (Hint: At some stage in the calculations, you may want to put s = t.) (c) Find the general solution of the differential equation ẋ = x /5 ln ( t ).
Problem 3 In certain problems for optimal timing in economics, one encounters equation systems of the form F (p, x, y) = q F (E) (p, x, y) = 0 x defining continuously differentiable functions x = x(p, q) and y = y(p, q). In this problem, let F (p, x, y) = x + ln x yx p+ where all variables are positive. (a) Differentiate the system (i.e. calculate differentials), and explain why one of the equations will have no dx term. (b) Find a general expression for x q(p, q). Problem 4 Throughout this problem, define for x 0, y 0 the functions u(x) = x c + x 2c, v(x, y) = f(x, y) u(x), f(x, y) = x a y 2a g(x, y) = u(x) + u(y) where a and c are positive constants, and such that 3a < c. ( = x c + x 2c + y c + y 2c) (a) Is/are any of the functions f, g, u and/or v (i) concave? (ii) convex? (iii) homogeneous? Which one(s)? (You will need that 0 < 3a < c for at least one of the answers.) In the following, consider the problem max f(x, y) subject to g(x, y) 2 + 2 c + 2 2c, x /2, y /2 (P) (b) Write out the Kuhn Tucker conditions and show that they are not satisfied at the point (x, y) = (/2, /2). (Hint: h(/2), what does that tell about g(/2, /2)?) (c) Suppose that c = 2. Show that the Kuhn Tucker conditions are satisfied at the point (x, y) = (, 2). (d) Suppose again that c = 2. Which of the following claims is the right one, or are they all wrong? There is no score for an answer without justification! Claim i) What we know up to and including part (c) is sufficient to conclude that the point (x, y) = (, 2) solves the problem (P). Claim ii) What we know up to and including part (c) is sufficient to conclude that the problem has a solution, but at least in this course we need more calculations to tell whether (x, y) = (, 2) solves the problem (P). Claim iii) Point (, 2) does not solve the problem (P) rather it solves the problem of minimizing f over the same set. 2