Veiledning til kapitlene i TM 7A og 7B

Transkript

1 Veiledning til kapitlene i TM 7A og 7B Kapittel 1 God start Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne beskrive plassverdisystemet for de hele tallene, bruke positive og negative hele tall, enkle brøker og desimaltall i praktiske sammenhenger, og uttrykke tallstørrelser på varierte måter Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne plassere brøker på tallinjen finne felles nevner utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøker Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet repetere brøkbegrepet sammenligne brøker med ulike nevnere plassere brøker og blandede tall på tallinjen repetere begrepet likeverdige brøker repetere addisjon og subtraksjon av brøker med felles nevner repetere addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere Innledende aktivitet Størst brøk Antall spillere: 2 Dere trenger: En kortstokk uten bildekort Beskrivelse: Del kortstokken i to like store deler slik at hver spiller har like mange kort. Kortene legges i bunker med baksiden opp. Hver spiller trekker nå samtidig de to øverste kortene fra sin bunke og lager en brøk. Kortet med lavest verdi skal være teller. Den spilleren som får den største brøken vinner omgangen og stikket. Gjenta til det ikke er flere kort igjen. Den spilleren som har fått flest stikk, vinner spillet. Tegn gjerne opp et skjema som nedenfor på tavla som elevene kan bruke til hjelp når de sammenlikner brøkene. Da er det enkelt å se at for eksempel

2 1-del 2-deler 3-deler 4-deler 5-deler 6-deler 7-deler 8-deler 9-deler 10-deler

3 Veiledning til kapittel 1 Side 8 Vi repeterer brøk Oppgave 1-7 Brøkbegrepet brukes her brukes for å uttrykke en del av en helhet. Helheten må være delt i like store deler. Bruk ordene teller, nevner og brøkstrek aktivt for å øke bevisstheten om hva brøk er. Det er avgjørende at elevene oppfatter uttrykket tre av fem som 3, slik at deforstår brøknotasjonen. 5 Side 10 Oppgave 8-19 Bevisstgjør elevene på at en brøk representerer ett tall på tallinja og at nevneren forteller hvordan tallinja skal markeres/deles opp. Eksempel Femdeler betyr at vi må dele inn i fem like deler, syttendeler betyr at vi må dele inn i sytten like deler osv. Side 12 Oppgave 20 La de elevene som trenger det få støtte seg til tannlinjen, slik at de får oversikt over de forskjellige tallverdiene. Side 13 Oppgave 21 Utviding av brøk repeteres gjennom presentasjonen i teoriruten øverst på side 13. Dette kan brukes som en halvkonkretisering og sammenholdes med tavlen på side 10. Side 14 Oppgave Utviding av brøk gjennomføres etter prinsippet om at alle tall kan multipliseres med 1 uten at tallet forandrer verdi. 1 kan skrives som brøk med samme tall i teller og nevner. Diskuter valg av nevner ut fra teoriruten øverst på side 14. Oppgave Arbeid med addisjon og subtraksjon når brøkene har felles nevner. Side 15 Oppgave 28 Arbeid med addisjon og subtraksjon når brøkene skal adderes/subtraheres fra 1. Fokus på at

4 osv. avhengig av situasjonen. Dette er med på å styrke bevisstheten om hvordan en brøk er bygd opp. Oppgave Arbeid med addisjon og subtraksjon når brøkene ikke har felles nevner. Fokuser på at vi noen ganger må utvide begge brøkene og andre ganger bare den ene. Side 16 Oppgave Utviding av brøk satt inn i praktiske sammenhenger. Kontekstene er tenkt som konkretisering for å oppnå mest mulig soliditet i elevenes brøkbegrep.

5 Kapittel 2 Tall og tallforståelse Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne beskrive plassverdisystemet for de hele tallene, bruke positive og negative hele tall, enkle brøker og desimaltall i praktiske sammenhenger, og uttrykke tallstørrelser på varierte måter Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne beskrive plassverdisystemet for desimaltall plassere positive og negative hele tall på tallinjen plassere desimaltall, brøker og prosent på tallinjen Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet lære å skrive både hele tall og desimaltall på utvidet form repetere begrepene naturlige tall og hele tall lære begrepene sammensatte tall og primtall lære begrepene faktorisering og primtallsfaktorisering repetere oddetall og partall Innledende aktivitet Dagens tall La elevene velge hvert sitt tall. Nå skal de lage gåter til disse tallene og så skal de andre elevene gjette hvilket tall det er. Eksempel Tallet 12: Det er så mange som det er i et dusin. Det er to dager færre enn i to uker. Det er så mange måneder i et år.

6 Veiledning til kapittel 2 Side 20 Ulike typer tall Drøft med elevene hvor mange ulike typer tall vi har. Gjennomfør en idédugnad i gruppen der elevene kommer med sine forslag. Målet er at elevene skal kjenne naturlige tall, hele tall og rasjonale tall. Noen vet nok også om de irrasjonale tallene. Understrek at de irrasjonale tallene må være med hvis vi skal kunne betrakte tallinjen som tett. Elevene lærer at både de positive og de negative hele tallene hører til de hele tallene. De skal få innsikt i at tallsystemet vårt er bygd opp fra de naturlige tallene, ved telletallene, til de rasjonale tallene som presenteres i teoriruten på side 23. Gjør elevene oppmerksomme på at vi har flere typer tall (de irrasjonale tallene) for at tallinjen skal være tett. Bruk gjerne sirkelen og pi som eksempel. Side 21 Oppgave 1-3 Vi setter fokus på noen av de forskjellige uttrykkene elevene møter når de arbeider med tallteorien. Oppgave 4-8 Repeter med elevene hvordan de negative tallene er plassert på tallinjen og la dem oppdage at de hele tallene speiler seg om null. Side 23 De brøkene vi har skrevet opp her, er tideler som direkte refererer til en plass i titallsystemet vårt. Få fram at et desimaltall med en desimal forteller hvor mange tideler vi har i tillegg til de hele. Side 24 Oppgave 9-13 Arbeid med størrelsen til brøk og desimaltall for positive og negative tall. Side 25 Utvidet form Diskuter med elevene at de gule tallene på tavla er siffer. For å vite hvor stort et tall er, må vi kjenne verdien til plassen sifferet står på. Bevisstgjør elevene på begrepet utvidet form og få fram forskjellen mellom siffer og tall. Eksempel

7 3724 er et tall som består av fire siffer. Sifferet 3 står på tusenplassen og representerer verdien 3000, sifferet 7 står på hundreplassen og representerer verdien 700, osv. Oppgave Vi skriver tall på utvidet form. Noen av oppgavene fokuserer på null som plassholder. Disse bør spesielt trekkes frem for elevene under muntlige øvinger. Side 26 Oppgave Her fokuserer en direkte på plassverdisystemtenkingen. Oppgaver med fokus på plassverdisystemet, for å legge grunnlag for desimaltallforståelsen. Presiser for elevene hvilken funksjon desimaltegnet har. Desimaltegnet er alltid plassert mellom enerne og tidelene i et tall. Når et desimaltall skrives på utvidet form, blir dette tydelig. Side 27 Oppgave Oppgavene vektlegger forståelse av plassverdisystemet for desimaltall. Bevisstgjør elevene på at et siffer har verdi etter hvor det er plassert i tallet. Side 28 Oppgave Oppgavene fokuserer på null som plassholder i desimaltall. Merk at noen elever tenker symmetri om desimaltegnet når det gjelder verdien på plassene. Side 29 Partall og oddetall La elevene erfare at noen tall er delelige med to og at andre ikke er det. Hva er det som skiller disse tallene fra hverandre Partall og oddetall er begreper som hører til de naturlige tallene. Tegningen illustrerer henholdsvis partall og oddetall, og vil bli brukt under arbeidet med addisjon og subtraksjon. Side 30 Oppgave Konkretisering av forskjellen mellom partall og oddetall. Oppgave Oppgavene belyser regneoperasjonen addisjon brukt på henholdsvis oddetall og partall. Egenskapene til partall og oddetall vil seinere bli brukt som utgangspunkt for oppbygging av tallmønster, for eksempel figurtall.

8 Side 31 Oppgave Begynnende arbeid med tallmønster. I oppgave 38 og 41 bør elevene benytte ark med kvadratiske ruter. Side 32 Sammensatte tall og primtall Drøft med elevene om det er mulig å lage flere multiplikasjonsstykker av alle tall. Primtallene ses ofte på som byggesteinene i tallsystemet vårt. Det er sentralt å vektlegge at primtallene bare kan faktoriseres på én måte med to faktorer, og at dette alltid er 1 og tallet selv. Side 33 Oppgave Bevisstgjør elevene på forskjellen mellom primtall og sammensatte tall. Oppgave Forøvelser til primtallsfaktorisering. Definisjon av primtallsfaktorisering. Side 34 Oppgave Elevene skal se forskjellen på faktorisering og primtallsfaktorisering. Gjør dem oppmerksomme på at primtallsfaktorisering brukes for å være sikker på at brøker blir forkortet så mye som mulig. Oppgave 53 Felles problemløsing Side 35 Kan jeg Oppgave 1-7 Oppgavene viser om elevene kan plassere negative tall og brøker riktig på tallinjen. Side 36 Oppgave 8-10 Forståelse av plassverdisystemet. Side 37 Oppgave Partall og oddetall

9 Oppgave Forskjellen på primtall og sammensatte tall. Oppgavene viser om elevene forstår forskjellen på faktorisering og primtallsfaktorisering. Side 38 Symbol: Måne Jeg regner mer Oppgave Drilloppgaver for elever som ikke er sikre på de grunnleggende begrepene knyttet til hele tall. Oppgave Tallskriving med null som plassholder. Side 39 Oppgave Repetisjon av plassverdisystemet. Oppgave Partall og oddetall Oppgave Plassering av negative tall på tallinjen. Side 40 Oppgave Plassverdisystemet Oppgave Primtall og sammensatte tall. Oppgave Bevisstgjøring av forskjellen på faktorisering og primtallsfaktorisering. Side 41 Symbol: Sol Oppgave Oppgavene skal bevisstgjøre elevene på at også de negative tallene vokser mot høyre. Oppgave 77 Fokus på null som plassholder i titallsystemet vårt. Oppgave 79d Diagnostisk oppgave for å avdekke om noen av elevene tenker på desimaltall som par av to hele tall. Oppgave Arbeid med egenskapene til partall og oddetall opp mot regneoperasjonene addisjon og multiplikasjon.

10 Side 42 Oppgave Oppgavene har fokus på primtall og primtallsfaktorisering. Bevisstgjør elevene igjen på at vi bruker primtallsfaktorisering for å være sikker på at brøker blir forkortet så mye som mulig.

11 Kapittel 3 Multiplikasjon Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn bruke den lille multiplikasjonstabellen og gjennomføre multiplikasjon og divisjon i praktiske situasjoner Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne algoritmer for multiplikasjon av hele tall og desimaltall, skriftlig regning Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet repetere multiplikasjon med dekadiske enheter, hoderegning øve på algoritme for å multiplisere tosifrede tall øve på algoritme for å multiplisere tosifret tall med tresifret tall bli kjent med algoritme for å multiplisere desimaltall med hele tall bli kjent med algoritme for å multiplisere desimaltall med desimaltall Innledende aktivitet Best av 10 Antall spillere: 2 Dere trenger: Kalkulator, skrivesaker, to bunter med kort nummerert fra 11 til 20: Beskrivelse: De 20 kortene blandes og legges i en bunke på bordet med baksiden opp. Velg så et tall mellom 1 og 10. Nå skal tallene på alle kortene multipliseres med dette tallet. Den ene spilleren trekker det øverste kortet og multipliserer i hodet det valgte tallet med tallet på kortet. Kontroller svaret med kalkulatoren og noter produktet som er antall poeng. Fortsett annenhver gang til begge har trukket 10 kort. Den som til slutt har fått flest poeng, har vunnet første spill. Nå velges et annet tall mellom 1 og 10 og spillet fortsetter på samme måte. Når alle tall mellom 1 og 10 er brukt opp, er hele spillet ferdig.

12 Veiledning til kapittel 3 Side 48 Multiplikasjon med tall som ender på null Drøft med elevene hvordan de tenker når de arbeider med hele tiere og hundrere. Fokuser på de ulike strategiene som elevene bruker og på at dette er hoderegningsoppgaver. Elevene lærer her at faktorenes orden er likegyldig og at dette er viktig å bruke som strategi når multiplikasjonsstykker skal utføres i hodet. Spesielt er dette en anvendbar strategi når tallene vi multipliserer er tierpotenser. Side 49 Oppgave 1-5 Trening på å se hvilke faktorer som en må skilles ut før vi kan multiplisere. Side 50 Oppgave 6-8 Oppgavene er vinklet mot praktiske situasjoner der det er naturlig å benytte hoderegning. Oppgave 9 Diagnostisk oppgave som avdekker om elevene har et solid multiplikasjonsbegrep. Side 51 Multiplikasjon av flersifrede tall Går det an å finne det nøyaktige tallet uten å telle opp plassene Hvilken benevning har tallene vi multipliserer Synliggjør for elevene at vi får plasser til benevning fordi det er 46 rader og 32 plasser per rad. Her presenteres en standardalgoritme for multiplikasjon av to tosifrede tall. La elevene forklare utregningen i algoritmen og gjenta md andre regnestykker. Åpne også for at elever som behersker andre algoritmer får benytte disse hvis de ønsker det. Viktig at de klarer å forklare den metoden de benytter. Side 52 Oppgave Algoritmeregning. Oppgave Multiplikasjon av to tosifrete tall. Bruk av algoritme.

13 Her møter elevene den samme algoritmen som de brukte på tosifrete tall. Overfør tenkningen fra multiplikasjon av to tosifrete tall til å gjelde for multiplikasjon av et tresifret tall med et tosifret tall. Muntlig aktivitet bør brukes for å fremme forståelsen for algoritmene de anvender. Side 53 Oppgave Algoritmeregning. Elevene bør sette ord på det de gjør i minst en av oppgavene. Oppgave Her står faktoren med to siffer først. La elevene forstå at rekkefølgen på faktorene er likegyldig, slik at det går an å snu regnestykket før oppstilling hvis det er hensiktsmessig. Side 54 Oppgave 21 Utforskingsoppgave. La gjerne elevene samarbeide for å fremme muntlig aktivitet. Oppgave Elevene må her forholde seg til hvilke benevningene til tallene som skal multipliseres. Tallene bør ha benevning i oppstillingen, hvis ikke anbefales å lage en svarsetning til slutt med benevnte tall. Side 56 Multiplikasjon av desimaltall med 10 og 100 La elevene oppdage at desimaltegnet alltid markerer skillet mellom enere og tideler. Når vi multipliserer med 10 eller 100, vil da desimaltegnet flytte seg henholdsvis én eller to plasser mot høyre. Grunnlaget for å forstå hvorfor desimaltegnet flyttes én eller to plasser mot høyre når vi multipliserer et desimaltall med 10 eller 100, ligger i plassverdisystemet. Her er kroner brukt som eksempel for å øke forståelsen til elevene. Oppgave Trening i å flytte desimaltegnet ved multiplikasjon med 10 og 100. I noen av oppgavene kan elevene oppfordres til å sette ord på det de gjør og forklare hvorfor svaret blir 10 eller 100 ganger større enn utgangspunktet. Side 58 Multiplikasjon av desimaltall med hele tall Hvilken praktisk nytte har vi av å kunne behandle desimaltall Oppfordre elevene til å komme med eksempler spesielt knyttet til måling.

14 Vi bruker overslag for å kunne plassere desimaltegnet riktig. Algoritmen som presenteres er nøyaktig den samme som elevene har lært for multiplikasjon av flersifrede tall. Tydeliggjør for elevene riktig plassering av desimaltegnet Side 59 Oppgave Multiplikasjon av et desimaltall med et helt ensifret tall. La elevene forklare plasseringen av desimaltegnet. Side 60 Multiplikasjon av et desimaltall med et tosifret tall. Vi bruker den samme algoritmen som vi tidligere har brukt for multiplikasjon av flersifrede hele tall. Desimaltegnet plasseres etter at vi har gjort overslag. Oppgave Multiplikasjon av et desimaltall med et helt tosifret tall. Desimaltegnet plasseres etter at vi har gjort overslag. Side 62 Multiplikasjon av desimaltall med desimaltall Vi bruker arealtenking som utgangspunkt for multiplikasjon av to desimaltall. Algoritmen som brukes for multiplikasjon av to tosifrete tall gjentas for desimaltallene. Plassering av desimaltegnet skjer etter regelen om at svaret skal ha like mange desimaler som de to tallene vi multipliserer har til sammen. Oppfordre elevene til å bruke overslag for å sikret at desimaltegnet blir riktig plassert. Oppgave 44 Repetisjon av titallsystemets oppbygging, med fokus på desimaltallene og hvilke verdier sifrene etter desimaltegnet representerer. Side 63 Oppgave Algoritmeregning med desimaltall. Oppfordre elevene til å gjøre overslag for å kontrollere at svarene er rimelige. Side 64 Oppgave 49 I denne oppgaven representerer tallene målte størrelser, og elevene oppdager nødvendigheten av å kunne multiplisere to desimaltall.

15 Oppgave Multiplikasjon av to desimaltall. Oppfordre elevene til å gjøre overslag for å kontrollere at svarene er rimelige. Oppgave 54 La elevene oppdage forskjellen på multiplikasjon av to målte størrelser, der begge faktorene har benevning, og multiplikasjon av to tall der bare én av faktorene har benevning. Oppgave a gir et areal der benevningen er m 2, mens oppgave b bare gir en ny lengde. Side 65 Oppgave Multiplikasjon med desimaltall i praktiske situasjoner. Oppgave 59 Felles problemløsing. Side 66 Kan jeg Oppgave 1 Oppgaven avdekker om elevene forstår at faktorenes orden er likegyldig. Oppgave 2 og 5 Minst én av faktorene i regnefortellingen skal ha benevning. Merk at produktet også har benevning. Side 67 Oppgave 6-9 Oppgavene fokuserer på elevenes ferdigheter når det gjelder bruk av algoritmer. Vektlegg ryddig oppstilling og bruk av overslag for å kontrollere at svarene er rimelige. Oppgave Praktiske oppgaver med fokus på tallenes benevninger. Side 68 Oppgave 12 Diagnostisk oppgave som avdekker om elevene har innsikt i plassverdisystemet. Oppgave 13 Praktisk rettet oppgave der desimaltallene er målte størrelser. Merk at multiplikasjon av to tall med benevning gir et tall med ny benevning. Oppgave Praktiske oppgaver. Oppgave Primtall, sammensatte tall og primtallsfaktorisering.

16 Side 69 Symbol: Måne Jeg regner mer Oppgave Hoderegningsoppgaver. La elevene skrive hele stykkene. Side 70 Oppgave Praktiske oppgaver med fokus på benevningene. Oppgave Algoritmeregning. Oppfordre elevene til å forklare hvordan de tenker når de regner. Oppgave Praktiske oppgaver med fokus på benevningene. Oppgave 71 Oppfordre elevene til å gjøre overslag for å kontrollere at svarene er rimelige. Oppgave 72 Algoritmeregning. Side 71 Symbol: Sol Oppgave Praktiske oppgaver med fokus på benevningene. Oppgave Eksperimentering og utforsking. Oppgave 77 Praktiske oppgaver. Gjør elevene oppmerksomme på at summen vi betaler i forretninger alltid blir rundet av til nærmeste 50-øring. Side 72 Oppgave Praktiske oppgaver med fokus på benevningene. Side 73 Oppgave 85 Prioritering av regneoperasjonene. Multiplikasjon og divisjon må utføres før addisjon og subtraksjon. La elevene skrive hele stykket og ikke bare svarene. Skriveprosessen er med på å bevisstgjøre elevene på hvordan de regner.

17 Kapittel 4 Divisjon 1 Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne bruke den lille multiplikasjonstabellen og gjennomføre multiplikasjon og divisjon i praktiske situasjoner Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne algoritmer for divisjon av hele tall og desimaltall, skriftlig regning Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet repetere divisjon med dekadiske enheter, hoderegning øve på algoritme for å dividere tosifrede tall med ensifret tall øve på algoritme for å dividere tresifret tall med ensifret tall bli kjent med algoritme for å dividere desimaltall med ensifret tall bli kjent med hvordan vi behandler resten når divisjonen ikke går opp Innledende aktivitet Kingo Hver elev tegner et rutenett på 3 3 ruter i kladdeboka si. Deretter fordeles sifre fra 0 til 9 i rutene. Hvert siffer kan brukes så mange ganger som ønskelig. Eksempel Nå leser læreren opp divisjonsstykker som gir svar med rest mellom 0 og 9. Elevene krysser av resten i rutenettet sitt, hvis de har ført opp dette sifferet. Den som først får tre kryss på rad vannrett, loddrett eller diagonalt får KINGO. Den som først får ni kryss, får SUPERKINGO! Eksempel

18 Hvis læreren leser opp regnestykket 35 : 4, blir svaret 8, rest 3. De elevene som har 3 i rutenettet sitt, krysser av dette sifferet.

19 Veiledning til kapittel 4 Side 78 Divisjon med 10 og 100 Drøft med elevene hvordan vi kan dividere et tall med 10 eller 100. Fokuser på de ulike strategiene og la elevene forklare hvordan de tenker. Når vi dividerer et tall med 10 eller 100, flytter vi desimaltegnet henholdsvis én eller to plasser mot venstre. I dette eksempelet har dividenden kroner som benevning, for at elevene skal kunne tenke ut fra en kjent kontekst. Side 79 Oppgave 1-2 Divisjon av enkle, hele tall med 10 og 100. Oppfordre elevene til å forklare hvordan de tenker. Elevenes forståelse av plassverdisystemet er sentralt for å kunne plassere desimaltegnet riktig når vi dividerer et helt tall med 10 eller 100. Fokuser på: 5 = 05 = 005 = 0005 osv. Oppgave 3-10 Øvelse i å plassere desimaltegnet riktig når vi dividerer et helt tall med 10 eller 100. Side 80 Oppgave Praktiske oppgaver der vi anvender divisjon. Oppfordre elevene til å bruke multiplikasjon for å kontrollere om svarene er korrekte. Oppgave 14 La elevene presentere fortellingene sine og forklare valg av benevninger. Side 81 Divisjon av flersifrede tall Hvordan kan vi regne ved divisjon av flersifrete tall La elevene oppdage hensiktsmessigheten ved å bruke en standardalgoritme. Divisjon av et tosifret tall med et ensifret tall. La elevene forklare gangen i algoritmen og bruk flere eksempler. Åpne også for at elever som behersker andre algoritmer får bruke disse. Det er viktig at de klarer å forklare den metoden de bruker.

20 Side 82 Oppgave Algoritmeregning. Oppgave Tekstoppgaver med divisjon som viser tosidigheten ved divisjonsbegrepet. Oppgave 18 og 20 har kontekst som går mot delingsdivisjon, mens oppgave 19 har kontekst som går mot målingsdivisjon. Vær oppmerksom på riktig bruk av benevning. Side 83 Divisjon av et tresifret tall med et ensifret tall. La elevene forklare gangen i algoritmen og bruk flere eksempler. Bevisstgjør elevene på at dette er akkurat den samme algoritmen som de brukte ved divisjon av et tosifret tall på et ensifret tall. Oppgave Algoritmeregning. Oppgave Praktiske oppgaver med divisjon. Oppfordre elevene til å bruke multiplikasjon for å kontrollere om svarene er korrekte. Side 84 Vi bruker den samme algoritmen som på side 83, men nå er det ikke mange nok hundrere til at det blir noen hundrer i kvotienten. Overfør tenkningen fra side 83 og skriv en null på hundrerplassen (trenger selvfølgelig ikke å markeres etter hvert). Merk at hundrerne blir vekslet om til tiere før de blir delt ut. Side 85 Oppgave Algoritmeregning. Oppgave Praktiske oppgaver med divisjon. Oppfordre elevene til å bruke multiplikasjon for å kontrollere om svarene er korrekte. Side 86 Divisjon av et flersifret tall med et tosifret tall. La elevene forklare gangen i algoritmen og bruk flere eksempler. Bevisstgjør elevene på at dette er den samme algoritmen som vi bruker ved divisjon med et ensifret tall.

21 Oppgave Algoritmeregning. Oppgave 36 Diagnostisk oppgave knyttet til delingsdivisjon. Side 87 Divisjon av desimaltall I denne problemstillingen er måletallet et desimaltall. La elevene oppdage at vi kan gjøre om dividenden til et helt tall ved endre på måleenheten. Eksempel 2,4 liter : 4 = 24 dl : 4 Vi plasserer desimaltegnet etter enerne i svaret når vi ikke kan dele ut flere enere likt. Samtidig veksler vi enerne til tideler og fortsetter utdelingen. Bevisstgjør elevene på at det er ellers er den samme algoritmen som tidligere vi bruker. Side 88 Oppgave Algoritmeregning. Oppgave Praktiske oppgaver med divisjon der dividenden er et desimaltall. Oppfordre elevene til å bruke multiplikasjon for å kontrollere om svarene er korrekte. Side 89 Vi bruker den samme algoritmen som på side 87, men nå er det ikke mange nok enere til at det blir en hel ener i kvotienten. Overfør tenkningen fra side 87 og skriv en null på enerplassen (trenger selvfølgelig ikke å markeres etter hvert). Bevisstgjør elevene på at enerne blir vekslet om til tideler før de blir delt ut og at tidelene plasseres etter desimaltegnet i svaret. Oppgave Praktiske oppgaver med divisjon. Side 90 Oppgave Algoritmeregning med benevnte tall. Oppfordre elevene til å gjøre om målenhetene slik at dividenden blir et helt tall.

22 Side 90 Oppgave 51 Diagnostisk oppgave knyttet til delingsdivisjon. Side 91 Rest i divisjon Elevene er kjent med divisjonsstykker som ikke går opp et helt antall ganger. Nå skal vi også dele ut resten, noe som ofte er aktuelt i praktiske sammenhenger og når vi regner med måleenheter. Drøft med elevene eksempler på praktiske situasjoner der det er hensiktsmessig å dele ut resten. Her møter elevene den samme algoritmen som de brukte på side 81, men kvotienten blir ikke et helt tall. I praktiske situasjoner fir dette noen ganger mening, andre ganger ikke. Noen ganger går divisjonen opp med én desimal, noen ganger med to desimaler osv. Drøft med elevene om det er slik at alle divisjoner går opp bare vi fortsetter algoritmen lenge nok. Side 92 Oppgave Algoritmeregning. Fokuser på hvor mange desimaler det er i kvotientene. Oppgave 54 Drøft med elevene hvor mange desimaler det er rimelig å ha med når vi behandler kroner, liter, kilometer og kilogram. Ta gjerne med en tabell over valutakurser slik at elevene oppdager at antall desimaler som er nyttige er avhengig av situasjonen. Når et divisjonsstykke ikke går opp, og vi får flere desimaler i svaret, må vi vurdere hvor mange desimaler som er hensiktsmessig å ha med. Gjør elevene oppmerksomme på at hvis desimalene kommer igjen og igjen i samme rekkefølge, har vi et periodisk desimaltall som alltid kan skrives som en brøk med et hel tall i teller og et helt tall i nevner. Side 93 Oppgave Algoritmeregning der svaret skal ha én desimal. Når divisjonsstykket ikke går opp, må elevene regne til de har fått to desimaler og så runde av svaret slik som vist på side 92. Oppgave 61 Felles problemløsing. Side 94 Kan jeg Oppgave 1-2 Divisjon med 10 og 100. Oppgavene løses som hoderegning.

23 Oppgave 4 Elevene skal ta stilling til hvor mange desimaler det er hensiktsmessig å ha med i svaret. Merk at 1 krone = 100 øre, slik at det ikke er hensiktsmessig å ha med mer enn to desimaler i svaret. Oppgave 5-7 Algoritmeregning. Side 95 Oppgave 8 Praktisk oppgave med divisjon. Pass på at benevningen i oppgaven og svaret blir riktig. Oppgave 10 Algoritmeregning. Side 96 Oppgave 12 Praktisk oppgave knyttet til målingsdivisjon. Fokuser på at tallene som skal divideres har benevning og at disse benevningene bestemmer benevningen i svaret. Side 97 Symbol: Måne Jeg regner mer Oppgave Hoderegningsoppgaver. Oppfordre elevene til å skrive hele stykkene. Oppgave Algoritmeregning. Oppgave Divisjon med avrunding av desimaltallene i svarene. Side 98 Oppgave Praktisk oppgave. Fokuser på at tallene som skal divideres har benevning og at disse benevningene bestemmer benevningen i svaret. Side 100 Symbol: Sol Oppgave 75 Oppfordre elevene til å prøve seg fram i oppgaveløsingen og bevisstgjør dem på at divisjon og multiplikasjon er motsatte regneoperasjoner. Vi finner dividenden ved å multiplisere kvotienten med divisoren. Oppgave 76 Overslagsregning. La elevene skrive hele stykkene.

24 Oppgave Algoritmeregning med divisjonsstykker som går opp. Oppgave Algoritmeregning og avrunding av svaret til én desimal. Oppgave Praktiske oppgaver med fokus på benevningene.

25 Kapittel 5 Avrunding og overslag Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne gjøre overslag over og finne tall ved hjelp av hoderegning, tellemateriell og skriftelige notater, gjennomføre overslagsregning med enkle tall og vurdere svar Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne utvikle metoder for hoderegning og overslag bruke metoder for hoderegning og overslag Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet bli bevisste på reglene for avrunding av tall og skille dette fra overslag øve på å gjøre overslag i addisjonsstykker øve på å gjøre overslag i subtraksjonsstykker øve på å gjøre overslag i multiplikasjonsstykker øve på å gjøre overslag i divisjonsstykker Innledende aktivitet Kingo Hver elev tegner et rutenett på 3 3 ruter i kladdeboka si. Deretter fordeles hele tiere fra 0 til 100 i rutene. Hvert tall kan brukes så mange ganger som ønskelig. Eksempel Nå leser læreren opp tall som elevene runder av til nærmeste titall. Elevene krysser av tallet i rutenettet sitt, hvis de har ført opp dette tallet. Den som først får tre kryss på rad vannrett, loddrett eller diagonalt får KINGO. Den som først får ni kryss, får SUPERKINGO! Eksempel

26 Hvis læreren leser opp tallet 28, runder elevene tallet av til 30. De elevene som har 30 i rutenettet sitt, krysser av dette tallet. Variasjon Før opp hele hundretall i rutenettet og rund av til nærmeste hundretall. Les opp regnestykker som elevene finner svaret på ved å gjøre overslag: = 60

27 Veiledning til kapittel 5 Side 106 Avrunding Drøft med elevene hvilke siffer som avgjør om vi runder av oppover eller nedover på tallinjen. Når vi skal runde av en tallstørrelse til nærmeste tier, er det antall enere som avgjør hvilket tall vi runder av til. Gjør elevene oppmerksomme på at avrunding til nærmeste hundrer på samme måte bestemmes av antall tiere, avrunding til nærmeste tusener av antall hundrere osv. Side 107 Oppgave 1-6 Arbeid med avrundingsreglene. Side 108 Oppgave 7-13 Avrunding av desimaltall. Bruke gjerne tallinjen som konkretisering. Da oppdager elevene at vi kan generalisere regelen for avrunding av hele tall til også å gjelde for desimaltall. Hvis vi skal runde av et tall til nærmeste tidel, må vi vite hvor mange hundredeler tallet har. Hvis vi skal runde av et tall til nærmeste hundredel, må vi vite hvor mange tusendeler tallet har, osv. Side 109 Oppgave Praktiske oppgaver med avrunding. Bevisstgjør elevene på at avrundede tall ikke lenger er nøyaktige tall. Side 110 Oppgave Avrunding av tall til nærmeste hundredel. Oppgave Eksperimentering og utforsking. Side 111 Overslag i addisjon Drøft med elevene i hvilke praktiske situasjoner det kan være hensiktsmessig å bruke overslag, og hvor nøyaktige overslagene bør være i hvert enkelt tilfelle. Ved overslagsregning kan flere verdier være like gode. Det sentrale er at vi klarer å regne med verdiene i hodet og at vi er oppmerksomme på om overslagene gir høyere eller lavere verdi enn nøyaktig utregning.

28 Side 112 Oppgave Overslagsregning der overslagsverdiene skal være høyere eller lavere enn nøyaktig svar. Side 113 Oppgave Praktiske oppgaver med bruk av overslag. La elevene forklare hvordan de tenker. Side 116 Overslag i subtraksjon Drøft med elevene hvordan vi kan gjøre gode overslag i subtraksjon. Noen ganger er det hensiktsmessig med en høyere verdi enn nøyaktig utregning, og andre ganger en lavere verdi. I kjøp og salg situasjoner er det viktig å gjøre overslagene slik at vi har nok penger å betale med. Som ved addisjon, kan også flere overslagsverdier være like gode i subtraksjon. Det sentrale er at vi klarer å regne med verdiene i hodet og at vi er oppmerksomme på om overslagene gir høyere eller lavere verdi enn nøyaktig utregning. ide 117 Oppgave Drøft med elevene om det er mest hensiktsmessig å runde av begge leddene i subtraksjonsstykkene, eller bare ett av dem. Oppgave Overslagsregning der overslagsverdiene skal være høyere eller lavere enn nøyaktig svar. Side 118 Oppgave Praktiske oppgaver med bruk av overslag. La elevene forklare hvordan de tenker. Side 121 Overslag i multiplikasjon Drøft med elevene hvordan de vil gjøre overslaget. Hvordan kan vi runde av tallene slik at vi kan regne i hodet og svaret blir nærmest mulig nøyaktig verdi Ofte kan flere overslagsverdier være like gode for de samme faktorene ved multiplikasjon. Elevene må vurdere om svaret bør være lavere eller høyere enn nøyaktig verdi. Eksemplene viser hvordan vi kan tenke i multiplikasjon for å være sikker på at produktet enten blir for høyt eller for lavt. Dette er en viktig ferdighet i praktiske situasjoner.

29 Gjør elevene oppmerksomme på at vi ofte får gode overslag i multiplikasjon hvis vi runder av den ene faktoren oppover og den andre nedover. Dette kan eksemplifiseres ved å vise at når vi halverer den ene faktoren og dobler den andre, blir produktet uforandret. 3 8 = = = 24 Side 122 Oppgave Drøft med elevene hvordan det er mest hensiktmessig å runde av faktorene. Oppgave Overslagsregning knyttet til bestemte betingelser. Elevene må avgjøre hvilke faktorer det er mest hensiktsmessig å finne avrundingsverdier til for å fylle betingelsene. Side 123 Oppgave Overslagsregning i praktiske situasjoner. La elevene fortelle hvordan de tenker og argumentere for valg av avrundingsverdier. Side 124 Oppgave Utforsking og eksperimentering. Oppgavene utfordrer logisk tenkning og egner seg for samarbeid i mindre grupper. Side 126 Oppgave Overslagsregning i praktiske situasjoner. Oppgavene viser også at det å gjøre overslag ikke kan erstatte nøyaktig utregning. Det er viktig å beherske begge deler. Side 127 Overslag i divisjon Drøft med elevene hvordan de vil gjøre overslaget. Hvordan kan vi runde av tallene slik at vi kan regne i hodet og svaret blir nærmest mulig nøyaktig verdi Ofte kan flere avrundingsverdier være like gode for de samme tallene ved divisjon. Elevene må vurdere om svaret bør være lavere eller høyere enn nøyaktig verdi. Eksemplene på side 127 viser hvordan vi kan tenke i divisjon for å være sikker på at kvotienten enten blir for høy eller for lav. Dette er en viktig ferdighet i praktiske situasjoner.

30 Gjør elevene oppmerksomme på at vi ofte får gode overslag i divisjon hvis vi runder av både dividenden og divisoren samme vei, begge oppover eller nedover. Side 128 Oppgave I disse oppgavene skal elevene lete etter tall i multiplikasjonstabellen som de kjenner igjen. De får bare velge ett tall fritt, dividenden eller divisoren. Oppgave Her skal elevene runde av begge faktorene. Oppgavene viser at overslag i divisjon ofte blir best hvis både dividenden og divisoren rundes av samme vei. Oppgave Overslagsregning knyttet til bestemte betingelser. Elevene må avgjøre hvilke tall det er mest hensiktsmessig å finne avrundingsverdier til for å fylle betingelsene. Side 129 Oppgave 68 Felles problemløsing. Side 130 Kan jeg Oppgave 1-5 Bruk av avrundingsreglene. Oppgave 6-7 Overslagsregning i addisjon knyttet til bestemte betingelser. Elevene må avgjøre hvilke tall det er mest hensiktsmessig å finne avrundingsverdier til for å fylle betingelsene. Side 131 Oppgave 8 I disse oppgavene må det aksepteres at noen elever vil finne avrundingsverdier for begge leddene mens andre bare finner avrundingsverdier for ett av leddene. Oppgave 9 Overslagsregning i subtraksjon knyttet til bestemte betingelser. Elevene må avgjøre hvilke tall det er mest hensiktsmessig å finne avrundingsverdier til for å fylle betingelsene. Side 132 Oppgave 10 Overslagsregning med multiplikasjon. Oppgave Overslagsregning i divisjon knyttet til bestemte betingelser. Elevene må avgjøre hvilke tall det er mest hensiktsmessig å finne avrundingsverdier til for å fylle betingelsene.

31 Side 133 Symbol: Måne Jeg regner mer Oppgave Bruk av avrundingsreglene. Oppgave Trening i overslagsregning. Side 136 Symbol: Sol Oppgave Bruk av avrundingsreglene for desimaltall. Oppgave 88 La elevene drøfte hva Kaja har gjort feil. Side 137 Oppgave 89 La elevene diskutere i mindre grupper hvilke muligheter som her finnes. Det er flere regneoperasjoner i samme stykket og mange måter å tenke på som gir gode overslag. Oppgave Praktiske oppgaver med overslagsregning. Side 140 Oppgave 97 Oppgaven gir elevene innsikt i hvordan kvotienten i en divisjon endrer seg med de valg vi gjør for avrunding av dividend og/eller divisor.

32 Kapittel 6 Geometri 1 Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne kjenne igjen og beskrive trekk ved sirkler, mangekanter, kuler, sylindre og enkle polyeder tegne og bygge geometriske figurer og modeller i praktiske sammenhenger, medregnet teknologi og design kjenne igjen og bruke speilsymmetri og parallellforskyving i konkrete situasjoner lage og utforske geometriske mønster og beskrive dem muntlig Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne analysere egenskapene ved todimensjonale figurer beregne omkrets og areal av todimensjonale figurer, måling Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet kunne skille mellom ulike todimensjonale figurer, kjenne de ulike kriteriene repetere lengdeenheter og måling av lengder repetere arealenheter og måling av arealer bli kjent med formlene for å beregne arealet av rektangler, trekanter, parallellogram og sammensatte figurer bli kjent med sirkelens egenskaper bli kjent med formlene for å beregne omkrets og areal av en sirkel Innledende aktivitet Lengdeenheter Del elevene inn i grupper. Hver gruppe lager et skjema som vist nedenfor: Millimeter Centimeter Desimeter Meter Lastebåt

33 Kilometer Oslo-Hamar Nå skal elevene fylle inn et eksempel i hver rute på en gjenstand eller strekning som har omtrent denne lengden. Hør opp svarene etterpå. Gruppa med flest godkjente svar, vinner.

34 Veiledning til Kapittel 6 Side 146 Mangekanter Diskuter med elevene hvilke typer mangekanter de kjenner, og om det er noen mangekanter som har flere navn. Bruk gjerne konkreter. Eksempel Kan rektangel, parallellogram og firkant være navn på én og samme figur Er et rektangel også et parallellogram Er et rektangel en firkant Hvorfor bruker vi flere betegnelser på den samme figuren En mangekant er en lukket figur som er begrenset av tre eller flere linjestykker. Det er ingen andre krav utover dette. Det betyr at linjestykkene kan ha alle mulige lengder. Mangekanter trenger ikke ha noen regelmessig form. Vær oppmerksom på at enkelte elever bare tror det eksisterer regulære mangekanter i tillegg til trekanter og firkanter med spesielle navn (likebeint trekant, rettvinklet trekant, osv.) Oppgave 1 Mangekanter får navn etter hvor mange linjestykker de består av. Lengden på linjestykkene har ingen betydning bortsett fra at de må danne en lukket figur. Side 147 Oppgave 2-4 Vi arbeider med tangram for å få fram egenskapene til spesielle trekanter og firkanter. De elevene som arbeider raskest, bør få i oppgave å finne ut hvor mange av den minste trekanten det er plass til i hele tangrammet. La elevene trekke opp hjelpelinjer slik at alle de16 trekantene blir synlige. Side 148 Vi har tre hovedtyper av trekanter: likebeint trekant, likesidet trekant (regulær trekant) og rettvinklet trekant. Bevisstgjør elevene på at det stilles krav til vinkler og/eller linjestykker for hver kategori. Har vi en generell trekant, er det ingen slike krav. Oppgave 5-9 Arbeid med de tre hovedtypene av trekanter.

35 Side 149 Vi finner omkretsen av en figur ved å summere lengden av alle sidene. Ordet omkrets forkortes gjerne med O i utregningene. Oppgave Arbeid med omkrets. Oppgave 13c er diagnostisk. Vær oppmerksom på om elevene tar med 1,2 m én, to eller tre ganger. Side 152 Areal Drøft med elevene hvordan vi kan finne arealet av figurene på tavla. Bevisstgjør elevene på forskjellen mellom omkrets og areal. Areal sier noe om størrelsen av en flate. La elevene oppdage at arealet av trekanten er halvparten av arealet til rektangelet. Dette gjelder ikke for omkrets. Omkrets har lengdemål (f. eks. m)som benevning, mens areal har kvadratet av et lengdemål (f. eks. m 2 )som benevning. Side 153 Oppgave 14 De elevene som trenger det, kan tegne av figurene og tegne inn riktig antall kvadratcentimeter. Da kan de se hvor mange kvadratcentimeter hver figur består av. Oppgave Oppfordre elevene til å tegne skisser av figurene. Pass på at forholdet mellom sidene blir riktig hvis figurene forstørres eller forminskes. Side 154 Gjør elevene oppmerksomme på at vi i trekanter ofte bruker grunnlinje og høyde i stedet for lengde og bredde. Det er for å skille tydelig mellom figurene. Tegn gjerne forskjellige trekanter på tavla og sett opp formelen for arealet for hver trekant. Elevene trenger trening i å sette inn riktige verdier i formelen for så å regne ut arealet. Side 155 Oppgave 19 De elevene som trenger det, kan tegne av figurene og tegne inn riktig antall kvadratcentimeter. Da kan de se hvor mange kvadratcentimeter hver figur består av.

36 Side 156 Oppgave Oppfordre elevene til å tegne skisser av figurene. Pass på at forholdet mellom sidene blir riktig hvis figurene forstørres eller forminskes. Oppgave 23 I denne oppgaven skal elevene selv måle de nødvendige linjestykkene. Gjør elevene oppmerksomme på at vinkelen mellom grunnlinjen og høyden alltid er 90. Side 157 Parallellogram Hva er forskjellen på kvadrat, rektangel og parallellogram Bevisstgjør elevene på at kvadrat og rektangel er parallellogrammer og at parallellogram er en mer generell figur enn rektangel og kvadrat. Det er altså strengere krav til kvadrat og rektangel enn til parallellogram. I kvadrat og rektangel er det krav både til sidene og vinklene, mens det i parallellogram bare er krav til sidene. Rett oppmerksomheten mot både sider og vinkler for alle tre figurtypene. Påpek hvilke vinkler som er like store i parallellogrammet, selv om det ikke er annet krav til dem at to og to er parvis like store.. Dette følger av kravet om at to og to sider må være parvis parallelle. Side 158 Oppgave 24 Elevene setter navn på figurene på grunnlag av opplysninger om sidene. Oppgave Vi arbeider med figurer i riktige størrelser og regner ut omkrets og areal. Oppfordre elevene til alltid å tegne skisser av figurer de skal regne ut omkrets og areal av. Side 159 Oppgave 28 Arbeid med parallellogram og omkrets. Vi viser her hvordan vi finner arealet av et parallellogram. La elevene få klippe ut sine egne parallellogram på samme måte som vist i boka. Bevisstgjør elevene på høyden ikke er en av sidene i parallellogrammet. Hvis høyden skal være en av sidene i parallellogrammet, må parallellogrammet være et kvadrat eller et rektangel. Side 160 Oppgave 29 Arbeid med parallellogram og areal. Øvelse i å finne høyden i et parallellogram.

37 Oppgave Arbeid med parallellogram og areal. Gjør elevene oppmerksomme på at vinkelen mellom grunnlinjen og høyden alltid er 90. Side 161 Oppgave 33 Vi finner arealet av ulike trekanter og firkanter. Skriv alltid opp formelen for arealet først, før de ulike verdiene med benevninger settes inn i formelen. Fokuser spesielt på at benevning for areal er kvadratformen av en måleenhet, f. eks. m 2. Side 162 Sammensatte figurer Til nå har vi arbeidet med arealet av trekanter og firkanter. En figur som er satt sammen av to eller flere forskjellige flater kan vi kalle en sammensatt figur. For å regne ut arealet av en slik figur, må vi dele den opp i flater vi kan regne ut arealet av, og så summere arealene til slutt. Drøft med elevene hvordan vi kan regne ut arealet av husveggen på side 162. Husveggen består av et rektangel og en trekant. Grunnlinjen i trekanten er den samme som bredden til rektangelet. Vi regner ut arealet av rektangelet og trekanten hver for seg og summerer til slutt. Side 163 Oppgave 34 Vi finner arealet av sammensatte figurer. Oppgave I disse oppgavene finner vi både omkretsen og arealet av sammensatte figurer. Pass på riktige benevninger. Side 166 Sirkelen Drøft med elevene hvordan vi kan finne omkretsen av en sirkel. For eksempel kan vi sette et merke på gulvet og trille et sykkelhjul én omdreining, eller vi kan legge en hyssing rundt en tallerken og måle lengden av hyssingen med en linjal etterpå. Oppgave 39 Denne oppgaven legger grunnen for teorien på side 167. Tegn først sirkler i ulike størrelser på tavla eller i kladdeboka. Klipp så ut et trådstykke som er like langt som diameteren i hver sirkel og undersøk hvor mange ganger kan vi legge trådstykket langs sirkellinjen. Elevene oppdager nå at svaret alltid blir ca. 3, eller nærmere bestemt tallet 3,14, som vi kaller pi, og skriver π. Altså kan vi alltid regne ut omkretsen av en sirkel ved å multiplisere diameteren med π: O = π d

38 eller O = 3,14 d Side 167 Diameteren til en sirkel går gjennom sentrum i sirkelen og har endepunkter på sirkellinjen. Radius er avstanden fra sentrum til sirkellinjen. Radius er halvparten så lang som diameteren. Tegn sirkelen på side 167 på tavla og la elevene tegne den samme figuren i kladdebøkene sine. Sett navn på de ulike delene av sirkelen. Presiser ar π = 3,14 bare er en tilnærmingsverdi og at vi derfor ikke får en helt nøyaktig verdi når vi regner ut omkretsen. Oppgave Arbeid med radius og diameter. Side 168 Oppgave Vi regner ut omkretsen av ulike sirkler. Oppgave 45 er diagnostisk og avdekker om elevene har solid begrepsforståelse knyttet til omkrets. Vær oppmerksom på elever som bare finner lengden av sirkelbuen og ikke adder linjestykkene i tillegg. Side 170 Arealet av en sirkel Arealet av en sirkel vil alltid ligge mellom arealet av et omskrevet og et innskrevet kvadrat. La elevene oppdage at istedenfor å bruke et kvadrat, så vil vi få en bedre verdi for arealet hvis vi bruker en omskrevet og en innskrevet regulær femkant, sekskant osv. Formelen for arealet av en sirkel blir her sannsynliggjort, men ikke bevist. På barnetrinnet er det tilstrekkelig å gi en logisk forklaring som bakgrunn for formelen. Vi skriver: A = π r r eller A = π r 2 eller A = 3,14 r 2 Side 171 Oppgave Elevene regner ut arealet av ulike sirkler ved å bruke arealformelen.

39 Oppgave Tekstoppgaver der elevene skal skille mellom bruk av formlene for areal og omkrets av sirkelen. Det er viktig at elevene setter inn tall med benevning slik at det tydelig kommer frem hva som er forskjellen på benevningene når de to forskjellige formlene brukes. Side 172 Oppgave 53 Felles problemløsing. Side 173 Kan jeg Oppgave 1 Oppgaven viser om elevene kan forskjellen på parallellogram, rektangel og kvadrat. Elevene bør kunne forklare at et rektangel også er et parallellogram og at et kvadrat både er et rektangel og et parallellogram. Oppgave 2 Bevisstgjøring på at det alltid er 90 mellom grunnlinjen og høyden i en trekant. Side 174 Oppgave 3-5 Vær oppmerksom på at enkelte elever tegner unøyaktig. La elevene forklare hvordan de har løst oppgavene. Oppgave 7 Diagnostisk oppgave. Oppgaven avdekker om elevene har et godt arealbegrep i forhold til trekanter. I alle trekantene er grunnlinjen like lang, men høyden er mindre i figur C. Side 175 Oppgave 8 Tegning av et parallellogram. Oppgave 9-10 Å kunne velge riktige linjestykker ved utregning av omkrets og areal. Oppgave 11 Omkrets og areal av en sirkel. Vær oppmerksom på at elevene velger riktige benevninger i utregningene. Side 176 Oppgave 12 Utregning av areal i en praktisk situasjon. Side 177 Symbol: Måne Jeg regner mer

40 Oppgave Trening på bruk av riktige formler for omkrets og areal. Bevisstgjør elevene på bruken av begrepet høyde i en plan figur. Side 178 Oppgave 59 I denne oppgaven må elevene reversere formelen for arealet av en trekant. La elevene forklare hvordan de tenker. Oppgave Vi arbeider med sammensatte figurer. Oppgavene kan løses på flere måter. Side 179 Oppgave 62 Øving på å regne ut omkrets og areal av sirkler. Side 180 Symbol: Sol Oppgave 63 Diagnostisk oppgave som viser om elevene forstår at den korteste veien mellom to punkter er den rette linjen mellom punktene. Oppgave 64 I denne oppgaven må elevene reversere formelen for arealet av en trekant. La elevene forklare hvordan de tenker. Oppgave 65 Diagnostisk oppgave som viser om elevene har et godt arealbegrep knyttet til trekanter og firkanter. Oppgave Øving på å regne ut omkrets og areal av enkle og sammensatte figurer. Side 183 Oppgave Oppgavene gir elevene solid innsikt i formlene for areal og omkrets av en sirkel. I oppgave 73 stilles det i tillegg relativt høye krav til logisk tenking.

41 Kapittel 7 Statistikk Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne samle, sortere, notere og illustrere data med tellestreker, tabeller og søylediagram, og kommentere illustrasjonene Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne representere data i tabeller og diagrammer som er fremstilt både digitalt og manuelt lese og tolke tabeller og diagrammer finne median, typetall og gjennomsnitt av enkle datasett og vurdere de i forhold til hverandre. Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet bli kjent med ulike måter å presentere data på bli kjent med sentralmålene median, typetall og gjennomsnitt og vurdere disse i forhold til hverandre. lære å bruke søylediagram og stolpediagram ut fra til dataene i observasjonene bli kjent med bruken av histogram Innledende aktivitet Stille lengde La elevene hoppe stille lengde og registrer alle lengdene (trenger ikke registreres på navn). Før opp observasjonene i stigende rekkefølge. Hva er typetallet Hva er medianen Hva er den gjennomsnittlige hopplengden Lag et stolpediagram der elevene markerer sine initialer eller elevnummer på førsteaksen og hopplengden på andreaksen. Er det mulig å finne gjennomsnittslengden ut fra diagrammet

42 Veiledning til kapittel 7 Side 190 Sentralmål Diskuter med elevene hvilke tanker de har om begrepet gjennomsnitt. Mener de at det må være et av de gitte tallene eller kan det være et tall som ikke er med blant disse Elevene blir her kjent med tre definisjoner av sentralmål for en undersøkelse. Det er gjennomsnitt, typetall og median. Eksempelet viser tre ulike verdier der bare én, er identisk med en av de observerte verdiene. Bevisstgjør elevene på at både gjennomsnitt og median kan falle sammen med én av de observerte verdiene, men at de trenger ikke å gjøre det. Side 191 Oppgave 1-4 Vi fokuserer på grunnleggende begreper innen statistikk og arbeider med de tre ulike sentralmålene gjennomsnitt, typetall og median. Bevisstgjør elevene på at observasjonene må være ordnet i stigende eller synkende rekkefølge når vi skal finne medianen. Side 193 Hvilket sentralmål skal vi bruke I dette eksempelet skiller en av observasjonene seg tydelig ut fra de andre. Drøft med elevene hvilket eller hvilke sentralmål som da er best å bruke. Vi ser i dette eksempelet at gjennomsnittet ikke alltid er det beste sentralmålet å bruke. Her er det den ene høye observasjonen på 108 kr som fører til at gjennomsnittet blir urimelig høyt. Typetallet og medianen derimot, gir begge et godt bilde av hvor mye lommepenger hver av barna har. Side 194 Oppgave 5-8 Vi arbeider med sentralmålene median, typetall og gjennomsnitt. Side 196 Søylediagram Det er flere måter å representere resultatet av en undersøkelse på, for eksempel ved hjelp av tekst, en tabell eller et diagram. Drøft med elevene hvordan undersøkelsen i eksempelet best kan presenteres. Et søylediagram består foruten søylene av en førsteakse og en andreakse. Observasjonene står på førsteaksen og antallet på andreaksen. Bevisstgjør elevene fortløpende på at de plasserer observasjonene og antallet riktig på aksene.

43 Side 197 Oppgave 9 Trening i å lese av diagram riktig. Oppgave 10 Trening i å lese av tabeller. Oppgave Trening i å sette opp en tabell og lage søylediagram på grunnlag av tabellen. Side 198 Oppgave Trening i å tolke informasjon ut av søylediagram. Side 200 Stolpediagram I noen undersøkelser får vi tall på begge aksene. Da bruker vi enkle stolper i stedet for søyler på førsteaksen. Drøft med elevene hvordan stolpediagrammet kan settes opp på grunnlag av tabellen. Når vi har nøyaktige tallverdier på førsteaksen, bruker vi stolper i stedet for søyler til å presentere resultatet. Vi kan se på stolpediagram som en type søylediagram. Søylene er gjort så smale som mulig siden verdiene på førsteaksen er helt nøyaktige. Side 201 Oppgave 17 Øvelse i riktig bruk av søylediagram og stolpediagram. Side 203 Oppgave Arbeid med stolpediagram og sentralmål. Side 206 Histogram I dette eksempelet er det ikke hensiktsmessig å bruke stolpediagram. Til det er det for mange forskjellige observasjoner. Drøft med elevene hvordan vi kan lage en grafisk framstilling av observasjonene på best mulig måte. Løsningen er å samle observasjonene innenfor intervall og telle opp antall observasjoner innenfor hvert intervall. Diagrammet vi får, kaller vi et histogram. Her bruker vi søyler som ligger tett inntil hverandre.

44 Når vi har mange observasjoner, og nesten ingen av dem er helt like, bruker vi histogram. Da grupperer vi observasjonene innenfor like store intervaller, som vi kaller klasser. Størrelsen på intervallene, kaller vi klassebredden. Vi merker av klassene på førsteaksen og bruker søyler som ligger tett inntil hverandre for å vise antallet observasjoner innenfor hver klasse. Side 208 Oppgave Vi arbeider med histogram, klasser og klassebredder. Side 209 Oppgave Det er klassebredden som bestemmer hvor nøyaktig bilde vi kan gi av observasjonene. Bevisstgjør elevene på viktigheten av å velge en hensiktsmessig klassebredde. Oppgave Vi arbeider med histogram, klasser og klassebredder. Side 210 Oppgave 29 Felles problemløsing. Side 211 Kan jeg Oppgave 1 Oppgaven presenterer to typer observasjoner - en som har typetall og en som ikke har det. Elevene skal vise at de kjenner definisjonen av typetall. Oppgave 2 Elevene skal vise at de kjenner definisjonen av median. Oppgave 3 Elevene vise at de kjenner definisjonen av gjennomsnitt. Oppgave 4-5 Oppgavene viser pratiske eksempler på bruk av sentralmål. Side 212 Oppgave 6-8 Elevene skal vise at de kan lage og lese av søylediagram, stolpediagram og histogram. Side 215 Jeg regner mer Symbol: Måne Oppgave Øvingsoppgaver med gjennomsnitt, median og typetall.

45 Oppgave 33 Å lage et diagram på grunnlag ev an tabell. Side 216 Oppgave 34 Arbeid med stolpediagram og trening på å lage en tabell over observasjonene i en undersøkelse. Oppgave Arbeid med stolpediagram og søylediagram. Side 217 Oppgave 37 Oppgavene viser praktiske eksempler på bruk av sentralmål. Side 218 Symbol: Sol Oppgave Arbeid med diagrammer og sentralmål. Side 219 Oppgave Oppgavene viser hvor solide begrep elevene har om gjennomsnitt, typetall og median. Det kreves at de har god oversikt over hvordan begrepene er definert og at de mestrer å reversere en prosess. Side 220 Oppgave 43 Arbeid med histogram. Side 221 Oppgave 44 Arbeid med å lage en tabell på grunnlag av innsamlede observasjoner. Oppgave 45 Oppgaven er praktisk vinklet og viser eksempler på bruk av ulike sentralmål. Drøft med elevene hvilket sentralmål som gir det beste bildet av lønnsøkningen for hver av de ansatte i bedriften.

46 Kapittel 8 Tall og algebra Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne beskrive plassverdisystemet for de hele tallene, bruke positive og negative hele tall, enkle brøker og desimaltall i praktiske sammenhenger, og uttrykke tallstørrelser på varierte måter Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne beskrive plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, desimaltall, brøker og prosent, og plassere dem på tallinja Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet lære om store tall sammensatte tall og primtall regning med parenteser primtallsfaktorisering negative tall addisjon og subtraksjon med negative tall regning med bokstavuttrykk Innledende aktivitet Tallgåter La elevene lage gåter om tall slik at de andre elevene skal gjette hvilke tall de har valgt. Gi noen eksempler først: Det er så mange som det er i et dusin. Det er to færre enn det er dager i to uker. Det er det tallet du ganger åtte med for å få svaret fire. Elevene kan godt oppfordres til å lage gåter om andre tall enn de hele positive tallene.

47 Veiledning til kapittel 8 Side 8 Store tall Mange elever hører og ser store tall i media uten å klare å relatere tallene til virkeligheten. Det er heller ikke alltid lett å se størrelsen av tallene i forhold til hverandre. Det er derfor nyttig å lære å lese store tall og lære innbyrdes størrelsesforhold mellom tallene. Drøft med elevene hvordan vi kan lese tallet på dataskjermen: Seks milliarder, seks hundre og sekstifem millioner, ni hundre og syttien tusen, tre hundre og sekstifem Oversikten viser at tallene får nye navn hver gang de blir tusen ganger større enn La gjerne elevene få skrive store tall på tavla som de øver seg på å si muntlig. Side 9 Oppgave 1-2 Øving på å lese store tall og skrive dem med bokstaver. For å klare dette, må elevene bevisstgjøres på plassverdisystemet også for plassene fra tusen og oppover. Oppgave 3-4 Øving på å skrive tall med siffer. Oppgave 5 Arbeid med plassverdisystemet. Oppgave 6-11 Øving på å finne plassverdier, og å finne hvilke plassverdier som forandres når et tall adderes, multipliseres eller divideres med store dekadiske enheter som for eksempel en million. Tall som bare består av sifferet 1 etterfulgt av nuller, kaller vi dekadiske enheter. Side 11 Sammensatte tall og primtall Et sammensatt tall kan skrives som et produkt av to eller flere faktorer. Ingen av faktorene må være 1. Et primtall kan bare skrives som et produkt av 1 og seg selv. Drøft med elevene hvilke av tallene på tavla som er sammensatte tall eller primtall. Repeter begrepene faktor, produkt og faktorisering med elevene. Dette er nødvendig begreper å forstå for å kunne beskrive forskjellen på sammensatte tall og primtall. Side 12 Oppgave Arbeid med primtall og sammensatte tall.

48 Oppgave Vi faktoriserer tall på så mange måter som mulig. Side 13 Vi skiller mellom faktorisering og primtallsfaktorisering. Vi kan ha mange faktoriseringer av samme tall, men det finnes bare en primtallsfaktorisering av hvert tall. Venn elevene til å ordne faktorene i stigende rekkefølge. Oppgave Øving i primtallsfaktorisering. Oppgave 26 Tallet 2 er det eneste primtallet som er et partall. Når vi skal undersøke hvilke hele tall innenfor et tallområde som er primtall, kan vi begynne med å eliminere alle partallene, fordi de per definisjon er delelige med 2. Drøft også gjerne med elevene hvilke tall som er delelige med 5, eller sagt på en annen måte: har 5 som faktor. Det kan også her passe å presentere regelen om at hvis tverrsummen av et tall er delelig med 3 eller 9, er også tallet delelig på 9. Elevene bør få muligheten til å undersøke om dette stemmer ved å prøve seg fram med et relativt stort antall tall. Side 14 Vi regner med parentes Drøft med elevene hvordan vi kan regne ut 7 13 i hodet. La elevene forklare hvordan de tenker og la dette være utgangspunktet for å forstå hvordan vi bruker parentes i skriftlig oppstilling = 7 (10 + 3) Arbeidet med dette emnet tjener to hensikter. Den synlige hensikten for elevene er å lære en metode som kan gjøre det enklere å regne med store tall i hodet, nærmere bestemt skriftlig hoderegning. Den andre hensikten er å forberede algebraisk tenking, slik at ikke alt kommer på en gang når vi begynner med bokstavregning. Side 15 Oppgave Utregning av multiplikasjonsstykker ved hjelp av parenteser. Noen av oppgavene er halvveis ferdig oppstilt, slik at elevene skal finne ut av logikken bak metoden. Side 16 Negative tall Hvis vi skylder penger, hvordan kan vi skrive hvor mye penger vi da har Drøft med elevene hvordan vi kan beskrive gjeld.

49 Vi repeterer regning med negative tall, relatert til penger og temperatur. Tegn gjerne en tallinje med negative og positive tall på tavla, lag og vis regnestykker. Det bidrar til god begrepsdannelse og visualiseringen er til stor hjelp for mange elever. Emnet er også en forberedelse til algebraisk tenkning. Oppgave Øving på subtraksjon der svaret blir negativt. Vi starter med oppgaver på tallinja, og fortsetter med hoderegning og praktiske oppgaver. Side 18 De fleste elevene kjenner til og forstår skalaen på en gradestokk. Her er gradestokken koblet mot tallinja, som en mer abstrakt presentasjon av tenkingen. Side 19 Oppgave Øving på å regne med minusgrader. Oppgave Til nå har vi arbeidet med subtraksjonsoppgaver der begge leddene har vært positive og det første leddet har vært mindre enn det andre leddet. Eksempel 2 4 = -2 Nå skal vi arbeide med addisjonsoppgaver der det første leddet er negativt og det andre positivt. Eksempel = 2 Vær oppmerksom på at mange elever oppfatter dette som en helt annerledes problemstilling. Til nå har vi holdt oss til regning med hele tall. Her viser vi hvordan negative desimaltall kan behandles på samme måte. Mange elever sliter med forståelsen av desimaltall generelt, og visualiseringen her kan bedre dette for noen av disse elevene. Oppgave Trening i regning med negative desimaltall. Det er viktig at elevene får bruke arbeidsarkene slik at tiden ikke går med til å tegne tallinjer med desimaloppdeling.

50 Side 20 Å addere eller subtrahere et negativt tall Lag regnefortellinger til stykkene på tavla sammen med elevene. Klarer elevene å foreslå fornuftig meningsinnhold til alle oppgavene La elevene oppdage at to og to av oppgavene er ulike, men at de likevel gir samme resultat. Bruk av regnetegn og fortegn foran samme tall, er vanskelig å forstå for mange elever. Regler som pluss og minus gir minus eller minus og minus gir pluss er greie å bruke for elever som skal regne algebra senere, men vi ser ofte at elevene blander og roter til disse reglene fordi de ikke har noen konkret betydning for dem. Da kan det være til hjelp å uttrykke sammenhengene muntlig på en måte som knytter dem opp mot situasjoner fra dagliglivet. I stedet for å si at minus og pluss blir minus, kan vi si å legge til noe negativt er det samme som å trekke fra, og deretter bruke eksempler som viser dette. På samme måte kan vi si å trekke fra noe negativt må bli positivt og for eksempel eksemplifisere dette med tilbakebetaling av lån. Side 21 Oppgave Oppgaver der elevene skal finne riktige regnetegn på grunnlag av oppsettet og deretter regne ut. Side 22 Regning med bokstaver Repeter med elevene hvordan vi kan finne omkretsen av det gule rektangelet, og skriv opp regnestykket. Drøft deretter hvordan vi på tilsvarende måte kan finne omkretsen av det blå rektangelet, ved hjelp av bokstaver. Skriv opp uttrykket for omkretsen på samme måte som for det gule rektangelet, men nå med bokstaver. Vi arbeider her med omkrets for å konkretisere algebraisk tenkning. Denne formen for abstrahering er nødvendig for å forstå symbolbruken i matematikk videre i utdanning og yrkesliv. Det er derfor viktig å bruke god tid på dette arbeidet. For mange elever er abstraheringen vanskelig, og elevenes modningsnivå vil være avgjørende for i hvilken grad de vil kunne forstå algebraisk tenkning. Vi har valgt å arbeide med omkrets, som er enkelt å konkretisere og der uttrykkene er matematisk enkle. La gjerne elevene lage figurer som de kan finne omkretsen av ved hjelp av pinner med lengde a, lengde b osv.

51 Eksempel 1 O = 2a + b a a b Eksempel 2 O = 2a + b + c c a a b Vekslingen mellom de konkrete figurene og de abstrakte uttrykkene er for mange av elevene helt nødvendig for at emnet skal gi mening. Side 23 Oppgave Oppgaver med å lage egne uttrykk for omkretsen av figurer. Deretter skal elevene sette inn lengder i uttrykkene og regne ut omkretsen. Det er viktigere å arbeide med selve uttrykkene enn å regne ut omkretsene. Side 25 Oppgave 70 Felles problemløsing. Side 26 Kan jeg Oppgave 1 og 3 Skrive tall med bokstaver. Oppgave 2 Skrive tall med siffer. Oppgave 4 7 Faktorisering og primtallsfaktorisering.

52 Side 27 Oppgave 8 Regning med parenteser. Oppgave 9 Plassering av positive og negative tall på tallinja. Oppgave Regning med negative tall. Side 28 Oppgave 13 Oppgave med å lage algebraiske uttrykk for omkretsen av figurer. Oppgave 14 Tolking av ulike uttrykk for omkrets og tegning av figurer som passer til uttrykkene. Oppgave 15 Sant eller usant. Side 29 Symbol: Måne Jeg regner mer Oppgave Oppgavene viser om elevene har fått med seg det grunnleggende stoffet i kapitlet, og gir en repetisjon av de ulike emnene. Hvis elevene finner disse oppgavene vanskelige, anbefaler vi at de arbeider videre med nøkkeloppgavene i oppgaveboka før de eventuelt fortsetter med måneoppgavene. Side 32 Symbol: Sol Oppgave Oppgavene er egnet for elever som behersker lærestoffet i kapitlet godt, og som trenger litt større utfordringer når det gjelder anvendelsen av kunnskapene.

53 Kapittel 9 Brøk og desimaltall Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne beskrive plassverdisystemet for de hele tallene, bruke positive og negative hele tall, enkle brøker og desimaltall i praktiske sammenhenger, og uttrykke tallstørrelser på varierte måter Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne beskrive plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, desimaltall, brøker og prosent, og plassere dem på tallinja finne fellesnevner og utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøker Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet lære om ekte brøker, uekte brøker og blandede tall addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner likeverdige brøker utviding og forkorting av brøker addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner multiplikasjon av brøker sammenhengen mellom brøker og desimaltall Innledende aktivitet Brøken setter seg Et passende antall elever står i en ring på gulvet. En av elevene skal bestemme hvor stor brøkdel av elevene som skal sette seg på huk. En annen finner ut hvor mange elever det utgjør. Varier antall elever i ringen slik at det både brukes tall med mange muligheter for brøker som for eksempel 12, 16, 20 og 24, og tall med færre muligheter som for eksempel et primtall eller tallene 15, 21 osv.

54 Veiledning til kapittel 9 Side 40 Brøk Hva er det som avgjør størrelsen av en brøk Hvordan kan Jon tro at en firedel er større enn en tredel Drøft med elevene hvilken av brøkene 3 1 og 4 1 som er størst. Vi repeterer hvordan en brøk er bygd opp, hva de enkelte delene heter og hva som bestemmer størrelsen av en brøk. Gjør elevene bevisst på at i en ekte brøk er telleren mindre enn nevneren, og at i en uekte brøk er telleren større enn nevneren. Ekte brøk: 4 3 Uekte brøk: 4 5 Side 41 Oppgave 1-2 Elevene finner hvor stor brøkdel som er fargelagt av ulike figurer. Side 42 Oppgave 3 I denne oppgaven tegner elevene fire like lange linjestykker som deles opp i henholdsvis to, tre, fire og seks like store deler. Nå skal de bruke linjestykkene til å sammenlikne størrelsen av brøker. Side 43 Oppgave 4 Oppgaver med plassering av tall på tallinjer er generelt utfordrende for mange elever, og det oppstår tilleggsproblemer når tallene er brøker. For å kunne løse denne oppgaven må elevene forstå at de må telle deler innenfor hver enhet, dvs. mellom to hele tall som følger etter hverandre på tallinja. De må også forstå på ekte og uekte brøker, og hvordan dette framkommer på tallinja. Tydeliggjør for elevene at ekte brøker alltid finnes mellom tallene 0 og 1, mens uekte brøker er større, og ligger til høyre for 1 på tallinja. Oppgave 5 Repetisjon av begrepene ekte brøk, uekte brøk og likeverdige brøker. Omgjøring mellom uekte brøker og blandede tall. Alle uekte brøker kan skrives som blandede tall. Et blandet tall består av et helt tall og en brøk. Eksempel

55 Uekte brøk Blandet tall Side 44 Oppgave 6 10 Omgjøring mellom blandede tall og uekte brøker. Oppgave Tekstoppgaver der elevene skal avgjøre hvor stor brøkdel av en helhet noe er. For å kunne løse enkelte av oppgavene må det først bestemmes hva som er helheten. Side 46 Addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner Her er helheten to bløtkaker. Drøft med elevene hvor stor brøkdel som er igjen til Simen når de andre har forsynt seg. Det er lurt å tegne opp kakene på tavla. Vi forutsetter at kakene er delt opp i femdeler. Da har vi alt 10 kakestykker: Jon og Kaja forsyner seg med tre femdeler hver. Da får vi: Altså er det fire kakestykker igjen til Jon. Side 47 Oppgave og 24 Oppgaver med addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner. I mange av oppgavene er det nødvendig å gjøre om fra blandet tall til uekte brøk før vi regner ut. Side 48 Oppgave Tekstoppgaver der elevene skal avgjøre hvor stor brøkdel av en helhet noe er. For å kunne løse oppgavene må det først bestemmes hva som er helheten.

56 Side 49 Utviding av brøk og likeverdige brøker Vi sammenlikner størrelsen av brøker med ulik nevner. Drøft med elevene hvordan de lettest kan sammenlikne og rangere brøkene. For å kunne utvide en brøk, må elevene forstå at to brøker kan være like store, altså likeverdige, selv om de har forskjellige tall i teller og nevner. La elever som er usikre på dette, få arbeide med konkreter når de øver på utviding av brøk. Side 50 Oppgave Øving i å utvide brøker. Når nevneren i den likeverdige brøken er gitt, blir oppgaven å finne tallet vi må multiplisere den gamle nevneren med for å få den nye nevneren. Når to eller flere brøker må utvides for å finne en felles nevner, er det mange elever som velger å multiplisere nevnerne med hverandre. Fordi de da vil kunne få unødig store tall i teller og nevner, er det mer hensiktsmessig å finne den minste felles nevneren som går an. Oppfordre derfor elevene til å finne det minste tallet som nevnerne går opp i. Mer instrumentelle metoder blir innført på ungdomstrinnet. Side 51 Oppgave I disse oppgavene skal elevene finne minste felles nevner for brøkene og deretter utvide dem slik at de får samme nevner. Brøkene blir dermed lette å sammenlikne. Side 52 Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner Drøft med elevene hvordan vi kan finne ut hvor stor brøkdel av premien Julie og Mia skal ha til sammen, og hvor stor brøkdel Patrik skal ha. Når vi skal addere eller subtrahere brøker med ulike nevnere, må vi først utvide brøkene slik at de får felles nevner. Da må vi først finne hva som er minste felles nevner. Legg merke til at vi skriver i utregningen hvilke tall vi utvider brøkene med:

57 Side 53 Oppgave I oppgave 36 og 37 er det bare nødvendig å utvide en av brøkene, mens det i oppgave 38 er nødvendig å finne minste felles nevner før utviding av brøkene. Vi gjør om blandede tall til uekte brøker før vi utvider brøkene til minste felles nevner. La elever som behersker andre metoder også få bruke disse, men oppfordre dem alltid til å lære seg de sikreste og minst arbeidskrevende metodene. Dette oppnår vi best ved å ta fram ulike eksempler på tavla og la elevene forklare hvordan de tenker. Oppgave Addisjon og subtraksjon av blandede tall og uekte brøker. Side 55 Forkorting av brøk Drøft med elevene hvordan vi kan finne hvor stor brøkdel av pengene Kaja og Simen fikk hver. Ved å forkorte brøkene slik at de får lik nevner, ser vi tydelig hvor mye de fikk i forhold til hverandre. Når vi skal forkorte en brøk, dividerer vi telleren og nevneren med det samme tallet. For å forkorte brøken så mye som mulig, dividerer vi med det største tallet som telleren og nevneren kan divideres med uten at det blir rest. Prosessen er den omvendte av å utvide en brøk : 5 45 : 5 3 : 3 9 : Side 56 Oppgave Forkorting av brøk. Side 57 Multiplikasjon av en brøk med et helt tall Drøft med elevene hvordan vi kan finne ut om Julie og Jon har nok bokser ved hjelp av brøkregning. Det går både an å bruke addisjon og multiplikasjon. La elevene oppdage denne sammenhengen Når vi skal multiplisere et helt tall med en brøk, multipliserer vi telleren i brøken med tallet og beholder nevneren:

58 Vi vet nå at boksene til Julie og Jon til sammen rommer 3 8 liter. Hvis vi gjør om brøken til et blandet tall, ser vi om de har mange nok bokser: Vi er at boksene kun har plass til Oppgave Multiplikasjon av brøk. Side liter syltetøy, og at de dermed ikke har nok bokser. 3 Oppgave Varierte oppgaver med multiplikasjon av brøk. I oppgavene med blandete tall, gjelder som for addisjon og subtraksjon at mange elever vil velge å løse oppgavene uten å gjøre om til uekte brøk først. For multiplikasjon, og senere for divisjon, vil dette ikke være like problemfritt, selv om elevene kan beherske det. Vis derfor tydelig fordelene med å gå veien om uekte brøk i multiplikasjon. Oppgave Multiplikasjon av brøk i praktiske sammenhenger. Oppgave Oppgaver der elevene fort vil ønske å bruke divisjon for å finne løsningene. Flere metoder kan benyttes, men her øver vi på å bruke multiplikasjon for å finne ut hvor mye en brøkdel utgjør av en helhet. Eksempel m m 12m 2 Side 59 Multiplikasjon av brøker Hvordan kan vi finne ut hvor stort beløp Jon skal ha Her må vi bruke multiplikasjon av to brøker. La elevene fortelle hvordan de tenker. Det er ikke umiddelbart logisk for alle at vi skal bruke multiplikasjon når vi skal finne en brøkdel av noe. Tradisjonelt er elevene vant til at det blir mer når de multipliserer, fordi de sjelden multipliserer med tall som er mindre enn en hel. I dette eksempelet skal Jon ha en tredel av en todel. Ved å tydeliggjøre dette, vil mange kunne forstå at svaret blir mindre enn det vi startet med, selv om vi

59 multipliserer. Når vi multipliserer to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi får følgende regnestykke: Side 60 Oppgave Øving på multiplikasjon av brøker. Presiser for elevene at vi forkorter svarene så mye som det går an og at vi gjør om uekte brøker i svaret til blandete tall. Side 61 Sammenhengen mellom brøk og desimaltall Drøft med elevene hvordan vi kan sammenlikne brøk og desimaltall. Hva er mest: 0,35 liter eller 2 1 liter Når vi skal sammenlikne størrelsen av et desimaltall og en brøk, er det flere muligheter. Her gjør vi om begge tallene til brøk. Repeter om nødvendig plassverdisystemet for desimaltall. Hvis vi gjør om fra desimaltall til for eksempel tideler eller hundredeler, får vi ofte brøker som kan forkortes. Det er som regel ikke hensiktsmessig å gjøre dette. Vi utvider derfor brøken til tideler eller hundredeler hvis dette lar seg gjøre. Dermed har vi to størrelser som er gode å sammenlikne. Side 62 Oppgave Vi gjør om desimaltall med én desimal til tideler, desimaltall med to desimaler til hundredeler osv. I oppgave 74 har vi et avvikende problem siden minutter ikke er hundredeler av en time, men sekstideler I oppgave 77 er det i tillegg til desimalene et heltall foran desimaltegnet. Gjør elevene oppmerksomme på at vi dermed får et blandet tall når vi gjør om til brøk. Side 63 Oppgave Omgjøring fra brøk til desimaltall. Oppgave 84 Felles problemløsing.

60 Side 64 Kan jeg Oppgave 1 Plassering av brøker på tallinja. Oppgave 2 Utviding av brøker. Oppgave 3 Forkorting av brøker. Oppgave 4 Oppgave a og b prøver elevene i addisjon og subtraksjon av brøker med like nevnere og oppgave c og d i addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere. Oppgave 5 Addisjon og subtraksjon av blandete tall. Oppgave c og d er oppgaver med ulike nevnere. Side 65 Oppgave 6 Addisjon og subtraksjon av tall med ulike nevnere, satt i en praktisk sammenheng. Oppgave 7 Multiplikasjon av brøker. Oppgave 8 Oppgave der elevene skal finne brøkdeler av en helhet, og deretter regne ut hvor mye hver brøkdel utgjør av et beløp. Oppgave 9 Omgjøring fra brøk til desimaltall. Oppgave 10 og 11 Omgjøring fra desimaltall til brøk. Oppgave 12 og 13 Forkorting av brøker. Oppgave 14 Sant eller usant. Side 67 Symbol: Måne Jeg regner mer Oppgave Oppgavene viser om elevene har fått med seg det grunnleggende stoffet i kapitlet, og gir en repetisjon av de ulike emnene. Hvis elever finner disse oppgavene vanskelige anbefaler vi at de jobber videre med nøkkeloppgavene i oppgaveboka før de eventuelt fortsetter med måneoppgavene.

61 Side 71 Symbol: Sol Oppgave Oppgavene er egnet for elever som behersker lærestoffet i kapitlet godt, og som trenger litt større utfordringer når det gjelder anvendelsen av kunnskapene.

62 Kapittel 10 Divisjon 2 Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne bruke den lille multiplikasjonstabellen og gjennomføre multiplikasjon og divisjon i praktiske situasjoner Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne utvikle og bruke metoder for hoderegning, overslagsregning og skriftlig rekning, og bruke kalkulator i beregninger Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet lære om divisjon der svaret er et desimaltall divisjon med et flersifret tall divisjon av et desimaltall med et helt tall divisjon av et desimaltall med et desimaltall Innledende aktivitet Gjett hvilket tall jeg startet med Elevene kan jobbe i små eller store grupper. Gruppen kan sammen med læreren bestemme hvor store tall det er lov å bruke. De kan også bestemme om det skal være skriftlig regning eller hoderegning De spør hverandre på denne måten: Eksempel Jeg delte et tall på 4, Da fikk jeg 12 til svar. Hvilket tall startet jeg med. Gruppen finner ut om den som svarte riktig skal fortsette, eller om de skal følge en annen ordning.

63 Veiledning til kapittel 10 Side 80 Divisjon som gir rest Til nå har vi arbeidet med divisjon med rest, der resten ikke har blitt delt ut videre. Drøft med elevene hvordan de kan dele bollene likt og tegn opp bollene på tavla. Vis hvor mange boller får hver ved hjelp av desimaltall. Når vi dividerer hele tall slik at det blir et desimaltall til svar, må vi vise elevene at vi veksler på samme måte som i divisjon med hele tall. Vi fortsetter nå med å veksle om enerne som er igjen til tideler og setter samtidig desimaltegnet etter enerne i svaret. Hvis divisjonen av tidelene heller ikke går opp, må vi sette en null bak tidelene som er igjen for å veksle om til hundredeler o.s.v. Side 81 Oppgave 1 5 Oppgaver der divisjonen går opp med én desimal i svaret. Side 82 I mange tilfeller kan divisjonen fortsette slik at vi får et stort antall desimaler, men i de fleste tilfelle har vi bare bruk for noen få desimaler. Vi regner derfor ut svaret med én desimal mer enn det vi har bruk for og runder av svaret. Hvis den ekstra desimalen er 5 eller større, runder vi av oppover, hvis den er mindre enn 5, runder vi av nedover. Side 83 Oppgave 6 7 Oppgaver med avrunding til to desimaler og én desimal i svaret. Oppgave 8 14 Oppgaver der vi enten får et nøyaktig desimaltall i svaret eller må forhøye etter å ha regnet ut én desimal ekstra. La elevene fortelle hvordan de tenker når de løser oppgave 13d. Side 84 Noen ganger blir svaret i en divisjon mindre enn én Fire barn skal dele tre sjokolader slik at alle får like mye. Hvor mye sjokolade får hver Drøft med elevene hvordan vi kan løse oppgaven og gi svaret som desimaltall. Når vi dividerer et helt tall på et mindre helt tall, blir svaret et desimaltall. Når vi stiller opp slike stykker, er det nødvendig at elevene forstår plassverdisystemet for desimaltall. De må vite at desimaltegnet skiller mellom de hele tallene og tidelene, hundredelene osv. At tidelene står på første

64 plass etter desimaltegnet, hundredelene på den neste plassen osv. Og at vi i algoritmen veksler om tildeler til hundredeler, hundredeler til tusendeler osv. Side 85 Oppgave Divisjon av mindre hele tall på større hele tall. I flere av divisjonene skal svarene rundes av. Side 86 Divisjon med et flersifret tall Når vi skal dele et tall på et flersifret tall, kan det være lurt å sette opp en gangetabell for det flersifrete tallet vi deler på. Når vi skal dividere 602 med 14, ser vi at 14 ikke går opp i 6. Da må vi finne ut hvor mange ganger 14 går opp i 60. Se på tabellen i boka og la elevene finne dette antallet. Regn så ut hele stykket. Divisjonsalgoritmen er helt lik for deling med flersifrete tall, som for deling med ensifrete. Løs flere oppgaver sammen på tavla til elevene er sikre på algoritmen. Oppgave Divisjon med flersifrete tall. Side 88 Divisjon av desimaltall med et helt tall Julie og Simen skal dele en planke som er 4,8 m lang i tre like lange deler. Drøft med elevene hvordan vi kan finne ut hvor lang hver del blir. Mange elever oppfatter desimaltall som tallpar, med ett tall foran desimaltegnet og ett tall etter. Hvis elevene bare regner oppgaver der de ikke trenger å veksle underveis, vil de kunne få riktige svar på oppgavene selv om de har denne feiloppfatningen. For eksempel kan de få riktig svar på oppgaven 3,6 : 3 ved å dele sifrene foran og etter desimaltegnet hver for seg: 3 : 3 = 1 6 : 3 = 2 Svaret med denne tenkningen blir 1,2 som også er riktig svar. Men hvis de tenker tilsvarende når de for eksempel løser oppgaven 3,12 : 3, blir svaret feil. De får 1,4, mens det riktige svaret er 1,04. Derfor er oppgaver av typen 4,8 : 3, som i eksempelet på side 88, viktige for forståelsen av plassverdisystemet for desimaltall. Side 89 Oppgave Divisjon av desimaltall med et helt tall.

65 Side 90 Divisjon av desimaltall med et desimaltall Patrik og Mia vil kjøpe eplene med lavest pris per kilogram. Hvordan kan de finne ut hvor mye de røde og grønne eplene koster per kilogram For å løse denne oppgaven må vi multiplisere tallene med 10 eller 100 før vi dividerer, slik at tallet vi deler på blir et helt tall. Drøft med elevene hvordan dette problemet kan løses. Når vi skal dividere et tall med et desimaltall, multipliserer vi først dividenden og divisoren med 10, 100 osv. slik at divisoren blir et helt tall. Dette er i praksis det samme som å utvide en brøk. Så kan vi stille opp divisjonsalgoritmen vi kjenner. Eksempel 14,60 : 0,8 14, , : 8 Side 91 Oppgave Divisjon med desimaltall. Oppfordre elevene til å utvide stykkene ved hjelp av brøk, slik som vist ovenfor, da denne oppstillingen gir best oversikt over utvidingen. I oppgave 34 skal elevene sjekke hvilken utviding som er den riktige. Side 92 Oppgave Oppgaver der divisjonsstykket må utvides med 100, siden det er to desimaler i divisorene. Oppgave 42 Felles problemløsing. Side 93 Kan jeg Oppgave 1 Divisjonsoppgaver med én desimal i svaret. Oppgave 2 Divisjonsoppgaver med to desimaler i svaret. Oppgave 4 Divisjonsoppgaver der svaret blir mindre enn 1. Oppgave 5 Divisjonsoppgaver med tosifret divisor. Oppgave 6 og 7 Desimaltall dividert med et helt tall.

66 Side 93 Oppgave 8 og 9 Desimaltall dividert med et desimaltall. Oppgave 10 Sammensatt oppgave som avsluttes med divisjon med et flersifret tall. Oppgave 11 Sant eller usant. Side 95 Symbol: Måne Jeg regner mer Oppgave Oppgavene viser om elevene har fått med seg det grunnleggende stoffet i kapitlet, og gir en repetisjon av de ulike emnene. Hvis elever finner disse oppgavene vanskelige anbefaler vi at de jobber videre med nøkkeloppgavene i oppgaveboka før de eventuelt fortsetter med måneoppgavene. Side 98 Symbol: Sol Oppgave Oppgavene er egnet for elever som behersker lærestoffet i kapitlet godt, og som trenger litt større utfordringer når det gjelder anvendelsen av kunnskapene.

67 Kapittel 11 Geometri 2 Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne kjenne igjen og bruke speilsymmetri og parallellforskyving i konkrete situasjoner lage og utforske geometriske mønster og beskrive dem muntlig Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne beskrive og gjennomføre speiling, rotasjon og parallellforskyving bruke koordinater til å beskrive plassering og bevegelse i et koordinatsystem, på papiret og digitalt Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet lære om flytting av figurer ved speiling, parallellforskyving og dreining speilingssymmetri og dreiningssymmetri Innledende aktiviteter Øvelse 1 To og to elever arbeider sammen. De sitter rett mot hverandre over et bord. Først skal den ene eleven lage en tegning med blyant og linjal. Den andre eleven skal ikke se tegningen. Eleven som laget tegningen skal beskrive med ord hvordan den andre skal tegne for å lage en likedan tegning. Etter at de er ferdige skal de sammenligne og se om tegningene er like. Den andre eleven lager sin tegning, og beskriver hvordan den andre skal tegne. Sammenlign. Hvis det er tid nok skal dere gjenta prosessen, men når beskrivelsen gis skal den andre eleven prøve å tegne speilvendt av det den andre sier. Bytt på nytt. Øvelse 2 To og to elever arbeider sammen. Den ene eleven skal kommandere den andre. Kommandoene kan for eksempel være: Gå tre steg fram Drei 90 til høyre Gå to steg bakover Drei 180

68 Elevene bør veksle på kommandoer der den ene eleven flytter seg og der eleven dreier. En kan bestemme hvilke vinkler det kan dreies for at elevene skal beherske oppgaven. Her er det selvsagt stort rom for individualisering. Øvelse 3 Dreining Klipp ut ulike figurer og marker dreiningspunkter på figurene. Fest en knappenål, en tegnestift eller en splittbinders til punktene, drei figurene og tegn omriss. Fargelegg til slutt slik at dere får fine mønstre.

69 Veiledning til kapittel 11 Side 106 Speiling Hvordan flytter speilbildet ditt seg når du speiler deg i et speil Alle objekter som speiles vil avbildes i samme avstand fra speilet som originalen, på motsatt side av speilet. Bevisstgjør elevene på at lengder og vinkler er konstante ved speiling. Side 107 Oppgave 1 2 Elevene skal avgjøre hvilke figurer som viser riktig speilingsbilde i forhold til originalen. Oppgave 3 7 Speiling av mangekanter om en av sidene i figurene. Bevisstgjør for elevene at lengder og vinkler er konstante ved speiling. Side 108 Når vi skal speile en mangekant om en linje, er det nok å speile hjørnene, og så trekke opp sidene etterpå. Et hjørne speiles ved å gå vinkelrett inn på linjen (speilet), og fortsette like langt over på den andre siden. Oppgave 8 13 Oppgavene viser at lengder og vinkler er konstante ved speiling. Det betyr at et kvadrat speiles til et nytt kvadrat, et rektangel til et nytt rektangel og en uregelmessig figur til en ny uregelmessig figur, med samme vinkler og lengder som originalen. Side 110 Parallellforskyving La elevene forklare hvordan figuren er flyttet. Når en flyttet figur ikke har endret form, blitt speilet eller dreid, sier vi at den er blitt parallellforskjøvet. Det vil si at alle punkter i figuren er blitt flyttet like langt i samme retning langs usynlige parallelle linjer. Parallellforskyving er ofte en viktig del av å bygge opp mønstre til for eksempel tapeter, strikkeplagg, tekstiler, mosaikker osv. Det samme gjelder for speiling og dreining, men parallellforskyving er enklest å oppdage for elevene.

70 Side 111 Oppgave Arbeid med parallellforskyving. Til oppgave 18 og 19 er det egne arbeidsark. Oppgave Trening på begreper knyttet til parallellforskyving. Side 113 Dreining Hvor mange grader er en hel sirkel Drøft med elevene hvor stor del av en sirkel Simen og Mia har dreid dersom de dreier 60. Hvor mange grader dreier Kaja når hun snurrer rundt seg selv én gang I tillegg til å vise at omdreiningspunktet kan ligge både i og utenfor en figur, kan det bidra til forståelsen å tegne inn vinkelen som er dreid, ved å tegne linjer fra et punkt på figuren til omdreiningspunktet før og etter dreiningen. Da kan elevene måle dreiningsvinkelen med gradskive, og finne ut hvor stor del av en hel omdreining dette utgjør. Gjør elevene oppmerksomme på at dreining også kan kalles rotasjon, da dette ordet ofte brukes i andre framstillinger. Eksempel 45 A Trekanten er dreid 45 om hjørnet A. Side 114 Oppgaver Oppgaver der elevene skal finne ut av hvor mange grader av en hel sirkel figurene er dreid. Side 115 Symmetri Hva er det som gjør at en figur har speilingssymmetri La elevene vise og fortelle om figurene på tavla. Se gjerne på bilder, skilt osv. hjemme og på skolen og samtal om speilingssymmetri. Hvis vi kan trekke en linje gjennom en figur, slik at de to delene vi får, dekker hverandre, har figuren speilingssymmetri. Linjen som deler figuren i to, kaller vi speilingslinje eller en symmetrilinje. Noen figurer kan ha flere speilingslinjer.

71 Eksempel Rektangelet har speilingssymmetri fordi vi kan trekke en linje gjennom figuren, slik at de to delene vi får, dekker hverandre. Figuren har to speilingslinjer. Oppgave Vi finner speilingslinjene i figurer som har speilingssymmetri. Side 117 Hvis en figur dekker seg selv én eller flere ganger når vi dreier den 360 om et punkt inne i figuren, har figuren dreiningssymmetri. Alle figurer vil dekke seg selv minst én gang per omdreining når den kommer tilbake til utgangsstillingen. Vi sier derfor at alle figurer har dreiningssymmetri av 1. orden. Figurer som dekker seg selv flere ganger i løpet av en omdreining, sier vi har flere dreiningssymmetrier. Oppgave Arbeid med dreining. Vi sjekker hvor mange ganger figurene dekker hverandre i løpet av en omdreining. I tillegg finner vi speilingslinjer for speilingssymmetri. Side 118 Oppgave 35 Felles problemløsing. Side 119 Kan jeg Oppgave 1 Speiling av en figur om en linje. Oppgave 2 Dreining av en figur om et av hjørnene i figuren. Oppgave 3 Parallellforskyving av en figur i en bestemt retning, med en bestemt lengde. Oppgave 4 5 Speilingssymmetri.

72 Side 120 Oppgave 6 Dreiningssymmetri. Oppgave 7 Speilingssymmetri og dreiningssymmetri. Oppgave 8 Sant eller usant. Side 121 Symbol: Måne Jeg regner mer Oppgave Oppgavene viser om elevene har fått med seg det grunnleggende stoffet i kapitlet, og gir en repetisjon av de ulike emnene. Hvis elever finner disse oppgavene vanskelige anbefaler vi at de jobber videre med nøkkeloppgavene i oppgaveboka før de eventuelt fortsetter med måneoppgavene. Side 124 Symbol: Sol Oppgave Oppgavene er egnet for elever som behersker lærestoffet i kapitlet godt, og som trenger litt større utfordringer når det gjelder anvendelsen av kunnskapene.

73 Kapittel 12 Sammensatte enheter Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne gjøre overslag over og måle lengde, areal, volum, masse, temperatur, tid og vinkler løse praktiske oppgaver som gjelder kjøp og salg Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne bruke forhold i praktiske sammenhenger, regne med fart og regne om mellom valutaer Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet lære om fart priser lønn valuta Innledende aktivitet Vekslingskontor Bruk internett og finn valutakursen for fem andre lands penger. Lag liksompenger fra hvert land. Lag et vekslingskontor og prøv å finne ut hvor mye dere får for et beløp norske kroner. Bestem beløpene selv. Start med enkle tall.

74 Veiledning til kapittel 12 Side 132 Vi regner med fart Mange elever klarer å finne hvor langt de sykler på en time, men de kobler ikke dette til farten i kilometer per time. Drøft med elevene hvilken fart Jon og Mia må holde for å være framme på tre timer. Vi regner ut farten ved å dividere strekningen med tiden. Benevningen til farten er avhengig av benevningen vi bruker for strekningen og tiden. De vanligste enhetene for fart i elevenes verden, er meter per sekund (m/s) og kilometer per time (km/t). Det er imidlertid ikke noe i veien for å bruke andre sammensetninger, som for eksempel km/s eller m/t, hvis vi skal regne ut hastigheten til noe som beveger seg svært raskt (lysets hastighet er ca km/s) eller svært sakte. Side 133 Oppgave 1 9 Utregning av fart når strekning og tid er oppgitt. I oppgave 5, 7 og 8 må elevene først finne ut hvor langt en person ville ha beveget seg på en hel time før de kan oppgi farten i kilometer per time. I oppgave 6 skal elevene velge passende benevninger for fart i ulike situasjoner. Side 135 Vi regner ut hvor lang en strekning er ved å multiplisere farten med tiden. Farten forteller oss hvor langt vi kommer på for eksempel én time. For å finne strekningen, må vi da multiplisere farten med antall timer. Eksempel En bil kjøres i 80 km/t i 3 timer. Strekningen = 80 km/t 3 t = 240 km Oppgave Utregning av strekningen når farten og tiden er kjent. I de fleste oppgavene oppgis farten i kilometer per time, men det regnes også med andre enheter. Side 137 Vi regner ut tiden det tar å forflytte seg ved å dividere strekningen med farten. Gjør elevene oppmerksomme på at det må være samsvar mellom benevningene når vi regner ut. Hvis for eksempel farten er oppgitt i km/t, må vi bruke kilometer for strekning og timer for tid. Oppgave Utregning av tiden det tar å forflytte seg når strekningen og farten er kjent.

75 Side 140 Vi regner med priser Noen ganger kan det være vanskelig å sammenlikne priser på varer, for eksempel når de er oppgitt for ulike volum. Hva må Simen gjøre for å kunne vurdere hvilken av posene med epler som er billigst Drøft situasjonen med elevene og la dem oppdage nødvendigheten av å kjenne enhetsprisen når vi skal sammenlikne prisen på varer. Enhetsprisen er hvor mange kroner vi må betale for en valgt enhet av det vi skal kjøpe. I eksempelet på side 140 må Simen finne enhetsprisen for eplene i begge posene for å vite hvilken pose det lønner seg å kjøpe. Enhetsprisen = Det vi må betale : Antall enheter Eksempel Pose A inneholder 2,5 kg epler og koster 40 kr. Da finner vi enhetsprisen ved å dividere 40 kr med 2,5 kg: Enhetsprisen = 40 kr : 2,5 kg = 16 kr/kg Side 141 Oppgave Vi regner ut enhetspriser. Side 144 Oppgave 33 Sammenhengen mellom enhetene vi bruker når vi arbeider med sammensatte enheter, kan vises i et diagram. I denne oppgaven skal elevene lese av hvor mye de må betale for et bestemt antall meter stoff, eller hvor mange meter stoff de får for et bestemt beløp. Side 145 Vi regner med lønn For å kunne sammenlikne lønn, må lønna være oppgitt med de samme sammensatte enhetene, for eksempel kroner per time, kroner per måned eller kroner per år. Drøft med elevene størrelsen på de ulike lønningene på side 145 og hvordan vi best kan sammenlikne dem. Lønn oppgis ofte uten tillegg eller fratrekk som vi av ulike årsaker har i jobben. Gjør elevene oppmerksomme på at noen oppgir bruttolønn (før skattetrekk), mens andre oppgir nettolønn (etter skattetrekk). Side 146 Oppgave Oppgaver med lønn i praktiske sammenhenger.

76 Side 147 Valuta Elevene vet at ulike lands penger har forskjellig verdi. Her skal vi finne ut hvordan vi kan regne om fra euro ( ) til norske kroner. Vi trenger da å vite prisen på én euro. Denne prisen kaller vi kursen på euro. La elevene komme med forslag til hvor mye svømmeføttene koster i norske kroner. Når vi regner med valuta, er vi avhengig av å vite hva prisen på hvert lands penger er. Det finner vi i en valutatabell. Der er noen av valutaene satt opp med prisen for én enhet, som for eksempel britiske pund ( ), australske dollar, kanadiske dollar, amerikanske dollar ($) og euro ( ). Det gjelder de valutaene der en enhet er mye verd. For eksempel er et britisk pund verd omtrent 10 ganger så mye som en norsk krone. De fleste valutaene oppgis imidlertid med prisen for 100 enheter. Dette gjelder blant annet for nordiske valutaer. Alle land har en forkortelse for sine valutaer. For nordiske valutaer brukes bare kr for kroner, mens andre land kan ha symboler som dollar ($), pund ( ) og euro ( ) Hver av valutaene har en bokstavforkortelse i tillegg, som for eksempel norske kroner (NOK), euro (EUR) og britiske pund (GBP). Det er viktig å bevisstgjøre elevene på at kursene varierer fra dag til dag. Hvis det går bra med et lands økonomi, stiger kursen, mens den synker når det går dårligere med økonomien. Det er hele tiden små bevegelser i kursene og det er viktigere å legge vekt på at kursene varierer, enn på årsaken til variasjonene. I valutatabellen på side 147 er også prisen per enhet for de valutaene der en vanligvis oppgir prisen per 100 enheter, tatt med. Dette vil ikke være tilfelle når vi ser på kurstabeller i aviser, på internett eller på et vekslingskontor. Side 148 Oppgave I disse oppgavene skal elevene regne ut prisen på et bestemt antall av andre lands valuta. Side 149 Oppgave 44 Felles problemløsing. Side 150 Kan jeg Oppgave 1 Utregning av farten når tiden og strekningen er kjent. Oppgave 2 Utregning av strekningen når tiden og farten er kjent. Oppgave 3-4 Utregning av tiden det tar å forflytte seg når strekningen og farten er kjent.

77 Oppgave 5 Vi regner med enhetspriser. Side 151 Oppgave 6 Utregning av timelønn og månedslønn. Oppgave 7 Elevene skal oppgi priser på en fornuftig måte. Her må det godtas flere mulige svar fordi butikker oppgir priser på mange måter. Butikkene er likevel forpliktet til å oppgi for eksempel pris per kilogram i tillegg til stykkpris for varer som ikke selges i kilogramspakninger. Derfor vil pris per kilogram være mest naturlig i oppgave a og b. I oppgave c må vi både kunne si at prisen er 3 kr per stk eller 36 kr per 12 stk. Oppgave 8 Utregning av pris på et bestemt antall av andre lands valuta. Oppgave 9 Utregning av hvor mye et bestemt antall av andre lands valuta tilsvarer i norske penger. Oppgave 10 Sant eller usant. Side 152 Symbol: Måne Jeg regner mer Oppgave Oppgavene viser om elevene har fått med seg det grunnleggende stoffet i kapitlet, og gir en repetisjon av de ulike emnene. Hvis elever finner disse oppgavene vanskelige, anbefaler vi at de jobber videre med nøkkeloppgavene i oppgaveboka før de eventuelt fortsetter med måneoppgavene. Side 154 Symbol: Sol Oppgave Oppgavene er egnet for elever som behersker lærestoffet i kapitlet godt, og som trenger litt større utfordringer når det gjelder anvendelsen av kunnskapene.

78 Kapittel 13 Prosent og desimaltall Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 4. trinn kunne beskrive plassverdisystemet for de hele tallene, bruke positive og negative hele tall, enkle brøker og desimaltall i praktiske sammenhenger, og uttrykke tallstørrelser på varierte måter Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne beskrive plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, desimaltall, brøker og prosent, og plassere dem på tallinja Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet lære om prosentbegrepet brøk og prosent prosentvis forandring Innledende aktivitet Par av brøk og prosent Lag kort med brøkene: og andre kort med: 10 % 20 % 25 % 30 % 40 % 50 % 60 % 75 % 80 % 100 % Del ut kortene. Alle beveger seg rundt i rommet uten å snakke, og uten at kortet er synlig. På signal holder alle kortet synlig foran seg, og så skal de danne par raskest mulig.

79 Veiledning til kapittel 13 Side 164 Prosentbegrepet De fleste elever har et begrep om prosent fra før. De vet som regel at et hele er 100 %, og at 50 % er halvparten. De er også kjent med at priser kan være satt opp eller ned med et visst antall prosent. Drøft med elevene hvor mye skiene vil koste når prisen øker med 10 %. Bevisstgjør elevene på at én prosent er det samme som en hundredel. I begynnelsen er det mest hensiktsmessig at elevene først finner ut hvor mye én prosent av helheten er, før de regner videre for å finne andre prosentverdier. Når vi for eksempel skal finne hvor mye 20 % av 500 kr er, regner vi først ut hvor mye én prosent er og multipliserer svaret med 20. Det finnes selvfølgelig raskere måter å regne på, og elever med god forståelse vil ofte selv oppdage og bruke disse metodene. Side 165 Oppgave 1 8 I oppgave 1 3 og 4 6 benyttes de samme helhetene som elevene skal regne prosent av. Dette gjør at elevene i oppgave 2 og 3 kan bruke svarene i oppgave 1 når de regner, og i oppgave 5 og 6 kan de bruke svarene i oppgave 4. Å dividere på 10 i oppgave 2 og 5, og på 2 i oppgave 3 og 6 er selvfølgelig likevel riktige løsninger, men de vil ikke hjelpe elevene på samme måte i neste omgang. I oppgave 7 og 8 er det også hensiktsmessig å finne én prosent av helheten før svarene regnes ut. Side 166 Oppgave 9 11 I disse oppgavene må elevene lese ut av teksten hvilke beløp som tilsvarer hundre prosent, og så regne ut svarene på grunnlag av dette. Side 167 Brøk og prosent I denne problemstillingen er 40 elever helheten. Vi skal finne ut hvor mange prosent av elevene som liker musikk best, nærmere bestemt 15 elever. Drøft med elevene hvordan vi kan finne ut hvor mange prosent det er. I kapittel 9 lærte elevene å gjøre om mellom brøker og desimaltall ved å utvide brøkene til 10, 100 eller Men det er ofte tungvindt å måtte utvide brøkene før vi gjør om. For å kunne gjøre om alle brøker til desimaltall, benytter vi oss av at en brøk også er et divisjonsstykke. Ved å dividere telleren på nevneren, får vi et desimaltall til svar. I desimaltallet står hundredelene på de to første plassene bak desimaltegnet. Siden prosent og hundredeler er det samme, kan vi også bruke denne metoden til å regne ut prosent. Eksempel

80 ,375 = 37,5 % Side 168 Oppgave Oppgaver der elevene skal finne ut hvor mange prosent som er fargelagt av figurer, hvor mange prosent en mengde er av en helhet, og der de skal regne med prosent generelt. Side 170 Prosentvis forandring Noen ganger ønsker vi å vite hvor mange prosent prisen på en vare har gått opp eller ned. Da må vi kjenne den gamle prisen og den nye prisen. Drøft med elevene hvordan vi kan finne ut hvor mange prosent prisen på et par sko har økt, når prisen har gått opp fra 500 kr til 600 kr. Først må vi funne ut hvor stor forandringen i prisen er: 600 kr 500 kr = 100 kr Helheten er det beløpet skoene opprinnelig kostet. Det er alltid det som var før forandringen, som er helheten, i dette tilfellet 500 kr. Så dividerer vi forandringen på helheten og finner hvor mange prosent den tilsvarer: ,20 = 20 % En annen måte å beregne det samme på, er å dividere verdien etter forandringen på verdien før forandringen. Da får vi: 600 = 1,20 = 120 % 500 Av dette ser vi at den nye prisen er 20 % høyere enn den gamle, siden den gamle prisen utgjorde 100 %. Oppgave Oppgaver der elevene skal finne prosentvis forandring. I oppgave 21 og 22 kan de følge oppskriften fra side 170. I oppgave 23 er det viktig å vite hvilken pris som er grunnlaget for sammenlikningen. Siden de skal finne hvor mange prosent Patrik tjente på å handle på internett, er det butikkprisen som gir grunnlaget. 100 % tilsvarer altså 400 kr. I oppgave 24 sammenliknes det med den prisen Patrik betalte, og derfor er det denne ukjente prisen som utgjør 100 %. I oppgave 24 a finner vi derfor at prisen har gått opp med 12,5 %. Forslag til løsning på oppgave 24 b:

81 Siden 450 kr utgjør 112,5 %, kan vi finne 1 % ved å dividere 450 kr på 112,5. 1 % = 450kr = 4 kr 112,5 Patrik betalte 100 %, som er 4 kr 100 = 400 kr. Side 171 Oppgave 26 Felles problemløsing. Side 172 Kan jeg Oppgave 1 Å finne 1 % av en helhet. Oppgave 2 og 3 Å finne et bestemt antall prosent av en helhet. Oppgave 4 og 5 Å gjøre om fra brøk til prosent. I oppgave 4 kan vi enten utvide brøkene til nevner 100, eller gå veien om desimaltall ved å dividere telleren på nevneren. I oppgave 5 er den siste metoden mest naturlig å bruke. Oppgave 6 Å finne hvor mange prosent noe er av en helhet. Også her er det enklest å dividere og gå veien om desimaltall som gjøres om til prosent. Side 173 Oppgave 7 og 8 Å finne prosentvis forandring. Oppgave 9 Sant eller usant. Side 174 Symbol: Måne Jeg regner mer Oppgave Oppgavene viser om elevene har fått med seg det grunnleggende stoffet i kapitlet, og gir en repetisjon av de ulike emnene. Hvis elever finner disse oppgavene vanskelige anbefaler vi at de jobber videre med nøkkeloppgavene i oppgaveboka før de eventuelt fortsetter med måneoppgavene. Side 176 Symbol: Sol

82 Oppgave Oppgavene er egnet for elever som behersker lærestoffet i kapitlet godt, og som trenger litt større utfordringer når det gjelder anvendelsen av kunnskapene.

83 Kapittel 14 Regneark Læreplanen Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne beskrive referansesystemet og notasjonen som blir benyttet for formler i et regneark, og bruke regneark til å utføre og presentere enkle beregninger Elevene skal gjennom arbeidet med dette kapitlet lære om hva et regneark er hvordan vi kan gjøre utregninger i et regneark hvordan vi kan redusere antall desimaler i et tall budsjett og regnskap hvordan vi kan summere innholdet i celler Innledende aktivitet Hvilken farge har du på deg i dag Gjennomfør en undersøkelse over hvilke farger elevene har på klærne oventil en skoledag. Før resultatene opp i et regneark og lag et stolpediagram. Drøft med elevene hvordan observasjonene kan føres inn.