«Jeg klarer ikke å huske hvorfor. Og det er jo egentlig litt viktig å vite hvorfor.»

Transkript

1 «Jeg klarer ikke å huske hvorfor. Og det er jo egentlig litt viktig å vite hvorfor.» En kvalitativ studie av R2-elevers utfordringer med algebra- og funksjonsoppgaver fra TIMSS Advanced Kaja Herje Bergrem Masteroppgave i matematikkdidaktikk Institutt for lærerutdanning og skoleforskning Det utdanningsvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Våren 2020

2 II

3 «Jeg klarer ikke å huske hvorfor. Og det er jo egentlig litt viktig å vite hvorfor.» En kvalitativ studie av R2-elevers utfordringer med algebra- og funksjonsoppgaver fra TIMSS Advanced Masteroppgave i matematikkdidaktikk ved Institutt for lærerutdanning og skoleforskning Kaja Herje Bergrem III

4 Kaja Herje Bergrem 2020 «Jeg klarer ikke å huske hvorfor. Og det er jo egentlig litt viktig å vite hvorfor.» Trykk: Reprosentralen, Universitetet i Oslo IV

5 Sammendrag Flere internasjonale undersøkelser peker på norske elevers svake algebrakompetanse som det største problemet i norsk skolematematikk. Resultatene fra TIMSS Advanced-undersøkelsen viser at norske R2-elever presterer markant svakere i fagområdet Algebra, som omhandler algebra og funksjoner, enn i de andre fagområdene (Grønmo & Hole, 2017). Dette gir tydelige indikasjoner på at algebra og funksjoner er utfordrende for norske R2-elever, men gir ikke konkrete svar på hvorfor elevene har problemer med å mestre disse temaene. Hensikten med denne studien er å påvise mulige kvalitative årsaker til disse svake resultatene, ved å besvare følgende problemstilling: Hvilke utfordringer møter norske elever i arbeid med oppgaver om algebra og funksjoner fra TIMSS Advanced? For å besvare problemstillingen har jeg gjennomført oppgavebaserte intervjuer av fire elever som tar matematikk R2. Under intervjuene arbeidet elevene med oppgaver fra TIMSS Advanced Intervjuene ga innsyn i elevenes løsningsprosess og hvordan de tenkte i arbeid med oppgavene. Elevenes arbeid ble analysert og tolket induktivt, og funnene diskuteres i lys av sentral teori og tidligere forskning om utfordringer knyttet til algebra og funksjoner på avansert nivå. Analysen av intervjuene viser at elevene har utfordringer med å løse enkelte oppgaver fordi de primært har instrumentell forståelse for de matematiske konseptene i oppgaven. Elevene fokuserer på å huske innlærte metoder, og har problemer med å forklare de matematiske sammenhengene de bruker. Videre viser resultatene at elevene møter på utfordringer på grunn av ukjente aspekter i oppgavene, for eksempel begrepet «røtter av polynomer» og bruk av parametere som generaliserte koeffisienter i funksjonsuttrykk. Elevene har utfordringer med å forstå hvordan de skal forholde seg til bokstavers ulike funksjoner i matematiske uttrykk. Funnene indikerer også at flere av elevenes utfordringer skyldes mangelfull problemløsningskompetanse, i form av evne til å verifisere egen løsning og løsningsprosess. Resultatene fra denne studien antyder at et større fokus på å utvikle relasjonell forståelse og problemløsningskompetanse, samt økt fokus på abstraksjon og bokstavbruk i det matematiske språket, vil kunne forbedre prestasjonene til norske R2-elever innenfor algebra og funksjoner. V

6 VI

7 Innholdsfortegnelse 1 Innledning Bakgrunn for valg av tema Formål og avgrensninger Oppgavens struktur Teori Algebra og funksjoner Algebra og funksjoner i R1 og R Algebra og funksjoner i TIMSS Advanced Å forstå matematikk Relasjonell og instrumentell forståelse Instrumentelt versus relasjonelt fokus i matematikkundervisning Å løse matematikkoppgaver Tidligere forskning knyttet til R2-elevers arbeid med algebra og funksjoner Manipulering av algebraiske uttrykk Aktivering av tidligere kunnskap Generalisering og abstraksjon ved bruk av variabler Forståelse for grenseverdier Metode Valg av metode Semistrukturert intervju Oppgavebasert intervju Oppgaver og intervjuguide Valg av oppgaver Oppgave 1 Avgjøre egenskaper ved polynomer Oppgave 2 Avgjøre når funksjonen er negativ Oppgave 3 Finne funksjonsuttrykk for rasjonal funksjon Oppgave 4 Finne ekvivalent uttrykk Oppgave 5 Finne skjæringspunkt mellom to funksjoner Utarbeiding av oppfølgingsspørsmål Utvalg og rekruttering Pilotering og datainnsamling VII

8 3.4.1 Pilotintervju Gjennomføring av intervjuer Bearbeiding og analyse av data Kvalitet i forskningen Pålitelighet Troverdighet Etiske hensyn Resultater og analyse Intervju av Stian Stians arbeid med oppgave Stians arbeid med oppgave Stians arbeid med oppgave Stians arbeid med oppgave Stians arbeid med oppgave Intervju av Fredrik Fredriks arbeid med oppgave Fredriks arbeid med oppgave Fredriks arbeid med oppgave Fredriks arbeid med oppgave Fredriks arbeid med oppgave Intervju av Emma Emmas arbeid med oppgave Emmas arbeid med oppgave Emmas arbeid med oppgave Emmas arbeid med oppgave Emmas arbeid med oppgave Intervju av Maria Marias arbeid med oppgave Marias arbeid med oppgave Marias arbeid med oppgave Marias arbeid med oppgave Marias arbeid med oppgave Diskusjon av hovedfunn VIII

9 5.1 Hovedfunn 1: Instrumentell forståelse hos elevene Forståelse for rasjonale funksjoner Innlært regel ved bruk av fortegnsskjema Å dele på variabelen i andregradsligning Oppgavens kontekst kobles til bestemt løsningsmetode Hovedfunn 2: Aspekter ved oppgavene er ukjente for elevene Ukjent terminologi i oppgaveteksten Bruk av variabler på ulike nivåer Hovedfunn 3: Mangelfull problemløsningskompetanse Manipulering av uttrykk ved hjelp av kvadratsetningene Løsning av andregradsligning uten konstantledd Konklusjon og implikasjoner Konklusjon Didaktiske implikasjoner Videre forskning Litteraturliste Vedlegg 1 vurdering fra NSD Vedlegg 2 Informasjons- og samtykkebrev Vedlegg 3 Oppgaveark Vedlegg 4 Oppfølgingsspørsmål IX

10 X

11 1 Innledning 1.1 Bakgrunn for valg av tema Den internasjonale undersøkelsen TIMSS Advanced viser at norske R2-elever presterer dårligere i matematikk enn det internasjonale gjennomsnittet, og at algebra er det fagområdet hvor de presterer desidert svakest (Grønmo & Hole, 2017). De dårlige resultatene fra TIMSS Advanced gjelder for «klassisk» algebra, i form av manipulering av bokstavuttrykk og håndtering av symboler, men også funksjoner, da dette temaet inngår under emneområdet Algebra i TIMSS Advanced. Resultatene fra TIMSS Advanced 2015 viser at de norske R2- elevene presterte markant dårligere på algebraoppgavene enn på undersøkelsen som helhet, i den forstand at Norge hadde den desidert største forskjellen mellom gjennomsnittsskår og skår på algebraoppgavene av alle deltagerlandene (Grønmo & Hole, 2017). Kompetanse innenfor algebra og funksjoner kan derfor ses på som en akilleshæl i matematikkompetansen til norske elever. Dette er skremmende, med tanke på at algebra er et matematisk språk som trengs for å mestre andre fagområder (Grønmo & Hole, 2017) og funksjoner er en svært sentral del av både klassisk, moderne og anvendt matematikk (Carlson, 1998). Den algebrakompetansen som TIMSS Advanced måler kan dermed ses på som en nøkkelkompetanse i matematikk, og spesielt viktig for de R2-elevene som ser for seg å bruke matematikken i et fremtidig yrke. Grønmo og Hole (2017) reiser spørsmålet om det er mulig å lykkes med å heve matematikkompetansen i Norge. De svarer at det første punktet på lista er å erkjenne hvilken utfordring vi står ovenfor, i form av at «det store problemet man har i norsk skolematematikk, er at elevene, på alle nivåer, presterer svakt i algebra.» (Grønmo & Hole, 2017, s. 267). De nye læreplanene som trer i kraft i Norge høsten 2020, LK20, viser et tydelig ønske om å gjøre noe med dette problemet, da algebra vektlegges i matematikkundervisningen på alle trinn, fra 1.klasse til VG3 (Utdanningsdirektoratet, 2019). Ingen av de andre fagområdene prioriteres på samtlige trinn, noe som gjør algebra til det området som ilegges størst vekt. Videre innfører LK20 seks kjerneelementer i matematikkfaget, som skal prege innholdet og bidra til at elevene utvikler kompetanse og forståelse (Utdanningsdirektoratet, 2019). Universitetslektor ved UiA Linda G. Opheim skrev i fjor en kronikk i Aftenposten om endringene i skolematematikken med Fagfornyelsen (LK20). Hun kommenterer at fem av seks 1

12 kjerneelementer handler om prosessene i arbeid med matematikk, og at dette fokuset viser at det nå «er viktigere å forstå et feil svar enn mekanisk å regne ut et korrekt svar.» (Opheim, 2019). Et av kjerneelementene er matematiske kunnskapsområder, der både algebra og funksjoner inngår som kunnskapsområder. Kompetanse innenfor algebra inngår også i kjerneelementet abstraksjon og generalisering, da dette innebærer å bruke algebra som formelt symbolspråk og generalisere matematiske sammenhenger ved hjelp av algebraiske uttrykk (Utdanningsdirektoratet, 2020). At LK20 vektlegger algebra i samtlige trinn i skoleløpet, og algebra og funksjoner inngår i flere av kjerneelementene som legger føringer for både kompetansemål og eksamen, indikerer at de aktuelle fagområdene får et større fokus i matematikkundervisningen i årene framover. Både resultatene fra TIMSS Advanced og det tydelige signalet fra Utdanningsdirektoratet (2019) om at økt algebrakompetanse er et mål i årene framover, gjør det interessant å undersøke elevers utfordringer knyttet til algebra og funksjoner. TIMSS Advanced-resultatene er en sterk indikator på at algebra og funksjoner er utfordrende for norske R2-elever, men de gir ikke konkrete svar på hvorfor elevene strever med disse temaene. Hva er det som gjør at norske elever ikke mestrer oppgaver om algebra og funksjoner på høyt nivå? Handler det om hvordan de forstår konseptene som inngår? At de mangler kunnskap om matematisk språk og symbolbruk? Har de misoppfatninger som fører til at de gjør konsekvente feil? Eller er oppgavetypene ukjente for dem? Nysgjerrigheten rundt mulige årsaker til de svake norske resultatene på TIMSS Advanced var en av faktorene som motiverte meg til å skrive denne masteroppgaven. Elevers forståelse for algebra er et stort interessefelt for meg, og en større innsikt i dette vil være relevant å ta med seg inn i læreryrket i det LK20 trer i kraft. Det er lite forskning på elever i programfagene på videregående skole (matematikk R og matematikk S) sammenlignet med fellesfagene og matematikkfaget i grunnskolen, noe som kan gjøre studien min interessant for forskningsfeltet. 1.2 Formål og avgrensninger Formålet med denne studien er å påvise mulige kvalitative årsaker til at norske R2-elever har utfordringer med algebra- og funksjonsoppgaver på TIMSS Advanced-undersøkelsen. Påvisning av konkrete utfordringer i møte med oppgavene kan gi mulige forklaringer på de svake resultatene, og verdifullt innsyn i elevers arbeid med algebra- og funksjonsoppgaver på avansert nivå. Jeg har dermed formulert følgende problemstilling: 2

13 Hvilke utfordringer møter norske elever i arbeid med oppgaver om algebra og funksjoner fra TIMSS Advanced? For å besvare denne problemstillingen vil jeg gjennomføre en kvalitativ undersøkelse, i form av oppgavebaserte intervjuer av fire elever som tar matematikk R2 (REA3024). Oppgavebaserte intervjuer belyser prosessen fram mot en løsning, og egner seg til å få innsikt i hvordan elever begrunner løsningene sine og hva de mestrer (Goldin, 2000; Maher & Sigley, 2014). Oppgavene de arbeider med i intervjuet er frigitte oppgaver fra TIMSS Advanced 2015 i emneområdet Algebra, som omhandler både algebra og funksjoner. Elevenes arbeid med oppgavene analyseres og tolkes induktivt, da jeg har en åpen tilnærming til hvilke faglige utfordringer elevene møter på i arbeid med oppgavene. Selv om det overordnede målet er å si noe om elevenes utfordringer, er fokuset i forskningen å få innsyn i elevenes løsningsprosess. Dette innebærer blant annet hvilke løsningsstrategier de velger, hvilken matematisk forståelse de legger til grunn for valgene sine og hvordan de resonnerer matematisk. Målet er å få innsikt i hvordan elevene tenker og går fram for å løse oppgavene, og bruke dette til å drøfte faglige utfordringer. Funnene diskuteres i lys av teori om matematisk forståelse og løsning av oppgaver, samt tidligere forskning om elevers utfordringer med algebra og funksjoner på avansert nivå. Studiens omfang, samt ønsket om å få inngående innsikt i elevenes arbeid, skaper begrensninger for studien. Utvalget er begrenset til fire elever, for å sikre god nok tid til å gå i dybden i hvert intervju og analysere intervjudataen inngående. Studien er avgrenset til fem matematikkoppgaver, og de faglige aspektene som berøres er begrenset til egenskaper ved polynomer, funksjonsdrøfting, rasjonale funksjoner, kvadratsetninger og skjæring mellom funksjoner. Valg av informanter og oppgaver begrunnes i kapittel 3.2 og 3.3. Utfordringene som diskuteres er begrenset til faglige utfordringer, men utover dette har jeg en åpen tilnærming til hvilke utfordringer studien vil avdekke. 3

14 1.3 Oppgavens struktur Kapittel 2 tar for seg teoretiske momenter og tidligere forskning som danner grunnlaget for diskusjon av funnene i denne studien. Først presenteres algebra og funksjoner i henholdsvis norske læreplaner og TIMSS Advanced. Deretter presenteres ulike måter å forstå matematikk på, med fokus på instrumentell og relasjonell forståelse, og en modell for å løse matematikkoppgaver. Til slutt rettes fokus mot studiens kjerne elevers utfordringer med algebra og funksjoner. Her presenteres relevant tidligere forskning som brukes til å belyse funnene i diskusjonskapitlet. Det tredje kapitlet gjør rede for studiens metode. Hvilke valg som er gjort i forskningsprosessen beskrives og begrunnes, og styrker og svakheter kommenteres. Først begrunnes valg av oppgavebasert intervju som metode, før oppgavene og intervjuguiden som er brukt presenteres. Deretter gis en detaljert beskrivelse av hvordan datainnsamlingen er gjennomført og hvordan dataene er analysert og tolket. Til slutt drøftes studiens kvalitet og begrensninger, samt etiske hensyn. I kapittel 4 legges resultatene fra studien fram og analyseres. Datagrunnlaget består av sitater fra intervjuene og beskrivelser av oppgaveløsningen deres. Kapitlet gir en detaljert beskrivelse av løsningsprosessene til hver informant, samt noen tolkninger av hva resultatene forteller om elevenes utfordringer. Resultatene legges fram intervju for intervju og oppgave for oppgave, i samme rekkefølge som informantene løste dem. I kapittel 5 diskuteres hovedfunnene i studien i lys av teorien og den tidligere forskningen presentert i teorikapitlet. Trådene fra analysekapitlet samles, og det legges vekt på å drøfte de mest sentrale funnene på tvers av datamaterialet. I det avsluttende kapitlet vil hovedfunnene oppsummeres og problemstillingen besvares. Deretter presenteres tanker om hvilke didaktiske implikasjoner funnene kan ha og forslag til videre forskning på temaet. 4

15 2 Teori Teorikapitlet vil belyse de teoretiske momentene og den tidligere forskningen som vil danne grunnlaget for diskusjonen i denne masteroppgaven. Kapittel 2.1 presenterer hvordan algebra og funksjoner forstås i henholdsvis norske læreplaner for matematikk R og rammeverket for TIMSS Advanced. Kapittel 2.2 beskriver matematisk forståelse, mens kapittel 2.3 handler om elevers løsningsprosess i møte med matematikkoppgaver. Til slutt presenterer kapittel 2.4 funn fra tidligere forskning om mulige utfordringer for R2-elever knyttet til algebra og funksjoner. 2.1 Algebra og funksjoner Hva er egentlig algebra, og hva skal til for å mestre det? Fra gammelt av ble konseptet algebra beskrevet som en utvidelse og generalisering av aritmetikken (Kieran, Pang, Schifter, & Ng, 2016). At dette er en viktig del av algebra er de fleste enige om, men det er likevel ulike syn på hva algebra innebærer, og hva det vil si å være kompetent i algebra. Star & Rittle-Johnson (2009) presenterer tre ulike syn på algebra. Et synspunkt er at manipulering av algebraiske uttrykk og ligninger er det mest fundamentale. Kieran (2007) kaller dette transformativ algebra. Et annet synspunkt er at forståelse for relasjoner mellom variabler er det mest sentrale, for eksempel i form av funksjoner, mens et tredje synspunkt er at evne til algebraisk resonering og problemløsning er det viktigste. Med det siste synet innebærer forståelse for algebra å mestre ulike måter å løse en oppgave på, og være i stand til å velge den best egnede strategien for å løse den (Star og Rittle-Johnson, 2009). Ut ifra disse tre synene, innebærer algebraisk kompetanse både ferdigheter til å manipulere bokstavuttrykk og ligninger, forståelse for variabler og funksjoner, samt evne til å anvende algebra til å resonnere rundt matematiske problemer (Star og Rittle-Johnson, 2009). Algebraisk kompetanse kan selvsagt også ses på som en del av matematisk kompetanse, ettersom algebra er en del av matematikkfaget. Niss og Højgaard (2019, s. 12) definerer matematisk kompetanse som «someone s insightful readiness to act appropriately in response to all kinds of mathematical challenges pertaining to given situations». Med bakgrunn i dette, vil det å være kompetent innenfor algebra og funksjoner innebære å være rustet til å håndtere oppgaver omhandlende disse temaene på en egnet og effektiv måte. Kilpatrick, Swafford og Findell (2001) har utviklet et rammeverk der de beskriver matematisk proficiency som sammensatt av fem komponenter. Disse fem komponentene er konseptuell forståelse (conceptual 5

16 understanding), prosedural flyt (procedural fluency), strategisk kompetanse (strategic competancy), fleksibelt resonnement (adaptive reasoning) og produktivt tankesett (productive disposition) til matematikk (egen oversettelse). Ludvigsenutvalget har hatt ansvar for utredningen om hvilke kompetanser som bør vektlegges i læreplanene i LK20, og har tatt utgangspunkt i dette rammeverket. De har oversatt de fem komponentene til forståelse, beregning, anvendelse, resonnering og engasjement (NOU 2015:8, s. 57). Med bakgrunn i rammeverket til Kilpatrick med flere (2001), vil kompetanse innenfor algebra og funksjoner innebære å forstå konseptene som inngår, å ha evne til å velge egnede løsningsstrategier på oppgavene og mestre prosedyrene for å løse dem, å kunne reflektere over om løsningen gir mening ut ifra oppgaven, samt å ha tro på egne evner og oppleve arbeid med algebra og funksjoner som meningsfylt Algebra og funksjoner i R1 og R2 Elever som velger full fordypning i matematikk i Norge, tar R1 og R2 som valgfag på videregående. Algebra og funksjoner er to av fire hovedområder i læreplanen for både R1 og R2, ved siden av geometri og sannsynlighet i R1 og geometri og differensialligninger i R2 (Utdanningsdirektoratet, 2015). Dette viser tydelig at de to temaene anses som store og viktige deler av matematikkfaget. Hva som vektlegges i de to programfagene er likevel ganske ulikt. I R1 handler algebra i stor grad om å forstå og mestre det grunnleggende symbolspråket i matematikken, og å regne, manipulere og argumentere med symboluttrykk. I R2 er det derimot tallmønstre, uendelige summer, konvergens, rekker og bevis som utgjør temaet algebra (Utdanningsdirektoratet, 2015). I temaet funksjoner er det også tydelige forskjeller, spesielt i hvilke typer funksjoner det arbeides med. I R1 jobbes det med polynomfunksjoner, potensfunksjoner, rasjonale funksjoner, logaritmefunksjoner og eksponentialfunksjoner, mens det i R2 nesten utelukkende fokuseres på trigonometriske funksjoner og drøfting av periodiske bevegelser. Forståelse for deriverte funksjoner er viktig i R1, mens integrasjon kommer inn som et nytt og viktig område i R2 (Utdanningsdirektoratet, 2015). Oppsummert viser dette at det er tydelige forskjeller i innhold og kompetansemål i de to fagene, selv om de har samme fokusområder. Flere temaer innenfor algebra og funksjoner avsluttes i R1 uten å tas opp igjen i R2, og andre temaer introduseres først i R2. Dette jobbes med andre ord ikke kumulativt med de faglige temaene i R1 og R2. Det er likevel viktig å presisere at mange av de underliggende kunnskapene og ferdighetene knyttet til algebra og funksjoner fra R1 og 1T kreves for å mestre 6

17 R2. Kompetansen vil derfor kunne vedlikeholdes i R2, selv om den ikke vektlegges i læreplan og kompetansemål for faget Algebra og funksjoner i TIMSS Advanced TIMSS er en forkortelse for Trends in International Mathematics and Science Study. Studien har til hensikt å kartlegge og sammenligne realfagskompetansen blant elever i skolen, både innad i et land, på tvers av land og over tid (Onstad & Grønmo, 2017; Mullis & Martin, 2014). TIMSS Advanced er en studie som blant annet sammenligner matematikkompetansen til avgangselevene som tar full fordypning i matematikk i ulike land. I Norge vil dette si R2- elevene. TIMSS Advanced baserer seg på et rammeverk som legger grunnlaget for hvilke kunnskaper og ferdigheter elevene testes i. Rammeverket tar utgangspunkt i læreplanene i deltagerlandene, og et av målene er at elevene i hvert land i all hovedsak testes i oppgaver som dekkes av læreplanen deres. Utvalget av oppgaver skal med andre ord oppleves så rettferdig som mulig i alle land (Onstad & Grønmo, 2017). Et av grepene som gjøres for å bidra til dette, er at hver enkelt oppgave vurderes opp mot læreplanen i hvert land, og oppgaver som eventuelt ikke sammenfaller med læreplanen og undervisningen i landet blir registrert. Et annet grep som gjøres, er at oppgavene oversettes med sikte på at elevene i alle landene skal få oppgaver med et språk og en terminologi de er vant til (Onstad & Grønmo, 2017). Vurderingene er riktignok subjektive, og det er vanskelig å fange opp alle detaljer rundt oppgavene. Rammeverket i TIMSS Advanced deler matematikkfaget inn i tre innholdskategorier: algebra, kalkulus og geometri. Kategorien algebra deles igjen inn i de tre temaområdene uttrykk og operasjoner, ligninger og ulikheter og funksjoner (Onstad & Grønmo, 2017). Kunnskapene og ferdighetene som testes innenfor disse temaene er blant annet å vurdere og omforme algebraiske uttrykk, å bruke ligninger og ulikheter i oppgaveløsning og å identifisere og finne egenskaper ved ulike typer funksjoner (Mullis & Martin, 2014). I tillegg til inndeling basert på faglige temaer, blir hver enkelt oppgave definert ut fra hvilke kognitive krav de stiller til elevene. De tre kognitive nivåene som brukes er å kunne, å anvende og å resonnere, og det er et mål at det skal være et relativt likt antall oppgaver fra hver av de tre kategoriene (Onstad & Grønmo, 2017; Mullis & Martin, 2014). Å kunne innebærer at elevene gjengir kunnskap de besitter, mens å anvende krever at de bruker denne kunnskapen eller ferdigheten til å velge løsningsstrategi og løse oppgaver. Å resonnere stiller høyest krav til elevene, og innebærer å analysere informasjon, generalisere, vurdere strategier og løsninger og trekke logiske slutninger. 7

18 2.2 Å forstå matematikk En viktig forutsetning for å lykkes med en matematikkoppgave, er å ha kunnskap om, og forståelse for, matematikken i oppgaven. Å ha kunnskap handler om å vite, og kunnskapen vår utgjør verktøyene vi kan bruke i møte med nye utfordringer. Niss og Højgaard (2019) ser på matematisk forståelse som en delmengde av matematisk kompetanse, altså noe som er nødvendig for å bli matematisk kompetent. Solvang (1992) forklarer forståelse som aktivering av kunnskap. Å forstå noe handler om å innse hvilken kunnskap som skal benyttes for å løse et problem, for så å aktivere og bruke denne kunnskapen. Sfard (1991) beskriver å forstå matematikk som å være i stand til å «se» de abstrakte objektene i matematikken, selv om de ikke finnes foran oss i virkeligheten. Ifølge Sfard (1991) vil forståelse av matematiske konsepter ha to sider, ved at man forstår konseptene som både objekter og prosesser. Å forstå et konsept som et objekt er å ha strukturell oppfatning av konseptet, mens å forstå konseptet som en prosess, handling eller prosedyre er å ha operasjonell oppfatning av konseptet. Tanken kan illustreres med det matematiske konseptet funksjoner. Først lærer man om funksjoner som en regneprosedyre, for eksempel ved at man skal doble tallet og trekke fra 3. Etter hvert oppfatter man prosedyren som et objekt, nemlig funksjonen. Sfard (1991) argumenterer for at de to oppfatningene utfyller hverandre, og at å virkelig forstå et matematisk konsept innebærer å både se på det som et objekt og en prosess. Hovedargumentet for at man bør ha både operasjonell og strukturell forståelse, er at man både bør ha regler for hva man skal gjøre, som den operasjonelle oppfatningen bidrar med, og grunner til hvorfor man skal gjøre det, som den strukturelle oppfatningen utgjør (Sfard, 1991). Denne dualiteten i hvordan å forstå matematiske konsepter har sammenheng med det mer kjente begrepet relasjonell forståelse, som jeg vil redegjøre for i neste delkapittel. Brekke (1995) diskuterer hvordan elever utvikler begreper i matematikk, og tar for seg ulike begrepsstrukturer. Han snakker om at elever kan ha delvis utviklede begreper, som innebærer at de har begrenset forståelse og en snever tankemodell av det matematiske konseptet. Utvikling av delvis utviklede begreper har ofte sammenheng med at elevene kun har fått erfaring med begrepet gjennom én anvendelse. Brekke (1995) eksemplifiserer dette med at elever som kun lærer om multiplikasjon som gjentatt addisjon, vil kunne utvikle en forståelse om at å multiplikasjon av to tall alltid vil resultere i et større tall. 8

19 2.2.1 Relasjonell og instrumentell forståelse Å ha relasjonell forståelse innebærer å vite både hva man skal gjøre, og hvorfor man bør gjøre det, når man møter et matematisk problem (Skemp, 1976). Relasjonell forståelse ses som et motstykke til instrumentell forståelse. Instrumentell forståelse innebærer kunnskap om regler og prosedyrer for hvordan oppgaver skal løses, men mangel på bakenforliggende forståelse for hvorfor reglene gjelder. En elev med instrumentell forståelse vil kunne kjenne igjen en oppgavetype han allerede kan regler for, og anvende reglene (Skemp, 1976). Forklaringen til en elev med instrumentell forståelse, vil bestå av gjengivelse av en tillært metode, eller konkretisering i form av et eksempel (Solvang, 1992). En elev med relasjonell forståelse vil derimot kunne forstå den matematiske konteksten for oppgaven, og forklare sammenhengene i oppgaveløsningen (Skemp, 1976). Forskjellen ligger både i hvordan elever går fram for å løse oppgaver, og hvordan de forstår og forklarer konsepter. Solvang (1992) tar utgangspunkt i Piagets læringsteori, og argumenterer for at elevers forståelse henger tett sammen med den typen kunnskap de besitter. Videre deler Solvang (1992) inn i to typer elevkunnskap. Figurativ kunnskap er resultatet av memorering av formler og regler, og kjennetegnes av at eleven fokuserer på å pugge de ytre trekkene ved en formel framfor å forstå hva den betyr. Ved etablering av figurativ kunnskap, utvikles ofte instrumentell forståelse. Den andre kunnskapstypen er operasjonell kunnskap, som henger sammen med utvikling av relasjonell forståelse. Å ha operasjonell kunnskap innebærer at de matematiske handlingene man gjør er en del av en helhetsforståelse, kan settes sammen med andre handlinger og er reversible. I tillegg må man kunne forstå og vurdere handlingen uten å faktisk gjennomføre den. Et eksempel på dette kan være bruk av kvadratsetningene. Ta for eksempel (x + 5) 2 = x x At man forstår at denne likheten går begge veier, og kan veksle mellom de to formene av uttrykket, gjør handlingen «å bruke kvadratsetningen» reversibel. At eleven bruker kunnskapen aktivt i funksjonsregning eller ligninger, gjør at handlingen settes sammen med annen kunnskap. Kunnskapen er en del av en helhetsforståelse for tall og algebra. Til slutt må eleven kunne gå mellom de to uttrykkene bare ved å tenke på dem, uten å faktisk utfører handlingen. Dette kan for eksempel skje ved at eleven vurderer om det er en god idé å benytte denne kunnskapen i en oppgave, før han eventuelt utfører handlingen (Solvang, 1992). 9

20 2.2.2 Instrumentelt versus relasjonelt fokus i matematikkundervisning Både Skemp (1976) og Solvang (1992) argumenterer for at relasjonell forståelse blant elevene bør være et overordnet mål for lærere i skolen. Fokus på instrumentell forståelse vil skape figurativ kunnskap, som vil gjøre elevene usikre og mindre rustet til å mestre nye oppgaver eller problemer (Solvang, 1992). Med relasjonell forståelse vet elevene hvorfor de gjør som de gjør, noe som kan gjøre dem i stand til å se sammenhenger mellom en metode og en oppgave, og dermed tilpasse metoden til nye oppgaver (Skemp, 1976). En annen viktig fordel med relasjonell forståelse for matematikken, er at den blir lettere å huske. Det er mer å lære, fordi man både må lære seg fremgangsmåter og sammenhengene mellom dem, men å forstå disse koblingene gjør det lettere å huske innholdet, fordi det er del av en større sammenheng (Skemp, 1976). Kunnskapen som følger av relasjonell forståelse vil dermed vare lengre, og i mindre grad kreve repetisjon og relæring. Dette står i kontrast til figurativ kunnskap, som kjennetegnes av at den fort glemmes og må læres på nytt (Solvang, 1992). Skemp (1976) argumenterer for at mer fokus på relasjonell forståelse vil kunne gi mer selvstendige elever, fordi de vil ha mer tro på at kunnskapen de sitter inne med gjør dem i stand til å løse nye oppgaver uten hjelp fra andre. Til tross for at Skemp (1976) foretrekker relasjonell forståelse, presenterer han tre fordeler med å ha en instrumentell tilnærming til matematikkundervisning. For det første er instrumentelle forklaringer ofte mye lettere å forstå enn de relasjonelle. Det er for eksempel mye enklere å huske at arealet av en sirkel er πr 2, enn å forstå hvorfor det er slik. For det andre vil instrumentell innlæring kunne gi mye mestringsfølelse og glede, ved at eleven lærer seg en regel eller formel og får mange riktige svar. For det tredje vil veien fra læring til mestring være mindre tidkrevende for elevene (Skemp, 1976). Stieg Mellin-Olsen var en av de første som så på verdien av instrumentell tenkning og utvikling av instrumentell forståelse. Han ser på instrumentalisme som en løsningsstrategi, der målet er å lykkes på skolen og i matematikkfaget, framfor å oppnå relasjonell forståelse for de matematiske konseptene (Mellin-Olsen, 1981). Han argumenterer for at instrumentalisme likevel kan føre til både instrumentell og relasjonell forståelse. Nøkkelen ligger i hva som kreves av elevene for å lykkes i matematikkfaget. Hvis å prestere godt i matematikk krever relasjonell forståelse, for eksempel i form av å forklare sammenhenger mellom matematiske konsepter eller mellom steg i en løsningsprosess, vil elever kunne utvikle relasjonell forståelse til tross for at de er instrumentelt motiverte. Elevene er ytre motiverte og bruker instrumentalisme som strategi, men trenger de relasjonelle sammenhengene for å mestre matematikkfaget. Mellin-Olsen (1981) poengterer viktigheten av 10

21 at elevene ser på den relasjonelle matematikken som nyttig, også utenfor klasserommets fire vegger. Argumentet begrunnes i at instrumentelt motiverte elever ikke er et problem, så lenge de opplever matematikken som meningsfull og nyttig, og pensum er på en slik måte at det krever relasjonell forståelse å lykkes med matematikkfaget (Mellin-Olsen, 1981). Til tross for at de fleste ser verdien av å utvikle relasjonell forståelse, har mange lærere en instrumentell undervisningsform. Skemp (1976) peker på ulike faktorer som kan være bidragsytere til dette. Han peker på at lærere kan være av den oppfatning at å undervise relasjonelt er for tidkrevende, og at elevene kun trenger å lære seg teknikker og regler for å mestre faget. I tillegg er det sannsynlig at mange lærere ser på en relasjonell tilnærming som for vanskelig for de fleste elevene, og dermed demotiverende. Ettersom elevene likevel trenger kunnskapen for å lykkes i faget og på eksamen, er den instrumentelle tilnærmingen en bedre løsning. At retningslinjer for eksamen legger føringer for undervisningen, kalles gjerne backwash-effekt (Skemp, 1976). Solvang (1992) påpeker også at mye av årsaken til instrumentell undervisning som fører til figurativ kunnskap, er at lærere føler et pensumpress. Han argumenterer for at filosofien bak læreplaner og eksamener må endres dersom elever i større grad skal utvikle operasjonell kunnskap og relasjonell forståelse. En siste faktor som kan bidra til et instrumentelt undervisningsfokus, er at tekster i matematikk, i form av forklaringer, formler og oppgaver, ofte er svært informasjonstunge og vanskelig å forstå (Skemp, 1976). Matematikk er et vanskelig fag å lese for mange, og forklaringene er ofte lite detaljerte og abstrakte. En setning i matematikk kan inneholde like mye informasjon som et avsnitt ville gjort i en annen sammenheng. Mange elever kan derfor velge å ikke lese matematikkteorien, men bare se på eksempler og lære prosedyrer for å løse lignende oppgaver. Dersom lærere ikke tar hensyn til at matematikk presenteres på denne måten, kan det være vanskelig for elever å utvikle relasjonell forståelse. Skemp (1976) argumenterer for at pensum hadde vært bedre hvis det ble redusert til en mengde som gjorde det mulig å lære det bort på en bedre og mer relasjonell måte. 2.3 Å løse matematikkoppgaver En av de mest kjente modellene for løsning av matematikkoppgaver, er modellen for problemløsning utviklet av George Polya. Han beskriver problemløsning som en prosess med fire steg (Polya, 2004). Det første er å forstå oppgaven. Dette steget innebærer å få oversikt over informasjonen og betingelsene gitt i oppgaven, samt finne ut hva oppgaven spør etter. Det neste steget er å utforme en plan. Målet er å finne sammenhengen mellom den gitte 11

22 informasjonen og den ukjente, altså det man vil finne svar på. Arbeidet med dette steget innebærer gjerne å lage en skisse over situasjonen eller skrive opp all informasjonen man har fått. Deretter spør man gjerne seg selv om man har løst lignende oppgaver tidligere, og om man kjenner til regler eller sammenhenger som er relevante å bruke. Planleggingen munner ut i en valgt løsningsstrategi for oppgaven. Det tredje steget er å gjennomføre planen. Her skjer selve oppgaveløsningen, som resulterer i et svar. En viktig del av gjennomføringen er å verifisere at de stegene man tar i løsningen er riktige og gyldige. Det siste steget er å vurdere løsningen. Dette innebærer både å undersøke om løsningsprosessen er utført riktig og å verifisere at løsningen gir mening ut ifra oppgavekonteksten. Schoenfeld (1987) understreker viktigheten av refleksjon og selvregulering i arbeid med oppgaver, i form av å være kritisk og bevisst rundt egne valg underveis i prosessen. Erfarne problemløsere som møter nye oppgaver, vil bruke mye tid på å vurdere om løsningsstrategien deres er fornuftig og spørre seg selv om fremgangsmåte og svar gir mening i den gitte konteksten. De bruker mer tid på å tenke enn på å utføre. Denne typen selvregulering er mindre vanlig blant elever, noe som kan føre til at de bruker lang tid på tungvinte eller gale fremgangsmåter, og oppgir svar som ikke gir mening ut ifra oppgavekonteksten (Schoenfeld, 1987). 2.4 Tidligere forskning knyttet til R2-elevers arbeid med algebra og funksjoner I dette kapitlet vil jeg gjøre rede for tidligere forskning om mulige faglige utfordringer elever på R2-nivå kan ha i møte med algebra og funksjoner. Jeg vil presentere hovedfunnene fra en doktoravhandling fra 2014 som belyser hva som karakteriserer algebrakompetansen til norske R2-elever. I tillegg vil jeg presentere funn fra Hole, Borge og Grønmo (under utgivelse) og Bressoud med flere (2016), som begge ser på utfordringer for studenter i overgangen fra videregående til universitetsmatematikk. Jeg vil også presentere noen hovedfunn fra to masteroppgaver som kartlegger misoppfatninger i algebra for norske elever i henholdsvis 9.klasse og 1T. Jeg anser disse funnene som relevante for min studie, fordi de kan gi indikasjoner på hvilken faglig bakgrunn og forståelse norske elever kommer inn i R2-faget med. Disse oppfatningene kan igjen avgjøre hvilke utfordringer elevene støter på i R2, fordi 12

23 oppfatningene og forståelsen til elever ofte er forankret i tidligere erfaringer (Bressoud, Ghedamsi, Martinez-Luaces og Törner, 2016) Manipulering av algebraiske uttrykk Pedersen (2014) analyserte i sin doktoravhandling elevsvar på algebraoppgaver fra TIMSS Advanced Hensikten med studien var å karakterisere den algebraiske kompetansen til norske R2-elever. Pedersen (2014) fant at elevene presterte godt på oppgaver som krevde tekstforståelse, formulering av matematiske uttrykk eller der konteksten for oppgaven ikke var helt matematisk, men mer virkelighetsnær. Elevene lyktes på tekstoppgaver der de måtte tolke ut ifra en ikke-matematisk kontekst og formulere matematiske uttrykk selv. Oppgavene som de norske elevene presterte svakest på, var de som presenterte algebraiske uttrykk og formler som elevene måtte manipulere og omforme. Manipulering av symboler, formler og uttrykk, det Kieran (2007) kaller transformativ algebra, var en tydelig utfordring for de norske elevene. Denne ferdigheten er blant annet sentral ved løsning av ligninger, kombinering av flere formler og endring av uttrykk med symboler. En eksempeloppgave som kan illustrere denne utfordringen, er den rasjonale ulikheten x+1 > 1. Kun 16 % av de norske elevene fikk til denne x 2 oppgaven i 2008, som var 29 prosentpoeng lavere enn det internasjonale gjennomsnittet (Pedersen, 2014). Oppgaven krever først og fremst evne til å manipulere uttrykket, ved å få null på høyre side og faktorisere venstre side. I tillegg krever den bruk av fortegnsskjema for å avgjøre når uttrykket er positivt, og forståelse for ulikhetsegnet. Pedersen (2014) argumenterer for at resultatet fra oppgaven illustrerer norske elevers utfordringer med manipulasjon av symboler og uttrykk Aktivering av tidligere kunnskap Et annet interessant funn i Pedersen (2014) er at de norske R2-elevene hadde vansker med å mestre oppgaver som krevde kunnskap fra fag de har tatt tidligere, som 1T og R1. Dette til tross for at vanskelighetsgraden på disse oppgavene objektivt sett var lavere enn oppgavene som omhandlet temaer fra R2 (Pedersen, 2014). Pedersen (2014) tolker at dette kan ha en sammenheng med at innhold fra 1T og R1 vanligvis ikke inngår i eksamen i R2, slik at motivasjonen for å holde kunnskapen ved like ikke er stor nok. Analysen av besvarelsene fra TIMSS Advanced 2015 trekker også fram manglende vedlikehold av kunnskap fra 1T og R1 som en sannsynlig årsak til de svake resultatene, da de norske elevene presterte markant bedre 13

24 på oppgaver som omhandlet pensum fra R2 (Grønmo & Hole, 2017). Hole med flere (under utgivelse) gjorde et lignende funn i sin studie av algebraferdighetene til førsteårsstudenter i matematikk på Universitetet i Oslo. De fant at studentene i større grad mestret relativt komplekse oppgaver de hadde fått undervisning om på universitetskurset, og i mindre grad de mer elementære algebraoppgavene som dekkes av pensum i 1T og R1. Forfatterne argumenterer for at dette kan skyldes at de norske studentene ikke har solid nok bakgrunnskunnskap i algebra (Hole et al., under utgivelse) Generalisering og abstraksjon ved bruk av variabler Bokstaver har ulike funksjoner i matematikkspråket, noe som kan gjøre det utfordrende for elever å vite hvilken betydning bokstavene har i en oppgave, og hvordan de skal forholde seg til dem (Naalsund, 2012). Küchemann (1981) har forsket på elevers forståelse for bokstaver i matematikkoppgaver, og deler den inn i et hierarki med fire nivåer. De to første nivåene innebærer den elementære forståelsen for bokstaver som representasjoner for spesifikke tall, for eksempel som den ukjente i enkle ligninger. Det tredje nivået innebærer en viss forståelse for generalisering, blant annet ved å anse svar som «p = 2n» som meningsfulle, selv om de numeriske verdiene til bokstavene er ukjente. På det fjerde og siste nivået forstår elever bokstavene som både spesifiserte, ukjente tall, generaliseringer av en mengde tall og variabler. Den generaliserte formelen for en lineær funksjon, y = ax + b, kan illustrere kompleksiteten i dette. Her er a og b generelle parametere som representerer spesifikke tall, mens y og x er variabler som inntar ulike verdier og avhenger av hverandre (Gray, Loud, & Sokolowski, 2007). Både Vestenfor (2018) og Eliassen og Mathisen (2018) fant i sine masterstudier at mange norske elever har vanskeligheter med å forstå at bokstaver representerer generaliserte tall. Funnene til Vestenfor (2018) indikerer at elevene heller ser på bokstavene som et spesifikt tall eller objekt, eller eventuelt en forkortelse for en enhet. Eliassen og Mathisen (2018) fant også at elevene slet med å forstå begreper som knyttet seg til generalisering, for eksempel «uttrykk» og «n-te». Hole med flere (under utgivelse) konkluderer i sin artikkel med at de faglige utfordringene for førsteårsstudentene på universitetet ofte kommer av at det matematiske språket de møter i oppgavene inneholder variabler og abstrakt terminologi. Studentene sliter for eksempel med å løse differensialligningen y + p(x)y = q(x), der funksjonene p og q er gitt som generelle funksjonsuttrykk. Her er målet å gi en løsning som vil gjelde uansett hvilke funksjoner man 14

25 setter inn for p og q. Det høye abstraksjonsnivået i det matematiske språket kommer nettopp av at det er et mål å generalisere resultater til å gjelde for mange tilfeller samtidig (Hole et al., under utgivelse). Det interessante er at studentene løser ligningen uten problemer dersom de gis spesifiserte og konkrete funksjoner, framfor de generelle p(x) og q(x). Problemet er dermed ikke at studentene mangler konseptuell forståelse for hva en differensiallikning er, eller ikke har prosedurale ferdigheter til å løse dem. Forfatterne argumenterer for at det heller er snakk om et språkproblem knyttet til bruk av variabler og abstrakt notasjon i matematikken. Et annet eksempel som illustrerer at norske elever har begrenset erfaring med å bruke variabler på en abstrakt måte, er at de klarer å løse integraler som xe 3x dx, men sliter med å løse xe ax dx. Forskjellen er at det siste integralet inneholder parameteren a, som er uttrykt på generalisert form og kan representere ulike tall. Dette eksemplet peker på det samme at problemet for studentene er å håndtere den abstrakte terminologien i oppgaven (Hole et al., under utgivelse) Forståelse for grenseverdier Bressoud med flere (2016) presenterer en oversikt over forskning på førsteårsstudenters møte med matematikken på universitet. Der tar de blant annet for seg studenters forståelse av grenseverdier. De viser til tidligere forskning som har funnet at de fleste elever ser på grenseprosessen som en dynamisk prosess, og at funksjonen eller rekken nærmer seg eller går mot grenseverdien. At disse formuleringene kun beskriver grensekonseptet som en prosess kan være misvisende for elever, fordi det blir vanskeligere å forstå grensen som en verdi. (Bressoud et al., 2016). I tråd med Sfards (1991) syn på forståelse, har elevene dermed forståelse for grenser som prosesser, men ikke objekter. De mangler den strukturelle forståelsen for grensene. Det er ikke bare formuleringen brukt av lærere og mattebøker som kan svekke denne forståelsen, men også hvordan ordet grense brukes om noe som ikke krysses i hverdagsspråket. De fleste elever blir først introdusert for grenseverdier som asymptoter for rasjonale funksjoner, der de lærer at funksjonen vil nærme seg asymptoten, men aldri nå den. Hardy (2009) fant at mange elever som kun har lært om grenser gjennom asymptoter for rasjonale funksjoner, har svært liten forståelse for prosedyrene de bruker. Hvis eleven setter likhetstegn mellom et konsept og et eksempel, vil eleven ha vanskeligheter med å generalisere og se konseptet i sammenheng med ny kunnskap (Kilpatrick et al., 2001). 15

26 3 Metode I denne studien har jeg gjennomført et semistrukturert, oppgavebasert intervju av fire R2-elever, der de jobbet med utvalgte algebraoppgaver fra TIMSS Advanced-undersøkelsen. Datamaterialet mitt består av lydopptak av intervjuet, samt videoopptak av arket elevene skrev på under intervjuet. Dataene ble tolket og analysert induktivt, med problemstillingen som utgangspunkt. 3.1 Valg av metode I dette forskningsprosjektet er det elevenes utfordringer med algebraoppgaver som er i fokus. Målet mitt er å kunne si noe om årsakene til at elevene presterer som de gjør, basert på deres egne tanker og faglige forståelse knyttet til oppgavene. Jeg ønsker å oppnå dybdekunnskap om noen utvalgte elevers arbeid med algebra, og ha en åpen tilnærming til problemstillingen. Dette gjør at en kvalitativ forskningsmetode er best egnet (Larsen, 2017; Johnson & Christensen, 2014) Semistrukturert intervju De to vanligste metodene innenfor kvalitativ forskning er observasjon og intervju. Begge disse metodene kunne gitt meg innsikt i elevenes løsningsprosess i arbeid med oppgaver. Ved å kun observere elevenes arbeid, ville jeg fått innsikt i hvordan de jobber selvstendig med oppgavene og hvilke løsningsstrategier de benytter. På en annen side ville jeg ikke fått mulighet til å stille spørsmål til elevene om hvorfor de tok disse valgene, og hvilken forståelse som lå til grunn. Siden jeg er interessert i få fram elevenes tanker og refleksjoner, og se oppgavene fra deres side, har jeg derfor valgt en metode som kombinerer observasjon av oppgaveløsningen med intervjuer (Dalen, 2011; Kvale & Brinkmann, 2015). Kvalitative intervjuer kan ha ulik grad av struktur, basert på om spørsmålene som stilles er forhåndsbestemt eller tilpasses etter hver enkelt intervjusituasjon (Johannessen, Tufte & Christoffersen, 2016). Fordelen med strukturerte intervjuer er at de gjør det lett å sammenligne svar fra ulike intervjuer og at det stilles mindre krav til intervjueren underveis i intervjuet. Fordelen med ustrukturerte, eller åpne, intervjuer er at de er fleksible og åpner for å følge opp informantenes svar videre i intervjuet (Dalen, 2011; Johannessen et al., 2016). Det er 16

27 hensiktsmessig for meg å strukturere intervjuene i form av at alle informantene løser de samme oppgavene, slik at jeg har mulighet til å sammenligne svarene deres i analysen. Like viktig er det at intervjuene mine gir mulighet for oppklaring og utdyping av elevenes svar, slik at jeg kan få innsikt i hvordan de tenker. Det er også viktig at intervjuet ikke er så strukturert at det ikke gir rom for den frie oppgaveløsningen og de innspillene informantene kommer med. Jeg har derfor valgt en semistrukturert intervjuform, som kombinerer strukturen fra en intervjuguide med fleksibiliteten i å stille oppfølgingsspørsmål basert på informantens svar. Denne intervjuformen egner seg til å besvare min problemstilling, men stiller også krav til meg som intervjuer, fordi jeg må utvikle gode spørsmål «på sparket» (Dalen, 2011; Kleven, 2014) Oppgavebasert intervju Hensikten med forskningen min er å avdekke hvordan elever løser oppgaver, og hvilke faglige utfordringer de møter i løsningsprosessen. Det er dermed gunstig å velge en intervjuform der informantene samhandler med oppgaver, og oppgaveløsningen kan observeres og analyseres. Jeg har derfor valgt oppgavebasert intervju, som nettopp kjennetegnes av at informantene interagerer med både oppgaver og intervjueren (Goldin, 2000). Oppgavebaserte intervjuer egner seg til å få innsikt i hva elever kan og hvordan de begrunner de matematiske løsningene sine (Maher & Sigley, 2014). Det er prosessen mot en løsning som belyses, framfor om svaret er riktig eller galt (Goldin, 2000). En annen styrke ved oppgavebasert intervju, er at mange av komponentene i intervjuet kan kontrolleres. Forskeren kan blant annet velge hvilke oppgaver som skal løses, hvilke spørsmål som skal stilles, settingen for intervjuet, hvilke informanter som skal intervjues og hvor lang tid som skal brukes (Goldin, 2000). Goldin (2000) beskriver fire stadier tilknyttet hver oppgave i et oppgavebasert intervju. Det første stadiet kjennetegnes av fri oppgaveløsning. Å gi nok tid til den frie oppgaveløsningen, der informantens spontane tanker kommer fram, trekkes fram som et av de viktigste grepene i et oppgavebasert intervju. Innspill fra intervjueren i dette stadiet skal kun søke utdyping eller oppklaring, og ikke lede informanten på noen måte. Man kan for eksempel spørre «Kan du fortelle meg mer om det?», eller «Hva tenker du på her?». Dersom disse spørsmålene ikke gir respons, går man over i andre fase. Der stiller man oppfølgingsspørsmål med noe mer faglig hjelp, i form av heuristiske spørsmål eller forslag. Målet her er at informanten skal komme i gang med oppgaveløsningen, men med minimal innblanding og hjelp fra intervjueren. Man kan for eksempel spørre «Hva er det du skal finne?». Tredje fase innebærer veiledende bruk av 17

28 heuristiske spørsmål. Her er intervjueren mer aktiv og stiller spørsmål med mer faglig støtte, men fortsatt bare når det er nødvendig. Slike spørsmål kan for eksempel være «Ser du et mønster i tallene?» eller «Hva betyr det at funksjonen er positiv?». I den fjerde fasen stiller det mer metakognitive og utforskende spørsmål, som «Kan du forklare hvordan du tenkte rundt denne oppgaven?». Da jeg utformet intervjuguiden i forkant av intervjuene, brukte jeg disse fasene aktivt. Jeg forsøkte å utarbeide spørsmål med ulik grad av heuristisk støtte på hver av oppgavene. Mer om dette i kapitlet om utarbeiding av oppfølgingsspørsmål (3.2.2). 3.2 Oppgaver og intervjuguide I dette kapitlet vil jeg beskrive hva jeg la vekt på da jeg valgte ut oppgaver til intervjuet, samt presentere hver av de fem oppgavene. Deretter beskriver jeg hvordan jeg utarbeidet mulige oppfølgingsspørsmål som forberedelse til intervjuene. Oppgavene (vedlegg 3) og de veiledende oppfølgingsspørsmålene (vedlegg 4) utgjør intervjuguiden min Valg av oppgaver En av grunnene til at jeg ble interessert i å skrive denne masteroppgaven, var at jeg fikk innsyn i de svake TIMSS Advanced-resultatene innenfor algebra og funksjoner, og ble nysgjerrig på hva årsakene til disse kunne være. Det var derfor viktig å velge ut noen oppgaver som norske elever hadde prestert relativt svakt på. Samtidig var det viktig at informantene skulle oppleve mestring gjennom arbeidet som ble observert, og at de fleste oppgavene skulle ligge innenfor deres proksimale utviklingssone. Goldin (2000) påpeker viktigheten av å velge oppgaver som informantene har forutsetninger for å mestre. Balansegangen mellom disse to hensynene var noe jeg la vekt på ved utforming av intervjuet. Goldin (2000) anbefaler også å gi oppgaver med økende vanskelighetsgrad, slik at de fleste oppgavene oppleves overkommelig for alle informantene, og de siste oppgavene er mer utfordrende. Dette poenget var også noe jeg vurderte ved utforming av oppgavearket. Hvordan de norske elevene hadde prestert på de ulike oppgavene ved tidligere gjennomføringer av TIMSS Advanced, ga meg en indikasjon på hvor vanskelige oppgavene var. I tillegg vurderte jeg vanskelighetsgraden selv, samt rådførte meg med veileder og medstudentene jeg gjennomførte pilotintervjuer på. De fem oppgavene er alle blant de frigitte algebraoppgavene fra TIMSS Advanced. Dette var et bevisst valg, både for å unngå at masteroppgaven inneholdt konfidensiell informasjon om 18

29 hemmelige oppgaver og for å kunne benytte de tidligere publiserte analysene av oppgavene (for eksempel Grønmo & Hole, 2017) som deler av teorigrunnlaget. I det følgende vil jeg kort gjøre rede for hver av de fem oppgavene Oppgave 1 Avgjøre egenskaper ved polynomer I den første oppgaven gis informantene fem polynomer på faktorisert form, og blir bedt om å avgjøre om polynomene er av grad 3 og om de eneste to røttene er 3 og 5 (se figur 1). Riktig svar er polynom nummer 1 og 4, da disse er de eneste som både er tredjegradspolynomer og som blir null for både x = 5 og x = 3. Det kognitive nivået for denne oppgaven er å kunne, som innebærer å gjengivelse av kjent kunnskap (Grønmo & Hole, 2017). Oppgaven tester forståelse for egenskapene til polynomer, men også begrepsforståelse, ved at den krever tolkning av hva de to betingelsene innebærer. Med god begrepsforståelse krever ikke oppgaven utregning, og det er 50 % sannsynlig å få riktig svar ved å gjette. Begge disse faktorene senker vanskegraden på oppgaven. Jeg vurderte den derfor som en fin startoppgave for å få informantene i gang med å forklare hvordan de tenkte. Figur 1: Oppgave 1 Når det gjelder resultatene på denne oppgaven fra 2015, gjorde de norske elevene det relativt godt. Mellom 60 % og 70 % fikk riktig svar på fire av de fem polynomene. Unntaket var polynomet i linje 3, (x + 3) 2 (x + 5), der omtrent halvparten svarte «Ja» og halvparten svarte «Nei». Det kan tyde på at de norske elevene er usikre på sammenhengen mellom fortegnet i parentesen og røttene til polynomet (Grønmo & Hole, 2017, s. 136). 19

30 3.2.3 Oppgave 2 Avgjøre når funksjonen er negativ Den andre oppgaven går ut på å avgjøre hvilke x-verdier den rasjonale funksjonen f(x) = (x 1)(3x+1) (2x 1)(x 2) er negativ for (se figur 2). Det kognitive nivået til denne oppgaven er å anvende (Grønmo & Hole, 2017), da den krever at elevene kan anvende kunnskap om funksjonsdrøfting. Samtidig krever den at elevene forstår notasjonen i svaralternativene. Funksjonen er en relativt komplisert rasjonal funksjon, da den har et andregradspolynom i både teller og nevner. Det er derfor ikke så lett å se for seg hvordan funksjonen vil oppføre seg. Den nærliggende metoden for å løse denne oppgaven, er å lage en fortegnslinje for funksjonen. En annen mulig metode er å ta for seg utvalgte x-verdier, for eksempel nullpunkter og bruddpunkter, og teste funksjonsverdien for å løse oppgaven med elimineringsmetoden. Hvis elevene f.eks. ser at f(1) = 0 ut ifra den første faktoren, kan de utelukke alternativ A, B og D, som alle sier at f(1) < 0. Figur 2: Oppgave 2 At oppgaven har fem alternativer og ikke fire viser at den er en «gammel» oppgave, i form av at den var med i den opprinnelige gjennomføringen i 1995/98. Det betyr at den er brukt i alle de tre TIMSS Advanced-undersøkelsene, i henholdsvis 1998, 2008 og % av de norske elevene ga riktig svar på denne oppgaven i Grønmo og Hole (2017, s. 124) spår at årsaken til at såpass mange ikke klarte den, kan være at kunnskapene fra R1 ikke vedlikeholdes godt nok til at elevene klarer å anvende dem i slutten av R2-kurset. Funksjonsdrøfting er på en annen side en viktig del av pensum, også i R2, bare med andre type funksjoner. Jeg tror en annen mulig utfordring i denne oppgaven er at typen funksjon er ufamiliær for norske elever. I store 20

31 deler av 1T og R1 omhandler funksjonsdrøfting kun polynomfunksjoner, og drøfting av rasjonale funksjoner er mindre vanlig. I tillegg er denne rasjonale funksjonen mer komplisert enn de fleste de er vant til å se, da den består av andregradspolynomer i både teller og nevner. Til tross for at elevene mestrer bruk av fortegnsskjema på enklere funksjoner, kan de ha blitt usikre på hvordan de skulle forholde seg til denne funksjonen, og kanskje spesielt faktorene i nevneren. Jeg vurderte denne oppgaven som en middels vanskelig oppgave for norske elever. På den ene siden bør R2-elever være godt kjent med funksjonsdrøfting, og oppgaven bør la seg løse dersom man er trygg på bruk av fortegnskjema som metode. På en annen side er funksjonen en komplisert rasjonal funksjon, som gjør at oppgaven kan være krevende å få hodet rundt dersom man ikke er trygg på å lage fortegnskjema for rasjonale funksjoner Oppgave 3 Finne funksjonsuttrykk for rasjonal funksjon Figur 3: Oppgave 3 Den tredje oppgaven oppgir den rasjonale funksjonen f(x) = ax+5, og ber elevene finne verdiene a og b basert på at funksjonen har asymptoter x = 2 og y = 7 (se figur 3). Oppgaven er kategorisert på det det kognitive nivået å resonnere, som er det høyeste nivået (Grønmo & Hole, 2017). At b = 2 kan finnes ved å vite at den vertikale asymptoten kommer av at nevneren blir null, som skjer når x = b. Å finne a krever kunnskap om at funksjonsverdien nærmer seg den horisontale asymptoten når x går mot ±. Det kan løses ved å innse at grenseverdien for f(x) når x går mot uendelig er 7, eller ved å vite at man finner asymptoten ved å dele tallet foran x i teller på tallet foran x i nevner (Grønmo & Hole, 2017). Begge disse fremgangsmåtene x+b 21

32 gir a = 7. Den første metoden krever forståelse for grenseverdier, og for at konstantleddene blir ubetydelig små når x blir veldig stor. Omtrent en tredjedel av de norske elevene fikk riktig svar på denne oppgaven i Nesten like mange oppga alternativ B, at a = 7 og b = 2. Kanskje tyder dette på at de fleste klarer å finne b = 2, men ender opp med å gjette på om a skal være 7 eller 7? Det svake resultatet kan ha lignende forklaring som på forrige oppgave, nemlig dårlig vedlikehold av kunnskaper fra R1 og 1T (Grønmo & Hole, 2017, s. 147). Jeg vurderte denne oppgaven til å være overkommelig dersom informantene satt inne med forståelse for rasjonale funksjoner og egnede løsningsstrategier for å finne asymptotene, men vanskelig dersom de måtte resonnere seg fram til svaret uten kunnskap om egnede løsningsstrategier. I motsetning til på forrige oppgave, er det vanskeligere å bruke alternativene aktivt på denne oppgaven. Selv om man setter inn verdiene for a og b i funksjonsuttrykket, krever det forståelse for rasjonale funksjoner for å avgjøre om svarene gir de riktige asymptotene Oppgave 4 Finne ekvivalent uttrykk Figur 4: Oppgave 4 Den fjerde oppgaven går ut på å finne et ekvivalent uttrykk til brøken 1 x y, blant de fem gitte svaralternativene (se figur 4). Denne oppgaven skiller seg fra oppgave 2 og 3 fordi den krever at man bruker svaralternativene aktivt, ved å vurdere om de er ekvivalente med det opprinnelige uttrykket. Riktig svar er alternativ A, som man får ved å multiplisere teller og nevner med 22

33 ( x + y) og bruke konjugatsetningen på nevneren. Oppgaven krever altså kjennskap til kvadratsetningene, og evne til å «se» resultatet av dem. Den er kategorisert til laveste kognitive nivå, å kunne. Et moment som øker vanskegraden på denne oppgaven, er at de ukjente variablene står under et rottegn (Grønmo & Hole, 2017). Det kan være uvant for elevene å bruke kvadratsetningene på rotuttrykk, da de vanligvis bruker dem på uttrykk som kombinerer variabler i første potens og reelle tall, for eksempel (x 5)(x + 5). Kun 23 % av de norske elevene svarte riktig på denne oppgaven i 2015 (Grønmo & Hole, 2017, s. 119). De to gale alternativene som flest elever svarer, er B og D. At man velger alternativ B, kan komme av at man ganger med faktoren ( x y) i teller og nevner, men feilaktig tenker at ( x y) 2 = x y. Dette kan tyde på mangelfull kunnskap om kvadratsetningene. At man velger alternativ D, kan på sin side tyde på at man tenker at en brøk med to ledd i nevner kan deles opp i to brøker direkte. Dette viser manglende forståelse for brøk og kunnskap om bruk av fellesnevner (Grønmo & Hole, 2017, s. 120.) At såpass få fikk til denne oppgaven på TIMSS Advanced, gjorde at jeg vurderte den til å være vanskelig, og burde komme sent i oppgavesettet. På en annen side er den mindre arbeidsom enn de to foregående, noe som gjør at den kan passe som nest siste oppgave Oppgave 5 Finne skjæringspunkt mellom to funksjoner Figur 5: Oppgave 5 Den siste oppgaven er den eneste oppgaven som er åpen, altså uten svaralternativer. Den er kategorisert til høyeste kognitive nivå, å resonnere (Grønmo & Hole, 2017). Målet er å finne de to x-verdiene der funksjonene y = 10 6 ax og y = x skjærer hverandre (se figur 5). Riktig svar er x = 0 og x = a. Oppgaven kan løses ved å sette de to funksjonsuttrykkene lik hverandre, og løse den som en andregradsligning. For å finne begge løsningene, må man enten faktorisere uttrykket og bruke sammenhengen om at a b = 0 gir at a eller b må være null, eller bruke abc-formelen med c = 0. Hvis man kun gir x = a som løsning, kan det tyde på at man i stedet har valgt å dele på x på begge sider av ligningen, og dermed mistet løsningen 23

34 x = 0. Hvis man kun gir x = 0 som løsning, kan det tyde på at man har sett at x = 0 gir 0 som funksjonsverdi i begge uttrykkene, men at man ikke har klart å finne den andre løsningen algebraisk. Uttrykkene er relativt kompliserte, både på grunn av de høye eksponentene og konstanten som er gitt som parameter i stedet for tall. På TIMSS Advanced i 2015, var det kun 11 % av de norske deltagerne som oppga begge løsningene, mens 26 % fant én av de to (Grønmo & Hole, 2017, s. 143). Alle disse faktorene gjør at jeg vurderte oppgaven som krevende, og valgte å plassere den til slutt i oppgavesettet Utarbeiding av oppfølgingsspørsmål I forbindelse med løsningen av oppgavene, er det naturlig å stille informantene oppfølgingsspørsmål. Etter oppgavene var valgt ut, ble det derfor utarbeidet en intervjuguide (se vedlegg 4), som består av mulige oppfølgingsspørsmål jeg kunne stille underveis i intervjuet. Hunting (1997) argumenterer for at spørsmålene i oppgavebaserte intervju bør åpne for at informantene kan respondere på ulike måter. De bør også gi mest mulig rom for diskusjon, dialog og refleksjon slik at svarene kan gi innsyn i informantenes tankerekker. Jeg forberedte derfor generelle og åpne spørsmål som jeg kunne stille underveis i oppgaveløsningen, som for eksempel «Dette var interessant! Fortell mer hva du tenker.», «Hvordan tenkte du her?» og «Hvorfor gjorde du slik?». De hadde til hensikt å få informantene til å forklare eller utdype det de gjorde, slik at jeg kunne få dypere innsikt i hvordan de tenkte rundt oppgavene. Disse spørsmålene er ikke ledende, og faller innunder den første fasen beskrevet av Goldin (2000). De oppgavespesifikke spørsmålene hadde til hensikt å gi elevene faglig støtte dersom de sto fast i oppgaveløsningen. Målet var å gi nok støtte og hjelp til at de kunne komme videre i oppgaven, men likevel så lite som mulig, slik at dataene i størst grad representerte informantenes egen forståelse og egne løsninger. For å nå dette målet, analyserte jeg de fem oppgavene sammen med veileder på forhånd. Vi diskuterte vanskegrad og mulige utfordringer knyttet til oppgavene, samt hvilke innfallsvinkler vi så for oss at informantene kunne velge. Basert på dette utarbeidet jeg oppfølgingsspørsmål til hver av oppgavene, med ulik grad av faglig støtte (se vedlegg 4). Spørsmålene var for eksempel «Hva betyr det at funksjoner er negative?», «Hva vil det si at to grafer skjærer hverandre?» og «Hva skjer med grafen nær asymptoten?». 24

35 Selv om jeg hadde gjort meg opp noen tanker om hvilken retning intervjuene kunne ta basert på analyse av oppgavene, måtte jeg selvfølgelig være forberedt på å stille andre oppfølgingsspørsmål enn disse. Oppfølgingsspørsmål i et semistrukturert intervju skal jo nettopp følge opp informantenes utsagn, noe som innebærer at de ikke kan spesifiseres på forhånd, og krever fleksibilitet fra meg som intervjuer (Kvale & Brinkmann, 2015). Likevel var det to viktige grunner til at jeg ville forberede veiledende oppfølgingsspørsmål på forhånd. For det første er oppgavene på et høyt faglig nivå, som jeg har relativt lite erfaring med å undervise i. Det er mer krevende for meg å følge et faglig resonnement hos informanten når matematikken er på et høyere nivå, noe som krevde mer faglig og didaktisk forberedelse rundt oppgavene. For det andre ønsket jeg å få trening i å utarbeide spørsmål med ulik grad av faglig støtte, som er viktig ved bruk av oppgavebaserte intervju. I lærerrollen er man ofte i situasjoner som ligner settingen i et oppgavebasert intervju, men der målet er å hjelpe eleven til å mestre oppgaven. Det at målet er å få innsikt i hvordan elevene tenker, uavhengig om de «er på riktig spor», er dermed uvant. Å forberede mulige spørsmål med så liten grad av hjelp som mulig, var derfor et grep for å bli tryggere i forskerrollen. 3.3 Utvalg og rekruttering Hensikten med studien var å få innblikk i R2-elevers arbeid med oppgaver om algebra og funksjoner. Grunnen til at målgruppa mi var nettopp R2-elever, var at jeg ønsket å bruke oppgaver fra TIMSS Advanced-undersøkelsen, som er ment til å måle kompetansen til elever som går siste året på videregående og har full fordypning i matematikk (Mullis & Martin, 2014). Johannessen med flere (2016) understreker at det ikke er noe fasitsvar på antall informanter i kvalitative studier det som betyr noe er at utvalget er stort nok til å kunne besvare problemstillingen. Videre sier de at målet ikke er at utvalget skal være representativt, som i kvantitative studier, men at det skal være hensiktsmessig for studien. Hvordan informantene er samlet inn er viktigere enn hvor mange de er (Firebaugh, 2008; Johannessen et al., 2016). For meg var det et mål at utvalget mitt var variert når det gjaldt faglig nivå, forståelse og valg av løsningsstrategier, da dette forhåpentligvis ville avdekke en variasjon i utfordringer med oppgavene. Jeg ønsket derfor informanter med ulik undervisningsbakgrunn og faglig nivå. I tillegg ønsket jeg elever som hadde god evne til å kommunisere matematisk og sette ord på tankene sine. Dette fordi jeg var avhengig av at datamaterialet ga innblikk i hvordan elevene tenkte i møte med oppgavene. 25

36 Utvalget er et bekvemmelighetsutvalg (Johannessen et al., 2016). Det var derfor et mål å få så mange som mulig av elevene i klassen til å samtykke til deltagelse, slik at jeg kunne gjøre et veloverveid utvalg av elevene som var villige til å delta. Som et grep for å oppnå dette, samt «ufarliggjøre» meg selv og prosjektet, deltok jeg som hjelpelærer i klassen i fire timer i forkant. Slik ble jeg også til en viss grad faglig kjent med elevene. I den siste timen som hjelpelærer delte jeg ut samtykkeskjemaer, og 11 av elevene sa seg villig til å delta. Faglærer valgte ut de elevene han mente oppfylte kriteriene best. For å møte kriteriet om variasjon i undervisningsbakgrunn, undersøkte han om elevene hadde hatt samme lærere i R1 og/eller 1T. En av elevene hadde gått på en annen skole. Denne eleven var derfor et naturlig valg, da hun i tillegg var muntlig aktiv i timene. Ønsket om informanter som var komfortable med å sette ord på tankene sine i arbeid med matematikk ble lagt større vekt på enn ønsket om ulikt faglig nivå. Samtlige informanter var relativt faglig sterke, og presterte over middels i faget. Jeg endte opp med fire informanter, to gutter og to jenter. Jeg anså fire informanter som tilstrekkelig for å belyse problemstillingen, og fire intervjuer ville fylle tiden jeg hadde til rådighet for datainnsamlingen. Videre i oppgaven omtales informantene ved de fiktive navnene Stian, Fredrik, Emma og Maria. 3.4 Pilotering og datainnsamling Pilotintervju Dalen (2011, s. 30) presiserer at det alltid må gjennomføres ett eller flere prøveintervjuer i kvalitative intervjustudier. Hensikten med dette er både å teste intervjuguiden, og å teste sin egen rolle som intervjuer. Det bidrar også til at jeg i større grad kan frigjøre meg fra intervjuguiden og være til stede i samtalen under de faktiske intervjuene (Tjora, 2017, s. 158). At forskeren får trening i rollen som intervjuer gjennom å gjennomføre pilotintervju, er et av prinsippene Goldin (2000, s. 540) anbefaler ved bruk av oppgavebasert intervju. I forkant av datainnsamlingen gjennomførte jeg fem prøveintervjuer. I de fire første intervjuene brukte jeg medstudenter som informanter. Alle fire hadde studert matematikk på R2-nivå eller høyere. En fordel med denne piloteringen, var at studentene hadde mange og ulike faglige tilnærminger, og nivået på oppgavene var relativt nær deres faglige kompetanse. En annen styrke ved å bruke medstudenter som informanter, var at de bidro med gode innspill og diskusjoner i etterkant av prøveintervjuene, både når det gjaldt oppgavene og oppfølgingsspørsmålene underveis. 26

37 Prøveintervjuene bidro dermed til å styrke min trygghet rundt det faglige aspektet ved intervjuene. De bidro også til å utvikle intervjuguiden, noe som anbefales av Goldin (2000, s. 544). Den viktigste hensikten med disse intervjuene var likevel det andre poenget Dalen (2011) peker på, nemlig å teste min egen rolle som intervjuer. Medstudentene mine kjenner meg godt, og var dermed trygge på å gi meg tilbakemeldinger på hvordan jeg fungerte i intervjurollen. På en annen side var det vanskeligere for meg å gå inn i forskerrollen, i og med at jeg hadde en relasjon til de jeg intervjuet. Dette gjorde meg tryggere enn jeg ville vært i intervjusituasjon med ukjente informanter, noe som gjorde disse prøveintervjuene mindre overførbare. Det var derfor viktig for meg å gjennomføre et pilotintervju som var så likt de endelige intervjuene som mulig. Informanten i det siste prøveintervjuet var en av de 11 elevene som hadde samtykket til å delta i forskningsprosjektet, og oppfylte derfor de samme kriteriene som det endelige utvalget. Dette intervjuet ble gjennomført på akkurat samme måte som de fire intervjuene som utgjør datamaterialet, og fungerte derfor som en slags «generalprøve» for meg som intervjuer. Jeg fikk testet hvordan oppgavene fungerte og hvor lang tid informanten bruke på å løse dem. I etterkant av oppgaveløsningen, spurte jeg informanten om tilbakemelding på både oppgavene og opplevelse av intervjusituasjonen. En viktig refleksjon jeg gjorde meg i etterkant av prøveintervjuet, var at jeg burde ta meg tid til en ordentlig samtale med informantene før intervjuet starter. Der bør det presiseres at oppgavene er på et høyt nivå, og at hensikten er innsikt i hvordan de tenker, ikke at de skal få til flest mulig oppgaver. Denne samtalen kan forhåpentligvis bidra til trygghet hos informanten, slik at de ikke blir motløse dersom de står fast i oppgaveløsningen Gjennomføring av intervjuer Intervjuene ble gjennomført på et grupperom på skolen informantene går på, og hvert intervju varte i minutter. Av praktiske årsaker måtte intervjuene gjennomføres når elevene hadde matematikkundervisning. Intervjuene ble derfor gjennomført på fire ulike dager, fordelt på to uker. I etterkant av intervjuene ba jeg derfor informanten om å ikke diskutere oppgavene med de andre informantene. Jeg anser ikke dette som veldig problematisk, både fordi jeg aldri fikk 27

38 inntrykk av at informantene hadde sett oppgavene tidligere og fordi jeg var interessert i elevenes løsningsprosess, ikke deres evne til å oppgi det korrekte svaret. I tillegg til lydopptak av hva informantene sa, filmet jeg arket de skrev på. Det var to grunner til at jeg anså dette som gunstig. For det første foregår løsning av matematikkoppgaver for det meste skriftlig, og jeg ville kunne lære mye av hvordan elevene tenkte ved å studere hva de skrev under oppgaveløsningen. For det andre bruker man ofte ord som «den», «dette», «her» og lignende når man snakker om oppgaver man har foran seg. At jeg kunne se hva informantene pekte på eller skrev, ville gjøre det lettere å analysere dataene i ettertid. Et annet argument for å bruke videoopptak, er at det i større grad enn et lydopptak vil fange opp samspillet mellom meg og informantene, noe som vil lette arbeide med tolkning og analyse i ettertid (Kvale & Brinkmann, 2015, s. 206). Jeg plasserte et kamera foran informanten, og bygde det opp slik at det kun fanget opp hendene og genseren til informanten, samt arket de skrev på. Før intervjuet startet, hadde vi en kort, uformell samtale om hva som skulle skje. Jeg viste fram lyd- og videoopptakerne, og forklarte hva som ble fanget opp av filmen. Jeg presiserte også hva hensikten med intervjuene var, og at det ikke var en prøvesituasjon. Det som var ønskelig, var at de skulle snakke mest mulig og forklare hvordan de tenkte. At det skapes en avslappet stemning der informanten er komfortabel med å snakke åpent, er en forutsetning for å lykkes med slike intervjuer (Tjora, 2017, s. 118). Informantene fikk utdelt oppgaveark, kladdeark, og skrivesaker etter ønske. Deretter startet jeg lyd- og videoopptakene, og samtalen gled inn i oppgaveløsning. Jeg hadde de veiledende oppfølgingsspørsmålene (se vedlegg 4) foran meg, slik at jeg kunne stille egnede oppfølgingsspørsmål dersom informanten sto fast på oppgavene. Når informantene jobbet med oppgavene selvstendig, tok jeg for det meste en observatørrolle. De innspillene jeg kom med da, var enten bekreftende og oppmuntrende utsagn, som «ja» eller «mhm», eller spørsmål som oppfordret til utdyping om hvordan de tenkte, som «ja, hvorfor det?» eller «hvordan tenkte du nå?». Hunting (1997) argumenterer for at bruk av slike «hvorfor»-spørsmål kan være lurt for å få innsikt i informantenes kompetanse, men at de ikke må overdrives og forstyrre den frie oppgaveløsningen. Noen av informantene var selvstendige, slik at denne fasen oftest besto av at de tenkte høyt og fortalte hvordan de gikk fram. Andre informanter trengte mer bekreftelse underveis. Da svarte jeg med bekreftende nikk eller utsagn, for å opprettholde fremdriften i oppgaveløsningen og trygge informanten. Dersom elevene sto fast i oppgaveløsningen, stilte jeg oppfølgingsspørsmål. De første spørsmålene jeg stilte var 28

39 som oftest knyttet til oppgaveformuleringen, for eksempel «Hva er det du skal finne?», «Hva betyr det at funksjonen er negativ?», for å få informantene i gang. Dersom informanten fortsatt sto fast, stilte jeg spørsmål som ga mer faglig støtte. Jeg var absolutt en deltagende observatør under intervjuene, og intervjusituasjonen er mer i retning av en samtale enn en observasjon. Jeg vil drøfte fordeler og ulemper ved dette i kapittel 3.6 om forskningskvalitet. Dersom informantene svarte eller resonnerte «feil», prøvde jeg å respondere på samme måte som om de svarte «riktig», ved å vise interesse og be om utdyping. Noen ganger resulterte det i at informanten opplevde en kognitiv konflikt, og endret resonnementet sitt (Brekke, 1995). Hvis dette ikke skjedde, valgte jeg etter hvert å stille veiledende oppfølgingsspørsmål for å unngå at informanten brukte lang tid på en regneprosedyre som ikke ville nå fram. Goldin (2000) oppfordrer til at «gale» svar skal behandles på samme måte som «riktige» svar en viss tid, men at det etter hvert bør åpnes for at informanten kan rette opp feilene sine gjennom oppfølgings- eller retrospektive spørsmål. Han trekker også fram dilemmaet mellom å gi rom for den frie oppgaveløsningen og å ta hensyn til tidsbruk og fremdrift i intervjuet, som hele tiden må tas stilling til av intervjueren. Da oppgaveløsningen var over, stilte jeg informantene noen uformelle spørsmål. Jeg spurte blant annet om hva de syntes om oppgavene, hvilke de syntes var lettest og vanskeligst, og hvordan de opplevde intervjusituasjonen. Til slutt skrev jeg et refleksjonsnotat med mine umiddelbare tanker om hvordan intervjuet hadde gått. Dette er et grep som anbefales for å lette det senere arbeidet med tolkning og analyse (Braun & Clarke, 2006). 3.5 Bearbeiding og analyse av data I det følgende vil jeg beskrive analysearbeidet i denne studien, og begrunne de valgene jeg har gjort. Jeg har valgt å bruke tematisk analyse, som går ut på å identifisere, analysere og rapportere mønstre og temaer på tvers av datamaterialet (Braun & Clarke, 2006). Metoden innebærer ulike faser, der man først blir kjent med dataene sine gjennom transkribering og notering av interessante momenter, før man systematiserer og koder datamaterialet i lys av problemstillingen og kategoriserer temaer eller funn på tvers av datasettet (Braun & Clarke, 2006). Rapporteringen av forskningen er også en viktig del av analyseprosessen. 29

40 I starten av analysearbeidet gjennomgikk jeg videoene ved å se på hvert av de fire intervjuene og vurdere hvilke momenter som var interessante. Denne første sorteringen av datamaterialet ble gjort i samråd med veileder. Jeg hadde problemstillingen som utgangspunkt, ved at jeg så etter hvilke løsningsstrategier informantene valgte, hvilken faglig forståelse som lå til grunn for valgene og hvilke aspekter som eventuelt gjorde oppgavene utfordrende for informantene. På denne måten ble datamaterialet grovsortert, og jeg fikk en oversikt over hvilke sekvenser som var interessante og relevante for å besvare problemstillingen min. Jeg valgte å legge lite vekt på deler av intervjuene der informantene var spesielt usikre på hvordan de skulle gå frem, og jeg inntar en lærerrolle framfor en forskerrolle. Dette begrunnes med at disse dataene ikke er særlig relevante for å besvare problemstillingen min, da min aktive deltagelse gjør at de ikke gjenspeiler elevenes møte med oppgavene på en realistisk måte. Mer om dette i kapittel 3.6 om forskningskvalitet. Da datamaterialet var sett gjennom flere ganger, ble de relevante delene transkribert, altså gjort om fra muntlig tale til skriftlig tekst (Kvale & Brinkmann, 2015). Videoopptakene var av god kvalitet, noe som gjorde det enkelt å transkribere intervjuene. Tap av stemning, kroppsspråk, stemmeleie og det visuelle er en negativ effekt i overgangen fra intervju til transkripsjon, men denne effekten er mindre når jeg som intervjuer gjennomfører transkriberingen selv (Tjora, 2017; Kvale & Brinkmann, 2015). Videoopptakene gjorde det lettere for meg å huske opplevelsen av intervjusituasjonen enn om jeg bare hadde hatt lydopptak av samtalen. At hendene til informantene og oppgavearkene deres ble filmet, gjorde det også mulig å dokumentere kroppsspråk og gestikulering der dette var relevant. Det er viktig å ta stilling til hvor detaljert transkripsjonen skal være, og om man skal inkludere pauser, latter, sukk, nøling og lignende (Kvale & Brinkmann, 2015). Jeg valgte å inkludere tenkepauser i sitatene, da tenketid er en viktig del av arbeidet med å løse matematikkoppgaver (Goldin, 2000). Nølende ord som «hm» og «eh» ble også inkludert, da disse kan gi informasjon om hvor sikre informantene er på hvordan de skal gå frem i oppgaven eller hvordan de skal ordlegge seg. Følelsesmessige utbrudd som følge av oppgaveløsningen ble inkludert, for eksempel i form av nervøs latter, som reaksjon på et ukjent fagbegrep, eller oppgitt sukking, som følge av at informanten ikke husker fremgangsmåten for å løse oppgaven. Transkripsjonene i kapittel 4 inneholder tre typer transkripsjonsnøkler. [ ] betegner at utsagn som anses som mindre relevante er utelatt, og at utsagnene før og etter dette symbolet dermed ikke fulgte rett etter hverandre i intervjuet. Symbolet * * betegner handling, for eksempel *ler* og *tegner*, mens 30

41 symbolet [ ] inneholder innskytende forklaringer på hva informantene snakker om, og er ment til å informere leseren. Et eksempel er «hvis jeg ser på den [alternativ A], så vet jeg at». Etter intervjuene var transkribert, kodet jeg hvert av intervjuene. Jeg hadde en åpen tilnærming til problemstillingen min og brukte derfor induktive koder (Larsen, 2017). Eksempler på koder jeg brukte er «instrumentell forståelse for rasjonale funksjoner» og «kontekst kobles til derivasjon som metode». Disse kodene er fortolkende, i den forstand at de uttrykte min forståelse og tolkning av innholdet (Grønmo, 2004). Etter intervjuene var kodet, startet analysen av hvert intervju (se kapittel 4). Jeg hadde fokus på å gi rike beskrivelser av funnene jeg presenterte, som innebærer en nøyaktig beskrivelse av hendelsen, gjerne med sitater fra informantene, etterfulgt av min egen tolkning av funnet (Fangen, 2004). Tolkningene underbygges med teori eller tidligere forskning der det er mulig, som anbefales av blant annet Braun & Clarke (2006). Analysekapitlet har likevel et gjennomgående induktivt fokus, ved at det er de innsamlede dataene som legger føringen for analysen ikke teorien. Da de fire intervjuene var kodet og funnene var beskrevet og analysert, startet en ny kodeprosess for å finne hovedfunn på tvers av intervjuene. Disse er beskrevet og diskutert i kapittel 5. I denne fasen av analysen brukes teori og tidligere forskning aktivt, og problemstillingen legger føring på hva som vurderes som de viktigste funnene (Grønmo, 2004). Jeg tok for meg oppgave for oppgave, og sammenlignet resultatene fra de fire intervjuene. Jeg så etter mønstre i utfordringene de møtte, og på forskjeller og likheter. Enkelte funn var typiske, i form av at de ble funnet i alle intervjuene, mens andre var enkeltfunn. Braun og Clarke (2006, s. 82) understreker at gyldigheten av et funn avhenger av om det fanger opp et viktig svar på problemstillingen, og det behøver ikke nødvendigvis gå igjen i store deler av datamaterialet for å ha betydning. Et viktig spørsmål å ta stilling til, er når teori og tidligere forskning aktivt skal innarbeides i analysen. På den ene siden kan bruk av teori tidlig i fasen gjøre at man ser for snevert på dataene sine og mister potensielt viktige funn, men på den andre siden kan tidlig bruk av teori bidra til at man fokuserer på de viktigste aspektene for feltet som studeres (Braun & Clarke, 2006, s. 86). Jeg hadde ikke et mål om å klassifisere eller fordele svarene i forhåndsbestemte kategorier, som gjerne er målet når analysen tar utgangspunkt i et teoretisk rammeverk. Teori og tidligere forskning ble derfor en del av analysearbeidet først da resultatene skulle tolkes, og jeg skulle finne sammenhenger på tvers av intervjuene for å formulere hovedfunn. Det er likevel viktig å 31

42 påpeke at det induktive analysearbeidet også vil være preget av min teoretiske bakgrunn og mine subjektive meninger om hva som er viktig og relevant (Larsen, 2017; Braun & Clarke, 2006). At relevant data ble valgt ut i samråd med veileder og at jeg har gitt rike beskrivelser i resultatkapitlet (kapittel 4), er begge grep for å minske effekten av denne subjektiviteten. Mer om dette i kapittel 3.6 om forskningskvalitet. 3.6 Kvalitet i forskningen For å vurdere forskning, snakker man gjerne om en studies reliabilitet og validitet. I kvalitativ forskning beskriver dette henholdsvis hvor pålitelige dataene er, og hvor relevante de er for å besvare problemstillingen (Everett & Furseth, 2012). Det sier med andre ord noe om kvaliteten på forskningen som er gjort, og hvor troverdige resultatene er (Dalen, 2011; Johnson & Christensen, 2014). Jeg har derfor valgt å benytte begrepene pålitelighet og troverdighet til å drøfte styrker og svakheter ved mitt forskningsprosjekt Pålitelighet Påliteligheten til kvalitativ forskning sier noe om hvor nøyaktig og omfattende forskeren har rapportert de valgene som er gjort (Cohen, Manion & Morrison, 2007). Det handler også om i hvor stor grad andre forskere ville tatt de samme valgene og i hvor stor grad rapporteringen stemmer med virkeligheten (Johnson & Christensen, 2014). At jeg har gitt en inngående og detaljert beskrivelse av utvalg, datainnsamling og analyse i metodekapitlet er med på å styrke påliteligheten i forskningen min (Johannessen et al., 2016; Dalen, 2011). Jeg har også redegjort for de valgene jeg har tatt underveis, slik at disse eventuelt kan gjentas av andre forskere (Kvale & Brinkmann, 2015). At jeg beskriver både oppgavene og intervjuguiden, gjør det lettere for andre forskere å gjennomføre lignende forskning (Goldin, 2000). I analysekapitlet er det inkludert sitater fra informantene og beskrivelser av hvordan de jobber med oppgavene. Dette er et grep for å sikre god beskrivelse av situasjonene som analyseres, men også for å gi leseren innsikt i hva jeg baserer mine tolkninger på, og mulighet til å gjøre egne tolkninger. At leseren har mulighet til å vurdere mine tolkninger av datamaterialet, styrker påliteligheten. For stor grad av tolkning i analysekapitlet kan likevel svekke påliteligheten, fordi det blir vanskeligere for andre forskere å etterprøve resultatene (Bratberg, 2017). Jeg har prøvd å tydeliggjøre skillet mellom data og tolkning, samt spart mye av tolkningen til 32

43 diskusjonskapitlet, for å holde analysekapitlet mest mulig empirinært. Etterprøvbarhet av denne studien vil likevel ikke være mulig, da mine handlinger og tolkninger som forsker vil være avgjørende og informanter og omstendigheter vil forandre seg (Dalen, 2011). Det er mulig å gjennomføre forskning med de samme utvalgskriteriene og de samme oppgavene, men løsningsprosessene og forskerens tolkning vil mest sannsynlig være forskjellig Troverdighet Troverdigheten til resultatene mine gjenspeiles i hvor godt fremgangsmåten jeg bruker egner seg til å belyse problemstillingen min og hvor godt funnene mine faktisk svarer på den (Johannessen et al., 2016; Kvale & Brinkmann, 2015). For å oppnå troverdige resultater kreves det altså en tydelig sammenheng mellom formålet med undersøkelsen og de dataene som samles inn (Creswell & Miller, 2000). Formålet med denne undersøkelsen er å få innsikt i elevers løsningsprosess, og bruk av oppgavebasert intervju er en god måte å oppnå dette på. Valg av metode styrker dermed troverdigheten i min studie. En annen faktor som gjør resultatene mine mer troverdige, er at jeg valgte ut relevante data i samarbeid med veileder, som beskrevet i kapittel 3.5. At en annen og mer kompetent forsker er enig i de vurderingene jeg har tatt i analysearbeidet, øker sannsynligheten for at resultatene mine er troverdige (Johannessen et al., 2016). Johnson og Christensen (2014, s. 300) kaller dette grepet «multiple investigators». Det er spesielt positivt å bruke fordi jeg ikke har tidligere erfaring som forsker, og valg av relevante data og mulige funn er en såpass viktig del av forskningsprosessen. Et annet grep som styrker troverdigheten av funn er metodetriangulering, som innebærer å bruke flere metoder for å belyse det samme spørsmålet (Creswell & Miller, 2000; Johnson & Christensen, 2014). Forskningsmetoden jeg har brukt kombinerer observasjon med oppfølgende intervju. Dette åpner for at jeg kan oppklare og utforske det jeg observerer gjennom intervjuet. I tillegg kan det som blir sagt i intervjuet begrunnes og sammenlignes med det som observeres i oppgaveløsningen, noe som reduserer effekten av at det som sies i et intervju ikke nødvendigvis er det som skjer i virkeligheten (Dalen, 2011). På den måten kan metodene utfylle hverandre, og styrke troverdigheten til resultatene mine. Et viktig aspekt når det gjelder kvalitet i kvalitativ forskning, er om det er mulig å overføre kunnskapen til lignende situasjoner og lignende informanter (Johannessen et al., 2016; Johnson 33

44 & Christensen, 2014). Utvalget i studien min er et lite bekvemmelighetsutvalg, og dermed ikke representativt for hele populasjonen av norske R2-elever. Resultatene mine gjelder derfor kun for de fire informantene i denne undersøkelsen, og kan ikke generaliseres. På en annen side er ikke målet i kvalitativ forskning å generalisere funn, men heller å gi en rik og detaljert beskrivelse av en gitt situasjon (Johnson & Christensen, 2014), altså påvise eksistensen av fenomener. Det at jeg har lagt vekt på å gi rike beskrivelser i både metode- og analysekapitlet gjør det mulig å sammenligne og vurdere om tolkningene som er gjort er overførbare til lignende situasjoner, noe som styrker troverdigheten (Fangen, 2004; Goldin, 2000). Studien påviser eksistensen av flere utfordringer for R2-elevene i møte med oppgavene, og det er grunn til å tro at disse resultatene kan overføres til andre R2-elever i Norge. En viktig trussel mot troverdigheten til resultatene mine er at min egen førforståelse, eller forskerbias, vil påvirke hvordan jeg gjennomfører intervjuene, hvordan jeg analyserer og hvordan jeg tolker funnene mine (Creswell & Miller, 2000; Dalen, 2011; Johannessen et al., 2016). Å reflektere over egne tanker og antagelser om temaet er viktig for å minske effekten av dette, og kalles refleksivitet (Johnson & Christensen, 2014). Som beskrevet i kapittel 3.2.1, hadde jeg tanker og erfaringer omkring vanskegraden og mulige løsningsstrategier på de ulike oppgaver i forkant av datainnsamlingen. Dette vil ha påvirket min innstilling til oppgaveløsningen underveis i intervjuet, ved at jeg for eksempel kan ha gitt mer eller mindre faglig støtte basert på hvor godt jeg tror informanten forsto oppgaven. Førforståelsen påvirket også hvilke løsningsstrategier jeg ga heuristiske «hint» om, dersom informantene sto fast i oppgaveløsningen. En faktor som på en annen side reduserer effekten av forskerbias er at det er lite tidligere forskning på faglige utfordringer og misoppfatninger i algebra for elever på dette nivået. Jeg gikk dermed inn i både datainnsamling og analysearbeidet med et åpent sinn om hvilke utfordringer oppgavene bød på for informantene. I tillegg ble interessen for problemstillingen først og fremst vekket av en nysgjerrighet på hvordan elever tenker rundt disse oppgavene og hva som eventuelt gjør dem utfordrende, ikke av at jeg hadde sterke formeninger om hva jeg kom til å finne. En av de store fallgruvene å gå i når det gjelder forskerbias er å lete etter de svarene du forventer, framfor de svarene som dataene faktisk gir (Johnson & Christensen, 2014). Likevel er det klart at jeg kan ha gitt signaler og påvirket informantene på måter jeg ikke var bevisst på. En siste faktor som svekker troverdigheten til funnene mine, er min uerfarenhet i rollen som intervjuer og forsker. I situasjoner der informantene sto fast i oppgaveløsningen og søkte faglig 34

45 støtte, var det fristende å stille heuristiske spørsmål som kunne fungere ledende. Når intervjusituasjonen ligner en undervisningssituasjon, kan det være vanskelig å legge fra seg lærerrollen, og det kan føles unaturlig å avvise informantenes spørsmål. Dalen (2011, s. 33) påpeker at uerfarne forskere ofte har vanskeligere for å forholde seg til pauser og usikkerhet, noe jeg kjenner meg igjen i. Ifølge Larsen (2017, s. 125) er en av de viktigste «feilene» som kan oppstå i intervjuforskning bruk av ledende spørsmål som påvirker informantenes svar. Den faglige støtten jeg ga til informantene er en variabel som påvirker den variabelen jeg prøver å måle, nemlig informantenes løsningsprosess og utfordringer (Johnson & Christensen, 2014). De delene av intervjuene som bærer preg av ledende, heuristiske spørsmål fra min side svekker dermed troverdigheten. For å begrense effekten av dette, er disse sekvensene i liten grad brukt som datagrunnlag i oppgaven. De intervjusekvensene som er vektlagt i analysearbeidet bærer først og fremst preg av informantenes tanker og svar, og jeg har beskrevet dialogen i intervjuet slik at leseren selv kan vurdere effekten av mine innspill og spørsmål. Likevel vil jeg argumentere for at min deltagelse og støtte også kan ha hatt positive effekter. For det første kan det at jeg var støttende ha ført til at informantene delte mer av sin forståelse og tanker rundt oppgavene og opplevde situasjonen som tryggere og mindre formell. Dersom jeg i større grad hadde vært en taus observatør, ville kanskje informantene gått videre uten å løse oppgaven på grunn av faglig usikkerhet, noe som ville gitt mindre interessante data. 3.7 Etiske hensyn All forskning på mennesker har et etisk ansvar for at forskningsobjektene blir behandlet på en verdig og forsvarlig måte (Befring, 2015). Den nasjonale forskningsetiske komité for samfunnsvitenskap og humaniora (NESH) har utarbeidet retningslinjer for de etiske hensynene forskere må ta. For det første stilles det krav om informert og fritt samtykke (NESH, 2016). Det er også viktig at informasjonen gis på en måte informantene forstår (Dalen, 2011; Befring, 2015). Alle informantene var over 16 år, så det var ikke behov for samtykke fra foresatte. Jeg informerte elevene om hva deltagelse i prosjektet ville innebære første gang jeg møtte dem, og åpnet for spørsmål. I tillegg sto informasjonen i samtykkeskjemaet informantene fikk utdelt i slutten av rekrutteringen, som ligger som vedlegg 2. Her ble hensikten med prosjektet kort beskrevet, men det ble lagt mest vekt på hva det ville innebære å delta. Det ble også presisert at deltagelsen er helt frivillig, og at informantene når som helst kunne trekke seg eller få innsyn i lyd- og 35

46 videoklippene. Informantene fikk tid til å lese gjennom samtykkeskjemaet i timen. Deretter samlet jeg inn samtlige skjemaer, uavhengig av om de var signert eller ikke. Hensikten med det var å minimere eventuelt opplevd press til å signere, da det ikke ble synlig utad hvem som ønsket å delta. For det andre stilles det krav om konfidensiell og anonym deltagelse (NESH, 2016). Det innebærer både at personlige opplysninger ikke skal kunne identifiseres, og at det publiserte forskningsmaterialet skal være anonymisert. For å møte kravet om anonymitet har informantene fått fiktive navn uten tilknytning til deres egentlige navn. Lyd- og videoopptakene der informantene kan identifiseres er lagret på en kryptert harddisk, som kun jeg og veileder har hatt tilgang til. Opptakene vil slettes når oppgaven er ferdig sensurert. I kvalitative intervjuer deler informanter egne tanker og opplevelser som kan være gjenkjennelig for andre, noe som kan gjøre det vanskelig å bevare anonymiteten (Befring, 2015). Da intervjuene i denne oppgaven for det meste er faglige og ikke personlig, er ikke denne risikoen like stor. Likevel har jeg prøvd å unngå siteringer som potensielt kan gjøre informantene gjenkjennbare for andre enn dem selv. Et tredje etisk hensyn er at informantene skal oppleve minst mulig skade eller belastning ved å delta i forskningen (NESH, 2016; Befring, 2015). I mitt tilfelle var det et ønske om å skape en behagelig og trygg intervjusituasjon for informantene. Intervjuet ble innledet med en uformell prat om hva som skulle skje. Det ble igjen presisert at målet var å få innsikt i hvordan de tenker, ikke at de skulle få til flest mulig oppgaver. En av hensiktene med denne samtalen var å gjøre informanten trygg og avslappet i intervjusituasjonen, og unngå at de følte ubehag eller stress hvis de ikke mestret oppgavene. Jeg ga også støtte underveis i intervjuet, i form av bekreftende svar, som «mhm» og «ja». I tillegg viste jeg interesse for det de sa, og oppfordret til utdyping av svar. Dette for at informantene skulle si alt de tenkte, uten å føle at det var «dumt» eller «feil». Hvert av intervjuene ble avsluttet med en samtale om hva informantene syntes om oppgavene, og hvordan de opplevde intervjusituasjonen. Forskningsprosjektet mitt inneholder innhenting av persondata, i form av videoopptak av informantene, og var derfor meldepliktig til NSD. De vurderte prosjektet som godkjent, med forbehold om at jeg gjennomførte studien i tråd med kravet om informert samtykke og fulgte UiOs retningslinjer for datasikkerhet. Se vedlegg 1 for vurderingen fra NSD. 36

47 4 Resultater og analyse I dette kapitlet vil jeg presentere og analysere dataene fra de fire intervjuene. Kapitlet er delt inn i fire underkapitler ett for hvert av de fire intervjuene. På den måten er det mulig å danne seg et helhetsbilde av hvert enkelt intervju og den enkelte informant. Innad i de fire underkapitlene presenterer jeg analyse av hver av de fem oppgavene (se presentasjon av oppgavene i kapittel 3.2). I kapittel 5 diskuteres hovedfunn på tvers av intervjuene. 4.1 Intervju av Stian Jeg opplevde Stian som både trygg i situasjonen og trygg faglig. Vi hadde en lett tone med utenomfaglig prat i forkant av intervjuet, som jeg oppfattet som positivt for hvordan han opplevde intervjuet. Han arbeidet selvstendig, og var den av informantene som sjeldnest ba om bekreftelse underveis. Løsning av hver oppgave startet med at han leste oppgaven høyt og skrev ned det han fikk vite. Stian snakket relativt fritt rundt oppgavene gjennom løsningsprosessen Stians arbeid med oppgave 1 Det første Stian gjorde i møte med oppgaven, var å lese oppgaveteksten høyt. Når han leser den første betingelsen, at polynomet er av grad 3, sier han «altså at det er et tredjegradspolynom da, antar jeg». Det er tydelig at han er vant til å bruke tredjegradspolynom som begrep framfor polynom av grad 3, men han forstår likevel at de betyr det samme. For å se om uttrykkene tilfredsstiller dette kravet, ser han etter om «den er opphøyd i tre da, om polynomet er i grad tre.» Han konkluderer med at det første uttrykket, (x 3) 2 (x 5), ikke er det. Da spør jeg om han kan forklare hvorfor, og han svarer: «Fordi, eh I det første leddet, det er et andregradspolynom, og når man ganger inn det tredje Nei, da er det kanskje et tredjegrads! *kort pause* Jaaa. Så hvis man ganger inn det siste leddet så blir det et tredjegradspolynom.» Først tenker altså Stian at uttrykket må være opphøyd i tre for å være et tredjegradspolynom, men når han skal forklare hvorfor, blir han uenig med seg selv. Han innser at uttrykket får et x 3 -ledd hvis man ganger sammen parentesene. På spørsmål om hvordan han tenkte først, svarte han: «Jeg tenkte liksom ikke helt gjennom det at man ganger inn den [polynomet (x 5)] da. Jeg tenkte på dem som to forskjellige funksjoner.» 37

48 Deretter gikk han kjapt gjennom hvert av polynomene, og utelukket uttrykk nummer to, som er et sjettegradspolynom. Deretter tok han for seg den andre betingelsen, at de eneste to røttene skulle være 3 og 5. «Ehm Da er det sånn faktorisering og det der, da. Da ville jeg tenkt å bare gange dem ut egentlig.» Her ønsker han å gange ut parentesene, for deretter å faktorisere. Dette er veldig interessant, i og med at dette er omvendte operasjoner, og han allerede er gitt polynomene på faktorisert form. I etterkant tenker jeg at jeg med fordel kunne gravd dypere i dette, for eksempel ved å spørre hva han ville gjort når han hadde ganget dem ut. I stedet stilte jeg spørsmål om hva det vil si at «røttene er 3 og 5», som er et spørsmål i Goldins (2000) andre fase. Han bruker en del tenketid og virker usikker på dette, men svarer til slutt: «Det jeg tenker er liksom sånn at 15 har røtter 3 og 5, siden da kan man gange sammen 3 og 5 og få 15.» Han forklarer altså røtter 3 og 5 som primtallsfaktorene 3 og 5 i tallet 15. Det kan virke som han tenker på røtter som kvadratrøtter og n-te-røtter av tall, og prøver å tilpasse denne forståelsen til at det kan være to røtter, nemlig 3 og 5. Videre spør jeg om han har hørt om røttene til polynomer. Da svarer han nei. Jeg valgte derfor å si at røtter av polynomer rett og slett betyr nullpunkter. «Ja! Okei. Så de to eneste nullpunktene er 3 og 5. Eeh Det men. Sånn som her [(x 3) 2 (x 5)] så er det 3 og 5.» På spørsmål om hvorfor, svarer han: «Siden hvis man setter opp (x 3) = 0, får man da x = 3, og det samme med femmeren.» Her forklarer han nullpunkt ved å sette hver av faktorene lik null, og løse dem som en ligning. Det er tydelig at begrepet røtter utgjør en språklig barriere for han i denne oppgaven. Når han får oversatt dette begrepet til nullpunkt, løser han oppgaven selvstendig og feilfritt på mindre enn tjue sekunder. I etterkant av intervjuet sier Stian at denne oppgaven var den letteste å forstå av de fem oppgavene, når han først fikk hodet rundt hva røtter av polynomer var Stians arbeid med oppgave 2 Som på den første oppgaven, starter Stian løsningsprosessen ved å lese oppgaven høyt. Deretter sier han at det er lenge siden han har hatt om «denne typen funksjoner», men at han «vet at når det under brøkstreken er lik null, så er det en asymptote der og når toppen går mot uendelig, så er det en asymptote der og.» Han sier også at han ikke husker hvilken som var hvilken. Her er det tydelig at han assosierer rasjonale funksjoner med asymptoter, og prøver å aktivere tidligere kunnskap om temaet. 38

49 Deretter leser han oppgaven en gang til, og ser på de ulike alternativene for når funksjonen er negativ. «Så den er negativ Jeg ville egentlig bare puttet disse verdiene inni der da.» Han begynner å regne ut f ( 1 ) for å sjekke om den er negativ. Selv om intervallene er åpne og 3 endepunktene dermed ikke inngår i intervallene, ønsker han altså å sjekke endepunktet i det første intervallet 1, 3. Han finner at f ( 1 ) = 0, og sier at siden svaret ikke ble negativt 3 3 «vet jeg allerede at det ikke er den, tror jeg da, for vi setter inn 3 nei.» Han mener at dette svaret ekskluderer intervallet, men er tydelig usikker. Han tenker en god stund, før jeg spør han hva intervallet betyr. Da svarer han at det er snakk om alle x-ene mellom 1 og 3, bortsett fra 3 de to. Han bestemmer seg for å sjekke f(3), fordi «det kan hende det går nedover også, mellom 1 3 og 3». Dette utsagnet tyder på at grunnen til at han avviste dette alternativet som mulig løsning i starten, var at han tenkte at når x økte, økte også funksjonsverdien. Så innser han at f(x) kan synke når x går mot 3, selv om x øker. Derfor vil han regne ut f(3) også, og konkluderer med at «da er f(x) mellom 0 og 4 i det intervallet, så da er den ikke negativ for alle x mellom det». Løsningsstrategien som Stian bruker her, tar ikke hensyn til at funksjonen ikke trenger å være definert i endepunktene, eller at funksjonen kan skifte fortegn inni intervallet. Metoden med å teste endepunktene fungerer fint i «vanlige» polynomfunksjoner, der man ikke har asymptoter eller andre forbudte verdier, og man vet at funksjonen ikke skifter fortegn i intervallet. Ved neste intervall, 1, 2, støter han på problemet med at funksjonen ikke er definert i 2 endepunktet. Han velger samme fremgangsmåte, og finner at x = 1 gir null i nevneren, og at 2 funksjonen dermed er udefinert her. Han konkluderer derfor med at dette alternativet også er feil. Da spør jeg: «Er det et problem at den er udefinert der? Altså, har vi sagt at x kan være ½?» Spørsmålet jeg stiller her er svært ledende, og avbryter den frie oppgaveløsningen. Dette er et problem, fordi det styrer informanten i en gitt retning. På en annen side var også tidsbruk noe av hensikten med å stille et veiledende spørsmål på dette stadiet i oppgaven. I tillegg ga spørsmålet et interessant resultat. «Nei, det kan den ikke. Det er sant. Men daaa vet jeg ikke helt. Da burde man kanskje ta en verdi f.eks. ta 1 da, for å se om den er» Han regner ut f(1). Da spør jeg om han kan forklare hvorfor han ville sjekke akkurat denne verdien, og han svarer: «Fordi det er liksom, den neste halve etter ½ inni intervallet. Så siden man ikke kan sjekke hva ½ er, så kan man sjekke hva neste i intervallet er, da.» Spørsmålet om det var 39

50 problematisk at funksjonen ikke var definert i x = 1, førte altså til at han valgte å undersøke 2 fortegnet til en x-verdi i intervallet, nemlig 1. Han finner fort at f(1) = 0, bare ved å se på den første faktoren i telleren. Hvis alternativet skal stemme, må alle x-verdiene i intervallet gi negativ funksjonsverdi. Han utelukker derfor alternativet. Han går fram på lik måte for de resterende alternativene, ved at han sjekker ytterpunktene først. Hvis funksjonen ikke er definert i disse punktene, sjekker han en enklest mulig verdi inne i intervallet. Til slutt landet han på det siste alternativet, både fordi han fant at f(0) var negativt (og null ligger i intervallet) og pga. elimineringsmetoden, da han hadde utelukket alle de andre alternativene. Denne strategien førte fram til riktig svar, men hadde ikke fungert dersom oppgaven var åpen, altså manglet svaralternativer. Den kunne også gitt feil svar dersom et av de andre alternativene hadde negativ funksjonsverdi i endepunktene, men byttet fortegn inne i intervallet, siden han ikke tok hensyn til dette i resonneringen sin. Han viser mye forståelse for funksjonsdrøfting og notasjon, men mangler tydelig forståelse for hvordan rasjonale funksjoner oppfører seg. Etter han har løst oppgaven ferdig, spør jeg han om fortegnsskjema slo han som en mulig løsningsstrategi. Da svarte han at han var usikker på fremgangsmåten fordi han ikke har tegnet fortegnsskjema for brøkfunksjoner før, bare andre- og tredjegradspolynomer. Han forbinder altså bruk av fortegnsskjema med vanlige polynomfunksjoner, noe som gjør det vanskelig å overføre bruk av denne metoden til andre kontekster, i dette tilfellet rasjonale funksjoner Stians arbeid med oppgave 3 Stian starter oppgaveløsningen med å tegne de oppgitte asymptotene inn i et koordinatsystem og skisserer de to mulige rasjonale funksjonene (se bildet). Deretter ser han på det første alternativet, og sier «a er lik -2 og b er lik 7. Da ville jeg puttet dem inn, og testet de teknikkene jeg nevnte tidligere, med å la nevneren gå mot null og telleren gå mot uendelig.» Han velger altså igjen å bruke alternativene aktivt, framfor å løse oppgaven og sjekke svaret sitt opp mot alternativene. Måten han formulerer seg på gir inntrykk av at han husker fremgangsmåten, eller deler av den, 40

51 men at han har instrumentell forståelse for matematikken bak. Dette kan underbygges av forståelsen hans av den rasjonale funksjonen i oppgave 2. At han sier at han vil la telleren (og ikke x) gå mot uendelig for å finne den horisontale asymptoten, gir også inntrykk av at han husker en prosedyre framfor at han forstår konseptet. Etter han har satt inn a = 2 og b = 7 i funksjonsuttrykket, sier han at han vil la nevneren gå mot null og at han mener å huske at dette gir den horisontale asymptoten. På spørsmål om hvorfor han tenkte det, svarte han «Jeg husker ikke helt, jeg bare går på Det var egentlig litt gjetting.» Det at Stian angriper oppgaven ved å tegne opp hvordan han husker at funksjonene så ut, og prøver å memorere fremgangsmåten for å finne asymptotene, tyder på at han har instrumentell forståelse (Skemp, 1976; Solvang, 1992). Dette vil jeg diskutere nærmere i kapittel 5. I resten av oppgaven er Stian tydelig usikker på hvordan han skal gå fram og hvordan funksjonen oppfører seg. Jeg endte derfor mer opp i en lærerrolle enn en forskerrolle resten av oppgaven, og stilte ledende spørsmål for å veilede han mot å finne den siste asymptoten. Dette kan oppfattes som forurensning av dataene. I oppsummeringssamtalen i slutten av intervjuet sa han at han opplevde denne oppgaven som den vanskeligste. Han begrunnet dette med at «det er så lenge siden jeg har hatt om det med asymptoter og sånt, så jeg husker ingenting av det.» Han presenterer altså det at han ikke har lært om dette temaet siden han hadde R1 som en viktig årsak til at han ikke mestrer oppgaven. Mer om dette i kapittel Stians arbeid med oppgave 4 Oppgave 4 handler om å manipulere et algebraisk uttrykk, 1 x y, og gjenkjenne det som et av de fem svaralternativene. Det første Stian gjør er å lese oppgaven høyt og si at han ikke kan huske å ha vært borti en slik oppgave før. Deretter velger han å «skrive opp all informasjonen jeg får, da. Og håpe at noe plutselig faller inn.» Han forklarer at dette er en strategi han ofte bruker når han er usikker på hvordan han skal løse en oppgave. Etter noe tenketid, sier han at svaralternativ D, 1 x 1 y, ikke kan stemme når x og y er ulike. Når jeg spør hvorfor, svarer han at «hvis man skal trekke 1 3 fra 1 2, ikke sant, da går ikke det, siden de ikke er like.» Han angriper altså oppgaven ved å sette inn tall i et av alternativene og se at sammenhengen ikke gir mening ut fra betingelsene. Han argumenterer med at når man trekker brøker fra hverandre, trekker man ikke nevnerne fra hverandre. Det er interessant at argumentet hans for at det ikke 41

52 stemmer er at x og y ikke er like. Dersom x og y er like, vil det ene uttrykket bli null og det andre gå mot uendelig. Etter han har eliminert alternativ D, tar han for seg alternativ B og sier at «her ser det litt ut som om man har ganget oppe og nede, da.» Han ser at alternativet har x y i telleren, og ønsker derfor å utvide brøken med denne faktoren. Deretter prøver han å regne det ut, og blir uenig med seg selv. «Jeg ser nå at det jeg tenkte ikke funker helt, siden jeg tenkte at man ganger med kvadratroten av x minus kvadratroten av y [ ] så (x 2 x y + y) ville det egentlig blitt under, med den teknikken jeg brukte. [ ] Jeg tenkte helt feil, siden jeg bare så etter det svaret der, da.» Det er tydelig at han først tenker at kvadratet av faktoren han utvider med blir (x y), før han prøver å gange det ut og innser at han må bruke andre kvadratsetning. Det er interessant at «intuisjonen» hans sier at ( x y) 2 = x y, og at han må skrive det ned og regne det ut for å innse at det andre kvadratsetning gir et annet resultat. Dette vil jeg diskutere nærmere i kapittel Etter Stian har eliminert alternativ B, sier jeg «Okei, nå har du prøvd med andre kvadratsetning. Er det noe annet du kan prøve, da?» Dette var et ledende og uheldig spørsmål, som gjorde at jeg ikke vet om han hadde kommet fram til bruk av konjugatsetningen på egen hånd. Han svarer «Jeg kan prøve å Ja, for hvis jeg ser på den [alternativ A], så kan jeg gange med x + y. Siden da får jeg konjugatsetningen under.» Deretter kommer han fram til at uttrykket kan skrives som uttrykket i alternativ A Stians arbeid med oppgave 5 På den siste oppgaven velger Stian raskt å sette de to funksjonene lik hverandre, å løse som en ligning med tanke på x. Han velger altså å løse oppgaven algebraisk. På spørsmål om hvorfor han gjør dette, svarer han at det er x-verdiene der funksjonene er like han skal finne. I tillegg sier han at «siden vi ikke vet hva a er, så kommer vi liksom til å få et litt sånn abstrakt svar.» Dette er en interessant måte å forholde seg til den ukjente konstanten a på. Han sier at svaret kommer til å bli abstrakt, men velger likevel samme løsningsstrategi som han ville valgt om parameteren ikke var der. Han blir med andre ord ikke forvirret av a-en, som flere av de andre informantene blir. 42

53 Når han løser ligningen, velger han å dele på 10 6 på begge sider, samt dele på x. Han får løsningen x = a, og kommenterer han tvert at han mangler en løsning. «Det står at det er to x-verdier. Men nå har jeg jo bare én.» Her verifiserer han svaret sitt på en selvstendig måte (Polya, 2004). Videre tenker han at dette kanskje kan skyldes en regnefeil, eller at han «må gjøre noe mer med a-en, kanskje. Siden hvis jeg bare sjekker hva som skjer hvis man setter a som null. Da blir x = 0. Og det er det egentlig.» Han sjekker også med a = 1 og a = 1, men kommer ikke særlig videre i prosessen. Han ønsker altså å sette inn tallverdier for parameteren for å se hva som skjer med x. Kanskje har dette sammenheng med at han er vant til at bokstaver bruker som variabler i funksjonsuttrykk, ikke konstanter, og at det derfor føles naturlig å velge ulike verdier for den ukjente parameteren. Dette funnet diskuterer jeg nærmere i kapittel Avslutningsvis spør jeg om han har noen tanker om hvorfor han ikke fikk begge løsningene da han regnet det ut. Han er usikker, men trekker fram at «hvis jeg fikk sånn, at x 2 er lik et-ellerannet og må ta kvadratroten av det, så får jeg to løsninger. Eller hvis jeg må ta abc-formelen. Men her så løste jeg jo det bare som en standard ligning. Ehm, det har kanskje noe med a-en å gjøre da at jeg ikke vet hva den er, for eksempel.» Det er veldig interessant at han trekker fram kvadratrot og abc-formelen som mulige løsningsstrategier av andregradsligninger, men ikke faktorisering og bruk av at en av faktorene må være null når produktet av dem er 0. Det er tydelig at han ikke er like vant til å løse andregradsligninger uten koeffisient-ledd. Han ser heller ikke et problem i at han delte på x i ligningen, og dermed mister en løsning. Han har i tidligere oppgaver vist kunnskap om at nevneren i en brøk ikke kan bli null, men viser ikke den samme forståelsen «motsatt vei», ved at man må unngå å dele på 0 i en ligning. Dette vil jeg diskutere nærmere i kapittel Intervju av Fredrik Fredrik ga inntrykk av å være faglig sterk og han viste godt matematisk språk og god kommunikasjonsevne. Han virket likevel ganske nervøs, og ble lett stresset dersom han ikke var sikker på hvordan han skulle angripe oppgaven. Dette kom også til utrykk gjennom at han kunne bli tydelig oppgitt over seg selv, og ikke fant helt «roen» på de oppgavene han slet med. Jeg prøvde å bidra med støtte og bekreftelse, og opplevde han som tryggere utover i intervjuet. 43

54 Når han først kom i gang med oppgavene, hadde han gode og spennende resonnementer og forklarte på en sånn måte at det var lett å følge tankerekken hans Fredriks arbeid med oppgave 1 Fredrik starter med å lese oppgaveteksten høyt, og blir usikker når han leser den første betingelsen om at polynomet skal være av grad 3: «Av grad 3. Eeeh Er det bare at det er opphøyd i tredje? Jeg husker ikke hva det betyr, jeg. [ ] Polynomet er av grad 3. Jeg kan ikke huske å ha hørt det før.» Han er tydelig usikker på formuleringen «av grad 3», og søker hjelp og bekreftelse fra meg til å forstå hva oppgaven spør om. Han kommer inn på at det kan bety at den er opphøyd i tredje. Da det ikke kommer tydelig fram hva han mener med den, om han mener en av faktorene, som f.eks. er tilfelle i uttrykket på linje to, eller om han mener at et av leddene i uttrykket når faktorene er ganget ut, spør jeg han hva han mener er opphøyd i tredje. Da svarer han «Hele greia. At når du ganger de sammen så er de opphøyd i tredje, eller, hele alle faktorene sammen.» Denne forklaringen tyder på at han, helt korrekt, tenker at polynomet er av grad 3 dersom han får et ledd «opphøyd i tredje» når han ganger faktorene sammen. At han likevel sliter med å formulere tankene sine presist og virker usikker, kan også komme av at han ikke er vant til å uttrykke seg muntlig om dette temaet, og at han sliter med å finne ord for det han tenker. Det neste som skjer i samtalen underbygger dette. Han står fortsatt fast, så jeg spør om han kan komme med et eksempel på et polynom han tenker er av grad 3, uavhengig av uttrykkene i oppgaven. Da mumler han «polynom» med en nervøs latter. Det virker som måten jeg stiller spørsmålet med bruk av fagbegrep er uvant, og at han blir usikker på hva jeg mener. Kanskje hadde det vært lettere om jeg sa «uttrykk» eller til og med «funksjon», da disse begrepene muligens er mer familiære. Han svarer at «Når jeg tenker på det, tenker jeg på liksom (4x 3 + 2x 2 x) *skriver uttrykket* Da tenker jeg på et tredjegradspolynom.» Her gir han et eksempel på et polynom av grad 3, og gjør selv oversettelsen fra «polynom av grad 3» til «tredjegradspolynom». Det er tydelig at Fredrik har den matematiske forståelsen for hva et tredjegradspolynom er, men at «polynom av grad 3» er en uvant formulering. Når han har forstått sammenhengen mellom «tredjegradspolynom» og «polynom av grad 3», tar han for seg den andre betingelsen, om at polynomet skal ha røtter 3 og 5. Han blir sittende å tenke en stund, så jeg spør om han kan forklare hva han tenker at «røttene» betyr. Da svarer 44

55 han: «Det er vel kvadratroten da. At når du tar kvadratroten av polynomet så blir det 3 og 5.» Samtalen fortsetter slik: «Ja. For du er vant til at røtter betyr kvadratrøtter. Har du hørt om røttene til et polynom, da?» «Eh, ikke som jeg kan huske.» I likhet med Stian, tenker Fredrik umiddelbart på kvadratrøtter når han ser begrepet røtter, og har ikke kjennskap til røtter av polynomer. Jeg velger derfor å forklare at røtter betyr nullpunkter. Da setter han tvert i gang med oppgaven, og forklarer hvordan han tenker: «Okei. Okei. På den første så tror jeg det er et tredjegradspolynom, fordi du skal gange en x med en annen x tre ganger. Fordi vi har først i annen her [(x 3) 2 ], med andre kvadratsetning, også ganger vi det uttrykket vi får der med (x 5), som gjør at vi får i hvert fall én x som er i tredje. Så da blir det et tredjegradspolynom. Og jeg tror også at nullpunktene er 3 og 5, fordi hvis du setter inn 3 i den første så blir det null, og hvis du setter inn 5 i den andre så blir det også null. Så jeg tror at den første her tilfredsstiller begge betingelsene.» Han resonnerer tilsvarende på de andre polynomene, og kommer raskt fram til riktig løsning. Når han har forstått oppgaveteksten, løser han altså oppgaven både selvstendig og knirkefritt. Han viser også god evne til å kommunisere matematisk i forklaringen sin, blant annet når han forklarer at han får et x 2 -ledd som følge av andre kvadratsetning. Det er interessant at han er såpass trygg i forklaringen sin, når det var en språklig barriere som gjorde han usikker i utgangspunktet. Dette indikerer at han har god kontroll på det faglige rundt denne oppgaven, til tross for forvirringen rundt oppgaveformuleringen. I samtale i etterkant av intervjuet, sier han at han syntes denne oppgaven var grei å løse, men «forvirrende skrevet.» Dette diskuterer jeg nærmere i kapittel Fredriks arbeid med oppgave 2 Etter å ha lest oppgaven, slår Fredrik fast at han skal finne et intervall. Deretter tenker han høyt på hvordan han skal gå frem for å løse oppgaven, og er innom endel ulike løsningsmetoder: «Kanskje man skal forkorte den funksjonen da. Hvis det er mulig. Eller putte inn verdier. Eller finne nullpunkt, eller et eller annet. *pause* Kan jeg forkorte den?» Da spør jeg om han kan forklare hvorfor han vil forkorte den. «Jeg vet ikke, det er jo fire ledd og litt sånn forskjellig. Kanskje man kunne. Det er jo ikke ledd, det er jo faktorer. Så man kan jo bare stryke rett av hvis man har noe å stryke. Men Derivering kanskje. *leser oppgaven igjen* De er jo bare faktorer, man kan jo gange dem sammen. Kanskje det blir lettere? At eller nei. Da blir det sånn annengradsopplegg.» Fredrik får veldig mange idéer til fremgangsmåte i møte med denne oppgaven, og nevner både å forkorte, sette inn verdier, finne nullpunkt og derivere. Han virker mest interessert i å forkorte brøken, og det virker som grunnen er at han vil «kvitte seg» med 45

56 noen av faktorene fordi han ikke liker at det er fire av dem. Kanskje gjelder dette spesielt faktorene i nevneren, hvis han er mer trygg på å drøfte polynomfunksjoner enn rasjonale funksjoner. Når han ikke ser noen måte å forkorte den på, tenker han heller på derivasjon. Det er interessant at han legger fra seg de to andre strategiene han nevner, å putte inn verdier eller finne nullpunkt, da disse strategiene kunne vært gode og kreative løsningsstrategier på denne oppgaven. Jeg oppfordrer han videre til å forklare hvordan han tenker, og han sier at derivasjon og det å finne fortegnslinje, er det han tenker på når han ser på oppgaven. Han assosierer altså oppgaven med funksjonsdrøfting, og kobler derfor sammen oppgavekonteksten med det å lage fortegnslinje for den deriverte funksjonen. Dette vil jeg diskutere nærmere i kapittel Han fortsetter å tenke høyt: «Jeg husker ikke helt hvordan man tegner fortegnslinje. Jo, fordi da finner man nei, vi har jo allerede jaja! De [faktorene] er jo sånn klar! For når man skal lage fortegnslinje, så skal jo faktorisere den. Ja, nå husker jeg det.» Her innser han at uttrykket er på faktorisert form, så den første prosessen han er vant til å gjøre i slike oppgaver allerede er «gjort». Han uttrykker dette ved å si at faktorene er klare. Deretter fortsetter han å resonnere, og opplever en interessant kognitiv konflikt. «Men ja, vi skal jo ikke ha den deriverte Vi skal jo ikke ha for- jojo, for det er Nei, det er når den stiger og synker. Vi trenger kanskje ikke å derivere den i det hele tatt, vi skal bare tegne fortegnslinje, kanskje!» Her aktiverer han kunnskap om hva den deriverte funksjonen forteller, nemlig endringen i funksjonen, og innser at det ikke er det han er ute etter. Han går altså bort fra sin opprinnelige kobling mellom konteksten og derivasjon som metode, og velger fortegnslinje som løsningsstrategi. Han tegner fortegnsskjemaet uten særlige utfordringer og velger riktig alternativ på oppgaven Fredriks arbeid med oppgave 3 I møte med oppgave 3, starter Fredrik med å tegne et koordinatsystem og skissere inn de to asymptotene han har fått oppgitt. Samtidig forteller han det han vet om slike funksjoner: «Asymptoter er på en måte et bruddpunkt, der funksjonen ikke er definert. Så det er sånn, grafen går tilnærmet lik asymptoten, men den kommer aldri til asymptoten. Fordi det er delt på null eller noe sånt. *skisserer de to mulige funksjonene* Det er liksom det jeg husker, at grafene går i sånne buer også tangerer de nesten asymptoten, men de kommer aldri helt bort til den.» Når han forklarer hva han gjør på denne oppgaven, snakker han på en annen måte enn på de andre oppgavene. Han snakker om hva han husker og sier at asymptotene kommer av at man 46

57 deler på null eller noe sånt. Han distanserer seg selv og sin forståelse fra forklaringen, i kontrast til i de andre oppgavene, der han i større grad var med i de faglige forklaringene. Videre forklarer han at han husker deler av fremgangsmåten, blant annet «at en av dem skulle bli lik pluss minus uendelig eller noe sånt», men at han ikke husker hele. At han snakker om hva han husker av fremgangsmåten, men sliter med å koble det til egen forståelse, vitner om at han har en instrumentell forståelse for rasjonale funksjoner (Skemp, 1976; Solvang, 1992). I samsvar med funnet til Pedersen (2014), kan det også skyldes at rasjonale funksjoner er pensum tidlig i R1 og ikke jobbes videre med i R2. Dette vil diskuteres videre i kapittel Utover i oppgaven prøver jeg å stille heuristiske spørsmål, som for eksempel hva det kan komme av at funksjonen har «forbudte verdier». Likevel sliter han med å få hodet rundt oppgaven, og virker stresset og oppgitt når han ikke husker hvordan han skal løse den. Resten av oppgaven gir jeg såpass mye faglig støtte, at det ikke forteller så mye om informantens forståelse. Vi blir enige om å gå videre til neste oppgave, og heller komme tilbake til denne oppgaven på slutten, for å ikke bruke for mye tid og krefter på den. Når vi snakker om oppgaven etter intervjuet, beskriver han den slik: «Den var litt vanskelig. Jeg har bare et vagt minne om at jeg sitter og skriver lim x. Hvis jeg hadde husket hvordan det funket, så tror jeg den hadde vært veldig lett. Men ja, det var kanskje den som var vanskeligst.» Her løfter han fram denne oppgaven som den vanskeligste, basert på at han ikke husket noe særlig av fremgangsmåten, men poengterer at han tror den ville vært lett om han hadde kunnskapen friskt i minne Fredriks arbeid med oppgave 4 Fredrik leser oppgaveteksten til oppgave 4, og ser gjennom alternativene. Han stopper på alternativ D og sier: «Det er vel det samme som den her. Fordi det har ikke noe å si Nei. Fellesnevner.» Han får altså først lyst til å svare at 1 = 1 1, men underveis i x y x y resonnementet blir han uenig med seg selv og innser at man må ha fellesnevner for å subtrahere brøk. På spørsmål om han kan forklare nærmere hva han tenker, svarer han at han «pleier alltid å bare prøve på slike oppgaver.» Han velger altså innsetting av tall for x og y som metode for å eliminere alternativer, fordi han vet at uttrykkene skal være like for alle positive verdier for x og y. Han velger x til å være 25 og y til å være 9, og sjekker om han får det samme svaret når han setter inn tallene i de to uttrykkene. Svarene blir forskjellige, og han eliminerer alternativ D. 47

58 Deretter tar han for seg alternativ C: 1 x y, og har et interessant resonnement for hvorfor dette uttrykket ikke kan være riktig: «C går jo ikke. Tror jeg. Fordi tall de vokser jo litt annerledes når det er kvadratrot, det er ikke bare Det er ikke sånn at begge to er ganget med 2, også bare tar du vekk ganget med 2. For 1 delt på 5-9 er ikke det samme som 1 delt på Det er jo helt forskjellig.» Her viser han til at operasjonen å ta kvadratrot vil endre tallet såpass mye, at det umulig kan stemme at disse uttrykkene er like. Samtidig virker det som han tenker det hadde vært annerledes om de ukjente var ganget med en konstant i stedet, fordi da kunne man «fjernet» konstanten. Dette kan komme av at man ofte «fjerner» faktorer i brøkuttrykk når man forkorter brøken, og at han tenker at det kunne blitt gjort her også. Han avslutter resonnementet med samme fremgangsmåte som tidligere, ved å putte inn tall og se at svarene blir ulike. Det er interessant at han velger å ta for seg alternativ C og D først, og dermed styre unna de tre alternativene som har et uttrykk både i teller og nevner, og dermed ser mer komplisert ut. Dette kan tyde på at han synes det er lettere å «se for seg» disse uttrykkene, og hvordan de vil oppføre seg for ulike x og y, sammenlignet med det opprinnelige uttrykket. Når x-ene og y-ene opptrer i både teller og nevner, er det nok vanskeligere å sammenligne uttrykkene ved hjelp av intuisjonen. Etter en liten tenkepause, kommer han plutselig med et resonnement som ender i riktig løsning på oppgaven: «Hvis vi ganger hele sulamitten med roten av x minus, ja, pluss roten av Ja, jeg tror det er A. Fordi hvis du ganger Er ikke det konjugatsetningen hvis du tar det her [uttrykket i oppgaveteksten] og ganger det med x + y, så får vi bare Den ganges med den og den ganges med den og de andre forsvinner, for når vi ganger de sammen så blir det en som er pluss og en som er minus. Så da får vi x minus y. Så jeg tror det er A.» Løsningsstrategien Fredrik brukte for å komme fram til svaret var rett og slett å studere alternativene og innse at bruk av konjugatsetningen resulterte i alternativ A. På spørsmål om hvordan han tenkte, svarte han at bare plutselig innså det: «Jeg føler det er veldig mange sånne oppgaver som plutselig har konjugatsetningen. Den er overalt. Jeg vet ikke, jeg bare så det.» I slutten av intervjuet sier han også at han syntes denne oppgaven var den letteste, fordi det var den eneste han fikk til helt uten støtte fra meg. Det er interessant at han mener man ofte er nødt til å «se» konjugatsetningen i oppgaver, når TIMSS-rapporten fra 2015 peker på at en av utfordringene med denne oppgaven trolig er at det er relativt uvanlig at norske elever må bruke konjugatsetningen på slike utrykk (Grønmo & Hole, 2017, s. 120). 48

59 4.2.5 Fredriks arbeid med oppgave 5 Fredrik kommer raskt i gang med den siste oppgaven, ved å sette de to uttrykkene lik hverandre som en ligning. Deretter sier han at han vil gange med 10 i sjette på begge sider for å bli kvitt nevneren, men stopper seg selv og sier «Nei, nå får jeg en sånn kjip en.» Jeg spør hva han syns er kjipt, og han utdyper: «Jeg vet ikke, at det er a og x. Men a er en konstant, så det er kanskje ikke så farlig. Den skal ikke være null. Eh, så den kan vi bare bruke som vi vil. Sikkert. For at det skal bli likt.» Det er tydelig at Fredrik ikke liker at han har to ukjente bokstaver i ligningen sin, både a og x. Selv om han sier at a er en konstant, tenker han at han kan «bruke den», i form av å endre den til den verdien han ønsker. Måten han snakker om parameteren på, gjør at det høres mer ut som han tenker på den som en variabel enn en konstant. Videre velger han å gange med 10 6 og dele på x på begge sider av likhetstegnet, og får x = a. Likevel er han ikke helt fortrolig med dette svaret: «Ja, da har jeg x. Men det føltes jo litt feil. Finn de to x-verdiene der grafene til Herregud.» Her verifiserer han automatisk svaret sitt, og ser at han ikke har fått de to løsningene han skulle. Han er tydelig også fortsatt fortvilet over hvor «kjipt» svaret han har fått er, med tanke på den ukjente konstanten. Jeg ber han utdype hvorfor han følte at svaret var feil. «Nei, jeg vet ikke, det var skikkelig kjipt svar. 10 i tolvte a, liksom. Hva slags svar Skal jeg bare skrive 10 i tolvte a her, liksom? Det er jo ikke noe spesifikt jeg har jo ikke funnet noen verdi for a.» Det er tydelig at han ikke anser svaret sitt som godt nok, og vil finne en tallverdi for parameteren a. Dette er veldig interessant, og kan komme av at han ikke er vant til denne typen oppgaver, der konstanter oppgis som ukjente parametere. Dersom han bare har erfaring med bruk av bokstaver i matematikken som variabler i en funksjon eller ukjente i en ligning, er det ikke så unaturlig at han ønsker å finne en verdi for a. Dette vil diskuteres nærmere i kapittel Han fortsetter verifiseringen av svaret sitt: «Også har jo bare fått én! Det er jo ikke to. Så det jeg umiddelbart tenker er at jeg har lyst til herfra [leddet før han deler på x i ligninga] å flytte den over, og så ta abc-formelen. Men så kjenner jeg at jeg egentlig ikke har lyst til det heller det var veldig høye tall.» Han ser altså at han mangler en løsning, og vil derfor endre løsningsstrategi i ligninga til å bruke abc-formelen for andregradsligninger. Dette begrunner han videre med at han føler man nesten alltid får to løsninger med bruk av abc-formelen. Jeg oppfordrer han til å prøve, til tross for de høye tallene. Før han setter i gang, reflekterer han over om denne metoden gir mening å bruke: «Hvis vi tar abc-formelen så får vi at c = 0. Da 49

60 blir det kvadratroten av null, blir det ikke det, da? Neinei, for det» Han skriver opp den generelle formelen og blir enig med seg selv om at han verken får kvadratroten av null eller deler på null. Dermed setter han i gang, og får de to løsningene. Med en gang han får løsningen x = 0, går han tilbake til uttrykkene og ser at dette stemmer, altså at han får null som funksjonsverdi i begge når han setter inn null for x. Fredrik verifiserer egen fremgangsmåte og løsning gjennomgående i arbeid med denne oppgaven, som vitner om god problemløsningskompetanse (Polya, 2004; Schoenfeld, 1987). Dette vil diskuteres nærmere i kapittel Intervju av Emma Emma har godt humør og oppleves trygg i intervjusituasjonen. Hun virker noe utrygg faglig, og søker mye bekreftelse fra meg på om hun tenker riktig i møte med oppgavene. Hun snakker fritt, men har noen ganger vanskelig for å sette ord på hva hun tenker matematisk. I samtale etter intervjuet sier hun at hun merker at det er lenge siden hun har jobbet med algebra, og at det var fint å få en oppfriskning Emmas arbeid med oppgave 1 Det første Emma gjør etter å ha lest oppgaven, er å spørre meg hva som menes med røtter. Jeg spør om hun har noen tanker selv, og hun peker på faktorene i den første linja, (x 3) og (x 5), og lurer på om det kan ha noe med disse å gjøre. Jeg svarer bekreftende på dette. Hun sier at hun, i likhet med de andre informantene, tenker på kvadrøtter når hun ser ordet røtter. Jeg sier at her er det snakk om røtter til polynomer, og spør om hun kan forklare hva polynomer er. «Er det ikke sånn Dette her, holdt jeg på å si *peker på uttrykkene* Det er når den er opphøyd i tre, er det ikke det? Eller er det [ ] For andregradsligning vil den være liksom sånn *tegner en parabel i lufta*, mens med parabel vil den være sånn *tegner tredjegradsfunksjon i lufta*. At at. Hvordan si dette? At vi har liksom x 3 + bortover, liksom. Da har du en tredjegradsligning.» Denne forklaringen av hva et tredjegradspolynom er, viser at hun mangler matematisk språk for å forklare hva hun tenker. Hun sier blant annet parabel når hun mener grafen til en tredjegradsfunksjon og tredjegradsligning om et tredjegradspolynom. Det er tydelig at hun forstår hva et tredjegradspolynom er, fordi hun peker på de riktige uttrykkene i oppgaven og gir et eksempel på et x 3 -ledd, men hun sliter med å 50

61 uttrykke det hun tenker matematisk. Et annet eksempel på dette er at hun sier at uttrykket (x 5) 2 er «ganget med to», framfor ganget med seg selv, eller opphøyd i to. Jeg velger også i dette intervjuet å forklare at røtter betyr nullpunkt. Da løser hun oppgaven korrekt, men søker bekreftelse fra meg på om hun tenker riktig. Hun sier for eksempel «Her vil den jo være minus [(x + 3) 2 (x + 5)]. Er det nei her? [ ] Vi har jo ikke hvis vi putter inn 3 her [(x 5) 2 ] så vil det ikke bli et nullpunkt. Stemmer det?» Dette kan komme av noe faglig usikkerhet, men det kan også komme av at det falt henne naturlig å opprettholde en samtale med meg, framfor å føre monolog. Det er ikke usannsynlig at hun ikke er vant til å snakke matematikk og sette ord på det hun tenker. Kanskje utspiller det meste av den faglige kommunikasjonen i matematikkundervisningen seg gjennom skriftlige oppgavesvar eller mer uformell muntlig deltagelse i timene. Hovedutfordringen med denne oppgaven lå nok i begrepet røtter for Emma, som for de andre informantene. I slutten av intervjuet sier hun at denne oppgaven var grei «når hun først fikk alle ordene på plass.» Emmas arbeid med oppgave 2 Det første Emma sier etter hun har lest oppgaveteksten, er: «Oi. Okei. Burde jeg først derivere den da, kanskje. Eller?» Den første løsningsstrategien hun tenker på er altså derivering av funksjonen. Dette kan komme av at hun assosierer denne typen oppgaver med drøfting av den deriverte funksjonen, altså at hun kobler konteksten med derivasjon som metode. Dette diskuteres nærmere i kapittel Jeg spør hva hun finner når hun deriverer, og hun svarer at hun finner «funksjonen for stigningene. Hvor den stiger og synker. [ ] Og hvis man da bruker det for å lage en fortegnslinje, så kan man se hvor den *pause* Negativ! Åja, hm» Her forklarer hun hva hun vil gjøre med den deriverte funksjonen, men stopper opp når hun innser at hun ikke skal finne endring av funksjonen, men når funksjonen er negativ. Hun virker likevel usikker på hva hun skal gjøre, og spør til slutt «Så jeg skal finne når f derivert er negativ?» Da leser jeg starten av oppgaveteksten, og hun stopper meg når jeg kommer til definert ved: «Ja, definert! Hvorfor snakker jeg om derivasjon?!» Her viser det seg at i tillegg til at hun kobler inn derivasjon som metode på grunn av oppgaven, opplever hun en språklig misforståelse knyttet til ordene definert og derivert. 51

62 Emma går bort fra tanken om derivasjon, og ønsker heller å finne når funksjonen er null, for deretter å finne når den er negativ. Hun sier først av funksjonen er null når hver faktor er null, men legger fort til at det ikke kan bli null under brøkstreken, fordi man ikke kan dele på null. Hun regner ut at funksjonen vil være null for x = 1 og x = 1. Deretter sier hun: «Burde jeg da 3 kanskje lage en fortegnslinje? Jeg vet ikke.» Jeg bekrefter at det kan være en god idé. Deretter begynner hun å tegne fortegnslinja (se bildet), men stopper opp og spør: «Jeg skal ta med disse her også, ikke sant?» og sikter til faktorene under brøkstreken. Jeg prøver å ikke bekrefte, men ber henne forklare hvorfor hun eventuelt vil ta dem med. «Fordi, det er jo viktig å se om for eksempel om det er negativt her da [peker på (2x 1)], så vil jo det gjøre om på den.» Hun forklarer at om faktorene i nevneren endrer fortegn, vil det påvirke fortegnet til hele funksjonen. Deretter lager hun fortegnslinja selvstendig og effektivt, og finner linjene ved å teste for enkle verdier. Hun får de to riktige intervallene, 1, 1 og 1, 2, og krysser av for alternativ E Emmas arbeid med oppgave 3 Arbeidet med denne oppgaven bærer mye preg av at jeg gir hjelp og veiledende spørsmål, og jeg går i større grad inn i en lærerrolle enn en forskerrolle. Hun kommer fram til begge løsningene, men med mye støtte fra min side. Dette er uheldig, og gjør at dataene fra denne oppgaven ikke er så veldig relevante for å besvare min problemstilling. Noe av grunnen til at dette skjer, er at Emma tidlig gir uttrykk for at hun ikke husker noe særlig fra dette temaet, og dermed ikke velger en løsningsstrategi for å angripe oppgaven. Hun sier at hun ikke husker hva asymptoter er, så jeg spør om det hjelper om jeg sier vertikal og horisontal asymptote. Da ringer det tydelig en bjelle: «Åja, ja det er sånn når grafene liksom, ikke krysser over liksom. Eller sånn, de holder seg innenfor, holdt jeg på å si.» Deretter tegner hun et koordinatsystem med de to asymptotene, og skisserer de to mulige funksjonene. At jeg nevner de to begrepene horisontal og vertikal, vekker tydeligvis kunnskap hos Emma om hvordan de rasjonale funksjonene ser ut grafisk. 52

63 Når hun har tegnet ferdig, sier hun: «Og for å regne ut det. Jeg tror den ene var at man skulle sette den der [nevneren] lik null. Stemmer det? [ ] For da finner man jo. Det var jo sånn at man ikke kan dele på null. Da finner man liksom der hvor det ikke går da, holdt jeg på å si.» Her begrunner hun på en god måte hvorfor man får den vertikale asymptoten når nevneren blir null. Det som er interessant er måten hun snakker på, at hun konsekvent sier «man» i stedet for «jeg» når hun beskrives hva som skal gjøres i oppgaven, og at hun sier «det var sånn at» i stedet for «det er sånn at». Det virker som hun prøver å huske en fremgangsmåte framfor å forstå konteksten, og dermed distanserer seg fra matematikken i oppgaven. Hun har fokus på hva som skal gjøres, og knytter ikke sin egen forståelse opp mot det hun sier. Denne måten å snakke på er gjennomgående på denne oppgaven, og skiller seg fra hvordan hun snakker på de andre oppgavene. Et annet eksempel kommer litt senere, når hun skal finne den horisontale asymptoten: «Også var det jo sånn, var det ikke sånn at man skulle ha ax, eller var det Var det noe sånt noe? [ ] Jeg husker ikke helt hvorfor, nei.» Her prøver hun igjen å huske en fremgangsmåte, men kobler ikke inn egen forståelse. Dette kan vitne om at hun har en instrumentell forståelse for asymptoter for rasjonale funksjoner, da denne typen forståelse er forbundet med å huske fremgangsmåter framfor å utvikle forståelse for matematikken som ligger bak (Skemp, 1976; Solvang, 1992). Funnet diskuteres nærmere i kapittel x Emmas arbeid med oppgave 4 Emma leser oppgaven, og blir sittende å tenke en stund. Jeg spør derfor «Hva er det første du tenker når du ser denne oppgaven?», som er et spørsmål i Goldins (2000) første fase. Da svarer hun at hun ikke har peiling. Videre spør hun «Er det hvordan man skal gjøre om på dem, liksom? Eller - jeg skjønner ikke helt oppgaven.» Det kan virke som hun ikke er vant til denne typen oppgaver. Hun er inne på at uttrykket er gjort om på, men blir usikker på hva hun skal finne ut. Jeg ønsker å gi henne noe støtte uten å ødelegge for den frie oppgaveløsningen, så jeg velger å gjenta oppgaven, altså si at det opprinnelige uttrykket skal være likt et av de fem alternativene. Etter litt betenkningstid sier hun at «det kan se ut som man liksom har ganga den der [nevneren] over brøkstreken. [ ] For det går jo an å gange hele den her opp, som gjør at vi får x y i nevneren og x y over. Der [alternativ A] står det pluss, så det er vel ikke riktig da. Men den der [alternativ B]. Ja, den.» Her finner hun altså igjen nevneren i det opprinnelige uttrykket sitt i alternativene, og tenker derfor at man har ganget med denne samme faktoren i teller og nevner. Hun resonnerer seg selvstendig fram til et svar, nemlig alternativ B, 53

64 men trekker den feilaktige konklusjonen at ( x y) 2 = x y. Dette kan vitne om at hun mangler forståelse for kvadratsetningene og bruk av distributive lover ved multiplikasjon av parantesuttrykk. Dette funnet vil diskuteres i kapittel Etter hun har valgt alternativ B, spør jeg om hun kan vise meg utregningen, slik at jeg får se hvordan hun tenker. Når hun kommer til nevneren, opplever hun en kognitiv konflikt: «Åja, men her blir det jo Ah! Det der er jo *regner ut for andre kvadratsetning* Men nå vet jeg ikke!» Når hun regner ut uttrykket, oppdager hun altså at hun må bruke andre kvadratsetning, og at hun ender opp med et tredje ledd i nevneren. Hun blir sittende å tenke en stund. Jeg støtter ved å spørre om hun husker hva det hun fikk i nevneren heter. I ettertid tenker jeg at jeg ikke burde spurt om dette, fordi jeg tror hun ville kommet inn på riktig spor på egenhånd. Men hun svarer «Det er jo de ulike setningene. Du har konjugatsetningen, også har du kvadratsetningene.» Etter en liten pause, sier hun: «Ah! Hvis man plusser! Eller tar. Jeg vet ikke, går det? Fordi da blir det jo rota av x pluss rota av y. For det er jo konjugatsetningen, og da vil det bli x minus y. Stemmer det?» Her er det tydelig at Emma plutselig «ser» konjugatsetningen, og velger å gange med riktig faktor. Det er usikkert om hun innså det fordi jeg fikk henne til å snakke om kvadratsetningene. Også her søker hun bekreftelse underveis i resonnementet. Hun virker likevel ikke særlig usikker, for hun venter ikke på bekreftelse fra meg før hun går videre i tankerekken. Hun velger til slutt alternativ A, som er riktig svar Emmas arbeid med oppgave 5 Emma velger fort en algebraisk løsning på oppgave 5, ved å sette funksjonene lik hverandre. Hun viser god forståelse for hva oppgaven spør etter, men blir forvirret av den ukjente konstanten: «Okei. De to skal skjære hverandre. Det vil si at de skal være like hverandre, holdt jeg på å si. Men så er det den der a, da. Fordi det hadde vært mye enklere hvis det bare hadde vært 1 i stedet. Hm... [ ] Går det ikke an sånn? *setter funksjonene lik hverandre* Og den der [a-en] skal ikke være null. Og vi skal finne de to x-verdiene vi skal finne x. Er det, skal jeg bare prøve å regne det ut? Men det går jo ikke, fordi vi vet ikke a.» Her er det tydelig at Emma ser at løsningen hun vil få inneholder den ukjente konstanten. Det kan virke som hun tenker at hun har én ligning med to ukjente, og dermed sier at den ikke kan løses. Jeg prøver å avmystifisere parameteren a ved å si at hun vet at den er en konstant, altså et tall, og oppmuntrer henne til å gjøre som hun hadde tenkt. Da løser hun ligningen ved å multiplisere med 10 6 og 54

65 dele på x på begge sider, og får løsningen x = a. Hun virker tydelig forvirret over dette svaret, og søker bekreftelse på om det er riktig: «Er det bare det som er svaret?» Jeg bekrefter at hun har riktig svar, og spør hvorfor hun tviler på det selv. «Jeg vet ikke. Det var bare fordi jeg trodde jeg skulle få et nøyaktig svar, liksom.» Emma opplever altså ikke svaret som nøyaktig eller godt nok når det inneholder en ukjent konstant. Kanskje er hun bare vant til at bokstaver i matematikken er variabler som man skal finne en tallverdi for, og blir forvirret når svaret hennes inneholder en bokstav. Dette diskuteres videre i kapittel Videre ber jeg henne lese oppgaveteksten en gang til, og hun innser at hun mangler den ene xverdien. Da tenker hun seg om en stund, og kommer fram til at «Den kan være både positiv og negativ? a-en?» Hun tenker altså at a-en kan ha to ulike verdier, både positiv og negativ, og at den løsningen hun allerede har dermed kan gi to løsninger. Dette er veldig interessant, med tanke på at a-en er definert som en konstant, som nettopp er en verdi som ikke kan endres. Igjen virker det som hun i større grad har en forståelse av parameteren a som en variabel. Jeg foreslår at hun kan prøve å se for seg funksjonene ved å tegne dem. Dette er støtte i Goldins (2000) tredje fase, i og med at jeg antyder en mulig løsningsstrategi. Når hun skal skissere y = 10 6 ax, kommenterer hun at den vokser veldig fort fordi 10 6 er et såpass stort tall. Hun er usikker på hvordan den ser ut, men skisserer til slutt en eksponentiell funksjon i første kvadrant. Konstanten 10 6 fikk henne altså til å tenke at funksjonen vokser raskt, i form av eksponentiell vekst. Dette kan ha sammenheng med at hun ikke er vant til potenser i funksjonsuttrykk. Det kan også komme av mangelfull forståelse for hvordan funksjoner vokser, i og med at hun forveksler bratt stigning med rask endring. Med mye støtte fra meg kommer hun til slutt fram til at funksjonen er lineær og at begge funksjonene skjærer gjennom x = Intervju av Maria Maria er en av de som jobber mest selvstendig med oppgavene, og krever relativt lite støtte underveis. Hun setter raskt i gang med de fleste oppgavene og forklarer uoppfordret hvordan hun tenker og går fram. Det er derfor som regel lett å følge det faglige resonnementet hennes. Selv om hun er selvstendig og uredd i møte med oppgavene, velger hun ved noen oppgaver strategier som fører til feil svar. Det kan komme av instrumentell forståelse for det oppgaven omhandler eller at hun bare husker deler av fremgangsmåten hun velger. 55

66 4.4.1 Marias arbeid med oppgave 1 Maria leser oppgaveteksten, og kommenterer at det første polynomet er av tredje grad. På spørsmål om hva det betyr at et polynom er av grad 3, svarer hun «at den har en x opphøyd i tredje.» Deretter spør jeg hva røtter betyr, og får svaret: «Når du tar liksom rota av nei. Du kan jo ikke ta rota av Hvis du tar rota av den her [(x 3) 2 ] så får man jo (x 3) da. Eller, det er ikke sånn det funker. Er det sånn?» I likhet med de tre andre informantene, har Maria altså ikke kjennskap til røtter av polynomer, noe som vil diskuteres nærmere i kapittel Hun tenker også på operasjonen å ta kvadratrot. En spennende aspekt er at Maria nevner at (x 3) 2 = (x 3), som stemmer så lenge (x 3) ikke er et negativt tall. Selv om hun har feil forståelse av hva røtter av polynomer er, klarer hun å koble sin forståelse av begrepet til oppgavekonteksten. I likhet med i de andre intervjuene, velger jeg å forklare at røtter betyr nullpunkt i denne sammenhengen. Da tar hun for seg alternativ for alternativ og løser oppgaven knirkefritt. På det første polynomet, resonnerer hun ved å sette faktorene lik null og løse ligning: «Den her har vel 5 og 3 som nullpunkter. For hvis du setter hvert av leddene her lik null, så får du x-en alene, så får du x=3 to ganger her, og x=5.» Hun løser de andre oppgavene på tilsvarende måte uten problemer Marias arbeid med oppgave 2 Etter å ha lest oppgaveteksten og sett på svaralternativene, gir Maria raskt uttrykk for at hun vil lage fortegnsskjema. Hun blir altså ikke «satt ut» av at funksjonen er komplisert, som flere av de andre informantene. Deretter begynner hun å tegne fortegnsskjema (se bildet til høyre.) Hun starter med faktoren (x 1), og setter den til å være negativ fram til x = 1 og positiv etter. Når hun skal avgjøre den neste faktoren, (3x + 1), sier hun: «Siden det er pluss der [mellom 3x og 1] så blir den da negativ fra det punktet der. Også blir den positiv på starten.» Maria baserer altså linjene i fortegnskjemaet sitt på hvilket fortegn som står mellom leddene i faktoren, og tenker at fortegnslinjen må være motsatt dersom fortegnet er motsatt (se bildet). Hun bruker altså denne tillærte metoden ved å se på faktorene, framfor å faktisk sjekke hvilket fortegn faktorene har. Denne metoden er veldig interessant, og vitner om en 56

67 instrumentell forståelse for fortegnsskjema som metode (Skemp, 1976; Solvang, 1992). Hun har trolig lært at fortegnslinjen blir motsatt når fortegnet foran x-leddet er negativt, men ikke knyttet denne kunnskapen til matematisk forståelse for hvorfor. Dermed husker hun at det var motsatt fortegn, men ikke at dette fortegnet må være foran x-leddet. Dette funnet vil diskuteres nærmere i kapittel Videre tar hun for seg de to siste faktorene i funksjonen. Hun skriver først «0» for x-verdiene der faktorene er null (se bildet), men avbryter seg selv: «Men vent da, er det ikke sånn at de under her, de er sånn, hva heter det, bruddpunkt eller et eller annet? Åh, jeg husker ikke hvorfor. Men jeg husker vi lærte om det.» Hun begynner å tegne symbolene for åpne og lukkede intervaller, og sier at ved bruddpunkt er det til og med, altså : «Når det er bruddpunkt er det inkludert den her og liksom.» Jeg stiller henne et heuristisk spørsmål om hva som er forskjellen på at det blir null i telleren og null i nevneren. Da svarer hun at det ikke kan bli null i nevneren fordi brøken ikke eksisterer. Dermed blir hun uenig med seg selv, og kommer fram til nullpunktene ikke er inkludert når det er bruddpunkt. Dette kan også underbygge at hun har instrumentell forståelse, fordi hun husker at bruddpunkt hang sammen med om verdiene var inkludert i intervallet, men ikke på hvilken måte. Hun ganger sammen fortegnene i de ulike intervallene sine og lager fortegnslinje for funksjonen. Deretter skisserer hun automatisk grafen, basert på at den stiger når fortegnet er positivt og synker når fortegnet er negativt (se bildet). «Så det betyr at grafen går Nei, det er sånn vi gjorde når det er derivert.» Hun går altså fort bort igjen fra dette, da hun innser at dette gjelder for fortegnslinjen til den deriverte funksjonen. Fortegnslinje brukes oftest som metode ved funksjonsdrøfting, der det er den deriverte funksjonen som inngår i fortegnsskjemaet. Det er derfor ikke unaturlig at hun er så vant til å skissere funksjonen på denne måten, at det nærmest skjer på automatisk. At hun er vant til å anvende denne metoden for den deriverte, kommer også til uttrykk helt i starten av oppgaven, når jeg spør henne hva det vil si at funksjonen er negativ. Da svarer hun «At den heller sånn stigningstallet er Nei, det er den deriverte som er negativ, det. Når funksjonen er negativ så er f(x) mindre enn null. Altså i det feltet her [skisserer tredje og fjerde kvadrant].» Det er tydelig at hun kobler metoden fortegnsskjema til konteksten den deriverte funksjonen, som diskuteres nærmere i kapittel Til tross for dette bruker hun forståelsen sin til å endre mening og gå bort fra den deriverte i begge tilfeller, uten hjelp fra meg. 57

68 Når hun har fått løsningen sin, går hun gjennom alternativene for å sammenligne. Hun blir usikker når hun ikke finner igjen sitt eget svar i noen av dem. Jeg velger å spørre henne ut om hvordan hun tenkte når hun satte fortegnslinjene. Da svarer hun: «Jeg husker når jeg begynte å tegne det, så husket jeg at vi liksom lærte at det bytter. Eller at da blir det annerledes. Men åh, jeg klarer ikke å huske hvorfor. Og det er jo egentlig litt viktig å vite hvorfor, akkurat her. Tror jeg.» Her setter Maria selv ord på at hun mangler den relasjonelle forståelsen for hvorfor løsningsstrategien hennes gir mening (Skemp, 1976; Solvang, 1992). Jeg ber henne teste for noen enkle verdier, og hun velger (x 1) og (x + 2). Hun tegner linjene motsatt av hverandre, slik som tidligere, men opplever en kognitiv konflikt når hun prøver å sette inn verdier for å verifisere: «Hvis jeg setter inn for eksempel 3 her, som er større enn -2, så får vi 3+2 som er 5. Men da blir det Det er jo positivt. *pause* Har jeg gjort motsatt nå på hele? Ja, det er et eller annet som ikke stemmer.» Jeg spør hvordan det hadde vært om fortegnet hadde vært motsatt foran x-en. Da avbryter hun meg og sier «Åh, det er når fortegnet er foran x-en! Det er det!» Maria er en av de som jobber mest selvstendig med denne oppgaven, og hun er trygg på hva hun skal gjøre. Hvis denne oppgaven hadde vært åpen, tror jeg hun ville brukt kort tid og opplevd oppgaven som enkel, uten å erfare den kognitive konflikten beskrevet over. At hun ikke verifiserer løsningen sin, ville trolig ført til feil svar på denne oppgaven. Dette aspektet diskuteres videre i kapittel Marias arbeid med oppgave 3 Det første Maria gjør i møte med oppgave 3, er å gi uttrykk for at hun ikke husker hva hun skal gjøre: «Jeg husker vi lærte noen ligninger for å finne asymptoter og sånn. Det er noe sånn grenseverdier, er det ikke det? Jeg vet ikke om Åh, jeg husker ikke hvordan jeg finner de grenseverdiene.» Jeg ønsker å få innsikt i forståelsen for innholdet i oppgaven, så jeg spør om hun husker hva asymptoter er. «Ja, det er de, på en måte, som grafen nærmer seg. Eller, de verdiene som Her så nærmer den seg hele tiden 2, men den treffer aldri x-verdien, eller går liksom aldri så langt, da.» Maria gir her en grafisk og billedlig forståelse av grenseverdier, i den forstand at funksjonen nærmer seg grenseverdien, men aldri treffer. At hun kun tenker på grenser som prosesser, kan gjøre det vanskeligere å forstå dem som verdier, i dette tilfellet 2 og 7 (Bressoud et al., 2016, s. 6). 58

69 Videre sier jeg at det kanskje hjelper om hun prøver å se for seg hvordan funksjonen kan se ut. Dette er et heuristisk spørsmål i Goldins (2000) tredje fase, fordi det hinter om en mulig fremgangsmåte. Hun skisserer da både asymptotene og en mulig graf i et koordinatsystem, og kommenterer at den også kan ligge i de andre to kvadrantene, men at hun ikke husker hvilken graf som er riktig. Hun forklarer at funksjonen nærmer seg asymptotene, men aldri går over. Jeg spør hva det kan komme av. Hun svarer at «vi kan ikke få nevneren her til å bli 2, eller noe sånt, for da får vi null i nevner. *pause* Så hvis vi setter inn Vi kan jo sette inn x = 2 her. *regner ut* Ehm, ja. Hvis jeg setter inn 2 da, som b-verdien i nevneren, så får jeg jo null der. Og det kan jeg jo ikke få for da går jo grafen mot null? Er det ikke sånn at man må se hva vi kan få i nevneren, for at nevneren skal bli null?» Jeg nikker bekreftende til dette, og hun bestemmer seg for at b = 2. Jeg gir en del faglig støtte i denne sekvensen, i form av å stille henne spørsmål om hva asymptotene kan komme av. Deretter kommer hun fram til den ene løsningen på selvstendig vis. Hun snakker om at grafen går mot null, når hun viser på tegningen sin at grafen går mot asymptoten. Dette kan rett og slett komme av at hun tenker på at nevneren går mot null, og dermed sier feil. Når det gjaldt å finne den horisontale asymptoten, var hun mer usikker. Jeg bidro med flere ledende spørsmål i denne sekvensen, som gjør at dataene i mindre grad sier noe hvordan Maria hadde gått fram om hun ikke hadde fått hjelp. Likevel kom det fram noen interessante tanker. På spørsmål om hva som skjer med x-verdien når y-verdien nærmer seg sju, kommer hun fram til at: «Den går mot uendelig. Så hvis ja. Det blir jo sånn at man setter f av x når x går mot uendelig.» Bildet over viser hvordan Maria skriver grenseverdien, som skiller seg fra den korrekte skrivemåten lim x. Dette diskuteres videre i kapittel Videre sier Maria: «Åh, er det sånn da deler man på x-verdien. Nei, den x-en som er i høyest grad. Gjør man ikke det?» Deretter deler hun på x i alle ledd (se bildet). «Den her [ 5 ] er så liten, at den trenger man x egentlig ikke å ta med. Fordi x går mot uendelig. Og hvis du da deler 5 på et tall som, la oss si 10 millioner da, så er det så lite at, ja, det egentlig ikke har noe betydning. Også blir det a delt på 1. Nå vet jeg ikke helt hva jeg driver med, for det kom egentlig ikke fram til noe.» Med hjelp fra meg, innser Maria at man finner den horisontale asymptoten ved å la x gå mot uendelig. 59

70 Deretter skriver hun opp grenseverdien, og bruker løsningsstrategien ved å dele på x-en av høyest grad i alle ledd. Dette er en metode som brukes i R1. Hun forklarer underveis, og viser god forståelse for hvorfor konstantleddene forsvinner. Likevel forstår hun ikke helt hva hun skal bruke svaret sitt til. Hun viser altså forståelse for løsningsstrategien, men usikkerhet rundt sammenhengen mellom svaret sitt og verdien for asymptoten. Jeg hinter ved å spørre hva som skjer med funksjonen når x går mot uendelig, og hun kommer fram til at a må være sju Marias arbeid med oppgave 4 Etter Maria hadde lest oppgaveteksten på oppgave 4, startet hun umiddelbart et resonnement som ledet henne til en løsning på oppgaven, på under to minutter. Resonnementet gikk slik: «Hvis man setter sånn 1 x y, så går det jo an å sette Ja, hvis jeg tar og ganger med ( x y) både oppe og nede, så får man jo, her oppe, ( x y), også får man jo nede Da er det jo den andre kvadratsetning. Som da blir ( x y) 2. Men det blir jo ikke det samme som den [peker på alternativ E, x+ y ]. Nei, vent da, det blir jo ikke tredje kvadratsetning x 2 y2 fordi at, da må jeg sette inn pluss her. Men det kan jeg jo gjøre, og da får jeg pluss her. Fordi da får jeg den telleren [alternativ E]. Og da hvis jeg ganger ut tredje kvadratsetning Ja, da får jeg jo den der, da [x 2 y 2 ]. Fordi hvis, når man tar tredje kvadratsetning så forsvinner jo det leddet i midten, og da blir det negativt her. Så ja, jeg tror det er den som er riktig svar [alternativ E].» Ut fra hvordan Maria tenker, er det tydelig at hun bestemmer seg på forhånd om at alternativ E ser riktig ut, og at resonnementet går ut på å bruke tredje kvadratsetning, eller konjugatsetningen, til å vise at dette stemmer. Hun «ser» altså konjugatsetningen i dette alternativet. Dette kan komme av at kvadratsetningene vanligvis ikke anvendes på rotuttrykk (Grønmo & Hole, 2017, s. 120). At hun kobler leddet x 2 y 2 med konjugatsetningen, kan altså komme av at hun er vant til å bruke den på uttrykk som (a b)(a + b) = a 2 b 2. Videre viser hun forståelse for at det midterste leddet faller bort ved bruk av konjugatsetningen, men tenker feilaktig at ( x y )( x + y) = x 2 y 2. Jeg spør om hun kan vise meg hvordan hun ville regnet det ut for hånd. Da ganger hun ut uttrykket, og får det korrekte svaret: «Ah, men det blir jo feil. For da får jeg bare (x y) her. Ja, så da får jeg jo den, da. [Alternativ A] Fordi jeg får pluss oppe. Ja, jeg tok nesten en liten shortcut der.» På spørsmål om hvorfor 60

71 hun tenkte den nederste først, svarer hun: «Jeg tror jeg bare gjorde det litt raskt. Jeg bare tenkte «ja, det er sikkert den» uten å sette meg ordentlig inn i oppgaven. Fordi det var jo ikke noe vanskelig utregning, eller sånn, kvadratsetningene de kan jeg nå, liksom! *ler*» Dette illustrerer baksiden av medaljen med at hun jobber selvstendig, selvsikkert og raskt velger løsningsstrategi, nemlig at hun også kan basere svaret sitt på intuisjon og ikke verifisere løsningen når hun er ferdig. På denne oppgaven ville hun trolig fått feil svar i en prøvesituasjon, selv om hun egentlig har kunnskapen som trengs. Dette diskuteres videre i kapittel Det er interessant at hun, i likhet med Fredrik, kommenterer at hun har god kjennskap til kvadratsetningene. Hun sier også at hun gikk for konjugatsetningen framfor de to første kvadratsetningene fordi hun så at alle alternativene manglet det midterste leddet Marias arbeid med oppgave 5 I møte med oppgave 5 virker Maria mer usikker enn hun har vært på de andre oppgavene. Hun skriver opp uttrykkene og sier hun vil «finne ut hva disse her har til felles.» Deretter spør hun «men kan jeg bare velge en konstant, for eksempel sette a = 1 liksom?» Det er tydelig at hun er usikker på hvordan hun skal forholde seg til den ukjente konstanten, og hun ønsker å erstatte den med et tall. Jeg svarer at den er en konstant, men at vi ikke vet verdien. Hun tenker litt, før hun kommer opp med en løsningsstrategi: «Hvis jeg tar og løser den her da [y = x2 6], som en ligning, og finner en løsning for x også setter jeg den inn i den [y = 10 6 ax]. [ ] Vi gjorde sånn da vi hadde om vektorer, for å finne skjæring mellom to vektorer. Og, da satt vi brukte vi liksom ligningssystem da, for to ukjente. Da fant vi skjæringer. Men jeg er litt usikker på om det er det man skal gjøre her.» Her kan det tyde på at Maria kobler begrepet «skjæring» til en metode hun har lært om parameterframstilling for vektorer. At hun tenker ligningssett med to ukjente kan også komme av at funksjonene er oppgitt med y framfor den mer vanlige f(x), da ligningssett med to ukjente som regel presenteres med y og x som de to ukjente. En annen mulig årsak til at hun tenker ligningssett med to ukjente, er at hun ser på a som en ukjent, og vil bruke ligningssystemet til å finne en tallverdi for a. Altså at hun ser på de to ukjente som a og x. 10 Da hun ikke kommer videre med metoden hun har valgt, velger jeg å spørre om hun ser hvilke typer funksjoner de er. Da svarer hun: «Det her er jo en brøk, så den får vel sånn får ikke den sånne asymptoter, da?» Videre skisserer hun en rasjonal funksjon, og sier at den ser omtrent 61

72 slik ut. Hun tenker altså at funksjonen y = x er en rasjonal funksjon, fordi den inneholder en brøk. Dette kan komme av at det er uvant med potenser i funksjonsuttrykk, og at konstanten dermed forvirrer henne. At hun sliter med å forholde seg til denne konstanten, kommer også fram i neste del av oppgaveløsningen. Hun velger å sette uttrykkene lik hverandre, for å «få når de er felles», men hun er tydelig usikker på om denne fremgangsmåten er riktig. Når ligninga 10 6 ax = x er satt opp, ringer hun rundt 106 på begge sider og sier: «Jeg vil jo helst liksom Jeg kan vel ikke bare stryke den her, heller? [ ] Kan man stryke den her? [10 6 ] Nei, man kan jo ikke det.» At hun ønsker å stryke 10 6 siden den finnes på begge sider av ligningen, kan vitne om en forståelsesfeil knyttet til brøk og ligninger. Det er likevel mer sannsynlig at ønsket om å «fjerne» konstanten kommer av forvirringen rundt at den er skrevet som en potens. Videre oppmuntrer jeg henne til å prøve å løse ligningen, og spør hvordan hun kan gjøre det. Da svarer hun: «Jeg vet ikke, hvis jeg bare skal løse den som en ligning med tanke på x, da. Jeg skal jo finne x-verdien. Ja.» Her virker det som det «går opp for henne» at det er x hun skal finne. Etter at hun har bestemt seg for å løse ligningen med hensyn på x, går det relativt greit å komme fram til løsningen x = a, men løsningen x = 0 mister hun fordi hun deler på x. Hun sier: «Så da vet jeg at når x = a, så har de felles skjæringspunkt. Og hvis jeg da tar og setter den x-en inn i den da [y = x2 6], så finner jeg en a-verdi.» Dette sitatet viser tydelig at 10 hun fortsatt ønsker å finne en verdi for a, som hun introduserte i starten av oppgaven. Hun har altså ikke gått bort fra tanken om ligningssett med to ukjente, og ønsker nå å erstatte x med svaret sitt for å finne et talluttrykk for a. Jeg velger å ikke følge opp dette videre, men spør heller «Se hva oppgaven spør om. Har du funnet en x-verdi der de skjærer hverandre?» Dette er nok både fordi «lærerrollen» tar litt over, men også fordi intervjuet nå har vart over 45 minutter, og hun virker sliten. Hun svarer: «Ja, har jeg ikke det? Ja. Men vet jo ikke hva a er da.» I likhet med Fredrik og Emma, virker det ikke som Maria har lyst til å oppgi et svar med en ukjent konstant, og det er tydelig at dette ikke er noe hun er vant til. I etterkant av oppgaveløsningen spurte jeg henne hva som var det vanskeligste med denne oppgaven. Da svarte hun «At det er to ukjente her. Eller den a-en. Den gjør at den ser veldig forvirrende og vanskelig ut, også begynner man å eller jeg begynner i hvert fall å tenke sånn- jeg klarer liksom ikke å finne ut hva jeg egentlig skal finne da. Så det begynner jeg å rote litt med.» Usikkerheten rundt parameteren a diskuteres videre i kapittel

73 5 Diskusjon av hovedfunn I dette kapitlet samles trådene fra analysekapitlet, og hovedfunnene på tvers av datamaterialet presenteres. Disse funnene knyttes opp mot problemstillingen, og belyses ved hjelp av teori og tidligere forskning presentert i kapittel Hovedfunn 1: Instrumentell forståelse hos elevene Resultatene fra flere av oppgavene i studien viser at elevene primært har instrumentell forståelse for temaene oppgaven dekker. Dette kommer til syne ved at elevene prøver å huske innlærte metoder framfor å forstå de matematiske sammenhengene i oppgaven, og at de sliter med å forklare hvorfor reglene og prosedyrene de bruker er riktige (Skemp, 1976; Solvang, 1992). Måten elevene ordlegger seg på vitner også om instrumentell forståelse, ved at de snakker om «hva man skal gjøre» framfor hvordan de selv forstår matematikken i oppgaven. Den instrumentelle forståelsen til elevene henger trolig sammen med at de har pugget formler eller regler i tidligere skolefag, og dermed utviklet det Solvang (1992) kaller figurativ kunnskap. Dette byr på problemer i møte med oppgaver, fordi elevene opplever at de kun innehar deler av den nødvendige kunnskapen, eller til og med husker formler og regler feil. Det er interessant at funnet av instrumentell forståelse også gjelder elever som ellers er ressurssterke og gir inntrykk av å være faglig sterke. Dette kan gi signal om at undervisningen elevene har fått om algebra og funksjoner har hatt et instrumentelt preg, eller at den har lagt opp til en instrumentell forståelse i for stor grad. Skemp (1976) og Solvang (1992) sine refleksjoner beskrevet i kapittel 2.2.2, om at lærere anser instrumentell undervisning som mindre tidkrevende, mindre utfordrende for elevene og tilstrekkelig for å prestere godt på standpunkt og eksamen, kan belyse dette. I de følgende delkapitlene vil jeg illustrere elevenes instrumentelle forståelse ved å diskutere fire eksempler fra analysen av dataene mine Forståelse for rasjonale funksjoner Som belyst i kapittel 4, vitner funnene fra oppgave 3 om at samtlige informanter har en instrumentell forståelse for rasjonale funksjoner. Alle informantene angriper oppgaven ved å tegne opp hvordan de husker at rasjonale funksjoner ser ut, og flere skriver ned gale versjoner f(x) av grensesymbolet lim når de skal finne asymptotene, for eksempel x. Begge disse funnene x indikerer at elevene har pugget de ytre trekkene ved henholdsvis grafene til rasjonale funksjoner 63

74 og formelen for grenseverdier, uten å utvikle forståelse for hva grafene og notasjonen i grenseverdiuttrykket egentlig betyr. Dermed tyder funnene på at elevene har utviklet figurativ kunnskap, i Piagets betydning av begrepet, som henger tett sammen med instrumentell forståelse (Solvang, 1992). Se kapittel for eksempel. Samtlige av informantene prøver å huske fremgangsmåter framfor å forstå konteksten i møte med denne oppgaven, som er enda et kjennetegn på instrumentell forståelse (Skemp, 1976; Solvang, 1992). Hvordan informantene ordlegger seg i arbeid med denne oppgaven, viser hvordan de fokuserer på fremgangsmåter og distanserer seg fra matematikken som ligger bak. Utsagn som illustrerer dette, er blant andre «Jeg tror den ene var at man skulle sette nevneren lik null» og «at en av dem skulle bli lik pluss minus uendelig eller noe sånt.» Elevene snakker konsekvent om «hva man skulle gjøre» og «hvordan det var», framfor hvordan informantene selv forstår oppgaven og ønsker å gå fram for å løse den. Denne måten å ordlegge seg på skiller seg fra hvordan de samme elevene forholder seg til de andre oppgavene, der de i mye større grad samhandler med de matematiske konseptene og redegjør hvor hvordan de forstår dem. Som beskrevet i kapittel 2.2.1, kjennetegnes instrumentell forståelse nettopp av fokus på å huske fremgangsmåter framfor å forstå de matematiske konseptene og sammenhengene som ligger bak (Skemp, 1976; Solvang, 1992). At alle informantene prøvde å huske metoder framfor å resonnere seg fram til riktig svar, er derfor en god indikasjon på at de har instrumentell forståelse for dette temaet. Den største utfordringen for informantene i arbeid med denne oppgaven, var å bruke informasjonen om den horisontale asymptoten til å finne koeffisienten a i funksjonsuttrykket f(x) = ax+5. De har utfordringer med å koble verdien til den horisontale asymptoten (y = 7) x+b med kunnskapen de har om at grafen til funksjonen går mot syv når x blir veldig stor (se kapittel og 4.4.3). Funnet kan indikere at elevene ikke klarer å se på grensen som både den grafisk framstilte asymptoten og grenseverdien syv. Dette samsvarer med funnene beskrevet av Bressoud med flere (2016), om at elever har vanskeligheter med å se på grenser som både en prosess og en verdi. Elevene har trolig ikke utviklet både strukturell og operasjonell forståelse, som Sfard (1991) ser på som nødvendig for å virkelig forstå et matematisk konsept. Utfordringen med den horisontale asymptoten kan også komme av at elevene ikke forstår koblingen mellom den grafiske fremstillingen av grensen som asymptote og den algebraiske uttrykksformen lim x f(x). Å løse denne oppgaven ved regning krever at elevene forstår 64

75 koblingen mellom de to måtene å uttrykke grenser på. I tillegg inneholder den algebraiske uttrykksformen lim x bokstaver og symboler med ulike betydninger, som gjør dem utfordrende for elever å forstå og tolke (Küchemann, 1981; Naalsund, 2012). Oppgaven krever at elevene har utviklet relasjonell forståelse for hva lim x til å løse rutineoppgaver med grenseverdier. faktisk betyr, ikke bare prosedurale ferdigheter Rasjonale funksjoner er et tema som undervises i 1T og R1, men ikke i R2 (Utdanningsdirektoratet, 2015). Det er dermed et års tid siden informantene har hatt undervisning om dette temaet. Grønmo og Hole (2017) peker på dårlig vedlikehold av tidligere innlært stoff som en årsak til de svake norske resultatene på denne oppgaven på TIMSS Advanced. At elevene har utfordringer med oppgaver som krever kunnskap fra tidligere skolefag, samsvarer med funnene til både Pedersen (2014) og Hole med flere (under utgivelse). Stian illustrerer dette, ved å si at «Det er så lenge siden jeg har hatt om det med asymptoter og sånt, så jeg husker ingenting av det.» (Se kapittel 4.1.3). Det er grunn til å tro at elever med instrumentell forståelse har vanskeligere for å memorere kunnskap over tid og få den til å «sette seg», fordi de ikke har forståelsen som kreves for å resonnere seg fram til en egnet løsningsstrategi (Skemp, 1976; Solvang, 1992). Å lykkes krever at man husker tillærte metoder. Kombinasjonen av at informantene har instrumentell forståelse, at de ikke forstår sammenhengen mellom den grafiske og algebraiske framstillingen av grenser og at det ikke jobbes kumulativt med dette temaet, kan være årsaken til at de ikke mestrer denne oppgaven. Samtlige av informantene trekker fram denne oppgaven som den vanskeligste i oppgavesettet. Et interessant spørsmål er hva som kan være årsaken til at informantene har utviklet instrumentell forståelse for dette temaet. Kanskje har undervisningen om rasjonale funksjoner hatt et instrumentelt preg, med fokus på «hvordan» framfor «hvorfor». Dette kan ha sammenheng med at lærerne ser på relasjonell undervisning om grenseverdier som tidkrevende og vanskelig for elevene, og at en instrumentell tilnærming vil være tilstrekkelig for at elevene skal oppnå mestringsfølelse og prestere godt på eksamen og til standpunkt (Skemp, 1976). Eksamens- og vurderingssituasjoner kan ha en svært styrende effekt på undervisningen. Mellin- Olsen (1981) argumenterer for at et instrumentelt fokus kan være uproblematisk dersom lærerne lykkes i å gi oppgaver og vurderingssituasjoner som krever relasjonell forståelse hos elevene. Oppgaven om grenseverdier i denne studien kan sies å gjøre nettopp dette, fordi den krever at elevene ser sammenhenger mellom ulike representasjoner av grensene. Problemet oppstår hvis 65

76 elevene utelukkende gis drilloppgaver som løses ved å ha prosedurale ferdigheter i å regne ut grenseverdier. Et annet potensielt problem i hvordan grenseverdier undervises om, er at de kun presenteres som asymptoter for rasjonale funksjoner. At elevene kun lærer om grenseverdier gjennom én anvendelse, kan indikere at grenseverdier er et delvis utviklet begrep hos elevene (Brekke, 1995). Det kan også gjøre det vanskelig for dem å se konseptet i sammenheng med ny kunnskap (Kilpatrick et al., 2001), som er et av kjennetegnene ved relasjonell forståelse (Skemp, 1976; Solvang, 1992). Dette støttes av funnet til Hardy (2009) om at elever som kun forstår grenser som asymptoter for rasjonale funksjoner, har liten forståelse for metodene de benytter Innlært regel ved bruk av fortegnsskjema Et annet funn som illustrerer at elevene har instrumentell forståelse, er Marias arbeid med fortegnsskjema i oppgave 2, beskrevet i kapittel Hun avgjorde fortegnslinjene i skjemaet sitt basert på fortegnet mellom de to leddene i faktoren, ved at motsatt fortegn ga motsatt fortegnslinje. Dette er trolig et resultat av at hun har lært at motsatt fortegn foran x-leddet vil gi motsatt fortegnslinje, men at hun ikke har knyttet denne kunnskapen til matematisk forståelse for hvorfor dette stemmer. At hun bruker en tillært metode feilaktig, tyder på at kunnskapen som ligger til grunn baserer seg på husk framfor forståelse. Fremgangsmåten vitner dermed om en instrumentell forståelse for fortegnsskjema som metode (Skemp, 1976; Solvang, 1992). At løsningen hennes baserer seg på memorering av en regel, indikerer at kunnskapen hennes er figurativ (Solvang, 1992). Solvang (1992) skriver at figurativ kunnskap kjennetegnes av at elever husker enkelte trekk ved regelen, i dette tilfellet at motsatt fortegn gir endret fortegnslinje, men glemmer andre trekk at dette kun gjelder når fortegnet endres foran leddet med variabelen x. Marias egen refleksjon rundt hvorfor hun velger å tegne motsatte fortegnslinjer, underbygger at forståelsen hennes er instrumentell: «Jeg husket at vi liksom lærte at det bytter. Men åh, jeg klarer ikke å huske hvorfor. Og det er jo egentlig litt viktig å vite hvorfor da, akkurat her.» Her setter Maria ord på at hun har instrumentell forståelse, ved at løsningsstrategien hennes bygger på å vite hvordan, men ikke hvorfor (Skemp, 1976). Som beskrevet i introduksjonen til kapittel 4.4, jobber Maria både selvstendig og selvsikkert under hele intervjuet, og gir tydelig inntrykk av å være en faglig sterk elev. Det er derfor spesielt interessant at hun gjør denne feilen, og viser at hun har instrumentell forståelse for fortegnsskjema. Spesielt når bruk av fortegnsskjema 66

77 er en viktig del av algebra og funksjoner i både 1T og R1 (Utdanningsdirektoratet, 2015). Pedersen (2014) sin analyse av norske elevers svar på en TIMSS Advanced-oppgave fra 2008, som også krevde bruk av fortegnsskjema, indikerer at mye av utfordringen for elevene ligger i den transformative algebraen som kreves for å få uttrykket på korrekt faktorisert form. Grønmo og Hole (2017, s. 124) peker på manglende vedlikehold av ferdigheter knyttet til fortegnsskjema som en mulig årsak til at de norske elevene presterte svakt på denne oppgaven i Marias løsning av denne oppgaven belyser at instrumentell forståelse for fortegnsskjema er en annen mulig årsak til at elever ikke mestrer slike oppgaver Å dele på variabelen i andregradsligning Et tredje funn som kan indikere instrumentell forståelse hos elevene, er måten informantene løser andregradsligningen 10 6 ax = x på, i oppgave 5. Samtlige informanter velger å dele på x på begge sider av likhetstegnet, og mister dermed løsningen x = 0 (se for eksempel kapittel 4.3.5). Dette vitner om manglende bevissthet rundt at å dele på en variabel i en ligning, forutsetter at variabelen ikke kan være null. Alle informantene har på tidligere oppgaver vist forståelse og kunnskap om at man ikke kan dele på null, men har tydelig vanskeligheter med å bruke denne kunnskapen «motsatt vei». De innser ikke at de potensielt gjør noe matematisk ulovlig ved å dele på x. Denne feilen kan komme av at de anvender en tillært regel om at man kan dele på det samme på begge sider av en ligning, uten at de anvender forståelse for hvilke begrensninger denne regelen har. Dermed kan de ha en delvis instrumentell forståelse for løsning av ligninger (Skemp, 1976; Solvang, 1992). Stian setter ord på dette på spørsmål om hvorfor han tror han ikke fikk to løsninger. Han sier at han pleier å få to løsninger når han tar kvadratroten på begge sider, eller når han bruker abc-formelen, «men her så løste jeg jo det bare som en standard ligning.» Det er tydelig at å dele på x ses på som en del av standard fremgangsmåte for å løse ligninger, altså at det ikke reflekteres over forskjellen på å dele på en konstant og en variabel. Det er også tydelig at informantene har mindre erfaring med å løse andregradsligninger uten konstantledd, som krever at man enten ser løsningen x = 0, eller faktoriserer uttrykket og bruker sammenhengen om at dersom et produkt er null, må en av faktorene være null. At elevene ikke ser at x = 0 er en løsning eller at å dele på x gjør at de mister en løsning, kan komme av at de ikke reflekterer rundt valgene de tar i løsningsprosessen, men støtter seg på 67

78 instrumentelle metoder (Shoenfeld, 1987). Dette vil jeg diskutere videre i kapittel Resultatene fra TIMSS Advanced 2015 viste at 15 % av de norske elevene kun oppga løsningen x = 0, mens 11 % kun oppga x = a (Grønmo & Hole, 2017, s. 143). Det er interessant at flere elever fant løsningen x = 0 enn x = a, da elevene i min studie hadde mye større problemer med å finne x = 0. Grønmo og Hole (2017) oppfatter denne løsningen som den enkleste å finne, da den kan finnes bare ved å se på uttrykkene, uten å løse ligningen. Informantene i denne studien har i dette tilfellet større problemer med å se den «enkle» løsningen, enn å manipulere algebraiske uttrykk og løse den abstrakte ligningen Oppgavens kontekst kobles til bestemt løsningsmetode Et av de mest sentrale funnene i denne studien er at elevene tydelig assosierer oppgavekontekster med bestemte metoder og løsningsstrategier. Det tydeligste eksemplet på dette finner vi i oppgave 2, der informantene skulle avgjøre hvilke x-verdier funksjonen f(x) = (x 1)(3x+1) (2x 1)(x 2) er negativ for. Både Fredrik og Emma nevner derivasjon som metode for å løse denne oppgaven (se kapittel og 4.3.2). Fredrik forklarer at derivasjon og fortegnslinje er det første han tenker på når han ser oppgaven, og Emma spør seg selv «burde jeg derivere den først da, kanskje?», rett etter hun har lest oppgaveteksten. Dette tyder på at begge assosierer denne oppgavetypen med derivasjon som metode. At informantene angriper oppgaven ved å lete etter tillærte metoder som passer til oppgavekonteksten, framfor å fokusere på å forstå hva oppgaven spør etter, kan ses på som en instrumentell tilnærming til oppgaven. At de viser kunnskap om at derivasjon ofte brukes som metode for å løse oppgaver innen funksjonsdrøfting, men mangler noe av den bakenforliggende forståelsen for når og hvorfor derivasjon er en egnet løsningsstrategi, kan være tegn på instrumentell forståelse (Skemp, 1976). Dette gjelder også for Maria, som trekker inn den deriverte i arbeid med fortegnslinjen (se kapittel 4.4.2). At elevene assosierer denne oppgaven med derivasjon har sannsynligvis sammenheng med at funksjonsdrøfting svært ofte innebærer å si noe om endringen av funksjonen, og dermed krever derivasjon. Oppgaver som denne, der målet kun er å finne fortegnet for selve funksjonen, forekommer sjeldnere. Hvis elevene kun har jobbet med funksjonsdrøfting i oppgaver som krever derivasjon, kan de ha en delvis utviklet og snever forståelse av funksjonsdrøfting som konsept (Brekke, 1995). Solvang (1992) forklarer forståelse som at det handler om å innse hvilken kunnskap som skal benyttes for å løse 68

79 et problem, og aktivere denne kunnskapen. At elevene vil bruke derivasjon som løsningsmetode på denne oppgaven, viser at de aktiverer kunnskap som ikke egner seg til å løse problemet, noe som tyder på begrenset forståelse. 5.2 Hovedfunn 2: Aspekter ved oppgavene er ukjente for elevene Resultatene fra denne studien viser at flere av aspektene ved de utvalgte TIMSS Advancedoppgavene er ukjente for informantene. En av oppgavene bruker terminologi som informantene ikke kjenner til, i form av begrepet røtter av polynomer. Dette danner en språklig barriere mellom oppgaven og elevene og gir dem utfordringer med å forstå hva målet med oppgaven er, til tross for at de har konseptuell forståelse for matematikken som oppgaven er ment til å teste. En annet aspekt som fremstår ukjent for informantene, er bruk av parametere i funksjonsuttrykk, altså funksjonsuttrykk der bokstaver brukes som generaliserte koeffisienter. Analysen min viser tydelig at det høye abstraksjonsnivået i den matematiske skrivemåten er hovedårsaken til at elevene ikke mestrer den gjeldende oppgaven, da de ellers viser både tilstrekkelig konseptuell forståelse og prosedurale ferdigheter til å løse oppgaven. Evne til abstraksjon og generalisering er noe man i utgangspunktet burde kunne forvente av elever på dette nivået, noe som indikerer at norske elever i for liten grad får erfaring og utvikler trygghet i håndtering av generaliserte matematiske uttrykk Ukjent terminologi i oppgaveteksten I den første oppgaven ble informantene bedt om å avgjøre «røtter av polynomer». Ingen av informantene hadde kjennskap til denne terminologien, og de forbant kun begrepet «røtter» med kvadratrøtter (se for eksempel kapittel 4.2.1). Samtlige av informantene trengte forklaring på at røtter betyr nullpunkt for å forstå hva oppgaven spør om. Fredrik setter ord på dette, ved å kommentere at denne oppgaven var den enkleste matematisk, men «forvirrende skrevet». Som beskrevet i kapittel 2.1.2, er et av målene ved oversettingen av TIMSS Advanced-oppgavene at språket og terminologien skal være kjent for de norske elevene (Onstad & Grønmo, 2017). Funnet indikerer at denne TIMSS Advanced-oppgaven ikke lykkes med dette. At begrepet røtter ikke er kjent for de norske elevene, går ikke fram av beskrivelsen av den norske læreplanen gitt i den internasjonale rapporten fra TIMSS Advanced 2015 (Mullis, Martin, Foy & Hooper, 2016). Poenget er trolig for detaljert til at det fanges opp, og ble heller ikke oppdaget 69

80 under piloteringen av oppgavene i Norge. Onstad & Grønmo (2017) presiserer at å oversette oppgaver på en rettferdig og god måte er vanskelig, og at det er subjektive vurderinger som ligger til grunn for oversettelsene. Denne typen resultater er viktig å ta i betraktning i forbindelse med tolkning av resultater i internasjonale undersøkelser som TIMSS Advanced. At ingen av de fire informantene har kjennskap til begrepet «røtter», kan indikere at «nullpunkter» langt på vei har erstattet røtter som begrep for dette konseptet i norske klasserom og lærebøker. Bildene i figur 6 og figur 7 viser henholdsvis en eksamensoppgave (Utdanningsdirektoratet, 2014) og et lærebokutdrag i R1 (Heir, Engeseth, Moe & Borgan, 2017), som omhandler røtter av polynomer. I begge brukes nullpunkt som begrep framfor røtter. Legg merke til at røtter nevnes i lærebokutdraget, men kun som et synonym til nullpunkt i parentes. I den videre forklaringen og i de påfølgende oppgavene i boka, brukes nullpunkt konsekvent. Matematiske tekster og forklaringer som dette lærebokutdraget er svært informasjonstunge, og dermed vanskelig å forstå for elever (Skemp, 1976). De inneholder også store mengder generaliserte parametere og variabler, nettopp fordi forklaringen har til hensikt å generalisere sammenhengen om nullpunkt til å gjelde for alle andregradspolynomer. Å forstå bokstaver brukt som generaliseringer er på det høyeste nivået av bokstavforståelse i Küchemanns (1981) modell, og en rekke studier har vist at dette er en stor utfordring for norske elever (Naalsund, 2012; Hole et al., under utgivelse, Vestenfor, 2018; Eliassen & Mathisen, 2018). Begge disse faktorene gir grunn til å tro at elever i liten grad leser de abstrakte forklaringene i lærebøker, men heller leser eksempler og løser oppgaver, og dermed ikke har kjennskap til begreper som kun introduseres i slike forklaringer. Figur 6: Eksamensoppgave i R1 fra

81 Figur 7: Utdrag fra lærebok i R1 fra Aschehoug. Hvilken type oppgaver som vektlegges på eksamen, legger ofte føringer for hvordan lærere underviser og hvilke oppgaver de gir til elevene sine (Skemp, 1976; Solvang, 1992). At eksamensoppgaven i figur 6 er fra 2014, viser at trenden med å bruke nullpunkt framfor røtter er eldre enn dette. Kanskje spilte terminologien i denne oppgaven inn på de norske resultatene også i gjennomføringen av TIMSS Advanced i Som nevnt i kapittel 3.2.2, var det like mange norske elever som svarte henholdsvis «ja» og «nei» på alternativet (x + 3) 2 (x + 5) på gjennomføringen i Grønmo & Hole (2017) begrunner dette med at elevene er usikre på sammenhengen mellom fortegnet i parentesen og røttene til polynomet. Med bakgrunn i funnet fra denne oppgaven, vil jeg argumentere for at denne feilen også kan skyldes usikkerhet rundt begrepet «røtter». Dersom elevene ser at alternativet har tallene 3 og 5 i seg, men ikke kjenner til at røtter betyr nullpunkt, kan de ha gjettet på om dette polynomet tilfredsstilte betingelsen om at 3 og 5 er røtter av polynomet. Når begrepsforståelsen var på plass, løste alle fire informantene oppgaven både selvstendig og uten problemer. Da de først forsto begrepene i oppgavekonteksten, opplevde samtlige informanter denne oppgaven som den enkleste. Dette viser at informantene har god matematisk forståelse for polynomer og deres egenskaper, men at begrepet «røtter» er en språklig barriere i denne oppgaven. Funnet indikerer dermed at denne oppgaven tester mer, og noe annet, enn det den prøver å teste, og at ukjent terminologi kan ha hatt påvirkning på norske elevers prestasjoner på denne oppgaven ved tidligere gjennomføringer av TIMSS Advanced Bruk av variabler på ulike nivåer Som vist i kapittel 4, skapte den ukjente parameteren a i funksjonsuttrykket f(x) = 10 6 ax både forvirring og frustrasjon blant informantene. Samtlige informanter valgte en algebraisk løsning på oppgaven, men a-en gjorde dem usikre i løsningsprosessen (se for eksempel kapittel 71