Transkript

1

2 موزش لوم تا لیف: استاد رمضان "حیدري" تحتنظر: استاد انجنیر بختیاري"بختیار" سرمربیفزیک موضو ات: عملیههای ا داد الجبری توانها ذر ا داد عبارتهای الجبری مطابقتها ها تجزیه و ا داد موهومی س سوووررر سور الجبری سال: 97 ه ش

3 مشخصات حیدري رمضان. 97 ریاضیات (مفاهیم الجبري) مولف: رمضان حیدري کابل: انتشارات تمدنشرق چاپ اول 97 مشخصات کتاب (مفاهیم الجبري) نام کتاب: استاد رمضان "حیدري" تا لیف: استاد انجنیر بختیاري "بختیار"سرمربی فزیک نظارت بر تا لیف: مولف ویراستار: انتشارت تمدنشرق ناشر: 97 سال چاپ: چاپ اول نوبت چاپ: 00 افغانی قیمت: 000 جلد تیراژ ارتباط با مولف: همه حقوق چاپ و نشر به مولف و ناشر محفوظ است. انتشارات تمدنشرق نشانی: کابل بین چهارراهی دهبوري و چوك کوته سنگی. شماره تماس: / ٢

4 مفاهیم الجبري ٣

5 مفاهیم الجبري قد م: این اثر را به پیشگاه ارمغان آور مهر و رحمت براي جهانیان حضرت خاتم پیامبران که گفت: «من معلم برگزیده شدهام تا مکارم اخلاق را تمام کنم». تقدیم میکنم. ۴

6 پیشگفتار پیشگفتار در جهان متمدن امروز که علم و تکنالوژي ابزار مهم براي رشد و انکشاف جوامع بشري محسوب میشود در صورت این دو عامل ارزش و جایگاه اساسی خود را مییابد که علم و تکنالوژي در خدمت ارزشهاي والاي انسانی تکامل و رساندن بشر به آرامش و آسایش قرار گیرد. ما علم و تکنالوژي را بدون باوره يا دینی و احساس ملی کافی ندانسته و معرفت دینی مبتنی بر معارف اسلامی تعقل و درك صحیح از حقایق را نسبت به علوم تجربی و تجربهگرایی ضروريتر و مهم دانسته و هدف ما اراي ه خدمات علمی و اکادمیک مبتنی بر احساس دینی و ملی است. و از برادر دانشمند و محقق محترم استاد رمضان "حیدري" که سیستم را تحت نام ( ریاضیات) در شهر غزنی یعنی مرکز تمدن اسلامی بنیانگذاري نموده تلاش و خدمات علمی ایشان در بخش علوم ساینسی و خصوصا تهیه و تدوین ریاضیات () یک گام مثبت در راستاي ترقی سطح علمی هموطنان و دانشآموزان عزیز میباشد. استاد انجنیر بختیاري "بختیار" سرمربی فزیک ۵

7 فهرست فهرست مطالب فصل اول: عملیههاي اعداد الجبري... الجبر... قیمت مطلق... خواص قیمت مطلق... فصل دوم: توانها... قوانین توانها... فصل سوم : جذر اعداد... دریافت جذر مربع اعداد... دریافت جذر مربع اعداد اعشاري... دریافت جذر nام اعداد... هم درجه کردن جذور... قوانین جذور... فصل چهارم: عبارتهاي الجبري... الجبري... هاي الجبري پولینومی... دریافت مجموع ضرایب پولینومها... قضیه باقی مانده... تقسیم ترکیبی... فصل پنجم: مطابقتها... انکشاف مطابقتها... مطابقتهاي مشهور... ۶

8 فهرست فصل ششم : تجزیه... تجزیه به اساس فکتور گیري... تجزیه بینومها... تجزیه به روش گروپ بندي... بزرگترین قاسم مشترك... کوچکترین مضرب مشترك... فصل هفتم: کسور الجبري و اعداد مختلط... کسور الجبري... اعداد موهومی... اعداد مختلط... قیمت مطلق اعداد مختلط... انتروالها... سوالات... ما خذ... کلید جوابات... ٧

9 مقدمه مقدمه بنام خداوند مهر آفرین آفرننده سپهر برین. درود بیپایان بر پیامبر رحمت ارمغان آور مهر و سعادت براي جهانیان و درود بر اهلبیت او که مرکز ثقل فضیلت و معیار حق و حقیقتاند. اما بعد: روح حقیقتجویی و میل به کمال اساسیترین انگیزه بشر در طول تاریخ براي جستجوي علمی او بوده است. بر این اساس هر انسانی با کنجکاوي ذاتیاش به دنبال کشف اسرار هستی بوده است. هر چند که جستجوهاي علمی و کشفیات بشر منجر به تسلط او بر طبیعت و در نتیجه رفاه زندگی نیز شده است. اما باید گفت: انگیزه بشر در رفتن بسوي دانش و حقیقت فراتر از اهداف مادي است. و حقیقتجویی نیاز عالی روح انسانی است. جستجوهاي از حقیقت همواره بر ابزارهاي که خداوند ( در اختیار بشر قرار داده است صورت میگیرد. این ابزارها را میتوان در چهار دسته زیر خلاصه کرد. ابزار حسی ابزار عقل ابزار دل استفاد از منبع وحی هر چهار مورد فوق ابزار رسیدن به حقایق است اما کلیترین و جامعترین روش براي رسیدن به حقیقت تعالیم وحی و دستورات پیامبران و معصومین (ص) خصوصا دستورات پیامبر اسلام میباشد. (ع) و در مساي ل علمی و تجربی و براي شناخت جزي یات هستی و روابط دقیق پدیدههاي عالم از ابزار حس و روش دانشتجربی استفاده میکنیم و ٨

10 مقدمه دانشتجربی بدون دانستن ریاضیات که به حیث زبان قوانین علوم تجربی استفاده میشود کاري است که به نتیجه مطلوب نخواهد رسید. و خصوصا در علوم طبیعی رشتههاي میخانیک احتمالات و استرونومی که علوم ریاضی و فزیک نامیده شده که حد اوسط میان ریاضیات و فزیک است. و براي تقویه اصول ریاضیات دانشآموزان ریاضیات بسا ارزنده و نهایت مهم تلقی میشود. لذا تصمیم بر آن شد ممد درسی ریاضیات تحت نام ( ریاضیات) که روابط بین عناوین و موضوعات آن مسلسل و منطقی باشد تهیه نمایم تا در فهم مساي ل علوم تجربی دانشآموزان به مشکل مواجه نشوند. کتاب ریاضیات () را که به رهنمایی محترم استاد انجنیر بختیاري "بختیار" تهیه نمودهام. امید است که باعث رضایت پروردگار مهربان و مورد استفاده هموطنان و دانشآموزان عزیز قرار گیرد. و ادعا نمیشود که کتاب تهیه شده خالی از نواقص میباشد و از پیشنهادات سالم دانشدوستان استقبال میشود. رمضان " حیدري " Emil:Rmzn.Hidri786@yhoo.com ٩

11 عملیههاي اعداد الجبري فصلاول عملیههاياعداد الجبري آشنایی: در فصل اول این کتاب اعداد الجبري عملیههاي الجبري و قیمت مطلق اعداد را بررسی میکنیم. الجبر: بخش از ریاضیات بوده که معنی آن ترمیم و جبران کردن است به مساي ل که علم حساب عاجز باشد توسط علم الجبر حل میگردد و در الجبر بر علاوه عدد حروف نیز استفاده میگردد که این حروف نشان دهنده کمیات طول کتله وقت...میباشد. فرق الجبر و حساب این است که علم حساب از کمیات یا اشیاء با اعداد بحث میکند اما الجبر کمیت یا اشیاء را با حروف نشان میدهد. به عبارت دیگر اگر علم حساب به بیان حرفی نوشته شود آنرا الجبر مینامند همچنان در حساب اعداد بدون علامه استفاده میگردد و در الجبر با علامه در نظر گرفته میشود. مانند:...,,,,0,,,,,... عملیههاي اعداد الجبري اعداد الجبري داراي علامه مثبت یا منفی میباشد و صفر عددي است که داراي علامه نمیباشد. قبل از اینکه عملیههاي اعداد الجبري را مورد مطالعه قرار دهیم نکات ذیل را بخاطر داشته باشید. ) 5 8 ) 5 8 ),,, ١٠

12 عملیههاي اعداد الجبري در مثال و علامه نشان دهنده عملیه جمع و علامه نشان دهنده, نشان دهنده علامه عدد عملیه تفریق میباشد. و در مثال علامهه يا میباشد. عملیهجمع: براي اجراي این عملیه دو حالت وجود دارد. اگر اعداد هم علامه باشند جمع میکنیم علامه مشترك آنها را در نظر میگیریم. اگر اعداد مختلف العلامه باشند عدد کوچک را از عدد بزرگ تفریق و علامه عدد بزرگ را در نظر میگیریم. مثالها: اعداد ذیل را جمع نماي ید. ) 5 ) 60 ) 56 5) 80 ) 6 6) 0 توجه: عدد الجبري که علامه آن مثبت باشد آنرا بدون علامه مینویسند. مانند:, 6 6, عملیه تفریق: جمع مینماي یم. براي تفریق اعداد الجبري اولا علامه مفروق را تغییر داده بعدا ) 5 ) 6 ) 0 0 ) ١١

13 عملیههاي اعداد الجبري عملیه ضرب: براي ضرب نمودن اعداد الجبري اولا علامه را با علامه ضرب نموده بعدا مانند ضرب عدد حسابی عمل میکنیم. و حاصل ضرب دو عدد هم علامه مثبت است و مخالف العلامه منفی میباشد. یعنی: مثالها: اعداد الجبري ذیل را ضرب نماي ید. ) 6 ) 7 ) 6 ) 8 عملیه تقسیم: براي تقسیم نمودن اعداد الجبري اولا علامه را با علامه تقسیم نموده و بعدا مانند عدد حسابی عمل مینماي یم. حاصل تقسیم دو عدد هم علامه مثبت و مخالف العلامه منفی میباشد. یعنی: مثالها: اعداد الجبري ذیل را تقسیم نماي ید. ) ) 8 9 ) 8 ) 0 5 هاي اعداد الجبري: با استفاده از عملیه جمع تفریق ضرب تقسیم و رفع قوسها میتوان به صورت ذیل ساده سازي کرد. ) ) ١٢

14 عملیههاي اعداد الجبري قیمت مطلق اعداد قیمت مطلق هر عدد عبارت از مقدار مثبت آن عدد از نظر هندسی عبارت از فاصله همان عدد از مرکز محور اعداد میباشد قیمت مطلق اعداد را به شکل نمایش میدهند و به صورت زیر تعریف میگردد. : 0 : 0 مثال: قیمت مطلق را دریابید. طوري که, باشند. براي شرط اول و براي شرط دوم صدق میکند. if if ) ) y y ) y y ) y y : y 0 5) 6) y y خواص قیمت مطلق اعداد هاي قیمت مطلق براي حل هاي قیمت مطلق از خواص فوق استفاده مینماییم. ) 6 ) ١٣

15 عملیههاي اعداد الجبري ) ) 5) 6) ).59 مثال 8 : اگر باشد حاصل زیر را حساب نماي ید. if باشد حاصل زیر را حساب نماي ید. مثال 9 : اگر 0 5 if 0 57 b b0b bb مثال: نشان دهید که bb است. b b b b b bb b ١۴

16 توانها ریاضیات () دوم فصل توانها آشنایی: توانها نقش مهم براي ساده سازي ها و حل معادلات نمایی داشته که در این فصل توانها و قوانین آنرا مورد بحث قرار میدهیم و قوانین توانها همان روش ساده ضرب و تقسیم اعداد میباشد. توانها: شکل ساده جمع اعداد یکسان را ضرب مینامند و شکل ساده ضرب اعداد یکسان را توان (طاقت) مینامند به عبارت دیگر هرگاه یک عدد چندین مرتبه به خودش ضرب شده باشد این حاصل ضرب را به شکل ساده (توان) نوشته میکنیم اگر یک عدد حقیقی بنام قاعده و n یک عدد طبیعی بنام توان باشد داریم که: n IR n IN ) ) ) مثالها: قوانین توانها قانون اول رت ب ھn م n ١۵

17 توانها ریاضیات () e : ) 8 ) 8 به توان هر عدد مساوي است به (). مانند: ) 6 ) توجه: عدد () 0 قانون دوم n e : n or ) 8 8 ) or قانون سوم n n e : 5 5 or ) ) 7 7 or 8 8 e : m n m n ) ) ) ) 6 قانون چهارم ١۶

18 توانها ریاضیات () m m b b m e : قانون پنجم ) ) قانون ششم ) ) n m e : y y y z yz n m ) ) 8 6 y y n n ) ) z z m mn n, m n e : ) 7 75 ) 5 ) n z nn ) z z n z n قانون هفتم قانون هشتم b m m b m b 0 ١٧

19 توانها ریاضیات () e : 5 5 ) ) 6 ) ) y y z z z n 0 nn 0 0, 0 n e : 0 ) 75 ) 76 0 قانون نهم 0 ) ) y z z z قانون دهم m m m m mm m m m m m mm m e : n ) ) n 9 n m ) z ) y n m z y قانون یازدهم n b b n 0 ١٨

20 توانها ریاضیات () n n n n n b b b n n n b b n b e : 6 y ) ) y y n n, n n e : 9 y yy ) ) y 9 y n اساسات الجبري ١٩

21 جذر اعداد فصلسوم جذرها آشنایی: جذرها یک بخش مهم براي محاسبات ها و معادلات بوده که در این فصل به ساده سازي هاي جذري و قوانین آن میپردازیم. جذراعداد: جذر یک نوع از توان کسري طاقت میباشد و به شکل نویسند عدد تحت جذر و n درجه جذر میباشد. مانند: n 7 توجه : جذري که درجه آن نوشته نباشد درجه آن است. مانند: می توجه : اعداد منفی تحت درجه جذر جفت قیمت حقیقی ندارند و بنام اعداد موهومی یاد میکنند. مانند: i i نکته: در حالت ضرب و تقسیم به مسایل ذیل دقت نماي ید. i i i دریافت جذر مربع اعداد براي اجراي این عملیه نکات ذیل را بخاطر داشته باشید. خط افقی به بالاي عدد مورد نظر و به طرف چپ آن نیز یک خط عمود رسم مینماي یم. ٢٠

22 جذر اعداد از طرف راست دو دو مرتبه جدا مینماي یم و در بالاي خط افقی و چپ خط عمود عدد را در نظر میگیریم که حاصل ضرب آن از عدد جدا شده طرف چپ اعداد بزرگ نگردد. عدد در نظر گرفته شده را ضرب و در زیر عدد جدا شده مینویسیم و از عدد بالاي آن تفریق مینماي یم. سپس دو مرتبه بعدي را پاي ین و عدد یکهاي طرف چپ خط عمود را دو چند مینماي یم و این عملیه را الی اخیر ادامه میدهیم. مثالها: جذر مربع اعداد ذیل را در یابید. ) ) در یافت جذر مربع اعداد اعشاري براي انجام این عملیه مانند اعداد طبیعی عمل نموده صرف اعداد طبیعی را از راست به چپ و اعداد اعشاري را از طرف چپ به راست دو دو مرتبه جدا مینماي یم و علامه اعشاري را در موقع اش بالا میکنیم. مثالها: ) ) 6. ٢١

23 جذر اعداد دریافت جذر n ام اعداد براي جذر دوم سوم چهارم... اولا اعداد را تجزیه نموده و بعدا به تعداد درجه جذر اعداد مشترك را انتخاب میکنیم در صورت که اعداد جذر کامل نداشته باشد قسمتی از عبارت مجذور را از تحت جذر بیرون میآوریم. و از فورمول ذیل استفاده میکنیم. n n b b, e: 5 n 7 n 7.99 مثالها: جذر اعداد ذیل را دریابید. ) 8 ) ٢٢

24 جذر اعداد 5 ) ) هم درجه کردن جذور هنگامی که جذور مختلف الدرجه باشند براي هم درجه کردن آنها اولا کوچکترین مضرب مشترك درجههاي جذور را بهدست آورده آنرا تقسیم درجه هر یک از جذور مینماي یم بعدا حاصل تقسیم را ضرب توان مجذور ),, 6 6 ), y, y y 8 8 ) z, z z, ), y, y y 5),, مینماي یم. مثالها: جذور ذیل را هم درجه سازید ),,, ٢٣

25 جذر اعداد مقایسه جذور براي مقایسه کردن چندین جذر سه حالت ذیل را در نظر میگیریم. هنگامی که جذرها هم درجه باشند جذر بزرگتر است که مجذور آن بزرگ است. مانند:, 5 5 هنگامی که اعداد تحت جذر مساوي باشند جذري بزرگتر است که درجه 5, آن کوچکتر باشد. مانند: اگر مجذور و درجه جذور متفاوت باشند اولا آن را هم درجه نموده و بعد مقایسه میکنیم. مثالها: جذور ذیل را مقایسه نماي ید. ), ) 8, ), ), 5, n m m n n n, : n k قوانین جذرها قانون اول e :) 9 ) ) n n n n bc b c قانون دوم ٢۴

26 جذر اعداد e : ) b b b ) ) 5 n n b e : n b ) 6 ) 8 8 ) 7 قانون سوم 5 5 قانون چهارم m n e : mn ) ) ) قانون پنجم z z b b b 6 e : ) ) ) ٢۵

27 جذر اعداد z n m m n e : z قانون ششم 6 ) ) ) n n n y y قانون هفتم e : ) ) 5 8 n ) n n n n n n n n n... قانون هشتم قانون نهم قانون دهم قانون یازدهم ٢۶

28 جذر اعداد... n n n n قانون دوازدهم : :... n n n n مثالها: با استفاده از قوانین نهم دهم یازدهم و دوازدهم جذور ذیل را ساده سازید. ` 6 5 ) ) ) ) ) 6 : 6 : قانون سیزدهم: قانون چهاردهم: مثال: اگر... A پس قیمت A را دریابید. A A A A A A A, A 0 جمع و تفریق اي جذري ٢٧

29 جذر اعداد جمع و تفریق هاي جذري در صورت امکانپذیر است که جذرها مشابه باشند و جذرهاي مشابه به جذور گفته میشود که هم درجه و مجذورها باهم مساوي باشند. مثالها: جذور ذیل را جمع و تفریق نماي ید. ) 8 5 ) ) ضرب و تقسیم هاي جذري در صورت هاي جذري ضرب و تقسیم شده میتواند که هم درجه باشند و اگر مختلف الدرجه باشند اولا آنها را هم درجه نموده و بعدا ضرب و تقسیم را انجام میدهیم. مثالها: هاي جذري ذیل را ضرب و تقسیم نماي ید. ) ) ) 5 ) 6 5) y y y ٢٨

30 عبارتهاي الجبري فصلچهارم عبارتهاي الجبري آشنایی: بحث میکنیم. در این فصل راجع به عبارتهاي الجبري خواص و عملیههاي آن الجبري: عبارتی میباشد که از یک ثابت یا یک متحول و یا از ترکیب ثابتها و متحولها تشکیل شده باشد. مانند: 8,,, y,,,, y,... متحول و ثابت: متحول یک سمبول است که به جاي هر عنصر یک ست غیر خالی وضع شود. مثلا : A: طوري که میتوان براي قیمته يا بزرگتر و مساوي از را تعریف نمود. و حروف yzرا,, بنام متحول 8 vr ible یاد میکنند و ثابت میشود که قیمت آن تغییر نمیکند مثلا اعداد به قیمت,,,... مساوي شده نمیتواند بلکه هر کدام قیمت معیین خود را دارد. اعداد گفته معیین هیچگاه باهم دیگر حد الجبري: به ترکیبی از اعداد و حروف که باهم به حالت ضرب و یا تقسیم قرار داشته باشد حد الجبري گفته میشود. مانند: ضریب یک حد:,, y, z,,... اعداد ثابت که در حالت ضرب به یک متحول است بنام ضریب عددي همان حد یاد میکنند و یا چندین حروف با عدد ثابت در حالت ضرب قرار داشته باشد ضریب یک حد اعداد و حروف دیگر میباشد. مانند: نظر به y ضریب است ضریب عددي y ٢٩

31 عبارتهاي الجبري p q q حدود مشابه: عبارت از هاي الجبري میباشد که صرف ضرایب آنها متفاوت باشند. مانند: 5 5 zy 5zy حدود غیر مشابه: عبارت از هاي الجبري میباشد که حروف آنها باهم مساوي نباشند. مانند: 8y y z z b عبارتهاي الجبري: بهصورت عموم عبارات الجبري به سه نوع است که هر کدام عبارتند از: پولینومی ناطق(گویا) غیر ناطق براي این که پولینومها را مفصل تشریح نماي یم ابتدا ه يا ناطق و غیرناطق را مطالعه مینماي یم. افاههاي الجبري ناطق: اگر بتوانیم که یک الجبري را به شکل 0 بنویسیم طوري که p, q عبارت الجبري باشد این نوع عبارت را بنام هاي الجبري ناطق(گویا) یاد میکنند. مانند:,,,... z y هاي غیرناطق: عبارت از الجبري است که آنرا به شکل خارج قسمت دو پولینوم نوشته کرده نمیتوانیم. مانند:,, b b,,... ملتی نوم: عبارت چندین حده الجبري که توان متحول آن کسري یا منفی باشد بنام ملتی نوم یاد میکنند. مانند: ٣٠

32 عبارتهاي الجبري, 8 y, b,... هاي الجبري پولینومی الجبري یک یا چند حده که توانهاي حروف شان در ست اعداد کامل W شامل باشد بنام پولینوم یاد میکنند که شکل عمومی آن n n n 0 n n n... 0 n 0 که n یک عدد مکمل و نشان دهنده درجه متحول و 0,,,,... عبارت از: طوري,,,,...,, ضرایب اعداد حقیقی اند. e :, y,, 8,... n n n 0 مشخصات پولینوم عبارتند از: توان تمام متحولین اعداد کامل باشند. در مخرج متحول نداشته باشد. متحول تحت جذر نباشد. مثالها:,,,... مونوم(یک حده): به عبارت گفته میشود که داراي یک علامه و یا باشد. مانند:, y, yz,... بینوم(دو حده): به عبارت الجبري گفته میشود که داراي دو علامه الجبري باشد به عبارت دیگر از دو مونوم تشکیل شده باشد. مانند: y,, b,... ٣١

33 عبارتهاي الجبري ترینوم(سه حده): به عبارت گفته میشود که داراي سه علامه الجبري باشد. یعنی از سه مونوم تشکیل شده باشد. مانند: yz, z, b c,... درجه یک مونوم: عبارت از حاصل جمع توانهاي متحولین یک مونوم y درجه میباشد. مانند: درجه این عبارت سه میباشد و نظر به درجه دو اما نظر به 59 y درجه یک میباشد. 5 yz درجه این حد سه میباشد نظر به y درجه یک پولینوم یعنی درجه درجه پنج میباشد و اما نظر به 9 میباشد نظر به z درجه یک میباشد. عبارت از بزرگترین درجه حد (مونوم) همان پولینوم میباشد. مثالها: درجه پولینومهاي ذیل را تعیین نماي ید. for is for is for is 0 پولینوم ثابت: عبارت از پولینوم است که درجه آن صفر باشد یا به عبارت دیگر پولینوم که ضرایب تمام متحولین آن صفر باشد. مانند: 0 0 0, cc,, m m m b ي قیمتها مثال: و b یک پولینوم ثابت باشد. را دریابید طوري که پولینوم حل: چون پولینوم ثابت است پس ضرایب آن مساوي به صفر است. 0 0 b b 0 b 0 ٣٢

34 عبارتهاي الجبري پولینومصفري اگر حد ثابت پولینوم ثابت صفر باشد بنام پولینوم صفري یاد میکنند. یعنی: p 0 c یک b bc مثال: قیمت پولینومصفري باشد. را دریابید اگر حل: چون پولینومصفري است پس هر حد صفر میباشد. c bbc b c0c b0b c bc00 پولینومهاي معادل: پولینومهاي اند که داراي متحول یکسان بوده و ضرایب حدود شان باهم دیگر مشابه باشند. m n c معادل باشد مثال: اگر پولینوم با پولینوم قیمته يا, mn و c را دریابید. m m n n c c 6 پولینومهاي متجانس اگر درجههاي تمام حدود یک پولینوم باهم مساوي باشند بنام پولینوم z y y n را,,... m و y z متجانس یاد میکنند. مانند: n مثال: اگر پولینوم دریابید. متجانس باشند قیمته ي mا و ٣٣

35 عبارتهاي الجبري حل: درجه یکی از حدود میباشد. بوده پس درجه حدود دیگر نیز باهم مساوي mn mn پولینوم کامل: عبارت از پولینوم است که تمام حدود آن از بزرگترین توان متحول تا آخرین حد موجود باشد. مانند: b c پولینوم ناقص پولینوم که یک یا چند توان متحول آن موجود نباشد بنام پولینوم ناقص یاد میکنند. مانند:,... و پولینوم ناقص را با گذاشتن صفر به حیث ضریب آن حد میتوان پولینوم را کامل کرد. مانند: 0 0 پولینوم منظم و غیرمنظم اگر در یک پولینوم توانهاي آن به صورت صعودي و یا نزولی ترتیب شود بنام پولینوم منظم و در غیر آن بنام پولینوم غیرمنظم یاد میکنند. مانند: پولینومهاي منظم دریافت قیمت پولینوم پولینومهاي غیرمنظم اگر در یک پولینوم به عوض متحول یک عدد حقیقی وضع شود یک عدد حقیقی بهدست میآید که همین عدد قیمت این پولینوم از این عدد میباشد. و ٣۴

36 عبارتهاي الجبري براي دریافت قیمت پولینوم صرف عدد مورد نظر را به متحول آن مینماي یم. وضع مثالها: ) p ) p p p886 p9 دریافت مجموع ضرایب پولینومها براي دریافت مجموع ضرایب پولینومها صرف بجاي متحولها وضع مینماي یم. مثالها: قیمت پولینومهاي ذیل را دریابید. را عدد 8 p 89 p عملیه جمع پولینومها ) p 8 ) p p p در عملیه جمع صرف حدود مشابه را میتوان باهم جمع کرد که به شکل است پسB A سطري و ستونی انجام شده میتواند. B مثال : ه يا 8 A و را دریابید. AB8AB 0 A را دریابید. مثال : Ay وB8y است پس B Ay Ay B8 y B8 y ABy ABy8 y ABy ٣۵

37 عبارتهاي الجبري براي جمع نمودن ها ابتدا آن را ترتیب نموده بعدا جمع میکنیم. عملیه تفریق پولینومها براي تفریق هاي الجبري صرف علامه مفروق را تغییر داده بعدا جمع A را دریابید. B B است پس 8y A B y 8y y 8y 6y A y B8y AB6y است پسB A را دریابید. A y y B 8y y AB9y y By8y میکنیم. مثال : y A و مثال : A y y و عملیهضربهايالجبري براي ضرب نمودن هاي الجبري اولا علامه ضرب اخیر متحولها را به اساس قوانین طاقتها باهم ضرب مینماي یم. ضرب یک حدهها علامه بعدا ضرایب و در y y ) 8 6 ) b 5b 0 b ) 6 y y ) m bm 7b m b ضرب یک حده درپولینوم ٣۶

38 عبارتهاي الجبري ) b b ) ) m z m mz m m 8 8 ضرب پولینومها: براي انجام این عملیه هر یک از حدود پولینوم اول را در پولینوم دوم ضرب نموده بعدا در صورت امکان ساده میسازیم. ) y8 y 9y 6y 6y ) ) y y y عملیهتقسیمپولینومها: در عملیه تقسیم پولینومها اولا علامه بعدا ضرایب و متحولها را به اساس قوانین طاقت تقسیم مینماي یم. 8y ) 8y y y y y ) y y y b c b ) b cbc b bc تقسیمیکحدهها تقسیمپولینومبر یکحده براي انجام این عملیه تمام حدود پولینوم را بر مونوم تقسیم نموده و بعدا ساده ) b b b b b b b میسازیم. ٣٧

39 عبارتهاي الجبري 8y y ) 8yyy 8 y y y تقسیمپولینومها براي اجراي این عملیه نکات ذیل را بخاطر داشته باشید. پولینومها را به اساس یک حرف کامل و ترتیب مینماي یم. حد اول مقسوم را بالاي اولین حد مقسومعلیه به اساس قوانین طاقت تقسیم نموده و حاصل تقسیم را به حیث خارج قسمت انتخاب مینماي یم. حد اول خارج قسمت را به تمام حدود مقسومعلیه ضرب نموده و حاصل تقسیم آن را از مقسوم تفریق مینماي یم. عملیههاي فوق را تا زمانی ادامه میدهیم که درجه باقیمانده نسبت به درجه مقسوم علیه کوچک گردد. مثالها: پولینومهاي ذیل را تقسیم نماي ید. ) ٣٨

40 عبارتهاي الجبري ) m m m m m ) m m m m m 8 8 m m m m m m m m 6 m 8m m 8m 6m 8m 8 m 6 7 قضیهباقیمانده هرگاه پولینوم در حالت تقسیم قرار داشته باشد درصورت که مقسومعلیه درجه اول b باشد براي دریافت باقیمانده بدون عملیه تقسیم قیمت مقسوم را pb دریافت نموده و قیمت که بهدست میآید عبارت از باقیمانده میباشد. مانند: ٣٩

41 عبارتهاي الجبري Pb Qb 0R Pb R پولینومP بالاي گردد در این صورت P Q b R b0 PbQb bbr b R0 که در صورت Pb b پوره قابل تقسیم است که بنام قضیه فکتور یاد میگردد. یعنی: PQbR b0 Pb Qb bb0 b Pb Qb 00 if: R0 Pb 000 P بر تقسیم گردد باقیمانده را مثال : اگرپولینوم دریافت نماي ید. P 0 P P796 مثال : هرگاه پولینوم P بر تقسیم گردد باقیمانده را دریافت نماي ید. P 0 P P6 تقسیم گردد باقیمانده P مثال : هرگاه پولینوم 56 را دریافت نماي ید. بر ۴٠

42 عبارتهاي الجبري P P9560 پوره قابل تقسیم است که P 56 0 m در مثال فوق پولینوم 56 P بر بر بنام قضیه فکتور یاد میگردد. مثال : درتقسیم m چند است. اگر باقیمانده شود. قیمت m 56m P m 0 P m 5 P P 7 P76m m 6 مقادیر و b را طوري حساب کنید که بر b مثال 5 : در پولینوم پوره قابل تقسیم بوده و باقیمانده تقسیم آن بر مساوي به باشد. 0 R f b0 0 R f b, b n b f همچنان براي تعیین باقیمانده به صفر قرار داده طوري که بر بینوم ابتدا بینوم را مساوي n بهدست میآید. پولینوم را نظر به n b b n ترتیب میکنیم و بجاي آید. مقدارش را وضع میکنیم تا باقیمانده بهدست ۴١

43 عبارتهاي الجبري دریافت 7 5 مثال 6 : باقیمانده f نماي ید. را بر 7 5 f 0 f R R6 R6 R6 0 5 مثال 7 : باقی مانده را بر بهدست آورید. 0 5 f 0 5 f 5 R R R50 تقسیم ترکیبی یک طریقه p تقسیم ترکیبی براي تقسیم کردن پولینوم بالاي کوتاه میباشد که به صورت عموم براي سهولت از آن استفاده میشود. بالاي p مثال : اگر پولینوم قسمت را دریافت نماي ید. تقسیم گردد خارج p Q Q 7 R ۴٢

44 عبارتهاي الجبري بالاي مثال : اگر پولینوم p خارج قسمت را دریافت نماي ید. تقسیم گردد p Q 9 7 Q 9, R7 فکتوریل عبارت از حاصل ضرب اعداد طبیعی میباشد و به علامه! نمایش میدهند. مانند: n! nnnn 0!!!! 6! 5! 5 0 6! n i 7! !! 6! 6,!,!!! 0! مثال: نشان دهید که!0 است. ۴٣

45 مطابقتها فصلپنجم مطابقتها آشنایی: در این فصل مطابقتها را مورد بحث قرار میدهیم. مطابقتها: به مساواتی گفته میشود که به تمام قیمتهاي دلخواه دو طرف مساوات داراي عین قیمت گردد. مانند: انواع مطابقتها برايسهولت تشریح این موضوع مطابقتها را طور ذیل به گروپها تقسیم میکنیم. مطابقتها ۴۴

46 مطابقتها b n انکشافمطابقت جهت انکشاف این نوع مطابقتها نکات ذیل را بخاطر داشته باشید. n حد اول را مینویسیم. براي دریافت ضرایب حدود بعدي توان حد اول را ضرب ضریب خودش یک واحد b b نموده تقسیم تعداد حدود آن مینماي یم. جمع میکنیم. طوري که مجموع توانه يا, b نکات فوق را تا زمانی ادامه میدهیم که حد اخیر n یک واحد کم و به توان در انکشاف هر حد از توان در هر حد n گردد. 0 و گردد. 0 b b n b b bb n توجه: تعداد حدود انکشاف یافته انکشاف مطابقتها قرار ذیل است. حد میباشد. b bb b b b6 b b b b 5 b0 b 0 b 5b b n n n n n b n n b b... b 0 n مثالها: مطابقتهاي ذیل را انکشاف دهید. ) y yy yy ۴۵

47 مطابقتها ) y y y 9 6y y ) ) 6 8 ثبوت: این نوع مطابقتها را با استفاده از قوانین طاقت چنین ثبوت می نماي یم. proof : ) b b b bbb bb b bb b bb ) bb bb b bb b b n انکشافمطابقت عمل نموده صرف این b n براي انکشاف این مطابقتها مانند مطابقت که علایم حدود انکشاف یافته بطور متناوب مثبت منفی میباشد. انکشاف این نوع مطابقتها قرار ذیل است. b 0 b b b bb b bb b b b6 b b b b 5 b0 b 0 b 5b b n n n n n b n n b n n b... b 0 ۴۶

48 مطابقتها مثالها: مطابقتهاي ذیل را انکشاف دهید. 9 ) m mm mm ) y y y y9y ) ثبوت: این نوع مطابقتها را با استفاده از قوانین طاقت چنین ثبوت می نماي یم. proof : ) b b b bbb bb b bb b bb ) bb bb b bb b مثلثپاسکال روش را b n پاسکال عالم فرانسوي براي دریافت ضرایب در مطابقته يا اراي ه کرده است که به مثلث پاسکال معروف میباشد و به صورت زیر بیان میگردد. n 0 n n n n 6 n n را دریابید. 6y مثال: مجموعه ضرایب انکشاف یافته p, y 6y 6y 6y y6y ۴٧

49 مطابقتها, 6 6 6, 6, b n دریافت حد خواسته شده در انکشاف بینومه يا براي انجام این عملیه ترکیب اعداد را بطور مختصر بیان میکنیم. p p y y p n n C r rnr, nr, n, rn مثالها: ترکیبهاي ذیل را حساب نماي ید. ) C ) C ) C 0 6 را از رابطه b n n, n C b, b با استفاده از ترکیب اعداد حد خواسته شده انکشاف بینوم n r r n r r ذیل بهدست میآوریم. r rnr براي حل مثالهاي این عملیه نکات زیر را بخاطر داشته باشید. حد خواسته شده r میباشد. تمام ضرایب آن مثبت است. b n مطابقته يا b n نظر به توان حد دوم b اگر تاق باشد ضریب مطابقته يا منفی اگر جفت باشد مثبت است. ۴٨

50 مطابقتها میباشد. bرا 8 دریافت نماي ید. مثال :حد پنجم n8 r5r , b 70 b 8 8 لذا توان حد دوم b جفت است پس ضریب آن 70 را دریافت نماي ید. مثال : حد سوم b 5 n r, b 0 b 5 r 5 را y 7 دریافت نماي ید. n r y 5 y 7 r 5y 7 y مثال : حد چهارم چون توان حد دوم انکشافمطابقته يا تاق است پس ضریب حد چهارم آنy 5 است. n b این نوع مطابقتها توسط رابطه ذیل انکشاف داده میشود. n n n n n n b b b b... b b 0 0 b b b b b n و به صورت ذیل انکشاف میدهیم. ۴٩

51 مطابقتها b b b b b b b b b b b b b b b 5 5 توجه: هرگاه n یک عدد جفت طبیعی باشد این مطابقتها را از رابطه زیر نیز e :... b b b b b n n n n n n b b bb b ) 6 میتوان انکشاف داد. مثالها: مطابقتهاي ذیل را انکشاف دهید. ) 9y y y y 5 ) ) b b bb b bb b b b b b b b ثبوت ۵٠

52 مطابقتها proof : b b bb b bb b b b b b b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b bb n b n انکشاف مطابقته يا اگر n یک عدد تاق باشد توسط رابطه ذیل انکشاف داده میشود. n n b b n n n b b n... b if nk e : b b b b bb b b b b b b 5 5 مثالها:مطابقتهاي ذیل را انکشاف دهید. ) 8 ) y 7 y y y y ۵١

53 مطابقتها n n proof : b if n k b b bb b bb b b b bb b b b b b b bb b b b b b b b b b b b b b b b b b n b n اگر n یک عدد جفت باشد مطابقت داده میشود. توسط رابطه ذیل انکشاف n n n n n n n n b b b b b e : b b b b b b b b b b ثبوت ۵٢

54 مطابقتها proof : b bb b b b b b b b b b b b b b نظر به خاصیت تناسب میتوان فورمول فوق را تعمیم داد. b b b b b n if n n n n n n n n n b b b b b مطابقتهاي مشهور براي سهولت در اجراي عملیههاي ریاضیکی مطابقتهاي ذیل را بخاطر داشته باشید. b bb b bb b b b ۵٣

55 تجزیه ها فصلششم تجزیهها آشنایی: در این فصل به تجزیه هاي الجبري میپردازیم طوري که در ریاضیات () تجزیه اعداد طبیعی را آموختید تجزیه ه يا الجبري نیز تبدیل نمودن آن به عوامل ضربی مذکور میباشد. تجزیه: تجزیه یک الجبري عبارت از دریافت چند دیگر به شکل عوامل ضربی آن میباشد که به حالات ذیل یک الجبري را تجزیه مینماي یم. :تجزیه به اساس فکتورگیري هرگاه در یک الجبري یک حرف در تمام حدود آن شامل باشد آنرا فکتور گرفته و هر یک از حدود را تقسیم این عامل نموده و حاصل تقسیم را در حالت ضرب با این عامل مینویسیم که عبارت از تجزیه ها میباشد. مثالها: هاي زیر را تجزیه نماي ید. ) m mb cm m b c ) m m m ) y y :تجزیه بینومها ) m ym m ym y y y 5) 6 هر گاه هاي الجبري شکل مطابقت b دو قوس تجزیه مینماي یم. مانند: را داشته باشد به حاصل ضرب ۵۴

56 تجزیه ها ) y y y ) ) 9 ) ) 6) y y y y b b b b y y y y y y y y y y y y 6 b :تجزیه به اساس مطابقته يا بعضی از هاي الجبري که شکل انکشاف یافته مطابقت فوق را داشته چنین تجزیه مینماي یم از حد اول و اخیر جذر مربع گرفته باهم ضرب نموده اگر دو چند این عامل مساوي به حد وسط باشد میتوان به این روش تجزیه نمود. مانند: bb ) b y y ) y b b b b b b yy y y y y mmnn m mnn ) m n m mn n m n m n mn mn :تجزیه به روش گروپ بندي ۵۵

57 تجزیه ها هاي الجبري که عامل مشترك خاص نداشته باشد چند مرتبه فکتور مشترك گرفته به عوامل آن تجزیه مینماي یم. مانند: ) m bm n bn m bm n bn m b n b bm n bm b y 5 :تجزیه ترینومها ) m mb b m b b ) b y by b y b براي تجزیه ترینوم b c حالات ذیل را در نظر میگیریم. حالتاول: تجزیه ترینومهاي که در آن باشد و شکل bc را اختیار نماید براي تجزیه آن دو عدد را بهدست میآوریم که حاصل ضرب آنها c و حاصل جمع آنها مساوي به b گردد. بهصورت زیر تجزیه میکنیم. bc b mn cmn b c m n m n mnmn m n mn m n mn m n m m n mn m n m n m m n b c m n ) ) مثالها: ۵۶

58 تجزیه ها ) ) حالتدوم: تجزیه ترینومهاي که در آن باشد 0 توسط جدول میتوان بطور ذیل تجزیه کرد ) 7 7 ) ) ) b c حالتسوم: طریقه تکمیل مربع براي تجزیه نمودن ترینومه يا به روش تکمیل مربع نکات زیر را بخاطر داشته باشید. را فکتور مشترك میگیریم., ضریب ۵٧

59 تجزیه ها b را نصف نموده مربع میکنیم و این عدد را یکبار جمع ضریب و تفریق مینماي یم. تبدیل میکنیم. b سه حد اول را به مطابقت حدود متباقی را بعد از عملیههاي فوق بهصورت مربع کامل مینویسیم. بعدا مانند تجزیه نوع دوم آنرا تجزیه مینماي یم. b c b c b b b c b b c b b c b b c b b c b b c b b c b b c b b c مثال: ۵٨

60 تجزیه ها بزرگترین قاسم مشترك هاي الجبري عبارت از بزرگترین الجبري است که تمام هاي داده شده بر این الجبري پوره قابل تقسیم باشد و براي دریافت آن از مطابقتها و تجزیه استفاده مینماي یم. مثالها: بزرگترین قاسم مشترك هاي ذیل را دریابید. ), 9, z y GCD ) 5, 5, 0, 5 y z GCD ),, b b GCDb ), GCD 5) 6, 6,, GCD کوچکترینمضربمشتركهاي الجبري عبارت از کوچکترین الجبري است که بر تمام هاي داده شده پوره قابل تقسیم باشد. که میتوان با استفاده از تجزیه و مطابقتها دریافت کرد. مثالها: کوچکترین مضرب مشترك هاي ذیل را دریابید. ), 6 y, LCM 6 y b b LCM b b ),, ),,7, b c b LCM b c ),,, 6 6 LCM ۵٩

61 کسور الجبري و اعداد مختلط فصلهفتم کسور الجبري و اعداد مختلط آشنایی: در این فصل عملیههاي جمع تفریق ضرب و تقسیم کسور الجبري و اعداد مختلط را تشریح و به معرفی هر یک میپردازیم. کسور الجبري کسرهاي که صورت و مخرج شان هاي الجبري باشد بنام کسور الجبري p یاد میگردد و به شکل میباشد طوري که 0 g باشد. مانند: g,0,0,5 0, 0 5 کسرواقعی به کسر گفته میشود که درجه صورت آن کوچکتر از درجه مخرجاش باشد. مانند: 56 5 کسر غیرواقعی به کسرهايگفته میشود که درجه صورت بزرگتر از درجه مخرج باشد. مانند: 5 56 کسرناطق(نسبتی): پولینومها تشکیلشده باشد. مانند: به کسرهاي گفته میشود که صورت و مخرج آن از ۶٠

62 کسور الجبري و اعداد مختلط 5 6 کسرغیرناطق: به کسرهاي گفته میشود که یکی از حروف صورت یا مخرج تحت جذر باشد. مانند: 8 8 اختصارکسرها هرگاه صورت و مخرج کسرها را تقسیم مقسومعلیه مشترك آنها نماي یم این عملیه را بنام اختصار کسرها یاد میکنند. و براي اختصار کسرهاي الجبري اولا صورت و مخرج را تجزیه نموده بعدا عوامل مشترك را اختصار مینماي یم. ) ) ) ) 5) b b b b b b مثالها: کسور ذیل را اختصار نماي ید. توجه: عملیههايکسور الجبري ۶١

63 کسور الجبري و اعداد مختلط عملیه جمع و تفریق کسرهاي الجبري: براي جمع و تفریق کسور الجبري دو حالت ذیل را در نظر میگیریم. اگر مخرج کسرها مساوي باشد صورتها را جمع و یا تفریق مینماي یم. مثالها: کسرهاي ذیل را جمع و تفریق نماي ید. )? )? y y y y y y 8 6 y y )? m m m m m m m m در صورت که مخرجهاي کسور متفاوت باشد کوچکترین مضرب آنها را دریافت نموده مانند کسرهاي حسابی ساده میسازیم. مثالها: کسرهاي ذیل را جمع و تفریق نماي ید. )? ۶٢

64 کسور الجبري و اعداد مختلط )? b b b b )? b b bbb bb b b b b b عملیه ضرب کسور الجبري: براي ضرب کردن کسور الجبري مانند کسره يا حسابی صورت ضرب صورت و مخرج ضرب مخرج در صورت امکان اختصار پذیري اولا اختصار مینماي یم. مثالها: کسور ذیل را ضرب نماي ید. )? b b b b )? b b b b b b b b b b ) b b? ) y y y? 5 5 b b b ۶٣

65 کسور الجبري و اعداد مختلط b b b b 5)? b b b b b b b عملیهتقسیمکسورالجبري: براي تقسیم کسور الجبري کسر اول به حالت خودش گذاشته شده علامه تقسیم به ضرب تبدیل گردیده و کسر دوم را برعکس مینماي یم و بعد ضرب را ساده میسازیم. مثالها: کسور ذیل را تقسیم نماي ید. y y y y y ) ) ) b b? b b b bb b b b کسرمرکب:کسري است که صورت و مخرج آن کسرها باشد. مانند: 6 )? b b ) b b? b b b b ۶۴

66 کسور الجبري و اعداد مختلط )? b b b b b b b b b )? m m m m 6mm m m m m m 8m8m m m m m 6m7m m 6m 7 6m7 6m7 6m7 m 5)? گویاساختنمخرجکسرهاي غیرناطق(جذري) ۶۵

67 کسور الجبري و اعداد مختلط اگر مخرج یک کسر تحت جذر واقع باشد براي گویا ساختن مخرج کسر غیرناطق صورت و مخرج کسر را ضرب عامل متناسب مخرج نموده تا این که مخرج کسر به حالت ناطق قرار گیرد. مثالها: مخرجهايکسور ذیل را گویا سازید. ) ) ) m باشد صورت و مخرجکسر توجه: برايگویا ساختنکسر طوري که n n m b n n m b مینماي یم. را ضرب ) b b b b b b b b ) 8 ) نیز میتوان استفاده نمود. مثالها: کسور ذیل را گویا سازید. b همچنان از مطابقت ۶۶

68 کسور الجبري و اعداد مختلط b b b b b b b b b تجزیه جذرمرکب جذريکه به شکل b آن به جذور ساده باید باشد بنام جذر مرکب یاد میشود و براي تجزیه bc شکل مربع کامل را داشته باشد یا c c b b باشد که تجزیه آن قرار ذیل است. ) 8 مثالها: جذور مرکب ذیل را تجزیه نماي ید. 8 c b 8 c c ) , b0c c 9c ) 8 8 8, b8 c c 6c اعداد موهومی ۶٧

69 کسور الجبري و اعداد مختلط اعداد منفی تحت جذر جفت در ساحه اعداد حقیقی داراي قیمت نمیباشد این نوع اعداد را بنام عدد موهومی یاد میکنند که بهصورت و i اراي ه میگردد i و یک عدد حقیقی و واحد اعداد موهومی بوده که قیمت آن I i IR i :,, i i i میباشد و بهصورت زیر اراي ه میگردد. i, i مثالها عدد توانه يا مربع یک عدد حقیقی مثبت اما مربع یک عدد موهومی منفی میباشد. i i i n i i i i n i i i i ii i i n i i i i i i 5 n 5 5 i i i i i iii i i i از بالا بردن توان واحد عدد موهومی نتیجه میگیریم که واحد عدد موهومی به i i هر توان یکی از اعداد مثال :قیمت, ii,, میباشد. را محاسبه نماي ید. را محاسبه نماي ید. i 87 مثال :قیمت i ۶٨

70 کسور الجبري و اعداد مختلط i 7 i i ii i 87 i i عملیههاي الجبري اعداد موهومی جمع و تفریق اعداد موهومی: مانند اعداد الجبري صورت میگیرد. مانند: i i i i ii i i i i i ii i ) 5 ) 5 ) 8 8 ) 8 8 5) 7ii5i 6) iii ) i i 6i 6 6 ) 5i i 5i 5 5 ) 8i i 6i 6 6 ) i i ) i i ) 5i i 5 عملیهضرب اعداد موهومی عملیهتقسیم اعداد موهومی اعداد مختلط ست اعدادي که شامل اعداد حقیقی و موهومی باشد بنام اعداد مختلط یاد C bi, bir, i میکنند و به طور زیر اراي ه میگردد. ۶٩

71 کسور الجبري و اعداد مختلط را bi قسمت حقیقی و میباشد که bi شکل معیاري عدد مختلط IR, biimg قسمت موهومی یاد میکنند. یعنی: عملیه جمع اعداد مختلط براي جمع کردن اعداد مختلط عدد حقیقی را با عدد حقیقی و عدد موهومی را با عدد موهومی جمع الجبري میکنیم. ) iiii56i ) ii ii5i ) ii8ii8 6i 0 میباشد. عنصر عینیت در عملیه جمع اعداد مختلط عدد 0i معکوس جمعی در عملیه اعداد مختلط عدد عدد bi bi میباشد. تفریق اعداد مختلط تفریق اعداد مختلط نیز مانند اعداد و هاي الجبري صورت میگیرد. مثالها: ) iiii ) 8ii8ii6i ) iiiii ضرب اعداد مختلط ) i i6 iii 6 i 8 i ) ii9 i 9 0 ) 5 i5 i5 5i0i6i 5 5i6 5i عنصر واحد در اعداد مختلط عدد میباشد. 0i ٧٠

72 کسور الجبري و اعداد مختلط b b b i عدد عبارت از عدد bi معکوس ضربی عدد میباشد. bi bi bi bi bi bi b b b مثال: معکوس ضربی عدد i را دریابید. i i i i i z iy میباشد طوري که: zz iyiy y مزدوج اعداد مختلط مزدوج اعداد مختلطziy عدد مثال: مزدوج zi را دریافت و ضرب نماي ید. zz ii96i6ii 99 zz ii 9 خواص مزدوج اعداد مختلط ) z z z z ) z z z z ) z z z z z z ) z z z z z z yi z z z z z z باشند نشان دهید که z و i z 5i 5) 6) 7) z z. z z 7i 7i z z 7i z z z z مثال: اگر تقسیم اعداد مختلط براي تقسیم اعداد مختلط ابتدا مخرج آنرا گویا نموده بعد ساده میسازیم. ٧١

73 کسور الجبري و اعداد مختلط ) ) 7 i 7 i 5i 5ii5i i5 5i 5i 5i 5 i 6 6 i i i i i i i i 6i 6i 6i 6 7 7i 7i مثالها: تساوي اعداد مختلط دو عدد مختلط وقتی باهم مساوي میباشند که قسمتهاي حقیقی و موهومی دو عدد باهم مساوي باشد. z و yi z وقتی مساوي میشوند که: مثال: اعداد bi باشد. b, y قیمت مطلق اعداد مختلط z y قیمت مطلق عدد zyi بهصورت زیر تعریف میگردد. z i z مثال: قیمت مطلق عددzi را دریافت کنید. 5 5 y, نمایش هندسی اعداد مختلط براي هر جورههاي مرتب از اعداد حقیقی که نشان دهنده یک عدد مختلط میباشد نقطهاي را در صفحه مختصات, y هر عدد مختلط نظیر یک نقطه در صفحه در نظر میگیریم بنابراین, y است. و بالعکس هر نقطه از ٧٢

74 کسور الجبري و اعداد مختلط صفحه مرتب y, را میتوان یک عدد مختلط در نظر گرفت. مانند: i جوره, را در صفحه نشان میدهد. y, i 0 توجه: وقتیکه از صفحه y براي نمایش اعداد مختلط استفاده میشود صفحه y را صفحه اعداد مختلط مینامیم. نمایش هندسی اعداد حقیقی خط افقی و را در نظر میگیریم و نقطه اي میکنیم براي نمایش هندسی اعداد فرض کنیم باشد حال اگر از o o ) 0 مثبت باش نقطه اي در طرف راست را روي آن اختیار نمایش هندسی عدد صفر o o برابر باشد انتخاب میکنیم این نقطه نمایش هندسی عدد ) 0 منفی باش نقطه اي به فاصله نمایش هندسی عدد که فاصلهاش است. اگر در طرف چپ انتخاب میکنیم این است. بهصورت عموم نقاط طرف راست o نمایش هندسی اعداد مثبت و نقاط طرف چپ o نمایش هندسی اعداد منفی است. 0 o 0 نوت: بخاطر داشته باشید که براي هر عدد حقیقی تنها یک نقطه روي محور, و براي هر نقطه روي محور بین مجموعه نقاط دارد. انترولها, تنها یک عدد حقیقی وجود دارد. یعنی, و مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر یکبهیک وجود ٧٣

75 کسور الجبري و اعداد مختلط هر یک از فاصلههاییکه ذیلا معرفی میشوند یک ست فرعی از اعداد حقیقی هستند. b, : b : b تا فاصله باز از b, : bb : b تا فاصله نیمه باز از طرف چپ از b b, : b : b تا فاصله نیمه بسته از طرف راست از, : : تا فاصله باز از b, : b : b تا فاصله بسته از, : : تا فاصله باز از, نشان دهنده تمام اعداد حقیقی است. یعنی: علامه, IR مثال : انتروال بسته الی را به بیان ریاضی بنویسید., : IR, مثال : انتروال باز الی را به بیان ریاضی بنویسید.,, : IR, 6 را به بیان ریاضی بنویسید., 6, 6 : IR, 6 مثال : انتروال نیمه بسته مثال : اعداد و الی را در روي محور اعداد نشان دهید. ٧۴

76 7 کسور الجبري و اعداد مختلط 5 مثال 5 : اعداد و را در روي محور اعداد نشان دهید. مثال 6 : اعداد و را در روي محور اعداد نشان دهید. حل: نظر به مثلث قایم الزاویه وتر مثلث را تشکیل میدهیم. ٧۵

77 کسور الجبري و اعداد مختلط سوالات ٧۶

78 قیمت سوالات چهارگزینهیی سوالات چهار گزینهیی عبارت است از: 7 5 b? 5 قیمت عبارت است از: قیمت 6 عبارت است از: b b b b b قیمت مطلق عبارت است از: y ٧٧

79 سوالات چهار گزینهیی y y y y y y y قیمت y y y قیمت مطلق 6b y b 6 5y.5y.5 y y ٧٨

80 سوالات چهار گزینهیی ٧٩

81 سوالات چهار گزینهیی n n n n 0 0 n n n 5 n n n ٨٠

82 سوالات چهار گزینهیی 5 5 n n n 5 n n n y در 5 y مقادیر و y 5 5 y y y 66 7 b c مقادیر,, bc 5 5 عبارت است از: 5 در از: عبارت است 0 5 ٨١

83 سوالات چهار گزینهیی 0 b c 0 b c 0 b c 8A 0 b c 5 اگر A باشد حاصل بهصورت توان عبارت است از: اگر 9 حاصل عبارت است از: جذري 9 7 جذر y 6 y 8y y 5 عدد مساوي میشود به: y مساوي میشود به: y 6 ٨٢

84 مساوي میشود به: سوالات چهار گزینهیی عدد عدد عدد جذري جذري 7 7 جذري جذري 0 کسر ٨٣

85 سوالات چهار گزینهیی مساوي میشود به: کسر 5 همه شکل ساده جذري عبارت است از: جذري کسري ٨۴

86 سوالات چهار گزینهیی y y 8y y y اگر A باشد پس A ٨۵

87 سوالات چهار گزینهیی cb cb 50 0 c b cb cb ٨۶

88 سوالات چهار گزینهیی ٨٧

89 سوالات چهار گزینهیی ٨٨

90 سوالات چهار گزینهیی 0 y y y y y y y y y y y ٨٩

91 سوالات چهار گزینهیی اگر باشد پس y و y y y A y y حل: در هاي ذیل کدام رابطه صادق است ٩٠

92 سوالات چهار گزینهیی همه b b اگر b9 است به: 5 و باشد پس قیمت مساوي حاصل ي 0! 0! 0! 0! 998! 8! 998! 8! 7 حاصل p 5 8 p 6 مجموعه ضرایب پولینوم 8 0 باقیمانده z اگر z7i باشد پس 80 0i 80 80i 0 0i 80 0i قیمتp p0 در پولینوم 7 است به: مساوي ln e ln ln ln در هاي ذیل کدام رابطه صادق است ٩١

93 سوالات چهار گزینهیی باقیمانده پولینوم گزینه الف درست است بر مساوي است 5 0 p به: اگر و باشد پس مساوي f g f g f است به: باشد پس اگر f m m متجانس باشد قیمت p, پولینومy y y اگر درجه پولینوم y z y z yz 6 عبارت است از: 0 7 y 5 درجه پولینوم عبارت است از: 5 از تقسیم پولینوم به سه حده خارج ٩٢

94 قسمت عبارت است از: سوالات چهار گزینهیی p 0 در p p بر کدام قابل تقسیم است. هرگاه قیمت پولینوم در این صورت صفر شود یعنی درصورتیکه p بر از: R p0 R p تقسیم شودعدد باقی مانده عبارت است R p R p کدام یک از هاي ذیل پولینوم گفته میشود: p عبارت است از: درجه پولینوم هر گاه p 6 8 بر تقسیم گردد باقی مانده عبارت است از: p در 0 عبارت است قیمت پولینوم از: 0 p 0 p p هرگاه پولینوم داراي خاصیت کدام پوره قابل تقسیم است. باشد بر ٩٣

95 سوالات چهار گزینهیی p چند است 5 5 درجه پولینوم 5 هرگاه پولینوم 6 داراي خاصیت 7 p باشد بالاي کدام 0 p ذیل قابل تقسیم است قیمت پولینوم p 7 براي اگر پولینوم 7 p بالاي بینوم مانده عبارت است از: تقسیم شود باقی اگر یک فکتور پولینوم p k 88 باشد k پس قیمت اگر p باشد پس قیمت p 0 p 0 اگر یک عدد طبیعی باشد پس درجه پولینوم p b عبارت است از: b 8 p p p p p 8p p مربع کامل ٩۴

96 سوالات چهار گزینهیی b b b b اگر عبارت است از: b یک فکتور باشد پس فکتور دومی آن b b b b b b حاصل ضرب y y y y y y y y y هرگاه tttباشد 8t9 پس قیمت عبارت از: y y y y 0 5 y y y قیمت عبارت از: 5!! مساوي میشود به: y y قیمت عدد ٩۵

97 عدد ترکیبی سوالات چهار گزینهیی 5 مساوي میشود به: 0 5 عدد ترکیبی مساوي میشود به: حد چهارم حالت انکشاف یافته بینوم عبارت است از: 5 6 کدام یک از مساوات ذیل مطابقت گفته میشود y مجموع ضرایب حالت انکشاف یافته بینوم 5 9 حد ششم بینوم 5 0 حد دوم حالت انکشاف یافته 8 عبارت است از: اگر مساوي 9 y باشد حاصل y y y y است به: ٩۶

98 سوالات چهار گزینهیی اگر y0 و 7 y باشد پس مقدار y y 9 6 باشد قیمت y و 5 اگر y اگر y y y y 8 تجزیه 69 6 به فکتورها 6 تجزیه y y y y به فکتورها عبارت است از: yy yy 9 y y 8 تجزیه به فکتورها عبارت از: ٩٧

99 سوالات چهار گزینهیی y تجزیه 9 y y y y y y y y بهصورت تجزیه عبارت از: بهصورت تجزیه عبارت از: هیچکدام 90 بهصورت تجزیه عبارت از: تجزیه عبارت است از: 5 5 تجزیه عبارت است از: به صورت تجزیه عبارت است از: y ٩٨

100 سوالات چهار گزینهیی y y y y y y yy y مساوي میشود به: m m m m m m m mm تجزیه 7 8 عبارت است از: y y yy y y y y y y y y y تجزیه عبارت است از: y y y y y کسر y y yy y y y y 5 y y y y y y y جمع کسر y y ٩٩

101 سوالات چهار گزینهیی هیچکدام y y y y y y y y y 9 y کسر y y 9 y y 9 yy9y 7 کسر y y y y y y ضرب کسور y حالت ساده کسر y y y 6c در مساوات کسري قیمت عبارت است از: c c c c ١٠٠

102 سوالات چهار گزینهیی 0 5 حاصل کسر کسر حاصل ضرب عبارت است از: 00 0 حاصل تقسیم ١٠١

103 سوالات چهار گزینهیی y 8y 0 y y y y y y 0z 8 8y z 0z 5 7 z 5 6 8y 5z z y 8y 0z 8z 8y 5z 8z 5 5 y ١٠٢

104 y y y y y سوالات چهار گزینهیی y y y b b 7 8 y y y y b b y y b b b b b b b ١٠٣

105 سوالات چهار گزینهیی y 5 5 9y 8 y y y y b 8 6b b 6 b 5 7 b b b y b b b y b b ١٠۴

106 اگر اگر اگر است از: باشد و 0 حاصل باشد پس قیمت 7 سوالات چهار گزینهیی y y y y عبارت است از: 8 عبارت است از: باشد آن گاه قیمت عبارت ١٠۵

107 سوالات چهار گزینهیی i i i zi 6 i عدد موهومی مزدوج عدد zi عبارت است از: zi zi zi اگر باشد پس 6 z z z 6i اگر باشد پس 5 z z z i 6 اگر zi باشد پس z zi zi zi هدف ما اراي ه خدمات علمی و اکادمیک مبتنی بر احساس دینی و ملی است. استاد انجنیر بختیاري"بختیار" استاد رمضان"حیدري" i i 5 95 عدد موهومی i i i 6 i ١٠۶

108 منابع ما خذ ما خذ ) اشرفی اسماعیل و دیگران. (88). ریاضی سوم رهنمایی. چاپ هفتم تهران: موسسه انتشاراتی گلواژه ) غوري محمد انور. (89). ریاضی عمومی. چاپ هفتم کابل: انتشارات سعید ) فتحالهی ابراهیم. (8). متدولوژي. چاپ هشتم ناشر: دانشگاه پیام نور (با همکاري انتشارات دلیلما) ) فولادي یاسر احمدي/ فولادي هادي احمدي. (90). مسي لههاي مقدماتی المپیاد کامپیوتر. تهران: انتشارات فاطمی 5) قرآن نویس محمود و جوادي حسین. (85). فزیک پیش دانشگاهی. چاپ دهم تهران: انتشارات ققنوس 6) گردلو پیمان. (87). رادیکالها. تهران: انتشارات نسل نو اندیش 7) لیپشوتس سیمور و لیپسون مارك. (8). احتمال. مترجم: علیاکبر عالم زاده تهران: انتشارات جنگل 8) محمديراد ناصر. (86). ریاضیات و کاربرد آن در مدریت (پایه). تهران: انتشارات جاودانه جنگل 9) نیکوکار مسعود و مقسمی حمید رضا. (80). ریاضی (ریاضی 5 قدیم). تهران: انتشارات گسترش علوم پایه 0) نیکوکار مسعود و دیگران. (87). ریاضی عمومی (مقطع کاردانی). چاپ یازدهم تهران: انتشارات گسترش علوم پایه ) و. لیتویننکو آ. ماردکویچ. (7). مروري بر جبر و مثلثات. مترجم: مسعود مشهوري تهران: انتشارات گوتنبرگ ) یوسفی مهدي. (90). عدد: این صفرهاي دوست داشتنی. تهران: انتشارات افق ١٠٧

109 تایضایر تاباوج دیلک ١٠٨ شزومآ مولع تاباوج دیلک هرامش باوج د د ج ب د ب ج د هرامش باوج ج ب ب ب د هرامش باوج ج ب ب د ب ج د هرامش باوج ب د ج د ب ج ب ج هرامش باوج د ب د ج د ج ج ب ب هرامش باوج ب د ب ج ج ج د هرامش باوج ب ب ج د د د ج هرامش باوج ب د ج ب ب د ب هرامش باوج ب ب ج ب د د هرامش باوج ج ب ج ب ج هرامش باوج د ج د د ب د ب

110 تایضایر تاباوج دیلک ١٠٩ شزومآ مولع هرامش باوج ج ب ب ج د د د ج ج هرامش باوج ب د د ب ب هرامش باوج د ب ج ج ج د ج هرامش باوج د ب د ب ج ج هرامش باوج ب د ب د ب ج د هرامش باوج ج ج ج ج د ب د ب هرامش باوج د د ج د ج ج هرامش باوج ب ج د ب ب ب ب ج هرامش باوج د ب ب ج هرامش باوج د ج د د ب ب د

111 معرفی کتابها ١١٠