Vormedal ungdomsskole Heldagsprøve 10. trinn 09.02.2017 Matematikk Tannlegetimen Hippokrates Del 2 X-Fighters

Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer totalt: Del 1 skal du levere innen 2 timer. Del 2 skal du levere innen 5 timer. Etter at Del 1 er levert inn, er alle hjelpemidler tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Før Del 1 er levert inn, er ingen hjelpemidler tillatt, bortsett fra vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Framgangsmåte og forklaring: Del 2 har 10 oppgaver. Du skal svare på alle oppgavene. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Vis hvordan du har kommet fram til svarene. Før inn nødvendige mellomregninger. Skriv med penn. I regnearkoppgaver skal du ta utskrift av det ferdige regnearket. Husk å vise hvilke formler du har brukt i regnearket. Du skal levere utskriften sammen med resten av besvarelsen. Dersom du bruker en digital graftegner, skal skala og navn på aksene være med på utskriften. Veiledning om vurderingen: Poengsum i Del 2 er høyst 31, men er bare veiledende i vurderingen. Karakteren blir fastsatt etter en samlet vurdering på grunnlag av Del 1 og Del 2. Sensor vurderer i hvilken grad du viser regneferdigheter og matematisk forståelse gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er kreativ og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger. Andre opplysninger: Side 2 av 11

Del 2 skal leveres innen 5 timer Maks 31 poeng Hjelpemidler: Se side 2. Hos tannlegen Oppgave 1 (3 poeng) Live trenger denne behandlingen hos tannlegen: Behandlingen til Live Undersøkelse Bedøvelse Røntgen (4 bilder) 3 tannfyllinger Nedenfor ser du prisene (i kroner) for de ulike behandlingene hos tannlegen. Live får 75 % rabatt fordi hun er mellom 18 og 20 år. Behandling Pris Undersøkelse 480 Bedøvelse 145 Røntgen (per bilde) 95 1 tannfylling 550 2 tannfyllinger 750 3 tannfyllinger 950 Regn ut hvor mye Live må betale totalt for behandlingen hos tannlegen. Fasit oppgave 1 Undersøkelse: 480 kr Bedøvelse: 145 kr 4 røntgenbilder: 4 95 = 380 kr 3 tannfyllinger: 950 kr Sum 1955 kr Betaler (fratrukket rabatt på 75%) 1955 kr 0,25 = 488,75 kr Side 3 av 11

Oppgave 2 (2 poeng) En flaske munnskyllevann inneholder 300 ml. Live vil blande det ut med vann i forholdet 1 : 3 (1 del munnskyllevann og 3 deler vann). Hun bruker 40 ml ferdig utblandet munnskyllevann to ganger per dag. Regn ut hvor mange dager en flaske med munnskyllevann vil vare for Live. Fasit oppgave 2 Ferdig utblandet: 300 ml 4 = 1200 m Forbruk hver dag: 40 ml 2 ganger/dag = 80 ml/dag Antall dager: 1200 ml : 80 ml/dag = 15 dager En flaske munnskyllevann vil vare 15 dager Oppgave 3 (2 poeng) Live bruker et plastbeger til munnskylling. Plastbegeret med innvendige mål ser du nedenfor. Formelen for volumet av et slikt plastbeger er V = π h (R 2 + r R + r 2 ) 3 Bruk formelen og vis at volumet av plastbegeret er ca. 2 dl. Fasit oppgave 3 VV = ππ h 3 (RR2 + rr RR + rr 2 ) 3,14 8,0cccc VV = ((3,3ccmm) 2 + 2,3cccc 3,3cccc + (2,3cccc) 2 ) = 199,03cccc 3 200cccc 3 3 VV = 200cccc 3 = 0,2dddd 3 = 0,2ll = 2dddd. FFFFFFFFFF 1dddd 3 = 1ll Volumet av plastbegeret er ca. 2 dl. Side 4 av 11

Oppgave 4 (2,5 poeng) Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark. Nedenfor ser du en oversikt over den samlede norske produksjonen av råolje på oljefeltene i Nordsjøen fra 1994 til 2004. Tallene er oppgitt i 1 000 tonn. Årstall Produksjon i 1000 tonn 1994 127 067 1995 136 838 1996 154 795 1997 157 174 1998 150 082 1999 150 717 2000 156 805 2001 159 008 2002 152 011 2003 145 383 2004 141 071 Kilde: http://www.ssb.no/emner/10/06/nos _olje_gass/nos_d333/tab/23.a.html (18.09.2008) Framstill tallene i tabellen ved hjelp av et diagram, og finn gjennomsnittlig oljeproduksjon per år i perioden. Oppgave 5 (2,5 poeng) Denne oppgaven skal løses ved hjelp av regneark. Fra oljen utvinner man flere produkter. Se illustrasjonen. Bruk regneark og beregn hvor mange liter av hvert oljeprodukt man får ut av ett fat olje (1 fat = 159 liter). Framstill tallene i en tabell. Flytende petroleumsgass: 3,1 % Nafta: 6,5 % Superbensin: 11,25 % Vanlig bensin: 3,75 % Mellomdestillater: 37,5 % Brennolje: 31,0 % Raffineribrennstoff og svinn: 6,1 % Asfalt: 0,8 % Kilde: www.gaspro.no/om_lpg.htm (18.09.2008) Side 6 av 11

X-Fighters Oppgave 6 (4 poeng) Bruk Geogebra til b) og c) I X-Fighters hopper motorsykkelen fra rampe 1 til rampe 2. En forenklet modell som beskriver et slikt hopp, er funksjonen h gitt ved h(x) = 0,05x 2 + x + 2 Her viser h(x) hvor mange meter motorsykkelen er over bakken når den er x meter fra rampe 1, målt langs bakken. Se skissen av hoppet nedenfor. Rampe 1 Rampe 2 0 m 20 m a) Motorsykkelen er høyest over bakken 10 m fra rampe 1, altså når x = 10. Bruk funksjonsuttrykket, og vis ved regning at motorsykkelen da er 7 m over bakken. b) Tegn grafen til h når 0 x 20 c) Bestem grafisk hvor langt motorsykkelen har flyttet seg fra rampe 1, målt langs bakken, når motorsykkelen er 4 m over bakken. Side 7 av 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A B C D E F G H I J K Oppgave 4 Årstall Produksjon i 1000 tonn 1994 127 067 1995 136 838 1996 154 795 1997 157 174 1998 150 082 1999 150 717 2000 156 805 2001 159 008 2002 152 011 2003 145 383 2004 141 071 Antall tusen tonn 170 000 160 000 150 000 140 000 130 000 120 000 110 000 100 000 Produksjon av råolje i Nordsjøen 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 År Heldagsprøve 9. februar 2017 Harry Blåstrupmoen Vormedal ungdomsskole

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A B C D E F G H Oppgave 5 Ett fat olje inneholder (liter): 159 Oljeprodukter Andel (%) Liter i ett fat Flytende petroleumsgass 3,10 % 4,9 Nafta 6,50 % 10,3 Superbensin 11,25 % 17,9 Vanlig bensin 3,75 % 6,0 Mellomdestillater 37,50 % 59,6 Brennolje 31,00 % 49,3 Raffineribrennstoff og svinn 6,10 % 9,7 Asfalt 0,80 % 1,3 Et fat inneholder 100 % 159 Ett fat olje inneholder (liter): 159 Oljeprodukter Andel (%) Liter i ett fat Flytende petroleumsgass 0,031 =$B$2*B4 Nafta 0,065 =$B$2*B5 Superbensin 0,1125 =$B$2*B6 Vanlig bensin 0,0375 =$B$2*B7 Mellomdestillater 0,375 =$B$2*B8 Brennolje 0,31 =$B$2*B9 Raffineribrennstoff og svinn 0,061 =$B$2*B10 Asfalt 0,008 =$B$2*B11 Et fat inneholder =SUMMER(B4:B11) =SUMMER(C4:C11) Heldagsprøve 9. februar 2017 Harry Blåstrupmoen Vormedal ungdomsskole

Oppgave 6 a) Setter inn x = 10 i funksjonen, og finner høyden over bakken (h(x)). h(xx) = 0,05xx 2 + xx + 2 = 0,05 10 2 + 10 + 2 = 5 + 12 = 7 Sykkelen er 7 meter over bakken når den er 10 meter fra rampe 1. b) Oppgaven er løst i Geogebra, og skjermbilde er vist i figuren nedenfor. c) Motorsykkelen har flyttet seg 2,25m fra rampen 1 på vei oppover, og 17,75m på vei nedover, når den er 4 meter over bakken (punkt A og B i figuren nedenfor).

Hippokrates fra Khios Hippokrates fra Khios (ca. 470 410 f.kr.) var trolig den første greske matematikeren som skrev en lærebok i geometri, 100 år før Euklid. Grekerne forsøkte å konstruere et kvadrat som hadde like stort areal som en sirkel (sirkelens kvadratur). Hippokrates-månen (i blå farge nedenfor) var en del av dette forsøket. Kilde: Proclus, Kommentar til Euklid I Oppgavene 7 og 8 tar utgangspunkt i skissen nedenfor. Oppgave 7 (3 poeng) E C D 5,0 cm O 5,0 cm ACB er halvsirkelen med sentrum i O og med diameter AB. AEC er halvsirkelen med sentrum i D og med diameter AC. a) Forklar at OC = 5,0 cm. Vis ved regning at AC = cm b) Vis at arealet til halvsirkelen ACB er 12,5π cm 2 39,25 cm 2 (Bruk at π 3,14 ) Side 8 av 11

Fasit oppgave 7 a) OC = OA = OB = radius i halvsirkelen ACB. Dermed er OC = OA = OB = 5,0 cm. AOC er en likebeint, rettvinklet, trekant med vinkler 45 o /45 o /90 o og OA = OC. Vi kan dermed bruke pytagoras: AC 2 = OA 2 + OC 2 = 5,0 2 + 5,0 2 = 50 AAAA = AAAA 2 = 50 Lengden av AC er 50cccc b) Arealet til halvsirkelen AAAAAA = ππ rr2 = ππ 52 = 25 ππ = 12,5ππ 39,25 2 2 2 Arealet av halvsirkelen ACB er ca. 39,25cm 2. Oppgave 8 (3 poeng) Figuren nedenfor er den samme som i oppgave 7, men den er utvidet slik at to kvadrater, AFBC og AGHB, kommer fram. E C D A 5,0 O 5,0 B F Regn ut omkretsen av figuren, det vil si AGHBCEA (markert med blå farge). Side 9 av 11

Fasit oppgave 8 I. AB = OA + OB = 10 cm Lengden AG + GH + HB = 3 10 cm = 30 cm II. BBBB = 2ππππ = 2 ππ 5 = 7,85 4 4 Lengden av buen BC er 7,85 cm, fordi buen BC er ¼ av omkretsen av en sirkel med sentrum i O og radius 5,0 cm. III. Lengden på buen AAAAAA = dd ππ = 50 ππ 11,10cccc 2 2 dd = AAAA = 50 7,07 (se oppgave 7). Omkretsen av AGHBCEA er: I + II + III = 30cm + 7,85cm + 11,10cm = 48,95 cm. Oppgave 9 (4 poeng) Kilde: Utdanningsdirektoratet Robbie stabler bokser med hårvoks. Antall bokser i hver etasje er et kvadrattall. For eksempel er det 5 2 = 25 bokser i første etasje av stabelen på bildet ovenfor. Side 10 av 11

a) Regn ut totalt antall bokser i stabelen på bildet ovenfor. For å regne ut totalt antall bokser N med n etasjer i en slik stabel kan vi bruke denne formelen: 2n 3 + 3n 2 + n N = 6 b) Bruk denne formelen til å regne ut totalt antall bokser i stabelen på bildet ovenfor. Robbie har laget en ny stabel med 11 etasjer. Etter noen dager har kundene kjøpt alle boksene i de fem øverste etasjene av stabelen. c) Regn ut totalt antall bokser som er igjen i denne stabelen. Fasit oppgave 9 a) Antall bokser: 5 2 +4 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 = 55 b) n = antall etasjer = 5 Antall bokser, N: 2nn3 +3nn 2 +nn 6 Antall bokser N er 55. c) Antall bokser, N: 2nn3 +3nn 2 +nn 6 = 2 53 +3 5 2 +5 6 = 55 55 = 2 113 +3 11 2 +11 55 = 451 6 Antall bokser som er igjen i stabelen er 451 bokser. Oppgave 10 (5 poeng) En boks med hårvoks har tilnærmet form som en rett sylinder. Innvendige mål ser du på bildet nedenfor. h = 2,6 cm Kilde: Utdanningsdirektoratet d = 6,9 cm Side 11 av 11

a) Regn ut det innvendige volumet av boksen. Produsenten av hårvoksen vil lage en ny type boks som har samme høyde som boksen på bildet ovenfor, men med 100 % mer volum. b) Regn ut den innvendige diameteren i denne nye boksen. Produsenten skal lage enda en ny type boks som skal ha en innvendig diameter på 10,0 cm. Forholdet mellom høyde og diameter skal være det samme som i boksen på bildet ovenfor. c) Regn ut det innvendige volumet i denne nye boksen. Fasit oppgave 10 Diameter, d = 6,9 cm. R = 3,45 cm a) Volum, V = πr 2 h = 3,14 3,45 2 2,6 = 97,17 97,2 cm 3 b) 100% mer volum: 97,2 2 = ππ rr 2 h = 3,14 rr 2 2,6 = 8,16 rr 2 194,3 8,16 23,81 = r 2 = 8,16 rr2 8,16 rr = 23,81 = 4,88 Den innvendige diameteren er 2 r = 2 4,88 = 9,76 9,8 cm c) Opprinnelig høyde, h 0 = 2,6ccmm. Opprinnelig diameter, dd 0 = 6,9ccmm. Ny diameter, dd 0 = 10ccmm, rr = 5ccmm Den nye høyden, h nn er: dd nn 2,6 dd 0 = 10 2,6 6,9 3,77 VV = ππrr 2 h = 3,14 5 2 3,77 = 295,95 296 Det innvendige volumet i den nye boksen er ca. 296 cm 3. Side 12 av 11