Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet
GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes ned fra www.geogebra.at Utviklet av Ph D Markus Hohenwarter Oversatt til norsk av Sigbjørn Hals Skisse Utforsking Koordinatsystem Funksjoner Geometriske figurer Vinkler Symmetri og speiling Etpunkts perspektivtegning Konstruksjon 2
Oppgave 1 Utforsking Gjør deg kjent med programmet ved å lage et hus med parabolantenne. Koordinatsystem Mål i K06 Etter 10. årstrinn: - elevene skal kunne bruke koordinater til å avbilde figurer og finne eksempler ved geometriske figurer Oppgave 2 Koordinatsystem a) Plasser disse punktene i koordinatsystemet A: (-5, -1) B: (-2, 1) C: (2, 1 2 ) D: (5, 1) E: (6, -3) F: (11,-2) G: (11,2) b) Trekk linjestykker mellom AB, BC, CD, DE, EF og FG. Hva skal figuren forestille? c) Hvor langt er det mellom punktene B og D? Hvor langt er det mellom punktene F og G? I GeoGebra er det også mulig å plassere punkter i koordinatsystemet ved å bruke Skriv inn feltet nederst på siden som vist under. d) Bruk skriv inn feltet til å plassere fire punkter i koordinatsystemet. Punktene skal plasseres slik at det står et punkt i hver kvadrant, og slik at de danner hjørner i et rektangel med areal 8. e) Kontroller at rektangelet har areal 8 ved å trekke opp en mangekant mellom de 4 punktene. f) Finn rektangelets omkrets ved å bruke skriv inn feltet. g) Finn et rektangel der både omkrets og areal er like store ved å bevege på rektangelets hjørnepunkter. 3
Funksjoner Mål i K06 Etter 10. årstrinn - løse ligninger og ulikheter av første grad og ligninsystemer med to ukjente - lage på papiret og digitalt funksjoner som beskriver numeriske sammenhenger og praktiske situasjoner, tolke dem og oversette mellom ulike representasjoner av funksjoner, som grafer, tabeller, formler og tekst - identifisere og utnytte egenskapene til proposjonale, omvendt proposjonale, lineære og enkle kvadratiske funksjoner, og gi eksempel på praktiske situasjoner som kan beskrives med disse funksjonene Oppgave 3 a) Bruk GeoGebra til å tegne grafene til disse funksjonene: f(x)= 2x 7 g(x)= - x + 8 b) Finn skjæringspunktet mellom grafene til f(x) og g(x) c) Hva er f(2) og hva er g(1)? d) Hent fram et nytt ark. Vi har funksjonene 1 a(x) = x b(x) =x c(x) = x 2 Tegn grafene og finn skjæringspunktene mellom dem. 4
Oppgave 4 a) Hent fram et nytt ark. Bruk GeoGebra til å løse ligningsettet 2x + y = 13 4x 5y = 5 b) Vi kan også bruke GeoGebra til å lære om stigningstall og konstantledd for lineære funksjoner. Hent fram et nytt ark. Skriv a=3 i Skriv inn feltet og trykk enter. Skriv b=2 i Skriv inn feltet og trykk enter. Skriv y=a*x+b inn i Skriv inn feltet og trykk enter. Høyreklikk på a i algebravinduet og velg vis objekt. Plasser glideren på tegneflata. Gjør det samme med b. Beveg på gliderne og undersøk hvordan grafen endrer seg ettersom du endrer på stigningstallet (a) og skjæringspunktet med y-aksen (b). Forklar det du ser med egne ord. c) To av Chess sin mobiltilbud har følgende prissatser på samtaler. Chess Knockout Startavgift: 0,69 kr Samtalepris: 0,55 kr/min Chess King Startavgift: 0,59 kr Samtalepris: 0,59 kr/min Hva er mest lønnsomt? 5
Geometriske figurer Mål i K06 Etter 10. årstrinn: - analysere, også digitalt, egenskaper ved to- og tredimensjonale figurer og bruke det i forbindelse med konstruksjoner og beregninger. Oppgave 5 Trekanter i trekanter Tegn en stor trekant ved hjelp av linjestykker. Finn midtpunktene på sidene ved hjelp av funksjonen midtpunkt eller sentrum. La midtpunktene være hjørner i en ny trekant. Finn midtpunktene på sidene i denne nye trekanten. Lag så en enda en ny trekant der midtpunktene er hjørner. Fortsett så lenge du kan. Studer trekantene. Legger du merke til noe spesielt? Hva? Mål sidene på trekantene som oppstår. Hva ser du? Hva kan du si om lengdene på sidene i de ulike trekantene? 6
Oppgave 6 Tyngdepunktet i en trekant Bruk mangekantfunksjonen og tegn opp en trekant med GeoGebra. Prøv om du kan finne tyngdepunktet i trekanten. (Det punktet der figuren vil balansere dersom du plasserer den på en blyantspiss). Hint: Bruk midtpunkt eller sentrum funksjonen Oppgave 7 Sirkel omskrevet trekant Tegn opp en trekant. Finn midtnormalen på de tre sidene vha av funksjonen midtnormal. Hva ser du? Bruk det du oppdaget til å omskrive en sirkel om trekanten. Oppgave 8 Sirkel innskrevet i trekant Tegn opp en trekant. Bruk funksjonen vinkelhalveringslinje og innskriv en sirkel i trekanten. Vinkler Mål i K06 Etter 10. årstrinn: - gjøre overslag over og måle. vinkler Oppgave 9 Vinkler a) Bruk linjestykker og tegn opp 6 vinkler b) Bruk funksjonen vinkel og mål størrelsen på de 6 vinklene. c) Juster de 6 vinklene slik at en av dem blir en rett vinkel, to blir en spiss vinkel og tre blir en stump vinkel 7
Oppgave 10 Vinkelsummen i mangekanter a) Gå på Fil-Ny. Tegn opp en stor trekant ved hjelp av linjestykker. b) Mål de tre vinklene i trekanten. Hva blir summen av vinklene? c) Prøv å endre på trekanten ved å trekke i et av hjørnene. Hva blir summen nå? d) Prøv igjen å endre på trekanten. Hva blir summen nå? e) Prøv det samme med en firkant og en femkant? Finner du noe system? 8
Symmetri og speiling Mål i K06 Etter 4. årstrinn: - Kjenne igjen og bruke speilsymmetri og parallellforskyvning i konkrete situasjoner Etter 7. årstrinn: - Beskrive og gjennomføre speiling, rotasjon og parallellforskyvning Oppgave 11 Speiling a) Tegn inn en loddrett linje og et punkt til venstre for linjen Vi skal nå speile dette punktet om linjen. Dette gjør vi ved å trykke på speil objekt om linje, så på punktet og så på linjen. Forsøk nå å ta tak i punktet til venstre for linjen og beveg på det. Hva skjer med punktet til høyre? Ved å høyreklikke på punktene får du opp en meny som gjør at du kan slå på sporingsfunksjonen. Forsøk nå å bevege på punktet til venstre og skrive navnet ditt med musa. Hva skjer på høyresiden av den loddrette linja? b) Gjør det samme på nytt og forsøk å lage en sommerfugl på samme måten. Du kan speile flere punkt om samme linja og du kan endre fargene på punktene ved å gå inn på egenskaper. 9
c) Forsøk å speile et punkt om en linje. Speil så det nye punktet om en ny linje. Bruk funksjonen spor av/på på de tre punktene, og skriv navnet ditt med musa. Hva skjer? Oppgave 12 Rotasjon GeoGebra kan også brukes til å rotere figurer. Vi skal nå se på hvordan vi kan rotere en trekant om et punkt. Tegn en trekant ved hjelp av funksjonen mangekant. Plasser deretter et punkt ved siden av trekanten. Bruk funksjonen roter objekt om punkt med fast vinkel. Trykk på trekanten, punktet og skriv så inn gradtallet 120. Gjenta dette til du har rotert trekanten helt tilbake til utgangspunktet. Hvor mange ganger måtte du ha rotert for å komme tilbake til utgangspunktet med gradtallet 60? 10
Etpunkts perspektivtegning Mål i K06 Etter 7. årstrinn: - Bygge tredimensjonale modeller og tegne perspektiv med et forsvinningspunkt Oppgave 13 Etpunkts perspektivtegning Vi skal nå se hvordan vi kan bruke GeoGebra til å lage en perspektivtegning av en eske. Vi starter med å tegne inn det som skal bli forsiden i esken ved hjelp av linjestykker. Deretter plasserer vi et punkt(forsvinningspunktet) et godt stykke bakenfor forsiden av esken. Så trekker vi opp linjer fra hjørnene på eskens forside til forsvinningspunktet i bakgrunnen. Så tegner vi opp eskens bakside på linjene et stykke bak eskens forside. Bruk linjestykker. Vi kan nå bruke funksjonen vis eller skjul objekt å skjule linjene på figuren, ved å trykke på linjene. Dersom en ikke ønsker at navnene på punktene og linjene skal stå kan en bruke funksjonen vis eller skjul navn på objekt. 11
Deretter trekker vi opp linjestykker mellom hjørnene på eskens forside og hjørnene på baksiden. Hva skjer om vi nå tar tak i forsvinningspunktet og forsøker å bevege på det? Kan du lage en etpunkts perspektivtegning av et telt eller en tunnell? Kan du lage en topunkts perspektivtegning av esken i eksempelet? 12
Oppgave 14 Konstruksjon av vinkler I GeoGebra kan en konstruere vinkler etter samme prinsipp som en gjør med passer og linjal. Figurene under viser eksempel på konstruksjon av 60º og 90º vinkel. a) Konstruer en 60º og en 90º vinkel. b) Halver vinklene. c) Konstruer en 75º vinkel. Oppgave 15 a) Bruk GeoGebra til å lage trekanten ABC, der AB=6,5 cm, BC = 4,5 cm og AC = 4,0 cm. Tegn høyden fra C til AB. b) Bruk GeoGebra til å lage en firkant ABCD, der AB, AD og diagonalen BD er 6,5 cm. AB CD og BC er 7,0 cm. Hva slags trekant er ABD? Hvor stor er vinkel BDC? Oppgave 16 En utfordring Anne, Bjarne og Carl bor i hvert sitt hus i en stor skog. Bjarne bor 120 meter rett øst for Anne. Carl bor 20 meter vest for og 20 meter nord for Bjarne. Det skal plasseres et felles postkassestativ i skogen. Hvor bør postkassestativet stå? 13