1. Teori 1. B Sonespredning / Båndspredning. KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II)

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1. Teori 1. B Sonespredning / Båndspredning. KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II)"

Transkript

1 1 KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, ISBN: B Sonespredning / Båndspredning 1

2 2 1.B. Sonespredning / Båndspredning (eng. Band broadening) Ideal : Vårt Ønske : minst mulig spredning!!! Minst mulig overlapping av topper (soner, bånd) lettere, sikrere identifisering og kvantifisering. REALITET : " toppene" (el. flekkene) = sonene med analytter sprer seg, utvider seg under elueringen. 2

3 3 1. B. 1. Ideal kromatografisk topp = Gauss- eller Normalfordelings-kurve ( klokke -kurve): Når stoffene "fordeler seg konstant" mellom fasene i kromatografi (konstant fordelingskoeffisient K c, K g = lineær (fordelings-)isoterm) : Topper med klokke -form (Gauss-kurve-form, Normal-fordelingskurve-form): 3

4 4 1. B. 1. Ideal kromatografisk topp = Gauss- eller Normalfordelings-kurve ( klokke -kurve): y-akse: stoffmengde = detektor-respons; enhet: h max (= maks. topphøyde) Infleksjonspunkt = vendepunkt (= inflection point) x-akse : (x- x) = avstand fra gjennomsnittlig x, x (toppmaksimum); enhet : s (standardavvik) 4

5 5 1. B. 1. Ideal kromatografisk topp Spesielle egenskaper/karakteristika av Gauss-toppen : Kurven er symmetrisk, i forhold til (x - x) = 0 Ved 0,607 h max er bredden 2! (Der er også kurvens vendepunkter) Basisbredde w b = 4 Avstand av skjæringspunktene mellom basislinjen og tangentene til kurven (gjennom vendepunktene) (N.B.: Ved basisbredden (4 ) er kurvehøyden fortsatt ca. 13,5% av toppmaksimum; først ved 3 avstand fra aksen (= 6 -bredde) er kurvehøyden nede på 1,11% av h max (se figur ovenfor). Det er punktet ved 6 -bredden, som 2 topper med en oppløsning med R S = 1,5 har kontakt med hverandre (1,5 x w b = 1,5 x 4 ). Toppbredde ved halv maksimalhøyde, el. halvbredden", w h : w h = 2,354 = 2 (2 ln2) ½ = 0,589 w b = ½ (2 ln2) ½ w b = Bredden av toppen i halv høyde av toppmaksimum; engelsk også FWHM = Full Width at Half Maximum; foruten på dagligtale : "halvbredde", half-width - som ikke er et anbefalt uttrykk, fordi det kan lett føre til feiltolkninger av begrepet.) 5

6 6 1. B. 1. Ideal kromatografisk topp Når Gausskurven er er en kromatografisk topp da er _ x = gjennomsnittlig, eller "sann", vandringslengde L x, eller retensjonstid t R (x), eller retensjonsvolum V R (x) for stoffet. = midten av flekken, toppen = x ved det høyeste punkt av toppen Kurveformen oppstår ved at molekylene til analytten ikke alle har den sanne retensjonstiden (eller sanne L eller V R ). Avviket (x -x) fra x er tilfeldig (stokastisk) og hyppigheten av avvikene er normalfordelte, følger en Normalfordeling. Normalfordelings-, Gauss-, klokke -kurve Ved ideale, normalfordelte kurver / topper, kan statistiske mål brukes for å beskrive - kvantifisere - toppbredden : varians ( 2 ) eller standardavvik ( ). 6

7 7 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone-(ikke-)spredning) : Effektiviteten av et kromatografisk system er systemets evne til å holde stoffet/analyttene (sonene, båndene, toppene) samlet: evnen til å hindre spredning. stor effektivitet lite sonespredning (og omvendt) Som mål for sonespredningen kan (bl.a.) statistiske uttrykk benyttes, som er utledet av Normalfordelings-toppens egenskaper, s.o., (selv om de da kalles noe annet). Det finnes ulike numeriske mål for (kromatografisk) effektivitet : De fleste slike mål forutsetter konstante elueringsbetingelser : isotermisk, isokratisk, konstant MF-hastighet. 7

8 8 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone-(ikke-)spredning) : Det finnes ulike numeriske mål for (kromatografisk) effektivitet : De fleste slike mål forutsetter konstante elueringsbetingelser: isotermisk, isokratisk, konstant MF-hastighet. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) Platetall, (eng.: plate number (tidligere: Antall teoretiske plater )) Platehøyden, (eng.: (chromatographic) plate height (tidligere: Høyde-Ekvivalent til en Teoretisk Plate, HETP)) Effektivt Platetall, (eng.: effective plate number (tidligere: Antall effektive teoretiske plater )) Effektivt Platehøyde, (eng.: effective plate height (tidligere: Høyde-Ekvivalent til en Effektiv Teoretisk Plate, HEETP)) Platetall pr. meter (eller pr. et annet lengdemål) Redusert platehøyde (eng.: reduced plate height) Toppvolum (eng.: peak voulme) Effektivitetsparameter i planar kromatografi (TLC, PC) 8

9 9 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone-(ikke-)spredning) : (i) Platetall, (eng.: plate number) (tidligere: Antall teoretiske plater ) t R N t 2 = kvadrat av retensjonstid / kvadrat av standardavvik av tr = invers (relativ) varians av retensjonstiden R R R R t t t t N 16 5,545 8 ln 2 wb w b wh wh 4 eller tilsv. for V R istedenfor t R. stor N stor effektivitet smale topper lite sonespredning 9

10 10 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : (i) Platetall, (eng.: plate number; tidligere: Antall teoretiske plater,) Ofte generelt skrevet som N = a (t R / w x ) 2 a : numerisk faktor, der a må samsvare med type toppbreddemålet w x som brukes. For w x = σ a = 1 = w h = w ½ a = 5,54 = w b a = 16 Hvis de kromatografiske toppene er u-symmetriske Gauss-topper blir den eksakte (= teoretisk korrekte) beregning av platetallet betydelig mer komplisert! (kan gjøres v.h.a. beregning av s.k. statistiske momenter.) 10

11 11 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : (ii) Platehøyden, (eng.: (chromatographic) plate height (tidligere: Høyde-Ekvivalent til en Teoretisk Plate, HETP)) H = L / N = L σ t 2 / t R 2 L = kolonnelengde N = platetallet stor H lite effektivitet brede topper stor sonespredning Viktig egenskap av platehøyden: H er proporsjonalt med variansen (av molekylenes retensjonstid), σ t2. 11

12 12 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : (iii) Effektivt Platetall, (eng.: effective plate number (tidligere: Antall effektive teoretiske plater )) V R ' 2 t R ' 2 t R - t 0 2 N eff = = = 5,54 5 σ V σ t W h k 2 N eff = N 1 + k N.B.: N eff < N stor N eff stor effektivitet smale topper lite sonespredning 12

13 13 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : (iii) Effektivt Platetall, (eng.: effective plate number; tidligere: Antall effektive teoretiske plater ) R R R 0 V ' t ' t t Neff 5,545 V t wh N.B.: N eff < N N.B. : Ifra omregningsformelen N eff = f (N) kan sees at og N eff 0 når k 0 N eff N når k. (fordi t R ' går mot null). Fordelen av N eff : N eff 0 når k 0, d.v.s. når retensjonen er null er en separasjon umulig: N eff lover ikke en (kromatografisk) separasjonsevne som ikke finnes (som en vanlig N kunne "lovet"/antydet). 13

14 14 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : (iv) Effektivt Platehøyde, (eng. : effective plate height (tidligere: Høyde-Ekvivalent til en Effektiv Teoretisk Plate, HEETP)) H eff = L / N eff N.B.: H eff > H L = kolonnelengde N eff = effektivt platetallet stor H eff lite effektivitet brede topper stor sonespredning 14

15 15 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : (iv) Effektivt Platehøyde, (eng. : effective plate height; tidligere: Høyde-Ekvivalent til en Effektiv Teoretisk Plate, HEETP) H eff = L / N eff L = kolonnelengde N eff = effektivt platetallet N.B. (tilsvarende N eff ) : H eff når k 0. og H eff H når k. Og viktig : H er proporsjonalt med variansen (av analyttmolekylenes retensjonstider). 15

16 16 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : (v) Platetall pr. meter (eller pr. et annet lengdemål) = N / L L = kolonnelengde N = platetallet Gir et mål for kolonnekvalitet, uavhengig fra den aktuelle kolonnelengden. Er det inverse av platehøyden. (vi) Redusert platehøyde (eng.: reduced plate height) d P = d c = partikkeldiameter, i pakkede kolonner kolonnens indre diameter; i åpne kapillærkolonner Gir et mål for kvaliteten av pakningen og pakningsmaterialet for bruk i kromatografi, målt uavhengig av partikkelstørrelsen. 16

17 17 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : Når N er (omtrent) konstant øker w h (og σ ) omtrent proporsjonal med t R eller V R! lav t R (eller V R ) smal, høy topp, høy t R (eller V R ) bred, lav topp. Fordi N ikke er helt uavhengig av hvilken topp den utregnes fra (en faktor her er k, s.o.), må det spesifiseres hvilken topp, og ved hvilke analysebetingelser, som er brukt til beregning av N (el.lign.). 17

18 18 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : Effektivitets-parameterne oppgitt her er beregnet for bruk i kolonnekromatografi (eluering over gitt kolonnelengde). N, H, N eff, H eff, h : beskriver alle én topp ved konstante betingelser. Verdier varierer litt i en gitt kolonne med t R el. V R (d.v.s. med k). (Det finnes enda flere målemetoder for effektivitet, også slike som kan anvendes for ikkekonstante betingelser (noen kommer vi tilbake til). 18

19 19 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : (vi) Toppvolum (eng.: peak volume; n.b. ikke en IUPAC-definert betegnelse) Mobilfase-volumet som inneholder toppens analytt (det meste av den: beregnet ut fra bredde ved basis w b ) V peak = w b F MF V peak Topp-volum (ikke-godkjent / reservert symbol) F MF (or F) : volumetrisk MF-hastighet (Mobile Phase flow-rate)) Ikke en effektivitets-parameter, egentlig men et uttrykk for "absolutt" spredning av en analytt etter kromatografi / separasjon (ved kolonneutgang). Nyttig bl.a.: ved fraksjons-oppsamling, ved konsentrasjons-estimering basert på kjent injisert mengde, 19

20 20 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : (viii) Effektivitetsparameter i planar kromatografi (TLC, PC) Forutsatt lineær utvikling, og v.h.a. kapillærkrefter : Platetall : L S 2 R F L M 2 N = 16 = 16 d S d S d S er / tilsvarer w b, basisbredden, av flekken: kan være vanskelig å objektivt finne (er avhengig av flekkintensiteten, om synlighets-grensen går ved w b grensen eller ikke. (Best ved flekk-scanning - og bruk av metoder analoge til dem som brukes på topper fra kolonnekromatografi.) 20

21 21 1. B. 2 Effektivitet (innen kromatografi = sone(-ikke)spredning) : (vii) Effektivitetsparameter i planar kromatografi (TLC, PC) Forutsatt lineær utvikling og v.h.a. kapillærkrefter: Erfaringsmessig: Ved "store" partikler - "vanlig" TLC (d P mm): N varierer lite med L S N er generelt lavere enn ved små partikler (HPTLC). Ved små partikler - HPTLC (d P 5-10 µm), og ved lave L S (vandringslengder 3 cm) : N ~ konstant Men - ved høyere L S : N avtar (raskt) med vandringslengde. Ved aktiv MF-transport (pumping) er forholdene omtrent likt med kolonne-kromatografi : N blir da større enn ved ren kapillær-transport. 21

22 22 1. B. 3 Oppløsning mellom topper, R s (eng.: Resolution) : Mål for separasjon av to topper m.h.t. deres avstand (rel. retensjon) og bredde ("grad av overlapping") : For utregning basert på et kromatogram : t 2 - t 1 Dt R s = = (R S -I) ½(w b,1 + w b,2 ) 2( ) Eller = "Divider toppavstanden med gjennomsnitts-basisbredden". 22

23 23 1. B. 3 Oppløsning mellom topper, R s (eng.: Resolution) : Utledning ut fra generelle teoretiske parametere : k α - 1 α - 1 R s = ¼ N ½ = ¼ N eff ½ (R S -II) 1 + k α α der k = ½ (k 1 +k 2 ) Ligningen R S -II finnes også i forenklede former (m. (varierende grader av) avrunding) k 2 a 1 _ R s = ¼ N for k 2 k 1 + k 2 a el. lærebokens likn (spesifisert "gjelder kun for to overlappende bånd" (1994) / "two closely eluting compounds" (2014)): k _ R s ¼ (a - 1) N for k k 1 k 2 k og a 1,0 1 + k 23

24 24 1. B. 3 Oppløsning mellom topper, R s (eng.: Resolution) : Full "basislinjeseparasjon" tilsvarer vanligvis ca. R s = 1,5. R s = 1,0 tilsvarer ca. 3 % arealoverlapping mellom (ca. like store) topper. Estimering/utregning relativt grei: (særlig for like store topper, med (RS-I)-formel, og/eller med øyemål. Eksempler : lav separasjonsfaktor høy separasjonsfaktor Lavt platetall Høyt platetall Forslag: Estimér oppløsningene for de 4 eksemplene. 24

25 25 1. B. 3 Oppløsning mellom topper, R s (eng.: Resolution) : Vurdering av R s er mer problematisk for topper med ulik høyde, og som ikke er nært basislinjeseparert som er de, hvor faktisk R s er av interesse å diskuteres ) Illustrasjon av oppløsnings-tall : Fig. fra: J.M.Miller, Chromatography, Concepts and Contrasts, Wiley-Interscience, 988, p.19; og 2005, p.59 (og. utg. 1, 1988) jfr. også 1994-"Kromatografi"-læreboken (Greibrokk & al., 3. utg.), s. 21, Fig. 1.11). Når to topper overlapper sterkt: "sann t R " stemmer ikke lenger med observert t R (avlest ved "overlappet topp-maksimum": fare for feil-identifisering. Lav oppløsning kombinert, med sterkt ulike toppstørrelser gjør alt vanskelig: identifisering, kvantifisering, oppløsnings-estimering. F.eks. for R s = 0,6 og toppforhold 1/16: minste-topp er usynlig for det blotte øyet! (se: topp/høyre) 25

26 26 1. B. 3 Oppløsning mellom topper, R s (eng.: Resolution): Ligningen (R S -II) k α - 1 α - 1 R s = ¼ N ½ = ¼ N eff ½ (R S -II) 1 + k α α Viser oss at : R s vokser med N ½ liten a liten R s liten k liten R s Derfor, for optimering : øk N (lengre, bedre kolonner)... øk a (andre SF, MF, evt. betingelser ellers)... øk k (andre SF, MF evt. betingelser ellers) så mye som mulig/forsvarlig 26

27 27 1. B. 3 Oppløsning mellom topper, R s (eng.: Resolution) : Ligningen (R S -II) k α - 1 α - 1 R s = ¼ N ½ = ¼ N eff ½ (R S -II) 1 + k α α Viser oss at : R s vokser med N ½ liten a liten R s liten k liten R s Derfor, for optimering : øk N (lengre, bedre kolonner)... øk a (andre SF, MF, evt. betingelser ellers)... øk k (andre SF, MF evt. betingelser ellers) så mye som mulig/forsvarlig Enkel omforming av formelen R S -II gir mulighet til å regne ut effektivitets-krav for en separasjon, basert på "gitt" k, α og ønsket oppløsning R S : (N req ). 27

28 28 1. B. 3 Oppløsning mellom topper, R s (eng.: Resolution) : Kvantitative sammenheng i ligningen (R S -II) k α - 1 R s = ¼ N ½ 1 + k α R s som funksjon av k, R s som funksjon av N R s som funksjon av α retensjonsfaktor platetall separasjonsfaktor For k : Rask økning fra start, nær optimum ved k over ca. 3. For N : Jevn økning : ikke lineær men med kvadratroten av N. For α : Rask økning fra start, nær optimum ved α over ca

29 29 1. B. 3 Oppløsning mellom topper, R s (eng.: Resolution) : For å kunne oppnå en ønsket oppløsning (f.eks. R s =1,5 = basislinjeseparasjon) kan balansen mellom separasjonen (ved α) og effektivitet (v. N eff ) beregnes : α - 1 R s = ¼ N ½ α Neff(req) Neff (req for Rs 1,5) = f (alfa) alfa For Rs = 1,5 alfa N(eff) 1, , , , , , ,7 73,5 1,8 56,25 1,9 44, Behov : For eff. platetall typisk teknikk minimum α for R S 1,5 100 (lavtrykks prep. søylekromatogr.) 1, (typisk enkel pakket kolonne GC) 1, (god HPLC-separasjon) 1, (god HRGC-kolonne) 1,006 29

30 30 1. B. 4 Kompliserende faktor : Asymmetri : Planar: Tailing (haledannelse) Fronting (= leading) Kolonne: Fravik fra Gauss -toppens strenge symmetri! 30

31 31 1. B. 4 Kompliserende faktor : Asymmetri Tailing (haledannelse) & Fronting (= leading): Fravik fra Gauss -toppens strenge symmetri! Årsak : K c, fase-fordelingskoeffisienten, varierer med konsentrasjonen av analyttene! (Raoult's lov følges ikke). Vises i analyttens adsorpsjons-, eller fordelings-isotermer, c S = f(c M ), som da er ikke-lineære (n.b. fordelingskoeffisienten er lik stigningen av isotermen). Slike situasjoner gir asymmetriske topper (jfr. kap. 3) Dette er meget uønsket!. 31

32 32 1. B. 4 Kompliserende faktor : Asymmetri Tailing (haledannelse) & Fronting (= leading): Fravik fra Gauss -toppens strenge symmetri! Dette er meget uønsket!. Asymmetri gjør : effektivitetsmålinger kompliserte, (krever bruk av statistiske momenter, "Gauss-kurve-baserte" formler holder ikke lenger, strengt tatt). retensjonsparametere (t R, R F, V R, k) blir prøvemengde-avhengig upålitelige for identifikasjon. topp-høyder og arealer blir mindre entydig bestembare (hvor starter, hvor slutter toppen?) 32

33 33 1. B. 4 Kompliserende faktor : Asymmetri Mål for asymmetri (empirisk) : Asymmetri-parameter (blant flere mulige ) : f.eks. A S = b / a (For a, b, jfr. figuren, c = 0,1 h max ) For A S = 1,0 : symmetrisk topp A S < 1,0 : fronting A S > 1,0 : tailing (haledannelse) Alternativ asymmetriparameter : f.eks. A = (b-a)/ a : Da blir det haledannelse/'tailing' ved A > 0, 'fronting' ved A < 0 og symmetrisk ved A = 0 (måles også ved c = 0,1 hmax). USP (US Pharmacopiea) bruker enda en annen metode: T = w 0,05 / 2f : som gir forskjellige tall fra A s. Det måles ved 5% av topphøyden (w 0,05 tilsvarer a+b, og f tilsvarer a, men altså målt v. 5% istedenfor 10%). 33

KJ2050 Analytisk kjemi, GK

KJ2050 Analytisk kjemi, GK KJ2050 Analytisk kjemi, GK Kromatografi (Analytiske separasjoner og kromatografi) 1. Innledning (og noe terminologi) 2. Noe generell teori A. Retensjonsparametre B. Sonespredning C. Sonespredningsmekanismer

Detaljer

KJ2050 Analytisk kjemi, GK

KJ2050 Analytisk kjemi, GK KJ2050 Analytisk kjemi, GK Kromatografi (Analytiske separasjoner og kromatografi) 1. Innledning (og noe terminologi) 2. Noe generell teori A. Retensjonsparametre B. Sonespredning C. Sonespredningsmekanismer

Detaljer

KJ2050 Analytisk kjemi, GK

KJ2050 Analytisk kjemi, GK KJ2050 Analytisk kjemi, GK Kromatografi (Analytiske separasjoner og kromatografi) 1. Innledning (og noe terminologi) 2. Noe generell teori A. Retensjonsparametre B. Sonespredning C. Sonespredningsmekanismer

Detaljer

Hva er kromatografi?

Hva er kromatografi? Hva er kromatografi? Adsorpsjonskromatografi, LSC. Løste stoff er i likevekt mellom mobilfasen og overflaten av stasjonærfasen. (Denne type kromatografi har vi tført på organisk lab. Vi brkte TLC plater

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I FAG SIK3038/MNK KJ 253 KROMATOGRAFI

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I FAG SIK3038/MNK KJ 253 KROMATOGRAFI NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR ORGANISK KJEMI LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I FAG SIK3038/MNK KJ 253 KROMATOGRAFI (TOTAL 91p) Onsdag 3. juni 2009 Tid: kl. 9.00-13.00 Oppgave 1.

Detaljer

1. Teori 1.A Retensjonsparametere 1.B Sonespredning / Båndspredning 1.C Fysiske årsaker til sonespredning. KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II)

1. Teori 1.A Retensjonsparametere 1.B Sonespredning / Båndspredning 1.C Fysiske årsaker til sonespredning. KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) 1 KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, 2014. ISBN:978-3-527-33620-3 1.A Retensjonsparametere

Detaljer

2. Gasskromatografi, GC (Gas Chromatography) 2.B. Gasskromatografen 2.B. 6 GC Temperatur-regulering

2. Gasskromatografi, GC (Gas Chromatography) 2.B. Gasskromatografen 2.B. 6 GC Temperatur-regulering 1 KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, 2014. ISBN:978-3-527-33620-3 (Gas Chromatography)

Detaljer

KJ2053 Kromatografi LSC Preparativ kolonnekromatografi Rapport

KJ2053 Kromatografi LSC Preparativ kolonnekromatografi Rapport KJ2053 Kromatografi LSC Preparativ kolonnekromatografi Rapport Pia Haarseth piakrih@stud.ntnu.no Audun Formo Buene audunfor@stud.ntnu.no Laboratorie: C2-115 Utført: 18. februar 2013 Innhold 1 Resymé 1

Detaljer

KJ2053 Kromatografi Gasskromatografi (GC) Reaksjonsforløp fulgt ved GC - reduksjon av keton til alkohol Rapport

KJ2053 Kromatografi Gasskromatografi (GC) Reaksjonsforløp fulgt ved GC - reduksjon av keton til alkohol Rapport KJ2053 Kromatografi Gasskromatografi (GC) Reaksjonsforløp fulgt ved GC - reduksjon av keton til alkohol Rapport Pia Haarseth piakrih@stud.ntnu.no Audun Formo Buene audunfor@stud.ntnu.no Laboratorie: D2-152

Detaljer

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI Kandidat-nr.... Studieprogr. :... Antall ark... Faglig kontakt under eksamen: Institutt for kjemi; F.-Aman. Rudolf Schmid Tel. 735 96203,

Detaljer

EKSAMEN I FAG KJ 2053; KROMATOGRAFI

EKSAMEN I FAG KJ 2053; KROMATOGRAFI NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI bokmål Faglig kontakt under eksamen: Institutt for kjemi; prof. Anne Fiksdahl, tlf.: 94094 / 95916454 EKSAMEN I FAG KJ 2053; KROMATOGRAFI

Detaljer

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for Kjemi

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for Kjemi S. 1 (av 7) IV. Gasskromatografi B. Gass-væske-kromatografi (GLC) 0. Gasskromatografen.8 Signal - integrering V. B. Gass-væske-kromatografi (engelsk: Gas-Liquid Chromatography, GLC, ofte bare Gas Chromatography,

Detaljer

KJ2053 Kromatografi Kvanititativ analyse av nikotin v.h.a. gasskromatografi og bruk av intern standard-kalibreringskurve Rapport

KJ2053 Kromatografi Kvanititativ analyse av nikotin v.h.a. gasskromatografi og bruk av intern standard-kalibreringskurve Rapport KJ2053 Kromatografi Kvanititativ analyse av nikotin v.h.a. gasskromatografi og bruk av intern standard-kalibreringskurve Rapport Pia Haarseth piakrih@stud.ntnu.no Audun Formo Buene audunfor@stud.ntnu.no

Detaljer

Adsorpsjonsmiddelet ( adsorbenten ) (eng.: adsorbent)

Adsorpsjonsmiddelet ( adsorbenten ) (eng.: adsorbent) S. 1 (av 8) II Adsorpsjonskromatogafi C. Adsorpsjonsmiddelet II. C. Adsorpsjonsmiddelet ( adsorbenten ) (eng.: adsorbent) Polare adsorpsjonsmidler virker gjennom (primært) : dipol-dipol-krefter, H-bindinger

Detaljer

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI Kandidat-nr.:... Studieprogr.:... (frivillig) NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI Faglig kontakt under eksamen: Institutt for kjemi; F.-Aman. Rudolf Schmid Tel. 735 96203,

Detaljer

KJ2053 Kromatografi Oppgave 7: Kapillærelektroforese: Separasjon av tre aromatiske aminosyrer ved kapillærelektroforese (CZE) Rapport

KJ2053 Kromatografi Oppgave 7: Kapillærelektroforese: Separasjon av tre aromatiske aminosyrer ved kapillærelektroforese (CZE) Rapport KJ2053 Kromatografi Oppgave 7: Kapillærelektroforese: Separasjon av tre aromatiske aminosyrer ved kapillærelektroforese (CZE) Rapport Pia Haarseth piakrih@stud.ntnu.no Audun Formo Buene audunfor@stud.ntnu.no

Detaljer

5. Superkritisk fluid-kromatografi, SFC

5. Superkritisk fluid-kromatografi, SFC 1 KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, 2014. ISBN:978-3-527-33620-3 1 2 Supercritical

Detaljer

2. Gasskromatografi, GC (Gas Chromatography) 2.C. G(L)C med Kapillærkolonner

2. Gasskromatografi, GC (Gas Chromatography) 2.C. G(L)C med Kapillærkolonner 1 KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, 2014. ISBN:978-3-527-33620-3 (Gas Chromatography)

Detaljer

Oppgave 5: HPLC-analyse av UV-solfilterstoffer i solkrem.

Oppgave 5: HPLC-analyse av UV-solfilterstoffer i solkrem. NTNU, Institutt for kjemi Kromatografi KJ2053 / 2017 / s. 1 av 4 ppgave 5: HPLC-analyse av UV-solfilterstoffer i solkrem. Hensikt/Mål: Hensikten med denne oppgaven er å gi en innføring i bruk av HPLC som

Detaljer

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI Kandidatnr.:... Studieprogr.:... (frivillig) NORGES TEKNISK NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI Faglig kontakt under eksamen: Institutt for kjemi; Professor Anne Fiksdahl, tel. 735 94094

Detaljer

3. Væskekromatografi, LC (med HP-LC)

3. Væskekromatografi, LC (med HP-LC) 1 KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, 2014. ISBN:978-3-527-33620-3 A. Innledning

Detaljer

2. Gasskromatografi, GC (Gas Chromatography) 2.B. Gasskromatografen

2. Gasskromatografi, GC (Gas Chromatography) 2.B. Gasskromatografen 1 KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, 2014. ISBN:978-3-527-33620-3 (Gas Chromatography)

Detaljer

0. Intro / Info Intro / Info. KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Hvem møter du: Faglærer: Lab.-leder:

0. Intro / Info Intro / Info. KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Hvem møter du: Faglærer: Lab.-leder: 1 KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Forkunnskapskrav: Bestått eksamen i KJ1000 og KJ1020 eller TKJ4102, TMT4115 og TMT4122 (eller tilsvarende emner). KJ2053-2016. Kromatografi, Rudolf Schmid.

Detaljer

Anslag for usikkerhet av et sammensatt resultat basert på anslått usikkerhet ( feilmarginer ) for måleverdiene.

Anslag for usikkerhet av et sammensatt resultat basert på anslått usikkerhet ( feilmarginer ) for måleverdiene. KJ053/gen. / 004/013 / S. 1 av 8 Anslag for usikkerhet av et sammensatt resultat basert på anslått usikkerhet ( feilmarginer ) for måleverdiene. (Pluss, kort, litt om statistisk usikkerhet - normalfordelt

Detaljer

KJ2053 Kromatografi Oppgave 6: HPLC: Analyse av UV-filtere i Banana Boat solkrem Rapport

KJ2053 Kromatografi Oppgave 6: HPLC: Analyse av UV-filtere i Banana Boat solkrem Rapport KJ2053 Kromatografi Oppgave 6: HPLC: Analyse av UV-filtere i Banana Boat solkrem Rapport Pia Haarseth piakrih@stud.ntnu.no Audun Formo Buene audunfor@stud.ntnu.no Utført: 12. april 2013 Innhold 1 Resymé

Detaljer

mobilfasen, ū M : lineær mobilfasehastighet C S : platehøydekoeffisient, d f : tykkelse på stasjonærfaselaget,

mobilfasen, ū M : lineær mobilfasehastighet C S : platehøydekoeffisient, d f : tykkelse på stasjonærfaselaget, Forelesning uke 36 Båndspredning: Den totale båndspredningen i en kromatografisk kolonne vil være lik summen av de individuelle båndspredningsprosessene. Båndspredningen kan angis i form av platehøyden,

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING AVDELIG FR IGEIØRUTDAIG Emne: Analytisk kjemi Fagnr: L435K Faglig veileder: Hanne Thomassen Gruppe(r):2KA Dato: 15. desember 2005 Eksamenstid: 9.00-14.00 Eksamensoppgaven består av: Antall sider (inkl.

Detaljer

KJ2053 Kromatografi Oppgave 5: Bestemmelse av molekylmasser ved hjelp av eksklusjonskromatografi/gelfiltrering (SEC) Rapport

KJ2053 Kromatografi Oppgave 5: Bestemmelse av molekylmasser ved hjelp av eksklusjonskromatografi/gelfiltrering (SEC) Rapport KJ2053 Kromatografi Oppgave 5: Bestemmelse av molekylmasser ved hjelp av eksklusjonskromatografi/gelfiltrering (SEC) Rapport Pia Haarseth piakrih@stud.ntnu.no Audun Formo Buene audunfor@stud.ntnu.no Laboratorie:

Detaljer

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI Kandidat-nr.:... NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI Studieprogr.:... (frivillig) Faglig kontakt under eksamen: Institutt for kjemi; F.-Aman. Rudolf Schmid Tel. 735 96203,

Detaljer

Forelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering. Jo Thori Lind

Forelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering. Jo Thori Lind Forelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Trekke utvalg 2. Estimatorer og observatorer som stokastiske variable 3. Egenskapene til en estimator

Detaljer

KJ2050 Analytisk kjemi, GK

KJ2050 Analytisk kjemi, GK KJ2050 Analytisk kjemi, GK (Analyse ved kromatografisk separasjon) 1. Innledning (og noe terminologi) 2. Noe generell teori A. Retensjonsparametre B. Sonespredning C. Sonespredningsmekanismer 3. Korte

Detaljer

KJ2050 Analytisk kjemi, GK

KJ2050 Analytisk kjemi, GK KJ2050 Analytisk kjemi, GK Kromatografi (Analytiske separasjoner og kromatografi) Rudolf Schmid 1 Analytiske separasjoner og kromatografi Overblikk : (Lærebok SWHC, Fundam. Analyt. Chem. 8th/2004, s. 920

Detaljer

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske

Detaljer

2. Gasskromatografi, GC (Gas Chromatography) 2.B. Gasskromatografen

2. Gasskromatografi, GC (Gas Chromatography) 2.B. Gasskromatografen 1 KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, 2014. ISBN:978-3-527-33620-3 (Gas Chromatography)

Detaljer

Innhold. Forord... 13

Innhold. Forord... 13 114-Legemiddelanalys.book Page 3 Monday, July 12, 2010 1:08 PM Innhold Forord................................................... 13 Kapittel 1: Innledning til legemiddelanalyse...................... 14

Detaljer

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

Eksamensoppgave i KJ2050, Analytisk kjemi, grunnkurs

Eksamensoppgave i KJ2050, Analytisk kjemi, grunnkurs Institutt for kjemi Eksamensoppgave i KJ2050, Analytisk kjemi, grunnkurs Faglig kontakt under eksamen: Øyvind Mikkelsen Tlf.: 92899450 Eksamensdato: 18.12.13 Eksamenstid (fra-til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Kromatografiteori NITO kurs i kromatografi og massespektrometri Trondheim

Kromatografiteori NITO kurs i kromatografi og massespektrometri Trondheim 1 Kromatografiteori NITO kurs i kromatografi og massespektrometri Trondheim 23.05.2018 Åse Marit Leere Øiestad 2 Disposisjon Innledning historikk Kromatografiske parametere Analytters egenskaper Kromatografi

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,

Detaljer

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent)

Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

Eksponensielle klasser og GLM

Eksponensielle klasser og GLM !! 3 ksponensielle klasser, Dobson, Kap 3 ksponensielle klasser GLM n stokastisk variabel sies å ha fordeling i den eksponensielle fordelingsklasse som tettheten pktsannsh til kan skrives på formen STK3-3

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver?

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Boka (Ch 1.4) motiverer dette ved å gå fra histogrammer til tetthetskurver.

Detaljer

Simulering med Applet fra boken, av z og t basert på en rekke utvalg av en gitt størrelse n fra N(μ,σ). Illustrerer hvordan estimering av variansen

Simulering med Applet fra boken, av z og t basert på en rekke utvalg av en gitt størrelse n fra N(μ,σ). Illustrerer hvordan estimering av variansen Simulering med Applet fra boken, av z og t basert på en rekke utvalg av en gitt størrelse n fra N(μ,σ). Illustrerer hvordan estimering av variansen gir testobservatoren t mer spredning enn testobservatoren

Detaljer

4. Planar Kromatografi

4. Planar Kromatografi 1 KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, 2014. ISBN:978-3-527-33620-3 4. Planar

Detaljer

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data ved tall Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver

Detaljer

Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, ISBN:

Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, ISBN: 1 KJ2053 Kromatografi (Analytiske metoder II) Lundanes Else, Reubsaet Léon, Greibrokk Tyge, Chromatography, Basic Principles, Sample Preparations and..., Wiley-VCH, 2014. ISBN:978-3-527-33620-3 1.D Partikkelformer

Detaljer

Emnekode: LGU Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 52003 Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Grafen i Vedlegg 1 viser farten som en deltaker i et ultramaraton holder

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden. Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen

Detaljer

:-Emnekode: I sa 458 K Dato: 16.02.04 (inkl.-fantall oppgaver: 5. Kalkulator som ikke kan kommunisere med andre Formelsamline

:-Emnekode: I sa 458 K Dato: 16.02.04 (inkl.-fantall oppgaver: 5. Kalkulator som ikke kan kommunisere med andre Formelsamline I høgskolen i oslo I Emne: I INSTRUMEELL ANAL y r Gruppe(r): i3ka,?kb I Eksamensoppgaven Antall sider i består av: forsiden): 6 :-Emnekode: I sa 458 K Dato: 16.02.04 (inkl.-fantall oppgaver: 5 Faglig veileder:

Detaljer

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler STK1000 Uke 36, 2016. Studentene forventes å lese Ch 1.4 (+ 3.1-3.3 + 3.5) i læreboka (MMC). Tetthetskurver Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler Fra histogram til tetthetskurver Anta at vi har kontinuerlige

Detaljer

1 Sec 3-2: Hvordan beskrive senteret i dataene. 2 Sec 3-3: Hvordan beskrive spredningen i dataene

1 Sec 3-2: Hvordan beskrive senteret i dataene. 2 Sec 3-3: Hvordan beskrive spredningen i dataene 1 Sec 3-2: Hvordan beskrive senteret i dataene 2 Sec 3-3: Hvordan beskrive spredningen i dataene Todeling av statistikk Deskriptiv statistikk Oppsummering og beskrivelse av den stikkprøven du har. Statistisk

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2018

TMA4240 Statistikk Høst 2018 TMA4240 Statistikk Høst 2018 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 5 Dette er andre av tre innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere pensum

Detaljer

10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon

10.1 Enkel lineær regresjon Multippel regresjon Inferens for regresjon 10.1 Enkel lineær regresjon 11.1-11.2 Multippel regresjon 2012 W.H. Freeman and Company Denne uken: Enkel lineær regresjon Litt repetisjon fra kapittel 2 Statistisk modell for enkel

Detaljer

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI Kandidat-nr.:... NRGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FR KJEMI Studieprogr.:... (frivillig) Faglig kontakt under eksamen: Institutt for kjemi; Professor Anne Fiksdahl, tel. 735 94094

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Sara Martino a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 994 03 330, b 962 09 710 Eksamensdato: 28. november 2018 Eksamenstid

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andreas Mhre April 15 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 13 Oppgave 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) E(XY) = - E(X ) X og Z er uavhengige, så

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent

Detaljer

Normal- og eksponentialfordeling.

Normal- og eksponentialfordeling. Ukeoppgaver i Statistikk, uke 8 : Normal- og eksponentialfordeling. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 8 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt

Detaljer

Formelsamling i medisinsk statistikk

Formelsamling i medisinsk statistikk Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg

Detaljer

Forelesning 7: Store talls lov, sentralgrenseteoremet. Jo Thori Lind

Forelesning 7: Store talls lov, sentralgrenseteoremet. Jo Thori Lind Forelesning 7: Store talls lov, sentralgrenseteoremet Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Estimering av variansen 2. Asymptotisk teori 3. Store talls lov 4. Sentralgrenseteoremet 1.Estimering

Detaljer

Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling

Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling Forelesning 23 og 24 Wilcoxon test, Bivariate Normal fordeling Wilcoxon Signed-Rank Test I uke, bruker vi Z test eller t-test for hypotesen H:, og begge tester er basert på forutsetningen om normalfordeling

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.20).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.20). Econ 130 HG mars 017 Supplement til forelesningen 7. februar Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.0). Regel 5.19 sier at summer, Y X1 X X

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2014 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 1. september 2018 Antall sider: 11

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2014 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 1. september 2018 Antall sider: 11 Løsningsforslag Eksamen S, våren 014 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 1. september 018 Antall sider: 11 Finner du matematiske feil, skrivefeil, eller andre typer feil? Dette dokumentet er open-source,

Detaljer

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009:

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Beregning av sannsynlighet i en binomisk forsøksrekke generelt Sannsynligheten for at suksess intreffer X

Detaljer

Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk

Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST0103 Brukerkurs i statistikk Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 6 SIDER MERKNADER: Alle deloppgaver vektlegges likt.

OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 6 SIDER MERKNADER: Alle deloppgaver vektlegges likt. EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) OPPGAVESETTET

Detaljer

Da vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X

Da vil summen og gjennomsnittet være tilnærmet normalfordelte : Summen: X 1 +X X n ~N(nµ,nσ 2 ) Gjennomsnittet: X 1 +X Me me me me metallic hvit 4.4: Tilnærming til normalfordeling Tilnærming til normalfordeling: binomisk og Poisson kan tilnærmes v.h.a. normalfordeling under bestemte forhold (ved "mange" delforsøk/hendelser)

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

Transformasjoner av stokastiske variabler

Transformasjoner av stokastiske variabler Transformasjoner av stokastiske variabler Notasjon merkelapper på fordelingene Sannsynlighetstettheten og den kumulative fordelingen til en stokastisk variabel X betegnes hhv. f X og F X. Indeksen er altså

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Emnenavn: Instrumentell analyse 2. Eksamenstid: 09:00 13:00. Faglærer: Oppgaven er kontrollert: Ja. Alle hovedoppgaver teller likt

Emnenavn: Instrumentell analyse 2. Eksamenstid: 09:00 13:00. Faglærer: Oppgaven er kontrollert: Ja. Alle hovedoppgaver teller likt EKSAMEN Emnekode: IRK31015 Dato: 06.12.2018 Sensurfrist: 27.12.2018 Antall oppgavesider: 6 Emnenavn: Instrumentell analyse 2 Eksamenstid: 09:00 13:00 Faglærer: Birte J. Sjursnes mobil: 472 62 307 Antall

Detaljer

Fra første forelesning:

Fra første forelesning: 2 Fra første forelesning: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag opulasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen

Detaljer

Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2015

Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2015 Eksamen MAT1015 Matematikk P Va ren 015 Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 C Tirsdag 10 C Onsdag 1 C Torsdag 5 C Fredag 6 C Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet

Detaljer

= 5, forventet inntekt er 26

= 5, forventet inntekt er 26 Eksempel på optimal risikodeling Hevdet forrige gang at i en kontrakt mellom en risikonøytral og en risikoavers person burde den risikonøytrale bære all risiko Kan illustrere dette i en enkel situasjon,

Detaljer

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall)

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Forelesning 3, kapittel 6 Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Konfidensintervall for µ basert på n observasjoner fra uavhengige N( µ, σ) fordelinger når σ er kjent : Hvis σ er ukjent har

Detaljer

Uncertainty of the Uncertainty? Del 3 av 6

Uncertainty of the Uncertainty? Del 3 av 6 Uncertainty of the Uncertainty? Del 3 av 6 v/rune Øverland, Trainor Elsikkerhet AS Dette er del tre i artikkelserien om «Uncertainty of the Uncertainty». I dag skal jeg vise deg hvorledes man bestemmer

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 7: Utvalgsfordeling Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra kapittel 1: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig

Detaljer

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI NTNU NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI Kandidat-nr.:... Antall sider vedlagt i tillegg :... Faglig kontakt under eksamen: Institutt for kjemi; F.-Aman. Rudolf Schmid Tel.

Detaljer

Befolkning og velferd ECON 1730, H2016. Regresjonsanalyse

Befolkning og velferd ECON 1730, H2016. Regresjonsanalyse Netto innfl. Befolkning og velferd ECON 1730, H2016 Regresjonsanalyse Problem: Gitt planer for 60 nye boliger i kommunen neste år, hvor mange innflyttere kan vi forvente? Tabell Vestby kommune Nye boliger

Detaljer

ECON2130 Kommentarer til oblig

ECON2130 Kommentarer til oblig ECON2130 Kommentarer til oblig Her har jeg skrevet ganske utfyllende kommentarer til en del oppgaver som mange slet med. Har noen steder gått en del utover det som det strengt tatt ble spurt om i oppgaven,

Detaljer

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter

for x 0 F X (x) = 0 ellers Figur 1: Parallellsystem med to komponenter Figur 2: Seriesystem med n komponenter TMA4245 Statistikk Vår 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3, blokk II Dette er den første av to innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere

Detaljer

FYS våren Linjetilpasning. Alex Read Universitetet i Oslo Fysisk institutt

FYS våren Linjetilpasning. Alex Read Universitetet i Oslo Fysisk institutt FYS150 - våren 019 Linjetilpasning Alex Read Universitetet i Oslo Fysisk institutt Mål Studere en alternativ linjetilpasning der vi kjenner usikkerheten per målepunkt σ i (i stedet for å hente denne usikkerheten

Detaljer

Gruvedrift. Institutt for matematiske fag, NTNU. Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk

Gruvedrift. Institutt for matematiske fag, NTNU. Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk Gruvedrift Notat for TMA/TMA Statistikk Institutt for matematiske fag, NTNU I forbindelse med planlegging av gruvedrift i et område er det mange hensyn som må tas når en skal vurdere om prosjektet er lønnsomt.

Detaljer

Ekstreme bølger. Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. 5. mars 2014

Ekstreme bølger. Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. 5. mars 2014 Ekstreme bølger Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 5. mars 2014 Bølger Timesvise max-bølger ved bøye utenfor østkyst av USA (17/12/1991-23/2-1992) Størrelse på bølger varierer sterkt

Detaljer

Fasit for tilleggsoppgaver

Fasit for tilleggsoppgaver Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Torsdag 9. oktober 2008. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Statistisk inferens (kap. 8) Hovedtyper av statistisk inferens. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig om populasjonen. Konkret: Å analysere en utvalgsobservator for å trekke slutninger

Detaljer

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI

Eksamen i emnet KJ 2053; KROMATOGRAFI Kandidat-nr.:... NTNU NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR KJEMI Studieprogr.:... (frivillig) Faglig kontakt under eksamen: Institutt for kjemi; F.-Aman. Rudolf Schmid Tel. 735

Detaljer

Snøtetthet. Institutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk

Snøtetthet. Institutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk Snøtetthet Notat for TMA424/TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag, NTNU 5. august 22 I forbindelse med varsling av om, klimaforskning og særlig kraftproduksjon er det viktig å kunne anslå hvor

Detaljer

Kort overblikk over kurset sålangt

Kort overblikk over kurset sålangt Kort overblikk over kurset sålangt Kapittel 1: Deskriptiv statististikk for en variabel Kapittel 2: Deskriptiv statistikk for samvariasjon mellom to variable (regresjon) Kapittel 3: Metoder for å innhente

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Statistisk inferens (kap. 8) Statistisk inferens er å tolke/analysere resultater fra utvalget for å finne ut mest mulig

Detaljer