LABORATORIUM I EMNENE TFY4155/FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME NTNU

Transkript

1 UTGAVE 13 jan 2014 LABORATORIUM I EMNENE TFY4155/FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME NTNU Våren 2014

2

3 Forord Dette heftet inneholder tekster til laboratoriekurset til emnene TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme Dette utgjøres av praktiske laboratorieoppgaver og forutgående seminarer til hver oppgave En generell beskrivelse av TFY4155/FY1003 Elektrisitet og magnetisme finnes på følgende nettside: og laboratoriekurset spesielt: På disse nettsidene vil studentene finne all nødvendig informasjon om påmeldinger til laboratoriet, timeplaner, romfordelinger osv I 2009 ble det gjennomført en større endring av kurset da antall laboratorieøvelser ble redusert fra ni til fem Videre ble også bruk av MATLAB introdusert Selv om tidligere kjennskap til MATLAB ikke er en forutsetning for å ta kurset, anbefales det likevel at alle som skal delta i kurset, tilegner seg kjennskap til MATLAB på egenhånd, før en begynner med laboratorieøvingene Som hjelpemiddel anbefales en introduksjon laget ved NTNU, 1 eller en kan lete opp introduksjoner og øvelser på Internett Det er også tatt for gitt at studentene har erfaring med Microsoft Office Excel Dersom det er noen som ikke har brukt regneark før, bør en tilegne seg kjennskap til dette på egenhånd, før kurset starter Igjen vil en finne utallige øvelser om dette på Internett Denne versjonen av kompendiet er en gjennomarbeidet revisjon av kompendiet fra 2011 Kapittel II har nå blitt erstattet av en ny versjon, utarbeidet med hjelp av Amund Gjerde Gjendem og Jon Ramlo Revisjonen ble gjort fordi torsjonvekten brukt tidligere er erstattet med en moderne kraft sensor Blant mange andre som har hjulpet meg, vil jeg gjerne nevne Egil Herland og Iver Sperstad K Razi Naqvi 13 januar

4 ii

5 Innhold 1 SIKKERHET I LABORATORIET 1 11 Det elektriske utstyret 1 12 Oppkopling av elektriske kretser 2 13 Innflytelse av elektriske strømmer på kroppen 3 14 Virkning av statisk magnetfelt 5 15 Sunn fornuft i omgang med elektrisk utstyr 6 2 ELEKTROSTATISK KRAFT 9 21 Teoretisk bakgrunn Coulombs lov Kraftsensoren Beregningsoppgaver / forhåndsoppgaver Wheatstone-broen Metallkule i tomt rom Bestemmelse av ladning vha Faradaybur Coulombs lov Gravitasjonskraft Eksperimentelt Apparatur Forsiktighetsregler Kalibrering: Etterprøving av kraftsensoren Montering av kuleelektrode og klargjøring av kraftsensor Elektriske ledninger Eksperiment 1: Kraft sfa avstand Eksperiment 2: Kraft sfa ladning Eksperiment 3: Elektrisk permittivitet Avslutning 24 3 STATISK MAGNETFELT Teoretisk bakgrunn Biot-Savarts lov Beregningsoppgaver Excel-regneark Kort spole Helmholtzspoler 28 iii

6 iv INNHOLD 324 Solenoide Halleffektprobe Magnetiske strøfelt Magnetfeltfritt rom Eksperimentelt Apparatur Kaliberering av Hallprobe Magnetiske strøfelt Magnetfelt i kort spole Magnetfelt i Helmholtzspole Magnetfelt i solenoide Generell diskusjon Avslutning 39 4 LORENTZKRAFTEN Teoretisk bakgrunn Beregningsoppgaver Lorentzkraften Ladninger i E-felt Ladninger i B-felt Bestemmelse av e/m (Thomsoneksperimentet) Spenningsdeler Eksperimentelt Apparatur Oppkopling av spenninger til elektronkanonen Avbøyning i E-felt Avbøyning i B-felt Thomsoneksperimentet: måling av e/m Avslutning 54 5 KURVETILPASNING Formulering av kurvetilpasningsproblemet Minste kvadratsums prinsipp Minste kvadraters metode på den rette linje Regresjonsanalyse med Excel regneark Analyse av avviket mellom måleresultat og regresjon Regresjonsanalyse med MATLAB Pseudokode for regresjonsanalyse 60 6 KRAFT PÅ STRØMFØRENDE LEDER Teoretisk bakgrunn Kraft på en leder Kraft sfa vinkelen Eksperimentelt 67

7 INNHOLD v 621 Apparatur Kraft sfa strømmen Kraft sfa lengden Kraft sfa vinkelen Generell diskusjon Avslutning Rapport 72

8 vi INNHOLD

9 Kapittel 1 SIKKERHET I LABORATORIET Eksperimentene i dette laboratoriekurset er fullstendig sikre og medfører ingen fare dersom fornuftige og opplagte forholdsregler følges og studentene følger sikkerhetsinstruksjonene som gis nedenfor Det eksisterer alltid en potensiell fare for elektrisk støt eller brann overalt hvor det finnes vegguttak, stikkontakter, kabling eller tilkoblinger, som finnes i alle laboratorier og hjem Formålet med dette kapitlet er å gi deg generell informasjon som skal forberede deg til å utføre laboratorieforsøk uten å sette deg selv eller andre i unødvendig fare, og å beskrive prosedyren som skal følges dersom du eller noen andre i nærheten befinner seg i en nødsituasjon 11 Det elektriske utstyret Som det fremgår av Ohms lov, V = RI, og loven om effektutvikling i en motstand, P = V I = RI 2, vil det alltid være et spenningsfall V over en strømførende leder med strøm I og motstand R, og det vil også alltid utvikles varme i lederen (forutsatt at R > 0) For å sikre forbrukeren mot strømstøt, koples ytterkappen til alt utstyr som har ledende ytterkappe permanent til jord Dette gjøres gjennom jordingskontakten i støpselen Dersom det oppstår feil som medfører at tilførselsspenningen til utstyret kommer i kontakt med den ledende ytterkappen, vil sikkerhetsjordingen sørge for at spenningen koples til jord og ikke legges på ytterkappen, med de farer dette innebærer Strømmen vil altså kortsluttes til jord og normalt vil sikringen gå og strømmen brytes 1 For å unngå at personsikkerheten skal være avhengig av strømsikringene, utstyres elektriske energinett ofte med en såkalt nullstrømbryter Nullstrømbryteren kan oppdage jordlekkasjestrømmer som er mye mindre en kursens sikringsverdi Dette gjør bryteren 1 Det er i den forbindelse viktig at sikkerhetsjordledningen er dimensjonert slik at den tåler strømmen i hovedtilførselsledningen, dvs den må minst ha samme tverrsnitt som hovedtilførselsledningen 1

10 2 KAPITTEL 1 SIKKERHET I LABORATORIET ved å sammenligne strømmen i de to ledningene til en kurs, dvs strømmen inn til en forbruker med strømmen i retur fra forbrukeren Tap av strøm hos forbrukeren tolkes som lekkasjestrøm til jord Hvis nullstrømbryteren oppdager en forskjell mellom fasestrømmene som er større enn en bestemt forhåndsinnstilt verdi (feks 30 ma), så brytes strømmen En tredje metode for å sikre forbrukeren mot strømstøt er dobbelt isolering av utstyr (utstyr i klasse II, merket med en dobbeltfirkant: ) Dobbeltisolert utstyr må ikke forsøkes jordes da det vil redusere berøringssikkerheten Erfaring har vist at de aller fleste av feilene i elektriske anlegg er jordingsfeil Vettug omgang med jord og korrekt jording av elektrisk utstyr er en forutsetning for trygg bruk av elektrisk energi og for at elektrisk utstyr virker korrekt Plugg aldri elektrisk utstyr som krever jordet støpsel i en ikke-jordet stikkontakt 12 Oppkopling av elektriske kretser Ifølge Elektrisitetstilsynets forskrifter må alle vekselspenninger over 25 V effektivverdi og alle rippelfrie likespenninger over 60 V være forskriftsmessig isolert Når du kopler opp kretser i laboratoriet, må du påse at disse forskrifter blir fulgt Du må også passe på at ledningtverrsnittet til de ledninger du bruker er tilstrekkelig stort for at ledningene ikke blir opphetet Selv om motstanden i elektriske ledninger er liten, vil ikke verdien alltid være neglisjerbar For tvinnede kobberledninger som brukes til faste installasjoner i hus (med 230 V) sier forskriftene at en ledning med tverrsnitt 2,5 mm 2 maksimalt kan føre en strøm på 16 A Som en tommelfingerregel i laboratoriet kan vi anta at 5 A/mm 2 ved spenninger under 300 V vil være trygt De fleksible lissene vi bruker for oppkoplinger har alle tverrsnitt som er større enn 1 mm 2 Strømmer opp til 5 A vil derfor ikke by på noe problem for disse lissene Et annet forhold du må passe på er å velge stort nok tverrsnitt på ledningene dine slik at spenningsfallet over ledningene ikke gir bidrag til målefeil Vær forsiktig med å sende strøm gjennom kveiler/tromler med elektrisk ledning Grensekravene beskrevet over gjelder ledninger i friluft med naturlig luftavkjøling Dersom ledningen kveiles tett sammen, vil varmeutviklingen føre til betydelig større temperaturøkning som kan føre til at isolasjonen kan smelte Når du bruker elektrisk koplingsmateriell er det viktig at du forsikrer deg om at alt materiell er i orden Se etter skader på ledninger og spesielt kontakter Det er også viktig at du behandler koplingsmateriellet slik at det ikke oppstår skader på det Pass på å plassere ledningene under bruk slik at det ikke er fare for at de blir hektet fast i bevegelige deler eller kommer i klemme slik at isolasjonen skades Ledningene bør også ligge fritt slik at de får tilstrekkelig avkjøling Når ledningsmateriellet ikke er i bruk skal det ikke tvinnes opp da kraftig opptvinning kan skade isolasjonen og tilkoplingen mellom leder og kontakt

11 13 INNFLYTELSE AV ELEKTRISKE STRØMMER PÅ KROPPEN 3 13 Innflytelse av elektriske strømmer på kroppen Faren ved elektriske støt er forbundet med størrelsen på den strømmen som går gjennom kroppen og hvilken strømbane den følger Hvor stor spenning kroppen tåler vil avhenge av den totale motstanden i strømkretsen hvor kroppen inngår Figur 11 viser menneskekroppen som en del av en strømkrets Figur 11: Menneskekroppen som del av en strømkrets, hvor R j er isolasjonsmotstanden mellom kroppen og jord, R h er overgangsmotstanden i huden, R k er kroppens indre motstand, R i er indre motstand i spenningskilden som driver strømmen i kretsen og R v er isolasjonsmotstanden mellom spenningskildens spenningsterminal og kroppen Strømgjennomgang kan skade kroppen, enten ved at den skader kroppsvevet ved oppvarming, eller ved at strømmen forstyrrer de elektriske signalene i nervesystemet Oppvarmingen er gitt av strømmen I og motstanden R i vevet som varmes opp En vedvarende strøm gjennom vevet over tid vil tilføre en stadig større varmeenergi og risiko for skade Forstyrrelse av de elektriske signalene i nervesystemet kan bla føre til hjerteflimmer og lammelser Spesielt er vekselstrøm i frekvensområdet 15 til 60 Hz farlig for nervesystemet Vår nettforsyning på 50 Hz er derfor i den farlige kategorien Når frekvensen på vekselstrømmen øker, vil innflytelsen på nervesystemet avta, og for frekvenser over 10 khz er innflytelsen tilnærmet borte Oppvarmingseffekten er imidlertid fremdeles til stede Strømbaner gjennom hjerte- og lungeregionen er spesielt farlige pga de vitale organene som der finnes Nyrene er også spesielt følsomme for strømskader Fra strømkretsen i figur 11 ser vi at strømmen gjennom kroppen er gitt ved I = V R j + 2R h + R k + R i + R v (1-1) Når det blir referert til spenningen på et forsyningsnett menes vanligvis effektivverdien

12 4 KAPITTEL 1 SIKKERHET I LABORATORIET av spenningen, definert som V eff = 1 V (t) 2 = T T 0 ( ) 2πt V0 2 sin 2 dt = V 0 (1-2) T 2 Det betyr at for et 230 volts anlegg er toppspenningen (amplituden) V 0 = V = 325 V Sikkerhetstiltak mot strøm går ut på å redusere verdien på strømmen gjennom kroppen til ufarlige verdier Dette kan for en gitt spenning V gjøres ved å sørge for at summen av motstandene under brøkstreken er tilstrekkelig stor: R v Vanlig elektrisk isolasjon av elektrisk utstyr går ut på å gjøre R v tilstrekkelig stor R i I labboppgaven i kapittel 2 bruker du en V høyspenningskanon Den blir ufarliggjort ved å gjøre R i så stor at V/R i < 0, 5 ma R k Kroppens indre motstand R k er konstant og av størrelsesorden 500 Ω Legg merke til at grensen for påbudt isolasjon av vekselspenning på 25 V effektiv spenning tilsvarer 50 ma når vi antar at motstanden i strømkretsen kun består av kroppens indre motstand, dvs verste tilfelle R h Overgangsmotstanden R h i huden kan variere fra 0 Ω ved fuktig hud til langt over Ω ved tørr hud R h avtar også med økende spenning og den varierer også med frekvensen slik at den er lavest i frekvensområdet rundt 50 Hz Dette medvirker til å gjøre vekselspenning farligere enn likespenning Et annet forhold som gjør vekselspenning farligere enn likespenning er at størrelsen på spenningen det refereres til når vekselspenning omtales er effektivspenningen Toppspenningen er imidlertid 2 høyere, som beskrevet i likning (1-2) R j Dersom kroppen ikke er i kontakt med jord, vil R j være stor Hvorfor dør ikke fuglene når de sitter på kraftledninger (se figur 12)? Svar på dette spørsmålet ved å modifisere figur 11 Se nå på figur 13, og svar så på spørsmålet stilt der Figur 12: En fugl som sitter på en kraftlinje Figur 13: Hva skjer når den slås på? I tillegg til ovenstående er det viktig å være klar over at høyfrekvent elektromagnetisk stråling i MHz GHz-området (mikrobølger radar) kan være farlig for kroppen ved at

13 14 VIRKNING AV STATISK MAGNETFELT 5 det elektriske vekselfeltet fører til oppvarming av kroppsvevet, samme effekt som gir oppvarming i en mikrobølgeovn Slik høyfrekvent oppvarming er ekstra farlig fordi den ofte foregår uten at normale smertefunksjoner trer i kraft Personer bør skjermes hvis effekt per flateenhet mot kroppen er > 0, 01 W/cm 2 Tabell 11: Limits of exposure a to static magnetic fields Occupational b Exposure characteristics Exposure of head and trunk Exposure of limbs c General public d Exposure of any part of the body Magnetic flux density 2 T 8 T 400 mt a ICNIRP recommends that these limits should be viewed operationally as spatial peak exposure limits b For specific work applications, exposure up to 8 T can be justified, if the environment is controlled and appropriate work practices are implemented to control movement-induced effects c Not enough information is available on which to base exposure limits beyond 8 T d Because of potential indirect adverse effects, ICNIRP recognizes that practical policies need to be implemented to prevent inadvertent harmful exposure of persons with implanted electronic medical devices and implants containing ferromagnetic material, and dangers from flying objects, which can lead to much lower restriction levels such as 05 mt 14 Virkning av statisk magnetfelt Den internasjonale kommisjon for beskyttelse mot ikke-ioniserende stråling (ICNIRP) gir i sine retningslinjer anbefalte grenseverdier for eksponering for elektromagnetiske felt (se tabell 11) I Norge er det i strålevernforskriften gitt bestemmelser om at ICNIRPs retningslinjer skal følges, og at all eksponering skal holdes så lavt som praktisk mulig For statisk magnetfelt er anbefalt grense 2 T for arbeidstakere og 400 mt for generell befolkning Personer med pacemaker, ferromagnetiske implantater eller implanterte elektroniske komponenter bør ikke utsettes for magnetfelt over 0,5 mt 2 I eksperimentet der Helmholtzspolene brukes vil den magnetiske flukstettheten B i umiddelbar nærhet av spolene ha en verdi som så vidt overstiger 0,5 mt for I = 1 A og R = 0, 07 m, hvor I er strømmen som flyter i spolene og R er den gjennomsnittlige radien til spolene Men feltet avtar raskt utenfor spolene; størrelsen av B i et punkt vinkelrett på spolen i avstand 0,15 m (eller større) fra spolens sentrum er mindre enn 50 µt Dersom en 2 Physics 96 (2009) ]

14 6 KAPITTEL 1 SIKKERHET I LABORATORIET strømstyrke på 0,5 A brukes, vil feltet overalt være lavere enn anbefalt grense for personer med implantater En student med et implantat som er følsomt for magnetfelt bør informere ansvarspersonen, som vil sørge for at denne studenten har en partner som ikke har implantat og at partneren gjør målingene 15 Sunn fornuft i omgang med elektrisk utstyr I tillegg til de vanlige risikoene i forbindelse med elektrisitet, har noen laboratorier høyspenningsutstyr 3 som utgjør en enda større potensiell fare Studenter bør være ekstra forsiktige med slikt utstyr, og bør lære seg hvordan de kan frakoble strømkilden i en nødssituasjon Her er noen regler som må følges når man arbeider med og i nærheten av elektrisitet 1 Ikke arbeid med elektrisitet dersom dine hender, føtter, eller andre deler av kroppen er våte, eller hvis du står på et vått gulv 2 Inspiser elektrisk utstyr (med strømmen avslått og stikkontakten trukket ut) for ødelagte ledninger og skadede tilkoblinger Hvis noe slikt oppdages, ikke bruk utstyret Meld så i fra til ansvarshavende slik at utstyret kan repareres 3 Forsøk aldri å reparere elektrisk utstyr selv dette må gjøres av kvalifisert personell 4 Dersom du blir utsatt for selv et mildt støt fra noe utstyr, lever det umiddelbart inn til reparasjon 5 Ikke bruk eller lagre ekstremt brannfarlige væsker i nærheten av elektrisk utstyr Noen stoffer, slik som eter, kan antennes av gnist fra elektrisk utstyr 6 Bruk alltid jordede stikkontakter i jordede vegguttak Forsøk aldri å sette en jordet stikkontakt inn i et ujordet vegguttak 7 Skjøteledninger bør ikke brukes i stedet for permanent kabling; de bør kun brukes midlertidig og de bør ikke trekkes under dører, på tvers av ganger, gjennom vinduer eller hull i vegger, rundt rør eller i nærheten av vasker 8 Ikke overbelast kretser ved å bruke grenuttak på ett vanlig uttak 9 Ikke fjern eller endre på sikkerhetstiltak på høyspenningsutstyr Husk at de er der for å beskytte deg 10 Vær sikker på at strømmen er slått av under tilkobling eller når endringer på kretsen foretas 11 Vær sikker på at alt utstyr er satt med riktige innstillinger iht målingen som skal utføres før kretsen gjøres strømførende 3 For vår hensikt vil det være nok å betrakte enhver spenning høyere enn 50 V som høyspenning

15 15 SUNN FORNUFT I OMGANG MED ELEKTRISK UTSTYR 7 12 Vær sikker på at komponentene som brukes er av en gradering som kan motstå pålagt strøm og spenning 13 Erstatt ødelagte sikringer med nye av riktig type og med korrekte spesifikasjoner 14 Hvis du tror noen har vært utsatt for et kraftig elektrisk sjokk: ikke fjern den skadede fra den elektriske kilden før strømmen har blitt slått av hvis du ikke får slått av strømmen, bruk noe isolerende slik som et tørt tau, klut eller kosthåndtak for å dra personen bort fra strømmen sjekk om det er kontakt sjekk om det er pust sikre frie luftveier når skadde ikke puster eller ved hjertestans, ring 113 AMK-sentralen gi hjerte-/lungeredning (HLR) 30 kompresjoner og 2 innblåsninger Fortsett til helsepersonell kommer puster den skadde selv, legges personen i stabilt sideleie let etter brannskader og kjøl ned brannsår med vann og behandle dem som tredjegradsforbrenning alle skadde skal ha tilsyn etter at førstehjelp er gitt Ikke forlat bevisstløse personer Bevisste personer skal snakkes med Personskader skal behandles videre av medisinsk personell personer som sendes til Legevakten i drosje/privatbil skal følges helt fram og inn Ta med evt HMS-datablad! alle ulykker/tilløp til ulykker er å betrakte som avvik i forhold til normal drift, og skal meldes på avviksskjema I forsøket med Coulombs lov, gir høyspenningskanonen som brukes for å lade opp kulene 25 kv når den aktiveres Strømmen er imidlertid begrenset til 75 µa Slike strømmer har vanligvis ingen fysiologisk virkning på kroppen, men likevel: Behandle kanonen som om den var livsfarlig

16 8 KAPITTEL 1 SIKKERHET I LABORATORIET

17 Kapittel 2 ELEKTROSTATISK KRAFT Mål Du skal i denne laboratorieoppgaven gjenta Coulombs epokegjørende eksperiment fra 1785, dvs måle elektrostatisk kraft sfa avstand, studere den elektrostatiske kraftens avhengighet av ladningen, bestemme den elektriske permittiviteten for luft, føre en grundig journal og foreta en grundig feilanalyse 21 Teoretisk bakgrunn Her presenteres teorien svært kort Noe teori gjennomgås også i teksten til beregningsoppgavene i avsnitt 22 Ellers vises til lærebok og forelesningene i elektrisitet og magnetisme 211 Coulombs lov Den elektrostatiske kraften (Coulombkraften) F e mellom to punktladninger q 1 og q 2 i en avstand r i tomt rom er gitt av Coulombs lov: F e = 1 4πɛ 0 q 1 q 2 r 2 = k q 1q 2 r 2, (2-1) hvor ɛ 0 = 8, F/m er tomromspermittiviteten Konstanten k = 1/(4πɛ 0 ) = 8, Nm 2 /C 2 introduseres for å redusere skrivearbeidet 9

18 10 KAPITTEL 2 ELEKTROSTATISK KRAFT 212 Kraftsensoren Coulomb brukte i sitt eksperiment i 1785 ei torsjonsvekt 1 for å måle den elektrostatiske kraften mellom to ladde metallkuler og dermed etablere invers kvadrat-forholdet mellom kraft og avstand Det er alminnelig å representere avvik fra invers kvadrat-loven ved å uttrykke avstandsavhengigheten som r 2±q Coulombs verdi for q er Det har vært mange forsøk på å finne en mer presis verdi I 1971 undersøkte Williams, Faller og Hill 2 gyldigheten av Coulombs lov i det hittil mest nøyaktige makroskopiske eksperiment som har vært gjennomført Gitt avstandsavhengighet på formen r (2+q), fant de at q = (2, 7 ± 3, 1) I eksperimentet skal du bruke en kraftsensor for å gjenta Coulombs eksperiment Siden kraftsensoren gir en direkte måleverdi, er det viktig for oss å ha en av forståelse hvordan denne virker, og hvorfor den oppgir de måltall den gjør Strekklapp Den ohmske motstanden til et materiale med lengde l og et tverrsnittareal A er gitt ved R = ρ l A, (2-2) der ρ er spesifikk motstand for materialet Dette kan utnyttes til å lage en strekksensor, som øker motstanden dersom lengden på en leder økes og reduserer motstanden tilsvarende dersom lederen blir komprimert Tversnittarealet avtar også noe ved forlengelse og øker noe ved komprimering Dette vil, sett ut i fra funksjon 2-2, være en fordel da vi ønsker størst mulig målbar endring i motstanden En strekklapp (gauge sensor) er en leder lagt på en elastisk folie på en slik måte at en endring i en dimensjon lett kan registreres, mens en endring i de andre dimensjonene ikke påvirker sensoren betydelig En typisk strekklapp er vist i figur 21 Figur 21: En strekklapp er en leder lagt på en elastisk folie, her vist i forstørret utgave I dette tilfellet vil endringer i horisontal retning føre til en vesentlig endring i lederens lengde En endring i vertikal retning vil ha liten innvirkning på lengden Pilene er kun som hjelpemiddel for å plassere strekklappen riktig De store områdene i enden av lederen er loddepunkter for tilkopling av ledning 1 Ei torsjonsvekts virkemåte ble grundig gjennomgått i eksperimentet for bestemmelse av gravitasjonskonstanten i labbkurset i Mekanisk fysikk, og vi henviser derfor til labbheftet i Mekanisk fysikk for en detaljert beskrivelse og virkemåte 2 Phys Rev Lett 26, 721 (1971)

19 21 TEORETISK BAKGRUNN 11 Wheatstones bro Wheatstones bro, som i bunn og grunn består av 2 spenningsdelere 3, er en klassisk og effektiv måte å kunne finne verdien av en ukjente motstander Broen består av en kjent spenningskilde, fire motstander, og et følsomt måleinstrument (galvanometer eller multimeter) Tradisjonelt ble et slik oppsett brukt til å måle størrelsen på en ukjent motstand ved å la den inngå i broen sammen med en kjent motstand og med en nøyaktig variabel motstand (skyvemotstand) koplet inn for den ene spenningsdeleren I figur 22 ville typisk R 1 og R 2 være skyvemotstanden, R 3 ha kjent verdi, og R 4 være den ukjente motstanden Man stiller inn skyvemotstanden og finner når måleinstrumentet ikke viser noe utslag Forholdet mellom den kjente og ukjente motstanden er da gitt av forholdet på skyvemotstanden, og man kan da regne ut verdien av den ukjente motstanden V inn R 1 R 2 V ut R 3 R 4 Figur 22: Klassisk oppstilling av en Wheatstone-bro, med spenningskilde V inn, fire motstander R 1 R 4, og et målepunkt V ut Kraftsensoren I selve kraftsensoren benyttes Wheatstone-broen litt annerledes enn forklart ovenfor Istedet for å variere motstandene til utspenningen V ut = 0, leses bare spenningen av som et mål på hvor forskjellige motstandene er Det benyttes fire strekklapper på et tilpasset legeme, plassert slik at to komprimeres og to strekkes Figur 23 viser et tverrsnitt av kraftsensoren som vi benytter i vårt eksperiment De fire strekklappene er identiske når sensoren ikke har belastning og har en verdi på R, når de utsettes for en belastning (enten strekk eller komprimering) betegner vi endringen R Ut i fra likning 2-2 ser vi at en endring i motstand i en strekklapp er proposjonal med endring i dennes lengde 4 Videre kan vi anta at Hooks lov gjelder for materialet i sensoren, altså at en endring i lengde er proposjonal med påtrykt kraft Dette medfører at endringen i motstanden R er proposjonal med kraften Det kan vises at utgangsspenningen, V ut, er proposjonal med endringen i mottand, R, og dermed ser vi at utgangsspenningen til kraftsnsoren er lineært avhengig av kraften den skal måle 5 Kraftsensoren koples til en universal visningsenhet som regner om utsignalet til kraft målt i mn Denne omregningen, kalibreringen, kan vi ikke endre men den bør etterprøves Enheten har en nullstillingsknapp markert 0, ved å trykke på denne benytter enheten seg av nåværende verdi av utspenningen, V ut, som nullreferansepunkt for videre 3 Se kapittel 425 for en repetisjon/innføring av hva en spenningsdeler er 4 Tversnittet av lederen i strekklappen endrer seg ikke i noen betydlig grad 5 Sammenhengen mellom utspenning, V ut, og endring i motstand, R, er gitt i ligning 2-3 Denne sammenhengen skal dere selv komme frem til i en av forhondsoppgavene i kapittel 22

20 12 KAPITTEL 2 ELEKTROSTATISK KRAFT beregning av kraft Kraftsensoren og visningsenhetens elektronikk krever en viss oppvarmingstid før denne stabiliserer seg Sørg derfor å skru på enheten minst en halv time før de reelle måleseriene tas for å unngå drift Det samlede oppsettet for forsøket er vist i figur 24 R + R R3 R - R R4 F R1 R - R R2 R + R Figur 23: Tverrsnitt av kraftsensoren som består av et metallstykke med som bøyes i enkelte punkter Fire strekklapper med lik motstand R er plassert i de punkter hvor metallet har størst påkjenning og resistansen i disse endres med R ved belastning Figur 24: Forsøksoppstillingen i Coulombeksperimentet (1) visningsenheten, (2) kraftsensor med arm og kondensatorkule K 2, (3) målestativ med kondensatorkule K 1, (4) ladningsøsen med kondensatorkule K 3, og (5) Høyspenningskanonen Faradayburet er ikke vist

21 22 BEREGNINGSOPPGAVER / FORHÅNDSOPPGAVER Beregningsoppgaver / forhåndsoppgaver 221 Wheatstone-broen Oppsettet som kraftsensoren bruker for å måle endring i motstand kalles en full-bro (full bridge), denne skal vi se litt nærmere på 1A Ut fra figur 22 og 23, vis at sammenhengen mellom innspenningen V inn og utspenningen V ut er gitt ved formelen V ut = R R V inn (2-3) En typisk hvilemotstand (motstanden uten belastning) for en strekklapp er 120 Ω 1B Prøv å begrunne hvorfor dette er et godt valg 222 Metallkule i tomt rom En elektrodes evne til å ta opp ladning avhenger bla av elektrodens kapasitans definert ved C = q V, (2-4) der q er elektrodens ladning og V elektrodens potensial (spenning) relativt uendelig For ei metallkule med radius ρ kan vi fra Gauss lov beregne at kapasitansen i tomt rom er C = 4π ɛ 0 ρ (2-5) I eksperimentet skal du anvende kuleformede elektroder med radius ρ = 15 mm 2A Beregn kapasitansen til en slik elektrode 2B Beregn ladningen på elektroden når den er ladet opp til et elektrisk potensial lik 25 kv 223 Bestemmelse av ladning vha Faradaybur Ifølge Coulombs lov (2-1) er det en frastøtende kraft mellom like elektriske ladninger Ladninger på en elektrode vil derfor søke seg lengst mulig vekk fra hverandre og følgelig fordele seg jamt over elektrodens ytre overflate Inne i elektroden vil det da være både ladningfritt og feltfritt Dette ble bevist av Faraday Faraday isolerte ei metallbøtte elektrisk og kopla et elektroskop til utsiden av bøtta Så senka han ei ladd metallkule, der kula var festa i en silketråd (som er en god isolator), ned i bøtta Idet kula kom i kontakt med bunnen viste elektroskopet at bøtta endret tilstand fra uladd til ladd Elektroskopet viste også utslag før kula var i fysisk kontakt med bøtta, og da kula ble tatt opp av bøtta viste undersøkelser at den var uladd Dette tolket Faraday slik at når kula berører bunnen av bøtta og blir en del av denne, elektrisk sett, så vil ladningene (som opprinnelig satt på kulas utside) flytte seg til utsida av bøtta

22 14 KAPITTEL 2 ELEKTROSTATISK KRAFT Figur 25: Faradayburet A elektrometer B elektrometer C elektrometer Figur 26: Måling av ladning med Faradaybur og elektrometer Faradayburet er isolert fra jord og potensialet relativt jord måles A: Ladd elektrode føres inn i Faradayburet og elektrometeret viser umiddelbart utslag B: Elektroden i kontakt med Faradayburet C: Elektroden trekkes ut og elektrometeret viser fortsatt samme utslag Elektrodens opprinnelige ladning er overført til Faradaybur/ledning/elektrometer Vi kan bruke Faradays oppstilling for å måle ladningen på en oppladd elektrode: Faradayburet er vist i figur 25 og oppstillingen er vist i figur 26 Elektroden med ladningen som skal måles, senkes ned i den innhule elektroden, det såkalte Faradayburet, som er godt isolert fra jord og tilsvarer bøtta i Faradays eksperiment I stedet for et elektroskop bruker vi et elektrometer for å måle spenningen V f på Faradayburet i forhold til jord Faradayburet, ledningene til elektrometeret og selve elektrometeret kan betraktes som en elektrodekonfigurasjon som har en bestemt konstant kapasitans C = C Faradaybur + C ledninger + C elektrometer mot jord Hvis denne kapasitansen er kjent (eller den kan måles), kan ladningen beregnes fra q = CV f Anta at C = 130 pf og at en spenningen V f = 60 V blir målt når en bestemt ladet elektrode senkes ned i Faradayburet 3 Beregn ladningen q på elektroden

23 22 BEREGNINGSOPPGAVER / FORHÅNDSOPPGAVER 15 Selve Faradayburet er isolert fra jord, men omgitt av en jordet nettingsylinder som skjermer mot elektromagnetisk støy En koaksialkabel (se figurene 27 og 28) er kopla Figur 27: Tverrsnitt av en koaksialkabel Figur 28: Koaksialkabel med BNC-tilkopling til elektrometeret Denne kabelen har to klemmer hvorav senterlederen koples til Faradayburet og skjermledningen til den omgivende nettingsylindren Dette er skissert i figur 29 I tillegg koples en jordledning fra elektrometerets jordpunkt til jordingsskjermen Elektrometeret måler spenningen mellom inngangsklemmene ved at spenningen koples over en kjent, stor motstand R i mellom inngangsklemmene, og strømmen I i motstanden måles Fra Ohms lov beregnes spenningen V f = R i I, og elektrometerets skala viser spenningen V f direkte GND Faradaybur isolerende fot jordingsplate jordingsskjerm Figur 29: Faradaybur med omgivende skjerm og elektriske koplinger Ladningen som tilføres elektrometeret for måling vil altså lekke til jord gjennom R i Motstanden R i må derfor velges stor, ellers vil ladningen forsvinne før du får målt den Den kan heller ikke velges for stor, da strømmen I blir for liten til å måles nøyaktig Anta at R i = Ω, V f = 60 V og at q er som beregnet ovenfor 4 Anslå hvor stor del av ladningen som lekker til jord gjennom elektrometeret i løpet av fem minutter Hjelp: Gjennomfør anslaget ved å anta at V f er tilnærmet konstant over fem minutter 5 Er antakelsen om konstant V f rimelig?

24 16 KAPITTEL 2 ELEKTROSTATISK KRAFT 224 Coulombs lov Anta at du har to kuler med radius ρ = 15 mm, senter-til-senter-avstand 10 cm og at du legger begge på et elektrisk potensial lik 25 kv relativt uendelig 6 Hvor stor blir den elektrostatiske kraften mellom kulene? Blir det tiltrekning eller frastøtning? 7A Skisser et kurvediagram over kraften F e (1/r 2 ) Dvs velg F e langs y-aksen og 1/r 2 langs x-aksen med lineær inndeling (3 r/cm 15) 7B Finn fem verdier for r som vil ha lineær inndeling på 1/r 2 -aksen (3 r/cm 15) Strengt tatt gjelder Coulombs lov kun for punktladninger For kuler med endelig utstrekning vil vekselvirkning mellom overflateladningene på kulene gi ujevn ladningsfordeling på kuleoverflatene Dette vil for to kuler med radius ρ = 15 mm i en avstand større enn 10 cm føre til et avvik på under 1% i forhold til verdier beregnet vha Coulombs lov (2-1) 225 Gravitasjonskraft Vi ønsker å måle den elektrostatiske kraften mellom kulene med en nøyaktighet innenfor 3% I oppsettet vil vi ha gravitasjonsvekselvirkning mellom kulene i tillegg til den elektrostatiske kraften Vi må derfor beregne gravitasjonskraften for å se på relativ innvirkning fra denne Gravitasjonskraften mellom to kuler med masser m 1 og m 2 og senter-til-senter-avstand r er gitt ved F g = G m 1m 2 r 2, (2-6) hvor G = 6, Nm 2 /kg 2 er gravitasjonskonstanten Kraftlovene for gravitasjon og elektrisitet har altså begge samme r-avhengighet Anta at kulene i oppgavene over veier 25 g hver og at de fremdeles ligger i en-senter-tilsenter-avstand 10 cm 8 Beregn gravitasjonskraften mellom kulene Er det nødvendig å ta hensyn til gravitasjonskraften mellom kulene? 9 Beregn forholdet F g /F e mellom gravitasjonskraften og Coulombkraften for to elektron 6 Hva innebærer dette resultatet? 6 Elektroner har masse m e = 9, kg og ladning e = 1, C

25 23 EKSPERIMENTELT Eksperimentelt 231 Apparatur Følgende instrumenter inngår i oppstillingen: Kraftsensor Leybold S m/tilbehør: Visningsenhet, Leybold UMI Arm med kule, kulediameter 30 mm kalibreringslodd, lodd med nøye oppmålte masser Høyspenningskanon Emco DX250 Utgangsspenning/strøm: 25 kv/75 µa Inngangsspenning: +12 V ±5% Spenningskilde EA-PS for høyspenningskanon, spenning: 12 V Ladningsøse, kulediameter 30 mm Målestativ med kule, kulediameter 30 mm Diverse utstyr Målestav 1 m; metermål 0 2 m; skyvelære; vaterpass; vater m/tvinge, plasthansker Faradaybur, elektrometer og tilhørende utstyr: Skjermet Faradaybur, Pasco Mod ES9058 Elektrometer m/tilkoplingskabler Måleområde: V, inngangsmotstand: R i = Ω Faradaybur, kabel og elektrometer har en total kapasitans på C = 130 pf Multimeter Escort EDM168A, 3 sifre, eller tilsvarende 232 Forsiktighetsregler Høy spenning Høyspenningskanonen som brukes for å lade opp kulene gir 25 kv når den aktiveres Strømmen er imidlertid begrenset til 75 µa Slike strømmer har vanligvis ingen fysiologisk virkning på kroppen, men likevel: Behandle kanonen som om den var livsfarlig Kraftsensoren Kraftsensoren er et presisjonsinstrument som du må behandle forsiktig Dette gjelder spesielt ved å ikke utsette den for krefter større enn ±2,5 N, noe som kan føre til overbelasting av sensoren Sensoren er ikke ment for måling av krefter større enn ±1 N Isolatorer Overflaten av isolatorene som kulene er montert på bør ikke røres med fingrene Fett og syre fra fingeravtrykk vil danne ledende kanaler på overflaten og nedsette isolasjonsevnen og føre til lekkasje av ladning fra kulene Bruk utlagte plasthansker når du må håndtere kulene eller isolatorene

26 18 KAPITTEL 2 ELEKTROSTATISK KRAFT 233 Kalibrering: Etterprøving av kraftsensoren Kraftsensoren er allerede ferdig kalibrert fra Leybold GmbH Vi vet ikke om det den viser stemmer, og dette bør etterprøves Sett opp kraftsensoren slik at denne kan måle i vertikal retning, sørg for at denne er i lodd, og at sensoren er nullstilt Foreta målinger med forskjellige masser og fremstill dette i en graf, kraft som funksjon av masse Estimer stigningstall og en usikkerhet for denne grafen 234 Montering av kuleelektrode og klargjøring av kraftsensor Kraftsensoren må vatres slik at den virker i horisontal retning for de påfølgende eksperimenter Videre må kulen K 2 monteres på kulearmen og kraftsensoren må nullstilles En sjekk av nullstilling bør gjøres ofte Bruk alltid plasthansker når du må ta på kulene eller kulearmene Figur 210: De elektriske koplinger (1) Høgspenningskanon, (2) spenningsforsyning, (3) 220Vnettkontakt, (4) kraftsensorstativet, (5) holder for ladningsøse og (6) løs jordledning for utladning

27 23 EKSPERIMENTELT Elektriske ledninger Prøv alltid å bruke riktig fargekoding på de forskjellige ledningene når du setter opp et eksperiment, dette gjør feilsøking mye enklere Oppkopling av elektriske ledninger, i henhold til figur 210: Kople høyspenningskanonen til spenningsforsyningen: Ledning med rød plugg til + 12V, blå med svart endeplugg til 0 V, gul til jordkontakten 0 V på spenningsforsyningen skal være jordet referanse, kople derfor sammen jordkontakten og 0 V-uttaket på denne Fra jorduttaket ved siden av 220 V-nettkontakten koples jordledning til kraftsensorstativet, Målestativet med kule K 1, ladningsøsa og til jordkontakten på spenningsforsyningen Kople også en jordingsledning med løs ende Denne brukes til å lade ut kulene Apparaturen er nå klar til bruk Be labveilederen om å demonstrere bruken av kanonen før du tar den i bruk 236 Eksperiment 1: Kraft sfa avstand Oppgave: Undersøk hvordan den elektrostatiske kraften mellom de ladde metallkulene K 1 og K 2 varierer som funksjon av senter-til-senter-avstanden r, i området 3 til 15 cm Kule K 2 er montert på kraftsensoren og kule K 1 er montert på en skyvbar arm slik at avstanden mellom kulene kan reguleres Tøm kulene for ladning ved å berøre dem med den løse jordledningen Juster armen slik at skalaviseren peker på 3,1 cm Still opp stativet med kule K 1 slik at denne kula beveger seg radielt fra K 2 og normalt på armen fra K 2 til kraftsensoren Sørg for at avstanden mellom kuleoverflatene er 1 mm Med innstilling av skalaen på 3,1 cm som angitt, skal da sentertil-senter-avstanden kunne leses direkte av på skalaen Reguler avstanden mellom K 2 og K 1 slik at senter-til-senter-avstanden blir feks r = 15 cm Nullstill kraftsensoren Lad begge kulene opp vha høyspenningskanonen Les av posisjon og kraft

28 20 KAPITTEL 2 ELEKTROSTATISK KRAFT Flytt K 1 nærmere K 2 og les igjen av kuleavstanden r og Kraften F e Gjenta målingen med stadig kortere avstand mellom kulene Det er lurt å velge r-verdiene slik at punktene sprer seg jevnt langs en 1/r 2 -akse (bruk diagrammet fra oppgaven i avsnitt 224) Mål for minst 5 r-verdier Foreta minst 5 måleserier, der du lader ut kulene, nullstiller kraftsensoren, og lader opp igjen mellom hver gang Varier gjerne slik at r måles i både stigende og fallende rekkefølge Analyse av måleresultatene Tegn opp ei kurve av kraften F e sfa 1/r 2 på millimeterpapireller i Excel/MATLAB Estimer en trendlinje Beregn gjennomsnitt og standardavvik for hver målte r-verdi ut fra de forskjellige måleseriene Stemmer resultatene dine med Coulombs lov? Kan du forklare eventuelle avvik? Hva skjer når r er mindre enn 5 6 cm? Mens du måler vil ladningen gradvis lekke ut fra kulene, spesielt hvis du bruker lang tid på måleserien Prøv derfor å redusere tiden mest mulig men ivareta nøyaktigheten Siden forutsetningen er at ladningen på kulene skal være konstant under hver måleserie vil ladningstapet føre til en målefeil Det er viktig å legge opp måleprosedyren slik at denne feilkilden kan kontrolleres Du tar derfor flere måleserier med utladning og oppladning av kulene mellom hver serie I første serie måler du (som beskrevet) F e for avtakende verdier av r og i neste måleserie måler du F e for de samme r-verdiene i økende rekkefølge Sammenlikning av målingene ved tilsvarende avstander mellom de to seriene vil gi opplysninger om forandring av ladningen En annen måte å kontrollere tap av ladning er å foreta en kontrollmåling ved en bestemt r-verdi f eks r = 10 cm mellom hver måling Så lenge resultatet av kontrollmålingen forblir konstant har du ikke mistet ladning Selv om du oppdager at ladningen begynner å lekke ut kan du fortsette målingen, dette er en del av hvor nøyaktig vi kan gjøre disse målingene og blir en del av standardavviket En annen målefeil er at når kule K 2 forskyves som følge av frastøtningen, er ikke avstanden mellom kulene lik det som skalaen indikerer Dette får mest betydning når kulene er nærme, men denne effekten er nokså liten i vårt eksperiment, da det er snakk om små krefter og kraftsensoren ikke beveger seg langt Gjør et estimat, om mulig av hvor langt sensoren flytter seg ved full kraft mellom kulene og liten avstand En tredje målefeil skyldes polarisasjon av ladningen på kulene Like ladninger frastøter hverandre slik at senter-til-senter-avstand for ladningsfordelingen på hver kule er større enn geometrisk senter-til-senter-avstand for kulene Denne feilen får også mest betydning når kulene er nærme Hva vil skje dersom kulene ikke har like stor ladning?

29 23 EKSPERIMENTELT Eksperiment 2: Kraft sfa ladning Oppgave: Undersøk hvordan den elektrostatiske kraften avhenger av ladningen q 1 til kule K 1 Dvs mål Kraften på kule K 2 sfa ladningen på kule K 1 Ladningen q 1 kan halveres ved å sette kula i kontakt med en ladningsfri kule med samme dimensjon (ladningsøsa) Ladning q 2 på kule K 2 holdes konstant Prosedyre: Innstill avstanden mellom kulene på en fast verdi, feks 6,0 cm Lad ut kulene og nullstill kraftsensoren Lad opp kulene og les av kraften F e Lad ut kule K 3 på ladningsøsa ved å la den berøre jord Før nå kule K 3 forsiktig i kontakt med kule K 1 Kulene K 1 og K 3 vil nå dele ladningen som var på K 1 mellom seg Siden begge kuler er like store og omtrent på samme plass i rommet vil de ha omtrent samme kapasitans mot omgivelsene og derfor dele ladningen likt mellom seg På denne måten kan ladningen på K 1 halveres Les av ny verdi for F e med halvert ladning på K 1 Fortsett å halvere ladningen så lenge du får avlesbare forandringer Foreta minst 5 måleserier, der du lader ut kulene, nullstiller kraftsensoren, og lader opp igjen mellom hver gang Analyse av måleresultatene Tegn opp ei kurve av kraften F e sfa ladning q 1 på millimeterpapir eller i Excel/MATLAB Estimer en trendlinje Beregn gjennomsnitt og standardavvik for hver q 1 -verdi Stemmer resultatene dine med Coulombs lov? Kan du forklare eventuelle avvik? Hvorfor endrer kraften fortegn for lave verdier av q 1?

30 22 KAPITTEL 2 ELEKTROSTATISK KRAFT 238 Eksperiment 3: Elektrisk permittivitet Oppgave: Du skal beregne verdi for luftas permittivitet ɛ 0 ved to ulike metoder: I) Måling av ladning og kraft på kule og bruk av Coulombs lov (2-1) II) Beregning av kapasistans for kule via ladningsmåling og antakelse om kapasistans for ei kule i likning (2-5) Metode I: I eksperiment 1 har du målt den elektrostatiske kraften F e mellom to metallkuler Hvis du også måler ladningen på kulene, kan du fra Coulombs lov (2-1) bestemme luftas permittivitet ɛ 0 når avstanden er kjent Ladningsmåling kan gjøres ved Faradaybur og elektrometer, som forklart i det følgende, med referanse til avsnitt 223 Sikkerhet med elektrometeret: Elektrometeret kan måle spenninger opp til maksimum 100 V Vesentlig høyere spenninger vil skade elektrometeret Da inngangsmotstanden er så stor som Ω betyr dette mao at inngangsstrømmer som er vesentlig større enn I = V/R = 100 V/10 14 Ω = A = 1 pa vil skade elektrometeret Kroppen din og klærne lades lett opp til flere tusen volt feks under en rask marsj langs korridoren Hvis du er oppladet og rører inngangsklemmene til elektrometeret er det en stor sannsynlighet for at du overskrider både strøm- og spenningsbegrensningene til elektrometeret og ødelegger inngangskretsen Før du begynner å arbeide med elektrometeret er det derfor viktig at du lader ut kroppen din Dette gjør du med begge hender å berøre den jorda skjermplata som ligger på arbeidsbenken Du skal under målingene holde deg utladet ved å la den ene hånda være mest mulig i berøring med skjermplata Tilkoplingen til elektrometeret er gjennom en såkalt BNC-kontakt Denne kontakten er spesielt laget for å brukes sammen med såkalte koaksialkabler Koaksialkabler er toledere hvor den ene lederen danner en sylindrisk kappe rundt den andre lederen Den sylindriske kappen brukes som jordleder og skjermer samtidig innerlederen for elektromagnetisk støy Faradayburet består av en 12 cm dyp nettingsylinder med diameter 8 cm, lukket i bunnen og isolert fra fotplata med en 5 cm lang keramikkstav Ikke berør keramikkstaven med fingrene! Rundt Faradayburet er det plassert en nettingsylinder som koples til jord for å skjerme Faradayburet mot elektromagnetisk støy Fremgangsmåte for måling av ladning (se også avsnitt 223): Sjekk at skjermplata er jordet og rør plata med begge hendene for å utlade deg selv Sørg deretter for å holde den ene hånda mest mulig på skjermplata Nullstilling av elektrometeret: La elektrometeret være avslått med ZERO-knappen i stilling ZERO LOCK Da er inngangen på elektrometeret lagt til GND-kontakten på elektrometeret

31 23 EKSPERIMENTELT 23 Sett funksjonsknappen på 100 V og slå elektrometeret på Juster nullpunktet med ZERO-ADJUST-knappen, først med funksjonsvelgeren i stilling 100 V, deretter med funksjonsvelgeren i stilling 10 V MERK: Elektrometerets viserinstrument viser korrekt verdi kun når det ligger i horisontalt, reis derfor ikke opp instrumentet Sett funksjonsvelgeren i stilling 100 V Slå ZERO-knappen over i stilling PUSH TO ZERO Ved å trykke inn ZERO-knappen blir Faradayburet utladet mot jordpotensialet Bestemmelse av ladningen på kule K 3 (ladningsøsa): Lad kula K 3 med høyspenningskanonen Halver ladningen på kula (Full ladning er for stor å måle for Faradayburet) Dersom ladningen fremdeles er for høy, halver igjen (Instrumentet viser maks 100V selv om spenningen kan være mye høyere) Før kula til kontakt med Faradayburets innside Mål og noter spenningen på Faradayburet Målingen av ladningen gjentas flere ganger for å få bedre målesikkerhet Etter endt måling, sett ZERO-knappen i stilling ZERO LOCK og slå av elektrometeret Beregn ladningen på kula Anta at Faradayburet, kabel og elektrometer har total kapasitans C = 130 pf Du observerte kanskje at elektrometeret fikk det endelige utslaget allerede før du berørte gitteret? Dette kalles induksjon og skyldes at ladningen på giveren tiltrekker/frastøter elektronene i gitteret slik at det på utsiden av gitteret samles en ladning som er like stor som ladningen vi vil måle Bruk resultatet for en valgfri verdi av r fra eksperiment 1 til å finne kraften mellom to kuler med full oppladning og med kjent avstand Kulene K 1 og K 2 har samme dimensjon som kula K 3 på ladningsøsa, slik at de forventes å få samme ladning ved oppladning fra elektronkanonen Husk halveringen av ladningen på K 3 før måling i Faradayburet Beregn luftas permittivitet ɛ 0 med usikkerhet fra Coulombs lov i likning (2-1) Metode II: Når ladningen er målt og potensialet er kjent, kan du beregne kulas kapasitans fra likning (2-4) Hvis kulas radius, ρ, måles, kan du beregne luftas permittivitet fra uttrykket (2-5) for kulas kapasitans Anta at høyspenningskanonen lader opp til 25 kv og bruk at høyspenningskanonen og kula har samme potensial ved ladningsoverføring til å beregne kapasitansen til kula Beregn luftas permittivitet ɛ 0 med usikkerhet fra beregnet kapasitans og bruk av likning (2-5)

32 24 KAPITTEL 2 ELEKTROSTATISK KRAFT Diskusjon: Sammenlikn verdien av den målte kulekapasitansen med den beregnede verdien i beregningsoppgave 1 Diskuter eventuelle avvik mellom målt og beregnet verdi for kapasitansen Hvordan er overensstemmelsen med estimatet for ɛ 0 med de to beregningsmetoder? Hvilken verdi forventer du har minst feil? Begrunn svaret ditt Er det samsvar mellom målt verdi og tabellverdi for ɛ 0 innenfor de estimerte feilgrenser? Dersom noe avviker, gi en begrunnelse hvorfor 239 Avslutning Slå av alle apparater, trekk ut alle ledninger og forlat plassen i minst like god orden som du fant den Dvs plassen skal forlates slik som antydet på plansje liggende på bordet!

33 Kapittel 3 STATISK MAGNETFELT Mål Du skal i denne laboratorieoppgaven lære å måle magnetfelt med Halleffekt-gaussmeter, studere magnetfeltet rundt en kort spole, Helmholtzspole og solenoide, bruke Excel regneark til å sammenlikne beregnede og målte resultater 31 Teoretisk bakgrunn Her presenteres Biot-Savarts lov Noe teori presenteres i teksten for beregningsoppgavene i avsnitt 32 Forøvrig vises til lærebok og forelesningene i elektromagnetisme 311 Biot-Savarts lov Elektriske felt genereres rundt enhver elektrisk ladning mens magnetiske felt genereres kun rundt elektriske ladninger som beveger seg I 1820 utførte Jean-Baptiste Biot og Félix Savart eksperimenter med magnetfelt rundt strømførende ledere og satte opp følgende uttrykk for magnetfeltetbidraget d B i et punkt P i rommet fra strømmen I i et ledningselement d s: db = µ 0 Id s ˆr, (3-1) 4π r 2 hvor r er posisjonsvektoren til punktet P målt fra strømelementet Id s, ˆr = r/r er enhetsvektor langs r og µ 0 er magnetisk permeabilitet i tomt rom Legg merke til r 2 - avhengigheten, den samme som for den elektriske feltstyrken i Coulombs lov Superposisjonsprinsippet gjelder for magnetfelt, og følgelig kan den totale feltstyrken B i punktet 25

34 26 KAPITTEL 3 STATISK MAGNETFELT P fra hele lederen finnes ved å integrere hele over lederens lengde s: B( r) = µ 0I 4π s d s ˆr r 2 (3-2) I eksperimentet skal du undersøke magnetfeltet langs aksen til sirkulære spoler Den enkleste sirkulære spolen som du kan lage består i en enkel trådslynge som vist i figur 31 Magnetfeltet på aksen til slyngen vil ha en komponent i akseretningen x og en d s r 3 r db ξ θ α α x P I I Figur 31: Magnetfeltet på aksen til en sirkulær trådslynge d B db x komponent normalt på denne Ifølge Biot-Savarts lov vil normalkomponenten nulles ut ved bidrag (integrasjon) over hele sløyfa idet symmetrien for systemet gir lik styrke i alle retninger For x-komponenten får vi ved å sette inn r 2 = x 2 + ξ 2 og bruke sin α = ξ/r db x = µ 0I 4π = µ 0I 4π ds x 2 + ξ sinα 2 ξ dθ x 2 + ξ 2 ξ (3-3) x2 + ξ2, der θ er integrasjonsvinkelen rundt sløyfesirkelen Integrert over sløyfa med dθ = 2π gir dette resultatet B x = µ 0I 4π 2πξ 2 (x 2 + ξ 2 ) = µ 0I 3/2 2ξ ) 3/2 (1 + x2 (3-4) ξ 2 For x = 0 (midt i sløyfa) blir B x = µ 0 I/2ξ og for x ξ (langt borte fra sløyfa) blir B x = µ 0 Iξ 2 /2x 3

35 32 BEREGNINGSOPPGAVER Beregningsoppgaver 321 Excel-regneark I flere av de følgende beregningsoppgaver brukes Excel regneark De samme regneark skal også brukes for registrering av måleresultat som beskrevet i Kort spole Magnetfeltet fra en kort spole med N viklinger kan langt fra spolen (i forhold til spolens utstrekning) ses på som summen av magnetfeltet fra N strømsløyfer gitt i likning (3-4) Magnetfeltet på aksen i avstand x fra midlere sentrum av spolen blir da ifølge likning (3-4) gitt ved B(x) = Nµ 0I 2R hvor R = ξ er gjennomsnittsradius for strømsløyfene ) 3/2 (1 + x2, (3-5) Anta at du har en kort spole med N = 330 viklinger og gjennomsnittsradius R =70 mm med en konstant strøm I = 1,00 A gjennom viklingene 1A Lag en tabell over magnetflukstetthetenb(x) på aksen til spolen i området -20 cm < x < 20 cm Bruk Excel regneark Et forslag til tabell er vist i figur 32 Konstanter skrives inn i rader under overskriften Deretter følger tabellverdier der hver kolonne må ha en beskrivende tekst Hjelp: Dersom R 2 Tabell 1 Beregnede og målte verdier av magnetfeltet B på aksen til en kort spole sfa avstanden x fra spolens midtplan Magnetisk permeabilitet for tomt rom, µ 0 1,26E-06 H/m Antall viklinger, N 330 # Spolestrøm, I 1,00 A Gjennomsnitts spoleradius, R 0,07 m Posisjon Beregnet Målt Differanse på målestav x B1 B2 B2-B1 (cm) (m) (gauss = 10-4 T) (gauss) (%) 24,5-0,25 0, ,0 29,5-0,20 1, ,0 34,5-0,15 2, ,0 39,5-0,10 5, ,0 44,5-0,05 15, ,0 47,5-0,02 26, ,0 48,5-0,01 28, ,0 49,5 0,00 29, ,0 Figur 32: Utdrag fra Excel-tabell for magnetfelt på aksen til tynn spole feks første tallinje i tabellen er skrevet inn på rad 14 og beregnet verdi er i kolonne 3

36 28 KAPITTEL 3 STATISK MAGNETFELT vil formelen som representerer likning (3-5) bli slik: =(($E$4*$E$5*$E$6)/(2*$E$7))*((1+(B14/$E$7)^2)^(-1,5))*10000 Verdien er multiplisert med slik at B(x) vises i gauss (10 4 tesla), som er tallverdiene gaussmeteret viser 1B Framstill resultatet i et kurvediagram i regnearket Regnearket skal også brukes for registrering av måleresultat i avsnitt 33 1C Inkluder en kolonne for målt verdi av B og en kolonne for avvik mellom målt og beregnet verdi gitt i %, og forbered også til å vise avviket grafisk (Et forslag er gitt i tabellen i figur 32) Ta en kontrollregning for hånd av en av de beregnede B Sjekk utregnet differanse ved å sette inn noen tenkte måleverdier En nøtt for de som har god tid: Den virkelige spolen du skal bruke i oppgaven har 22 viklinger i 15 lag med en effektiv tråddiameter lik 0,93 mm, viklet med indre diameter lik 126 mm og ytre diameter lik 154 mm 2 Hvordan tror du at det virkelige magnetfeltet i nærheten av spolen vil avvike fra det magnetfeltet som beregnes fra likning (3-5)? 1 3 Hvis du skulle ta hensyn til spolens utstrekning under beregningene av feltet hvordan ville du da gå fram? Helmholtzspoler Såkalte Helmholtzspoler består av to identiske, korte seriekoplede spoler satt opp koaksialt i en avstand a som vist i figur 33 Det aksiale magnetfeltet på aksen er gitt av likning (3-5) for hver spole Ifølge superposisjonsprinsippet finner vi det totale feltet i avstand x fra midtplanet mellom spolene til å bli lik B x (x) = Nµ 0I 2R [ ( 1 + ) 3/2 (x a/2)2 + (1 + R 2 ) ] 3/2 (x + a/2)2 (3-6) R 2 Her er spolenes gjennomsnittsradius lik R, strømmen gjennom spolene lik I og vi har neglisjert utstrekningen av spolene Hvis du deriverer likning (3-6) mhp x finner du at ved x = 0 er db/dx = d 2 B/dx 2 = d 3 B/dx 3 = 0 når a = R Dette betyr at når a = R har du en geometri som gir deg 1 TIPS: Se på utstrekningen av spolen som feil i x og anslå tilsvarende feil B i B(x) 2 TIPS: Del spolen inn i feks tre spoler med 110 viklinger hver og beregn feltet fra hver av spolene og superponer virkningen Det beste du kan gjøre er å behandle hver vikling for seg, og i praksis betyr det integrasjon over hver vikling

37 32 BEREGNINGSOPPGAVER 29 et spesielt godt homogent magnetfelt i området mellom spolene Slike Helmholtzspoler anvendes for å sette opp homogene magnetfelt i mange situasjoner Anta at du har R a O Viklinger x Figur 33: Helmholtzspoler består av to tynne spoler i en gitt avstand a mellom spolene Helmholtzspoler med N = 330 viklinger på hver spole, R = 70 mm og sender en konstant strøm I = 1,00 A gjennom viklingene 4A Lag en tabell over magnetflukstettheten B(x) på aksen til Helmholtzspolen i området -20 cm < x < 20 cm for hver av de tre forskjellige verdiene a = R/2, R og 2R Bruk Excel regneark 3 Et forslag til tabell er vist i figur 34 Tabell 2 Målte og beregnede verdier av magnetfeltet B på aksen til en Helmoltzspole sfa avstanden x fra spolens midtplan Magnetisk permeabilitet for tomt rom, 1,26E-06 H/m Antall viklinger, N 330 # Spolestrøm, I 1,00 A Gjennomsnitts spoleradius, R 0,07 m Avstand mellom spolene, a a=2r, R eller R/2 Posisjon a=2r a=r a=r/2 a=2r a=2r a=r a=r a=r/2 a=r/2 på Beregnet Beregnet Beregnet Målt Differanse Målt Differanse Målt Differanse målestav x B1 B1 B1 B2 B2-B1 B2 B2-B1 B2 B2-B1 (cm) (m) gauss gauss auss = 10-4 gauss (%) gauss (%) gauss (%) 30-0,20 3,626 2,454 2, ,0-100,0-100,0 35-0,15 9,286 5,478 4, ,0-100,0-100,0 40-0,10 24,643 14,549 11, ,0-100,0-100,0 43-0,07 32,279 26,258 22, ,0-100,0-100,0 45-0,05 30,129 35,312 33, ,0-100,0-100,0 47-0,03 24,981 41,063 45, ,0-100,0-100,0 48-0,02 22,821 42,105 49, ,0-100,0-100,0 49-0,01 21,429 42,382 53, ,0-100,0-100,0 50 0,00 20,951 42,402 54, ,0-100,0-100,0 Figur 34: Utdrag fra Excel-tabell for magnetfelt på aksen til Helmholtzspoler 4B Framstill resultatet i et kurvediagram i regnearket Regnearket skal også brukes for registrering av måleresultat i avsnitt 33 3 Legg tabellen som et nytt regneark på samme Excel-filen som foran Nytt ark lager du ved å høyreklikke på fanen nederst på regnearket og velg legg til nytt regneark eller ta en kopi av den eksisterende tabell og rediger på den

38 30 KAPITTEL 3 STATISK MAGNETFELT 4C Inkluder en kolonne for målt verdi av B og en kolonne for avvik mellom målt og beregnet verdi gitt i % for a = 2R Gjenta dette for de to andre verdiene av a Forbered til å vise avviket grafisk (Et forslag er gitt i tabellen i figur 34) Ta en kontrollregning for hånd av en av de beregnede B Sjekk utregnet differanse ved å sette inn noen tenkte måleverdier 324 Solenoide Magnetfeltet ved et punkt P på aksen til en solenoide kan finnes fra Biot-Savarts lov, og resultatet er B = Nµ 0I (cosθ 1 cos θ 2 ), (3-7) 2l hvor l er lengden av solenoiden og vinklene θ 1 og θ 2 er definert i figur 35 eller analytisk: cos θ 1 = z z2 + R 2 l z cosθ 2 = (3-8) (l z)2 + R2, der R = indre radius av solenoiden og z er akseavstand fra venstre ende av solenoiden til punktet Inni solenoiden er θ 1 0, π/2 og θ 2 π/2, π Formelen gjelder også utenfor solenoiden dx O θ 1 θ θ 2 x z P R l Figur 35: Solenoide Vinkelen θ brukes ved utledning av magnetfeltet langs aksen, se teksten Vi spanderer et bevis for likning (3-7): Vi har i likning (3-4) funnet magnetfelt på aksen i avstand x fra en enkeltsløyfe I en solenoide har vi mange sløyfer tett i tett, vi definerer strøm per lengdeenhet som IN/l = In, der n er antall viklinger per lengde Flukstetthet i et punkt P på aksen får da et bidrag fra den tynne strømsløyfa di = Indx i posisjon x, og ifølge første del av likning (3-4) er flukstettheten lik db = µ 0 di 4π 2πR 2 (x 2 + R 2 ) = µ 0In 3/2 2 R 2 (R 2 + x 2 ) 3/2dx (3-9)

39 32 BEREGNINGSOPPGAVER 31 Med θ som vinkelen i punktet P mellom solenoideaksen og periferien ved posisjon x (figur 35) ser vi at tan θ = R/x, og derivasjon av x = R/tan θ gir Vi merker oss at dx = R dθ = R tan 2 θ cos 2 θ sin 2 dθ (3-10) θ sin 3 θ = R 3 (R 2 + x 2 ) 3/2, (3-11) slik at dx = R 1 sin 3 θ sinθ dθ = + x 2 ) 3/2 R(R2 sinθ dθ (3-12) R 3 og ved substitusjonen tan θ = R/x i likning (3-9) og innsetting av grenser θ 2 (høyre ende, lavest x) til θ 1 (venstre ende, høyest x), vil vi få som skulle vises B(x) = µ 0In 2 θ1 θ 2 sinθ dθ = µ 0In 2 (cosθ 1 cosθ 2 ), (3-13) 5 Hva er uttrykket for magnetfeltet langt inne i solenoiden, og hva er det ved enden av solenoiden? TIPS: Hva er θ 1 og θ 2 ved disse posisjonene? Anta at du har en solenoide med N = 397 viklinger, l = 420 mm, R = 50 mm og strøm I = 1,00 A 6A Lag en tabell over magnetflukstettheten B(z) på aksen til solenoiden i området -10 cm < z < 50 cm der x = 0 ved venstre kant av solenoiden Bruk Excel regneark ved å lage nytt ark på samme filen som tidligere Et forslag til tabell er vist i figur 36 Tabell 3 Målte og beregnede verdier av magnetfeltet B på aksen til en solenoide sfa avstanden z fra ene ende Magnetisk permeabilitet for tomt rom, 0 1,26E-06 H/m Antall viklinger, N 397 # Spolestrøm, I 1,00 A Indre radius i solenoiden, R 0,05 m Lengde, l 0,42 m Posisjon på målestav Beregnet Målt Differanse z cos cos B1 B2 B2-B1 (cm) (m) gauss gauss (%) 60-0,10-0,894-0,995 0, ,0 55-0,05-0,707-0,994 1, ,0 53-0,03-0,514-0,994 2, ,0 52-0,02-0,371-0,994 3, ,0 51-0,01-0,196-0,993 4, ,0 50 0,00 0,000-0,993 5, ,0 49 0,01 0,196-0,993 7, ,0 Figur 36: Utdrag fra Excel-tabell for magnetfelt på aksen til Helmholtzspoler

40 32 KAPITTEL 3 STATISK MAGNETFELT 6B Framstill resultatet i et kurvediagram i regnearket Regnearket skal også brukes for registrering av måleresultat i avsnitt 33 6C Inkluder en kolonne for målt verdi av B og en kolonne for avvik mellom målt og beregnet verdi gitt i % (Et forslag er gitt i tabellen i figur 36) 325 Halleffektprobe Når elektroner beveger seg med hastighet v i en halvleder som befinner seg i et magnetfelt B som vist i figur 37, vil elektronene bøye av til den ene siden Avbøyningen er gitt ved Lorentzkraften F = q( v B), der q = e for elektroner V H B B q F v d b I Figur 37: Halleffekt i en halvlederprobe Strøm I påtrykkes mellom de to minste endevegger Lorentzkraften virker normalt på strømretningen og normalt på B og avbøyningen på grunn av denne fører til at elektronkonsentrasjonen blir sterkere mot den ene veggen av halvlederen Det bygger seg altså opp et elektrisk felt E i lederen med samme retning som Lorentzkraften, og dette feltet gir en tilleggskraft F = q E på elektronene Det vil raskt oppstå en likevekt der elektrostatisk kraft og Lorentzkraft er like store slik at F = q E + q( v B) = 0 E = v B (3-14) Farten v til elektronene gjennom halvlederen er bestemt av strømmen ved uttrykket I = nqva, hvor n er tettheten av elektroner og A = bd er tverrsnittet i lederetningen Dette gir v = I 1 A nq = I bd R H, (3-15) der vi har definert Hallkonstanten R H = 1/nq Med b lik bredden på proben vil spenningen V H = Eb dannes over sideveggene Hvis vi ser bort fra fortegn og bruker at v B får vi følgende uttrykk for Hallspenningen V H : V H = Eb = vbb = R HI B, (3-16) d

41 32 BEREGNINGSOPPGAVER 33 der altså d er tykkelsen av Hallproben som magnetfeltet B virker over Hallkonstanten R H og d er konstanter for en gitt probe og strømmen I holdes konstant Den magnetiske flukstettheten B normalt på proben vil da være proporsjonal med Hallspenningen V H som måles med et voltmeter Halleffekten anvendes bla i gaussmetre for måling av magnetfelt Et Halleffekt-gaussmeter vil essensielt bestå av en strømkilde som gir en konstant strøm I gjennom en probe, og et voltmeter Proben plasseres i magnetfeltet som skal måles Gjennom en kalibreringsprosess kan sammenhengen mellom målt Hallspenning og magnetfelt etableres og utlesningsenheten for spenning graderes direkte i tesla = weber/m 2 eller gauss = 10 4 tesla I praksis er utstrekningen til en Hallprobe av størrelsesorden noen mm 2 To forskjellige probegeometrier er vanlige: transversale prober og aksiale prober, som vist i figur 38 1 B 2 B Figur 38: Probegeometrier: (1) Aksial probe, (2) transversal probe Typisk verdi for elektrontettheten i en dopet halvleder er n = elektroner/m 3 Til sammenlikning har kobber n = elektroner/m 3 I våre gaussmetre er I = 20 ma og d = 1,0 mm Anta at magnetfeltet varierer fra 1 til 100 gauss 7A Hvilket måleområde må gaussmeterets voltmeter ha for å måle i dette magnetfeltområdet? (Anta at n = elektroner/m 3 ) 7B Hvorfor tror du at halvledere blir brukt i magnetfeltprober? Begrunn hvorfor feks kobber ikke vil være et egnet materiale 7C Begrunn også hvorfor en isolator ikke vil være et egnet materiale i en magnetfeltprobe 326 Magnetiske strøfelt I laboratoriet er det magnetiske strøfelt som danner en bakgrunn som kan forstyrre magnetfeltmålinger Strøfeltene har tre hovedkilder: jordmagnetfeltet, magnetfelt fra magnetiske materialer i bygningskonstruksjoner og inventar, induserte magnetfelt fra bla 230 V nettledninger Jordmagnetfeltet, som er konstant og av størrelsesorden 1 gauss, antas å stamme fra konveksjonsstrømmer av elektriske ladninger i jordas flytende kjerne Anta at det midt i jordas indre ligger en strømsløyfe vinkelrett på jordas rotasjonsakse La strømsløyfas

42 34 KAPITTEL 3 STATISK MAGNETFELT radius være R = R j /4, hvor R j = 6371 km er jordradien Aksialkomponenten til magnetfeltet i posisjon x på aksen til en slik strømsløyfe er gitt ved likning (3-4) 8 Hvor stor må strømmen i sløyfa være for at magnetfeltet på jordoverflata ved polen (x = R j ) skal være lik 1 gauss? Bidrag til strømagnetfeltet fra bygningen og inventaret vil avhenge av bygnings- og konstruksjonsmaterialene som er brukt Dere skal vurdere bidragene til dette i laboratoriet gjennom egne målinger Bidrag til strøfeltet fra strømmene i ikke-skjerma ledninger kan estimeres ved å beregne feltet satt opp av en lang rett leder som fører strømmen I Asimutalkomponenten av magnetfeltet i en avstand r fra en lang leder kan finnes fra 4 Biot-Savarts lov (3-2) B θ (r) = µ 0I 2πr (3-17) 9 Hvor stor er den magnetiske flukstetthet i en avstand 5 cm fra en lang 230 V nettledning pga en strøm 1 A i denne ledningen? 327 Magnetfeltfritt rom Det permanente magnetfeltet på jordoverflata fører til problemer med nulling av gaussmetre Magnetfelt kan imidlertid skjermes ved å bruke materialer med høy permeabilitet Rent jern kan brukes Det finnes også spesielle legeringer som har enda høyere permeabilitet µ og dermed skjermer enda bedre Et eksempel er mymetall 5 Gaussmetre nulles vanligvis ved å stikke gaussmeterproben inn i et kammer som skjermer den fra jordmagnetfeltet under nullingen 4 Utledning feks i [1], Kap Mymetall er en legering av 77% nikkel, 15% jern pluss noe kobber og molybden Navnet har det fått pga svært høy verdi for magnetisk permeabilitet, µ

43 33 EKSPERIMENTELT Eksperimentelt 331 Apparatur Følgende instrumenter inngår i oppstillingen: Gaussmeter Magnetic Instruments RFL, Mod 912 Måleområde: 0,01 G 100 kg Presisjon: ± (0,4 % av avlesing + 0,1 % av område + 1 i siste siffer) Hallprobe Magnetic Instruments 912/200R Aksial, 0 10 kg Dimensjoner: diameter 5 mm, overflate 20 mm 2 Nullfeltkammer Magnetic Instruments Korte spoler 330 viklinger, 22 viklinger/lag 15 lag Indre diameter 126 mm, ytre diameter 154 mm Tråd: lakkisolert kobber, diameter 0,75 mm, maksimum spolestrøm: 1,0 A Solenoide 397 viklinger, lengde 420 mm, indre diameter 100 mm Tråd: lakkisolert kobber, diameter 1,0 mm, maksimum solenoidstrøm 1,0 A Multimeter Escort Mod EDM 168A, eller tilsvarende Datamaskin med printer Diverse utstyr: Metermål, skrujern Kraftforsyning Mascot Type 719 Område: 0 30 V, 30 ma 2 A Dette er en kombinert strømstyrt/spenningstyrt kraftforsyning Dvs den kan forsyne en konstant strøm eller en konstant spenning, opp til en viss maksimal belastning Boksen har to justeringsknapper, en for spenning merket 0 30 V og en for strøm merket 30 ma 2 A Strømstyrt kraftforsyning (strømkilde) har vi dersom spenningsjusteringen stilles til maksimalt Strømmen reguleres med strømjusteringsknappen Knappen merket meter er det da naturlig å sette i stilling A (Ampere), og viseren vil da vise strømmen som utgangen gir Spenningstyrt kraftforsyning (spenningskilde) har vi dersom strømjusteringen stilles til maksimalt Spenningen reguleres med spenningjusteringsknappen Knappen merket meter er det da naturlig å sette i stilling V (volt), og viseren vil da vise spenningen over utgangen Dersom boksen brukes strømstyrt vil den maksimale strømmen 2 A kunne gis til en ekvivalent utgangsmotstand på maksimalt R = U/I = 30 V/2, 0 A = 15 Ω Boksen har også en knapp merket range som kan begrense maksimal spenning til 15 V istedenfor standard 30 V Dersom 15 V velges vil maksimal utgangsmotstand være R = U/I = 15 V/2, 0 A = 7, 5 Ω Ved høyere utgangsmotstand vil utgangsspenningen holdes på maksimal verdi og strømmen bli lavere Tilsvarende maksimalregulering er det ved spenningsstyrt kraftforsyning 30 volt maksimalspenning kan gis ned til en motstand på R = U/I = 30 V/2, 0 A = 15 Ω

44 36 KAPITTEL 3 STATISK MAGNETFELT Ved lavere motstand vil forsyningen ikke kunne gi nok strøm slik at spenningen vil falle 332 Kaliberering av Hallprobe Det er vanskelig å produsere Hallprober med nøyaktig like Hallkonstanter Hallspenningen som oppstår ved et gitt magnetfelt og strøm vil derfor kunne variere litt fra probe til probe For å kunne bruke flere prober til samme gaussmeter har hver probe tilordnet et kalibreringsnummer som brukes for å justere forsterkningen til gaussmeterets voltmeter slik at meteret viser riktig magnetfelt Dette nummer står på probekontakten Før bruk må gaussmeteret både kalibreres og nullstilles Kalibreringsprosedyre: Kople til proben og sett områdeknappen i stilling CAL, funksjonsvelgeren i stilling DC Les av kalibreringsnummeret ( CALNO 0xxxx ) på probekontakten og noter det ned i journalen Slå gaussmeteret på og juster kalibreringsknappen til probens 0xxxx vises i utlesningsvinduet Nullstillingsprosedyre: Sett områdeknappen i stilling 100 Før proben inn i nullfeltkammeret og juster nulljusteringsknappen inntil utlesningsvinduet viser 0000 MERK: Før gaussmeteret er klart til bruk må det varmes opp i min Under oppvarmingen vil kalibreringen og nullstillingen drive Før du begynner å ta nøyaktige målinger må du derfor gjenta kalibrering og nullstilling MERK: Når du skifter måleområde (10/100/1K) må du foreta ny nullstilling! Enheter og fortegn for Hallproben: Meteret viser den magnetiske flukstettheten, B, i enheten gauss = 10 4 tesla Gaussmeteret viser positivt fortegn når feltlinjene har retning ut av den sylindriske tuppen på proben 333 Magnetiske strøfelt Oppgave: Undersøk de magnetiske strøfeltene i laboratoriet og svar på følgende spørsmål:

45 33 EKSPERIMENTELT 37 Hvordan stemmer den målte retningen av jordmagnetismen med antatt retning for vår breddegrad? 6 Sammenlikn resultatene med resultater fra de andre gruppene Er det variasjon av den målte jordmagnetismen innenfor laboratoriet? Vil magnetfeltet fra jernet i laboratoriebordene kunne forstyrre målingene? Du bør sette gaussmeteret i stilling 10 for disse målingene (og husk å nullstille på ny!) 334 Magnetfelt i kort spole Oppgave: Kartlegg magnetfeltet på aksen til en kort spole sfa avstanden fra spolen For å måle magnetfeltet kan du enten holde spolen fast og flytte Hallproben eller du kan sette Hallproben fast og flytte spolen I våre eksperimenter er siste løsning den beste fordi vi da unngår korrigering av gaussmeteravlesningene pga det varierende strøfeltet langs spoleaksen Når Hallproben sitter fast vil strøfeltet rundt proben være konstant og kan nulles ut vha gaussmeterets nullstilling og feltet fra spolen kan følgelig leses direkte fra gaussmeteret Framgangsmåte: Monter en kort spole på den bevegelige vogna Juster Hallprobens posisjon slik at den ligger på spoleaksen Kople opp spolekretsen som vist i figur 39 VIKTIG: Kraftforsyningen skal være avslått under oppkoplingen Velg strømmåling både på kraftforsyningen og multimeteret Bruk 10A-inngangen på multimeteret Be læreren om å godkjenne oppkoplingen Sett gaussmeteret i stilling 100 og nullstill (Det er sikrest å bryte spolestrømkretsen under nullingen) Slå på multimeteret og kraftforsyningen Skru justeringsknappen for spenning på kraftforsyningen helt til høyre (kraftforsyningen er nå i strømstyrt mode) Mål magnetfeltet B(x) langs aksen av spolen sfa avstanden x fra spolens midtplan 7 med feks I = 1,00 A strøm i spolen (Husk: maksimal spolestrøm er 1,0 A) og legg måleresultatene inn i regnearktabellen etter hvert Analyser resultatene, dvs på regnearket sammenlikn avviket mellom målt og beregnet verdi Skriv ut tabell og graf og lim inn i journalen 6 Den magnetiske nordpolen ligger i nærheten av den geografiske sydpolen Magnetiske feltlinjer er lukkede kurver og har retning fra magnetisk nordpol til sydpol ytre sett og fra sydpol til nordpol inni magneten 7 TIPS: Definer spolens midtplan på følgende måte: Finn magnetfeltets maksimumsverdi Finn to posisjoner på hver side av spolens midtplan hvor magnetfeltene er like og ligger ca 5% under maksimumsverdien Midtplanet ligger midt i mellom disse to posisjonene

46 38 KAPITTEL 3 STATISK MAGNETFELT Mascot + Multimeter COM Blå Rød I Figur 39: Spolekrets Mascot kraftforsyning, multimeter og spolen er vist Merk deg vikleretningen for spolen, spolen er sett mot siden med koplingsbøssingene 335 Magnetfelt i Helmholtzspole Oppgave: Kartlegge magnetfeltet på aksen mellom to korte spoler sfa avstanden fra spolens midtplan og avstanden mellom spolene Framgangsmåte: Monter på den bevegelige vogna to korte spoler i en avstand a = R fra midtplan til midtplan og kople opp kretsen som vist i figur 310 Mål magnetfeltet B(x) langs spoleaksen som funksjon av avstanden x fra midtplanet mellom spolene med feks I = 1,00 A og legg resultatene etter hvert inn i regnearktabellen for Helmholtzspolen Mål et stykke utenfor enden av spolen Gjenta målingen med spoleavstander a = 2R og a = R/2 Analyser resultatene, dvs på regnearket sammenlikn avviket mellom målt og beregnet verdi Skriv ut tabell og graf og lim inn i journalen 336 Magnetfelt i solenoide Oppgave: Kartlegg magnetfeltet på aksen til en solenoide Framgangsmåte: Monter solenoiden på den bevegelige vogna og kople opp kretsen Mål magnetfeltet B(x) langs aksen på solenoiden som funksjon av avstanden x fra solenoidens endeplan og legg resultatene inn i regnearktabellen etter hvert

47 33 EKSPERIMENTELT 39 Mascot + Multimeter COM I Blå Rød Blå Rød Figur 310: Oppkopling av Helmholtzspoler For å få spolene nærme hverandre nok må du montere spolene slik at koplingsbøssingene peker utover for begge spoler Pass på at strømretningene i hver spole er den samme Analyser resultatene, dvs på regnearket sammenlikn avviket mellom målt og beregnet verdi Skriv ut tabell og graf og lim inn i journalen 337 Generell diskusjon Diskuter beregning av magnetfeltet til en kort spole når spolens utstrekning tas med i beregningen Diskuter mulige anvendelser av de fysiske effekter som er tatt opp til observasjon i eksperimentet 338 Avslutning Slå av alle apparater, trekk ut alle ledninger og forlat plassen i minst like god orden som du fant den

48 40 KAPITTEL 3 STATISK MAGNETFELT

49 Kapittel 4 LORENTZKRAFTEN Mål Du skal i denne laboratorieoppgaven studere krefter på elektroner i homogene og konstante elektriske og magnetiske felt, bestemme forholdet e/m mellom elektronets ladning e og masse m (Thomsoneksperimentet), foreta feilanalyse av eksperimentet 41 Teoretisk bakgrunn Teorien presenteres i samband med presentasjonen av beregningsoppgavene nedenfor Det vises også til lærebok og forelesningene i elektromagnetisme 42 Beregningsoppgaver 421 Lorentzkraften Kraften fra elektriske og magnetiske felt på ladde partikler kalles gjerne Lorentzkraften Kraften på en ladd partikkel med ladning q som beveger seg med hastighet v i et elektrostatisk felt E og et magnetostatisk felt B er gitt ved F = q E + q v B (4-1) For å lage en hurtig elektronstråle (slik som feks brukes i TV-rør og katoderør-oscilloskopet) brukes alltid elektriske felt for å akselerere elektronene Uttrykket for Lorentzkraften viser imidlertid at både elektriske og magnetiske felt gir kraftvirkning på ladde partikler 41

50 42 KAPITTEL 4 LORENTZKRAFTEN 1 Forklar ut i fra uttrykket for Lorentzkraften hvorfor magnetiske felt (i motsetning til elektriske felt) ikke kan gi en ladd partikkel økt kinetisk energi 422 Ladninger i E-felt Et homogent elektrisk felt settes lettest opp mellom to parallelle plateleektroder Denne geometrien gir et elektrisk felt E = U a /l hvor U a er spenningen mellom platene og l avstanden mellom dem En ladd partikkel med ladning q og masse m blir under passasje mellom platene akselerert med en akselerasjon Dette anvendes i kilder for ladde partikkelstråler a = qe m = qu a ml (4-2) Figur 41 viser hvordan en elektronstrålekilde kan lages Et wolfram-filament varmes opp ved at elektrisk strøm passerer gjennom det Når det er rødglødende sender det ut elektroner fra overflata Filamentet plasseres like bak en plateelektrode med hull i Spenning legges mellom filamentet og plateelektroden Elektronene blir akselerert mot plateelektroden og de elektronene som passerer hullet går ut i en stråle på andre siden av plata En annen måte å lage elektroner i elektronkilder er å bruke en oksidkatode som blir varmet opp indirekte av et filament Denne konstruksjonen gir bedre feltforhold under akselerasjonen, og det er denne utgaven som er vist i figur 41 Figur 41: Prinsippskisse for elektronstrålekilde (1) Vekselspenning (5-10 V) til (2) glødefilament varmer opp (3) oksidbelegget Akselerasjonsspenning mellom filamentet og (4) anoden akselerer elektronene Anta at et elektron blir akselerert fra stillstand til en spenning på 30 V i et statisk elektrisk felt 2 Hva blir hastigheten til elektronet etter akselerasjonen? I partikkelakseleratorfysikk brukes energienheten elektronvolt, forkortet ev En partikkel ladd med en elementærladning får energien 1 ev når den akselereres gjennom et spenningsfall på 1 V

51 42 BEREGNINGSOPPGAVER 43 3A Hvor mange joule tilsvarer 1 ev? 3B Hva blir energien til et elektron som akselereres til en spenning på 30 V uttrykt i enheten ev? En elektronstråle fra en elektronkilde med null potensial blir akselerert til et potensial U a vil kunne avbøyes i et transversalt elektrisk felt E = U d /d over en avstand L som vist i figur 42 Avbøyningsvinkelen α er gitt av tanα = 1 2 U d L U a d (4-3) elektronkanon + }{{} 20 kv d = 20 cm skjerm + 20 V α } {{ } L=50 cm L s = 25 cm y Figur 42: Avbøyning av elektronstråle i et TV-rør, feks et oscilloskop Tallverdier i figuren brukes i oppgaven Likning (4-3) beskriver de fysiske lover som danner grunnlaget for oscilloskopet, som er et instrument for måling av elektrisk spenning Spenningen som skal måles legges mellom de transversale avbøyningsplatene og avbøyningen av elektronstrålen observert på en fosforescerende skjerm er et mål for spenningen Anta elektronene blir akselerert av et 2 kv akselerasjonspotensial og de øvrige parametre er som vist i figur 42 4 Hvor stor avbøyning y får strålen på skjermen hvis avbøyningsspenningen er 20 V? 423 Ladninger i B-felt Når et elektron beveger seg i et rom fritt for elektrisk felt men med et magnetisk felt B virker Lorentzkraften til enhver tid normalt på baneretningen (så sant ikke banen er parallell med magnetfeltet) La oss anta elektronet skytes inn i B-feltet med hastighet vinkelrett på feltet, Lorentzkraften blir da F B = evb og utgjør sentripetalkraften Elektronbanen blir en sirkel med radius r med sentripetalakselerasjon a s = v 2 /r = F B /m Farten v kan bestemmes fra den kinetiske energien til elektronet gitt av 1 2 mv2 = eu a

52 44 KAPITTEL 4 LORENTZKRAFTEN Ved å sette sammen disse likningene får vi følgende uttrykk for radien r = 1 2U a B e/m (4-4) 5 Sett opp i et kurvediagram kurveskarer over r sfa B i området 0 < B < 15 gauss for U a = 20, 40 og 60 V Bruk Excel eller MATLAB 424 Bestemmelse av e/m (Thomsoneksperimentet) I 1897 oppdaget Thomson ekstremt lette, negativt ladde partikler som senere viste seg å være elektroner Samme år brukte han avbøyning i statiske elektriske og magnetiske felt til å finne forholdet mellom deres ladning og masse Uttrykket (4-4) kan omskrives til e m = 2U a B 2 r2 (4-5) Forholdet e/m kan altså bestemmes ved å måle radius r i elektronbanen i et magnetfelt B vinkelrett på banen for elektroner akselerert over en spenning U a Du skal gjenta Thomsons eksperiment i laboratoriet Størrelsen på apparaturen begrenser diameteren på største elektronbane til ca 8 cm 6 Bruk kurveskaren som du satt opp i oppgaven ovenfor til å anslå gunstig magnetfelt B for tre ulike akselerasjonsspenninger U a = 20, 40 og 60 V Ved omskrivning av (4-5) får du m = qb2 r 2 2U a, (4-6) som viser at massen m til en ladd partikkel med kjent ladning q som har vært akselerert til et kjent potensial U a kan bestemmes ved å måle magnetisk flukstetthet B og baneradius r for partikkelen i et magnetisk felt Dette er ideen bak det magnetostatiske massespektrometeret som er et av de viktigste instrumentene for bestemmelse av atomære og molekylære partikkelmasser Thomson la med sitt arbeid grunnlaget for denne teknikken 425 Spenningsdeler Den såkalte spenningsdeleren er blant de mest alminnelige elektriske oppkoplinger Du skal anvende den i eksperimentet I sin enkleste form ser spenningsdeleren ut som i figur 43A Gjennom koplingen kan spenningen V inn reduseres til V ut For å finne størrelsen på V ut sfa V inn kan du se på strømmen I gjennom motstandene R 1 og R 2 som ifølge Ohms lov er lik I = V inn (4-7) R 1 + R 2

53 43 EKSPERIMENTELT 45 V inn A B C R 1 > R > 2 V ut V inn R 1 R 2 > V ut V inn R 1 R 2 > V ut > R L Figur 43: Spenningsdeler (A) Med faste motstander (B) Med variabel motstand med midttapping (skyvemotstand/potensiometer) (C) Med potensiometer og last R L Bruk Ohms lov igjen på R 2 : V ut = IR 2 = R 2 R 1 + R 2 V inn (4-8) Spenningsdeleren kan gjøres variabel ved å erstatte R 1 og R 2 med en motstand med variabel midttapping (skyvemotstand) som vist på figur 43B Sammen med en fast spenningskilde gir dette en mulighet til å lage en billig variabel spenningskilde Spenningsdeleren har imidlertid en ulempe 7 Kan du finne hvilken ulempe? TIPS: Hva skjer med V ut når du begynner å trekke strøm fra utgangen (midttappingen)? Se figur 43C Resultantmotstanden over parallellkoplingen av R 2 og R L betegnes R 2 R L og er lik (R 2 R L )/(R 2 + R L ) 43 Eksperimentelt 431 Apparatur Elektronstrålerør Leybold Hereaus Kraftforsyning for elektronakselerasjonen Delta Elektronika E Brukes som spenningskilde Område: V, ma Kraftforsyning for fokuseringselektrode Mascot, type 719 Brukes som spenningskilde Område: 0 15 V, 30 ma 2 A Kraftforsyning for Helmholtzspoler Mascot, type 719 Brukes som strømkilde Område: 0 15 V, 30 ma 2 A Multimeter for spolestrøm Escort EDM168A, 3 sifre, eller tilsvarende

54 46 KAPITTEL 4 LORENTZKRAFTEN Multimeter for akselerasjonsspenning Escort EDM168A, 3 sifre, eller tilsvarende Transformator for glødespenning Inn: 230 V, Ut: 6 V, 300 ma max Koplingsboks A uten spenningsdeler Koplingsboks B med spenningsdeler En mengde ledninger av ulik lengde Figur 44: Leybold apparat med elektronkanonen innen glasskolbe (1), Helmholtzspoler (2), holder (3), og radiusmåler (4) Figur 45: Prinsippskisse Elektronkanonen (K), avbøyning av elektronstrålen mellom avbøyningsplater (P) Magnetfelt er markert med kryss inn i papirplanet og elektronstrålen er vist uten (a) og med B-felt (b) Apparaturen er vist skjematisk i figurene 44 og 45 Elektronkanonen (K) sender ut elektroner som kan avbøyes i et statisk elektrisk felt mellom de parallelle avbøyningsplatene (P) og/eller i et statisk magnetfelt fra Helmholtzspolene Glasskolben rundt elektronkanonen er fylt med tynn hydrogengass til et trykk på omtrent 10 5 atmosfærer (1 Pa) Støt mellom elektronene og gassen vil eksitere elektronene i gassmolekylene som så deeksiterer og sender ut lys (samme fenomen som ved nordlys) Sporet etter elektronene blir da synlig som en blågrønn stripe Studer elektronkanonen gjennom glasskolben Studer også den demonterte kanonen fra et gammelt rør som er utlagt i laboratoriet 432 Oppkopling av spenninger til elektronkanonen Figurene 46 og 47 viser skjematisk de elektriske oppkoplinger for elektronkanonen

55 43 EKSPERIMENTELT 47 a: anodespenning, b: jordingspunkt, c: glødespenning til katoden, d: Wehneltsylinder, e: avbøyningsspenning (øvre og nedre), f: punkt for måling anodespenning, g: strømtilførsel Helmholtzspoler Figur 46: Elektrisk tilkoplingskjema på apparaturens sidekant Figur 47: Koplingsskjema for elektronkanonen Kraftforsyning Delta Elektronika for anodespenning, kraftforsyning Mascot 719 for Wehnelt/fokusering, multimeter for måling av anodespenning Figur 48 til 412 gir en stegvis forklaring av hvordan det anbefales at det eksperimentelle oppsettet koples opp elektronisk Det finnes flere alternative måter å kople opp elektronkanonen, feks så trenger du ikke bruke koplingsbokser på akkurat den måten som er beskrevet her Det er imidlertid ikke vanskelig å ødelegge et par sikringer om du kopler feil, så spør veileder dersom du er i tvil Kople opp glødekretsen i henhold til figur 48 Merknader og tips:

56 48 KAPITTEL 4 LORENTZKRAFTEN Noen av transformatorene har uttak for både 6 V og 12 V Pass på at du bruker transformatorens 6 V-uttak La transformatoren være avslått under oppkopling Be læreren om å godkjenne oppkoplingen Slå på transformatoren og observer at tråden gløder Dette forutsetter at takbelysningen er slått av og bordbelysningen dempet Under hylla som elektronkanonen er plassert er det en svak, rød bordbelysning Slå transformatoren av igjen Figur 48: Kretsdiagram for elektronkanonen, steg 1: oppkopling av glødekretsen De delene av diagrammet som er innenfor de stiplede rektanglene illustrerer interne koplinger som du hverken kan eller trenger gjøre noe med Bokstavene ved inngangene til elektronkanonen (det øverste stiplede rektangelet) viser til tilkoplingspunktene i figur 46 Det stiplede rektangelet nede til høyre representerer den svarte raden med tilkoplingspunkter på koplingsboks A, og (1) representerer transformatoren For å trekke ut en elektronstråle fra katoden må elektronene akselereres som forklart ovenfor i teoridelen Dette gjøres ved å legge en akselerasjonsspenning mellom katoden og anoden Kople til akselerasjonsspenningen i henhold til figur 49 Merknader og tips: Pass på at kraftforsyningen Delta Elektronika er slått av, og at justeringsknappene for strøm og spenning er skrudd helt ned når du kopler sammen Ta til hjelp koplingsboks A der du kopler den ene raden (eks sort) til jord og den andre (feks rød) til utgangen fra kraftforsyningen (2) Foreløpig avbøyningspotensial U d = 0, derfor koples de to avbøyningsplatene sammen

57 43 EKSPERIMENTELT 49 Figur 49: Kretsdiagram for elektronkanonen, steg 2: tilkopling av anoden De delene av diagrammet som har lysere farge er allerede oppkoplet i forrige steg; se forøvrig figur 48 for forklaring Det stiplede rektangelet oppe til høyre representerer den røde raden med tilkoplingspunkter på koplingsboks A, (2) representerer Delta Elektronika kraftforsyning, og (3) representerer et multimeter for måling av anodespenning For å unngå målefeil pga spenningsfall over seriemotstanden må du kople voltmeteret direkte til anoden Bruk måleområde 1000 V likespenning Seriemotstandene montert internt i apparaturen er satt inn av sikkerhetsmessige grunner for å unngå for stor strøm i kretsen i tilfelle intern kortslutning (feks en gassutladning) Nå er det klart til å skru på alle spenninger og se at elektronstrålen vises: Be læreren om å godkjenne oppkoplingen Slå transformatoren for glødingen på Sjekk at filamentet starter å gløde Kraftforsyningen (2) for akselerasjonsspenningen skal også være spenningsstyrt: Sett METER til V, skru på og sett strømknappen 1/4 omdreining opp Øk akselerasjonsspenningen sakte inntil du (ved V eller noe høyere hvis øynene ikke har vent seg til mørket) ser sporet etter elektronstrålen i hydrogengassen som en blåfiolett stripe ut av elektronkanonen Observer hvordan strålen forandrer seg når du forandrer akselerasjonsspenningen Hvorfor når ikke strålen glassveggen ved lav akselerasjon? Ved høyere spenninger vil, ganske brått, strålen møte veggen, senk da spenningen noe Dette skjer ved ulike spenninger ved de ulike oppsett, følg godt med rundt 100 V, og evt oppover til ca 150 V

58 50 KAPITTEL 4 LORENTZKRAFTEN Figur 410: Kretsdiagram for elektronkanonen, steg 3: tilkopling av Wehneltsylinderen De delene av diagrammet som har lysere farge er allerede oppkoplet i de foregående figurene; se forøvrig figur 48 og 49 for forklaring (4) representerer en Mascot 719 kraftforsyning MERK: Hvis anoden begynner å gløde må du slå apparaturen av og la den avkjøle seg Bruk aldri høyere akselerasjonsspenning enn nødvendig for å unngå gløding Lag en skisse av strålegangen for forskjellige akselerasjonsspenninger Prosedyre for å slå av apparaturen: Slå glødespenningen av Reduser akselerasjonsspenningen til null og slå kraftforsyningen av MERK: Det er ikke farlig å ha på akselerasjonsspenning og magnetfelt uten å ha på glødespenning, men det er ikke bra å ha på glødespenning uten akselerasjonsspenning Slå derfor alltid av glødespenningen når du har korte og lengre pauser I en elektronstråle har alle partiklene samme fortegn på ladningen Strålen vil derfor ha en tendens til å divergere pga intern Coulombkraft Hvis fokuseringsringen (Wehneltsylinderen) foran katoden legges svakt negativt, vil dette virke fokuserende på strålen Kople til Wehneltsylinderen i henhold til figur 410 Merknader og tips: Sjekk at kraftforsyningen (4) er slått av og at justeringsknappene for strøm og spenning er skrudd helt ned før du kobler den til Etter du har koblet til Wehneltsylinderen og slått på kraftforsyningen (4): Innstill kraftforsyningen (4) til spenningskilde ved å sette METER til V, skru opp strømknappen omtrent 1/2 omdreining og RANGE til 15 V

59 43 EKSPERIMENTELT 51 Juster spenningen på fokuseringselektroden (Wehneltsylinderen) hvis du synes at strålen er dårlig fokusert Bruk maksimalt 10 V 433 Avbøyning i E-felt Oppgave: Du skal studere avbøyningen av en elektronstråle i et elektrostatisk felt I oppstillingen til nå har du lagt begge avbøyningsplatene på samme spenning, nemlig anodespenningen U a For å få avbøyning legges den ene plata på noe lavere spenning I praksis gjør vi dette ved å ta spenningsdeling fra anodespenningen Prinsippet for spenningsdeling er vist i figur 43 Oppkoplingsskjemaet i figur 411 viser forandringer du må gjøre fra oppkopling i figur 410 der avbøyningspotensialet var null Spenningsdeleren består av et presisjonspotensiometer (Helipot) og er montert på koplingsboks B Akselerasjonsspenningen U a koples over potensiometeret Fra midttappingen tar vi ut en spenning som varierer med stillingen til potensiometerknappen, som trenger 10 omdreininger for å skrus fra topp til bunn Avbøyningsspenningen tas ut mellom topputtaket (som altså er på potensial U a ) og midtuttaket på potensial xu a, der x kan variere fra 0 til 100 % Det betyr at den ene avbøyningsplata ligger på anodespenningen U a og den andre på xu a Avbøyningsspenningen blir da U d = U a xu a = (1 x)u a (4-9) Hvis du kopler feil og tar ut spenningsdeling til jordpotensialet vil elektronstrålen bremses kraftig og lett forsvinne Hvilken plate som skal ha lavere potensial finner du ut ved å tenke, eller ved å prøve og feile (strålen avbøyes da feil retning, mot glassveggen) Kople til avbøyningspotensialet ifølge figur 411 Merknader og tips: Innstill potensiometeret på 100 % slik at midttappingen har samme potensial som anodespenningen Slå på glødingen, fokuseringsspenning og akselerasjon som beskrevet tidligere Varier avbøyningen ved å skru på potensiometerknappen Forklar det du observerer ut i fra uttrykket for Lorentzkraften i likning (4-1) Skisser strålen for forskjellige avbøyningsspenninger, feks U d lik 1 2 U a og 4 5 U a 434 Avbøyning i B-felt Oppgave: Du skal studere avbøyningen av en elektronstråle i et statisk magnetfelt

60 52 KAPITTEL 4 LORENTZKRAFTEN Figur 411: Kretsdiagram for elektronkanonen, steg 4: Avbøyning i elektrisk felt De delene av diagrammet som har lysere farge er allerede oppkoplet i de foregående figurene; se forøvrig figur 48, 49 og 410 for forklaring Det stiplede rektangelet oppe til høyre representerer nå koplingsboks B (med spenningsdeler), som erstatter den røde tilkoplingspunktene på koplingsboks A Kople strømkretsen til magnetene ifølge figur 412 Merknader og tips: Sjekk at kraftforsyningen (5) for Helmholtzspolene er avslått og at kontrollknappene for strøm og spenning er skrudd helt ned Innstill kraftforsyningen til strømkilde (METER: A og reguleringsknappen for spenning opp 1/2 omdreining) og sett RANGE til 15 V Innstill multimeteret (6) på strømmåling og velg område 10 A likestrøm Skru opp strømmen til 1 A, og sjekk at strømkretsen virker MERK: Spolene tåler maks 2 A Skru deretter strømmen ned igjen Slå på elektronstrålen som beskrevet tidligere Juster akselerasjonsspenningen til 100 V og magnetstrømmen til 0,75 A Gi en forklaring på det som skjer forankret i uttrykket for Lorentzkraften Be læreren om å hjelpe deg å vri elektronstrålerøret i opplagringen inntil strålen beskriver en heliksformet bane Skisser strålen og forklar grunnen til den heliksformede banen

61 43 EKSPERIMENTELT 53 Figur 412: Kretsdiagram for elektronkanonen, steg 5: tilkopling av Helmholtzspolene De delene av diagrammet som har lysere farge er allerede oppkoplet i de foregående figurene; se forøvrig figur 48, 49 og 410 for forklaring (5) representerer en Mascot 719 kraftforsyning som strømkilde og (6) representerer et multimeter for måling av strømstyrken Merk at oppkoplingen av spenningsdeleren i forrige steg (figur 411) ikke er nødvendig for forsøkene som skal utføres her, og den er derfor ikke inkludert i dette diagrammet Legg merke til at kretsen for Helmholtzspolene er uavhengig av resten av oppkoplingen 435 Thomsoneksperimentet: måling av e/m Oppgave: Du skal bestemme forholdet e/m mellom elektronets ladning og masse fra likning (4-5) ved å måle akselerasjonsspenningen U a, radien r i elektronbanen og magnetfeltet B Magnetfeltet er forhåndskalibrert mot strømmen i spolene Resultatet er gitt i en kalibreringskurve vedlagt apparaturen og som et empirisk uttrykk for magnetfeltet som funksjon av målt spolestrøm funnet fra kalibreringskurven Merknader og tips: Rett opp røret slik at strålen blir en sirkel og ikke en heliks Innstill multimeteret for spenningsmåling i området V likespenning Be læreren om å vise deg hvordan du måler elektronbanens diameter ved hjelp parallakse-speilet bak elektronstrålerøret og en linjal

62 54 KAPITTEL 4 LORENTZKRAFTEN Analyse og diskusjon av Thomsoneksperimentet Bestem e/m for elektronet ut i fra dine målinger av U a, r, I og kalibreringskurven for B(I) Gjenta dersom du har tid bestemmelsen for et annet sett av verdier for U a og I Anslå feilene i de målte størrelser i samråd med læreren din og finn målfeilen i e/m Hvilke feilkilder dominerer? Sammenlign den målte verdi av e/m med tabellverdi Hvordan er overenstemmelsen mellom måleresultatene fra ulike verdier av U a og I og feilestimatet ditt? Diskuter mulige anvendelser av de fysiske effekter som er tatt opp til observasjon i eksperimentet 436 Avslutning Slå av alle apparater, trekk ut og rydd opp i alle ledninger Forlat plassen i minst like god orden som du fant den

63 Kapittel 5 KURVETILPASNING Mål Oppgaven skal lære studentene minste kvadraters metode og bruk av regresjonsanalyse på en lineær funksjon 51 Formulering av kurvetilpasningsproblemet Vi står overfor følgende problem: Vi kjenner en matematisk modell for en sammenheng mellom en fysisk størrelse x og en annen størrelse y For eksempel en enkel lineær sammenheng y(x) = a 0 + a 1 x eller en eksponensiell sammenheng y(x) = a 0 + a 1 exp( k 1 x) Generelt kan sammenhengen skrives y = y(x) = f(x, a 0, a 1, a 2, ), (5-1) hvor a j er konstante parametre I en måleserie har vi så funnet verdier av y sfa x, og som resultat har vi fått et sett av N sammenhørende par av x- og y-verdier (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x i, y i ),, (x N, y N ) (5-2) Kurvetilpasningsoppgaven består i å bestemme parametrene a j slik at funksjonen y(x) best mulig beskriver målepunktene (x i, y i ) Kurvetilpasningen kan ofte med hell gjøres ved subjektive metoder basert på prøving og feiling, feks med øyemål og linjal Imidlertid har subjektive metoder ofte dårlig reproduserbarhet og er uegnet til bruk i datamaskiner Det er derfor også et behov for objektive matematisk formulerbare metoder Slike skal beskrives her Én objektiv formulering av problemet er at for hvert punkt (x i, y i ) som måles bør differansen y i = y(x i ) y i (5-3) være minst mulig Men et krav til hvert enkelt målepunkt (totalt N) er vanskelig å samordne 55

64 56 KAPITTEL 5 KURVETILPASNING 52 Minste kvadratsums prinsipp Den etterhvert allment anerkjente standardløsningen på kurvetilpasningsproblemet formuleres matematisk ved å kreve at S = ( y i ) 2 = minimum, (5-4) og bygger således på de minste kvadraters prinsipp Legg merke til at y-ene går inn som kvadrater i uttrykket for summen S, derav navnet Det finnes andre mulige matematiske prinsipp som kan brukes for å bestemme beste kurve gjennom en punktskare Feks y i = min, eller max y i = min, men disse fører som regel til mer kompliserte løsninger enn minste-kvadrater-prinsippet Minstekvadrater-prinsippet foretrekkes også av måletekniske grunner Når de tilfeldige feilene er normalfordelt viser det seg at minste-kvadrater-prinsippet gir den mest sannsynlige linja når funksjonen f(x, ) forventes å være lineær i parametrene Gjennomføring av minimaliseringsberegningen som følger av minste-kvadrater-prinsippet vil alltid involvere derivasjon mhp parametrene a i (se nedenfor) Så lenge funksjonen f(x, a j ) er av formen y = a 0 + a 1 x + a 2 x a p x p, (5-5) dvs lineær i parametrene a j (dy/da j blir da uavhengig av a j ), så er minimaliseringsproblemet analytisk løsbart For funksjoner som er ikke-lineære i parametrene som feks f(x, a 0, a 1, k 1 ) = a 0 + a 1 exp( k 1 x), (5-6) må minimaliseringsproblemet som regel løses ved numerisk iterasjon Bestemmelse av de (p + 1) koeffisientene a 0, a 1,, a p ut fra målepunkter kalles for regresjon av p-te grad Det finnes datamaskinprogram både for lineær og ikke-lineær regresjon Vi skal bruke Excel og MATLAB for å foreta regresjonsanalysen 53 Minste kvadraters metode på den rette linje Det mest vanlige regresjonsproblemet som oppstår i laboratoriet er å finne den beste rette linje y = a 0 + a 1 x gjennom et sett av målte punkter (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x i, y i ), (x N, y N ) (5-7) Vi skal se i det følgende hvordan dette problemet kan angripes En regnemaskinbasert metode for å bestemme koeffisientene a 0 og a 1 i uttrykket for ei rett linje y(x) = a 0 + a 1 x fra N par av målte verdier (x i, y i ), vist i figur 51, er å bruke førstegrads regresjon basert på minste-kvadrater-prinsippet For et gitt par av verdier for a 0 og a 1 er avviket for i-te par av målte verdier y i = y i y(x i ) = y i (a 0 + a 1 x i ) (5-8)

65 53 MINSTE KVADRATERS METODE PÅ DEN RETTE LINJE 57 y a 1 x a 0 x x Figur 51: Minste kvadraters metode Ideen bak metoden er som vi har sett at den beste rette linje gjennom punktene er den linje hvor konstantene a 0 og a 1 har verdier som gjør uttrykket S = y 2 i = (y i a 0 a 1 x i ) 2 = minimum (5-9) La oss introdusere følgende hjelpestørrelser: S x = S xx = N x i, S y = 1 N x 2 i, S xy = 1 N y i, (5-10) 1 N x i y i, S yy = 1 N yi 2, (5-11) = NS xx S 2 x (5-12) 1 Minimumskravet blir matematisk formulert med kravene som innebærer S a k = 0, (k = 0, 1), (5-13) a 0 N + a 1 S x = S y, (k = 0), (5-14) a 0 S x + a 1 S xx = S xy, (k = 1) (5-15) Likningene gir de søkte verdiene for konstantene a 0 og a 1 : a 0 = S ys xx S x S xy, (5-16) a 1 = NS xy S x S y (5-17) Estimerte standardavvik i a 0 og a 1 kan beregnes fra 1 SS xx N a 0 = N 2, a S 1 = N 2 (5-18)

66 58 KAPITTEL 5 KURVETILPASNING For et bevis av disse siste uttrykkene, se feks Squires [3], Appendix E, eller Barford [4], Kapittel 3 Hvis likningen til den rette linjen er endret fra y = a 0 + a 1 x til y = a 1 x, fører minste kvadrat-kriteriet til følgende uttrykk for stigningstallet: a 1 = S xy S xx, (5-19) som leseren lett kan bekrefte Den tilsvarende usikkerhet kan uttrykkes som a 1 = 1 Sxx S yy S xy S xy (5-20) S xx N 1 54 Regresjonsanalyse med Excel regneark I Microsoft Excel ligger det inne flere funksjoner for dataanalyse, men vi skal bruke Excel bare som en avansert kalkulator og et verktøy for plotting De som er interesserte i å lære mer om disse hjelpemidlene kan henvises til Internett 1,2 I eksperimentet Kraft på strømførende leder i kap 62 skal du bruke et regneark i Excel eller en MATLAB-kode for tilpasning av måleresultater til teorien Du skal estimere en første ordens regresjonslinje for måledata ved å bruke minste kvadraters metode: M = a 0 + a 1 I, (5-21) hvor I er målte strømverdier og M er beregnet y-verdi (kraft) fra regresjonen Regresjonsfunksjonen bestemmer altså koeffisienten a 1 (stigningstallet) og a 0 (skjæringspunktet med y-aksen) Før du har måleresultater tilgjengelig kan du bruke måleverdiene lagret i fil Kurvetilpasningxls på skrivebordet Kopier filen til ditt eget hjemmeområde Den viser kraft (M) på strømførende leder som funksjon av strømmen I 1 Lag et diagram over disse måleverdiene Fra diagrammet ser du at målepunktene følger ei rett linje svært bra, slik det også skal være ifølge teorien for kraft på strømførende leder 2 Utfør lineær regresjon mellom de to datakolonnene Gjør som følger: Lag en kolonne (C8:C28) av verdier for x 2 i Lag en kolonne (D8:D28) av verdier for x i y i Skriv Sx i cella A30, Sy i cella B30, Sxx i cella C30 og Sxy i cella D30 Beregn S x Σx i ved å skrive formelen for cella A31 slik: =SUMMER(A8:A28)

67 55 REGRESJONSANALYSE MED MATLAB 59 Beregn S y, S xx og S xy ved å kopiere formelen til cellene B31, C31 og D31 Beregn a 0 og a 1, ved å bruke likningene (5-16) og (5-17) Vi vil i det følgende anta at verdiene for a 0, a 1, a 0, og a 1 vil bli beregnet i henholdsvis celle A34, B34, C34, og D Analyse av avviket mellom måleresultat og regresjon 3 Sett opp ei kolonne som viser det estimerte resultatet M for hver strømverdi Estimert resultat fra regresjonslinja M = a 0 + a 1 I kan du legge inn i ei ny kolonne ved feks i celle E8 å skrive inn formelen = $A$34 + $B$34*A8 og kopiere den nedover kolonne E 4 Lag også overskrift for kolonne E, og formater tallverdiene Beregn også avviket M = M M i kolonne F Kurvediagram for avvik genereres automatisk Legg merke til at vi har lagt arbeid i å forbedre kurvediagrammet laget av Excel Beregn kvadratavviket ( M) 2 i kolonne G og S i celle G31 Beregn a 0, og a 1 ved å bruke likning (5-18) 5 Beregn det relative avviket mellom målte verdier M og estimerte verdier M for hver strømverdi Legg inn en formel som regner ut differansen (M M )/M i % i cella H8 og kopier nedover kolonna 6 Hvilket er mest instruktivt, relativt avvik eller absolutt avvik? Kurvediagrammet over M(I) viser at M stort sett øker lineært med I som teorien forutsier Spørsmål: Fra teorien for strømførende ledere forventes det at den rette linjen vil passere gjennom origo Stemmer dette med beregnede verdier av a 0 og a 0? Prøv nå å beregne a 1 og a 1 i celleb35 og D35 ved å bruke likningene (5-19) og (5-20) Sammenlikn de nye verdiene med de du fant tidligere 55 Regresjonsanalyse med MATLAB I dette delkapittelet skal vi bruke MATLAB til å løse det problemet som i forrige delkapittel ble løst av Excel Du vil oppdage at tenkemåtene som brukes i de to verktøyene er noe forskjellige Den tilnærmingen vi kommer til å følge i MATLAB vil ligge nærmere vanlig programmering, det vil si at vi skriver et skript eller en kodebit som deretter kan kjøres for å behandle flere forskjellige datasett For denne forholdsvis enkle oppgaven

68 60 KAPITTEL 5 KURVETILPASNING krever dette en litt større investering av tid for å skrive den koden vi trenger Dette er imidlertid vel anvendt tid om du skal få inn under huden den tenkemåten en bruker når en programmerer, noe som trolig vil komme til nytte ved løsning av andre problemer senere i studiet Det konkrete resultatet fra denne labben skal i alle tilfeller bli det samme for Excel eller MATLAB: Du skal få et regneark eller et skript som er klart for å behandle de måledata du vil registrere i neste labb 551 Pseudokode for regresjonsanalyse I TFY4145/FY1001 fikk dere en tilsvarende oppgave der dere skulle beregne blant annet middelverdier og standardavvik av svingetiden for en pendel Der fikk dere utlevert stegfor-steg instruksjoner hvordan dere skulle skrive MATLAB-skriptet som skulle gjøre beregningene Denne gangen gjør vi det en anelse mer avansert, og gir dere i stedet en pseudokode som hjelp til skriptskrivingen En pseudokode er en rask oversikt over hvordan du har tenkt å skrive og strukturere koden din Den er strukturert som kode, men er skrevet for at mennesker enkelt skal kunne forstå hva som man ønsker å få maskinen til å utføre Et banalt eksempel vil være en teller, som skriver ut alle tallene fra én til ti I et MATLAB-skript ville koden sett slik ut: for i=1:10 disp(i); end En tilsvarende pseudokode vil se ut noe som dette: Kjør løkke for i fra 1 til 10 Skriv ut i Vi starter med en rask oversikt over hva skriptet skal inneholde Rask dokumentasjon på hva skriptet gjør og hvem som har skrevet det Lesing av datafil Beregning av koeffisientene til regresjonskurven Plotte måledata og regresjonskurven Beregne standardavvikene til regresjonskoeffisientene Nå: åpne en tom m-fil, og skriv navn, dato og formål i et kommentarfelt i toppen

69 55 REGRESJONSANALYSE MED MATLAB 61 Oppgave 1: Les inn datafilen datadat til en matrise og plott målepunktene i en figur Datafilen finner du på skrivebordet på arbeidsmaskinene på datalabben, så sørg først for å kopiere filen til mappen der du lagret m-filen Les inn "datadat" til en matrise Lag to vektorer x og y som hhv inneholder alle x- og y-verdier Plott alle y-verdier mot respektive x-verdier Merk at vi velger å bare plotte måledataene før vi behandler dem videre Særlig for et nytt og ukjent datasett kan det lønne seg å visualisere tallene først slik at vi kan se bedre hva vi har med å gjøre Husk at du ikke skal trekke linjer mellom målepunktene når du plotter enkeltmålinger Pass også på at du har fått med deg hvordan tallene er arrangert i datafilen Det bør nevnes at dette datasettet ikke er ment å skulle representere målinger av kraften på en leder som funksjon av strøm To funksjoner som kan brukes for å lese inn datafilen er load eller dlmread For å plotte dataene slik du vil kan det lønne seg å undersøke funksjonen plot For å få en beskrivelse av hvordan du kan bruke disse funksjonene kan du enten søke i hjelpesystemet til MATLAB, du kan søke i MATLAB-dokumentasjonen på Internett, 3 eller du kan ganske enkelt skrive help funksjon i kommandovinduet for hjelp til å bruke navngitte funksjon Oppgave 2: Nå skal du beregne koeffisientene a 0 og a 1, og skrive dem til skjermen Lagre antall datapunkter i en variabel N Beregn hjelpestørrelsene Sx, Sy, Sxx, Sxy og Delta Beregn koeffisientene a0 og a1 Sørg for at a1 og a0 blir skrevet til skjerm Det er to måter å beregne summene i de ulike hjelpestørrelsene ovenfor: Enten kan du bruke løkker 4 som beskrevet i presentasjonen av pseudokode ovenfor, eller du kan bruke vektorfunksjoner 5 som sum Svaret du skal få er a 1 = 0, og a 0 = 10, 444 Oppgave 3: En god regel å følge når man har foretatt en regresjonsberegning, er å huske på visualisere datapunktene og regresjonskurven Dette er for at vi skal kunne gjøre en vurdering om hvorvidt resultatet er rimelig eller ikke Det er lett å gjøre feil når man programmerer, og Denne måten å skrive kode på er typisk for de fleste programmeringsspråk, men er ofte ikke den mest effektive i MATLAB 5 Denne måten er betegnende for hvordan MATLAB organiserer de fleste data ved hjelp av matriser og vektorer, og ligger også nærmere de bakenforliggende matematiske uttrykkene Det finnes også en tredje og enda mer naturlig måte å løse problemet på i MATLAB, ved å kun bruke matriseoperasjoner Siden mange av dere først lærer dette i siste del av Matte 3 lar vi den metoden ligge for nå

70 62 KAPITTEL 5 KURVETILPASNING hvis en feil sniker seg inn uten at programmet krasjer, så er det vanskelig å vite hvorvidt svaret man får ut er riktig eller ei I denne oppgaven skal du plotte datapunktene fra datadat og regresjonskurven i samme figur, i tillegg til at vi skal gjøre denne figuren litt mer presentabel Noen tips finner du nedenfor pseudokoden Lag en ny vektor for y-verdiene til regresjonskurven gitt for hver x-verdi Plott y-verdiene i denne nye vektoren mot respektive x-verdier Sett navn på aksene Sett tittel på plottet Definer tegnforklaring Her kan det være lurt å lese dokumentasjonen for funksjonene xlabel, ylabel og title 6, samt kommandoen legend for å sette opp tegnforklaringen Finn ut hvordan man plotter to funksjoner i samme figur ved hjelp av kommandoen hold Husk også at datapunktene skal være representert ved enkeltpunkter i figuren, mens regresjonskurven gjerne kan representeres med heltrukken linje Oppgave 4: Til sist skal du plotte avviklet fra regresjonskurvet og beregne standardavvikene a 1 og a 0 Lag en ny vektor Dy for avviket mellom y og regresjonskurven for hver x-verdi Beregn S fra kvadratet av elementene i avviksvektoren Dy Beregn standardavvikene Da0 og Da1 ut fra S og de andre hjelpestørrelsene Sørg for at Da0 og Da1 blir skrevet til skjerm Åpne et nytt figurvindu ved å bruke kommando "figure" Plott avviksvektoren Dy i det nye vinduet som en funksjon av x Navngi aksene osv for avviksfiguren tilsvarende som i forrige oppgave Vi minner om at avviksmålet S er definert ved i y2 i, der avviksvektoren Dy = y er definert i likning (5-8) Om du har gjort alt riktig skal du nå ha fått verdiene a 1 = 0, og a 0 = 0, Oppgave 5 Vi skal nå omstrukturere koden vår noe ved å dele den opp i funksjoner, noe som er forholdsvis vanlig praksis innen programmering For vårt bestemte problem vil årsaken til omstruktureringen komme tydeligere fram i neste oppgave, der vi skal anvende algoritmen vi har benyttet her på et litt annerledes problem Det vi skal gjøre er å flytte selve koden for lineær regresjon til en egen funksjon Denne skal være slik at den returnerer a 0 og a 1 når du kaller på funksjonen og sender med x- 6 Kommandoen title plasserer som standard figurtittelen over figuren, så for figurer til bruk i journal eller rapport lønner det seg ikke å ta med tittel i MATLAB

71 55 REGRESJONSANALYSE MED MATLAB 63 verdiene og y-verdiene som skal kurvetilpasses som argumenter Opprett først en ny m-fil med navn regresjonm Hit flytter du koden i skriptet ditt bortsett fra de delene som har med innlesingen av datafil og kommandoene knyttet til figuren og plotting Pseudokoden for funksjonen skal dermed være som følger (noe forkortet, og med første og siste linje som ren kode og ikke pseudokode): function [a0,a1] = regresjon(x,y) Beregn koeffisientene a0 og a1 Sørg for at a0 og a1 blir skrevet til skjerm Beregn standardavvikene Da0 og Da1 Sørg for at Da0 og Da1 blir skrevet til skjerm end function Husk også gjerne å kommentere i filen hva funksjonen gjør, når den er skrevet osv Deretter erstatter du de delene i skriptet som ble flyttet med et funksjonskall til den nye funksjonen, og det gjør du ganske enkelt ved å skrive [a0,a1] = regresjon(x,y) I tillegg må du huske på å definere en ny vektor for regresjonskurven etter dette, dersom den gamle ble fjernet 7 Pseudokoden for skriptet ditt blir dermed: Les inn "datadat" til en matrise Lag to vektorer x og y som hhv inneholder alle x- og y-verdier Plott alle y-verdier mot respektive x-verdier Beregn a0 og a1 ved å kalle på regresjonm Lag en ny vektor for y-verdiene til regresjonskurven gitt for hver x-verdi Plott y-verdiene i denne nye vektoren mot respektive x-verdier Plott avviket mellom regresjonskurve og data At figurene skal være hensiktsmessig formatert og med navngitte akser er underforstått her og i de følgende oppgavene Om du vil kan du legge til en horisontal linje som representerer y = 0 i avviksplottet Oppgave 6 Vi skal nå anvende koden vi har skrevet på en modell som ikke er en rett linje I eksperimentet om kraft på en strømførende leder skal du måle kraften som en funksjon av vinkelen θ mellom lederen og et eksternt magnetfelt, og vi vil se at denne kraften går som sinus av θ Vi kan skrive opp en generell modell for en funksjon y = y(θ) som y = a 0 + a 1 sinθ (5-22) Vi legger nå merke til at hvis vi definerer x-verdiene våre som sinθ i stedet for θ vil vi komme tilbake til den velkjente lineære modellen y = a 0 + a 1 x Med andre ord skal vi få en rett linje om vi plotter y som en funksjon av sinθ Dermed kan vi uten problem benytte metoden skissert i de foregående oppgavene ved å bruke om igjen den samme egenproduserte regresjonsfunksjonen regresjon(x,y) Teknikkene i denne oppgaven kan 7 Studenter som er vant til å skrive effektiv kode kan innvende at metoden vi har valgt her ikke er optimal siden samme størrelsen blir beregnet flere ganger enn nødvendig

72 64 KAPITTEL 5 KURVETILPASNING dermed komme til nytte i analysen av måleresultatene for kraften på en strømførende leder som en funksjon av vinkel (Du kan også bruke Excel i denne analysen ved å modifisere regnearket fra kapittel 54 på følgende vis: Bytt ut alle referanser til A-kolonnen med sinus av verdiene i denne kolonnen, dvs at x blir erstattet med sinθ) I denne oppgaven skal vi bruke en ny datafil sinusdat, så sørg for å kopiere denne fra skrivebordet Dette datasettet illustrerer vinkelavhengigheten i likning (5-22), men er ellers ikke ment å være typisk for datasettene du skal registrere i neste labb Lag først en ny m-fil Ved implementasjonen av pseudokoden som følger kan du kopiere elementer fra det første skriptet dersom du ønsker det Du kan også gjerne teste koden etter hvert av stegene i pseudokoden for å bedre forstå hva som gjøres Noen tips finner du nedenfor pseudokoden Last inn filen "sinusdat" til en matrise Lag to vektorer theta og y fra denne matrisen Definer en ny vektor sintheta gitt ved sinus til vektoren theta Plott y som en funksjon av theta i figur 1 Plott y som en funksjon av sintheta i figur 2 Bruk regresjonsfunksjonen din med sintheta som x-verdier til å finne a0 og a1 Plott regresjonskurven som en funksjon av sintheta i figur 2 Definer en ny vektor thetafit med minst 100 (passende) vinkelverdier Regn ut y-verdien til regresjonskurven for alle vinkler i thetafit Plott denne nye vektoren av y-verdier som en funksjon av thetafit i figur 1 Er du usikker på hvordan du oppretter og/eller skifter fokus til en ny figur kan undersøke kommandoen figure For å generere vektoren thetafit kan du enten bruke kolon-operatoren i MATLAB eller du kan bruke funksjonen linspace Det er naturligvis et poeng at vinkelverdiene i denne vektoren er fra samme intervall som θ i datasettet De y-verdiene for regresjonskurven som du plotter i figur 1 kan du beregne ved å lage en ny vektor gitt ved regresjonsfunksjonen (5-22) anvendt på vektoren thetafit Vi bør også forklare årsaken til at vi opprettet vektoren thetafit i pseudokoden ovenfor: Selv om du helt fint kunne plottet regresjonskurven gitt ved hver verdi i theta så ville regresjonskurven sett hakkete ut når du skulle plotte den sammen med datapunktene Dette skyldes naturligvis at vi har relativt få datapunkter, og ville være spesielt merkbart der funksjonen krummer sterkest Ekstraoppgave En av de største fordelene med MATLAB kontra å kode i et fullblods programmeringsspråk som feks C++ eller FORTRAN er for det første en enklere syntaks, men enda viktigere er alle de ferdiglagede funksjonene som kommer med programvaren Med andre ord kunne funksjonen for lineær regresjon som vi har brukt noe tid på å programmere i denne øvingen med letthet vært erstattet med en innebygd funksjon For polynomer av vilkårlig orden kan du bruke funksjonen polyfit (eventuelt sammen med funksjonen polyval for å evaluere polynomet) Prøv nå å endre skriptet ditt fra oppgave 5 ved å erstatte kallet til den egenproduserte funksjonen i regresjonm med et kall til den innebygde funksjonen polyfit

73 Kapittel 6 KRAFT PÅ STRØMFØRENDE LEDER Mål Du skal i denne laboratorieoppgaven studere kraften mellom en strømførende leder og et konstant magnetfelt, få erfaring med framstilling av resultater fra presisjonsmålinger, utføre databehandling av måleresultatene vha regresjonsanalyse i Excel og/eller MATLAB (minste kvadraters metode) 61 Teoretisk bakgrunn 611 Kraft på en leder Et elektron med ladning q = e som beveger seg med en hastighet v i en leder som er plassert i et magnetfelt B vil bli påvirket av en kraft ifølge Lorentzkraften F = q v B (6-1) I en leder er elektronene forankret til krystallgitteret i lederen slik at kraften på hvert elektron overføres til lederen Den totale kraften på en strømførende leder i et magnetfelt blir den resulterende kraften på alle elektronene i lederen: F = q ( v d B)nAl, (6-2) hvor l er lengden av lederen, A er tverrsnittsarealet, n er elektrontettheten og følgelig blir nal lik totalt antall elektroner i lederen Hastigheten v d må forstås som gjennomsnittshastigheten (drifthastigheten) til elektronene 65

74 66 KAPITTEL 6 KRAFT PÅ STRØMFØRENDE LEDER Den elektriske strømmen i en leder er definert som og følgelig vil kraften kunne uttrykkes I = nqv d A, (6-3) F = I l B, (6-4) hvor l må oppfattes som en vektor med retning langs lederen i strømretningen Skrevet ut på skalar form blir likningen F = IlB sinθ, (6-5) hvor θ er vinkelen mellom magnetfeltet og positiv strømretning i lederen Når lederretningen er vinkelrett på magnetfeltretningen er θ = π/2, og likning (6-5) forenkles til F = IlB (6-6) Kraften på en strømførende leder i et magnetfelt kan måles med oppstillingen i figur 61 Magneten hviler på vekta, mens den strømførende lederen er fastmontert uavhengig av Figur 61: Prinsippskisse for oppstilling for måling av kraft på en strømførende leder vekta Kraftvirkning mellom lederen og magneten vil bli registrert som utslag på vekta Vekta er imidlertid kalibrert og gradert til å måle masse M i gram idet en viss verdi for tyngdeakselerasjon g er antatt Sammenhengen mellom kraft og masse er som kjent gitt av F = Mg (6-7) slik at fra likning (6-5) vil vi få uttrykk for vektas utslag: M = IlB g sinθ (6-8)