Matematikk og Ornamentikk Lærerveiledning

Transkript

1 Matematikk og Ornamentikk Lærerveiledning Versjon 3.4 Nils Kr. Rossing Inger-Marie Larsen Åshild Adsen Vigdis Dagsdatter Øien Eleanor Torsen Vitensenteret Trondheim Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum

2 Vitensenteret 2010 Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum ISBN Matematikk og Ornamentikk Henvendelser om dette heftet kan rettes til: Vitensenteret Postboks Trondheim Tlf: Omslag og layout: Nils Kr. Rossing Trykk: NTNU-trykk NTNU Versjon Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum Vitensenteret Trondheim - 2 -

3 Innhold 1 Forord/Innledning Ornamenter i kunst og håndverk ved Kunstindustrimuseet Program ved Nordenfjeldske kunstindustrimuseum Detaljert gjennomgang Introduksjon til ornamenter Elevenes møte med mønster Elevene lager åttebladrose Rebusløp Matematikk og ornamentikk i museets utstilling Gækkebrev Andre oppgaver Ornamentikk og matematikk - ved Vitensenteret Program ved Vitensenteret Detaljert gjennomgang Mønster med kroppen: En introduksjon til båndsymmetri Oppgave 1: Introduksjon til speilsymmetri Oppgave 2: Utforsk speilsymmetri (el. aksesymmetri) Oppgave 3: Vottemønster Oppg. 4: Rotasjonssymmetri Oppg. 5: Lag en rosett Oppg. 6 (ekstra): Tesseler mønster med Jovobrikker Oppsummering: Kort introduksjon til ornamenter ved Vitensenteret Speilsymmetri (aksesymmetri) Det aksesymmetriske mennesket Norske kommunevåpen Strikkemønster Symmetriske bokstaver CHECKED OK / ALL WRONG Hemmelig speilskrift

4 6 Rotasjonssymmetri - punksymmetri Rotasjonssymmetri Punktsymmetri og rotasjonssymmetri Åttebladrosa Tradisjonen knyttet til åttebladrosa Symmetrier i åttebladrosa Tesselering med åttebladrosa Åttebladrosa og A4-arket Rosettmønster og karveskurd Fødselsdagsdatoene som ble til ornamenter Båndsymmetri Flatesymmetri og flislegging (tesselering) Regulære tesseleringer Semiregulære tesseleringer Enhjørnige mønster Flerhjørnige mønster Fra semiregulær til irregulær Irregulære tesseleringer Tesselering med uregelmessige mangekanter Egendefinerte irregulære tesseleringer Penrose-tesselering Brolegning Geometriske mønstre i islamsk kunst De 17 flatesymmetriene Grunnmønster og operasjoner De 17 symmetrigruppene Analyse av flatedekkende mønster Glidning Glidning og vertikal speiling Rotasjon og glidning Vertikal og horisontal speiling

5 8.6.8 Speiling av 1/8 grunnmønster Flatedekkende puslespill Flatedekkende mønster i kaleidoskoper Programvare Art and Crafts Tile designer TESS (Pedagoguery Software Inc.) Kali Matemania Vindusmønster Rosettverksteder Tesselering Evaluering Oppsummering elevsvar/jenter og gutter Oppsummering lærersvar Referanser Litteratur Nettreferanser Appendix AKopiorginaler A.1 Eksempler for studie av ansiktssymmetri A.2 Eksempler på rotasjonssymmetriske mønster A.3 Maler for regulære og semiregulære tesseleringer A.4 Semiregulært Jovomønster A.5 Kopieringsmal til oppgaven om å dele opp et kvadrat A.6 Maler til Penrose-tesselering A.7 Grunnfigurer flatedekkende mønster A.8 Eksempler på flatedekkende mønster A.9 Kopieringsmal til islamske mønstre A.10 Mønsterark for å tegne kaleidoskopmønster Appendix BFramstilling av materiell B.1 Framstilling av vinkelspeil

6 Appendix CLøsninger på oppgaver C.1 Løsninger på oppgaver i rebusløpet ved Kunstindustrimuseet C.2 Løsning på rotasjonssymmetrier Appendix DPuslekort

7 1 Forord/Innledning Bakgrunnen for prosjektet er et samarbeid mellom Vitensenteret og Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum (NKIM) som ble etablert for en del år tilbake i forbindelse med lærerkurset Teknologi og Design. Å knytte Vitensenterets realfaglige og teknologiske kunnskaper til Kunstindustrimuseets fokus på kunst, håndverk og design, har vist seg å være svært fruktbart og berikende for begge miljøer, og forhåpentlig også for lærerne som deltok på kurs. Ornamenter har gjennom alle tider vært brukt i kunst og håndverkstradisjonen, gjerne sprunget ut av et ønske om å dekorere og gjøre tingene vakre, men også symbolsk for å beskytte mot onde makter. Ornamenter kan være særegne for den enkelte kulturen, men oftere vil en oppdage at ornamenter har vandret fra kultur til kultur. Mange ornamenter er derfor mer internasjonale en vi ofter ønsker å tro. Et typisk eksempel er selburosa eller åtteblarosa som ofte knyttes til en lokal kultur, men som i virkeligheten finnes over hele verden. Mennesker har gjennom alle tider latt seg fascinere av det vakre og formfullendte og ofte har symmerien i ornamentene hatt en viktig rolle i denne sammenheng. Likevel kan brudd på en ellers streng symmeri, skape spenning og liv i et ornament. I symmetri finner vi også møtepunktet mellom ornamentikk og matematikk. Matematikken er opptatt av å generalisere og systematisere og kan i møte med kunsthåndverk virke streng og kald. Gjennom dette prosjektet har vil villet vise hvordan matematikk og ornamentikk kan berike hverandre. Mens ornamentene synes å kunne vaieres i det uendelige, streber man i matematikken etter å finne fellesnevnere mellom ulike ornamenter slik at det blir mulig å kategorisere og systematisere mønstrene. I denne systematiseringen er symmetriegenskapene til ornamentene avgjørende. I matematikken snakker man om akse-, punkt- og rotasjonssymmetri i tillegg til glidning. Ved hjelp av disse symmetribegrepene har matematikken klart å plassere alle regelmessige båndmønster (border) i 7 kategorier og alle flatedekkende mønster i 17 ulike symmetrigrupper. Eksempler på båndmønster er border og friser, mens regelmessige tapetmønster er et eksempel på flatedekkende mønster. I alle disse typende av mønster, er symmetri nøkkelbegrepet. Uten symmeri ingen matematikk i ornamentet. Vi aner også at begrepet symmetri har en annen og videre betydning en i dagligtalen. På bakgrunn av entusiasmen over å oppdage sammenhengen mellom matematikk, og kunst og håndverkstradisjonen, vokste ideen om et samarbeid mellom Vitensenteret og Kunstindustrimuseet fram. Ønsket var at vi skulle vise elever og lærere i grunnskolen hvilke spennende koblinger det var mellom disse fagområdene. Dette mener vi at vi har - 7 -

8 klart ved å la elevene besøke begge institusjonene hvor de har opplevd å gjenkjenne de samme ornamentene på begge steder, men sett gjennom forskjellige briller. Ved Kunstindustrimuseet skulle elevene studere ornamentene med kunsthåndverkets briller, mens de ved Vitensenteret skulle ta på seg matematikkbrillene. Våren 2009 tok Vitensenteret og Kunstindustrimuseet imot ca elever fra 5. trinn sammen med nærmere 100 lærere, hvilket er hele kullet på 5. trinn i Trondheim kommune. For at lærerne skulle ha bedre forutsetninger for å bruke besøket i undervisningen, ble det arrangeret lærerkurs i forkant av besøket. Tilbudet har vært finansiert gjennom Den Kulturelle Skolesekk (DKS). Kapitlene 2 omhandler opplegget ved Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum, mens opplegget ved Vitensenteret er spredd ut over kapitlene 4 til 7. Elevene ble delt i to grupper på inntil 25 elever. Den ene gruppen møtte på Kunstindustrimuseet, mens den andre møtte ved Vitensenteret. Opplegget varte ca. 1,5 time på hvert sted. Etter lunsj byttet gruppene. Hvilket sted de besøkte først og sist ble derfor tilfeldig. Oppleggene måtte derfor være slik at rekkefølgen av besøkene var uten betydning. I kapittel 10 har vi oppsummert elevenes og lærenes oppfatning av opplegget. Både elever og lærere har fått anledning til å uttale seg. Hovedkonklusjonen er at både elever og lærere hadde stort faglig utbytte av opplegget og at det var liten forskjell på jenter og gutters opplevelse av tilbudet. Samarbeid med andre institusjoner er derfor fruktbart både for de som utvikler tilbudet og deltagerne, en bør imidlertid sørge for at deler av opplegget er av en slik art at det kun oppleves ved å oppsøke institusjonene. Det er imidlertid viktig at andre deler av opplegget kan følges opp på egen skole. Vi håper at både elever og lærere på denne måten har fått økt forståelse av hva ornamentikk er og at innsikten i de estetiske og matematiske sidene ved ornamentikken har virket inspirerende og bidratt til økt interesse for begge fagfelt. Fra og med februar 2010 tilbys opplegget som en vandreutstilling som kan lånes til den enkelte skole. Forøvrig er flere av artiklene i denne boka hentet fra Den matematiske krydderhylle [1]. Til slutt en takk til Anne-Gunn Svorkmo ved Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen som var til god hjelp da vi skulle gjøre det endelige utvalget av oppgaver til Vitensenterets tilbud. Inger-Marie Larsen, Nils Kr. Rossing Vitensenteret Åshild Adsen, Vigdis Dagsdatter Øien, Eleanor Torsen Nordenfjeldske Kunstindustrimuseum Trondheim desember

9 2 Ornamenter i kunst og håndverk ved Kunstindustrimuseet 2.1 Program ved Nordenfjeldske kunstindustrimuseum (90 min.) Introduksjon til ornamenter (20 min.), jfr. avsnitt 2.2.1, side 9 Samtale om, og eksempler på hva ornamenter og symmetri er. Oppg. 1: Legg en Åtteblarose (10 min.), jfr. avsnitt 2.2.3, side 16 - Elevene la en åttebladrose i stort format med vinylfliser. Oppg. 2: Rebusløype i utstillingen (30 min.), jfr. avsnitt 2.2.4, side 17 - Elevene leter etter mønster i utstillingen og løser oppgaver, avsluttes med kort oppsummering. Oppg. 3: Gækkebrev (30 min.), jfr. avsnitt 2.2.5, side 20 - Elevene klipper og skriver gækkebrev Reserveoppgaver: Oppg. 4: Tegn mønster på kjolen (reserve) jfr. avsnitt 2.2.5, side 20 Oppg. 5: Tegn mønsterbord (frise) i et rom (reserve) 2.2 Detaljert gjennomgang Introduksjon til ornamenter Et ornament er et formelement eller et mønster som vi bruker som pynt eller dekorasjon på en gjenstand eller på mennesker. Det kan forestille en plante, et dyr, en geometrisk figur - ofte plassert i et symmetrisk mønster. Islamsk kunst er kjent for sine geometriske, abstrakte mønstre. Figur 1 Motiv fra et glassvindu. Van der Velde interiør 1908, fra NKIMs samlinger. Fra Wikipedia, den frie encyklopedi: Et ornament (fra latin ornamentum, utrustning, prydelse, smykke) er et visuelt formelement som kan stå alene eller være en del av et sammensatt mønster

10 Det kan sees som en dekorasjon eller utsmykning, og forestiller ofte en plante, et dyr, en gjenstand eller grafisk figur som på geometrisk vis er stilisert og plassert i et symmetrisk mønster. Et ornament kan videre være en rent geometrisk, abstrakt form som kjent fra islamsk kunst og arkitektur (Alhambra-palassene) eller et mer eller mindre stilisert motiv fra naturen, som ofte er brukt i Art Noveau. Ornamentet kan dessuten ha en symbolsk verdi, noe som i dag brukes mye i forbindelse med kroppskunst og tatovering (for eksempel tribals). En annen måte å bygge opp et ornament på er ved å ta utgangspunkt i et midtpunkt og bruke hjelpelinjer og enkle grunnformer. Dette resulterer i et komplisert mønster preget av symmetri og streng orden. I modernismen tok man avstand fra overdreven bruk av ornament etter at Adolf Loos skrev sitt berømte manifest Ornament og forbrytelse i Det ser ut til at mennesket alltid har hatt behov for å pynte gjenstandene sine. Og vi finner det i alle land og alle kulturer. Samtidig opplever vi å finne de samme ornamentene i forskjellige land. Vi kan si at ornamentene har reist på kryss og tvers. Ofte kan man spørre seg hvor et ornament egentlig kommer fra, f.eks. det vi kjenner som Selburosa, og hvordan det har funnet veien hit til Norge. Folk reiste selvfølgelig mye før i tiden også. I Middelalderen gikk det pilgrimsruter på kryss og tvers i hele Europa. På 1200-tallet oppdaget Marco Polo det som har blitt kalt Silkeveien til Kina. Menneskene som reiste ble kjent med nye kulturer, og de handlet nye varer. Vasco de Gama oppdaget sjøveien til India i 1498, og et par hundre år seinere begynte land i Europa å importere porselen og silke fra Kina, lakkarbeider fra Japan og bomullstekstiler fra India. Gjennom kolonialiseringen og utbredelsen av kristendommen og andre religioner, spredte også ornamentene seg. Lotusblomsten var opprinnelig et indisk ornament som spredte seg til Kina

11 med Buddhismen. Figur 2 Bildet over viser rikt ornamenterte kjoler og mannsdrakt fra 1700-tallet (fra museets samling). Hakekorset, svastikaen eller solhjulet som det også kalles, er et ornament som inneholder mye symbolikk. Det finnes i kufisk skrift som er en type arabiske skrifttegn med stive, kantete former, fra tallet. I Vesten så de på denne skriften som et ornament, og det ble særlig brukt i broderier i middelalderens kristne Europa. Etter hvert kom mønsteret også til Norge og ble blant annet brukt i norsk bunadsøm. Fordi nazistene seinere brukte dette merket som symbol på sin ideologi, ble det et ornament med negativ betydning for mange, og i Europa og USA forbinder vi nå ornamentet med nazismen. Men i India og i Asia var dette ornamentet opprinnelig et tegn på alt det gode; Gud, lykke, evig liv, eller solen. Figur 3 Vase i porselen av William Sanday, England 1897 (fra museets samling)

12 Denne vasen er et flott eksempel på hvordan europeiske formgivere har latt seg inspirere av ornamenter fra Østen. I Kina symboliserte svastikaen bl.a. energi og kraft. Figur 4 Bildet til høyre viser utsnitt av vasen, hvor svastikaene kommer tydelig fram. Matematikk og Ornamentikk Det som vi i Trøndelag kaller Selburosa er en åttebladsrose som vi kan spore tilbake til flere land i verden. Historien forteller at det var Marit Gulsetbrua som sommeren 1857 strikket de første vottende med dette mønsteret, og stilte på kirkebakken iført de nye vottene sine. I 1897 begynte Marit Emstad fra Selbu å levere votter med dette mønsteret til Husfliden. Andre navn på selburosa er Stjernros, ottbladros, Mariastjerne og dobbelt marekors. Åttebladsrosa er et ornament som har blitt knyttet til husflid i Norge, og i tillegg til å finne den på Selbustrikken finner man ornamentet i Hardangersøm. Det som ofte blir sett på som et særegent lokalt ornament, viser seg dessuten å være et ornament som gjennom århundrer har vandret gjennom flere land. Åttebladrosa kan spores tilbake til den sumeriske kulturen. Videre finner man den i den tradisjonelle folkekunsten og husfliden flere steder i Europa. Figur 5 Koptisk tekstil fra 500-tallet. Tekstilet tilhører Kunstindustrimuseet i Oslo, Nasjonalmuseet. Den nordiske hvitsømmen kan knyttes til renessansen internasjonale kulturmønster. Vi finner de samme mønstrene i italienske renessanseklær og renessansetidens mønsterbøker. Ornamenter med enkle geometriske former kan ha oppstått spontant uavhengig av hverandre, og det er vanskelig å bestemme opprinnelsesstedet

13 Den norske tekstilkunstneren Ellinor Flor, har også latt seg inspirere av åttebladrosa i sine strikkede kreasjoner. Figur 6 Drakt Rosa hemifra, Ellinor Flor Tatovering er en populær måte å dekorere kroppen med oranmenter, og har vært en del av den eurasiske kulturen siden yngre steinalder. I Kina er det funnet mumier datert til det andre århundre f.kr. med tatoveringer, og japanske tatoveringer menes å ha funnet sted titusener av år tilbake. Flere kulturer har hatt egne tatoveringstradisjoner, fra å gni aske inn i åpne sår til å prikke inn tegn med nåler - nesten som i dag. Gjennom historien har tatoveringer vært bruk for å vise tilhørighet til spesielle kulturer eller yrkesgrupper. På 1960-tallet var det i Norge mest sjømenn som hadde tatoveringer. I dag er tatoveringskulturen blitt mote, og både ungdommer og bestemødre rundt om i verden velger å smykke huden sin med tatoveringer. Figur 7 Hentet er fra gjengitt med tillatelse creative commons Elevenes møte med mønster Når elevene kommer til museet blir de møtt av Eleanor som forteller at ornamenter ofte blir brukt for å gjøre ting penere. Vi pynter oss med ornamenter. De engelske ordet for

14 pynt er ornament, f.eks. Christmas Ornament, Noen ornamenter har også en spesiell betydning. Eleanor spør hvor man kan finne ornamenter. Elevene svarer: - på klær og gensere - som logoer på merkevarer - som merket til fotballag osv. Dersom vi setter mange ornamenter ved siden av hverandre, får vi et mønster. Hun peker på et stort veggteppe (bildet til høyre). Hun spør hva elevene forstår med ordet symmetri. En svarer at symmetri er når flere ornamenter er satt sammen på en spesiell måte. Hun får fram en elev som blir bedt om å hoppe bortover gulvet foran de andre elevene. Hva må vi passe på for at dette mønsteret skal være symmetrisk? En elev svarer at fotavtrykkene må ha lik avstand. Eleanor tar fram et mønster fra en eske, holder det opp mot speilet på veggen og forteller at dette blir et speilsymmetrisk mønster. Slik som avtrykket av de to føttene ved siden av hverandre. Så ber hun en av elevene hoppe sideveis langs kanten av en sirkel. Når vi hopper på denne måten blir sporene rotasjonsymmetriske, sier hun. Hun tar igjen utgangspunkt i veggteppet og sier: Mønsteret på dette teppet er sammensatt av mange like grunnmønster. Hun tar fram et stempel. Er det noen her som har brukt stempel? Noen elever forteller at de har trykket med potet, og laget potettrykk, andre har brukt fingermaling og latt hendene være stempel

15 Ofte ser vi mønster som er trykket på klær slik dere ser på klærne bak meg her, sier Eleanor. Når dere skal pynte dere, så har dere på fine klær. Jentene har kanskje på seg kjoler med flotte mønster slik som denne kjolen med broderte blomster fra 1700-tallet. Vi ser at mønstret er plassert helt likt på hver side av den vertikale midtlinja. Eleanor spør om noen av tingene elevene har hjemme er dekorert med mønster. Flere elever forteller at de har mønster på dynetrekkene sine. En har striper, en annen prikker, nok en har hester og en sover i kamuflasjemønsteret dynetrekk. Er det noen av dere som kan strikke, spør Eleanor? Elevene på 5. trinn, har nettopp lært å strikke på skolen. De har strikket hårbånd og lue. Eleanor retter oppmerksomheten mot drakten strikket av Ellinor Flor. Denne drakten kalte hun: Rosa hjemmefra. Men er dette en rose da? spør Eleanor elevene. Ja, noen av elevene mener at det ligner en rose. Vet dere hva denne rosen kalles? Jo, den kalles Selburosa, fordi noen i Selbu begynte å bruke dette mønsteret på votter for over 100 år siden

16 2.2.3 Elevene lager åttebladrose Nå skal dere sette dere i grupper og lage selburoser av disse plastbitene. Ser dere at rosene er sammensatt av ruter. Hvor mange ruter trenger dere for å lage en rose? Elevene setter seg i grupper å begynner å sette sammen selburoser, og det går ikke lang tid før de første gruppene er ferdige. De legger hvite trekanter langs kantene slik at ornamentet får form som en regulær åttekant. Hvor mange ruter trenger dere for å lage ei rose? Hva kaller vi grunnfiguren i selburosa? Noen kjenner igjen figuren fra logoen til RBK, og noen vet at det heter parallellogram. Selburosa ble også brukt som merke for VM på ski her i Trondheim i Kanskje fordi vi synes det er typisk for Trøndelag? De ser på en maskot. Men finnes denne rosa bare i Norge? Egentlig er dette ornamentet mye eldre, og vi finner det over hele verden. Hva med teppene dere sitter på? Elevene ser at de også har åttebladsroser i mønsteret, og får vite at teppene kommer fra Irak. Elevene får deretter se eksempler på åttebladsroser fra hele verden, og oppdager at åttebladsrosa til og med er benyttet som mønster på påskeegg! Så blir hvert lag utfordret til å delta i et rebusløp i museumsutstillingen

17 2.2.4 Rebusløp Matematikk og ornamentikk i museets utstilling Her er oppgavene elevene skulle løse: 1. Memphis Denne fantasifulle sengesofaen er designet av den italienske Memphis-gruppen på 80-tallet. Legg merke til den spesielle fargekombinasjonen i puten. A) Hvilke geometriske ornament kan du finne i dette spesielle møbelet? B) Sofaens føtter og rygg har også geometriske former. Hvilke? 2. Røde vaser Dere skal finne disse røde vasene som er laget av Trondheimskunstneren Brit Dyrnes. Hvis dere deler dem i to på midten vertikalt, er de helt like på begge sider. A) Hva heter denne formen for symmetri? B) Hvor mange vaser har akkurat denne symmetrien? C) Hvor mange vaser er det til sammen på veggen? D) På gulvet: Finn de to plastikkdelene (vaseformer) som er like og sett dem sammen til en symmetrisk vase. (Det er kun én riktig løsning blant delene. Svaret finner du på veggen.) 3. Sengeteppe Dette er et vevd sengeteppe i ull. Det henger på veggen i kjelleren og er nesten 350 år gammelt. Det er mange figurornamenter på teppet (gjentakelser). A) Hvor i teppet kan dere finne "de fem kloke jomfruer"? B) Hvor mange menneske figurer finnes til sammen på teppet?

18 4. Rokokko-stol Mot en vegg i kjelleren finner dere en stol med en veldig fint dekorert rygg i mørkt tre. Skinnsetet er brunt, og føttene på stolen bøyer seg ut, som om den neier. På denne tiden hadde damene så store og brusende kjoler at de ikke kunne sette seg i en stol med armlener. A) Del stolen rett i to med øyene. Hvilken type symmetri får da denne stolen? Matematikk og Ornamentikk 5. Fugleteppet Går du litt videre mot høyre i kjelleren finner dere et vakkert, rødt teppe på veggen med fugleornamenter. Teppet heter "The Bird". A) Kan dere se at de samme ornamentene gjentar seg flere ganger i det vevde teppet? Vet du hva en slik gjentakelse kalles? B) Hvor mange fugler finner dere i teppet? 6. Tulipanskap Nå jakter du etter et staselig, brunt treskap som har fire runde blomsterornament i skinnende messing på kantene. Dere skal finne tulipanene inni messingsirkelen på skapet. A) Hvor mange ganger gjentas tulipanen inne i sirkelen? B) Hva kalles denne symmetrien? 7. Pytagoras Pythagoras var en gresk filosof og matematiker. I matematikken snakker vi om Pythagoras læresetning, som blant annet handler om rettvinklede trekanter. Dere skal finne et veggteppe som heter "Pytagoras". Teppet har geometriske ornamenter. Legg merke til hvordan fargene også påvirker figuren i teppet. Tulipanskap

19 A) Hvilke geometriske figurer finner dere i teppet? B) Lag ditt eget "Pytagoras-teppe" med figurene på golvet. Pytagoras 8. Panton-ornamentikk Panton ornament I et hjørne står et fargerikt interiør. Stoffene på veggen har knall farger. Bordet til fire står under lampen blank og rund. A) Hvor finner dere ornamenter i dette gull-gule interiøret? B) Hvilke typer ornamenter finner dere? 9. Trappe-teppe Dere må opp i trappa for å finne dette teppet vevd i ull. I teppet kan du se havfruer og fisker som lever i vannet. Dere skal finne røde fisker som svømmer på rekke og rad. A) Hvor finner dere de røde fiskene som lager en bånd-symmetri? Hvor mange røde fisker er det? B) Hvor mange fisker er det på hele teppet? 10. Samurai Nå skal dere ta ferden opp til Japan-utstillingen i 2.etasje. Dere skal finne denne Samurai-krigeren. Visste dere at Samuraien oftest hadde to sverd, et langt og et kort? Denne flotte rustningen er ca. 200 år gammel og rikt utsmykket. A) Hvor på rustningen finner dere blomsterornamenter? B) Hvor mange blomsterornamenter finner dere? Svarene til disse oppgavene er samlet i vedlegg C

20 Elevene gikk ivrig i gang med oppgavene. Hver av gruppene startet med ulike oppgaver, slik at de ble spredt ut over hele utstillingen. Ved enkelte av postene var det også lagt ut tilleggsoppgaver. Etter at de har arbeidet med oppgavene en tid, samles de og snakker om noen av oppgavene. Eleanor spør: - Hvor var de kloke jomfruene? - Hvor mange fugler var det på teppet? - Hvor mange tulipaner var det i sirkelen? Tatovering er en gammel kunst. Eleanor viser fram eksmpler. I gamle egypten var det vanlig blant overklassen å tatovere seg, det ser vi på de mange mumiene som har tatoveringer på kroppen. Den år gamle ismannen, Utsi, hadde også tatoveringer på kroppen. Det er blitt ganske vanlig å tatovere kroppen i dag. Mange av tatoveringene er ornamenter. Eleanor spør elevene om de kjenner noen som har tatoveringer og flere elever forteller om tatoveringer de har sett. Sammen ser de på ulike tatoveringer og snakker om symmetri. Besøket ved Kunstindustrimuseet avsluttes i aktivitetsrommet hvor de skal lære å lage gækkebrev Gækkebrev Gækkekort, eller Gækkebreve, å "gække" betyr å narre, jfr. aprilsnarr

21 Det er bare i Danmark folk sender gækkebrev til hverandre, og det har de gjort i 200 år. Et gækkebrev skal inneholde et papirklipp, et vers og en presset snøklokke. I Danmark blir snøklokke kalt vintergæk, og allerede på tallet ble Vintergæk (snøklokke) brukt til å "gække" med. Man overrakte blomsten til den man gjerne ville gække, gjerne med ordene "Min gæk, min Vintergæk". Da hadde personen blitt gækket, dvs. narret. Tidligere var det vanlig å gi blomsten til en person man likte ekstra godt. Det eldste gækkebrevet som man har bevart i Danmark, er fra Det er skrevet til Maria Christiane Hansdatter i Odense, og slutter med ordene: "En giæk lader hun sig kalde det monne mit hjerte befalle min giæk skal hun være fra vinteren til somren med ære" Figur 8 Gækkebrev laget av Psaligrafikunstneren Karen Bit Vejle til datteren Zeleste. De eldste gækkebrev var som regel underskrevet med navnet til avsenderen. Det handlet om å narre mottakeren med den vedlagte snøklokken. Slik var gækkebrevet også et varsel om at våren var i anmars. Utover på 1800-tallet ble det mer alminnelig at brevet ble et gjettebrev, dvs. at avsenderens navn var skjult i et vers i teksten, eller skrevet med prikker: Etter hvert utviklet det seg en ny tradisjon med egne regler; brevet ble sendt i februar, og innen 1. påskedag måtte den som hadde fått et gækkebrev, gjette hvem avsenderen var. Dersom han el. hun gjettet riktig, ble de belønnet med et påskeegg eller en teaterbillett. Hvis avsenderen var en pike, kunne mottakeren velge mellom et egg eller et kyss. Den som ikke fulgte reglene, var gæk (en narr) resten av året: "Nar, nar, nar til næste februar" Gækkebrevstradisjonen var altså en spøk mellom unge voksne en måte å komme i kontakt med hverandre på. I dag er det særlig barn som sender gækkebrev f.eks. til besteforeldrene for å få påskeegg: Brevet består av et vers, en navnegåte, en vårblomst og selve brevet er et fint papirklipp

22 Klippene får man til ved å brette arket, f.eks. en gang på langs og en gang på tvers, for så å klippe seg inn fra sidene. Det er heller ikke uvanlig å pynte brevene med trykk som viser ulike ornamenter. Det utklipte og dekorerte arket kan også limes på et ubeskåret ark av en annen farge. Dermed kommer mønsteret tydeligere fram. Etter at Eleanor har fortalt hva gækkebrev er, går elevene straks i gang med å brette og klippe papir. Når de så åpner papirene, ser de at klipping på brettet papir gir speilsymmetriske ornamenter. Her er noen eksempler på resultatet

23 Tilslutt et par eksempler på gækkebrev laget av elevene. 2.3 Andre oppgaver Følgende oppgaver ble ikke brukt. Dekorer rommet Tegn en mønsterbord eller trykk med trykkblokker på veggen over skapet

24 Mønstertrykk Ved hjelp av stempler med ulike mønstre skal elevene lage sine egne rapporter. Kjolemønster og snøbrett Elevene får utdelt omrisset av en kjole eller et snøbrett og skal dekorere disse med selvlaget mønster. Jfr. de ulike mønstertypene de har sett og snakket om. Matematikk og Ornamentikk

25 3 Ornamentikk og matematikk - ved Vitensenteret 3.1 Program ved Vitensenteret (90 min.) Mønster med kroppen: Båndsymmetri (5 min.) Elevene hopper langs ulike båndmønster inn til aktivitetsrommet, jfr. kap. 7, side 63 Oppg. 1 Speilsymmetri (10 min.) - Grunnfigur (foten) og speiling av grunnfigur, jfr. kap. 4, side 35 - Utvikling av båndsymmetrier, jfr. kap. 7, side 63 Oppg. 2 Utforsk speilsymmetri (15 min) - Kommunevåpen, jfr. avsnitt 5.2, side 39 - Symmetri i ansikter, jfr. avsnitt 5.1, side 37 Oppg. 3 Vottemønster (20 min) - Lag et symmetrisk vottemønster, jfr. avsnitt 5.3, side 40 Oppg. 4 Rotasjonssymmetri (10 min) - Utforsk rotasjonsymmetriske mønster, jfr. avsnitt 6.1, side 44 Oppg. 5 Lag en rosett (30 min), jfr. avsnitt 6.4, side 54 Ev. lunsj (20 30 min.) Reserveoppgave: Oppg. 6 Tesseler et mønster med Jovobrikker (15 min), jfr. kapittel 8, side Detaljert gjennomgang Mønster med kroppen: En introduksjon til båndsymmetri (kap. 7, side 63) Når elevene kommer blir de møtt av de sju båndsymmetriene, illustrert med fotavtrykk på yogamatter. Ved å hoppe etter mønstrene på Figur 9 De sju båndsymmetriene illustrert med fotavtrykk på yogamatter

26 mattene, kjenner de med hele kroppen hvordan disse er bygd opp. Noen er enkle mens andre krever god balanse og koordinering. Før de forlater aktivitetsrommet får de også med et postkort som viser alle båndsymmetriene. Elevene oppmuntres til å gjøre disse øvelsene i gym. f.eks., i snø eller sand. Figur 10 Postkort med båndsymmetriene. Definisjon av begrepet: Hva er egentlig et ornament? Når elvene er på plass i aktivitetsrommet gis en kort beskrivelse av hva et ornament er: Et ornament er et mønster som kan være en dekorasjon eller utsmykning for å gjøre noe pent. Det kan være laget av blomster, geometriske figurer eller andre ting, og er ofte symmetrisk. Et ornament kan også ha en spesiell betydning. Et fotavtrykk er egentlig ikke et ornament, men satt sammen på spesielle måter kan det bli en del av et ornament eller mønster. Det spilles på dialog med barna i denne sekvensen. Figur 11 Eksempler på ornamenter?

27 3.2.2 Oppgave 1: Introduksjon til speilsymmetri (kap. 4, side 35) Det er hovedsakelig symmetrien i et ornament som knytter det til matematikken. De fleste elever forbinder symmetri med speilsymmetri (el. aksesymmetri). Når elevene har gjennomført dette opplegget skal de ha fått et utvidet symmetribegrep. Dessuten skal de finne grunnfiguren i et periodisk mønster, og vite at mønster kan ha forskjellige grunnfigurer og likevel være like sett fra matematikken. Denne abstraksjonen er en krevende øvelse. Oppgave ark 1 tar utgangspunkt i avtrykket av venstre fot. Elevene bruker vanlige speil for å frambringe det speilsymmetriske høyre fotavtrykket (se figur 12) 1. Ved hjelp av speiling har de fått både høyre og venstre fotavtrykk. Dermed vet de nok til å forstå hvordan en av de sju båndsymmetriene Figur 12 De to fotavtrykkene er speilsymmetriske (oppgave 1). bygges opp, nemlig "gange" (glidende horisontal speiling). Her ser vi hvordan både speiling om en horisontal akse, gliding og kopiering inngår i det "utvidete" symmetribegrepet. Her er det viktig å vise at fotavtrykket er én av uendelig mange ulike grunnfigurer. Figur 13 Eks. på glidende horisontal speiling (gange). 1. Ansiktet på oppgavearket er tegnet av Veronika Zvorono. Forøvrig kan hennes nettside om tesselering anbefales (1)f

28 3.2.3 Oppgave 2: Utforsk speilsymmetri (el. aksesymmetri) (avsnitt 5.1, side 37) Elevene oppmuntres til å nevne eksempler på ting som er speilsymmetriske. Kroppen og ansiktet er hyppig nevnte eksempler, men også dagligdagse ting som vinduer, dører, skilt m.m. I oppgave 2 bruker elevene speilene brukt i oppgave 1 til og utforske symmetri i ansikter. Elevene får utdelt flere eksempler på kjente ansikter, og skal finne hvilket som er mest speilsymmetrisk. Figur 14 Undersøk speilsymmetri i ansikter (oppgave 2). I oppgave 2a oppdager elevene at ansikter er ganske symmetriske, men ikke helt. Dessuten skjønner de at når ansiktet er litt vridd så blir den symmetrien mindre fremtredende. Det er likevel fascinerende at den menneskelige hjerne lett gjenkjenner et ansikt, selv om det sees fra svært ulike vinkler. I oppgave 2b skal elevene utforske symmetrien i norske Figur 15 Mange norske kommunevåpen er kommunevåpen. I figur 15 ser speilsymmetriske. vi eksempler på symmetriske kommunevåpen

29 Det viser seg imidlertid at ikke alle er helt symmetriske. Elevene utfordres til å avsløre hvilke som ikke er helt symmetriske, og forklare hvorfor Oppgave 3: Vottemønster (avsnitt 5.3, side 40) Noe annet som ofte er speilsymmetrisk er mønster på klær. Elevene får se eksempler på vottemønster, og utfordres i oppgave 3 til å tegne sitt eget, speilsymmetriske vottemønster på en vottemal. A) B) C) Figur 16 A) Eksempel på vottemønster, B) Elevoppgaven, C) Vottemal. Elevene utfordres først til å tegne bare den ene halvparten av mønsteret for så å bruke et vanlig speil til å se hvordan det speilsymmetriske mønsteret blir seende ut. Mønsteret tegnes ved å skravere eller krysse ut et utvalg av de kvadratiske rutene i malen. For at så skal kunne tegne det speilsymmetriske mønsteret, må de posisjonere de skraverte rutene riktig om aksen, hvilket krever forståelse av hva speilsymmetri er. Oppgaven viste seg å være mer populær enn vi første hadde trodd. Elevene hadde vondt for å gi slipp på mønstrene sine Oppg. 4: Rotasjonssymmetri (avsnitt 6.1, side 44) Etter speilsymmetriske er det nok rotasjonssymmetriske mønster som er mest kjent blant elevene. For å skape gjenkjennelse introduseres begrepet ved å vise et bilhjul. Ved en enkel animasjon i PowerPoint vises hvordan bilhjulet er femfoldig rotasjonssymmetrisk. Dvs. at for hver femtedels omdreining, så vil bildet av hjulet akkurat dekke over det opprinnelige bildet. Etter fem drieninger er det igjen tilbake til utgangspunktet. Ventilen gjør at hjulet ikke er helt symmetrisk, samtidig som den gjør at det er lettere å observere dreiningen. Figur 17 Bilhjul, eks. på rotasjonssymmetri

30 I oppgave 4a skal elevene utforske rotasjonssymmetri ved hjelp av fleksible vinkelspeil. Dette er to pleksiglasspeil (10 x 15 cm) som er hengslet langs en kortside. Elevene får tre eksempler på grunnfigurer, Matematikk og Ornamentikk 1) 2) 3) Figur 18 Bruk vinkelspeilet og finn ut hva de tre grunnfiguren forestiller (oppgave 4a). og skal ved hjelp av vinkelspeilet finne ut hva de rotasjonssymmetriske figurene forestiller. Elevene oppdager fort at disse forestiller en 1) hjulkapsel, 2) rosevinduet i Nidarosdomen og en 3) dartskive. Noen bemerker også at dartskiven ikke blir som den skal. Grunnfiguren for dartskiva er strengt tatt ikke riktig. Opprinnelig var denne "feilen" ikke tiltenkt, men den ble et spennende innslag i opplegget. Vi valgte derfor å a) b) beholde den. Det viser seg at skal vi få Figur 19 Den gale (a) og den riktige (b) en riktig skive må grunnfiguren ha grunnfiguren for en dartskive. spesielle egenskaper. Kan du se hvilke egenskaper dette er (se figur 18-3)? Finnes det flere riktige svar? Her er det viktig å spille på dialog. Vinkelspeilet egner seg godt til å utforske rotasjonssymmetriske ornamenter. I oppgave 4b får elevene tre grunnfigurer, og tre komplette ornamenter bygget opp av de tre grunnfigurene. Ved hjelp av vinkelspeilet og grunnfigurene skal elevene frambringe ornamentene. Dette krever at de må velge riktig plassering og vinkelåpning mellom speilene

31 Figur 20 Plasser vinkelspeilet slik at hele figuren framkommer (oppgave 4b). Selv om det er nærliggende å prøve seg fram, så oppmuntres de til å tenke systematisk. Det første en da må gjøre er å finne ut hvor mange ganger grunnfiguren gjentar seg i ornamentet (dersom den gjentar seg 8 ganger skal vinkelåpningen til speilet være: 360 : 8 = 45 ). Dernest undersøkes om ornamentet er "åpent", dvs. om det har et hvitt felt i midten. Om det ikke er tilfelle så er ornamentet "lukket". Et "åpent" ornament krever at toppunktet i hjørnespeilet ligger utenfor grunnfiguren. Er ornamentet lukket, ligger toppunktet langs kanten av grunnfiguren. Dette kan en gjøre de flinkeste elevene oppmerksomme på Oppg. 5: Lag en rosett (avsnitt 6.4, side 54) Inspirert av det flotte rosevinduet i Nidarosdomen, lar vi elevene i oppgave 5 utforske rotasjonssymmetriske rosetter ved hjelp av passer. A) B) Figur 21 A) Tegn en rosett B) Rosettmal

32 Det varierer svært fra klasse til klasse om elever på 5 trinn har brukt passer før. Det er derfor nødvendig å gjennomgå bruken. Spesielt hvordan elevene åpner og lukker passeråpningen, hvordan de holder den slik at åpningen ikke endrer seg når de tegner, og hvordan de lager sirkler uten at passerspissen glipper fra papiret (Ei papplate under papiret er nødvendig). Elevene lærte dette fort og hadde stor glede av å tegne rosettene. Ved hjelp av PowerPoint ble det forberedt en detaljert gjennomgang av hvordan de skulle tegne rosetter. De fleste lærte imidlertid teknikken fort og valgte og utforske metoden på egen hånd. Figur 22 Tegning av rosetter med passer, trinn for trinn. Etter at rosetten var ferdig, fikk de lov til å fargelegge de ulike områdene i tegningen. Det ble ikke satt noe krav til fargesymmetri, men de fleste valgte rotasjonssymmetrisk fargelegging. Elevene ble utfordret til å finne rosettens grunnfigur for så å bruke vinkelspeilet til å gjenskape hele rosetten. A) B) Figur 23 A) Fargelegging av rosetten og B) rosettens grunnfigur. På dette punktet i undervisningsopplegget var det gjerne gått ca. 90 min, og det var naturlig å oppsummere hva som var gjennomgått: Båndsymmetri, speilsymmetri (el. aksesymmetri) og rotasjonssymmetri

33 3.2.7 Oppg. 6 (ekstra): Tesseler mønster med Jovobrikker (kap. 8, side 67) Vi hadde laget en oppgave 6 med tema tesselering (dvs. flatedekkende mønster). Som en kort introduksjon, tenkte vi å vise eksempler fra Eschers produksjon, i tillegg til at vi ganske kort viste hvordan en kan lage escherlignende tesseleringer (se figur 15 B). Imidlertid ble det aldri tid til denne ekstraoppgaven. Vi nøyde oss derfor med å bruke den på lærerkursene. A) B) Figur 24 A) Et eksempel hentet fra Esher B) Tesselering, trinn for trinn. I oppgave 6 skal elevene bruke 6 kvadrater og 18 likesidete trekanter til å dekke en avgrenset flate fullstendig. Det ble brukt Jovo-brikker til oppgaven (regulære mangekanter plast-brikker som kan settes sammen). For å få til dette må elevene tenke logisk mht. summer av vinkler og hva som kan tillates for å unngå å overskride det avgrensede området (se figur 16). Eleven fikk utdelt det avgrensede området på et A4-ark. A) B) Kvadrat 6 stk Likesidet trekant 18 stk Figur 25 A) Avgrenset område B) 6 kvadrater og 18 likesidete trekanter

34 De oppdaget snart at det bare var mulig å plassere trekanter langs kantene. Når disse er plassert ser en tydelig hvor de seks kvadratene skal stå. Til slutt er det noen få trekanter igjen som finner sin naturlige plass. Her kan en velge å bringe inn summen av vinklene i trekantene og kvadratene rundt et hjørne, eller la Figur 26 Flatedekkende mønster. elevene registrere hvilke figurer som grenser opp til "hjørnene" i den tesselerte figuren, og i hvilken rekkefølge trekantene og firkantene ligger i rundt hjørnet Oppsummering: Opplegget var innkjøpt av Den Kulturelle Skolesekken (DKS) i Trondheim til samtlige 2000 elever på 5. trinn i kommunen. Før oppstart ble lærerne tilbudt kurs for å bli kjent med opplegget slik at de lettere kunne gjennomføre for- og etterarbeid, og dermed kunne være en ressurs under gjennomføringen. Informasjon om opplegget og materiell til etterarbeid, ble lagt ut på nettsiden til Den Kulturelle Skolesekk og Vitensenterets hjemmeside. Både lærere og elever evaluerte opplegget etter besøket. Resultatene viste at en svært stor del av elevene hadde fått økt forståelse av hva ornamenter var og hvilken rolle symmetri har i forholdet mellom matematikk og ornamentikk. De påfølgende kapitlene utdyper symmetri i mønster, i tillegg til at det gis alternative oppgaver. Hele opplegget er dessuten grundig dokumentert med en egen video og en PowerPoint presentasjon for bruk i klasserommet. Ellers arbeides det med å gjøre materiellet tilgjengelig for utlån

35 4 Kort introduksjon til ornamenter ved Vitensenteret En definisjon av ornamenter er alt gitt på side 9. Har skal vi konsentrere oss om hva som gjør ornamenter matematiske. Vi har derfor behov for å avgrense temaet til ornamenter som er symmetriske eller er bygget opp av rene geometriske former. Alternativt at ornamentet inngår som grunnelement i et bånd eller et periodisk flatedekkende mønster (f.eks. tapetmønster). Grunnelementet kan i denne sammenheng ha friere former som f.eks. et hånd- eller fotavtrykk, blomster, blader eller andre ting. Vi lager oss derfor følgende forenklede definisjon: Et ornament er et mønster som kan være en dekorasjon eller utsmykning for å gjøre noe pent. Det kan være laget av blomster, geometriske figurer eller andre ting, og er ofte symmetrisk. Et ornament kan også ha en spesiell betydning. Følgende kan være eksempler på ornamenter. Derimot er det ikke umiddelbart riktig å kalle fotavtrykket eller hjulkapselen til høyre for ornamenter. Selv om begge uttrykkene kan inngå i ornamenter, så tenker vi først og fremst på disse formene som et fotavtrykk i sanden og en gjenstand til å beskytte hjulet på en bil. Setter vi dem derimot inn i en ny og kanskje uvanlig sammenheng hvor deres primære hensikt er utsmykning, vil også disse kunne omtales som ornamenter. Som tidligere nevnt er det først og fremst ornamentets symmetri som knytter det til matematikken. Vi vil derfor i denne sammenhengen primært se på symmetriske ornamenter. Dessuten vil vi bruke gjenstander og former til å illustrere ulike symmetriegenskaper, selv om disse eksemplene ikke nødvendigvis er ornamenter

36 De fleste forbinder symmetri med aksesymmetri, eller det som i dagligtale kalles speilsymmetri. En figur er speilsymmetrisk dersom den høyre siden er en speiling av den venstre siden (vertikal speilsymmetri). Men i matematikken er symmetri mer omfattende: Generelt kan vi si at en figur er symmetrisk dersom figuren forblir uendret etter en bevegelse. Bevegelsen kan være refleksjon, glidning eller rotasjon, eller en kombinasjon av disse. La oss først se på speilsymmetri som er det de fleste forbinder med symmetri. 5 Speilsymmetri (aksesymmetri) Oppgave: Kroppen vår er et eksempel på speilsymmetri, selv om symmetrien skjelden er perfekt. Dersom vi står barfot i sanden med beina ved siden av hverandre, vil vi få to avtrykk som er symmetriske. Dersom vi har et avtrykk av en venstrefot, vil vi kunne få fram det perfekte avtrykket av høyrefoten ved å sette et speil til høyre for venstrefoten. Ved hjelp av en linjal plassert ved fotavtrykket, kan vi lett se at avstanden fra de enkelte delene av venstrefoten er like langt til venstre for speilet som de tilsvarende delene på høyrefoten er til høyre for speilet. En speilvendt linjal sett i speilet, viser oss at avstanden fra speilet er symmetrisk for de to avtrykkene. Dette er det grunnleggende prinsippet for speilsymmetri (i mattermatikken kalt aksesymmetri). Oppgave: Ta et A4- eller et A3-ark og brett det midt på langsiden. Ta en blyant i hver hånd og tegn symmetriske figurer omkring brettekanten i midten av arket. Pass på at startpunktet er symmetrisk om midtlinjen. Brett sammen arket og hold det opp mot lyset. Undersøk hvor symmetriske de to tegningene er. Tegn mange figurer

37 Du vil sannsynligvis oppdage at de to figurene ikke er helt symmetriske. Undersøk om det er noe systematikk i avvikene mellom høyre- og venstretegningene. Er det likhetstrekk i avvikene elevene imellom? En annen symmetrisk del av kroppen er ansiktet. La oss se litt nærmere på dette. 5.1 Det aksesymmetriske mennesket Stort sett er vi ganske symmetriske, utenpå i større grad enn innvendig. Likevel er det forskjeller. Dersom vi studerer et ansikt vil vi oppdage at det er små forskjeller mellom høyre og venstre side. Venstre side synes ofte å være litt mer alvorlig enn høyresiden. I 1930 malte William E. Benton maleriet Duality Mirror, hvor han undersøkte hvordan ansiktet så ut dersom det var satt sammen av to høyresider eller to venstresider. To høyresider To venstresider Han tok utgangspunkt i et bilde av forfatteren Edgar Allan Poe ( ). Vi har gjentatt eksperimentet her med moderne datahjelpemidler og ser at Poe ikke er helt symmetrisk. Benton beskriver hvordan Poes høyre ansiktstrekk uttrykker hans bevisste og åpenbare sider, Mr. Jekyll. Mens den venstre siden av ansiktet viser hans ubevisste og skjulte sider, Mr. Hyde. Det finnes nok ingen forskning som fastslår dette, men det er verdt å legge merke til at ansiktets to halvdeler som oftest ikke er helt like og at den venstre ofte er noe mer dyster [13]. Med digitale kamera og bruk av programvare for bildebehandling, er det lett å eksperimentere med bilder av ansikter. Her er noen eksempler. Figuren til høyre viser to eksempler på sammenstilling av to høyresider og to venstresider. En kan vel ikke annet enn å bli slått av hvor symmetrisk jenta på bildet er. To høyresider Normalt To venstresider

38 I tilfellet med gutten til høyre så kan det se ut som om de to høyresidene har et noe mer trist uttrykk enn de to venstresidene, altså det motsatte av det en skulle forvente ifølge diskusjonen foran. Om det har noe å si at vedkommende er venstrehendt, skal være usagt. Også dyr kan være svært symmetriske. To høyresider Normalt På bildet under er vist en Cavaler King Charles Spaniel. To venstresider Eneggede tvillinger kan være svært like. Det betyr ikke nødvendigvis at ansiktene deres er mer symmetriske enn hos andre. Det påstås imidlertid at usymmetrien i den ene tvillingens ansikt, er speilvendt i den andres 2. Så er det bare å finne et tvillingpar og sjekke. Ved hjelp av speilet er det også lett å undersøke hva som skjer når det dreies litt mot høyre eller venstre som vist på bildene til høyre. Kanskje ikke så vakkert, men ganske morsomt. Se vedlegg A.1 for ansikter som kan brukes for studie av ansiktssymmetri. Speil Speil 2. Se:

39 Elever fra Bratsberg skole eksperimenterer med symmetrien i ansikter. 5.2 Norske kommunevåpen Men det finnes selvfølgelig mange andre ting som også er symmetriske. Under har vi gjengitt noen av de mange symmetriske norske kommunevåpnene. Ser vi imidlertid nøye etter så vil vi se at to av kommunevåpnene på bildet ikke er helt symmetriske. Kan du se hvilke? 3 3. Røros, Hjelmeland og Eidsvoll er ikke helt symmeriske. Man må imidlertid ha et bedre bilde av Eidsvold for å se at Eidsvoll ikke er symmetrisk

40 5.3 Strikkemønster Matematikk og Ornamentikk Klær er ofte smykket med symmetriske mønster. Strikkevotter er intet unntak. Vottene til venstre har en meget tydelig symmetriakse langs midten av mønsteret. Hovedmotivet er en åttebladet rose. Utvalget av slike mønster er stort og bildene under viser mange eksempler. Ikke alle er like symmetriske og noen er symmetriske i deler av mønsteret. Vottene er strikket av Maria Nordvik og hentet fra artikkelen Strikkevottenes høye beskytter i Ukeadressa 3. januar Bildene under viser flere eksempler på strikkemønster på votter fra samme artikkel. Oppgave: En enkel og illustrativ oppgave er å tegne den ene halvdelen av et vottemønster (figuren til høyre). Ved hjelp av planspeilet kan en gjøre mønsteret speilsymmetrisk om en langsgående akse (stiplet linje på figuren). Dernest kan en tegne det symmetriske mønsteret og erfare speilsymmetriens grunnleggende regler

41 Bildene er tatt av Jens Petter Søraa (Adresseavisen) og gjengitt med tillatelse. 5.4 Symmetriske bokstaver La oss til slutt i dette kapittelet se på noen overraskende eksempler på speilsymmetri CHECKED OK / ALL WRONG Bruk et reagensrør, tykkelse og lengde er ganske ukritisk, men et rør med en diameter på ca. 13 mm passer til de runde skivene under. Fyll røret med kokt vann, og press en kork inn i åpningen, slik at vannet stenges inne uten luftbobler. Fordelen med å bruke kokt vann er at det inneholder lite luft. På den måten unngår vi at det dannes luftbobler. Vann Vi har nå laget en sylindrisk linse med spesielle egenskaper. Skriv følgende to ord med fonten Albertus eller New Times Roman 4. Ordene på figuren er skrevet med Albertus. CHECKED OK ALL WRONG 4. Disse to fontene har bokstaver som er symmetriske i formen

42 Hold vannlinsen over de to ordene i passende avstand og observer hva du ser gjennom linsen. Du vil da observere følgende: CHECKED OK CHECKED OK ser ut til å være uforandret og stå rett vei. Mens ALL WRONG er snudd på hodet. Hvordan kan dette ha seg? Har det noe med fargen på teksten å gjøre, eller er det noe annet lureri? Oppgave: Lag linsen, skriv teksten på et papir, og la elevene prøve å finne årsaken til dette merkelige fenomenet. Dersom elevene synes dette er vanskelig å forklare, fortell dem at forklaringen på fenomenet ligger nærmere matematikken enn fysikken. Årsaken til dette fenomenet finner vi i at noen bokstaver er symmetriske om en horisontal akse. Dersom vi undersøker bokstavene i ordene CHECKED OK, ser vi at alle er symmetriske om en horisontal linje. Dette gjelder ikke bokstavene i ordene ALL WRONG. Vi kan derfor konstatere at begge ordene blir snudd gjennom linsen, men siden CHECKED OK er symmetrisk, vil ordet se likedan ut selv om det er snudd på hodet. La denne oppgaven være introduksjonen til symmetri i matematikken. Øvelsen kan også brukes i forbindelse med optikk og linser i naturfag. Oppgave La elevene finne de bokstavene i alfabetet som er symmetriske langs den horisontale aksen. Utfordre dem til å lage meningsfulle ord og uttrykk bare satt sammen av disse bokstavene. La oss se på en annen oppgave som er knyttet til en annen symmetri hos bokstaver Hemmelig speilskrift Hos en glassmester kan en for en billig penge, skaffe seg biter av halvgjennomsiktig speil. Ved å montere en rektangulær speilbit i en holder slik at den kan stå på bordet, kan vi utføre noen enkle eksperimenter for å demonstrere vertikal aksesymmetri hos bokstaver