Datateknikk TELE1004-A 13H HiST-AFT-EDT. Oppgåve 1. Delemne digitalteknikk og datakommunikasjon Øving 2; løysing

Transkript

1 Datateknikk TELE1004-A 13H HiST-AFT-EDT Delemne digitalteknikk og datakommunikasjon Øving 2; løysing Oppgåve 1 Gjer om desse funksjonane til kanoniske former, presenterte som fullt algebraisk uttrykk og som indeksformer. Skriv opp både sum av standardprodukt-ledd (sum of minterms) og produkt av standardsum-ledd (product of maxterms): F (A,B,C)=( A+ B)(B+ C) Løysing med funksjonstabell: Som hjelpekolonnar kan ein setja opp sumledda A + B og B + C. A B C A + B B + C F (A, B, C) Sum av standardprodukt-form (SaSP): Dei argumentverdiane A B C som gjev det fyrste hv. andre, tredje og fjerde produktleddet lik «1» er 000, 001, 011 og 111. Då er produktledda A B C, A B C, A B C og A B C. Det gjev oss funksjonsuttrykket på algebraisk SaSP-form: F (A, B, C) = A B C + A B C + A B C + A B C På desimal form tilsvarar 000, 001, 011 og 111 indeksverdiane 0, 1, 3 og 7. Funksjonsuttrykket på indeksert SaSP-form er F (A, B, C) = (0, 1, 3, 7) Produkt av standardsummar-form (PaSS): Dei argumentverdiane A B C som gjev det fyrste hv. andre, tredje og fjerde sumleddet lik «0» er 010, 100, 101 og 110. Merk at det er i PaSS-tilfellet er argumentverdiar som er lik «1» som skal inverterast for å oppnå «0», slik at summen og med det heile produktet vert lik «0». Då er produktledda A+B+C, A+B+C, A+B+C og A+B+C, slik at funksjonsuttrykket på algebraisk PaSS-form er F (A, B, C) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) Argumentverdiane 010, 100, 101 og 110 på desimal form er indeksverdiane 2, 4, 5 og 6. Då er funksjonsuttrykket på indeksert PaSS-form:

2 F (A, B, C) = (2, 4, 5, 6) Algebraisk løysing utan tabell: F (A, B, C) = (A + B) (B + C) = ((A + B) + 0) ((B + C) + 0) = ((A + B) + C C) ((B + C) + A A) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) Dei argumentverdiane A B C som gjev 1. hv og 4. sumleddet lik «0» er 101, 100, 110 og 010. På desimal form tilsvarar det 5, 4, 6 og 2. Dette er dei indeksverdiane som viser til funksjonsverdiar som er «0». Funksjonsuttrykket på indeksert PaSS-form: F (A, B, C) = (2, 4, 5, 6) Dei indeksverdiane som ikkje er lista opp i PaSS-uttrykket viser til funksjonsverdiar som er «1». Funksjonsuttrykket på indeksert SaSP-form: F (A, B, C) = (0, 1, 3, 7) På binær form er desse indeksverdiane 000, 001, 011 og 111. Dei viser til funksjonsverdiar som er «1». Då er produktledda A B C, A B C, A B C og A B C. Det gjev oss funksjonsuttrykket på algebraisk SaSP-form: F (A, B, C) F (x, y, z)= (0, 3,7) = A B C + A B C + A B C + A B C Argumentverdiar som gjev funksjonsverdiar lik «1» er 000, 011 og 111. Dei tilsvarande produktledda er x y x, x y z og x y z : F (x, y, z) = x y z + x y z + x y z På tilsvarande vis tek ein utgangpunkt i indeksverdiane som ikkje er lista opp i SaSP-uttrykket for å finna indeksert PaSS-form: F (x, y, z) = (1, 2, 4, 5, 6) På binær form er desse indeksverdiane 001, 011, 100, 101 og 110. Dei utgjer argumentverdiar som gjev funksjonsverdiar lik «0». Det fører fram til algebraisk PaSS-form: F (x, y, z) = (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) c) F (p,q, r)= (1,3,5,7) Argumentverdiar som gjev funksjonsverdiar lik «0» er 001, 011, 101 og 111. Dei tilsvarande sumledda er p+q+r, p+q+r, p+q+r og p+q+r : F (x, y, z) = (p + q + r) (p + q + r) (p + q + r) (p + q + r) = (0, 2, 4, 6) = p q r + p q r + p q r + p q r (Merk: Bruk tabellar og ev. algebraisk omforming vha. reknereglar ikkje Karnaugh-diagram eller andre metodar.)

3 Oppgåve 2 Bruk DeMorgans regel til å finna det enklaste uttrykket for T på sum av produkt-form. T = A +BC T.5( T = A +B C T.5( = A B C = A (B+C) P.4( = A B+ A C T = A B+ A B T.5 ( T = A B+ A B P.2( 2 = 0+A B+ A B+0 = ( AB)( A B) T.5( 2 = A B+ A B = ( A+B)( A+B) T.3 2 = +B)(A +B) P.4( 2 P.5( = A A + A B+ A B+ B B P.5( c) T = ( A+B)(B+C) T = ( A+B)(B+C) T.5( = A +B+B+C T.5( 2 = A B+B C T.3 2 = A B+B C Oppgåve 3 G(r,s,t ) = r t + r s + r s t + st Set opp Karnaugh-diagram for funksjonen (bruk ev. funksjonstabell) og finn ut om han kan forenklast. Kva er G uttrykt på enklaste algebraiske sum av produkt-form? Bruk ev. ein funksjonstabell som hjelpemiddel, eller set produktledda rett inn i Karnaugh-diagrammet for G(r, s, t) : t\rs rt rs rst st Dette diagrammet kan reduserast til 1 liggjande 2-konstellasjon og 1 kvadratisk 4-konstellasjon. Dei to overlappar: t\rs rt s Det forenkla utrykket for funksjonen på produkt av sum-form er G(r, s, t) = r t + s. Ein ser at det opphavlege leddet r t er optimalt, medan resten kan dekkjast med eitt einaste forenkla ledd s.

4 Oppgåve 4 F(a,b, c,d) = (0,1, 2, 4,5, 6,8, 9, 10) Set opp Karnaugh-diagram og finn F uttrykt på enklaste algebraiske sum av produkt-form. ab\cd a c a d b c b d Utrykket for F på enklaste sum av produkt-form er F(a, b, c, d) = a c + a d + b c + b d Finn F uttrykt på enklaste algebraiske produkt av sum-form. ab\cd a+b c+d Utrykket for funksjonen på enklaste produkt av sum-form er F(a, b, c, d) = (a + (c + d) (Fekk du eit liknande svar, men utan inverteringsteikn? Merk at inngangsverdiane skal veljast slik at dei aktuelle sumledda vert «0».) Oppgåve 5 Ein BCD til sjusegment-dekodar er ei kombinatorisk blokk med 4 inngangar og 7 utgangar (éin utgang for kvart av segmenta i ei teiknrute). Når ein utgang er høg (logisk verdi 1), lyser det tilsvarande segmentet. Kva for segment som skal lysa for å byggja opp dei ulike desimale sifra, går fram av figuren:

5 Konstruer dekodaren. Alle inngangskombinasjonar som ikkje er ein gyldig BCD-kode kan definerast som valfrie. Det held at du finn dei sju logiske funksjonane. Du treng ikkje å teikna logisk skjema. Set opp ein felles funksjonstabell for kvar av dei sju utgangane: ABCD a b c d e f g Finn ut korleis teiknruta ser ut dersom inngangskombinasjonen 1111 ved ein feil vert påtrykt. (Fleire ulike svar er mogelege, avhengig av kva for funksjonar du fann i deloppgåve a. I løysinga er dei valfrie kombinasjonane utnytta optimalt.) Det er berre i K-diagrammet for utgangsvariabelen e at rute 1111 er vald lik «0». Alle dei andre lyser. Det tilsvarar skissa for sifferet «9».

6 Ekstraoppgåve Oppgåva er friviljug: F( A, B, C, D) = (0, 1,5, 7,8,9, 10, 12,13, 14,15) Set opp Karnaugh-diagram og finn enklaste algebraiske sum av produkt-form og produkt av sum-form. Multipliser saman parentesane i produkt av sum-forma etter enkle algebraiske reglar, og sjå om du får ledda i sum av produkt-forma. Du treng ikkje å gjennomføra forenkling jamvel om du får for mange ledd. Er svaret du har funne rett?