¾º  k 0 Ö f(n) = Θ(n log b a log k n) ØÙÓÑ Ø T(n) = Θ(n log b a log k+1 n) < cf(n)

Transkript

1 Ë ÙÓ ÑÓ Ó ÓÑ ØÖ Ó Ð ÓÖ ØÑ ½ Ë Ú Ö Ò Ù Å ¼ Ð Ñ Ö Ø ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÚÙºÐØ» ÞÙ» Ó¹ Ð ÓÖ ØÑ» Ó¹ Ð ÓÖ ØÑ ºÔ ½ È ØÓ Ô Ø ØÓ È Ö ÈÓ ØËÖ ÔØ ÓÖÑ Ø º Ì Ô Ô Ø Ô ÖÙÓ Ø Ä Ì ÎÁ Ú Ö ÒØ º

2 ÌÙÖ ÒÝ ½ Å Ø Ö Ø ÓÖ Ñ ¾ ½º½ Ã Ð Ø Ñ ÒÒ¹Ä Ò Ù ÑÓ öýñå ÑÙ º º º º º º º º º º º º º ¾ Ú Ù Ö Ù Ò Ù Ø Ù Ö Ñ Ø ÖÔÙ Ù ÖØ ÑÓ Ø Ù Ö Ñ ½½ º½ Ú Ù Ù ÙÒ Ø Ö ÙÒÙ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ú Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô Ð Ò ÑÙ Ù ÖØ ÑÓ Ð ÓÖ ØÑ ½ ÈÓÐ ÓÒÙ ØÖ Ò ÙÐ Å ÒÓ Ð Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ µ ¾¼ Ì Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ñ Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò µ ¾ º½ Å ö Ù Ó Ô Ù Ò Ó Ó Ö Ñ Ñ ÐÐ Ø ÒÐÓ Ò µ º º º º Ù ÐÙÑ Ö Ø Ù Å ØÝÑ ÖÖ Ò Ñ ÒØ Ò Ù Ð Øݵ ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö Ñ ÎÓÖÓÒÓ Ö Ñ µ ¼ Ì Ó Ú Ø ÔÓÞ ½¼ Ù Ù Ó Ö Ò Ù ÙÓÑ ÒÙ ØÖÙ Ø ÙÖÙ ½½ Ú Ø Ò Ö ÚÅ ÝÑ ½¾ ÊÓ ÓØÓ ÂÙ Ù ÈÐ Ò Ú Ñ ÊÓ ÓØ ÅÓØ ÓÒ ÈÐ ÒÒ Ò µ ½¼ ½ Å ØÓÑÙÑÓ Ö ½½ ½

3 ½ Å Ø Ö Ø ÓÖ Ñ Å Ø Ö Ø ÓÖ Ñ Ø ÓÑ Ú ÖØ Ò ÒØ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö Ó Ö Ø Ñ ÝÖ Ô ÖØÓ ÑÙ Ö ÙÖ Ò Ó µº Ì Ö Ñ ØÙÖ Ñ ÙÒ T(n) Ô ÖÅ öø Ò Ø ÙÖ Ò Ù Ù Å ÙÖ Ø Ò Ò ÐÝ Ý ( n ) T(n) = at + f(n), ½º½µ b a 1,b > 1 ÝÖ ÓÒ Ø ÒØÓ f(n) ÝÖ Ø Ñ ÙÒ º ÓÖÑÙÐÅ ½º½µ Ú ØÓ n b ÝÖ Ñ Ñ Ò Ø ÙÖ Ò Ù n b Ö n b º Ì ÒØ ÓÖÑÙÐ Ð ÓÖ ØÑÓ Ù Å Ø Ò ÙÑÙ Ö Ù µ ÙÓØ Ô ÔÖ Ø n ÝÖ Ùö¹ ÙÓØ Ý a ¹ Ô Ô Ð ÓÑÙ Ùö ÙÓ Ù Ù Ø Ö Ò ÒØ Ö ÙÖ Ó ÒÓÖ ÒØ ÔÖ Ø Ô Ö Ò Ò Ùö ÙÓØ n ¹ Ô Ô Ð ÓÑ Ø Ö Ù Ó Ùö ÙÓØ Ý ØÖ ØÙÓ Ñ Ú ¹ b Ó Ó ÝÖ Ú ÒÓ Ó Ý ö Óµ f(n) ¹ Ý ÒÙ ÒØ Ô Ô Ð ÓÑ Ö ØÐ Ø Ùö Ö ÙÖ ÝÚ Ù Ú Ø ÑÙ Ö Ó Ùö Ú Ò Ó Ô Ð Ò Ñ Ð Ö ÞÙØ ØÙ Ù ÙÒ Ñ µº Ì ÓÖ Ñ ½º¼º½ Å Ø Ö Ø ÓÖ Ñ µ Ì Ö Ñ T(n) ÝÖ ÙÒ Ø Ò Ò ÒØ ÐÝ Ý ½º½µº Ì Ó ÑÔØÓØ ØÓ ½º  f(n) = O(n log b a ε ) Ó ÒÓÖ ÓÒ Ø ÒØ ε > 0 ØÙÓÑ Ø T(n) = Θ(n log b a ) ¾

4 ¾º  k 0 Ö f(n) = Θ(n log b a log k n) ØÙÓÑ Ø T(n) = Θ(n log b a log k+1 n) º  f(n) = Ω(n log b a+ε ) Ó ÒÓÖ ÓÒ Ø ÒØ ε > 0 Ö af ( n b) < cf(n) c < 1 ØÙÓÑ Ø T(n) = Θ(f(n))º êýñå ÑÙ Ô ÖÅ ö Ñ ÝÖ Ò Ñ ÝÖ ÐÝ º Ì ÓÖ ÑÓ ÖÓ ÝÑ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ Ó ¾ º Ã Ô Ô ÚÝÞ Å Ø Ö Ø ÓÖ ÑÓ Ø ÝÑÓ Ð Ñ Ô Ò Ö ÒÅ Ø ÙÒ ÑÓ Ö Ù Ú ÑÓ Ñ Ö ÓÖص Ð ÓÖ ØÑ º Ì ÝÖ Ö Ù Ú ÑÓ Ð ÓÖ ØÑ Ô Ö ÝØ Ô Ð Ð Ý Ö Ú Ð Ý Ô Ö Ñ º ÈÖ ö Ó Ò ÙÖ Ù ÙÓØ Ö ÝÖ Ð Ñ Ú Ô Ø Ö Ú ÒÓ Ð Ø ÙÖ Ù ÙÓ Ñ Ú Ò Ð Ø Ö Ö Ô Ù ØÓ Ú ÙÖ Ù ÙÓØÓ ÐÝ ÝÖ Ù ÙÒ ÑÓ Ú Ò Ö º Â Ù Ô öýñ Ñ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö Ó Ð T(n) n ÔÖ Ò Ó Ö Ó Ð º Ì T(n) = 2T( n ) + n Ò Ñ Ö Ð Ñ Ú 2 Ú ÐÝ Ð Ö Ú ÒÓ ÐÝ Ù Ø Ñ T( n ) Ð Ó Ó Ö Ù Ù ÙÒ Ñ 2 Ùö Ñ n Ð Óº Ì Ð Ñ ÔÖ Ø ÝØ ÙÒ T(n) Å Ø Ö Ø ÓÖ Ñ ÒØÖ ÔÙÒ Ø a = b = 2, log b a = 1,k = 0,f(n) = nº ÌÓ Å Ð ÙÒ Ñ T(n) Θ(n log n) Ø ÝÖ ÙÒ ÑÓ Ö Ù Ú ÑÓ Ð ÓÖ ØÑ Ö O(n log n) Ð Óº È Ò Å Ø Ö Ø ÓÖ Ñ ÝÖ Ø ÓÑ Ö Ø Ñ Ö ÙÖ ÝÚ Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ñ º ½º½ Ã Ð Ø Ñ ÒÒ¹Ä Ò Ù ÑÓ öýñå ÑÙ Ô ÖÅ ö Ñ ½º½º½ Ë Ý Ñ f(n) O(g(n)) Ù ÝÖ ØÓ k > 0,n 0 ÙÖ n > n 0 Ø Ò Ò ÐÝ Ý f(n) k g(n) º Ã Ø Ô Ø Ö ÒØ ÙÒ f ÝÖ ÔÖ ÓØ Ú Ö Ù ÙÒ Ó g ÑÔØÓØ n º Ô ÖÅ ö Ñ ½º½º¾ Ë Ý Ñ f(n) Ω(g(n)) Ù ÝÖ ØÓ k > 0,n 0 ÙÖ n > n 0 Ø Ò Ò ÐÝ Ý k g(n) f(n) º Ã Ø Ô Ø Ö ÒØ ÙÒ f ÝÖ ÔÖ ÓØ Ô Ó ÙÒ Ó g ÑÔØÓØ n º Ô ÖÅ ö Ñ ½º½º Ë Ý Ñ f(n) Θ(g(n)) Ù ÝÖ ØÓ k 1,k 2 > 0,n 0 ÙÖ n > n 0 Ø Ò Ò ÐÝ Ý k 1 g(n) f(n) k 2 g(n) º Ã Ø Ô Ø Ö ÒØ ÙÒ f ÝÖ ÔÖ ÓØ Ô Ó Ö Ú Ö Ù ÙÒ Ó g ÑÔØÓØ n º

5 ¾ Ú Ù Ö Ù Ò Ù Ø Ù Ö Ñ Íö Ú ÒÝ ¾º¼º ÙÓØ Å Q ÙÖ Ù ÖÓ n 2 Ø Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ º Ê Ø Ø Ù ÔÓÖ ÙÖ Ó Ø ÙØÙ Ö Ù Ú Ò ØÓº Ø ØÙÑ Ø ÖÔ Ø Ù p 1 = (x 1,y 1 ) Ö p 2 = (x 2,y 2 ) Ô ÙÓ Ñ Ö Ñ ÒØ ÓÖ¹ ÑÙÐ d(p 1,p 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. ¾º½µ Ù Ø Å Q Ð ÙØ ÔØ ØÓ Ù ØÚ Ù Ø ØÙÑ Ø ÖÔ Ù ÐÝ Ù ¼ ÒÙÐ Ù µº Ì ÝÑ â Ùö Ú ÒÝ ÝÖ ÔÖ Ø Ø ÓÑ ÑÓ ÓÒØÖÓÐÅ Ø ÑÓ º Ë Ø Ñ Ö ÙÐ ¹ ÙÓ Ò Ú Ò Ò Ö ÓÖÓ Ñ Ö ö ÒÓØ Ù Ö Ù Ò Ù ÙÒÙ ØÓ Ù Ù Ù Ô ÒØ ÒÙ Ø ØÝØ Ð ÑÙ Ù ÙÖ ÑÙ Ö Ù Ú Ò Ø º Ð ÓÖ ØÑ ÆÖº½ È ÖÑ Ð ÓÖ ØÑ ö ÒÓÑ ÖÙ Ó Å Ó Ò º ÖÙØ ¹ ÓÖ µ Ú Ö Ù ¹ Ô ¹ ÔÖ Ù Ñ Ö ÐÝ Ò Ú Ù Ø Ù Ø ÖÔÙ ÚÝ º ÌÓ Ù Ù Ù Ô ÐÝ Ò Ñ C 2 n ÔÓÖÙ º â Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ù Å Ø Ò ÙÑ O(n 2 )º

6 Ð ÓÖ ØÑ ÆÖº¾ ÒØÖ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ù Ó Ô Ö Ñ Ë Ð Ý Ö Î Ð Ý Ò º Ú ¹ Ò ¹ ÓÒÕÙ Ö µ ÙÐÓ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ù Ö Ò ÒØ Ù Ñ ö Ù Ø ÖÔÙ ÚÝ ÒÙØÓÐÙ Ù Ø Ù º ÁÒÔÙØ n Ø Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ º ÇÙØÔÙØ Ù Ø ¹ Ø ÖÔ ÙÖ Ù Ø ØÙÑ ÝÖ Ñ ö Ù º ¼º È ÖÙÓ Ñ ö Ò Ò ¹ Ø Ù ÙÖ Ù Ú Ñ ÈÖ ÔÖ ÒØ ÚÝ ÝØ Ð ÓÖ ØÑ ¹ Ñ Ô ÖÑ Ù ÙÖ Ù ÙÓ Ñ Ø Ù º Î Ù Å Ø Ù Ö Ù ÙÓ Ñ Å ÑÓ ØÚ Ö Ô Ð x¹ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÙÓ Ù ÓÑ Ñ ÝÚ X ÔÓ ØÓ ÙÖ Ù ÙÓ Ñ Å ÑÓ ØÚ Ö Ô Ð y¹ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ù ÓÑ Ñ ÝÚ Y º ÎÅ Ð Ò Ö ÙÖ Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ø Ñ Ò Ù Ó Ù Ò ØÓ ÙÖ Ù ÙÓØ Ø ØÓ Å Ð Ò Ö Ö Ù ÙÓØ Ú Ò ÖØ Ò Ù Óº â Ø Ù Ö Ù Ú Ñ ÔÖ Ô Ô Ð Ó¹ Ñ O(n log n) ÓÔ Ö Ù ÚÝ ÝÑÓ Ð Ù Ø Ö Ú Ò Ö ÙÖ Ò Ú Ø Ñ ÚÝ ÓÑ Ø º Ù Ù Ô ÚÝ ÝÑÓ Ð Ô Ð Å Ñ ÚÅ Ð Ù Ö Ô Ñ ØÝ Ñ Ö Ù Ú Ñ ÔÖ ö Ó ÙØ ÙÔÓ ÚÝ ÝÑÓ Ð Óº ½º Ð ÓÖ ØÑÓ ÐÓÒÓ Ô Ö Ò Ñ Ã Ú Ò Ö ÙÖ Ò Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ø Ñ ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÙ P Q Å Q ÔÓ P µ Ñ ÝÚ X Ö Ñ ÝÚ Y ÙÖ ÙÓ ÝÖ Ú ÔÓ Ý P Ò¹ ØÝ Ø º Å ÝÚ X ÒØÝ Ø ÝÖ Ö Ù ÙÓØ x¹ ÓÓÖ Ò ØÅ Å ÑÓ ØÚ Ö º Y Ñ ÝÚ ÒØÝ Ø ÝÖ ÙÖ Ù ÙÓØ y¹ ÓÓÖ Ò ØÅ Å ÑÓ ØÚ Ö º ÆÓÖÅ Ñ Ô Ø O(n log n) Ð Ó Ö Ñ Ò Ð Ñ Ð Ø Ø Ù Ñ ÝÚÙÓ X Ö Y Ö Ù ÙÓØ Ú Ò¹ Ñ Ö ÙÖ Ñ Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ø Ñ º Â Ù Ú ÒÙ ÔÖ ØÙÑ Ø Ô ÖÝØ ØÙÓÑ Ø Ú Ò Ö ÙÖ Ö Ô Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ùö ÑØÙ T(n) = 2T( n ) + O(n log n)º 2 ÁÖ Ñ Ù Ù Ú Ð ÓÖ ØÑÓ ÚÝ ÝÑÓ Ù Å Ø Ò ÙÑ ÙØÙ O(n log 2 n) Ô Ð Å Ø Ö Ø ÓÖ Ñ ½º¼º½ ¾ ÔÙÒ Ø ½µº Ã Ô ö Ò Ñ ÒÓÖ Ñ Ô Ø T(n) = O(n log n) Ù Å Ø Ò ÙÑ º Ã Ú Ò Ö ÙÖ Ò Ú Ø Ñ Ù Ô Ö Ñ ØÖ P X Ö Y ¹ Ú Ù Ô ÖÑ Ô Ø Ö Ò Ö P 3 º Â Ù Ø Ô Ú Ø Ñ Ô ÔÖ Ù ÚÝ Ó Ò Ù Ñ ÒÅ Ø ÖÙØ ¹ ÓÖ Ñ ØÓ ¹ Ô Ø Ö Ò Ú Ø Ù ÔÓÖ Ö Ö ö Ò Ø ÙÖ Ó

7 Ø ÝÖ Ñ ö Ù ÒÙØÓк  P > 3 Ö ÙÖ Ò Ú Ø Ñ ÚÝ Ó Ú ¹ Ò ¹ ÓÒÕÙ Ö ÐÓÒ ÙÖ Ó Ñ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÝØ Ú Ñ ö Ò Ö ÔÖ Ø Ø Ö Ó ÔÓ ØÓ Ô ÙÒ Ø ÙØÙ Ö ÞÙÐØ ØÙ º ¾º Ú Ð ÎÝ Ý Ñ Ð ¹ Ö Ò Ñ Ú ÖØ Ð Ð Ò l ÙÖ Ô Ð Ø Ù P Ù ÔÓ Ù P L Ö P R Ø Ô Ú Ò Ñ Ù ÙØÙ ÔÓ ÔÙ Å P Ò Ù Ø Ù º Î Ø ÒØÝ P L Å ÝÖ Ö ÖÅ Ð Ò Ó l ÔÙ Å Ö ÒØ Ó Ð Ò Ó º Ò ÐÓ Ø ÒØÝ P R Å ÝÖ Ö ÒÅ Ð Ò Ó l ÔÙ Å Ö ÒØ Ó Ð Ò Ó º Å ÝÚ X ÝÖ Ù Ð ÓÑ Ù Ñ ÝÚÙ X L Ö X R ÙÖ ØÙÖ Ø Ø Ò Ñ Ø Ù Ù P L Ö P R ÙÖ Ù ÙÓØÙ Ô Ð Å Ò x¹ ÓÓÖ Ò Øº Ì Ô Ô Ø Ô Ð Ò Ñ Ö Ñ ÝÚ Y Ù Ñ ÝÚÙ Y L Ö Y R ÙÖ Ù Ó Ø Ø Ò Ñ Ø Ù P L Ö P R ÙÖ Ù ÙÓØÙ Ô Ð Å Ò y¹ ÓÓÖ Ò Øº º ÓÒÕÙ Ö Ð È Ð ÒÙ ÔÓ P Ù ÔÓ Ù P L Ö P R ÑÙÑ Ö Ú Ù Ö ÙÖ ÝÚ Ù Ú Ø ÑÙ ¹ Ú ÒÓ ÙÖ Ø Ö Ù Ò Ù Ø Ù ÔÓ Ý P L Ó ØÓ ÙÖ Ø Ú Ñ Ö Ù ÒØ Ñ Ø Ñ ÔÓ Ý P R º È ÖÑÓ Ó Ö ÙÖ Ó Ô Ö Ñ ØÖ ÝÖ ÔÓ P L Ö Ñ ÝÚ X L Y L º ÒØÖÓ Ó Ö ÙÖ Ó Ô Ö Ñ ØÖ ÝÖ ÔÓ P R Ö Ñ ÝÚ X R Y R º Ã Ú ÒÓ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ö ÒØ Ø ØÙÑ Ø ÖÔ ÖØ Ñ Ù Ù Ø Ù öýñå Ñ Ø Ø Ò Ñ ÔÓ Ó P L ¹ δ L ÔÓ Ó P R ¹ δ R º º ÓÑ Ò Ð È öýñå Ñ δ = min{δ L,δ R }º º È Ø Ö Ò Ñ Ö Ø ÒØÝ ÖØ Ò Ó Ø Å l ÔÙ Å ÒÅ Ö Ö Ù Ùö Ö Ø δ Ì Ñ ÙÖ ØÙ ØÓ Ø Ù ÔÓÖ Ú Ó Þ ØÙÓ µ ÙÖ Ó ÒØÝ Ø ÝÖ Ñ ö Ò Ù Ò Ö Ø δ ¹ Ð ÓÖ ØÑ ØÐ Ò Ù ö Ò Ò Ù º ËÙ ÙÖ Ñ Ñ ÝÚ Ẏ ÙÖ Ñ ÝÖ Ú Ñ ÝÚÓ Y Ø Ô Ø Ò ÒØÝ Ú Ö¹ Ø Ð 2δ ÔÐÓ Ó ÙÓ Ø ÙÖ Ó Ú ÙÖÝ ÝÖ Ø Å lº Ã Ø Ø Ñ Ñ º Å ÝÚ

8 ÝÖ ÙÖ Ù ÙÓØ Ø Ô Ô Ø Ô Ö Ñ ÝÚ Y غݺ Ô Ð y¹ ÓÓÖ Ò Øºµ º Ã Ú Ò Ñ Ø Ù p Ò Ñ Ñ ÝÚ Ẏ ¹ Ð ÓÖ ØÑ ÑÅ Ò ÙÖ Ø Ø Ù ØÓ Ô Ø Ñ ÝÚÓ Ẏ ÙÖ ÒÙØÓÐ Ñ ö Ò Ù Ò δ Ø ØÙÑÙ ÒÙÓ Ø Ó pº Ã Ô Ø Ò Ñ ÚÅ Ð Ù ¹ ØÅ Ö ØÓ Ð Ñ Ø ÙÖ Ò ÔÓ Ø Ó p Ö ØÙÖ ÙØ Ô Ø Ö ÒØ º Ð ÓÖ ØÑ Ô ÙÓ Ø ØÙÑÙ ÒÙÓ Ø Ó p Ú ÒÓ Ø Ù Ö Ù Ó Ñ ö Ù Ø ØÙÑ δ Ö Ø ÐÝ Ò ÒØ Ø Ù ÔÓÖ Ò Ñ ÝÚ Ẏ º º  δ δ ØÙÓÑ Ø Ú ÖØ Ð Ó ÙÓ ØÓ Ø ÖÙ Ù ÝÖ Ù Ø Ø ÖÔ ÙÖ Ù Ø ØÙÑ ÝÖ Ñ ö Ò Ò Ö Ø Ö ÙÖ ÙÓ Ú Ø Ò ÙÓ º ÌÙÓÑ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ö ö Ò ÙÓ Ù Ø Ù Ö Ø ØÙÑ Ø ÖÔ Ù δº Ã ØÙ ØÚ Ù Ö ö Ò Ñ Ö Ù ÒØÝ Ø Ö Ø ØÙÑ Ø ÖÔ Ù δ Ö Ø Ú Ò Ñ Ö ÙÖ Ò Ù Ú Ø Ò Ù º ÃÓÖ Ø ÙÑ â Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ Ø ÙÑ ÝÖ Ú Þ Ù ÝÖÙ Ù Ô ØÙ º È ÖÑ Ð Ô ÔÖ Ø Ùö Ñ Ö ÙÖ P 3 Ñ ÙöØ Ö Ò Ñ Ò Ò Ù Ð¹ Ý Ñ ÔÓ Ó ØÓ ÙÖ Ù Ø Ú ÒÓ Ø Óº ÒØÖ Ô Ø ÝÖ Ø ÑÙÑ Ø Ö Ô Ø Ö ÒØ Ø Ø Ù Ò Ù Ø p Ñ ÝÚ Ẏ Ø Ô ÙÚÓ ØÚ ÖØ Ò Ñ ÔÙÒ Ø µº Ö ÖÓ Ý Ñ ÚÝ º Ì Ö Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ö Ñ Ö ÙÖ Ó ÐÝ Ý Ö Ö Ù ÒØÝ Ø ÝÖ p L P L Ö p R P R º ØÓ Ø ØÙÑ δ Ø ÖÔ Ø Ù p L Ö p R ÝÖ Ñ ö Ò Ùö δº Ì p L ÝÖ ÒØ Ø Å l Ö ÒÙØÓÐ ÒÙÓ Ó Ö Ñ ö Ù Ô Ô Ö δ Ø ØÙÑ º ÄÝ Ø Ô Ô Ø Ø p R ÝÖ ÒØ Ø Å l Ö ÒÙØÓÐ ÒÙÓ Ó Ò Ñ ö Ù Ô Ô Ö δ Ø ØÙÑ º ØÓ p L Ö p R ÝÖ ÒÙØÓÐ Ú Ò ÒÙÓ ØÓ Ñ ö Ù Ò Ô Ö δ Ø ØÙÑ Ú ÖØ Ð º ÌÓ Å Ð Ô ÖÓ Ó Ð Ù ØÖ È Úº ¾º½ p L Ö p R ÝÖ δ 2δ Ø ÑÔÝ ÒØÖÙÓØ Ñ Ô Ð Ø lº ÌÓÐ Ù Ø Ò Ñ Ù Ù Ø Å P Ð ÙØ δ 2δ Ø ÑÔÝ º ê ÙÖÅ Ñ δ δ Ø ÑÔ ÙÖ Ù ÖÓ Ö Ø ÑÔ Ó Ð º Ã Ò Ú Ø ÒØÝ P L ÔÓ Ý ÝÖ ÒÙØÓÐ Ñ ö Ù δ Ø ØÙÑÙ Ú Ò ÒÙÓ ØÓ ØÓ Å Ð Ù Ù ØÓ Ø Ð Þ ØÙÓØ Ñ Ú Ö Ø º ÁÐ Ù ØÖ È Úº ¾º¾ Ô ÖÓ Ó Ôº ÄÝ Ø Ô Ô Ø ÒÅ Ø ÑÔ Ó ÔÙ Å Ò Ñ Ú Ö Ø ¹ Ù Ù

9 È Úº ¾º½ Ì Ù Ù Ö ØÝÑ Ú Ô Ð Ø lº Ð Þ ØÙÓØ Ø º ÌÓ Å Ð Ù Ù Ø Ð ÙØ Ø ÑÔÝ δ 2δº Á Ò ÙÒ Ù Ô Ñ ØÝØ ÑÙÑ Ø Ö Ô Ø Ö ÒØ Ø Ù Ò Ù Ú Ò Ø Ñ ÝÚ Ẏ º Î Å ÐØÓ Ø Ö ÒØ Ö Ù ÒØÝ Ø ÝÖ P L Ö P R Ø Ô Ô Ø Ø Ö Ñ È L Ò ÔÖ Ñ Ù P R Ñ ÝÚ Ẏ º ÌÙÓÑ Ø Ò Ø P L ÙØ Ñ Ô Ñ ÒÓÑ Ò Ù Ñ ÝÚ Ẏ Ó P R Ô Ñ ÒÓÑ ÚÅ Ð Ù ¹ P R Ù Ú ÒÓ ÔÓÞ Ù Ò Ò Ù ÔÓ P L º Ì ÖÓ ÓÑ Ö Ù Ò Ù Ø Ù Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÖ Ø ÙÑ º È Úº ¾º¾ Å Ñ ÐÙ Ø Ù Ù Ø ÑÔÝ Ö Ù ÓÒ Ô öýñ Ø Ø Ð ÔÖ Ð Ù ÝØ Ñ Å Ñ P L,P R µº Ê Ð Þ Ö ÚÝ ÝÑÓ Ð

10 Å Ù Ù Ø Ð ÝÖ Ô Ø Ö ÙÖ ÒØ ÚÝ ÓÑÓ Ó Ó Ö Ø ÐÝ Ù ( n T(n) = 2T + O(n), 2) T(n) Ö ÙÖ Ó ö Ò Ò Ó ÚÝ ÝÑÓ Ð Å Ù ÖÝØÓ n Ø Ù º È Ö Ò ÒÅ Ð ÙØ ÝÖ ÙöØ Ö ÒØ Ñ ÝÚ X L X R Y L Y R Ẏ ÙÖ ÝÖ ÙÒ Ñ Ô Ô Ö Ñ ØÖ Ö ÙÖ ÚÝ ÓÑ Ñ Ó Ù ÙØÙ ÙÖ Ù ÙÓØ Ô Ð Ø Ò Ñ ÓÓÖ Ò Øº Â Ñ ÝÚ X ÙØ Ö ÙÖ Ñ Ú Ø Ñ ÝÖ Ò ØÓ ÙÖ Ù ÙÓØ ØÙÓÑ Ø Å P Å Ð Ñ Ù ÔÓ Ù P L Ö P R ÚÝ Ø Ø Ò Ù Ö Ùº Ñ Ò Ô Ø Å ¹ Ñ Ú Ò Ñ Ö ÙÖ Ñ Ú Ø Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ ØÙÖÅ Ø ÙÖ Ù ÙÓØ Ñ ÝÚ º Ö Ù Ù Ò Ù Ñ ÝÚ ØÙÖ ÙØ Ù ÓÖÑÙÓØ Ø Ò Ù Ð Ùº Å Ø Ô ÖÓÑ Ô ÔÖ Ù Ô Öö ÙÖÅ Ñ Ø Ù Ñ ÝÚ º  i¹ø Ñ ÝÚÓ Ø ÔÖ Ð Ù Ó P L Ñ ÔÖ Ñ Ø Ø Ò Ñ ÔÖ X L Y L º  i¹ø Ñ ÝÚÓ Ø ÔÖ Ð Ù Ó P R ØÙÓÑ Ø Ñ ÔÖ Ñ ÔÖ X R Y R º ÌÓ Ô Ø ÔÖ Ò Ô Ð Ó Ö ÒØ Ø Ù Ẏ º È Ù Ó Ó Ð Ò Ø [Y L ] Ð Ò Ø [Y R ] 0 ÓÖ i 1 ØÓ Ð Ò Ø [Y ] Ó Y [i] P L Ø Ò Ð Ò Ø [Y L ] Ð Ò Ø [Y L ] + 1 Y L [length[y L ]] Y [i] Ð Ð Ò Ø [Y R ] Ð Ò Ø [Y R ] + 1 Y R [ length[y R ]] Y [i] ÎÝ ÝÑÓ Ð Î Ò ÒØ Ð Ð Ð Ù Ñ ÝÖ Ó Ù Ù Ù Ñ Ô Ñ Ñ ÝÚ ÙØÙ Ö Ù ÙÓ Ñ Ø Ò Ù Ð Ùº Ì ÝÖ Ô ÖÓÑ Ô ÔÖ Ù ÔÖ ö Ó ÙÖ Ù ÚÙ Ø Ù º ÌÓÐ Ù Ú Ñ Ö ÙÖ Ù Ð ÓÖ ØÑÓ ö Ò Ò Ù Ñ Ñ Ô ÙÓ Ñ Ù

11 ÙÖ Ù ÙÓØ Ñ ÝÚ ØÓ Å Ð Ò Ù Ó Ö Ù ÙÓØ Ò Ö º â Ò ØÓ Ô ÖÝØ Ö Ù Ú Ñ ÔÖ Ô Ô Ð ÓÑ O(n log n) ÚÝ ÝÑÓ Ð Ù Ø Ù Ö Ú Ò Ö Ù ö Ò Ò ÝÖ ÚÝ ÓÑ Ø º ÌÓ Å Ð T(n) Ô öýñå Ñ Ú ÒÓ Ö ÙÖ Ó ö Ò Ò Ó ÚÝ ÝÑ Ó T(n) Ú Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÚÝ ÝÑÓ Ð Ø Ù Ñ T(n) = T(n)+ O(n log n) Ö T(n) = { 2T( n) + O(n), Ù n > 3, 2 O(1), Ù n 3. ¾º¾µ ÌÓ Å Ð T(n) = O(n log n) Ô Ð Å Ø Ö Ø ÓÖ Ñ ¾ ÔÙÒ Ø ööº ½º¼º½ Ö ¾ µµ Ö T(n) = O(n log n) ½¼

12 Ø ÖÔÙ Ù ÖØ ÑÓ Ø Ù Ö Ñ ÁÒÔÙØ Å Ë Ù ÒØ Ò Ø ÖÔÙ º ÇÙØÔÙØ Î Ù ÖØ Ñ º Ð ÓÖ ØÑ ÆÖº½ ÖÙ Ó Å Ó Ò º ÖÙØ ¹ ÓÖ µ â Ñ Ð ÓÖ ØÑ ÝÖ Ø Ö Ò Ñ Ú Ò Ø ÖÔÙ ÔÓÖ ¹ Ö Ø ÖÔÓ Ù ÖØ Ö Ø Ô Ø Ð ÓÖ ØÑ Ô ÙÓ Ù ÖØ ÑÓ Ø º ÖÙ Ó Å Ó Ð ÓÖ ØÑ ÝÖ O(n 2 ) Ù Å Ø Ò ÙÑÓº Ã Ú Ó ÔÓÖÓ Ø ÖÔÙ Ù ÖØ ¹ Ú Ò Ð ÓÖ ØÑ Ùö Ñ Ω(n 2 ) Ð Óº ÌÓ Å Ð ØÓ Ñ ØÚ Ù Ø Ò ÖÙ Ó Å Ó Ð ÓÖ ØÑ º ½½

13 Ð ÓÖ ØÑ ¹ Ø ÖÔÙ Ù ÖØ ÑÓ Ø Ù Ð ÓÖ ØÑ â Ð ÓÖ ØÑ ÔÖ Ð Ù Ó Ò Ø ÒÙÓ Ø ÖÔÙ Ù Ø Ö ÒÙÓ Ø Ù Ù ÖØ ÑÙ Ù º ÐÓ Ù Ù ØÚ Ù Ú Ò Ø ÖÔ Ù ÖØ Ù Ø Ø ÖÔ Ð Ó¹ Ö ØÑ Ùö Ñ Ø Ô Ø Ð Ó Ô Ö ÖÙ Ó Å Ó Ð ÓÖ ØÑ º Ø ØÙÓ ØÚ Ù Ù ÖØ ÑÙ Ñ ö Ù Ñ Ù Ù Ò Ö ÒÅ Ñ Ð ÓÖ ØÑ ÚÝ Ø Ö Ù Ò Ù ÖÙ Ó Å Ó Ð ÓÖ ØÑ º Ð ÓÖ ØÑ Ö ÝÖ Ú Ò Ñ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ó Ø Å Ð ÓÖ ØÑÙº Ì Ö Ñ Ñ ØÙÖ Ñ S ÙÖ Ù Ø ÖÔÙ Ö ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ò l ÙÖ Ù Ú Ö Ù ö ÑÝÒº Ð ÓÖ ØÑ ÖÓ Ú ÑÙ Ø ÚÝ Ó Ñ ØÙº Ä Ñ º¼º Ì Ù ÝÖ Ú Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ó Ø Å s Ö l ÙÖ Ó Ù ÖØ Ø p Ö ÒÅ Ö ØÖ Ó Ø Å ÙÖ Ö ØÙ Ø pºìùóñ Ø ÙØ Ò Ø Ö ÚÝ Ò Ø Ò Ù ÖØ ÑÓ Ø Ù ÙÓÑ Ø Ø Å s Ö l Ù Ø Ö Ò ÑÓ Ö ÖØ º ½¾

14 Á ÚÝ ÝÖ Ø ÔÙ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ò ÙØ Ò Ø ÖÔÓ Ú Ö ÙÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ò ÙØ Ò Ø ÖÔÙ Ù ÖØ Ñ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ò ÙØ Ò Ø ÖÔÓ Ô Ø Ò Ú Ö ÙÒº Ð ÓÖ ØÑÙ Ö Ð Ò Ó Ú ØÖÙ Ø ÙÖÓ ÚÝ Ù ÐÅ Q Ö Ð ÓÖ ØÑÓ Ù ÒÓ Å τº Ô ÖÅ ö Ñ º¼º Á ÚÝ Ù ÐÅ Q Ø ÝÖ ØÖÙ Ø ÙÖ Ú Ø Ò Ô Ó Ñ µ Ù¹ Ö Ó Ù ÓÑ Ò ÓÖÑ Ô ÚÝ Ù º ÁÒ ÓÖÑ Ù ÓÑ ÙÖ Ù ÙÓØ Ñ Ô Ú Ð Ð Ó Ö ÒÅ ØÚ Ö ¹ ÔÖ ö Ù Ú Ö Ù Ô ÖÅ Òµº Ô ÖÅ ö Ñ º¼º Ð ÓÖ ØÑÓ Ù ÒÓ Å τ ¹ Ø ÝÖ ØÖÙ Ø ÙÖ Ú Ø Ò Ô Ó Ñ µ ÙÖ Ó ÙÖ Ù ÙÓØ Ñ Ô Ú Ð ÖÅ Òµ Ù ÓÑÓ Ø ÖÔÓ ÙÖ Ó ÖØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ò lº ½

15 È Ù Ó Ó ÁÒÔÙØ Å S ¹ Ø ÖÔÙ Å º ÇÙØÔÙØ ËÙ ÖØ ÑÓ Ø Ù Å ¹ ÔÖ Ú ÒÓ Ø Ó Ù ÓÑÓ Ù ÖØ Ò Ó Ø ÖÔÓ º ½º ËÙ ÙÖ Ñ ØÙ ÚÝ Ù Qº Á Ñ ÚÝ Ù Ø ÖÔÓ Ú Ö ÙÒÅ ÚÝ Ö Ø ÖÔÓ Ú Ö ÙÒÅ Ô Ó ÚÝ º ½

16 ¾º ËÙ ÙÖ Ñ ØÙ Ð ÓÖ ØÑÓ Ù ÒÓ τº º ÃÓÐ ÚÝ Ù Å Q ÒÅ Ö ØÙ Ô Ñ Ñ Ô ÖÑ ÐÅ ÚÝ p Ô Ð Ò Ñ ÐÅ Ö Ô ÓÖÓ Ñ º º Á ÚÝ Ó p Ô ÓÖÓ Ñ ÔÖ Ð Ù ÓÑ ÒÙÓ ÚÝ Ó Ø ÔÓ º Â Ø ÝÖ Ø ÖÔÓ Ú Ö ÙÒÅ Ø Ø ÔÖ Ñ ÔÖ Å τ Ø ÖÔ Ö Ø Ö ¹ Ò Ñ Ö Ò Ù Ø ÖÔ Ò Ù ÖØ Ù ÑÝÒ º Â Ø Ô ØÙÓÑ Ø ÔÖ Ñ ÔÖ Å Q Ò Ù ÚÝ ¹ Ù ÖØ ÑÓ Ø º º Â Ø ÝÖ Ù ÖØ ÑÓ Ø Ø Ô Ñ Ú ØÓÑ Ø ÖÔ ØÖÙ Ø ÙÖÓ τ Ö Ô Ø Ö Ò Ñ Ö Ø ÖÔÓ Ò Ù ÖØ Ù ÑÝÒ º Â Ø Ô ØÙÓÑ Ø ÔÖ Ñ ÔÖ Å Q Ò Ù ÚÝ ¹ Ù ÖØ ÑÓ Ø º º Â Ø ÝÖ Ø ÖÔÓ Ô Ø Ò Ø Ø Ô Ð Ò Ñ Ø ÖÔ ØÖÙ Ø ÙÖÓ τ Ö Ø Ö Ò Ñ Ö Ø ÖÔÓ ÙÚ ÑÝÒ Ò Ù ÖØ Ø ÖÔÙ ÚÝ º Â Ø Ô ØÙÓÑ Ø ÔÖ Ñ ÔÖ Å Q Ò Ù ÚÝ ¹ Ù ÖØ ÑÓ Ø º ËÙ Å Ø Ò ÙÑ ½

17 Ð ÓÖ ØÑÓ Ù Å Ø Ò ÙÑ ÝÖ O(n log n + I log n) ÙÖ n ¹ Ø ÖÔÙ Ù Ó I ¹ Ù ÖØ ÑÙ Ù º ÓÖ ØÑ Ö Ð Ù O(n) Ú ØÓ ØÑ ÒØÝ º º½ Ú Ù Ù ÙÒ Ø Ö ÙÒÙ Ö Ú Ù Ù ÙÒ Ø Ö ÙÒÙ Ö ØÓÐ Ù Ë Ëµ ÝÖ ØÖÙ Ø ÙÖ ÙÖ Ú Þ ÙÓ ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô Ð Ò Ñ º Ú Ù Ù ÙÒ Ø Ö ÙÒÙ Ö Ù Ô Ð Ò ÑÓ ÒÙ Ö ÙÒÙ Ö Ú Ö ÙÒ Ù º Ã Ò Ú Ò Ö ÙÒ Ö Ó Ú Ò ¹ Ë Ë Ú ØÓ Ú ÒÓ ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô Ð Ò ÑÓ Ö ÙÒÓ ¹ Ñ ØÙÖ Ñ ¾ ÓÖ ÒØÙÓØ Ö ÙÒ ÙÖ Ó Ø ÖÔÙ ÚÝ Ú Ò ÑÓ ÚÝÒÙ º ½

18 ÌÖÙÑÔ ÔÖ Ý Ñ Ë Ë ØÖÙ Ø ÙÖ Ú Ö ÙÒÅ Ö Ú Ö ÙÒÅ ÓÓÖ Ò ØÅ ÒÙÓÖÓ ÓÖ ÒØÙÓØ Ö ÙÒ ÙÖ Ò Ú Ö ÙÒÅ ÒÓ Ö ÓÖ ÒÅ ÓÑÔÓÒ ÒØÅ Ú ÒÅ ÓÑÔÓÒ ÒØÅ Ö ÙÒÓ Ö ÒÙÓÖÓ Ú Ö ÙÒ ÙÖ Ó Ò ÓÖ ÒØÙÓØ Ö ÙÒ ÓÖ ÒØÙÓØÓ Ö ÙÒÓ ÚÝÒÙ Ò ÒØ ÒÅ Ò ÒØ ÓÖ ÒØÙÓØ Ö ÙÒ ÔÖ Ø Ò ÒØ ÓÖ ÒØÙÓØ Ö ÙÒ º ½

19 Ú Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô Ð Ò ÑÙ Ù ÖØ ÑÓ Ð ÓÖ ØÑ Ð ÓÖ ØÑÙ Ö Ð Ò Ó ØÖÙ Ø ÙÖÓ ¹ ÚÝ Ù ÐÅ Q Ð ÓÖ ØÑÓ Ù ÒÙ Å τ Ö Ú Ù Ù ÙÒ Ø Ö ÙÒÙ Ö ØÓÐ Ù Ë Ëµ Oº È Ù Ó Ó ½º ËÙ ÙÖØ Ú Ù Ù ÙÒ Ø Ö ÙÒÙ Ö O ÙÖ Ù Ú Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô Ð Ò ÑÙ º ÃÓÐ Ø ÒÅ Ö Ø Ò Ú Ù Ù ÙÒ Ø Ö ÙÒÙ Ö º ½

20 ¾º Ê Ø Ú Ù Ú Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô Ð Ò ÑÙ Ù ÖØ ÑÓ Ø Ù º º ËÙØÚ Ö ÝØ Ú Ö ÙÒ ¹ Ú ØÓ Ú ÒÓ Ö ÙÒÓ ÖØ Ò Ó Ø ØÙÖ Ø Ö¹ Ø Ú Ö ÙÒÓ Ù Ø Ò ÙØÚ Ö ÝØ Ð Ù º ÃÓÐ Ð Ù Ò ÒØ ÒÅ Ò Ð Ò Ô Ø ÝØ º º ËÙ ÙÖ ÑÓ Ò Ù Ó Ú Ö ÙÒÅ Ø ÖÔÙ Ù ÖØ ÑÓ Ø ÙÓ º º ËÙ ÙÖ Ñ Ú Ð º º ØÔ ö Ø Ñ Ö Ð ÝÖ ÓÖ ÒÅ ÒÓ Ö Ö Ú ÒÅ º Ì Ñ Ù ÙÖ Ñ Ö G ÒÙ Ø ØÓÑÓ ÓÖ ÒÅ Ö Ú ÒÅ ÒÓ Ò ÒØ ÐÙ Ó Ò ÝÖ Ú ÒÅ ÔÙ Å ØÓ Å Ð Ô Ð ÑÔ Ð Ñ ÒÙ Ø ØÝØ Ö Ð ÝÖ ÓÖ Ò Ö Ú Ò µº º Ø Ø Ò Ñ ÒÙ Ø ØÓÑÓ Ò Ù Ó ÒÓ º ÃÓÖ ÙÓ Ñ Ö ÙÒÓ Ö ¹ ØÖ ÙØ Ò ÒØ ÒÅ Ò º ËÙ Å Ø Ò ÙÑ ÈÐÓ ØÙÑÓ Ô Ð Ò Ó Ù Å Ø Ò ÙÑ ÝÖ ÐÝ Ù ÙÑ Ù Ö ÙÒÙ Ú Ö ÙÒ Ù Ö ÒÙ º Ì Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô Ð Ò Ñ S 1 ØÙÖ Ù Å Ø Ò ÙÑ n 1 Ó ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô Ð Ò ¹ Ñ S 2 ØÙÖ Ù Å Ø Ò ÙÑ n 2 Ø n = n 1 + n 2 º Æ Ù Ó ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô Ð Ò ÑÓ Ö ÑÓ Ù Å Ø Ò ÙÑ ÝÖ ÐÝ Ù O(n log n+k log n) ÙÖ k ÝÖ Ù Å Ø Ò ÙÑ ÙØÓ ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô Ð Ò ÑÓº ½

21 ÈÓÐ ÓÒÙ ØÖ Ò ÙÐ Å ÒÓ Ð Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ µ Á öýñ Ù Ð Ò Ò Ù Ö Ù ÑÅ Ø Ò Ø Ñ ÒÓ ÑÝÐÅ ØÓ Ø Ö Ú Ý º Â Ð Ú ÖØ Ò Ð Ò Ú Ô Ö Ò Ñ Ö Ö Ù ÒÅ Ö Ø Ô Ù ÙÒ Ô Ö ÙÓ Ñ º ÌÓ Å Ð Ñ ÒÓ Ð Ö Ó ÔÖ Ú ÐÓ ÝÐ Ù ÓØ ÚÓ Ö Ù º Ò Ø ÖÒ ÙØÓ Ð ÔÖ ö ÙÖÅ Ø Ô Ø ÐÔ Ø Ò Ø Ö Ô Ð Ñ Ú Þ Ó Ñ ÖÓÑ º È ÔÖ Ø Ñ ÖÓ Ó ÐÙ Ó Ö Ð Ù Ø ÒØ Ú ÖØ Ð Ó º Ã Ò ö ÙÖÅ Ø Ð ÌÎ Ö ÒÙ ÝÖ Ð Ò Ú Ù Ò Ù ØÓ Å Ð Ñ ÖÙ Ù ØÙÖÅ ØÙ ÙØ ÙÓ Ñ ö Ò º Ã Ø Ú ÖØÙ Ò Ð Ñ ØÙÖÅ Ø Ô Ö Ñ ö Ñ ÖÙ Ò Ú Ò Ð Ö Ó Ú Ø ØÙÖ ÙØ Ñ ØÓÑ º ÌÓ Å Ð Ñ Ö Ö Å ØÝØ ØÖ Ø ÒÅ Ú ØÓ Ú Ò Ù ÓØÙ Ð Ð Ð Ö Ó º ÌÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò Ñ Å ÒÓ Ð Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ Ñ ÖÙ Ö Ô Ù ÓØ ÙÓØ Ñ ÒÓ Ð Ö Ö Ô ÒÙ ÔÖ Ø ÙÖ Ô Ø ØÝØ Â ÒÓÖ Ñ Ø Ð Ù Ô ÖÅ öø Ñ ÒÓ Ð Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ØÙÖÅ ØÙÑ ÓÖÑ Ð ÞÙÓØ ÝÖ Ñ ÒÓ Ð Ö º Ì ö ÒÓÑ Ö Ú Ò Ó Ø Ø Ù ÑÙÑ Ô Ò Ø Ó Ö Ò Ù ÔÐ ÒÓº ÌÓ Å Ð Ð Ö Ð Ý Ñ Ô ÔÖ ØÙ ÔÓÐ ÓÒÙº Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½ ÈÓÐ ÓÒ ¹ Ö ÓÒ Ô ÖÅ öø Ú ÒØ Ùö Ö Ò ÖØ Ò Ö Ò Ò º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º¾ Ã Ñ Ö ÝÖ Ø Ø Ñ ÔÓÐ ÓÒ º Ã Ñ Ö Ñ ØÓ ØÙÓ Ø Ù ÔÓÐ ÓÒ ÙÖ Ù Ð Ñ ÒÙ ÖÅ öø Ð Ò ÙÖ ÝÖ ÔÓÐ ÓÒÓ Ú Ù Ö Ò ÖØ Óº ¾¼

22 Ã Ñ ÖÙ Ö Ô Ù ÓØ Ô ÔÖ Ø ÔÓÐ ÓÒ Ì ö ÒÓÑ ÔÖ Ð Ù Ó ÒÙÓ Ô Ø ÔÓÐ ÓÒÓ ÙÓ Ù Å Ø Ò Ò ÔÓÐ ÓÒ ØÙÓ Ù Ù Ñ ÖÙ Ö Å º ÌÓ Å Ð Ö Ñ Ñ ÖÙ Ù ÔÖ Ð Ù ÒØ ÒÙÓ n¹ú Ö ÙÒ Ù Ù ÔÓÐ ÓÒ º Ì Ù Ò Ø Ö Ù Ú ÒÓ Ù Ú Ö ÙÒ Ù ÙÑ ÔÓÐ ÓÒ Ð ÙØ ÖØ Ò Ö Ð Ö Å Ø ÖØ Ò Ó Ù Ñ ÖÙ º È ÚÝÞ ö Ù Ð Ñ ÔÓÐ ÓÒÙ Ú Ö Å Ø Ú ÒÓ Ñ ÖÓ º ÌÓ Å Ð Ð Ý Ñ Ò Ö ÒÅ Ñ ÐÓ Ù Ú Ö ÒØ Ó Ñ Ö Ð Ò Ó Ù Ñ ÖÙ Ø Ó Ñ n Ú Ö ÙÒ Ù ÔÓÐ ÓÒÙ º ê ÒÓÑ ÙØÙ ÔÙ Ù Ö Ø Ñ ö Ù Ö Ð Ò Ñ ÖÙ Ø Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÝÖ N P ÙÒ º Ì Ö Ñ P ÝÖ ÔÓÐ ÓÒ Ù n Ú Ö ÙÒ Ù º Å Ð ØÓ P Ð ÙØ Ù Å Ø Ò ÙÖ ÙÒ Ù Ô ÝØ Ñ ÖÙ Ð Ö Å Ø Ñ Ù ÓØ º ÌÓ Å Ð Ô ÖÑ Ý Ñ ÔÓÐ ÓÒ Ô ÔÖ Ø Ò ÙÖ ÙÖ Ð Ò Ú Ù ÓØ ¹ ØÖ ÑÔ Ù º Ì Ô ÖÓÑ Ô Ñ ÓÒ Ð Ø ÖÔ Ú Ö ÙÒ Ù ÔÓÖÙ º ÓÒ ÐÅ ÝÖ Ø Ð Ò ÙÖ ÙÒ Ú P Ú Ö ÙÒ Ö ÝÖ P Ú Ù º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º ÈÓÐ ÓÒÓ ÓÑÔÓÞ ØÖ ÑÔ Ù Ô Ò Ù Ó ÒØ Ñ Ñ ÐÙ Ö Ò Ò Ò ÖØ Ò Ù ÓÒ Ð Ù ÝÖ Ú Ò Ñ ÔÓÐ ÓÒÓ ØÖ Ò ÙÐ º È ÔÖ Ø ØÖ Ò ÙÐ ÒÅ Ö ÙÒ Ð ÔÓÐ ÓÒÙ Ð Ñ ØÖ Ò ÙÐ ÙÓØ ÖØ Ò Ù º Å Ð Ñ Ô Ù ÓØ ØÖ Ò ÙÐ ÙÓØ T p Ô Ø ØÝ Ñ Ñ Ö Ú Ò ØÖ ÑÔ º Ø Ö Ú ØÖ Ò ÙÐ Þ ØÙÓ Ö ØÖ ÑÔ Ù Ð ÙØ ØÖ Ò ÙÐ Ó â Ø ÓÖ Ñ Ø Ý ÙÓ Ð Ù ÑÙ º Ì ÓÖ Ñ º¼º Ì ÓÖ Ñ Ã Ú Ò ÔÓÐ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ò ÙÐ ÙÓØ Ö Ú Ò ÔÓÐ ÓÒÓ Ù n Ú Ö ÙÒ Ù ØÖ Ò ÙÐ ØÙÖÅ ÐÝ n 2 ØÖ ÑÔ Ù º Á ÖÓ ÝÑ Á ÖÓ ÝÑ Á ÖÓ ÓÑ Ò Ù Ó Ù Ùº à n = 3 ÔÓÐ ÓÒ Ô Ø ÝÖ ØÖ ÑÔ Ö Ø ÓÖ Ñ ØÖ Ú Ð Ø Ò º Ì Ù n > 3 Ö Ø Ö Ñ Ø ÓÖ Ñ Ø Ò Ú Ñ m < nº Ì Ù P ÙÒ ÔÓÐ ÓÒ Ù n Ú Ö ÙÒ Ù º È ÖÑ Ù ÖÓ ÓÑ ÓÒ ÐÅ P ÙÚ Ñ º Ì Ù v ÙÒ Ö Ù ÔÓÐ ÓÒÓ P Ú Ö ÙÒÅ º Ì Ù u Ö w ÙÒ Ú ÑÝÒ ÒÅ Ú Ö ÙÒÅ Ò Ò Ó vº  uw Ð Ò Ò P Ú Ù Ñ Ö ÓÑ ÓÒ Ðº Â Ò Ø ØÖ ÑÔÝ Ô ÖÅ öø Ñ Ú Ö ÙÒ Ù uvw ÝÖ Ù Ù Ú Ö ÙÒ Ù Ö ÒØ uw Ð Ò Ó º Ì Ù v ÙÒ ØÓÐ Ù Ú Ö ÙÒÅ ÒÙÓ uwº Ä Ò ÙÒ ÒØ v Ù v Ò Ð Ö Ø P Ö ØÓ Ò ¾½

23 ØÓ Ð Ò ØÙÖÅ ØÙ Ô Ó Ø ØÓÐ Ù ÒÙÓ uw ÔÖ Ø Ö ÙØÙ Ñ Ù Ù Ô Ö Ò ÑÙ v Ù ÝÖ ØÓÐ Ù Ú Ö ÙÒÅ º ÌÓ Å Ð vv ÝÖ ÓÒ ÐÅ º Ì ÓÒ ÐÅ Þ ØÙÓ º Ã Ú Ò ÓÒ ÐÅ Ô Ð P Ù ÔÓÐ ÓÒÙ P 1 Ö P 2 º Ì Ù m 1 ÙÒ P 1 Ú Ö ÙÒ Ù Ù Ó M 2 P 1 ¹Ó Ú Ö ÙÒ Ù Ù º Ì m 1 Ø m 2 ÝÖ Ñ ö Ò Ò n ØÓ Å Ð Ô Ð Ò Ù P 1 Ö P 2 Ð ÙØ ØÖ Ò ÙÐ ÙÓØ º ÌÓ Å Ð P Ø Ô Ô Ø Ð ÙØ ØÖ Ò ÙÐ ÙÓØ º Ä ÖÓ ÝØ Ø Ó P ØÖ Ò ÙÐ Ù Ö n 2 ØÖ ÑÔ Ù º È Ñ Ñ ÓÒ Ö ÓÒ Ð Ò T p ØÖ Ò ÙÐ Ó º â ÓÒ ÐÅ Ð P Ù Ù ÔÓÐ ÓÒÙ Ù m 1 Ö m 2 Ú Ö ÙÒ Ù Ø Ø Ò Ñ º Ã Ú Ò P Ú Ö ÙÒÅ Ø Ö Ò Ú Ò Ñ Ú Ù Ù ÔÓÐ ÓÒÙ ÝÖÙ Ú Ö ÙÒ ÙÖ Ó Ù ÖÓ ÓÒ Ð Ó ÙÒ ÙÓ Ù ÔÓÐ ÓÒ¹ ÙÓ º ÌÓ Å Ð m1 + m2 = n + 2º È Ð Ò Ù Ø Ó P i ØÖ Ò ÙÐ Ù m i 2 ØÖ ÑÔ Ù Ö T p Ù (m 1 2)+(m 2 2) = n 2 ØÖ ÑÔ Ù º Á ÖÓ ÝØ º Ì ÓÖ Ñ º¼º Ì ÓÖ Ñ Ø ÔÓÐ ÓÒ Ù n Ú Ö ÙÒ Ù Ð ÙØ Ô Ù ÓØ n 2 Ñ ÖÙ º Ø Ø ØÖÓ Ó Ô ÖÒ ÐÝ Ù º È ÚÝÞ ö Ù Ñ Ö Ô Ø ØÝØ ÒØ ÓÒ ÐÅ ÐÅ ØÙ Ù ÓØ Ù ØÖ ÑÔ Ù Ø Ñ ÖÙ Ö Å ØÙ n º ËØ ØÝØ Ñ Ö ÒØ Ú Ö ÙÒ Ù ØÖÓ Ó Ö 2 Ö Ù Ò Ú Ö ÙÒÅ Ð ÔÖ Ð Ù ÝØ Ù ØÖ ÑÔ Ù Ö Ñ Ö ÐÅ Ú Ù ÙÓ Ñ ØÝØ º Ì Ô Ø Ò ÒØ ÔÖÓ Ð ÑÓ ÔÖ Ò Ñ º ËØ ØÓÑ Ñ Ö ÒØ Ô Ö Ò ØÙ ØÖ Ò ÙÐ ÙÓØÓ ÔÓÐ ÓÒÓ ØÖ ÑÔ Ù Ú Ö ÙÒ Ù ÓÑ ØÓ Ó Ú Ö ÙÒ Ù ÔÓ Óº Ã Ö Ø ØÓ ÔÓ Ö Ú Ö ÙÒ ÒÙ Ô ÐÚ ÒØ ØÖ Ñ Ô ÐÚÓÑ Ø Ú Ò Ñ Ô ÐÚÙ ØÖ Ò ÙÐ ÙÓØÓ ÔÓÐ ÓÒÓ Ô ÐÚ Ò ÑÙº Ô ÐÚÙ Ô ÐÚ Ò Ñ Ú Ò Ú Ö ÙÒ Ù ÒÙ Ô ÐÚ Ò Ñ ÐØ Ô Ð Ö ÙÓ Ô ÐÚ º ÌÓ Å Ð Ô Ø ØÝ Ñ Ñ Ö ÒØ Ú Ù Ú ÒÓ Ó Ô ÐÚÓ Ú Ö ÙÒ Ù Ñ ÖÓ Ù Ó Ú ÔÓÐ ÓÒ º È Ö Ò Ñ ö Ù Ô ÐÚÙ ÔÓ Ô Ù Ó Ñ ÔÓÐ ÓÒ Ô Ò Ù Ó Ñ Ù Ù n Ñ ÖÙ º 3 Ø Ö ¹ Ô ÐÚ Ò Ñ Ú Þ ØÙÓ Ø ÝÑ Ø Ôº à ØÙÓ Ø ÒØÙÑ Ô ö ÙÖÅ Ñ Ù ÐÙ ÌÔ Ö º â Ö G(Tp) ØÙÖ Ú Ö ÙÒ Ú Ò Ñ ØÖ ÑÔ Ù Ò Ñ Tpº È öýñ Ñ t(v) ØÖ ÑÔ Ø Ø Ò ÒØ Ú Ö ÙÒ vº Ì ÖÔ Ú Ö ÙÒ Ù v Ö m ÝÖ ¾¾

24 Ð Ò t(v) Ö t(m) Ð ÓÒ Ð º Ä Ò G(Tp) Ø Ø Ò ÓÒ Ð Tpº ÌÓ Å Ð Ú Ò ÓÒ ÐÅ ÖØ P Ú Ð Ö Ø ÒÅ Ô Ð Ò Ñ G(Tp) Ô Ð Ò Ö Ú Ð º ÌÓ Å Ð G(Tp) ÝÖ Ñ º Ì Ö Ñ Ð Ñ Ö Ø ¹ Ô ÐÚ Ò Ñ Ô Ö Ñ Ú Ö Ô ÚÝÞ ö Ù Ù Ô ÝÐ º ÔÖ Ý Ñ Ô Ø Ô ÖÝØ º ÃÓÐ ØÐ Ñ Ô ÝÐ ØÙÖ Ñ ÓÑ ÒÝ Ú Ó Ù ÔÖ ØÓ Ú Ö ÙÒÅ ÙÒ ÒÙ Ô ÐÚ Ò¹ ØÓ ÐØ ÙÓ Ö Ô Ð Ô ÐÚ Ö Ú Ù ÙÒ ØÓ Ú Ö ÙÒÅ ÒÅ Ö ÒÙ Ô ÐÚ ÒØÓ Ø Ô Ô ÐÚ º È ÝÐ Ð ÙØ ÔÖ Å Ø ÒÙÓ Ø Ó Ó G(Tp) Ú Ö ÙÒÅ º Â Ø Ø Ò Ò Ó ØÖ ÑÔ Ó Ú Ö ÙÒ ÒÙ Ô ÐÚ Ò ÑÓ ØÖ Ñ Ô ÐÚÓÑ ÙÓ ÐØ Ö Ô Ð º Ö Ø Ö Ñ Ô Å Ñ Ú Ö ÙÒ v ØÅ Ú Ö ÙÒÅ mº Ê t(v) Ö t(m) ØÙÖ Ò Ö ÓÒ Ðº ÌÓ Å Ð t(m) Ú Ö ÙÒÅ Ù ÝÖ ÒÙ Ô ÐÚ ÒØÓ Ø Ú Ò Ú Ö ÙÒ Ð Ò ÒÙ Ô ÐÚ ÒØ º Ç Ø Ñ ÝÖ Ð Ù Ø Ú Ò Ô ÐÚ ÙÖ Ò ÙÚÓ Ô Ò Ù ÓØ ÒÙ Ô ÐÚ ÒØ Ø Ú Ú Ö ÙÒ Ø ÖÔ t(v) Ö t(m)º ÌÓ Å Ð G(Tp) ÝÖ Ñ ØÓ Ú Ö ÙÒÅ Ö Ø ÑÓ v Ö Ò ÙÚÓ ÔÐ Ò ÝØÓ Ö Ñ Ð Ñ Ò ÓÑ Ú Ö ÙÒÅ Ñ ÔÖ ÖØ Ð Ù Ô ÐÚ º Ö î ÒÓÑ n Ñ ÖÙ Ú Ô Ò Ô Ù ÓØ Ð Ö º Ø Ö Ò ØÙÖ Ñ 3 ØÝÚ Ù Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÑ ÙÖ Ø º Ã Ò ØÖ Ò ÙÐ ÙÓØ Ø Ó ÔÓÐ ÓÒ Ø Ô Ô Ø ÝÖ ÙÒ Ù Ø ÝÖ Ú Ù Ô ÖÑ ÝØ ÔÓÐ ÓÒ y¹ñóòóøóò Ù Ù ÔÓÐ ÓÒÙ Ö ØÙÓÑ Ø ØÖ Ò ÙÐ ÙÓØ ÙÓ º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º Y ¹ÑÓÒÓØÓÒ ÔÓÐ ÓÒ Ø ØÓ ÔÓÐ ÓÒ ÒÙÓ ÙÖ Ù Ú Ö ÙÒÅ Ò ÒØ Ö ÙÒÓÑ Ñ Ú Ð ÑÅ Ø ö ÑÝÒ Ö ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ò Ú Ö Ù º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º Î Ö ÙÒ ÙÖ Ó Ò Ð ÓÑ y¹ñóòóøóò ÙÑÓ Ñ Ô Ú Ò¹ Ñ ÔÓ Ù Ó Ø º ÁÖ ÔÓ Ù Ó Ø ÝÖ ÖØ Ò º ¾

25 È ÒÙ ½ Ô Ò Ú Ö ÙÒ Ù Ø Ô º ÈÓÐ ÓÒÙ P Ô ÖÅ öø Ò Ù Ó Ñ Ú Ù Ù ÙÒ ØÙ Ö Ø Ò Ù Ö D Ò º ÓÙ¹ Ð ÓÒÒ Ø Ð Ø Äµº Ô ÖÅ Ñ Ö Ú Ò ÒØ Ñ ÐÔ Ö e j µº Ô ÖÅ ö Ñ º¼º À ÐÔ Ö e j µ Ø e j Ö Ø ÒÅ Ô Ð Ò Ò Ø Ô ÒØ Ø ö Ñ ¹ Ù Ø ÒØ Ú Ö Ø Ó Ø ÙÖ ÙÓ ØÐ Ñ Ú Ñ º â ÙÓ Ø Ù Ð ÙØ Ö Ô Ó Ö Ø ÒÅ e j Ú Ö ÙØ Ò Ø º Ð ÓÖ ØÑ È ÖÝØ ÅÓÒÓØÓÒ Ù Pµ ÁÒÔÙغ È ÔÖ Ø ÔÓÐ ÓÒ P Ô Ø ÐÔ ÒØ Ú Ù Ù ÙÒ ØÙ Ö Ø Ò Ù Ö Dº ÇÙØÔÙغ È Ð ÒØ ÔÓÐ ÓÒ P Ù ÔÓÐ ÓÒÙ Ö Ô Ø ÐÔ ÒØ Dº È Ù Ó Ó ËÙ ÓÒ ØÖÙÓØ ÔÖ ÓÖ Ø ØÙ Ð Q ÔÖ ÓÖ Ø Ø Ù Ö ØÓÑ Ô Ð y ÓÓÖ Ò Ø y ÓÓÖ Ò ØÅ Ú ÒÓ Ø Ô Ð x ÓÓÖ Ò Øº ÁÒ ÙÓØ ØÙ Ò Ö Ò Ô Ó Ñ T º Û Ð Q Ò ØÙ ¾

26 Ó È Ð ÒØ Ú Ö ÙÒ v Ù ö Ù Ù ÔÖ ÓÖ Ø ØÙ Qº Á Ù Ø Ø Ø Ò Ñ ÔÖÓ ÙÖ Ú Ö ÙÒ Ô ÓÖÓØ º ÌÓÐ Ù ÔÖ Ý Ñ ÔÖÓ ÙÖ º À Ò Ð ËØ ÖØÎ ÖØ Ü v i µ Á Å Ø e i T Ö ÒÙ Ø ØÝØ ÐÔ Ö e i µ v i º À Ò Ð Ò Î ÖØ Ü v i µ ÐÔ Ö e i 1µ ÝÖ Ñ Ö Ú Ö ÙÒÅ Ø Ò Å Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ò v Ù ÐÔ Ö e i 1µº Á ØÖ ÒØ e i 1 T º À Ò Ð ËÔÐ ØÎ ÖØ Ü v i µ ËÙÖ Ø Ñ Ý T Ö Ø Ò e j Ø Ö ÒÙÓ v i º Á Å Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ò v i Ù ÐÔ Ö e j µº ÐÔ Ö (e j ) v i º Á Å Ø e i T Ö ÒÙ Ø ØÝØ ÐÔ Ö e i µ v i º À Ò Ð Å Ö Î ÖØ Ü v i µ ÐÔ Ö e i 1µ ÝÖ Ñ Ö Ú Ö ÙÒÅ Ø Ò Á Å Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ò v i Ù ÐÔ Ö e i 1µº Á ØÖ ÒØ e i 1 T º ËÙÖ Ø Ñ Ý T Ö Ø Ò e j Ø Ö ÒÙÓ v i º ¾

27 ÐÔ Ö e j µ ÝÖ Ñ Ö Ú Ö ÙÒÅ Ø Ò Å Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ò v i Ù ÐÔ Ö e j µº ÐÔ Ö (e j ) v i º À Ò Ð Ê ÙÐ ÖÎ ÖØ Ü v i µ P Ú Ù ÝÖ Ò ÒÙÓ v i Ø Ò ÐÔ Ö e i 1µ ÝÖ Ñ Ö Ú Ö ÙÒÅ Ø Ò Å Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ò v i Ù ÐÔ Ö e i 1µº Á ØÖ ÒØ e i 1 T º Á Å Ø e i T Ö ÒÙ Ø ØÝØ ÐÔ Ö e i µ v i º Ð ÙÖ Ø Ñ Ý T Ö Ø Ò e j Ø Ö ÒÙÓ v i º ÐÔ Ö e j µ ÝÖ Ñ Ö Ú Ö ÙÒÅ Ø Ò Å Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ò v i Ù ÐÔ Ö e j µº ÐÔ Ö e j ) v i º ÙÒ Ñ y¹ñóòóø Ò Ù Ù ÔÓÐ ÓÒÙ ÙÖ ÙÓ Ù Ð Ò Ú Ð Ñ ØÖ Ò ÙÐ ÙÓØ ÙÓ Ð ÓÖ ØÑÙº Ð ÓÖ ØÑ ÌÖ Ò ÙÐ ÙÓØ ÅÓÒÓØÓÒ Ò Ù ÈÓÐ ÒÓÑÙ Pµ ÁÒÔÙØ y¹ñóòóøóò ÔÓÐ ÓÒ P Ô Ø ÐÔ ÒØ Ú Ù Ù ÙÒ ØÙ Ö Ø Ò Ù Ö Dº ÇÙØÔÙØ P ØÖ Ò ÙÐ Ô Ø ÐÔ ÒØ Ú Ù Ù ÙÒ ØÙ Ö Ø Ò Ù Ö Dº ¾

28 È Ù Ó Ó ËÙ ÙÒ Ø Ú Ö ÙÒ Ö Ó Ö Ò ÒÅ Ö ÒÅ Ö Ò ÒÅ Ú Ò Ð Ô Ð Ñ öå Ò y ÓÓÖ Ò Øº Ì Ù u 1,..,u n Ô ÖÅ º ÁÒ ÙÓØ ØÙ Ø S Ö Ô Å Ø u 1 Ö u 2 º ÓÖ j 3 ØÓ n 1 Ó u j Ö Ú Ö ÙÒÅ ÒØ Ø Ó S ÝÖ ÖØ Ò Ó Ú Ö ÙÒÅ Ø Ò Ô ÑØ Ú Ú Ö ÙÒ Ø Ó Sº Á Å Ø ÓÒ Ð ÒÙÓ u j Ú ÒÓ ÒÙÓ Ø Ó ÒÙ ÑØÓ Ú Ö ÙÒÅ ÝÖÙ Ô ÙØ Òº È Å Ø Ø S u j 1 Ö u j º Ð È ÑØ Ú Ò Ú Ö ÙÒ Ø Ó Sº ÁÑØ Ú Ú Ö ÙÒ S ØÓÐ ÓÐ Ó Ù ÖÓ ÓÒ Ð Ù u j Ö ÝÖ P Ú Ù º È Å Ø Ô ÙØ Ò ÑØ Ú Ö ÙÒ Ø Ð Sº È Å Ø u j Ø Sº Á Å Ø ÓÒ Ð ÒÙÓ u n Ú Ù Ø Ð Ù Ù Ú Ö ÙÒ Ù ÝÖÙ Ô ÖÑ Ö Ô ÙØ Òº ËÙ Å Ø Ò ÙÑ Ã Ð Ó ØÖÙÒ Ð ÓÖ ØÑ È ÖÑ ö Ò Ò Ùö Ñ Ø Ò Ð Ó ÒØÖ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð º ÓÖ Ð ÚÝ ÓÑ n 3 ÖØÙ Ø ÚÝ ÒØ ÓÖ Ð Ù Ù Ú ÚÙÖ ÙÒÅ ÝÖ ÑÓ Ø º ÌÓ Å Ð Ò Ö Å ÑÙ Ù Ø ÒØ Ö Ù ÒØÖ Ñ ö Ò ÒÝ ÝÖ 2n 4º Ã Ò Å Ñ ÑÙ Ø Ó ÝÖ Ø Ô Ø Å ÑÙ ØÓ Å Ð Ò Ö Ð¹ ÓÖ ØÑÓ ÚÝ ÝÑÓ Ð ÝÖ O(n)º Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö Ò Ó ÑÓÒÓØÓÒ Ù ÔÓÐ ÓÒÙ Ù Å Ø Ò ÙÑ O(n log n)º ÌÓ Å Ð Ò Ö Ú Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ù Å Ø Ò ÙÑ ÝÖ O(n log n) ÙÒ Ù Ó ÒØ O(n) ØÑ ÒØ º ¾

29 Ì Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ñ Ð Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò µ ÑÝ Ù ÐÓÒ Ñ ÒÙ ØÙÖ Ò Û Ø ÑÓÐ µ Ù ÙÑ ÑÙ ÙÔ Ò Ù Ó ØÙ ØÓ Ù Ô Ñ ÒÙ Å ÙÐ ÔÐ Ø Ò ÔÙÓ Ð Ö Ø ÐÓ Ò ÝÖ Ô Ñ ÒØ Ô Ò Ù Ó ÒØ ÓÖÑ ÖØ ÙØÓÑ Ø Ò ÑÝ º â ¹ Ñ ÝÖ Ù Ò Ö ÒÅ Ñ ÙÖ ÓÑ ØÖ Ò ÑÝ Ó Ù ÐÓÒ Ô Ø öò Ò Ù Ó Ñ Ñ Ò ÒØ Ð Òص ÔÐ Ø Ò Ù Ö Ñ Ø Ð Ò Ù Ó ØÙ º Ã Ó Ø Ð Ñ Ò Ù Ó ÒØ ÐÓÒ Ø ÐÓÒ ÔÖ Ô Ð ÓÑ Ø ÖÔ ÒØ Ñ ö ¹ Ù Ø Ò Ø Ö Ø ØÖ Ù Ñ ÐÓÒÓº Ì Ù Ô ÙØ Ò ö Ò Ò Ò Ú Ø Ô Ð Ò Ú Ô ÚÝ Ø Ó Ø Ð ØÖ Ø ÓÖÑÓ Ö Ò Ù Ð Ñ Ó ÑØ Ò Ù¹ Ùö Ù Ô Ó ÓÖÑÓ º à ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖ Ò ö Ñ Ò Ù Ó Ñ Ø ÓÖÑ Ø Ù Ò Ú Ù Ó ØÙ Ñ Ò ÑÙ Ð Ñ Ò Ù ÓØ ÓÖÑ ÙÖ Ñ Ó Ø Ñ Ú ÒÅ Ö ÖÙ ã ÓÖÑÙ ÔÚÞº Ó ÓÖÑ Ø ØÙ Ö ÈÖÓ Ð Ñ Ô ÒÙ Ø ØÝØ Ö Ó Ø Ð Ñ Ð Ø Ö Ð Ñ ÙÖ Ø Ð ÑÙ Ø Ò Ñ ÓÖÑ º Ô ÖÅ ö Ñ È ÖÑ Ù Ù Ø Ö Ñ Ó Ó Ø ÝÖ Ù Ò ÔÓÐÝ ¹ Ö Ðµ Ø Ô Ô Ø Ó Ò Ù Ó Ñ ÓÖÑ Ù ÖÝØ Ò Ù Ù Ò Ú ÒÓ Ð Ú Ò¹ ÐÝØÅ µº ÌÓ Å Ð Ò Ù Ó ÒØ ÓÖÑ Ù ÖÝØ Ð Ù Ð Ù Ñ ÒÓÑ Ô Ñ ÒØ Ö Ö º ¾

30 Ì Ô Ô Ø ÖÓÑ ÔÖ Ð Ó Ó Ø Ð Ñ ÑØ Ø Ú ÒÙ Ù Ù Ø Ó Ô Ú ÖØ ÓÖÑ º Ä ÑÓ ÓÑ ØÖ Ô ÖÅ ö Ñ º¼º ÓÖÑÓ Ô Ö Ò ÑÙ Ô Ö Ò Ò Ø ØÙÖ Ô Ö Ò Ø Ó ØÓ ÓÖ ¹ ÒØ º ËÚ Ö Ù Ø Ò Ñ Ô Ö Ò Ø ÓÖ ÒØ Ò Ô Ö Ò Ù Ú Ò ÓÖ ÒØ ÐÅ Ñ ÑØ Ó Ø ÓÖÑÓ Ó ØÙ ØÚ Ù ¹ Ò ÐÅ Ñ º ÇÖ ÒØ Ö Ô Ö Ò Ø Ø Ô ¹ Ó ØÓ Ú Ö ÙØ ÒÅ Ò ÒØ ÓÖÑÓ ØÙÖ ÙØ ÓÖ ÞÓÒØ Ð º â Ò Ú Ò Ò¹ Ø ÐÅ Ò ØÙÖÅ ÓÒØ ØÓ Ù ÓÖÑ º Ð Ñ Ø Ø Ó Ó ØÓ ÔÓØ Ò Ð Ù ÓÖ ÒØ Ù Ö Ð ÑÙ ÐÓÒÙ µ ÝÖ Ø ÒÙ º Ç Ø Ð Ñ Ð Ø Ò Ù Ó ÒØ ÒØ Ú Ò ÓÖ ÒØ Ù Ð Ñ ÑØ ÓÖÑÓ º ËÔÖ Ñ Ö Ó Ø Ð Ñ Ò Ý Ñ Ú ÔÓØ Ò Ð ÓÖ ÒØ º Ë ÚÝ Å Ç Ø ØÙÖ ØÙÖÅ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ú Ö ÙØ Ò Ò º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½¼ Æ Ö ÒÅ Ñ Ó Ø P ¹ ØÖ Ñ Ø Ú Ò ÐÝØ Ù Ò ÔÖ ¹ ÓØ ÔÐÓ ØÙÑ ÒÅ Ñ ÒÓÑ Ù ÒÙ Ø ØÝØ Ú Ö ÙØ Ò Ò º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½½ â ÐÓÒ ¹ Ø ÑÔ Ó ÓÖÑÓ ÐÓ Ù ÖØÑ ÙÖ Ø Ð Ø Ø Ò Ó ØÓ P ÓÖÑ º Ã Ù Ò Ô Ø ÐÔ Ò Ñ ÓÖÑ Ó Ú Ö ÙØ ÒÅ Ò ÝÖ ØÓ Ô Ø ÔÐÓ ØÙÑÓ Ù ÓÖÑÓ Ú Ö ÙØ Ò Ò º ÓÖÑÓ Ú Ö ÙØ ÒÅ Ò ÐÝ Ö Ø XY ÔÐÓ ØÙÑ ÓÖÑ Ò ØÙÖÅ Ó Ù ÑÙ Ú Ö Ù ÙÖ ÐÅ ØÙ ØÖÙ ÝØ Ó ØÓ P Å Ñ ÑÙ º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½¾ È ÔÖ ØÓ ÒÓ ¹ Ú Ó Ð ÑÓ Ó ØÓ ÒÓ ÝÖÙ Ú Ö ÙØ Ò Ú Ò ÑÓ Ô ÔÖ ØÓ ÓÑ Ö öýñ ÑÓ fº Ã Ú Ò Ô ÔÖ ØÓ Ò f ØÙÖÅ Ø Ø Ò Ñ Ò ÐÓÒ öýñå Ñ fº Ì Ð ÒØ Ö Þ ØÙÓ ØÓ ÖÝÔØ d ÙØÙ Ð Ñ Ó Ø P Ô Ö ÐØ ÐÝ ÖÝÔØ Ñ d Ò Ô Ð ÒØ ÓÖÑÓ º ¾

31 Ë ÐÝ Ó Ð ö Ñ P Ó ØÙ ÐÝ Ø ÓÖÑ º Ã Ò P Ò Ò Ð ÒØ ÓÖÑÓ ÝÖ Ú Ö ÙØ ÒÅ Ø Å Ñ ÑÓ ÖÝÔØ ØÙÖ ÙØ Ú Ö Ù ¹ ØÙÖÅ Ø Ø Ñ Z ¹ ÖÝÔØ Ú ØÓÖ Ù d (x,y,z) ÙÖ z > 0º Ì ¹ Ô ÔÖ ØÓ Ó ØÓ Ò f ØÙÖ Ð Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ò Ó ÓÖÑÓ ÒÓ f Ö ÒÙÓ Ó ØÓÐØ º Ã Ø ÒØ Ö ÒÙ Ø ØÝØ ÑÔ Ø ÖÔ Ú Ù 3D Ö ÚÅ Ò Ù Ú ØÓÖ Ù º à ÑÔÓ Ø ÖÔ Ú Ù ØÖ Ñ Ù Ú ØÓÖ Ù ÒÙ Ø ØÝÑ Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½ à ÑÔÙ Ø ÖÔ Ú ØÓÖ Ù Ú Ò Ñ Ñ ö Ò ÑÔ ÒØ Ø ÖÔ Ú ØÓÖ Ù ØÓ Ô Ó ÔÐÓ ØÙÑÓ º Ä Ñ º¼º½ Ù Ò P Ð ÙØ Ñ Ñ ÓÖÑÓ Ô ØÖ Ù Ù d ÖÝÔØ Ñ Ø Ø Ö Ù Ø Ø d Ù ÖÓ Ò Ñ ö Ò Ò 90 Ð Ô Ò Ù ÑÔ Ù Ú Ù Ô ÔÖ ØÙ Ù Ó ØÓ P ÒÙ ÓÖ Ò ÒÓÖÑ Ð Ù Ò Ù ÖÝØÙ Ñ ö Ò Ò 90 ÑÔ Ø ØÖ Ù ÒØ ÖÝÔØ Ñ d Ó ØÓ ÒÓ f Ø Ô Ð ØÙ ÓÖÑ µº ¼

32 È Ø Ð Ñ Ô ÖÅ ö Ó P Ð ÙØ Ñ Ñ Ù Ù Ò Ù Ú ÒÙ Ô ¹ ØÖ Ù ÑÙ Ø Ø Ô Ô Ø Ð ÙØ Ñ Ñ Ö Ú ÒÙ Ô ØÖ Ù ÑÙº ÌÓ Å Ð ÐÝ Ó Ð Ñ ÖÝØ Ð Ô ØÖ Ù ÑÙ Ò Ô Å º Å Ù Ù Ùö ÙÓØ ÙÖ Ø ÖÝÔØ d ÙÖ Ù ÖÝØÙ Ñ ö Ù 90Ë Ð Ô Ò Ù ÑÔ Ù Ú Ù Ô ÔÖ ØÙ Ù P ÒÙ ÓÖ Ò ÒÓÖÑ Ð º Ô ÖÅ ö Ñ ÖÝÔØ ¹ 3D Ú ØÓÖ Ù Ù Ø Ñ Z ÓÓÖ Ò Ø º Î Ñ ÒÓÑ ÖÝÔØ Ù z > 0 Ð Ñ ØÚ Þ ÙÓØ ÔÐÓ ØÙÑÓ z = 1º Ø (x,y, 1) ÙÒ Ð Ø Ø Ñ Ù Ù ÖÝÔØ Ú ØÓÖ Ù (x,y, 1)º ËÙÔÖÓ Ø ÚÓÑ Ú Ù ÑÙ ÓÑ Ò Ò Ù ÖÝÔ¹ Ø Ú ØÓÖ Ù ÔÐÓ ØÙÑ º Ì ÙÐ N(N x,n y,n z ) Ó ØÓ P Ô ÔÖ ØÓ Ó ÒÓ ÓÖ ÒÅ ÒÓÖÑ ÐÅ º ÃÖÝÔØ Ú ØÓÖ Ù d = (dx,dy, 1) Ù ÖÓ Ò Ñ ö Ò Ò 90 Ð Ô Ò Ù ÑÔ Ò Ù N d 0º ÄÝ Ø N x d x + N y d y + N z 0 Ô Ù Ò ÔÙ ÔÐÓ ØÙѺ Â Ò Ð Ó Ò ÝÖ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÙÖ N x = N y = 0µº Ã Ô Ñ ØÝØ ÙÓ ØÚ Ù ÐÝ Ø Ö Ú Ø Ò Ò Ñ Ö Ò Ø Ò Ò Ñ Ò º Ã Ò Ú Ò Ô ÔÖ ØÓ Ò Ô ÖÅ ö ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ø Ù ÔÙ ÐÓ ØÙÑ Ù Ù ÖØ ÑÓ Ø Ø Ø ÖÝÔØ Ú ØÓÖ Ù ÙÖ Ó Ø P Ð ÙØ Ñ Ñ º Â Ù Ó Ò ÖØ Ó ØÓ ÑØ Ò Ñ ÒÓÑ º Ì ÓÖ Ñ º¼º½ Ì ÙÐ P ÝÖ Ù Ò Ù n ÒÙ º ÆÙ Ø ØÝØ Ö Ù Ò Ð¹ Ñ ÑØ ÓÖÑÓ Ð Ñ Ù O(n 2 ) Ù Å Ø Ò ÙÑÙ Ö O(nµ ØÑ ÒØ º Ì Ô Ô Ø Ó Ø Ð Ñ Ð Ø Ø ÙÖ Ø ÖÝÔØ Ùö Ñ Ø Ô Ø Ð Óº ÈÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ù ÖØ Ñ Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½ Ì Ù H = h 1,h 2,...,h n ÝÖ Å Ø Ò Ù ÐÝ Ù Ù Ú Ñ ÒØ ¹ Ñ º a i x + b i y c i ÒØ Ú Ò ¹ a Ö b 0º â ÐÝ Ø Ô ÖÅ ö ÔÙ ÔÐÓ ¹ ØÙÑ R 2 Ö ÚÅ ÔÖ ÓØ Ð Ò Ó a i x + b i y = c i º Ì Ð Ö Ø Ú Ù Ø Ù (x,y) R 2 ÙÖ Ø Ò ÒØÙ Ú H ÐÝ Ø ØÙÓ Ô Ù ÑÓ¹ Ñ ÒØÙº Ã Ø Ô Ø Ö ÒØ Ö Ö Ø Ò ÖÙ Ú Ù Ù ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ù ÖØ ÑÓ Ø Ù º ½

33 Ë ÚÝ Å ØÙÖ Ñ n ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ø Ù Ù ÖØ Ñ Ù ÐÓ Ö Ø ÔÖ ÓØ Ù Ù n Ö Ø Ò Ù º Ⱥ˺ Ö Ø Ò ÙØ Ò Ùö Ö Ø Ô Ô Ø Ø Ð ÙØ Ø Ú Ò Ø Ð Ò Ö Ú ØÙ Å º Ð ÓÖ ØÑ Ð Ý Ö Ú Ð Ý µ n ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ù ÖØ ÑÓ Ö Ñ Ö Ñ ÐÙ Ù Ö Ù Ù ÖØ ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙº ÈÖ Ò ÙÓÑ ÒÝ ÙÓØ n ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Å H ¹ Ò Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ º Ê ÞÙÐØ Ø Ð ÔÓÐ ÓÒÓ ÔÖ ÓØ ÔÐÓØ C := h H hº Î Ñ ÙÒØ ÓÒ ÁÒØ Ö ØÀ Ð ÔÐ Ò Àµ Á ÓÙÒØ Ö µ H) = 1 Ù ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Å µ Ø Ò C h H Ö ÞÙÐØ Ø Cµ Ð ËÈÄÁÌ H ÒØÓ Ø H 1 Ö H 2 Ø Ô H 1 Ý n Ö H 2 2 Ý n 2 Ð Ñ µº Ò Ø C 1 IntersectHalfplanes(H 1 µ Ù ÖØ ÑÓ Å µº C 2 IntersectHalfplanes(H 2 µ Ù ÖØ ÑÓ Å µº C IntersectConvexRegions(C 1,C 2 µ ÙØ Ö ÞÙÐØ Ø Ô ÙÒ Ñ µº Ì Ð ÒØ Ó ö Ò Ò ØÐ Ñ ÁÒØ Ö Ø ÓÒÚ ÜÊ ÓÒ Ø Ô º È Ò Ù Ð ÓÖ ØÑ ÔØ ÖØ ÒØÖ Ñ ÝÖ Ù Ú Ù ÔÓÐ ÓÒÙ Ù ÖØ ÑÓ Ö Ñ µ Ø Ñ Ù Ù ØÚ Ù Ö Ô ÓÖ ÙÓØ Ò Ñ Ù Ù ÙØ Ö Ø Ð ÙØ Ò ÙØ Ò ÔÓÐ ¹ ÓÒ Ó Ø Ö Ð Ò Ö Ò ÔÖ ÓØ Ö Ø º ÃÓ ÙØÙ Ù Å Ø Ò ÙÑ Ò Ù Ó ÒØ ÔÓÐ ÓÒÙ Ù ÖØ ÑÓ Ð ÓÖ ØÑ ¾

34 ÖÓÑ ÔÖ Ð Ö ÙÖ Ô ÚÓÑ C 1 Ö C 2 º Ì Ò Ù Ó ÒØ Ð ÓÖ ØÑ ÒØÖÓ ÝÖ Ù ÙØÙÑ Ó { O(1), jei n = 1, T(n) : O(n log n) + 2T( n º½µ ), jei n > 1. 2 ¹ Ù Å Ø Ò ÙÑ T n = O(n log 2 n)º n ¹ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ù º È Ö Ò Ñ Ð ÓÖ ØÑ ÔÖ Ø Ý Ñ Ñ Ù Ù ØÚ Ù Ä Ý Ñ Ó Ö ØÝ C 1 Ö C 2 ÝÖ Ú Ñ ØÅ º Ã Ð Ò Ö Ø Ø Ö Ð Ò Ú Ù Ô ÙÓØ º Ì C 1 Ö C 2 Ú Ù ÐÓ Ö ØÝ Ò ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ù ÖØ Ñ µº ÌÙÓ Ñ Ö Ô Ò Ù Ó Ñ º Å Ù Ù ÓÑ Ö Ø C Ø Ø ÙÖ Ù ÙÓØ ÔÙ ÐÔÐÓ ØÙÑ Ù Ö Ù Ú Ù Ð Ù ¹ Ø Ö Ù Ó Ñ ÖÅ Ö ÒÅ Ö Ó Ò Ò º L left (C) Ö L right (C) ÐÅ ØÚ Ö Ú Ö Ù Ô º Î Ö ÙÒ Ù Ò Ù ÓÑ Ð Ñ Ô ÙÓØ Ù ÖØ ÒØ Ö Ø Ò º Ä Ý Ñ ÒÅ Ö ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ù ÒÙ º ËÐ Ò Ò Ó Ð Ò Ó Ð ÓÖ ØÑ Ô ÓÖÓ Ñ Ö Ø Ò C 1 Ö C 2 Ù ÙÖ Ó ÖØ Ð Ò Ò Ð Ò º Ã Ò C 1 Ö C 2 Ð Ø Ö Ø Ò Ù ÝÖ Ù Ù Ò ÑÙ ÑÓÑ ÒØÙ ØÓ Å Ð Ò Ù Ó Ñ ÒÙÓÖÓ L edge C 1,R edge C 1,L edge C 2,R edge C 2 º Â Ù Ð Ò Ò ÖØ Ö Ø ÒÅ ÒÙÓÖÓ öýñ Ñ Ò Ðº

35 ÈÖ Ò Ù ÙÓÑ ÒÙ Ò Ð Þ Ú Ñ Ì ÒÙÓ ÙÖ Ó ÔÖ Å Ñ Ð Ø Ø ö ÑÝÒ Ô öýñ Ñ y s tart R 2 º y 1 C 1 Ö Ø Ù Ù Ò Ó Ú Ö ÙÒÅ ÓÓÖ Ò ØÅ º y 1 = Ù C 1 Ò ÔÖ ÓØ Ú Ö Ù º Ì T(n) : { y 1, jei y 1, min(y 1,y 2, jei y 1 =. y 1 C 1 Ó y 2 C 2 º ÅÙÑ Ú Ö Ø ÒÙÓ y start ÔÖ ÒØ Ö Ø º º¾µ ÈÓ ÒØ Ö Ù L edge C 1,R edge C 1,L edge C 2,R edge C 2 Ò Ð ÞÙÓ Ñ Ô ¹ Ð Ø Ö ÖØ Ñ Ù Ù Ð ö Ñ Ð Ò º Á ÚÝ Å Ù Ù ØÚ Ù ÚÝ Ù Ò Ù Ó Ñ Ø Ù ÚÝ Ø Ø Ø p ÙÖ C 1 Ö C 2 Ù Ö Ö Ò Ö Ù Ð ö Ñ Ø Lº Ì ÚÝ p n = (x,y) ÙÖ L C 1 Ö L C 2 º  ÚÝ Ù Ø Ù Ú ÒÓ ÓÑ ÓÓÖ Ò ØÅ Ñ ÙÓ Ô ÓÖÓ Ñ ÖÅ Òº Á ÚÝ Ö Ò Ù Ó Ö Ø ÒÅ ÔÖ ö ÙÖ Ö Ô ÓÖÓØ º ÅÙÑ Ò Ö Ù ÓØ ÚÝ Ù ÐÅ ÙÓ Ð Ñ ÙÖ Ø Ò Ù Ó ÒØ ÔÓ ÒØ Ö Ø Ùö Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ð Óº Ô ÓÖÓ Ñ ÚÝ Á ÚÝ Ó Ø e ÒÙ Ó Ò Ù Ó Ö Ó Ò Ó Ö Ø ÒÅ ÔÖ ö º Ì Ñ Ô ÓÖÓØ Ö Ø Ò ÒÙ Ø ØÓÑ ÙÖ C 1 Ö C 2 ÔÖ Ð Ù Ó Ö ÝÖ ÖÅ Ö ÒÅ º Ì Ú Ñ Ø Ø Ò Ñ Ô ÓÖÓ ÑÓ ÔÖÓ ÙÖ º È Ò Ñ Ø Ú Ò ÔÖÓ ÙÖ e C 1 Ö ÝÖ Ö Ó ÒØ ÖÅ º à ØÓ ÔÖÓ ÙÖÓ Ô Ò Ó º ÈÖÓ ÙÖ Ò Ð eµ p ¹ ÚÝ Ó Ù ÖØ ÑÓµ Ø e ¹ ØÖ Ø Ò Ù ÔÖ Ó ÒØ Ö Ø ÒÅ h e ¹ ÔÙ ÔÐÓ ¹ ØÙÑÅ ÙÖ ÔÖ Ð Ù Ó ÔÖ Ó ÒØ Ö Ø ÒÅ eº Ì ÙÐ p e Ö ÝÖ Ó Ú Ö ÙØ Ò ÐÓ

36 Ø º ÎÝ ÓÑ ö Ò Ò Ù ÐÅ ½º  p ÝÖ Ø ÖÔ left edge C 2 Ö right edge C 2 µ Ø Ø ÖÔØ h e µ L left (C)º ¾º  e ÖØ Ù right edge C 2 Ø p ÝÖ C Ú Ö ÙÒÅ Ö º p ÝÖ ÒÅ ÒÙÓ right edge C 2 Ø Ø ÖÔØ h e µ L left (C) Ö Ø ÖÔØ (h right edge C 2 ) L right (C)º º à ØÙ ØÚ Ù p ÝÖ ÖÅ ÒÙÓ right edge C 2 Ø p ÝÖ Ö Ø ÒÅ C Ô Ó Ø ØÓ Å Ð Ò ÖÓÑ Ò Ó Ù ÙÖ Ø µº º  e ÖØ Ù left edge C 2 Ø p ÝÖ C Ú Ö ÙÒÅ º º  p Ö ÒÙÓ left edge C 2 Ø Ò ÖØ h e µ ÒØÓ L left (C)º º à ØÙ ØÚ Ù Ò ÖØ h left edge C 2 µ ÒØÓ L left (C)º Ã Ò Ô ÓÖÓØ ÐÙ Ù Ö Ù Ù ÖØ Ñ ÙØ Ò Ù Ö Ø Ò Ùö Ñ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ó Ø Ù ÖØ Ñ Ú Ù ÐÙ Ù ÔÓÐ ÓÒÙ Ùö Ñ O(n)º ÃÙÖ n ÝÖ Ö Ø Ò Ù Ù º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½ Ú Ù ÐÙ Ù ÔÓÐ ÓÒÙ Ù ÖØ ÑÓ Ö Ø ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô ¹ Ú Ñ Ùö Ñ O(n) Ð Óº Ì ÒÓÑ ÁÒØ Ö Ø ÓÒÚ ÜÊ ÓÒ ÝÖ Ø Ò Ù Å Ø Ò ÙÑ º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½ n ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Å Ù ÖØ Ñ ÔÐÓ ØÙÑÓ Ô ÙÓ ¹ Ñ Ù O(n log n) Ù Å Ø Ò ÙÑÙ Ö Ø Ò Ù ØÑ ÒØ Ô Ò Ù Ó ÑÙº Å ÒØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ñ ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ä Ò Ö ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò µ ÈÖ Ø Ò Ö ÒÅ Ø Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ñ Ö ÓÑ Ú Ù n Ø Ò Ù Ò ÐÝ Ý Ù Ø ÑÓ ÔÖ Ò Ò Ù º Ì Ò Ù Ò ÐÝ Ý Ù Ø ÑÓ ÔÖ Ò Ñ ÝÖ Ð Ù ö Ù Ù Ø Ò Ù ÔÖÓ Ö Ñ Ú ÑÙ Ö Ø Ô ¹ Ø Ò Ù ÓÔØ Ñ Þ Ú ÑÙ ÖØÙÑ Ø Ø Ò ÔÖÓ Ö ¹ Ñ Ú Ñ ÙÖ Ò Ú Ò Ô Ò ÔÖ Ò Ñ ÙÖ Ñ Ñ ÞÙÓ ÙÓØ Ø Ò ÒØ ÑÙ Ù ÙÒ º

37 Ì ÒÅ ÔÖÓ Ö ÑÓ Ô Ú Ð Å Ñ ÞÙÓ Ñ c 1 x 1 + c 2 x c d x d Ø ÐÓ ÙÒ µ Ø öú Ð ÒØ a 1,1 x a 1,d x d b 1 Ò ÐÝ Ý Ù Ø Ñ µ a 2,1 x a 2,d x d b 2 ººº ÙÓÑ ÒÝ º a n,1 x 1 + +a n,d x d b n c i a i j Ö b i ÝÖ Ö ÐÙ ¹ ÔÖ Ò Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½ ÙÒ ÙÖ Ö ÓÔØ Ñ ÞÙÓØ Ú Ò Ñ Ø ÐÓ ÙÒ º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º¾¼ Î Ò ÐÝ Ý Ù Å Ù Ø ÐÓ ÙÒ ÖØÙ Ù ÖÓ Ø Ò ÔÖÓ¹ Ö Ñ º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º¾½ d à ÒØ ÑÙ Ù Ù ¹ Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö ÑÓ Ñ Ò º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º¾¾ Á ÚÝ ÓÑ Ö Ø ¹ Å Ø Ù ÙÖ Ø Ò Ò Ú Ò ÐÝ Ý º Ì Ó Ö ØÝ Ú Ò Ñ ÚÝ ÓÑ Ó Ò ÒØÝ Ó ¹ Ò ÚÝ ÓÑ º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º¾  ÚÝ ÓÑ Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö ÑÓ Ö Ø ÝÖ ØÙ ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ò Ñ Ò ÚÝ ÓÑ º Ì ÒÅ ÔÖÓ Ö ÑÓ Ø ÓÑÓ Ð öò ÔÖ Ø Ó Ø öò Ù Ð ÓÖ ØÑ ÝÖ Ò ØÝÚ Ù Ù Ñ öóñ Ñ Ò ÓÑ º Å Ù Ù ØÚ Ù Ù Ø Ù ÒØ Ñ ¹ Ñ Ò ¾º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º¾ Ì ÙÐ H ÝÖ Å Ø Ò Ù Ò ÐÝ Ý Ù º ÃÖÝÔØ Ú ØÓÖ Ù Ô ÖÅ ö ÒØ Ø ÐÓ ÙÒ Ø ÙÐ ÙÒ ς = (cx,cy)º Ì ÐÓ ÙÒ Ù f ς (p) = c x p x + c y p y º Ì ¹ Ð ÙÖ Ø Ø p R 2 ÙÖ p H Ö f ς (pµ ÝÖ Ñ Ñ ÞÙÓØ º êýñå Ñ TP ÒÙÓ (H,ς) Ö Ó ÚÝ ÓÑ Ö Ø Cº

38 Ð Ñ ØÚ ÈÖÓ Ñ Ò ÚÝ ÓÑ º ÆÅ Ö ÔÖ Ò Ò Óº C = Á ÚÝ ÓÑ Ö ÓÒ ÒÅ Ö ÔÖ ÓØ ÖÝÔØ Ñ ςº Ì Ö Ô Ù ÒØ Ô Ò ÙÐ p ØÓ Ø ÐÓ ÙÒ Ð ÝØ Ð Ö Ñ Ò ÒØ Ô Ò ÙÐ Ù pº Á ÚÝ ÓÑ Ö Ø ØÙÖ Ö Ø Ò e ÙÖ Ó ÓÖ ÒÅ ÒÓÖÑ ÐÅ ÙØ ÑÔ Ù ÖÝÔØ Ñ ςº ËÔÖ Ò ÒÝ Ò ÙÒ ÐÙ Ó Ø Ó Ø ÔÖ Ð Ù ÒØ eº p e Â Ò Ú Ò ÐÝ Ò Ø Ò Ò Ñ Ø ÔÖ Ò ÒÝ ÝÖ Ú Ö ÙÒÅ v C ÙÖ ÝÖ ØÖ ÑÙÑ ÖÝÔØ Ñ Ð ÓÖ ØÑ Å Ù Ù ØÚ Ù Ð ÓÖØ Ñ Å ÒØ Ñ Ø Ò Ò ÐÝ Ý Ú Ò ÔÓ ØÓ Ö Ó ÓÔØ Ñ Ð Ù ÔÖ Ò Ò Ó ÙØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ º Ì Ô Ô Ø ØÙÖ ÙØ Ø Ò Ò Ñ Ö Ð Ú Ñ ÔÖ Ò ÒÝ ÙØÙ Ô ÖÅ öø Ö ÙÒ ÐÙ º ØÚ µºì Ñ ÔÖ Ò ÒÝ ÙØÙ ÔÖÅ öø Ú ÑÓ Ú Ò ÐÝ Ý Å Ö T(n) : T(n) : { { P x M, jei C x > 0, P x M, jei C x 0. P y M, jei C y > 0, P y M, jei C y 0. º µ º µ M ¹ Ö Ô Ö Ò Ø Ô Ò Ñ Ð Ö Ñ Ò Ø ÓØ ÔÖ Ò Ò Óº M ¹ ÔÖ Ð Ù Ó Ø ÒÙÓ c ÖÝÔØ Ú ØÓÖ Ù º Â Ù Ø Ô ÙÒ ÝÖ Ð ÓÔØ Ñ Ð Ù ÔÖ Ò Ò ØÚ µ Ø Ö Ô Ù Ø Ú ØÓÖ Ù c Ø Ò ÙØÙ ÒÓÖÑ ÐÅ Ó ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º¾ ËÙ ÒÙ Ø ØÝØÓÑ ÐÝ ÓÑ Ø Ó Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ö ØÙÖÅ ÙÒ ÐÙ ÔÖ Ò Ò ÙÖ Ù ÚÝ ÓÑÓ Ö Ø Ú Ö ÙÒÅ º Â Ú Ò Ñ ÓÔØ Ñ Ð Ù Ú ØÓÖ ÙѺ

39 Ô ÖÅ ö Ñ º¼º¾ Ì ÙÐ H,ςµ Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö Ñ º ÈÙ ÔÐÓ ØÙÑ ÙÒÙÑ ÖÙÓ Ñ h 1,h 2,...,h n º ÈÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Å H i Ù Å Ô ÖÑÙ Ò ÐÝ Ý Ù º C i (m 1,m 2 ) ¹ ÚÝ ÓÑ Ö Ø ÙÖ H i := {m 1,m 2,h 1,h 2,...,h j } C i := m 1 m 2 h 1 h 2,..., h i º È Ö Ò Ù C 0 Ú Ò ÚÝ ÓÑ Ö Ø C i ØÙÖÅ ÓÔØ Ñ ÐÙ Ú ØÓÖ Ù öýñå Ñ v i º Ì C 0 C 1 C 2 C 3,..., C n = C ØÓ Ù C i = Ø Ñ Ø Ö Ñ i Ø C j = Ú Ñ j i Ø Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÚÝ ÓÑ º Ð ÓÖ ØÑ Ð Ù Ø ÝØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø ÑÔ Ò ÚÝ ÓÑ º Ä Ñ º¼º¾ Ì ÙÐ 1 i n C i Ö v i Ø Ø Ò Ñ Ø Ø ÚÝ ÓÑ Ö ÓÒ ÓÔØ Ñ ÐÙ Ú ØÓÖ Ù º Ì ½º  v i 1 h i Ø v i = v i 1 º Â Ø Ò Ò Ò Ù ÔÖ ÙÒ Ø ÐÝ Ø Ò Ù Ö Ø ÓÔØ Ñ ÐÙ Ú ØÓÖ Ù Ø Ö Ð ÓÔØ Ñ Ð Ùº ¾º  v i 1 / h i º Ì Ö Ci = Ö v i L i ÙÖ L i ÝÖ h i ÔÐÓ ØÙÑ ÔÖ Ó ÒØ Ø Å º à ٠ÙÖ Ñ Ù ÒØÖÙ ØÚ Ù Ö Ô Ö ÙÓØ ÓÔØ Ñ ÐÙ Ú ØÓÖ Ù Ò v i L i Ø ÓÑ Ø Ó p ÙÖ Ñ Ñ ÞÙÓ f ς (p) Ö p h j Ú Ñ 1 j < iº ËÙ Ø Ö Ñ Ó l i Ò Ú ÖØ Ð º È Ð Ø Ö Ù ÖØ Ñ l i h ÝÖ ÖÅ Ö ÒÅ ÙÒ Ñ Ò ÐÝ Ý º Ì Ð Ñ Ù ÖÝØ Ú ÒÓ Ñ Ò Ó Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ì ÐÓ ÙÒ fς(x, 0) x Ω(h,L i ),h H i 1 Ö li h ÝÖ Ö x ØöÚ Ð Ùº x Ω(h,L i ),h H i 1 Ö li h ÝÖ Ò x ØöÚ Ð Ùº

40 ÌÙÓÑ Ø x left = max{ω(h,l i ) : l i h} ÔÖ ÓØ ÒÅ ÝÖ Öµ h H i 1 Ö x right = min{ω(h,l i ) : l i h} ÔÖ ÓØ ÖÅ ÝÖ Òµ h H i 1 º ÁÒØ ÖÚ Ð [x left : x right ] ÝÖ ÚÝ ÓÑ Ö Ø 1D Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö ÑÓ º  x left > x right Ø ÒÅ Ö ÔÖ Ò Ò Ù ÔÖ Ò Ù ØÚ Ù ÔÖ Ò ÒÝ Ø ÒØ Ø Å l i Ø x left Ö x right º Ä Ñ º¼º¾ Î ÒÓ Ñ Ò Ó Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö ÑÓ ÔÖ Ò ÑÓ Ù Å Ø Ò ÙÑ ÝÖ Ø ¹ Ò º Ì Ù ÙÖÅ Ñ Ù ÒØÖÙ ØÚ Ù Ô Ö ÙÓØ Ò Ù ÓÔØ Ñ ÐÙ Ú ØÓÖ Ù Ö ÒÙ Ø ØÝØ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ØÙÖ ÔÖ Ò Ò Ù ÙöØÖÙ Ñ O(n) Ð Óº Ð ÓÖ ØÑ ¾ ÇÍÆ ÄÈ H, c,m 1,m 2 ) ÙÓÑ ÒÝ TP(H {m 1,m 2 }, c) ÙÖ H ÝÖ Å n ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù c R2,m 1,m 2 ¹ ÔÖÅ öøùñó Ò ÐÝ Ý Å º Ê ÞÙÐØ Ø (H {m 1,m 2 }, c) ÝÖ Ò ÚÝ ÓÑ Ø ÔÖ Ò Ñ º à ØÙ ØÚ Ù ÙÖ Ò Ñ Ñ ö Ù Ø p ÙÖ Ñ Ñ ÞÙÓ f ς (p)º ½º Ì ÙÐ v 0 ÑÔ C 0 º ¾º Ì Ù h 1,...,h n ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ Å Hº º ÓÖ i = 1 ØÓ nµ Ó º v i 1 h i º Ø Ò v i = v i 1 Ë º Ð v i = p ÙÖ p l i ØÓ Ñ Ñ ÞÙÓ f ς (p) Ø öú Ð ÒØ H i 1 º Ò ÐÝ Ý º  p Ò Þ ÙÓ Ø Ò ÔÖ Ò Ñ Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÚÝ ÓÑ Ð Ó¹ Ö ØÑ Ñ º º Ê ØÙÖÒ v n º

41 Ä Ñ º¼º¾ â Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ù Å Ø Ò ÙÑ ÝÖ O(n 2 ) Ö Ø Ò Ù ØÑ ÒØ ÙÒ Ù Ó¹ ÑÙº n ¹ Ò ÐÝ Ý Ù Ù Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö ÑÓ Ñ Ò ¹ ¾º ØÑ ÒØÝ Ù ÓÑÓ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ º Ù Ù Ð Ó ÙöØÖÙÒ Ñ Ö Ô Ö ÙÓØ ÓÔØ Ñ ÐÙ Ú ØÓÖ Ù º Ø Ø Ø Ò Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ñ Ã Ò ÔÖ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ò Ò ÐÝ Ý Ñ ÚÓ ÐÅ ØÚ Ö Ô Ð Ø Ô Ó Å ØÝØÓ Å Ø Þ Ø ÚÓ Ð ÑÝ Å Ó ÑÙÑ ÔÓ Ú ÒÓ ÖØÓ Ø Ô Ö¹ ÙÓØ ÓÔØ Ñ ÐÙ Ú ØÓÖ Ù Ö Ø ÙöØÖÙ O(n 2 ) Ð Óº Ì Ù Ñ Ô ÑØÙÑÅ Ñ Ö Ù ØÙÑÅ Ñ ÐÅ ØÚ Ö Ø ÓÔØ Ñ ÐÙ Ú ØÓÖ Ù Ú Ò ÖØ Ô ÚÙ Ò ØÙ º Ã Ò Ñ Ò ö ÒÓÑ Ô Å Ø ÔÐÓ ØÙÑÓ ÔÖ ÚÝ Ý Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ö ÙÒ Ù Ø ÒÙ Ø ØÝØ Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ ÙÐÓ Ô ÑØ Ø Ø Ø Ò ÐÅ ØÚ Ö º Ù Ø Ò ÙöØ Ö Ò Ù Å Ø Ò ÙÑ Ò Ù O(n 2 )Ë Ø Ù ÙÑ ØÚ Ù Ð ÓÖ ØÑ Ô ¹ Ø Ò º Ð ÓÖ ØÑ ¾ Ê Æ ÇÅÁ ÇÍÆ Ä ÄÈ H, c,m 1,m 2 ) ÙÓÑ ÒÝ TP(H {m 1,m 2 }, c) ÙÖ H ÝÖ Å n ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù c R2,m 1,m 2 ¹ ÔÖÅ öøùñó Ò ÐÝ Ý Å º Ê ÞÙÐØ Ø ¾ ÇÍÆ ÄÈ H, c,m 1,m 2 ) Î Ø Ô Ø Ô ¾ ÇÍÆ ÄÈ H, c,m 1,m 2 ) Ø ÒØÖ Ñ ö Ò ÒÝ ÚÝ ¹ ÓÑ Ê Æ ÇÅÈ ÊÅÍÌ ÌÁÇÆ H[1,...,n]µ Ð ÓÖ ØÑ ÙÖ Ø Ø Ø Ò Ù h 1,h 2,...,h n ÔÐÓ ØÙÑÙ ØÚ Ö º Ê Æ ÇÅÈ ÊÅÍÌ ÌÁÇÆ Ò Ù Ó Ø Ø Ø Ò Ù Ò Ö ØÓÖ Ù ÙÖ Ó Ù Å Ø Ò ÙÑ ÓÒ Ø ÒØ º Â Ù Ò ÖÙÓ Ù ÒÙÓ ½ Kº Ê Ò ÓÑ Kµº Ð ÓÖ ØÑ Ê Æ ÇÅÈ ÊÅÍÌ ÌÁÇÆ SAµ ÙÓÑ ÒÝ A[1,...,N] ¹ Ñ ÝÚ Ê ÞÙÐØ Ø Ñ ÝÚ A[1,...,N] Ù Ø Ô Ð Ñ ÒØ Ø Ù Ø Ø Ø Ò Ù Ø ÐÅ ØÚ Ö º ¼

42 ½º ÓÖ k = n ÓÛÒØÓ 2 ¾º Ó ÖÒ Ò Ü Ö Ò ÓÑ kµº º Ü Ò A[k] Ò A[rdnindex]º Ì Ø Ø Ø Ò Ù Ò Ó Ø Ò Å ÔÖÓ Ö ÑÓ Ð ÓÖ ØÑ º ËÙÒ Ù Ô ÙÓØ Ó ÚÝ ÝÑÓ Ð ÔÖ Ð Ù Ó ÒÙÓ ÒØÖ Ñ ö Ò Ò Ô ØÓ ØÚ Ö Ó º Ã Ò Ð Ñ ÒØÙ Ø n! Ø Ø Ø Ò Ù ØÚ Ö Ù ÝÖ Ö Ú ÓÑ ÓÑ Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ö º Ì Ñ ÙÓ Ñ Ú ÙØ Ò ÒÙÑ ØÓÑ µ Ð ÓÖ ØÑÓ ÚÝ ÝÑÓ Ð Ú Ñ n!º Ä Ñ º¼º ¼ Ú Ù Ñ Ò Ù Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö ÑÓ ÔÖ Ò ÑÓ Ð ÓÖ ØÑÓ Ù n Ò ÐÝ Ý Ù ÒÙÑ ØÓÑ Ù Å Ø Ò ÙÑ ÝÖ O(n) Ò Ù Ó ÒØ O(n) ØÑ ÒØ º Ì ÙÒ Ñ ØÓ Ø ÑÝ Å Ó ÑÙÑ Ö Ñ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ø Ò ÙÖ Ö ÝÖ 2 ØÓ Å Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ù Å Ø Ò ÙÑ n i i=1 O(i) 2 = O(n)º ËÙ Å Ø Ò ÙÑ Ò ÔÖ Ð Ù Ó i ÒÙÓ ÔÖ Ò Ù ÙÓÑ ÒÙ º Æ ÔÖÅ öøó Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö ÑÓ ÈÖ Ø Ñ Ô ÚÝÞ Ý ÔÖ Å ÓÑ Ú Ò ÐÝ Ý Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ú Ò Ø Ò ÔÖÅ öøù Ø Ò Ù ÔÖÓ Ö ÑÙ º à ÖØ Ø Ô Ò Ð Ñ ÖÝØ Ò Ò Ð Ñ ö ÒÓØ Ó Ó Ý ö Ó M Ô Ö Ò Ø º ØÓ ØÓ Ù ÔÖÓ Ö ÑÙ öò Ô Ø Ó ÔÖ Ø Ó Ö Ö Ø Ò ÔÖ Ø º Ä Ñ º¼º ½ Ì ÒÅ ÔÖÓ Ö Ñ (H, c) ÝÖ Ò ÔÖÅ öø Ù Ö Ø Ø Ù d ÙÖ d c > 0 ØÓ vecd n 0 Ú Ñ h H Ö Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö Ñ (H, c) ÝÖ ÚÝ ÓÑ ÙÖ H = {h H : n(h) d = 0}º à ö ÒÓÑ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ ÙÖ Ó ÔÖÅ ö Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ð Ñ Ô Ò Ù ÓØ Ú ØÓ m 1 Ö m 2 ÓÒ Ø ÒØÙ ÙÖ Ú Å Ñ ÔÖ Ø Ñ Ð ÓÖ ØÑ º Ò Ö Ð ÓÖ ØÑ Ø Ò Ù ÔÖÓ Ö ÑÙ Ö ÑÙ ÙÓÑ ÒÝ TP(H {m 1,m 2 }, c) ÙÖ H ÝÖ Å n ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù c R2,m 1,m 2 ¹ ÔÖÅ öøùñó Ò ÐÝ Ý Å º ½

43 Ê ÞÙÐØ Ø (H, c) Ò ÔÖÅ öø Ö ö Ò Ñ Ô Ò ÙÐÝ º Â Ò ÚÝ ÓÑ Ø Ú Ö ØÖÝ ÔÐÓ ØÙÑÓ ÔÖÅ öøùñóµ Ö ö Ò ÑÓ º à ØÙ ØÚ Ù Ö ö Ò Ñ Ñ ö ¹ Ù Ø p ÙÖ Ñ Ñ ÞÙÓ Ø ÐÓ ÙÒ f ς (p)º ½º ÆÙ Ø ØÓÑ Ö d c > 0 ØÓ vecd n 0 Ú Ñ h Hº ¾º Á d º Ø Ò Ô ÙÓ Ñ H Ö ÒÙ Ø ØÓÑ Ö H ÚÝ ÓÑ º º H ÚÝ ÓÑ º Ø Ò Ö ö Ò Ñ Ô Ò ÙÐ ÙÖ ÖÓ Ó (H, c) Ò ÔÖÅ öø Ö Ñ Ö º Ð Ö ö Ò Ñ (H, c) Ò ÚÝ ÓÑ Ö Ñ Ö º º Ì Ù h 1,h 2 H Ù ÖØ Ø ÙÖ ÖÓ Ó Ó (H, c) ÝÖ ÔÖÅ öø Ö ØÙÖ Ñ ö ¹ Ù ÔÖ Ò Ò º º Ì Ù v 2 Ù Ù ÖØ Ñ l 1 Ö l 2 º º Ì ÙÐ h 3,h 4,...,h n Ù Ø Ø Ø Ò Ô ÖØÚ Ö ÝØÓ H ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ º ½¼º ÓÖ i = 3 ØÓ n ½½º Ó v i 1 h i ½¾º Ø Ò v i = v i 1 ;Ë ½ º Ð v i = p ÙÖ p l i ØÓ Ñ Ñ ÞÙÓ f ς (p) Ø öú Ð ÒØ H i 1 Ò ÐÝ Ý ½ º p Ò Þ ØÙÓ ½ º ½ º Ø Ò Ø Ù h j,h k Ù j,k < iµ Ù ÖØ Ø Ð ÙØ Ó h j = h k µ ÙÖ hj h k l i = ÈÖ Ò Ñ Ó Ø ÒÅ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÚÝ ÓÑ Ù h i,h j,h k ÖØ Ø Ø Ö Ñ ÔÖÓ Ö Ñ º ½ º Ê ØÙÖÒ v n º ¾

44 Ì ÓÖ Ñ º¼º ¾ Ú Ù Ñ Ò Ù Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ Ú Ñ Ù n Ò ÐÝ Ý Ù Ùö Ñ O(n) Ø Ø Ø Ò ÒÙÑ ØÓÑÓ Ð Ó ÙÒ Ù Ó Ñ ÐÓ Ù Ù ØÚ Ù Ø ØÑ ÒØ º º½ Å ö Ù Ó Ô Ù Ò Ó Ó Ö Ñ Ñ ÐÐ Ø ÒÐÓ Ò µ Æ Ö ÒÅ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ ØÙÖ Ñ n Ø Ù P ÔÐÓ ØÙÑÓ Ö Ö Ø Ñ ö Ù Ô Ù ÒØ Ø Ñ P º â ÝÖ ÙÒ ÐÙ º È Ò Ù Ô Ö Ò Ö ÒÅ Ø Ñ Ø Ò Ù ÔÖÓ Ö ÑÙ Ð ÓÖ ØÑ æ Ø Ø Ø Ø Ò Ù¹ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ º ÁÑ Ñ ØÙÖ ÑÓ Ø Ù Å È ÔÓ Ú Ò Ø Ö ÓÑ æ Ñ ö Ù Ó Ô Ù Ò Ó Ó Ø Ñ È º Ä Ñ º½º½ Ì ÙÐ 2 < i < n Ö P i æ Ø Ù Å D i ¹ Ñ ö Ù º µ  p i D i 1 Ø D i = D i 1 º µ  p i / D i 1 Ø p i ÝÖ ÒØ D i Ö ØÓº Á Ó Ð ÑÓ Ñ ØÓÑ Ù ÔÖ Ñ Ò Ù Ø ØÙÖ Ñ P Ö Ø ÒÅ Ö Ñ Ù Ù ÔÖ Ø Ô ÙÓØ Ñ ÓÔØ Ñ Ð Ñ Ø Ô Ö ÙÓ Ñ Ö Ø ØÙÖ ÔÖ Ð Ù ÝØ Ò Ù Ó Ó Ö ØÙ º

45 ÁÒÔÙØ n Ø Ù Å P ÔÐÓ ØÙÑÓ º ÇÙØÔÙØ Ø Ù P Ñ ö Ù Ô Ù ÒØ º Ð ÓÖ ØÑ Å Ò Pµ ½º Ø Ø Ø Ò Ù Å Ð Ó Ñ Ø Ù p 1,,pn P ¾º Ì Ù D 2 Ù Ñ ö Ù Ô Ù ÒØ Ø Ñ p 1,p 2 º º ÓÖ i = 3 ØÓ n º Ó p i D i 1 º Ø Ò D i = D i 1 º Ð D i = MiniDiskWithPoint({p 1,...,p i 1 },p i )º º Ê ØÙÖÒ D n º Ì Ò Ù Ø Ò ÔÖ Ð Ù Ó Ô ÙÓØ Ñ Ù Ø Ô öýñ Ñ q := p i Ö ÚÝ ÓÑ ÒØ Ð ÓÖ ØÑ ÙÖ Ö Ò Ñ ö Ù Ù Ø Ù q ÒØ Ó Ö ØÓº ÁÒÔÙØ Ø Ù Å P Ö Ø q ØÓ Þ ØÙÓØÙ Ô Ù ÒØ ÙÖ Ñ ÔÖ Ð Ù Ó Ø P Ö Ø q ÙØÙ ÒØ Ó Ö ØÓº ÇÙØÔÙØ Ñ ö Ù Ø Ñ P Ù Ø Ù q ÒØ Ó Ö ØÓº Å Ò Ï Ø ÈÓ ÒØ P,qµ ½º Ø Ø Ø Ò Ù Å Ð Ó Ñ Ø Ù p 1,,p n P ¾º Ì ÙÐ D 1 Ù Ñ ö Ù Ù Ø q Ö p 1 ÒØ Ö ØÓº º ÓÖ j = 2 ØÓ n º Ó p j D j 1 º Ø Ò D j = D j 1 º Ð D j = MiniDiskWithPoints2({p 1,...,p j 1 },p j,q)º

46 º Ê ØÙÖÒ D n º ËÙ Ú Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑ ÚÓ Ò ÒØ ÙÓ Ù Ù ÙÖ Ñ Ñ ö Ù Ù ØÖ Ñ Ø ÒØ Ö ØÓ q 1,q 2 Ö p k º Å Ò Ï Ø ¾ÈÓ ÒØ P,q 1,q 2 µ ÁÒÔÙØ n Ø Ù Å P ÔÐÓ ØÙÑÓ Ö Ù Ø q 1 q 2 ØÓ Þ ØÙÓØÙ Ô Ù ÒØ Ø Ñ P ÙÖ Ó Ö ØÙ ÔÖ Ð Ù ÝØÙ q 1 Ö q 2 º ÇÙØÔÙØ Ñ ö Ù Ô Ù ÒØ Ø Ñ P ØÓ ÙÖ Ó Ö ØÙ ÔÖ Ð Ù Ó q 1 Ö q 2 º ½º Ì Ù D 0 Ñ ö Ù ÙÖ Ó Ö ØÙ ÔÖ Ð Ù Ó Ø q 1 Ö q 2 º ¾º ÓÖ k = 1 ØÓ n º Ó p k D k 1 º Ø Ò D k D k 1 º Ð D k Ù Ø q 1,q 2 Ö p k ÒØ Ó Ö ØÓº º Ê ØÙÖÒ D n º Ä Ñ º½º¾ Ì ÙÐ P Ù Ø Ù Å R 2 R Ø Ù Å ØÓ P R = Ø ÙÐ Ø p P º D æ º Ì µ D ÙÖ Ô Ù P Ö Ú R Ø ÝÖ ÒØ Ó Ö ØÓ Ø ÙÒ ÐÙ º êýñå Ñ md(p,r) µ p md(p \ {p},rµ Ø md(p,r) = md(p \ {p},r) µ p / md(p \ {p},r) Ø md(p,r) = md(p \ {p},r p)º Ì ÓÖ Ñ º½º Å ö Ù Ô Ù Ñ n Ø Ù P ÔÐÓ ØÙÑÓ Ù ¹ ÙÓ Ñ Ù ÒÙÑ ØÓÑÙ O(n) Ù Å Ø Ò ÙÑÙ Ö O(n) ØÑ ÒØ º Ã Ô Ö ÔÐÓ ØÙÑÙ Ù ÖØ ÑÓ ØÚ Ù Ò Ù Ó ÒØ Ø Ø Ø Ò Ð ÓÖ ØÑ ÙÒ Ñ Ó ÙÑÙÓ Ñ Ø ÑÝ O(n) + n i=2 O(i)2 = O(n) Ø ÙÑ Ø Ð Ó ÙÖ i ÙöØÖÙ ÓÑ ÙÓ Ñ Å Ò Ï Ø ÈÓ Òؾ ÙÑ Ô Ð Ø ÑÝ ÑÙÑ Ö Ö ÔØ Å Ò Ï Ø ÈÓ Òؾº Æ Ø ÑÝ Å Ö Ô Ö ÙÓØ 2º i

47 Ù ÐÙÑ Ö Ø Ù Å ØÝÑ ÖÖ Ò Ñ ÒØ Ò Ù Ð Øݵ ÃÓÑÔ ÙØ Ö Ó Ù ÙÖØ 3D Ú Þ ÝÖ Ú Ð Ù Ö Ð Ø Ò º â Ò Ò ÙÓ ÙÒ Ù Ø ÖØ ÒÙÓ ÓØÓ Ö Ù º ÃÓÑÔ ÙØ Ö ÒÅ ÒÙÓØÖ Ù Ó Ú Þ Ú ÑÙ Ð Ú Ö Ù Ú Ñ Ò ØÐ Ô Ò ÙÐ Ó Ö Ñ º ÃÓÑÔ ÙØ Ö Ó ÑÓÒ ØÓÖ Ù Ö Ò ÝÖ Ù ÖÝØ Ù Ñ öù Ø Ù Ú Ò Ñ Ô Ð º Ë Ý Ñ ÝÖ ÙÓØ 3D Ò Ù ÒØ Ð Ù Ó ØÙ Ú Ó ÐØ Ò Ó Ö Ú ØÓ ÙÖ Ó ö ÙÖ Ñ º

48 È ÒÙ ½ Å ØÓÑÙ Ó ØÙ ÒÙ Ø ØÝÑ Ô Ò Ù Ó ÒØ Ô Ò ÙÐ Ù ØÖ Ú Ñ Ò º Ö Ý ØÖ Ò µ º â Ó ÒÓ Ú Þ Ó Ò Ö Ú Ñ Ö Ú Ò Ñ Ô Ú Þ Ó Ö Ò Ò ÑÙ Ô ÖÅ ö Ú ÒÓ Ô Ð Ó Ú Ö Ø ÝÖ ÒÙ Ø ØÓÑ Ö Ó Ø Ùö Ò Ô Ð Ö Ò º Ì Ô Ô Ø ÝÖ ÒÙ Ø ØÓÑ Ú Ó ÒØ Ò ÝÚÙÑ Ú Ò Ñ Ø º Ã Ô ÝÖ ÒÙ Ø ØÓÑ Ñ ØÓÑ Ó Ø Ô ÐÝ â ÙÒ Ñ Ô Ò ÙÐÝ Ô Ö Ú ÒÓ Ô Ð Ó ÒØÖ Ö ö ÙÖ Ñ Ö Ô Ø ÓÑ Ó Ø º Ã Ø Ñ ØÓÑ Ó Ø ÝÖ ÒÙ ¹ Ø ØÝØ Ö Ô ÙÓØ Ô Ò ÙÐ ÙÓ ÑÓ Ú Ó ÒØ Ò ÝÚÙÑ ö ÙÖ ÑÓ Ø Ó ØöÚ Ð¹ Ùº â ÙÓ Ù Ù ÝÖ ØÚ Þ ÙÓ Ñ ØÖ Ñ Ø Ú Þ ÓÑÔ ÙØ Ö Ó Ö Ò ÃÓÑÔ ÙØ Ö Ó ÑÓÒ ØÓÖ Ù Ö Ò ÝÖ Ù ÖÝØ Ù Ñ öù Ø Ù Ú Ò Ñ Ô Ð º Ë Ý Ñ ÝÖ ÙÓØ 3D Ò Ù ÒØ Ð Ù Ó ØÙ Ú Ó ÐØ Ò Ó Ö Ú ØÓ ÙÖ Ó ö ÙÖ Ñ º È ÒÙ ¾ ¹Ñ ØÅ Ò ÓÑÔ ÙØ Ö Ó Ö Ò º Ì Ù Ñ ÝÖ Ù ÝÖ Ò Ö ÒÅ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÖÅ ö ÒØ Ñ ØÓÑ Ó Ø Ú Ò Ñ Ô ÐÝ º È Ð ÒÅ Ö Ø Ó Ñ ö Ú Ö ØÅ Ð Ó ÓÖÑÓ ÔÐÓØ Ð º Á ö ÙÖÅ ØÓ Ó ÔÓÞ Ó ÝÖ Ð ö Ñ Ô Ò ÙÐÝ Ô Ö Ú ÒÓ Ô Ð Ó ÒØÖ ÒÙ Ø ØÓÑ Ö Ô Ð Ùö Ò Ó Ø º Ì Ù ÝÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ú Ô Ð Ùö Ò Ó Ø Ó Ø Ð º â ÙÒ ÒØ Ô Ð Ó ÒØÖ Ñ Ð Ñ Ùö ÒÓØ Ú Ð ÑÝ Ö

49 Ô Ð Ùö Ò Ø Ú Ö Ò Ùö Ò Ø Ú º Â Ù Ó Ø Ô Ð Ùö Ò ½ ± ÒÙ Ø ØÓÑ Ô Ð Ú Ùö Ò Ø Ù ± ¹ Ú Ò Ùö Ò Ø º Ì Ù ØÓ Ò ÙöØ Ò ÙØÙ Ð Ñ Ö ö ØÚ Þ ÙÓØ Ó ØÙ º ËÔÖ Ò Ñ ÝÖ ÙØ Ù Ù Ô Ú ÒÙ Ô Ò ÙÐ Ù Ô Ö Ô Ð º Ã ÙØÙ Ö öù Ú Þ Ô Ò ÙÐ Ô ÐÝ ÝÖ Å Ø Ø Ø Ø Ò ØÚ Ö º È ÚÝÞ ö Ù Ù Ñ ÙÒ Ñ ½¼¼ Ô Ò ÙÐ Ù Ô Ð Ö Ù Ô Ø Ó Ó ¹ Ø Ø Ø Ö Ñ ± Ô Ð Ó ÔÐÓØÓ Ùö Ò Ó Ø º Ì Ù Ø ÖÔ Ô Ò ÙÐ Ù Ô Ø ÝÑÓ Ö Ùö Ò ØÓ ÔÐÓØÓ ÖØÙÑ Ú Ø ÝÖ ØÓ Å Ð ÑÙÑ Ö Ô Ò ÙÐ Ù Ô ¹ ÐÝ Å Ð ÓØ Ø Ô ÖØÙÑ ÙØÙ Ð Ñ Ñ ö Ò º ÌÓ Å Ð Ñ Ñ Ô Ò ÙÐ Ù Ø Ø Ø Ò Ô Ð Ö ÓÑ Ò Ø Ø ÑÓ Ø ÖÔ Ô Ø ÝØÙ Ô Ò ÙÐ Ù Ö Ùö¹

50 Ò ØÓ Ô Ð Ó ÔÐÓØÓº Â Ù Ò Ø Ø Ñ ÝÖ Ð Å ØÓÑ Ø Ù Ö ÖØ Ö Ø Ô ØÓÐ ÓÐ Ò Ø Ø Ñ ÑÙ Ø Ò Ò º Ì Ö ÑÙÑ Ö Ð ÓÖ ØÑÓ ÙÓØÙ ÙÓØÓ Ø Ù Å Ò Ø Ø Ñ º Æ Ø Ø ÑÓ Ú Ñ Ì Ö Ñ Ú Ò Ô Ð Ø Ø Ò Ú Ò Ø Ò Ú Ö Ø Ñ öýñå Ñ Ö U := [0 : 1] [0 : 1]º Ê S öýñå Ñ Ú Ò Ø Ò Ñ Ú Ö Ø U Ò Ù n Ø Ù º Ê H öýñå Ñ ÙÖ Ó ÝÖ Ú Ó Ñ ÒÓÑÓ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ Ô ÐÝ º ÈÙ ¹ ÔÐÓ ØÙÑÅ h ÙÖ ÔÖ Ð Ù Ó H ØÓÐÝ Ù Ú Ò Ø Ò Ðº ÓÒØ ÒÙÓÙ Ñ ÙÖ µ Ô ÖÅ Ñ Ô ÔÐÓØ ÙÖ h Uº â ÔÐÓØ Ñ öýñå Ñ µ(h)º  ٠ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ h Ùö Ò Ú Ô Ð Ó ÔÐÓØ Ø µ(h) = 1º Ö ØÙ Ú Ò Ø Ò Ðº Ö Ø Ñ ¹ ÙÖ µ Ñ öýñå Ñ µ s (h)º  ÙÒ Ñ Ø Ù Ù ÙÖ ÙÓ Ùö Ò ÔÙ ÔÐÓ ¹ ØÙÑÅ ÒØÝ Ù Ú Ø Ò Ô ÐÝ µ s (h) = S. hº Ì Ñ Ù Ù ÓÑ S. ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ò Ø Ø Ñ ÙÖ öýñå Ñ S (h) ÝÖ ÓÐ ÙØÙ ÖØÙÑ Ø ÖÔ ØÓÐݹ Ù Ö Ö Ó Ó Ú Ò ØÙ S(h) = µ(h) µ s (h) º Å Ù ö ÒÓÑ Ô Ô ÙÓØ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ò Ø Ø Ñ Ö ÑÙÑ Ö Ö Ø ö Ù Ò Ø Ø Ñ Ú Ù Ñ ÒÓÑÙ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù º Ì Ñ öýñå Ñ H (S) := MAX h H (h)º à ÙØÙÑ Ò Ø Ø ÑÙ Ñ ÑÙÑ Ñ Ð Ñ ØÙÑ ÝØ ÔÙ ÔÐÓ ØÙѺ È ÚÝÞ ö Ù ØÙÑ ÒØ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ø Ô ØÓÐÝ Ù Ú Ò Ø Å ØÙ Ó Ö ØÙ Ò ØÙ Ñ Ù Ñ Ò Ø Ø ÑÙ Ñ ÑÙÑ º Ì Ù Ø Ø Ò ÒØ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ Ö ØÓ Ø ÙÖ Ú Ò Ù Ö Ù Ù Ø Ù º Ä Ñ º¼º S Ù Å n Ø Ù Ú Ò Ø Ò Ñ Ú Ö Ø Uº ÈÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ h ÙÖ Ý Ñ Ñ ÐÙ Ò Ø Ø Ñ ØöÚ Ð Ù S ÝÖ Ú Ò Ù Ø ÔÙ

51 µ h ØÙÖ Ú Ò Ø p ÙÖ ÔÖ Ð Ù Ó S Ö ÙÐ ÒØ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ h Ö ØÓº µ h ØÙÖ Ù Ö Ù Ù Ø Ù Å S ÙÖ ÙÐ ÒØ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ h Ö ØÓº Ì Ô ÖÑ Ù Ò Ö ÒÅ Ñ (i) Ø Ô º â Ø Ô ÑÙÑ ÙØ Ð ÑÝ Ù Ø ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ô Ø p 360 Ð Ô Ò Ù º Ì Ö Ñ ØÙÖ Ñ Ø l p (φ) ÙÖ Ò Ô Ö Ø p := (p x,p y ) Ö Ù x Ñ Ù ÖÓ ÑÔ φº Ì Ô Ô Ø ØÙÖ Ñ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ h p (φ) ÙÖ ÝÖ Ú Ö ØÓ Ø Å Ô Ô ÖÓ¹ ÝØ Ô Ú ÐÅ ÐÝ µº ËÙ Ñ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ô Ø p ¼ Ð Ô Ò Ù ÑÔÙ ÓÑ ÐÓ Ð Ù Ñ Ò ÑÙÑÙ Ö Ñ ÑÙÑÙ Ö Ú Ò ÑÙ ÐÓ Ð ØÖ ÑÙÑ º Ì Ñ ÓÑ ÐÓ Ð Ù ØÖ ÑÙÑÙ ÙÒ Ó φ µ(h p (φ))º â ÙÒ ÖÓ Ó ÔÐÓØ Ú Ò ¹ Ø Ò Ó Ú Ö ØÓ U ÙÖ Ùö Ò ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ º Â Ô ÙÓ Ñ ÓÖÑÙÐ µ(h p (φ)) = Ä Ù Ø Å Ø Ò ØÖ ÑÙÑ ÚÝ Ø Å l p (φ) Ö Ú Ò Ú Ö ØÓ U Ú Ö ÙÒ Ù Ø Ð ÚÝ Ø Ù Ù ÖØÙ º Ì Ñ ÒÙ ÔÖ Ò ö Ñ ÐÓ Ð Ù ØÖ ÑÙÑÙ Ù Ô Ö Ø p ÝÖ ÓÒ Ø ÒØ Ú Ò Ò ØÙ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ú ÒÙ Ø Ù ÒØ Ó Ö ØÓ ÝÖ O(nµº Ì Ô Ô Ø Ñ Ð Ñ ÙÖ Ø Ú ÓÑ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ Ñ ØÖ ÑÙÑÙ Ô Ö O(n) Ð Ó Ö ØÙ Ú Ò Ø Ð Ñ Ö Ø Ø Ô Ô Ø O(n) Ð Ùº Î Ò (i) Ø ÔÓ Ò Ø Ø ÑÓ Ú ÑÙ ÑÙÑ Ö Å O(n 2 ) Ð Óº Ì ÔÓ (ii) ØÚ Ù Ô ÙÓØ Ö ØÙ Ú Ò Ø ÑÙÑ Ö Å Ò Ù ÓØ ØÙ Ñ ØÓ Ù ÒÓÖ ÒØ Ò Ø Ø Ñ Ö Ø Ô Ö Ø Ô Ø O(n 2 ) Ð º ÅÙÑ Ö Å ÖÓ ÝØ Ð Ñ º 1 (1 p 2 y + p x tanφ) (p x + ( 1 py) tan φ )º Ä Ñ º¼º Å S ÙÖ Ó ÝÖ n Ø Ù ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ Ò Ø Ø Ñ Ð Ñ Ô ¹ ÙÓØ Ô Ö O(n 2 ) Ð (ii) Ø ÔÙ º ¼

52 Ù ÐÙÑ Ì ÔÐÓ ØÙÑÓ Ø Ø Ò Ù Ô Ö Ñ ØÖÙ Ø x Ö y ÓÓÖ Ò ØÅ º Æ Ú ÖØ Ð Ð Ò¹ ÔÐÓ ØÙÑÓ Ø Ø Ò Ø Ô Ô Ø Ù Ô Ö Ñ ØÖÙ Ø ÖÝÔØ Ó ÒØ Ö Ò ÖØ Ù y Ñ º Ì Ñ Ð Ñ ØÚ Þ ÙÓØ Ø Ù Ð Ò Ù Ö ØÚ Ö Ô Ò Ù Ó Ù ÐÙÑÙº Ì Ö Ñ Ö p := (p x,p y ) öýñ Ñ Ø ÔÐÓ ØÙÑÓ ØÙÓÑ Ø Ø ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ú Ù Ð Ö Ú Ù Ñ Ø ÙÖ öýñå Ñ p º Ì Ó p ØÖ Ò ÓÖÑ Ù Ð Ö Ú ÚÝ ÓÑ Ô Ð ÓÖÑÙÐ p := (y = p x x p y )º Ì ÙÒ Ñ Ø º Ì Ô Ô Ø Ø l : y = mx + b ØÖ Ò ÓÖÑÙÓ Ñ Ø l := (m, b)º È Ø º¼º Ê p öýñå Ñ Ø ÔÐÓ ØÙÑÓ Ö l ¹ Ò Ú ÖØ Ð Ø ÔÐÓ ¹ ØÙÑÓ º Ù Ð ØÖ Ò ÓÖÑ σ σ ØÙÖ ÚÝ µ p ÔÖ Ð Ù Ó l Ø Ö Ø Ø l /inp º µ p ÙÐ Ú Ö l Ø Ö Ø Ø l ÙÐ Ú Ö p º â Ô Ø Ð Ù ØÖÙÓ Ô Ú ÐÅ Ð Ù Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ð Ñ ÔÖ Ø ÝØ Ö Ø Ñ Ó Ø Ñ º È ÚÝÞ ö Ù Ù¹ ØÙÑ Ù Ð Ó Ö ÚÅ Ô ÖÑ ÒÅ Ö ÚÅ ØÙÖ Ñ Ø ÖÔ s = pq Ö Ó Ø ÖÔÓ Ù Å ØÙÑ ÐÓ Ù Ø Ù Ø ÝÑ ÙØÙÑ ÔÐÓ ØÙÑ ÙÖ ÙØÙ Ù ÖÝØ ÐÓ Ù Ø Ù º ½

53 Î Ø ÒØ s ÝÖ Ú ÒÓ Ø Å Ú Ò Ú Ó Ð Ò Ó Ö Ú Ò Ñ Ø º Ì Ô Ô Ø Ù Ô ÖÑ ÒÅ Ö ÚÅ ØÙÖ Ñ Ø l ÙÖ ÖØ Ø ÖÔ s Ø Ù Ð Ó Ö ÚÅ ØÙÖÅ Ñ Ø l ÙÖ ÙÐ ÒØ s ÔÐÓ ØÙÑÓ Ò Ø l ÙÐ ÒØ Ú ÒÓ Ø Ù Ù Ð Ó Ö ÚÅ ÙÖ Ó Ù ÖÓ ÔÐÓ ØÙÑ º Ö ÑÙÑ Ö ÒØ ÙÓ Ù ÐÙÑ Ð ÙØ Ò Ù Ò ÖÓ ÒØ ÒØÖ Ð Ñ º Æ Ù Ó ÒØ Ù ÐÙÑÙ Ð Ñ Ð Ò Ú Ù Ô ÙÓØ Ö ØÙ Ú Ò Ø Ø ÝÖ Ô ÙÓØ Ø Ù Ô ÐÝ Ùö Ò ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ ÒØ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ Ö ØÓ ÙÐ Ù Ö Ù Ù Ø Ù º Ì Ö Ñ ØÙÖ Ñ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ ÙÖ ö ÙÖ Ô Ö ÒØ ÙÖ Ó Ö ØÓ ÙÐ Ù Ø p Ö q ÒØ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ Ö ØÓ ÝÖ ÒÙ ÖÅ öø Ø Å l(p,q)µº ÅÙÑ Ö Ô ÙÓØ Ø Ù Ô Ø Ò ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ Ö Ø Ø ÝÖ Ø Ù ÝÖ ö Ñ Ù Ø Å l(p,q)º Æ Ù Ó ÒØ Ù ÐÙÑÙ Ú Ù Ø Ù ØÖ Ò ÓÖÑÙÓ Ñ Ù Ð Ö Ú Ø Ú ØÓ Ø Ù ØÙÖ Ñ Ø Ó Ú ØÓ Ø Å l(p,q) Ø l(p,q) ¾

54 Ì Ö ÑÙÑ Ö Ô ÙÓØ Ø Ù ÝÖ Ú Ö Ø Ó l(p,q) º Ç Ø ÝÖ Ù Ð Ò Ú Ù Ô ÖÝØ º Ä Ò Ù Å ØÝÑ Ê L öýñå Ñ n Ø Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ º â ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ú Ö ÙÒ Ù

55 Ö Ø Ò Ù Ö ÒÙ ÙÖ Ó Ô Ð Ò ÔÐÓ ØÙÑ Ã ÙÖ Ó Ö Ø ÒÅ Ö ÒÓ ÝÖ Ö Å º â Ô Ð Ñ ÝÖ Ò Ù Ó Ñ Ô Å ØÝÑ Ö öýñå Ñ A(L)º Ä Ò Ù Å ØÝÑ Ú Ò Ñ Ô ÔÖ Ø Ù ÒÅ Ö ØÖ Ù Ø Ù ÙÖ Ó ÖØ Ø Ñ Ô Ñ Ø Ö ÒÅ Ö Ú Ù ÐÝ Ö Ù Ø Ù º Ì ÓÖ Ñ º¼º L ÝÖ Å n Ð Ò Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ Ó A(L) ÝÖ Ð Ò Ù Å ØÝÑ µ ö Ù Ú Ö ÙÒ Ù Ù Å A(L) Ð ÙØ n(n 1) 2 º µ ö Ù Ö Ø Ò Ù Ù Å A(L) Ð ÙØ n2º µ ö Ù ÒÙ Ù Å A(L) Ð ÙØ n º Ó ÐÝ Ó Ø Ò Ò ÑÓ 2 2 Ø Ö Ø Ø A(L) ÝÖ Ô ÔÖ Ø Å º Ö ÑÙÑ Ö Ú Ø ØÑ ÒØ Ú A(L) Ø ÝÖ Ú Ú Ö ÙÒ Ö Ø Ò Ö Ò º Ì Ñ ØÐ Ñ Ò Ù Ó Ñ Ú Ù Ù ÙÒ ØÙ Ö ÙÒÙ Ö Ù Ò Ðº ÓÙ ÐݹÓÒÒ Ø Ð Ø Äµº  ÒÅ Ö Ù Å Ø Ò ÔÖ Ø ÝØ Ø Ù Å ØÝÑÓ ¹ Ú ÑÙ º Ì Ù Ñ ØÓ Ð Ú Ø Ù ÒÅ Ö Ö Ù ÒÙ Ö Ö Ø Ò Ù ØÓ Å Ð Ú Ð Ò Ñ Ø Ö Ð Å ö B(L) ÙÖ Ó Ø ÐÔØÙ Ú Ó Å A(L) Ò Ó Ú Ö ÙÒÅ

56 Á Ò Ö ÒÅ Ñ Å ÑÓ Ð ÓÖ ØÑ ÖØ Å Ø Å ö B(L) Ø l 1,l 2,...,l n Ú Ò ÔÓ ØÓ ÖØÙ ØÒ Ù Ò ÒØ Äº Ì Ö Ñ ØÙÖ Ñ Ù Å i 1 Ø Ö ØÙÖ Ñ A i 1 Ö ÒÓÖ Ñ Å Ø Ò Ù i¹ Ø B(L)º Ã Ø Ô Ô ÖÝØÙÑ ÑÙÑ Ö Ô Ö Ö Ø Ò A i 1 Å ÙÖ Ó Ô Ø Ò ÑÙ ÒÙ Ö Ø º Ì ÔÖ Ñ Å ÑÓ Ð ÓÖ ØÑ º ÈÖ Ñ Ø Ø ÖÅ Òº ËÙ Ö Ò Ñ Ø ÒØ B(L) ÒÓ ÙÖ ÝÖ Ø Å l i ÔÖ ö º È ÖÑ Ù Ð Ò Ñ Ú Ò Ò f Ú Ð ÔÓ ØÓ Ò Ñ Ú ÒÓ ÒÓ Ö Ø ÒÅ Ñ ÔÐ Ò Ù ÓÐ Ö Ñ Ø ÙÖ Ø Å l i Ò ÒÓ fº Ì Ø Ñ Ù Ó Ñ Ô Ò Ù Ú Ö ÙÒº Ì Ô Ô Ø Ö Ø Ò Ô Ö ÙÖ Ô Ð Ñ Ò f Ð Ò Ñ Ú Ð º Ì Ô Ð Ù Ñ ÓÐ Ò Ñ Ð Ò Ò Ø ÝÖ Ò Ñ B(L)

57 Ð Ø Ø Ø ØÓ ØÚ Ò f Ô Ð Ñ Ò Ô Ö Ö Ø Ò Ó Ô Ö Ø ØÙÓÑ Ø ÑÙÑ Ò Ö Ù ÙÖØ Ò Ò Ù Ó Ú Ö ÙÒÅ Ò Ð ÒØ Ú Ò Ö Ø Ò Ú â Ð ÓÖ ØÑ Ð Ñ Ù ÓÒ ØÖÙÓØ Ø Ô Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÖÖ Ò Ñ ÒØ Äµ ÁÒÔÙغ n Ð Ò Ù Å Lº ÇÙØÔÙغ Ä Ô Ð Ñ Å B(L) ÙÖ Ô Ø Ò Ú Ó Ú Ö ÙÒÅ Å A(L)º ½º Ê Ò Ñ B(L) ÙÖ Ó ÙØÙ Ú Ó A(L) Ú Ö ÙÒÅ ¾º ÃÓÒ ØÖÙÓ Ñ Ä Ô Ð ÑÙ Å B(L) º ÓÖ i = 1 ØÓ n º Ó Ö Ò Ñ Ö Ø Ò e ÙÖ ÔÖ Ð Ù Ó B(L) Ö ÙÖ Ø Å l i ÖØ Ö Ù Ó Ú ØÓ º f Ö ÒÅ Ò ÙÖ ÝÖ ØÓ Ô Ó Ö ØÝ Ô Ö Ø ÒÅ e º Û Ð f ÝÖ Ö ÒÅ Ò Ø ÝÖ ÓÐ Ò ÝÖ Ô Ø Ò B(L) º Ó ÖØ Ñ f Ö f Ô Ö ÙÓ Ñ Ò Ò º

58 Ö Ð Ñ Ò Ö ÒÅ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ù Å Ø Ò ÙÑ º È ÖÑ ö Ò Ò Ô ÙÓ Ñ Ô Ö O(n 2 ) Ð º ÒØÖ ö Ò Ò Ô Ö ÓÒ Ø ÒØ Ð Óº È ÖÑÓ ÒÓ Ò ÖØÓ Ù l i Ö Ñ ÚÝ ÓÑ Ô Ö O(n) Ð º Ì ÓÖ Ñ º¼º Ä Ø Ù Å ØÝÑÙ ÝÖ n Ø Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ ÝÖ ÚÝ ÓÑ Ô Ö O(n 2 ) Ð º ÄÝ Ö Ò Ø Ø Ñ Ä Ö öø ÔÖ Ò Ø Ø ÑÓ ÔÖÓ Ð ÑÓ º Å ØÙÖ Ñ n Ø Ù Å S ÑÙÑ Ö Ö Ø Ú Ò Ú Ö ÙÒ Ú Ö Ó ÝÖ Ø Ù º Î Ø Ù Ñ ÔÖ Ú ÐÓÑ ÙØ Ù ÓÒ ØÖ Ú Ä Ø Ñ ö ÒÓÑ Ø Ù ÔÖ Ò Ô Ö Ú Ò Ú Ö ÙÒº Å Ó Ñ Ú Ò Ú Ö ÙÒ ÐÝ Ø Ø Ø Ð Ú Ö ØÓ Ú Ö ÙÒÅ Ò Ù Ø Ù Ù Ì Ö Ñ ØÙÖ Ñ Ø Ù Å ØÝÑÓ A(S ) Ö Ú ÝÖ Ù ÓÒ ØÖÙÓØ Äº È Ñ Ñ Ú Ò Ø l Ö ÑÙÑ Ö Ö Ø Ú ÓÑ Ó Ú Ö ÙÒÅ Ñ ÐÝ Ù

59 È ÖÑ Ù Ö Ô ÙÓØ Ö Ù Ø Å l Ú Ö ÙÒÅ ÐÝ º Ì Ñ Ô ÖÓÑ Ôö ÙÖ ÒØ Ú Ø Ö Ø ÒÙ Ø ØÓÑ Ø Ð Ø Ù ÝÖ Ú Ö ØÓ Ú Ö ÙÒÅ º â ÔÖÓ Ùö Ñ O(n) Ð Óº È Ù Ð Ù Ñ Ø l ØÓÐ Ù Ö ÙØ Ø Ú Ö ÙÒ Ö Ò Ñ Ó ÐÝ Ò Ù Ó ÒØ Äº Á Ò Ö ÒÅ Ñ ÔÐ Ù Ô Ú ÐÅ Ð ÌÙÖ Ñ Ø l Ö ØÙÖ Ñ ÒÙ Ø Ø Ö Ù ØÓ Ø Å Ú Ö ÙÒÅ ÐÝ ÐÝ Ù 1º Ã Ð Ù Ñ Ø ØÓÐ Ù ÓÐ ÙØ Ñ ÒØÖ Ú Ö ÙÒº Å ØÓÑ Ô Ö Ø Ú Ö ÙÒ Ò Ú Ò Ø Å ÙÖ Ø Ò Ú Ö Ù Ù Ö ÒÅ Ñ Ä Ú Ò Ø Ñ ÔÖ Å ÚÓÑ Ò Ö ÒÅ Ø ÒÙÓ Ö Ù Ó Ø Ó ØÓ Å Ð Ñ Ù ö ÒÓÑ ÙÖ ÖÝÔØ Ñ Ø Ø Å ÒÙ Ö ÔØ Ø Ñ ØÓÑ Ø Å ÖØ ÒØ ÒØÖ Ø Å l Ú Ö ÙÒ Ò ÒÙÓ Ú Ö Ù Ô µº Ì Ð Ù Ñ ÒØÖÓ Ú Ö ÙÒÅ Ñ Ù Ú Ñ Ò Å ÑÅ Ô ÖÑÓ

60 Ú Ö ÙÒÅ ÐÝ ÙÓ ØÚ Ù 1 ÔÖ Å ÔÖ ÒØÖÓ Ú Ö ÙÒÅ Ö Ô Ñ Ø Ø Å Ø Ò Ú Ö Ù Ñ 1 Ø Ñ Ñ 1 Ö ÙöÖ ÓÑ ÒØÖ Ú Ö ÙÒÅ ØÙÖ 0 ÐÝ Ö Ð Ù Ñ 3 Ú Ö ÙÒÅ Ò ÑÅ Ù Ú Ñ 0º ÈÖ Å ØÖ Ú Ö ÙÒ Ñ ØÓÑ Ø Å ÖØ ÒØ Ø Ò Ô Ó Ú Ö Ù ØÓ Å Ð Ø Ú Ö ÙÒ Ô Ð Ñ Ø Ô Ö Ñ 0 Ó Ð ¹ Ù Ñ ÔÖ ØÓ Ú Ö ÙÒÅ ÔÖ ÒÙÐ Ó ÔÖ Ñ Ú Ò Ö Ò ÑÅ Ú Ò Ø º ÈÖ Å ÔÖ ØÚ ÖØÓ Ú Ö ÙÒÅ Ñ ØÓÑ ÖØ Ú Ø Å Ö Ò Ô Ó Ú Ö Ù ØÓ Å Ð ÔÖ ØÓ Ú Ö ÙÒÅ Ô Ð Ñ Ø Ô Ø Ú Ò Ø Ó Ñ ÔÖ Ò Ó Ú Ö ÙÒÅ Ñ ÔÖ Ú Ò ØÓ ÔÖ Ñ Ù Ò Ú Ø Å ÖØ Ú Ö ÙÒµ Ö ØÓÐ Ù Ò ÑÅ ØÖ º ÁÖ Ø Ô ØÓÐ ÓÐ Ú Ó Ú Ö ÙÒÅ ÔÖ Ð Ù Ò Ó Ø lº Ì ÙÓ Ù Ù Ô ÙÓØ Ú Ú Ö ÙÒ Ø l Ùö Ñ O(n) Ð Ó Ó Ú ÓÑ Ú Ö ÙÒÅ Ñ Å A(S ) Ùö Ñ O(n 2 ) Ð Óº â ÐÝ Ù ÙÖ Ñ Ø Ø Ò Ö Ø Ù Ú Ò ØÓ ÙÖ ÑÙ Ò Ø ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ú Ù Ð Ó ÔÐ Ò Ó Ô ÖÑ Ò Ñ Ùö ÒÓÑ Ø Ù ÝÖ ÔÓ Ú Ò ÔÙ ¹ ÔÐÓ ØÙÑ Ö Ø Ñ Ô ÙÓ Ñ Ô Ö O(n 2 ) Ð º ÈÖ Ñ Ò ÒØÖ Ð Ñ Ñ Ù Ù Ö ÙÚÓ ØÓ Ø Ð º

61 ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö Ñ ÎÓÖÓÒÓ Ö Ñ µ ½º Á Ú ÆÓÖ ÒØ Ú Þ ÙÓØ ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö Ñ Ð Ñ Ô Ø Ð Ø Ô ØÓ Ô ÚÝÞ Ó ÝÚ ÒÚ ØÅ Ö Ø ÔØ ÖÒ Ù Ú Ò Ô ØÓ ÝÖ Ù ¾º êýñå Ñ ¼

62 Ô ÖÅ ö Ñ p i ¹ Ñ Ø q ¹ Ð Ú Ø e ¹ Ö Ø ÒÅ v ¹ Ú Ö ÙÒÅ Ô ÖÅ ö Ñ º¼º Ù Ð Ò Ø ØÙÑ Ø ÖÔ Ú Ù Ø Ù dist(p,q) = (p x + q x ) 2 + (p y + q y ) 2 Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½¼ ÎÓÖÓÒÓ Ù Ñ ØÙ Å P = (p 1,p 2,...,p n )º Ñ ØÙ º Ù ÖÓ n Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½½ ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö Ñ ÝÖ ØÓ Ô Ú Ö Ù Ô Ð Ñ n Ð Ù ÔÓ Ú Ò Ð Ú Ò Ñ Ñ ØÙ p i µ Ø Ó Ð Ú Ø q ÔÖ Ð Ù Ó p i Ð Ø Ö Ø Ø dist(p i,q) < dist(p j,q) Ú Ò Ñ p j P,j iº Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½¾ ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö Ñ Ø Ù P öýñ Ñ V or(p)º ÎÓÖÓÒÓ¹ Ù Ö ÑÓ ÐÅ ÔÖ Ð Ù ÒØ Ñ ØÙ p i öýñ Ñ V (p i )º ½

63 Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½ ØÓÖ Ù ¹ Ø Ù Å Ö ÒØ Ù Ö ÚÅ Ó ØÙ Ø Ô ØÙ Ø Ù Ø ØÙÑ ØÙ Ó ØÙ ÙØÙ Ú ÒÓ º Å Ù Ù ØÚ Ù ØÓÖ Ù ¹ Ø Å Ö ÒØ Ù Ú Ñ ØÅ Ö ÚÅ Ø Ù º ØÓÖ Ù Ô Ð Ò ÔÐÓ ÙÑ Ú Ð ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑ µº Ì Ö Ñ ØÙÖ Ñ Ù Ø Ù p q h(p,q) ¹ ÝÖ ÔÙ ÔÐÓ ØÙÑÅ ÚÝ Ø ÐÔ Ò ÒØ Ø p Ó h(q,pµ ¹ Ø qº È Ø Å Ñ ¾

64 ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö ÑÙ Ô ÚÝÞ ö V (p i ) = h(p i,p j ) 1 j n,i j

65 Ì ÓÖ Ñ º¼º½ Â Ù Ú Ñ Ø ÝÖ ÓÐ Ò Ö Ù ÌºÝº Á Å Ø Ú ÒÓ Ø Å µ Ø V or(p) Ù n 1 Ø Ù º à ØÙ ØÚ Ù V or(p) Ù Ø ÖÔÙ Ö» Ö Ô Ò ÙÐ Ù º Ì ÓÖ Ñ º¼º½ Î Ñ n > 3 Ú Ö ÙÒ Ù Ù V or(p) Ò Ú Ö 2n 5 Ó Ö Ø Ò Ù Ù Ò Ú Ö 3n 6º Á ÖÓ ÝÑ

66 deg(vµ ¹ Ú Ö ÙÒÅ Ð Ô Ò º Æ Ù Ó Ñ Ç Ð Ö Ó Ö Ø Ö Ø ÔÐÓ ØÙÑ v e + f = 2º ÃÙÖ v ÝÖ Ú Ö ÙÒ Ù e Ö Ø Ò Ù f Ð Ù º ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö Ñ ÚÝ ØÙÖ Ô ÒÙÐ Ù ÙÖ ÙÒ Ø Ù Ú ÒÙ Ø Ùº Ì ÒÓÖ ÒØ ÓÖ Ø ÔÖ Ø ÝØ Ö Ø Ö Ø Ö ØÖÙÔÙØ ÑÓ ÙÓØ Ö Ñ ¹ Ø Ñ ÔÖ Ñ Ú Ò Ô Ô Ð ÓÑ Ú Ö ÙÒº Á v V or(p) deg(v) = 2 e Ö deg(v) 3, v V or(p) ÖØÙ Ù Ç Ð Ö Ó Ö Ø Ö Ø Ù ÓÖÑÙÐ Ð Ò Ú Ð Ñ Ú Ø ÒÓÖ Ñ Ò ÐÝ Ý v 2n 5, e 3n 6º Ô ÖÅ ö Ñ º¼º½ ö Ù Ð Ñ Ô Ö Ø Ñ Ù ÒØÖÙ q Ò ØÙÖ ÒØ ÒÅ Ú ÒÓ Ñ ØÓ ÚÓ Ú Ù º Ì ÓÖ Ñ º¼º½ Ì q ÝÖ V or(p) Ú Ö ÙÒÅ Ø Ö Ø Ø C p (q) Ð ØÖ Ö Ù Ù Ñ ØÙ º Ì ÓÖ Ñ º¼º½ ØÓÖ Ù Ø ÖÔ p i Ö p j Ô ÖÅ ö V or(p) Ö Ø Ò Ø Ö Ø Ø ØÓÖ Ù Þ ØÙÓ ØÓ Ø q C p (q) Ð Ø p i Ø p j º

67 º ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö ÑÓ Ú Ñ ÈÙ ÔÐÓ ØÙÑ Ù Ò ÖØÓ Ù Ùµ Ã Ô Ù ÙÚÓ Ñ ÒÅ Ø V (p i ) = h(p i,p j ) 1 j n,i j ÙØ ÒØ ÚÝ Å Ö Ò Ù Ó Ñ ÙÓ ÒØ V or(p)º ÌÓ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÚÝ ÝÑÓ Ð ÙöØÖÙÒ O(n 2 log n)º

68 º ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö ÑÓ Ú Ñ ÓÖØÙÒ Ö Ð Ò Ò Ó Ð Ò Ó Ð ÓÖ ØÑ µ ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö Ñ ÝÖ ÓÒ ØÖÙÓ Ñ Ð Ò ÒØ Ð Ò l Ú Ö Ù Ô º Æ Ð¹ Ñ ÙÓØ l Ù ÖØ ÑÙ Ù Ô ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö Ñ Å Ð Ô ÔÖ ØÓ ÔÖ ö Ø ¹ V or(p) ÔÖ Ð Ù Ó Ò Ø ÒÙÓ Ø Ù Ò Ù Ú Ö Ù l Ø Ö ÒÙÓ Ø Ù Ò Ù ö Ñ Ù lº ÌÓ Å Ð ÝÖ Ú Ñ Ô ÔÐ Ù Ñ Ó Ð Ò º Î Ù ÔÐÓ ØÙÑÓ Ø Ù Ù Ö ØÓÑ Ú ÖÙÔ º Î Ò ÖÙÔ Ù ÖÓ Ø ÒØÝ Ö Ù ÙÖ Ó ÒÓÖ Ñ ØÓ Ø ÙÖÙ Ó Ú Ö l Ò Ô Ó Ð Ò Ò Ó Ð Ò Ó º Ã Ø ÖÙÔ Ù ÖÓ Ð Ø º Ì ÖÔ ÙÒ Ñ Ô Ö ÓÐ Ù Ð Ò Ù Ö Ò Ò º È Ø º¼º½ È ÔÐ Ù Ñ Ó Ð Ò ÝÖ x¹ñóòóøóò º È Ø º¼º¾¼ È ÔÐ Ù Ñ Ó Ð Ò Ù Ö Ò Ù Ô Ö ÓÐ Ù Ù ÖØ ÑÓ Ø ÖÅ ö V or(p) Ö Ø Ò º

69 ËÐ Ò ÒØ l Ô ÔÐ Ù Ñ Ó Ð Ò ÒÙÓÐ ÒØ ÒØ º Ñ Ò Ó Ø Ñ ÝÖ Ð ÓÑ ÚÝ Ö Ò Ù Ó Ñ ÙÓ ÒØ Ô ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö Ñ º È Ò Ö ÒÅ Ñ ØÚ l Ù ÙÖ Ù Ò Ù Ù Ñ ØÙ ÌÓ ØÚ Ú Ò Ñ Ñ ØÓ ÚÝ Ùº Ä Ñ º¼º¾½ Î Ò ÒØ Ð ØÚ Ô ÔÐ Ù Ñ Ó Ð Ò Ó Ø Ö Ò Ò Ù Ô Ö ÓÐÅ ÝÖ Ñ ØÓ ÚÝ º Ã Ø Ú Ö Ù ÔÓ ÝØ Ô ÔÐ Ù Ñ Ó Ð Ò Ó ÝÖ Ô Ö ÓÐÅ ÒÝ Ñ º

70 Ô ÖÅ ö Ñ º¼º¾¾ ÎÓÖÓÒÓ Ù Ø Ó Ö Ñ Ð ÓÑ Ô Ö Ø ÑÓ ÚÝ Ùº È Ø º¼º¾ Æ Ú Ô Ö ÓÐ Ù Ð Ò Ù ÒÝ Ñ ÝÖ ÚÓÖÓÒÓ Ù Ø Ó Ù ÖÝÑ º ÌÓ ÚÝ Ð ÓÑ Ò Ø ÖÙ Ô ÚÓ ÙÑ º

71 Ä Ñ º¼º¾ Î Ò ÒØ Ð Ù ÙÖ ÙÓ Ô Ö ÓÐÅ Ð Ò Ð ÒÝ Ø Ô ÔÐ Ù Ñ Ó Ð Ò Ó ÝÖ Ô Ö Ø ÑÓ ÚÝ º Ì Ð Ñ Ô ÖÅ öø Ô Ø Ð ÓÖ ØÑÓ Ú Ñ º ÙÓÑ ÒÙ Ù Ó ÑÓº Î Ù Ô ÖÑ Ö ÔÖ Å Ø ÒÙÓ Á ÚÝ Ù Q Ù ÓÑ Ô ÔÖ Ù Ó ÐÅ ÙÓÑ ÒÙ ØÖÙ Ø ÙÖÓ º È ÚÓÖÓÒÓ Ù Ö Ñ Ñ Ù ÓÑ ÓÙ Ð ¹ÓÒÒ Ø ¹ ¹Ð Ø Äµ ÙÓÑ ÒÙ ØÖÙ Ø ÙÖÓ º Ã Ò ÎÓÖÓÒÓ Ù Ö Ñ Ð ØÙÖÅ Ø Ô Ò ÙÐ Ò Ù Ö Ø Ò Ù Ñ Ö Ñ µ Ñ Ô Ò Ñ Ð Ø ÑÔ Ö Ø Ò ¹ Ø Ô Ú Ò Ñ ÓÙÒ Ò ¹ Óܺ È ÔÐ Ù Ñ Ó Ð Ò Ù ÓÑ Ù Ð ÒÙÓØ Ñ Ò Ö Ò Ñ Ñ Ý T º Ã Ú Ò Ð Ô Ù ÓÑ Ñ Ø Ô ÖÅ ö ÒØ Ø Ø Ò Ñ Ð Ò º Î ÒÅ Ú Ö ÙÒÅ Ù ÓÑ Ð Ò Ù Ò ÖØÓ Ø Ù Ö ÒÙÓÖÓ Ö Ø Ò Äº Ã Ú Ò Ð Ô Ð ØÙÖÅ Ø ÒÙÓÖÓ Ô Ö Ø ÑÓ ÚÝ Ù Ù Ù Ó Ð Ò Ù ¼

72 Ð ÓÖ ØÑ Á Ú Ø Q T Ä Ú Ñ ØÙ ÚÝ ÙÖÙ ÙÓØ Ô Ð x yº Û Ð Q ÒÓØ ÑÔØÝ Ó ØÖ ÒØ ÚÝ Q ÚÝ ÝÖ Ñ ØÓ ÚÝ ËÁÌ Î ÆÌ (p i ) ÄË ÁÊ Ä Î ÆÌ (Y ) ¹ T Ð Ô Ö ÔÖ Þ ÒØÙÓ ÒØ ÒÝ Ø ÒØ Ð Ò º Ò Û Ð ËÁÌ Î ÆÌ (p i ) ½º  ٠T ØÙ Ø ÖÔØ p i Ñ Ö Ø ¹ Ó º Â Ò ¹ ÚÝ ÝØ 2 5 ÔÙÒ ØÙ º ¾º Á ÓØ Ð Ò Ó a Ò Ó Ú Ö p i º Â Ù Ð Ô ØÙÖ ÒØ ÒÙÓÖÓ Ð Ò a Ø Ô Ô Ø ØÙÖ ÒÙÓÖÓ Ô Ö Ø ÑÓ ÚÝ ØÙÓÑ Ø Ø ÚÝ ÝÖ Ò Ø Ö Ô ÚÓ Ù Ö Ö Ô Ð ÒØ Ø ÚÝ Qº ½

73 º È Ö ÙÓÖÑÙÓØ T Ø Ô ÙØÙ Ø Ô Ò Å Ø Ò Ù Ô ÔÐ Ù Ñ Ó Ð Ò Ó ØÖÙ Ø ÙÖ º ËÙ Ð ÒÙÓØ Ñ º º ËÙ ÙÖØ Ö Ø Ò Ù Ö Ù Ä ÖÅ ö ÑÙ Ò Ù Ó Ó Ð Ò Ó Ù ÖØ ÑÓ Ù Ø Ð Ò Ø Ù º º È ØÙ Ó Ñ ö Ó T ÐÝ ÓØ Ð ÑÙ Ò Ù Ù Ô Ö Ø ÑÓ ÚÝ Ù º ÁÊ Ä Î ÆÌ ½º Á T ØÖ ÒØ Ð Ô Y Ö ÔÖ Þ ÒØÙÓ ÒØ ÒÝ Ø ÒØ Ð Ò aº È Ö ÙÓÖÑÙÓØ Ñ º Á ØÖ ÒØ Ú Ù Ô Ö Ø ÑÓ ÚÝ Ù Q Ù Ù Ù Ù Ð Ò Ù aº ¾º Ô Ö Ø ÑÓ ÒØÖ Å Ø Ä Ô Ú Ö ÙÒ Ù ÙÖØ Ù Ò Ù Ù Ö Ø Ò Ù Ö Ù Ø Ô Ò Ò Ù Ò Ù Ù ÖØ ÑÓ Ø Ù ÙÒ Ø Ö Ñ Ö Ø Ò Ù Ò Ù Ú ÙÖ ÙÒ º º È ØÙ Ó Ñ ö Ó T ÐÝ ÓØ Ð ÑÙ Ò Ù Ù Ô Ö Ø ÑÓ ÚÝ Ù º Ä Ñ º¼º¾ Ð ÓÖ ØÑ ÚÝ ÓÑ Ô Ö O(n log n) Ð Ö Ò Ù Ó O(n) ØÑ ÒØ º ÎÝ ÝÑÓ Ð Å ö Ó ÓÔ Ö Ó ÒÙÓ O(log n) Ä ÓÔ Ö Ó ¹ O(1)º Á Ú Ó ÝÖ n Ñ ØÓ ÚÝ Ù º Ã Ú Ò Ô Ö Ø Ñ ÚÝ ÙÖ ÝÖ Ô ÓÖÓ Ñ Ø Ô Ò V or(p) Ú Ö ÙÒ Ù Ù Ù Ù 2n 5µº ¾

74 Ì Ó Ú Ø ÔÓÞ ½º ÃÙÖ ØÙ Ö Ò Íö Ú Ò Ô Ø Ó ÔÓÞ Ð Ñ Ù ÓÖÑÙÐÙÓØ Ø Ô ÓÑ Ú Ø ö ÑÅ Ð ÔÝ ö Ò ÒØ Ø ØÓ Ú ØÓ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ô Ø Ö ÒØ Ö ÒÙ ÝØ Ø ÔÐ Ò ö ÑÅ Ð ÔÝ ÙÖ Ó ÝÖ ÙÓØ Ø º È ÔÖ Ø ØÓ Ð Ù Ñ Ú Ò Ñ Ø Ó Ú ØÓ Ùö Ð Ù º ê ÑÅ Ð ÔÝ ÑÙÑ Ö Ö Ø ÒÙÖÓ ÝØÓ Ú ØÓ ÔÐÓØ» Ö Ø ÙÖ Ø Ø Ô Ø Ò º È Ø ö ÑÅ Ð Ô Ð Ñ Ú Þ ÙÓØ Ô ÔÐÓ ØÙÑ Ô Ð ÒØ Ø Ñ Ø ÖÙ Ö ÓÒÙ º ÃÓ Å Ð ÝÐ ÙØ ÒÝ Å ö ÒÓØ ÙÖ Ö Ò Ì ÒÙÓ ÒÓ ÙÚÓ Ú Ö Ù Ð Ù Ñ º È ÚÝÞ ö Ù ÙÖÓ ÔÐ Ù ÒØ Ð ÚÙ Ö ö ÒÓØ ÙÖ Ó Ú ØÓ Ö Ò Ö ÙÖ ÖÝÔØ