Rapport fra karakterundersøkelsen i matematikk i GLU-utdanningene i 2014

Transkript

1 Rapport fra karakterundersøkelsen i matematikk i GLU-utdanningene i 2014 Etter vedtak i NRLU-AU i november 2013, nedsatte UHR i januar 2014 en arbeidsgruppe for å stå for gjennomføring av arbeidet med karakterundersøkelsen i lærerutdanningene, etter opplegg foreslått av en arbeidsgruppe høsten 2013Arbeidsgruppen har bestått av Andreas Christiansen, Høgskolen Stord/Haugesund, Ole Enge, Høgskolen i Sør-Trøndelag og Beate Lode, Høgskolen i Bergen. Gruppen fikk i oppgaven å planlegge og gjennomføre undersøkelser, seminar og konferanse som er skissert i notat utarbeidet av NRLUs arbeidsgruppe høsten notat_fra_arbeidsgrup pen_1.pdf Undersøkelsen har så langt omfattet gjennomgang og undersøkelse av emneplaner, eksamensoppgaver, eksamensbesvarelser og karakterlister i matematikk fra matematikkemner primært i grunnskolelærerutdanning. Det har også vært arrangert et nasjonalt seminar om vurderingsordninger i lærerutdanning (april 2014) og en nasjonal konferanse med foredrag og diskusjon omkring karaktersetting/sensurering og om nasjonale retningslinjer for karaktersetting (september 2014). Arbeidsgruppens oppsummering, og om arbeid videre Arbeidsgruppen opplever at fagmiljøet i GLU-utdanningene i matematikk ønsker et tettere samarbeid om utarbeidelse av eksamensoppgaver og vurdering av eksamensbesvarelser. Gruppen ønsker at den foreliggende rapport skal være et steg mot å etablere et felles språk for å kunne drøfte innholdet i eksamensoppgaver, og for å diskutere og karaktersette eksamensbesvarelser. Om arbeidet og arbeid videre: - Forslag til retningslinjer for karaktersetting, med begrunnelser for valg og utarbeidelse, sendes ut på høring i fagmiljøet. - Fagmiljøet ønsker at institusjonene innfører en ordning med tilsynssensorer, sensorer som bidrar med utarbeidelse og vurdering av eksamensoppgaver. Arbeidsgruppen vil oppfordre fagmiljøet til å samarbeide om å utvikle eksamensoppgaver for å øke bevisstheten om hva som bør testes. - Arbeidsgruppen ønsker at arbeidet med kvalitetssikring av eksamensoppgaver og bruk av retningslinjene for karaktersetting vil bli gjenstand for kontinuerlig drøfting innad i fagmiljøet. En slik drøfting kan for eksempel skje under den årlige etterutdanningskonferansen for lærerutdannere i matematikk. Arbeidsgruppen mener at mye av arbeidet som er gjort i samband med karakterundersøkelsen, herunder innsamling av karakterdata, eksamensoppgaver og svar, emneplaner, og utarbeidelse 1

2 av nasjonale retningslinjer for karaktersetting basert på fem kjerneområder, kan tilpasses til andre fag i GLU-utdanningene. Forslag til nasjonale retningslinjer for karaktersetting i matematikk i grunnskolelærerutdanningene Forslagene til retningslinjer bygger på arbeidet gjort i forbindelse med nasjonal karakterkonferanse i september Konferansen hadde to nært beslektede temaer for GLU-utdanningene: Beskrive minimumskriterier for å få karakteren E, altså bestått, i matematikk ved lærerutdanningene og Utforme et første forslag til nasjonale retningslinjer for karaktersetting i matematikk Det første punktet blir i all hovedsak slått sammen med det andre ut fra en oppfatning av at retningslinjene i sin beskrivelse av karakteren E gir minimumskriterier, men minimumskriteriene vil også bli drøftet under avsnittet Bruk av retningslinjene. Et utgangspunkt er at retningslinjene skal fange opp forhold som er essensielle og/eller særegne for GLU-utdanningene i matematikk. For å få til dette er det viktig å se på hva forskning sier hva undervisningsarbeid i matematikk går ut på, og ta utgangspunkt i de nasjonale retningslinjene for faget i GLU-utdanningen. En rekke internasjonale studier har sett på hva det innebærer å være matematikklærer. Studiene har undersøkt hva slags matematikkunnskap en lærer bør ha, og hvordan ulik faglig bakgrunn i matematikk påvirker lærerens arbeid i klasserommet. Sentrale forskere innen dette temaet er Deborah L. Ball og hennes medarbeidere (se f.eks. Ball & Bass, 2003; Ball, Lubiensky, & Mewborn, 2001, Ball, Thames, & Phelps, 2008). Hun og hennes medforskere har gjort et omfattende forsknings- og utviklingsarbeid hvor de har videreutviklet Shulmans (1987) kategorisering av lærerkunnskap til å gjelde matematikkundervisning. Andre internasjonale forskere som har studert lærerkunnskap og undervisning av matematikk er Blömeke (2014), Löen m.fl. (2013), Ruthven & Rowland (2011), Hill m.fl.., (2008), Ma (1999) og Fennema m.fl. (1992). Fra Danmark har vi KOM rapporten (Niss, 2002) sin beskrivelse av matematikklærerkompetanser. Norske forskere som har arbeidet med dette er blant andre Fauskanger & Mosvold (2013), Hole & Kleve (2012), Solem & Hovik (2012), Fauskanger, Bjuland & Mosvold (2010), Kleve (2010 a, b) og Enge & Valenta (2010). Disse studiene synliggjør ulike aspekt ved læreres kunnskaper, og de beskriver en lærerkunnskap som er kompleks og omfattende. Forskning viser altså at det å være lærer i matematikk i grunnskolen er både faglig og fagdidaktisk krevende. Ball, Thames og Phelps (2008) har identifisert en rekke utfordringer knyttet til det arbeidet lærere gjør i forbindelse med undervisning i matematikk (se også D. Ball, 2009, Jakobsen, Fauskanger, Mosvold, & Bjuland, 2014). Disse inkluderer blant annet å: Presentere matematiske ideer Vurdere og evaluere elevers matematiske påstander eller utsagn (ofte raskt) 2

3 Bruke og analysere representasjoner, knytte representasjoner til underliggende ideer og foreta overganger mellom ulike representasjoner Velge og utvikle gode definisjoner Bruke matematisk notasjon og språk og vurdere bruken av dette Gi og analysere matematiske forklaringer Generere enklere eller komplekse versjoner av et problem Stille fruktbare matematiske spørsmål Hvorfor virker dette? Virker det for alle tilfeller? Har vi alle løsninger? Hva er sammenhengen mellom disse to representasjonene? Tenke på spesielle tilfeller, grensetilfeller Mye av dette finner vi igjen i de nasjonale retningslinjene for GLU-utdanningene i matematikk. Om faget i lærerutdanningen heter det: Matematikklærere skal legge til rette for helhetlig matematikkundervisning i tråd med relevant forskning og gjeldende læreplan. Dette krever ulike typer kompetanse. For eksempel skal lærerne kunne analysere elevenes matematiske utvikling, være gode matematiske veiledere og samtalepartnere, kunne velge ut og lage gode matematiske eksempler og oppgaver, og kunne evaluere og velge materiell til bruk i matematikkundervisningen. De må kunne se på matematikk som en skapende prosess og kunne stimulere elevene til å bruke sine kreative evner. Basert på forskning nevnt ovenfor og de nasjonale retningslinjer for lærerutdanningene har arbeidsgruppen kommet fram til fem områder som strukturerer retningslinjene for karaktersetting i matematikk i GLU-utdanningene. Arbeid med disse områdene er sentralt i alle undervisningsaktiviteter i matematikk. Områdene er: Matematisk språk og kommunikasjon Bruke representasjoner Argumentere, begrunne og bevise Oppfatte og tolke elevers uttrykk for matematisk forståelse Legge til rette for undervisningsaktiviteter som fremmer elevers matematiske kompetanse, kreativitet og positive holdning til matematikk Disse kategoriene må ikke betraktes som isolerte områder. De er ofte overlappende og tett sammenflettet. Nedenfor utdyper områdene med vi med eksempler som beskriver et område. Matematisk språk og kommunikasjon: Å bruke matematisk språk på en korrekt og presis måte består av å kunne forstå og bruke matematiske symboler i utregninger, slik som å regne ut x 4x 3 0 eller :. Lærerstudenter må kunne vurdere egen og andres bruk av 3 4 matematisk notasjon og språk. En viktig bit her er å kunne vurdere og utvikle definisjoner i matematikk. For eksempel det å vite definisjonen av et partall og kunne vurdere hvilke av disse som er korrekte: a. Et partall er et tall som kan deles i to like store deler. 3

4 b. Et partall er ethvert multiplum av 2. c. Et partall er ethvert heltallig multiplum av 2. d. Et partall er alle tall der sifferet på enerplassen er 0, 2, 4, 6 eller 8. e. Et naturlig tall er et partall hvis det er summen av et naturlig tall med seg selv. (fra Ball, 2011, vår oversettelse) Videre ligger det i denne kategorien det å kunne gjennomføre, analysere og drøfte matematiske diskusjoner (se for eksempel Enge & Valenta, 2014), og det å kunne gi undervisningsforklaringer i matematikk (se for eksempel Dahl, 2014). Selv om all bruk av matematisk språk skjer via bruk av ulike representasjoner så er bruken av representasjoner og skifte mellom representasjoner en sentral indikator på matematisk begrepsforståelse, og en sentral del av det å gjøre og lære matematikk (se Kilpatric, Swafford, & Findell, 2001, side 119, Duval, 2006). Så bruken av representasjoner løftes fram som et eget snetralt område i undervisningsarbeid i matematikk. Bruke Representasjoner:«En representasjon er noe som står for noe annet» (Duval, 2006, side 103, vår oversettting).representasjoner inkluderer det matematiske symbolspråket, muntlig språk, illustrasjoner og tegninger. Å bruke og analysere representasjoner er blant annet å vite hvilke representasjoner som er nyttige i en gitt situasjon og til et gitt formål, for eksempel vite hvilke regnefortellinger som passer til divisjonsstykket 36: 0,5. Et annet eksempel er å vite hvilke styrker og svakheter som ligger i tolkningen av brøk som del av en helhet, hva skjer for eksempel når du skal representere brøken 3 5 i denne modellen? Det å kunne å knytte en representasjon til en annen representasjon, gjøre overganger mellom representatsjoner, er en viktig del av læring og undervising av matematikk (se for eksempel Duval, 2006, Ball m.fl, 2008). Et eksempel er hvordan knytte y = 3x + 1til en grafisk representasjon av denne sammenhengen. Et annet eksempel er hvordan elever/lærere/lærerstudenter kan bruke en illustrasjon/regnefortelling til å argumentere for en regnestrategi, for eksempel hvorfor 18 5 = (20 2) 5 = = (se Valenta & Enge, For andre eksempler på utfordinger med overganger mellom representasjoner se Berg, 2013, og Måsøval, 2011, side ). I denne kategorien ligger det også kompetanse om bruke av ulike verktøy for undervising og læring av matematikk, for eksempel bruk av konkreter eller bruken av digitale hjelpemidler som for eksempel dynamiske geometriprogram. Å argumentere, begrunne og bevise: I dette området ligger det at en selv kan argumentere for matematiske påstander og gjennomføre matematisk gyldige begrunnelser. Et eksempel er å kunne begrunne en regnestrategi innen multiplikasjon, og argumentere for at den gjelder for alle positive tall. Et annet eksempel er det å kunne bevise Pythagoras teorem, eller å kunne bevise at produktet av to partall er et partall. Et krav til slike begrunnelser/bevis er at de må være tilgjengelige for elever i grunnskolen. Det innebærer at studenten, avhengig av hvilket klassetrinn elevene er på, må kjenne til og kunne bruke matematisk gyldige argumentasjonsformer som representasjonsbevis, generisk eksempel og algebraiske bevis. For eksempel må studentene kunne se forskjellen på følgende to utsagn fra tredjeklassinger som skal argumentere for at summen av to oddetall er et partall: 4

5 a. Alle oddetall hvis du tar en sirkel om to og to så er det en til overs. Så, hvis du legg sammen to oddetall så vil de to enerne som var til overs slå seg sammen og danne et partall. Det er fordi alle partall hvis du tar en sirkel om to og to så blir det ingen til overs. b. Hvis du legg sammen to oddetall så vil de to enerne som var til overs slå seg sammen og danne et partall. (hentet fra Stylianides, 2008, vår oversettelse) Forklaringen i a er et gyldig matematisk bevis, mens den i b ikke viser til noen definisjon av verken partall eller oddetall. Sslik mangler den viktige elementer som må være til stede i tredjeklassingers begynnende forståelse for partall, oddetall og bevis (se Stylianides, 2008, side 12). Videre må studenter vurdere elevers begrunnelser og eventuelt bygge videre på disse. Oppfatte og tolke elevers uttrykk for matematisk forståelse: Lærerstudenter må kunne oppfatte elevers gryende matematiske begrepsforståelse og prosedyrebeherskelse. Dette innebærer blant annet å kunne oppfatte hva elever sier og gjør, gi tilbakemeldinger og/eller bygge den videre undervisningen opp rundt slike innspill. Et eksempel er en fjerdeklassing som skal regne og som i stedet regner Studentene må kunne oppfatte at dette ikke gir samme svar, tolke det som en mulig overgeneralisering fra addisjon av positive heltall, 12+10=11+11, og kunne gjennomføre en undervisningssekvens slik at fjerdeklassingen selv kan se at svaret er feil og hva som kan gjøres for å finne det riktige svaret. En måte å gjøre det på er å legge opp til resonnering omkring utregningen av stykkene, for eksempel ta i bruk modeller for multiplikasjon i resonneringen og utregningen. Et annet eksempel er ungdomsskoleelevene som løste ligningen 2 x 2 3 2x 5x slik: 2x 5 4 5

6 Studentene må kunne tolke det eleven har gjort og vurdere hvilke tilbakemeldinger som skal gis, og eventuelt foreslå og begrunne undervisningsaktiviteter som vil støtte eleven i hans/hennes læring. Legge til rette for undervisningsaktiviteter: Lærerstudenter må kunne velge oppgaver og aktiviteter som legger til rette for læring i matematikk. Dette innebærer blant annet å kunne vurdere og tilpasse innholdet i lærebøker. Videre må de kunne tilpasse eller utvikle opplegg slik at alle elever får utfordringer. Slike valg og tilpassninger må de kunne begrunne ut fra nødvendig matematisk kunnskap og relevant matematikkdidaktisk forskning. For eksempel så kan de gjøre valg ut fra ulike kategoriseringer av oppgaver. En slik kategorisering finnes i Stein, Smith, Henningsen, & Silver (2000) De beskriver et opplegg/en oppgave ved dens/dets kognitive krav og har fire nivåer: a. Det å huske resultater (Memorization) b. Å kunne gjennomføre prosedyrer uten dette knyttes til noen begrunnelser eller til en underliggende mening (Procedures without connections) c. Opplegg som knytter sammen prosedyrer og begreper, opplegg der prosedyrer må begrunnes, knyttes til mening (Procedures with connections) d. Opplegg med aktiv utforsking og begrunnelser, fokus på begreper og sammenhenger mellom matematiske ideer (Doing mathematics) 6

7 (se også Skott, Jess, & Hansen, 2008, Stein, Remillard, & Stein, 2007). Et annet eksempel er hvordan studentene kan bruke Van Hieles nivåer for geometrisk forståelse, utvidelser og kritikk av denne, i planlegging av undervisningsaktiviteter i geometri. En måte å gjøre et opplegg/en oppgave mer åpent for utforskning er å fjerne informasjon fra eller tilføye ny informasjon til en oppgave. For eksempel så kan oppgaven = erstattes med 9_ =. (se Prestage & Perks, 2001, se også Skott, Jess, & Hansen, 2008, kap. 6). Studentene må kjenne til ulike typer opplegg og aktiviteter. De må kunne utforme opplegg som støtter opp om utvikling av begrepsforståelse, resonneringsevne, og utvikling av matematisk språk. En sentral aktivitet her kan være matematisk modellering. Basert på disse fem områdene foreslår vi følgende retningslinjer for karaktersetting i GLUutdanningen innen matematikk: 7

8 Forslag til retningslinjer for karaktersetting: Betegnelse Beskrivelse A Fremragende Fremragende prestasjon som klart utmerker seg. Kandidaten kan bruke matematisk språk på en svært presis måte. Kandidaten har svært god kunnskap om den betydningen semiotiske representasjonsformer har i matematikk, kan tolke, velge, lage og bruke representasjoner ut fra hensikten i en gitt situasjon, og utnytte potensialet i ulike representasjoner. Kandidaten ser klart hvilke utfordringer som er knyttet til overganger mellom representasjonsformer. Kandidaten kan korrekt argumentere for, begrunne og eventuelt bevise matematiske utsagn på en måte som er forståelig for grunnskoleelever. Kandidaten kan på en overbevisende måte oppfatte og tolke uttrykk for elevers matematiske forståelse, og kan bruke dette til å drøfte undervisningsepisoder på en svært god måte. Kandidaten kan på en svært god måte legge til rette for undervisningsaktiviteter som fremmer elevers matematiske kompetanse, kreativitet og positive holdning til matematikk. Kandidaten kan på en svært god måte forankre sine opplegg og synspunkter i relevant matematisk kunnskap og matematikkdidaktisk forskning. B Meget god Meget god prestasjon som klart skiller seg ut. Kandidaten kan bruke matematisk språk på en presis måte. Kandidaten har meget god kunnskap om den betydningen semiotiske representasjonsformer har i matematikk, kan tolke, velge, lage og bruke representasjoner på en effektiv måte. Kandidaten ser godt hvilke utfordringer som er knyttet til overganger mellom representasjonsformer. Kandidaten kan korrekt argumentere for, begrunne og eventuelt bevise matematiske utsagn på en måte som er forståelig for grunnskoleelever. Kandidaten kan på en meget god måte oppfatte og tolke uttrykk for elevers matematiske forståelse, og kan bruke dette til å drøfte undervisningsepisoder på en meget god måte. Kandidaten kan på en meget god måte legge til rette for undervisningsaktiviteter som fremmer elevers matematiske kompetanse, kreativitet og positive holdning til matematikk. Kandidaten kan på en meget god måte underbygge sine opplegg og synspunkter med relevant matematikkdidaktisk forskning. 8

9 Betegnelse Beskrivelse C God God prestasjon. Kandidaten kan bruke matematisk språk på en god måte. Kandidaten har god kunnskap om den betydningen semiotiske representasjonsformer har i matematikk, kan tolke, velge, lage og bruke representasjoner på en god måte. Kandidaten ser hvilke utfordringer som er knyttet til overganger mellom representasjonsformer. Kandidaten kan argumentere for, begrunne og eventuelt bevise matematiske utsagn på en måte som er forståelig for grunnskoleelever. Kandidaten kan på en god måte oppfatte og tolke uttrykk for elevers matematiske forståelse, og kan bruke dette til å drøfte undervisningsepisoder på en god måte. Kandidaten kan på en god måte legge til rette for undervisningsaktiviteter som fremmer elevers matematiske kompetanse, kreativitet og positive holdning til matematikk. Kandidaten kan på en god måte underbygge sine opplegg og synspunkter med relevant matematikkdidaktisk forskning. D Nokså god Nokså god prestasjon Kandidaten kan bruke matematisk språk, men til dels blir framstillingen upresis og umatematisk. Kandidaten har kunnskap om den betydningen semiotiske representasjonsformer har i matematikk, og kan i noen grad tolke, velge, lage og bruke representasjoner. Kandidaten ser bare i bregrenset grad hvilke utfordringer som er knyttet til overganger mellom representasjonsformer. Kandidaten kan argumentere for, begrunne og eventuelt bevise matematiske utsagn. Framstillingen er delvis upresis eller kan være vanskelig å følge for grunnskoleelever. Kandidaten kan oppfatte og tolke uttrykk for elevers matematiske forståelse, men tolkningene blir ofte på et generelt nivå, og drøftingene av undervisningssituasjoner blir generelle. Kandidaten kan på en begrenset måte legge til rette for undervisningsaktiviteter som fremmer elevers matematiske kompetanse, kreativitet og positive holdning til matematikk. Kandidaten kan delvis underbygge sine opplegg og synspunkter med relevant matematikkdidaktisk forskning. 9

10 Betegnelse Beskrivelse E Tilstrekkelig Prestasjon som er akseptabel ved at den tilfredsstiller minimumskravene. Kandidaten kan bruke matematisk språk på en tilfredsstillende måte, men språket er til dels upresist og umatematisk. Kandidaten har noe kunnskap om den betydningen semiotiske representasjonsformer har i matematikk, men har problemer med å tolke, velge, lage og bruke representasjoner. Kandidaten ser i svært begrenset grad hvilke utfordringer som er knyttet til overganger mellom representasjonsformer. Kandidaten kan til en viss grad argumentere for, begrunne og eventuelt bevise matematiske utsagn, men har problemer med å gjøre dette på en måte som er forståelig for grunnskoleelever. Kandidaten kan til en viss grad oppfatte og tolke uttrykk for elevers matematiske forståelse. Kandidaten klarer i liten grad å drøfte undervisningsepisoder. Kandidaten kan til en viss grad legge rette for undervisningsaktiviteter som fremmer elevers matematiske kompetanse, kreativitet og positive holdning til matematikk, men aktivitene blir ofte av generell karakter. Kandidaten underbygger i liten grad sine opplegg og synspunkter med relevant matematikkdidaktisk forskning. F Ikke bestått Prestasjon som ikke tilfredsstiller minimumskravene. Kandidaten kan ikke bruke matematisk språk på en tilfredsstillende måte, språket er upresist, og stor grad ikke matematisk korrekt. Kandidaten har ikke tilstrekkelig kunnskap om den betydningen semiotiske representasjonsformer har i matematikk. Kandidaten kan ikke i tilstrekkelig grad argumentere for, begrunne eller bevise matematiske utsagn på en måte som er forståelig for grunnskoleelever. Kandidaten oppfatter og tolker ikke i tilstrekkelig grad elevers matematiske forståelse. Kandidaten kan ikke i tilstrekkelig grad legge til rette undervisningsaktiviteter som fremmer elevers matematiske kompetanse. Kandidaten kan ikke underbygge sine opplegg 10

11 En kommentar til retningslinjene og læringsutbytteformuleringer Enkelte læringsutbytteformuleringer er utformet slik at de vil være i konflikt med forslagene til retningslinjer for karaktersetting. I innledningen til Matematikk og 5-10 står det at kravene til undervisningskunnskap blant annet medfører «solid og reflektert forståelse for den matematikken elevene skal lære». Dette blir så forsterket under utbytteformuleringene til at studenten skal ha «inngående undervisningskunnskap». I retningslinjene for karakteren D står det blant annet at «Kandidaten kan bruke matematisk språk, men til dels blir framstillingen upresis og umatematisk». Upresis og utmatematisk kan ikke gå sammen med solid og reflektert forståelse og vil slik kunne medføre problemer for bruken av retningslinjene og karakterene D og E. I læringsutbytteformuleringene for Matematikk finner en at kandidaten «har god kunnskap i matematisk analyse, inkludert derivasjon, integrasjon, differensialligninger og enkle matematiske modeller og kan relatere disse begrepene til det matematikkfaglige innholdet i trinn 5-10». Slik retningslinjene er utformet vil «god kunnskap i matematisk analyse» kunne føre til problemer med bruken av karakterene D og E. Tilsvarende gjelder for utbytteformuleringen i Matematikk der studenten «har gode praktiske ferdigheter i muntlig og skriftlig kommunikasjon i matematikkfaget». Sensurarbeid På karakterkonferansen ble det diskutert eksamensformer og ulik bruk av sensorer. Det ble uttrykt et stort ønske om å gjeninnføre ekstern sensor ved alle eksamener. Flere uttrykte et ønske om også å kunne ha tilsynssensorer knyttet til sin institusjon. Dette er sensorer som er tenkt å fungere som en konsulent under utarbeidelsen av eksamener/eksamensoppgaver og som skal vurdere selve vurderingsformen. En kan tenke seg en måte å gjøre dette på er at hvert universitet og høgskole knytter til seg inntil 3 eksterne tilsynssensor som er konsulenter under utarbeidelsene av eksamensoppgaver. Det er ønskelig at slike tilsynssensorer er knyttet til en institusjon over en lengre periode, gjerne i en treårsperiode. Karakteroversikt for 2013 Vi vil her vise en oversikt over karakterfordelingen i noen utvalgte emner på GLUutdanningene. Vi ser på statistikk for det første emnet i Matematikk 1 for 1 7 og 5 10 siden det er de to emnene som gis ved flest institusjoner og som har størst antall eksamensbesvarelser. Første tabell er over Matematikk første emne. 11

12 Tabellen viser karakterfordelingen i for Matematikk første emne (tallene er antall kandidater): Institusjon Kar a Kar b Kar c Kar d Kar e Kar f Antall Snittkar HiB C HiT C HiBusk D HiSF D HiH D HVO D HiØ C HSH D UiS D UiA C UiN D HiST D NLA D HiOA D HiNT D HiNE C HiVe B 1045 (Snittkarakter er funnet ved å la A=5, B=4, E=1, F=0.) Fra UiT har vi kun eksamensdata for emne 2. Vi har kjørt en kjikvadrattest som viser at det er en sammenheng mellom institusjon og karakterfordeling. Det kan være mange årsaker til en slik sammenheng, for eksempel nivå på de aktuelle studentene, ulik vanskelighetsgrad i de gitte eksamenene, ulik vurderingsstrenghet, ulik eksamensform, og/eller mangel på ekstern kontroll (for eksempel i form av tilsynssensorer, eksterne sensorer). Vi har ikke data for å kunne si noe om årsakssammenhengen. 12

13 Neste tabell viser karakterfordelingen for Matematikk første emne (tallene er antall kandidater): Institusjon Kar a Kar b Kar c Kar d Kar e Kar f Antall Snittkar HiB C HiT C HiBusk D HiSF D HiH D HVO C HiØ C HSH C UiS D UiT D UiA D UiN C HiST C NLA D HiOA C HiNT C 625 (Snittkarakter er funnet ved å la A=5, B=4, E=1, F=0.) Høgskolen i Vestfold hadde karakterene bestått/ikke bestått på sin eksamen, med 33 bestått og 1 ikke bestått som resultat. 1 Igjen så ser vi at det er en sammenheng mellom institusjon og karakterfordeling. Årsakene til en slik sammenheng er de samme som nevnt ovenfor for Matematikk Vi har ikke data til å kunne si noe om årsakssammenhengene. Ser vi på det skriftlige materialet som er samlet inn, så finner vi at selve eksamensoppgavene er til dels meget ulike. Dette er naturlig med tanke på ulikt pensum og ulik vekting av fagdidaktiske emner på de ulike institusjonene, men fagmiljøet bør etterstrebe en større enighet om hva en tester på eksamen.arbeidsgruppen vil oppfordre fagmiljøet til å samarbeide om å utvikle eksamensoppgaver for å øke bevisstheten om hva som bør testes. Her vil vi igjen peke på bruken av tilssynssensorer som en mulig del av et slikt arbeid. Matematikk 1 i grunnskolelærerutdanningen 1 7. trinn Det helhetlige bildet Vi vil peke på noen utfordringer knyttet til det å gi et oversiktsbilde av hva som måles og framkommer i karakterstatistikker på avlagte eksamener i Matematikk 1 ved de ulike høgskoler og universiteter for studieåret For å få oversikt, er det vesentlig å finne likheter mellom innhold og organisering av kurset ved de forskjellige institusjonene. Men for å forstå og sammenlikne, er det like vesentlig å løfte fram ulikheter på dette området. Hvis vi velger å se på innhold og organisering som et landskap å orientere seg i, vil nettopp det å beskrive et mangfold være betegnende. Se oversikt i vedlegg 1. 1 Høgskolen i Nesna er ikke med i oversikten siden de hadde mindre enn fem kandidater. 13

14 Alle emner til Matematikk 1 i grunnskolelærerutdanningen 1 7 er utviklet i tråd med nasjonal forskrift og nasjonale retningslinjer. Retningslinjene inneholder fastlagte læringsutbyttebeskrivelser som er felles og gjelder for alle som tilbyr disse kursa ved de ulike høgskoler og universiteter. Matematikk 1 (1 7) er et profesjonsrettet kurs hvor praksis skal være en integrert del av virksomheten. Dette kan organiseres på forskjellige måter det overordnete målet er at studentene oppnår læringsutbytte i tråd med beskrivelsene i de nasjonale retningslinjene. Ved å se hvordan Matematikk 1 (1 7) er organisert ved 13 høgskoler (en privat inkludert) og 4 universiteter, finner en flere variabler, slik som om pensum om arbeidskrav er knyttet til praksis eller mer rene matematikkoppgaver, og/eller ulik grad av å trekke inn matematikkdidaktisk forskning. Ved noen institusjoner er arbeidskravene tenkt å være forberedende til eksamen, mens andre steder er de tenkt å være supplerende. Det varierer også når i utdanningen Matematikk 1 tilbys, og over hvor lang tid studiet foregår. Ved alle de 13 høgskolene og 4 universitetene er det felles at kurset er delt i to moduler/emner. Dette gir nok et bidrag til flere ulikheter ved at læringsutbyttebeskrivelsene i de to modulene kan splittes opp på ulike måter. Samtidig viser det seg at denne splittingen gjør at moduler ved noen institusjoner likner hverandre i oppbygging og innhold. Ved enkelte høgskoler/universiteter er læringsutbyttebeskrivelsene ytterligere utdypet og svært detaljrike. Ved 10 institusjoner blir det gitt en skriftlig individuell eksamen på den ene modulen/emnet, og en muntlig individuell eksamen på den andre modulen/emnet. Hvilken modul som har hvilken eksamensform kan variere. Ved en institusjon blir det gitt på tilsvarende måte to skriftlige individuelle eksamener. To institusjoner har både en skriftlig og en muntlig individuell eksamen på hver av sine to moduler, vektet etter en oppgitt prosent, og som munner ut i en karakter for hver modul. En annen variant er en muntlig og en skriftlig individuell eksamen på en og samme modul, som så vektes, og en skriftlig individuell eksamen på den andre modulen. Videre finnes kombinasjon av skriftlig hjemmeeksamen og individuell muntlig eksamen (vektet og slått sammen), og kombinasjon av muntlig gruppeeksamen og individuell skriftlig eksamen (vektet og slått sammen). Variasjonen i eksamensformer må ses som et svar på at undervisningskunnskap i matematikk er kompleks og omfattende, og at noen eksamensformer i seg selv, blir vurdert til å kunne belyse enkelte kunnskaper og kompetanser på en bedre måte enn andre. Om koblingen mellom eksamensform og læringsutbytte Ved høgskoler og universiteter som driver utdanning innenfor grunnskolelærerutdanningene er det vanlig å dele 30 stp matematikkfag i to delemner og variere eksamensformene i de to emnene. Valg av eksamensform er gjerne bestemt ut i fra hva studentene skal måles i, men er ikke knyttet til avgrensede læringsutbyttebeskrivelser. En bestemt eksamensform er ikke alene egnet til å måle et læringsutbytte. En hjemmeeksamen kan for eksempel inneholde oppgaver som kan måle kandidatens fagdidaktiske kunnskaper (se Jacobsen m.fl., 2014, Ball m.fl., 2008) som det å oppfatte og tolke elevers ulike uttrykk for matematisk kunnskap innenfor et bestemt område, og hvor han/hun kan komme med forslag til hvordan hun vil hjelpe eleven videre i sin læring. Når kandidaten formulerer et slikt forslag, vil man også kunne måle matematisk kunnskap 14

15 gjennom hvor presis den matematisk språkbruken er, om det uttrykkes matematiske feil eller om språket er unyansert, og om kandidaten velger egnete representasjonsformer og forklarer på en forståelig måte for den tiltenkte aldersgruppen. Eksamensoppgavene kan gå på begrepsmessige forhold, eller argumentasjon innenfor bevisførsel og regning. Ved en hjemmeeksamen, har kandidaten mer tid til å tenke seg om og kan søke informasjon og veiledning som langt på vei er i tråd med hvordan man som lærer kan forberede seg til undervisning. En skriftlig skoleeksamen kan langt på vei, måle de samme undervisningskunnskapene som beskrevet i avsnittet over. I tillegg vil man kunne måle mer av paratheten i den matematiske undervisningskunnskapen til kandidatene. På skriftlig eksamen må studentene stå på egne bein og kvalitetssikre sin egen eksamensbesvarelse. Ved en muntlig eksamen, hevder mange at man i tillegg til det som kan måles gjennom skriftlig arbeid, kan måle sider ved kandidatens undervisningskunnskap i matematikk som er tett knyttet til undervisningssituasjoner i klasserommet. Spesielt pekes det på verdien av den muntlige kommunikasjonsbiten. Muntlig matematisk språkbruk innbefatter matematisk korrekthet, en presis bruk av begreper og termer, og argumentasjon som er forståelig for tiltenkt aldersgruppe. En slik muntlig beherskelse kan ikke måles på en skriftlig eksamen. En tilleggsdimensjon ved undervisningskunnskap i matematikk som kan måles ved muntlig eksamen, er kandidatens evne og kunnskap til å improvisere og komme med løsninger, forklaringer og endre retning i undervisningen ved å kommunisere med elevene og tolke deres uttrykk. Vi har imidlertid ikke dokumentasjon på eksamensoppgaver gitt ved muntlig eksamen, og det er ikke gjort undersøkelser på hvordan det spørres og hvilke læringsutbyttebeskrivelser som måles på muntlig eksamen. 15

16 Et eksempel på karaktersetting etter retningslinjene Arbeidsgruppen har et eksempel på hvordan retningslinjene kan brukes i karaktersettingen av eksamensbesvarelser. Vi bruker følgende skriftlige eksamen i Matematikk første emne, 15stp. Grunnen til at denne er valgt er i hovedsak at arbeidsgruppen hadde tilgang til sensorveiledning og mange eksamensbesvarelser, og slike kunne vise hvordan retningslinjene kan brukes i karaktersetting. Oppgavesettet består av 3 oppgaver. Alle oppgavene skal besvares og svarene begrunnes. Oppgavene teller i utgangspunktet likt, men den endelige karakteren bygger på en helhetsvurdering av besvarelsen. Oppgave 1 a) Regn ut på to ulike måter. Bruk regnefortellinger og/eller modeller til å begrunne alle steg i utregningene dine. Tenk på at du viser bredden i din kompetanse bedre når du velger to måter som er nokså forskjellige. b) Kari har regnet ut ved å flytte over en ener fra det ene tallet til det andre, og regnet ut = Hun sier at svaret på er det samme som svaret på 20 50, altså Hvordan vil du vise til Kari at hun har regnet ut feil, uten at du bare regner ut svaret på 21 49? c) Tobias går i 4.klasse. Klassen jobber med multiplikasjon. Plutselig utbryter Tobias: Se her, alle tallene i 8-gangen er også med i 4-gangen. I. Utforsk om Tobias har rett i sin hypotese. Hvis du kommer frem til at hypotesen stemmer, skal du argumentere for hvorfor den gjør det «for alle tall i 8-gangen». II. I neste time ønsker du å ta utgangspunkt i hypotesen til Tobias og lage et opplegg for hele klassen. Opplegget skal kunne karakteriseres som åpent. Skisser et slikt opplegg og begrunn hvorfor du mener det er åpent. Oppgave 2 a) Vi er i en 4. klasse. Klassen arbeider med innledende divisjon av positive heltall. Elevene har arbeidet med følgende oppgave: Det er 8 elever som skal dele likt 336 lodd. Loddene kommer enkeltvis eller i striper med 10 lodd i hver stripe. Hvor mange lodd får hver elev? Etter at elevene har jobbet i smågrupper en stund samler læreren dem i lyttekroken. Følgende dialog utspiller seg: 1. Lærer: Hvem vil starte? Paula, hva har dere gjort? 2. Paula: Vi tok 10 gange 8 som er 80. Så tok vi 10 gange 8 igjen, og 80 pluss 80 er 160. Så igjen 10 gange 8, og 160 pluss 80 er 240. En gang til ble 320. Da er det tilbake 16 lodd som er 2 på hver. [Lærer skriver på tavla: 10 8 = 80, = 160, = 240, = 320, 16: 8 = 2] 3. Lærer: Takk Paula. En annen strategi? Maria og Sally? 4. Maria: Vi gjorde også som Paula og startet med 10 gange 8, som er til blir 160, og 160 pluss 160 er 320. Da var det bare 16 lodd igjen. [Lærer skriver på tavla: 16

17 10 8 = 80, = 160, = 320, 16 lodd igjen] 5. Sally: Så svaret er Lærer: Snu deg til din partner. Se på det Maria og Sally har gjort. Hva har de gjort? Kan dere forklare hvordan de har tenkt? [Etter 2 minutter ber læreren Karen om å si hva hun og hennes partner har kommet fram til.] 7. Karen: De tok 10 gange 8, som er 80. En gang til blir 160. Og så dobla de 160. Da fikk de 320 og da er det 16 igjen. 8. Lærer: Takk Karen. Maria og Sally doblet to ganger ja. Enn dere Jack, hva har dere tenkt? 9. Jack: Som Karen, og at det først blir 10 lodd på hver. Neste gang blir det 20, og det dobbelte av det er 40. Pluss de 2 siste loddene, og da blir det Lærer: Takk Jack, ja 16 lodd delt på 8 elever blir 2 lodd på hver. 11. Tory (ivrig): Jeg gjorde sånn, jeg tenkte på hvor mange tierstriper det er i 336. Og det er 33. Nå er 4 gange 8 lik Paula (avbryter): Men det er jo bare 3 tiere i 336. Det er det midterste tallet som sier hvor mange tiere det er. 13. Tory: Ja men det er tiere i hundrenene også, i 100 billetter er det 10 striper. Det er 10, 20, Lærer: Det var interessant. Du fant først ut hvor mange tierstriper det var, og så fant du ut hvor mange striper med ti lodd hver elev fikk. Du tenkte slik? [skriver på tavla: 33: 4 = 8 med 1 stripe igjen] 15. Tory: Ja. 16. Paula: Jeg vet hva du kan gjøre med den siste tierstripen. Du tar den sammen med de 6 siste loddene, da har du 16. Og jeg vet at 8 gange 2 er 16, så da har vi 4 striper med ti og 2 enkle. Altså 42 lodd. 17. Lærer: Dette var virkelig interessante strategier. Vi kunne gange med 10 og doble eller se på hvor mange tiere vi hadde totalt. Gå tilbake til gruppene og lag en poster av det dere har gjort. I. Beskriv regnestrategiene til Paula, Maria og Sally, og Tory. Drøft likheter og forskjeller i strategiene. II. Hva kan være de faglige målene for samtalen? På bakgrunn av det, diskuter om samtalen er en produktiv matematisk samtale. Identifiser ulike kommunikasjonsteknikker som brukes i samtalen. Oppgave 3 a) Hvilken brøk er størst av: I. 8 3 og 7 3 II og 13 6 Du skal i ditt resonnement gjøre rede for hvilke viktige aspekter og strategier ved brøk du bruker for å avgjøre dette. b) I en lærebok finner vi følgende spørsmål: I. Hvis 15 drops utgjør 5 3 av en pose, hvor mange drops er det i posen? II. Hvis 15 drops utgjør 4 5 av en pose, hvor mange drops er det i posen? 17

18 Finn svaret på de to spørsmålene og drøft hva de faglige målene med en slik oppgave kan være. 2 c) Resonner deg frem til svaret på 2 :. Bruk en regnefortelling og/eller en tegning til å vise 3 hva svaret blir og hvorfor. I vedlegg 3 finner en eksamensoppgavene, sensorveiledning, seks eksamensbesvarelser og hvordan flere «sensorer» har brukt retningslinjene i «sensureringen» av besvarelsene. 18

19 Litteratur: Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), Ball, D. (2009). Making mathematics learnable in school: What is the work of teaching mathematics? Presented at the Redesigning Pedagogy 3rd International Conference, Singapore, June 1, Lastet ned fra Ball, D. (2011). What do math teachers need to know? Presentation for the Initiative for Applied Research in Education expert committee at the Israel Academy of Sciences and Humanities, Jerusalem, Israel, January 30, Lasted ned fra Berg C. V. (2013). Enhancing Mathematics Student Teachers Content Knowledge: Conversion between Semiotic Representations. Lastet ned fra Blömeke, S. (2014). Framing the enterprise: benefits and challenges of international studies on teacher knowledge and teacher beliefs modeling missing links. I S. Blömke, Feng-Jui Hsieh, G., & W. H. Schmidt (red.), International Perspectives on Teacher Knowledge, Beliefs and Opportunities to Learn (pp. 3 17). Springer Netherlands. Dahl, H. (2013). Undervisningsforklaringer i multiplikasjon. Tangenten, 1, Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, Enge, O., Valenta, A. (2010). Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter i allmennlærerutdanningen. Tidsskriftet FoU i praksis 2010; Volum 4.(3) s , HIST. Enge, O., Valenta, A. (2014). Matematiske diskusjoner om regnestrategier. Tangenten, 2, Fennema, E., & Franke, M. L. (1992). Teachers' knowledge and its impact. I D. Grouws (red), Handbook of research on mathematics teaching and learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics ( ). New York, NY, England: Macmillan Publishing Co. Hill, H. C, Ball, D. L., & Schilling, S. G. (2008). Unpacking pedagogical content knowledge: Conceptualizing and measuring teachers' topic-specific knowledge of students. Journal for Research in Mathematics Education, 39(4), Hole, A., & Kleve, B. (2012). The need for horizon content knowledge: examplified by work with fractions in Norway. I G. Gunnarsdottir, F. Hreinsdottir, G. Palsdottir, M. Hannula, M. Hannula-Sormunen, E. Jablonka, U. T. Jankvist, A. Ryve, P. Valero & K. Wæge (Red.), Proceedings of Norma 11, The sixth Nordic conference on mathematics education. Reykjavik: University of Iceland Press. 19

20 Jakobsen, A., Fauskanger, J., Mosvold, R., & Bjuland, R. (2014). Undervisningskunnskap i matematikk for lærere på 1 7 trinn. I Gustavsen, T. S., Hinna, K. R. C., Borge, I. C., & Andersen, P. S. (red.), QED 1 7, bind 2 ( ). Cappelen Damm Akademisk. Kilpatrick, J., Swafford, J.,& Findell, B. (red.). (2001). Adding it up.washington, DC: National Academy Press. Kan også lastes ned fra Kleve, B. (2010a). Brøkundervisning på barnetrinnet - aspekter av en lærers matematikkunnskap. Acta Didactica Norge, 4(1, Art 5), 14. Kleve, B. (2010b). Contingent Moments in a lesson on fractions. Research in Mathematics Education, 12(2), Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. Lawrence Erlbaum. Mosvold, R., & Fauskanger, J. (2010). Undervisningskunnskap i matematikk: Tilpasning av en amerikansk undersøkelse til norsk, og lærernes opplevelse av undersøkelsen. Norsk Pedagogisk Tidsskrift, 94(2), Måsøval, H. S. (2011). Factors constraining students' establishment of algebraic generality in shape patterns: A case study of didactical situations in mathematics at a university college. Kristiansand: University of Agder, Faculty of Engineering and Science. Doctoral dissertations at University of Agder (38) Prestage, S., & Perks, P. (2001). Adapting and extending secondary mathematics activities. New tasks for old. Oxon, UK: David Fulton Publishers. Ruthven, K., & Rowland, T. (2011). Mathematical knowledge in teaching. US. Springer. Skott, J., Jess, K., & Hansen, H. C. (2008). Delta, fagdidaktikk. Forlaget Samfundslitteratur. Solem, I.H. & Hovik, E. (2012). «36 er et oddetall» - Aspekter ved undervisningskunnskap i matematikk på barnetrinnet. Tidsskriftet FOU i praksis, 6 (1),47 60 Stein, K. K., Remillard, J., & Smith, M. S. (2007). How curriculum influences student learning. I F. Lester (red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning ( ), Vol 1. Information Age Publishing, Charlotte, NC. Stein, K. K., Smith, M. S., Henningsen, M. A., & Silver, E. (2000). Implementing standardbased mathematics instruction. A casebook for professional development. Reston, VA: NCTM. Stylianides, G. (2008). An analytical framework of reasoning-and-proving. For the Learning of Mathematics, 28, 1. Valenta, A., Enge, O. (2013). Student teachers' work on instructional explanations in multiplication - representations and conversions between them. Nordisk matematikkdidaktikk, Volum 18.(1),

21 Vedlegg 1 Oversikt emneplaner Matematikk Vedlegg 2 Oversikt emneplaner Matematikk Vedlegg 3 Bruk av retningslinjene i sensurering av eksamensbesvarelser. 21