Jordas form og størrelse

Transkript

1 Geometri Jordmåling Geometrins ställning i skolmatematiken har debatterats under senare år. Detta har medfört en renässans för geometriundervisning i skolan. Bland annat märks detta i den svenska läroplanen, Lgr 80, och den nyreviderade norska mønsterplanen, Mp 85, där geometrin har en starkare ställning än i föregående läroplaner. Kjartan Tvete, Levanger Lærerhøgskole i Norge, har i ett projekt, Geometri Jordmåling, arbetat med teman i geometri. En del av detta arbete redovisas nedan. Et viktig fellestrekk i Lgr 80 og Mp 85, i samsvar med planenes generelle intensjoner, er vektleggingen på geometrien som et nyttig redskap og som middel til å beskrive forhold i virkeligheten, presisert til elevenes nære omgivelser og hverdag (jfr. f.eks. L. Skoogh i (1)). Men begge planer gir likevel rom for elementer fra den tradisjonelle euklidske geometrien, som jo forbindes med en vesentlig forskjellig type mål: Vidare bör en grundläggas för en mera formaliserad geometri. Denna undervisning kräver stor urskiljning och hänsynstagande till elevernas mognad. Några enkla geometriska satsar, t ex Pytagoras sats och topptriangelsatsen, bör även ingå. Lgr 80 s Etter sine forutsetninger må elevene få innføring i geometri som eksempel på en matematisk teori. I denne sammenheng bør eleven gjøres kjent med enkelte geometriske setninger og bevisene f or dem. Mp 85 s For det første kan en i begge planer savne en klarere begrunnelse for at elever stadig også bør møte geometri som deduktivt system. Flera har uttalt seg kritiske til det, bl a Freudenthal ((1) s ). Undervisningsopplegg som sikter på å gjenspeile en helhetlig logisk oppbygning vil være vanskelige, bl.a. fordi det gjerne innenbærer bevis av flere intuitive, trivielle setninger. Noe annet er at elevene på høgstadiet/ungdomstrinnet bør få oppleve hva et almengyldig resonnement er i noen utvalgte setninger, som motsetning til verifisering på enkelttilfeller. I kontrast til sitatene ovenfor, synes læreplanene å operere med et ganske snevert virkelighetsbegrep, i stor grad innskrenket til elevenes nærmiljø, hverdag og nyttehensyn. Jeg er redd planene kan legge opp til en uheldig avstand mellom geometri som praktisk kunnskap og som teori, der de tradisjonelle geometriske setningene blir hørende hjemme under det siste, og dermed forbeholdt et utvalgte få. Min hensikt her er å skissere noen opplegg der geometri, geometrisetninger og andre matematikkkunnskaper er praktiske til beskrivelse av videre og mer globale virkelighetsforhold, men knyttet til almene lokale erfaringer. Eksemplene er korte utdrag fra mitt hefte "Geometri-Jordmåling. 11 tverrfaglige temaer" (4). Stoffet er særlig knyttet til naturgeografi, et emne jeg har inntrykk av sto sterkere i skolen før. Det brukes lite matematikkunnskaper i dagens geografibøker, og det er få naturgeografiske anvedelser i matematikken. Jeg mener det er uheldig, bl.a. fordi forståelse av naturgeografi er et viktig grunnlag for samfunnsfagene. Heftet er videre tenkt som en kilde til valg av suppleringsstoff til læreboka, slik at undervisningen kan få noen innslag der matematikken opptrer i mer helhetlige sammenhenger. De aktuelle geometrisetningene tas etterhvert som de trengs, og behandles mer intuitivt, gjerne ved praktisk bruk av symmetriavbildninger. (Dette står selvsagt ikke i motsetning til forsøk på opplegg med mer sammenhengende logisk teoribygging. Snarare burde en første erfaring med enkeltsetningenes innhold være en viktig forutsetning for en slik måte å lære på.) De følgende utdrag kan også sees på som en ideskisse til en type problemorientert undervisning, med bruk av geometriske modeller, og med jordkloden/globusen som temakrets. Det legges vekt på praktiske aktiviteter inne og ute, med instrumenter og fysiske modeller. Det vil kunne motvirke holdningen til matematikk som et ensidig intellektuelt fag, og gi muligheter for økt utbytte til flere elevgrupper.

2 Jordas form og størrelse Et utgangspunkt kan være: Når skønte menneskene at Jorda har kuleform? Hva med de nordiske vikinger og sjøfarere? Snorre Sturlason begynner sine Kongesoger slik: Kringla Heimsins som menneska bur på, skjærer det mange vikar inn i. Store hav går frå den ytre sjøen inn i landa. Nedenfor vises et kart over Kringla Heimsins, eller Den Runde Jordskiva som det betyr, fra Herefordkatedralen i England, ca Kartet tilhører T i O-kart tradisjonen, eller Orbus Terrarum-kart til høyre i figuren. (Se kartografiens historie.) Historien om Eratosthenes' undersøkelse av Jordas størrelse er velkjent, se Nämnaren nr 3, 81/82, s 68. Men jeg har ikke sett noe læremiddel som virkelig utnytter denne kulturhistoriske perlen. Men se G. Hjalmarsson i Nämnaren nr 1, 86/87! Eratosthenes (ca til - 194, bl a leder av det berømte biblioteket i Aleksandria) visste at loddrette stokker ikke kastet skygge midt på dagen 21. juni i Syene, S, (nå Aswan) i Sydegypt. Undersøkelser viste at loddrette stokker derimot kastet skygger på dette tidspunkt i A (Aleksandria), og at solstrålene da dannet en vinkel på ca 7, eller ca 1/50 av en hel omkrets, med stokkene. (Problem: Hvordan kan E. ha målt denne vinkelen i praksis?) Dette kan vi utnytte i skolen til å diskutere Jordas form (selv om nok Eratosthenes på forhånd antok at Jorda har kuleform). Hvilken geometrisk modell kan forklare hans observasjoner? Kan Jorda være flat? Tilsynelatende ja. Mange elever tegner en modell som i figuren nedan. Men en visste på Eratosthenes' tid at avstanden fra Sola til Jorda er så stor at solstrålene i praksis treffer Jorda som parallelle linjer. Elevene kan nå lett lage en modell i papp med pinner, og gjøre eksperimenter med lys/lykt i god avstand, og skyggebilder. De vil bl. a. se at Eratosthenes' data er uforenlige med en flat jordmodell, men at en krom jordoverflate kan forklare dem.

3 Som kjent lot Eratosthenes avstanden AS måle til stadier. Dermed kunne han ut fra den geometriske modellen i figuren og kunnskaper om proporsjonalitet og setningen om samsvarende vinkler ved parallelle linjer, beregne Jordas omkrets, 0: Måleenheten 1 stadion er litt usikker (180 m?). Men en antar at feilen i Eratosthenes' resultat ikke er større enn %. Kjente Columbus til dette sterke resultatet fra Oldtiden? I flg. C Sagan (5) gjorde han trolig det, men også andre utregninger av Jordas størrelse fantes. Columbus skal ha valgt en som ga minst mulig størrelse, samtidig som han overdrev Asias utstrekning i østlig retning, for å få folk til å tro på sin ekspedisjon. Globusen og årstidene, dag og natt Jeg antyder videre noen naturlige oppfølginger innen dette temaet, knyttet til globusen, dag og natt, sommer, vinter, solhøyde, mørketid og midnattsol, fenomener vi kan erfare i dagliglivet. Hvorfor sto sola loddrett på himmelen midt på dagen den 21. juni i Syene (Aswan)? Undersøk med globus og sol (lys/lykt) i god avstand. Se figur, der det er midtsommer på den nordlige halvkule: Kan Jordaksens skråstilling på ca 66 1/2 med Ekliptikkplanet kontrolleres ved praktisk måling på globusen? Hva er Krepsens vendekrets? Hvilke steder på Jorda vil kunne ha sola i senit? Når? Når har folk langs ekvator sola i senit? Begrepet horisonten som tangentplan til kula, kan være nyttig. Hvor langt forbi Nordpolen vil en solstråle nå steder på Jorda midt på natta midtsommers? Hva er den matematiske sammenhengen mellom Polarsirkelen og Krepsens vendekrets? Når på året er dagslengden den samme overalt på Jorda? OPPGA VE (som dels faller inn under neste avsnitt). Hvor høyt på himlen kan sola stå midtsommers på et sted med geografiskt bredde lik ß? eller på ditt hjemsted? Noen aktuelle lommeregneroppgaver, med trening i enheter for vei, fart og tid: a) Hvor stor fart har Jorda i sin bane om Sola? (Regn med sirkelrund bane med radius 8 lysminutter.) b) Jorda roterer en gang om sin akse på ett døgn. Hva er rotasjonsfarten til et menneske ved ekvator? Enn ved 30 nordlig bredde? ved 60 nordlig bredde? ved Nordpolen? (De ulike verdier av tyngdens aksellerasjon kan diskuteres.)

4 Geografisk lengde og bredde Uten å gå i detalj, peker jeg på de opplagte gode integreringsmuligheter mellom disse geografibegerene og begrep som kule, sirkel, vinkel, koordinatsystem. Figuren gir noen ideer: Dette kan følges opp med sammenhengen lengdegradstall lokal tid, med illustrasjoner med globus og sol. Når det er morgen i Norden, hvilken tid på døgnet er det da i New York? Hvor stor tidsforskjell utgjør en lengdegrad, og hvor mange lengdegrader er en time? Er det rimelig at vi i Norden skal følge Greenwich-tidl Hva er sommertid, som vi har i Norge? På en båt har man en klokke som viser exakt Greenwich middeltid. Når sola står på sitt høyeste på himlen, viser denne klokke Hvor på globusen kan båten befinne seg? (Litt navigasjonshistorikk, f.eks. om J. Harrisons marinekronometer fra 1762, og Jakobstaven, er interessant, se et leksikon.) For å finne bredden til et sted, kan en gjøre observasjoner av Polarstjerna, som kan finnes med utgangspunkt i stjernebildet Karlsvogna: Modellen over viser sammenhengen mellom breddegraden, ß til et sted A, og vinkelen α, Polarstjernas høyde over horisonten i A. Som vi vet er α = ß, siden vinkelbena står parvis rett på hverandre. Men denne gamle skolesatsen er ikke lenger funnet verdig å nevnes i fagplanene. Dette er desto mer å beklage ettersom satsen også utgjør prinsippet bak et praktisk vinkelmåleinstrument, klinometeret, som elevene lett kan lage selv av billig materiale. Den aktuelle satsen kan lett godtgjøres ved parallellforskyvning og dreining (matpapir). Med klinometeret finnes lett α på en stjerneklar kveld, se figuren ovan. Dermed kjennes bredden, ß. Med kinometeret kan også problemoppgaven kontrolleres, ved å sikte mot sola (NB! gjennom farget glass). Ellers kjenner vel de fleste til hvordan klinometeret kan brukes i forbindelse med høydeundersøkelser av trær, hus, osv., ved at en skaffer seg formlike trekenter.

5 Den korteste reiseruta Oslo og Kapp Farvel ligger begge på den 60. breddegradssirkel. Hvor går den korteste reiseruta mellom de to stedene? Forslag? Strekk ut en tråd mellom stedene på globusen! Hva slags kurve er dette? Sammenlign f.eks. hvordan flyrutene går fra Skandinavia til f.eks. Tokio. Problemet å beregne storsirkelbueavstanden mellom to steder på globusen med gitt lengde og bredde, krever trigonometri, og vil være en fin anvendelse av dette verktøyet i videregående skole og lærerutdanning. I grunnskolen kan en bare gjøre utregninger i enkelte spesialtilfeller, som f.eks. her: OPPGAVE. En reise skal foretas fra Oslo til det motsatte stedet på den 60. breddegradssirkel. Finn stedet på globusen. Tegn geometrisk modell, og beregn hvor mye en sparer ved å følge meridianen over polen istedet for breddesirkelen. Jordas krumning Den pytagoreiske læresetningen er en kulturskatt. Setningen har f.eks. sammenheng med den kjente gamle babylonske leirtavla Plimpton 322 over pytagoreiske tripler, dvs heltallsløsninger av x 2 + y 2 = z 2. (Se en bok om matematikkens historie, eller (6) 10 der dette stoffet søkes utnyttet pedagogisk.) Det ville være tragisk om Pytagoras' sats heretter bare skulle eksistere i skolen som et ledd i en logisk oppbygd teori. For det første kan satsens innhold gjøres tilgjengelig for et flertall gjennom konkret erfaring, som f.eks. i figuren nedan, som kan lages i stor målestokk i papp. (m og n er normaler til l.) For noen år siden pågikk en matematisk debatt i Trønder-Avisa. Utgangspunktet var at to pensjonister i småbåt ute på Mjøsa syntes de kunne se jordrunningen over vannflata. Kommet på land fikk de en ingeniør til å regne ut at midtpunktet på den 120 km lange Mjøsa ligger 283 m over en tenkt, rett linje mellom endepunktene, Lillehammer og Minnesund. Ut fra dette forsøkte trønderen av de to pensjonistene å beregne tilsvarende topp på det 50 km lange Snåsavatnet slik: 283:12 = 23,5, høyden på Snåsavatnet: 23,5 5 = 117,5 m. Da historien kom i avisa, kom det protestinnlegg mot disse resultatene fran en annen leser, som satte opp følgende figurer og regnestykker: Klipp ut områdene 1, 2, 3, 4 og 5, og dekk det store kvadratet som et puslespill! Som en vil se, kan dette også danne utgangspunkt for en generell logisk forklaring. For det andre har satsen praktiske anvendelser, hvorav jeg skal skissere et par, igjen knyttet til jordkloden/globusen: 6500 km: km = 0,325. Høyden på Mjøsa: 0, = 39 m. Høyden på Snåsav.: 0, = 16 m. En annen innsender argumenterte slik: Jeg har flere ganger vært ute ved kysten, og har da ofte gledet meg over utsynet mot det åpne havet. Horisonten mellom himmel og hav har da ofte tegnet seg som en langstrakt, svakt krommet linje, men selv denne buen kan neppe ha vært høyere enn noen centimeter. Endelig rapporterte en fisker hvordan han kunne studere jordkrommingen over en fiskehjell ute ved åpne havet, se følgende tegning (O. Myhr, Trønder-Avisa ):

6 Utregningene og resonnementene ovenfor kan diskuteres i skolen, særlig dette at folk tydeligvis har lett for å tenke proporsjonalt. Videre kan problemet studeres ved hjelp av følgende geometriske modell (her med en tenkt innsjø AB av vilkårlig lengde x km, og med topp-punkt C. S er jordsentret og R jordradien, R = 6400 km): LOMMEREGNEROPPGAVE. Hvor mye utgjør jordkrommingen over vannflata i et badekar? Jeg avslutter med en annen oppgave fra temaet jordkromming over lokale områder: Hvor langt kan du se utover åpne havet, eller ut over et flatt landskap, fra utkikkstønna på en båt, et tårn, en fjelltopp, osv.? Problemet er: Hvor lang er siktlinja til horisonten? Se figuren: som bekrefter ingeniørens utregning. Foruten beregning av h for forskejllige sjøer og avstander, gir denne formelen et fint skoleeksempel på en ikkelineær funksjon (parabel), som en kan studere grafen til. Siden formelen er et tilnærmingsuttrykk, kan den prøves for en sjø av lengde πr, for å se på feilen. Tegn geometrisk modell, bruk passende setningar, still opp ligninger og gjør utregninger. Tegn funksjonsdiagram. Kan erfaringer fås ved å gjøre observasjoner ved f.eks. et vann eller en innsjø i nærheten? Litteratur (1) Nämnaren, nr. 3 81/82. (2) H. Freudenthal: Mathematics as an educational task. D. Reidel publ. comp., Dordrecht- Holland. (3) H.J. Vollrath: Forskellige opfattelser af geometrien og deres forhold til matematikkundervisningen. Normat, nr (4) K. Tvete: Geometri ~ Jordmåling. 11 tverrfaglige temaer. Levanger lærerhøgskole, 7600 Levanger, Norge. (5) Carl Sagan: Kosmos. Universitetsforlaget, Norge. (6) K. Tvete: Tallære. Caspar, 5046 Rådal, Norge. (7) Skoleplanene Lgr 80 og M.P. 85.