Geometri og design. Geometri og design

Transkript

1 Geometri og design Dette kapitlet bygger videre på Maximum 9, kapitlene 3 og 4. Elevene skal lære å bruke geometriske sammenhenger i beregninger, tegning og konstruksjon. Deler av kapitlet er knyttet til ulike bruksområder som målestokk, arkitektur og design. Elevene møter tradisjonelle oppgaver, men utfordres også på å være kreative, og etter hvert blir det nødvendig å beherske mer sammensatte problemstillinger. Elevene skal også kunne vise at en sammenheng er sann, eller at et resultat er riktig. Da er det viktig å forklare elevene forskjellen på et bevis og en verifisering. Forkunnskaper Ulike typer vinkler og trekanter Vinkelsummen i en trekant Konstruksjon av vinkler, normaler og paralleller Tales setning Kvadratrot Omgjøring av lengdemål Forholdsregning 2 Geometri og design Direkte oversatt betyr ordet geometri «å måle jorda». Opprinnelig var det også dette geometri ble brukt til: måling og beregning av avstander og vinkler knyttet til landskap og byggverk. 48 Gjennomfør den digitale førtesten i Smart Vurdering. Testen kartlegger hvilke ferdigheter eleven har i forkant av arbeidet med kapitlet. Resultatene kan brukes til å planlegge læringsarbeidet med klassen din. (Se generell del side VII.) Prøvene kartlegger hvilke forkunnskaper elevene har for innlæringen av stoffet i dette kapitlet. Faglige sammenhenger Geometri er en klassisk del av matematikken, med lange tradisjoner og direkte forbindelser til andre fagområder som astronomi, geografi, arkitektur, byggeteknikk og kunst. I dette kapitlet samles kunnskap fra 8. og 9. trinn til mer sammensatte problemstillinger, samtidig som vi ønsker at elevene skal være faglig forberedt på å møte trigonometri i sitt 11. skoleår. Perspektivtegning er nær knyttet til faget Kunst og håndverk. Praktisk anvendelse Geometri er et fagområde de fleste får bruk for i en eller annen form. Å lese og tolke kart og arbeidstegnin- Maximum 10 Lærerens bok ger eller illustrasjoner der målestokk inngår, er ett eksempel, å beregne avstander, areal og volum et annet. Vi knytter Pytagoras læresetning til «snekkertrekanten», formlikhet til geografisk oppmåling og det gylne snitt til kunst og arkitektur. Slik viser vi at matematikken er en tilstedeværende del av den verden vi lever i, og umulig å løsrive seg fra. Grunnleggende ferdigheter Leseferdigheter I dette kapitlet legger vi spesielt vekt på å kunne lese informasjon ut av en figur, et kart, en tegning eller et bilde. Denne typen informasjon vil elevene møte i sammensatte tekster langt utenfor det matematikkfaglige. Elevene trenger slike leseferdigheter for å kunne orientere seg i en by eller et landskap, for å skru sammen et flatpakket møbel, for å få godt utbytte av en tur på et kunstmuseum og for å tolke tekster med matematisk innhold. Muntlige ferdigheter Geometri inneholder mange fagbegreper. Det er viktig at elevene øver på å bruke disse begrepene riktig. ruk matematiske begreper i samtale om fagtekster, eksempler og oppgaver. Digitale ferdigheter Vi bruker et dynamisk geometriprogram til å utforske geometriske sammenhenger. Oftest kan slike programmer bare verifisere en sammenheng, ikke bevise. Det er viktig at læreren fremhever forskjellen på dette. Skriftlige ferdigheter I tillegg til å kunne presentere utregninger med riktig bruk av formler, symboler og enheter, og utføre presise konstruksjoner med passer og linjal, skal elevene lære å tegne skisser og illustrasjoner. Elevene skal lære ulike teknikker for å utføre en skriftlig transformasjon fra en tredimensjonal gjenstand til et todimensjonalt papirark.

2 I kapitlet ser vi på sentrale geometriske sammenhenger og beregninger som brukes i tekniske fag, arkitektur, geografi og kunst. Regneferdigheter Elevene får øvd regneferdigheter gjennom trekantberegninger, forholdsregning og regning med formler og målenheter. Faglig innhold Introduksjon til temaet geometri og design Målestokk og forhold Kommentarer Tankekart Elevene er kjent med geometri fra 8. og 9. trinn. Trekk frem gammel kunnskap før dere starter på kapitlet. ruk IGP-metoden (individ-gruppeplenum) til å lage et tankekart. Geometri Ved presentasjon i plenum kan elevgruppene komme med to stikkord hver. Etter hvert som elevene leverer stikkord, kan det være lurt å sortere? «Må jeg klatre opp i flaggstangen for å måle hvor høy den er?» spør Ola mens han klør seg i hodet med meterstokken. Han får svaret: «I hvert fall ikke så lenge sola skinner og meterstokken og flaggstangen kaster skygge!» Hva kan være forklaringen på det svaret? Matematikkord Katet Hypotenus Pytagoras læresetning Formlik Forhold Målestokk Perspektiv Forsvinningspunkt -format Gyllent snitt ordene i kategorier. ruk for eksempel konstruksjon, formler, beregning, enheter, regler og sammenhenger. Det viktigste er ikke at elevene husker absolutt alt, men å bevisstgjøre dem på at dette er et fagområde de har mye kunnskap om fra før, og gjøre denne kunnskapen aktiv igjen. Matematikkord Ta utgangspunkt i tankekartet. Er det noen av matematikkordene dere allerede kjenner innholdet i? Hvilke ord er kjent fra dagligtalen, og hvilke ord er helt ukjente? La elevene skrive egne ordforklaringer til et utvalg av ordene. La dem bytte ordforklaringer og diskutere om forklaringen er korrekt, presis og forståelig. ruk egenvurderingsskjemaet E La elevene kommentere læringsmålene og sortere ut hvilke mål de må fokusere på i læringsarbeidet. La elevene også markere ukjente eller vanskelige ord som inngår i læringsmålene. Saml inn og ta vare på skjemaene. Legg merke til om noen ord går igjen hos flere elever. Dersom enkeltelever har en helt urealistisk egenvurdering, kan det være nødvendig med en fagsamtale. Utforskende oppgave Det er ikke meningen at elevene skal jobbe selvstendig med denne oppgaven. Ideen går igjen i oppgaver senere i kapitlet, i tilknytning til formlikhet og målestokk. La elevene jobbe i par eller i grupper med først å tegne situasjonen med flaggstang og meterstokk og skyggene av begge. La elevene diskutere fremgangsmåten. Her er ideen at Ola har nøyaktig 1,0 m å sammenlikne med. Hvis 1,0 m kaster en skygge på for eksempel 1,5 m, vet vi at skyggen blir 1,5 ganger så lang som gjenstanden. Med det utgangspunktet kan vi måle skyggen av flaggstangen, dele på 1,5 og dermed vite hvor høy flaggstangen er. Hvis det er solskinn og dere har tilgang til en flaggstang, må dere gjerne gå ut og gjennomføre aktiviteten i praksis. ruk anledningen til å repetere litt om måleusikkerhet. Forenkling For elever som ikke klarer å tenke generelt og prinsipielt, må tegningen deres målsettes. Meterstokken er 1,0 m, meterstokkens skygge er 1,5 m, og flaggstangens skygge er 12 m. Mer utfordring / Flere aktiviteter Velg flere høye gjenstander (trær, bygninger, statuer, siloer osv.) som dere kan finne høyden til. La elevene jobbe i par eller i grupper på tre og be dem tippe høyden før målingen gjennomføres. ktiviteten kan gjennomføres som en konkurranse med en liten premie til gruppa som har lavest gjennomsnittlig avvik mellom tippet og målt verdi. En muntlig utfordring Se beskrivelse side 98. Kapittel 2 Geometri og design 49

3 Faglig innhold Repetisjon av navn på ulike trekanter Å oppdage Pytagoras læresetning Trekantberegning Mål Utstyr Egenvurderingsskjemaet E.10.2 Kopioriginal K Kopioriginal K Kopioriginal K Linjaler Vinkelhaker eller gradskiver Katet Hypotenus Katet katet i en rettvinklet trekant kalles de to korteste sidene for katet. De er sidene i trekanten som utgjør vinkelbeina til den rette vinkelen HER SKL DU LÆRE Å regne ut ukjente sidekanter i rettvinklede trekanter regne ut sidekanter i noen spesialtilfeller av trekanter begrunne formlikhet regne ut sidekanter på formlike figurer Trekanten er den mangekanten som har færrest sider. lle andre mangekanter kan deles opp i trekanter. Derfor er trekanten en viktig grunnfigur i geometrien. Når vi kan gjøre beregninger på trekanter, kan vi også gjøre beregninger på mange andre figurer. Trekanter med ulike egenskaper har forskjellige navn: Likesidet Likebeint Rettvinklet Stumpvinklet Spissvinklet lle sidene er like lange. To sider er like lange. Én av vinklene er 90. Én av vinklene er større enn 90. lle vinkler er mindre enn 90. De to korteste sidene i en rettvinklet trekant kalles katet, og den lengste siden kalles hypotenus. hypotenus i en rettvinklet trekant kalles den lengste siden for hypotenus. Dette er motstående side til den rette vinkelen 2.1 Hvilke type trekanter er dette? a b 90 c d Maximum 10 Kommentarer ruk gjerne egenvurderingsskjemaet E.10.2 til kapitlet og la elevene notere stikkord om hva de kan, og hva de skal lære til det første delkapitlet. Samtal om læringsmålene. Her kan vi anta at alle læringsmålene representerer nytt lærestoff for alle elevene. Spesialtilfellet med trekanten er nevnt på 9. trinn, så det kan være enkeltelever som husker dette. Legg vekt på begrepene. En vanlig misoppfatning er å kalle den lengste siden i en trekant for hypotenus, uansett form på trekanten. Det er derfor viktig at elevene allerede nå får forståelsen for at begrepene katet og hypotenus bare kan knyttes til rettvinklede trekanter. 2.1 Oppgaven kan gjøres muntlig i samlet klasse. enytt anledningen til å repetere vinkelsummen i en trekant. La elevene kontrollere at måltallene på figurene stemmer med 180. ktivitet Utforske en rettvinklet trekant 1 Målet med aktiviteten på side 51 er at elevene selv skal oppdage sammenhengen i Pytagoras læresetning, og at de skal knytte sammenhengen til kvadratene på sidekantene. ktiviteten går derfor ikke så langt at vi regner ut lengden av hypotenusen. For å få frem poenget i aktiviteten er det vesentlig at det forekommer et utvalg av ulike rettvinklede trekanter i gruppa. Hvis du har svært få elever, anbefaler vi at hver elev lager to ulike figurer. realet av de tre kvadratene på figurene kan finnes ved opptelling, selv om de fleste elevene forhåpentligvis synes multiplikasjon er nyttig for å finne kvadratene på katetene. Når det gjelder kvadratet på hypotenusen, trengs det likevel litt opptelling. De blå linjene er hjelpelinjer og viser at det store røde kvadratet består av fire rettvinklede trekanter og et lite kvadrat i midten. To av trekantene er til sammen like store som ett av rektanglene, og rektanglene lar seg telle. For figuren i boka blir opptellingen av arealet i det store kvadratet slik: 50 Maximum 10 Lærerens bok

4 Oppgavebok 2.1, 2.2 ktivitet Utforske en rettvinklet trekant 1 Dere trenger ruteark, 1 1 cm linjal vinkelhake eller gradskive 2.29 Fremgangsmåte ruk linjene på rutearket til å tegne en rettvinklet trekant midt på arket. Du velger selv målene, men bruk hele ruter. La hver side i trekanten være en av sidene i et kvadrat og tegn de tre kvadratene ut fra trekanten. ruk vinkelhake eller gradskive for å få nøyaktig 90 i vinkler der du ikke kan bruke rutene. Finn arealet av de tre kvadratene ved å telle rutene. For å få nøyaktig areal på kvadratet på hypotenusen kan du se på hver side som diagonalen i et rektangel, slik de blå linjene på figuren viser. Før resultatene fra alle i klassen inn i en tabell. Elev real minste kvadrat real mellomste kvadrat real største kvadrat Studer tallene i tabellen. Hva slags sammenheng finner du mellom de tre arealene for hver av trekantene? Kapittel 2 Geometri og design 51 Fire trekanter = to rektangler = = 16 Et lite kvadrat: 2 2 = 4 Sum: 20 Grunnleggende ferdigheter Muntlige ferdigheter / skriftlige ferdigheter Oppslaget fokuserer i stor grad på muntlige ferdigheter siden både oppgave 2.1 og aktiviteten er avhengig av matematikkfaglig samtale og diskusjon, og fokus på begreper. Å systematisere data i en tabell slik vi gjør i aktiviteten, er derimot en skriftlig ferdighet som er nyttig i matematikkfaget, og som brukes i mange sammenhenger. Forenkling Til aktiviteten kan du lage ferdig noen tegninger til elever som av motoriske årsaker bruker lang tid på å tegne. Fokuset må være på de matematiske oppdagelsene som skal gjøres, og ikke på å tegne rett og pent. Vis elevene hvordan de kan bruke rutenettet til å plassere hjørnene i kvadratene (også på hypotenusen). Hvis linjestykket som utgjør hypotenusen, tegner fire enheter mot høyre og to enheter ned (som her), vil normalene på den tegne to enheter mot høyre og fire enheter opp. For noen er dette lettere enn å bruke vinkelhake eller gradskive. Mer utfordring / Flere aktiviteter ktiviteten på side 51 er nær knyttet til aktiviteten på side 52. ruk eventuelt kopioriginal K for elever som trenger repetisjon eller mer trening i tilknytning til vinkelsummen i en trekant. Vinkelmysteriet ruk kopioriginal K til å øve på utregning av ukjente vinkler i mangekanter. Kapittel 2 Geometri og design 51

5 Faglig innhold Pytagoras læresetning Utstyr P med dynamisk geometriprogram ktivitet Utforske en rettvinklet trekant 2 ruk dynamisk geometri til å tegne en rettvinklet trekant. Dere trenger P med dynamisk geometri Fremgangsmåte Tegn en rett linje. ruk verktøyet «Normal» til å lage en vinkel på 90. Sett av et punkt på hver av de kryssende linjene. Trekk opp en trekant mellom toppunktet til vinkelen på 90 og de to punktene. Skjul deretter de lange linjene. ruk verktøyet «Regulær mangekant» til å feste et kvadrat på hver av sidene i trekanten. b I c D a E H F G ruk verktøyet «real» til å måle arealet av de tre kvadratene. Regn ut summen av de to minste arealene. Hva ser du? Endre form og størrelse ved å trekke i hjørnene til trekanten. Legg merke til hva som skjer med arealene. 52 Maximum 10 Kommentarer ktivitet Utforske en rettvinklet trekant 2 I aktiviteten på side 51 oppdaget elevene at Pytagoras læresetning gjelder for et utvalg eksempler med hele tall. Når vi bruker dynamisk geometri, kan vi teste hypotesen for et mye større utvalg av trekanter. I GeoGebra kan vi få frem summen av de to minste arealene ved å bruke denne kommandoen i inntastingsfeltet: real[mangekant2]+real[mange kant3]. Svaret vises som et tall i algebrafeltet. For ordens skyld kan vi skifte navn på tallet til sum. Ved å trekke verdiene fra algebrafeltet ut i grafikkfeltet og lage en oppstilling som vist på figuren, er det lett å følge med på verdiene etter hvert som vi endrer på figuren. 52 Maximum 10 Lærerens bok

6 Oppgavebok Pytagoras læresetning I aktiviteten på forrige side så du en sammenheng som er knyttet til matematikeren og filosofen Pytagoras av Samos (ca. år 550 f.kr.). Sammenhengen kalles Pytagoras læresetning og brukes når vi kjenner lengdene av to sider i en rettvinklet trekant og skal regne ut lengden av den tredje siden. Pytagoras læresetning I en rettvinklet trekant er summen av kvadratene på de to katetene alltid lik kvadratet på hypotenusen: hypotenus 2 = katet katet 2 2 Setningen gjelder også motsatt vei. Hvis summen av kvadratene på de to korteste sidene er lik kvadratet på den lengste siden, er trekanten rettvinklet. K 1 H K2 Eksempel 1 I en rettvinklet trekant er de to katetene 2 cm og 5 cm lange. Finn lengden av hypotenusen. Pytagoras læresetning hypotenus 2 = katet katet 2 2 Løsningsforslag 1 Vi tegner opp og bruker kvadratmetoden. Vi tegner en hjelpefigur og setter på de kjente målene. Deretter regner vi ut arealene av kvadratene på de kjente sidene. realet av kvadratet på hypotenusen: (4 + 25) cm 2 = 29 cm 2 Når vi kjenner arealet av kvadratet, finner vi sidekanten ved å ta kvadratroten av arealet: 29 5,4 4 cm2 2 cm 5 cm 25 cm2 Hypotenusen er omtrent 5,4 cm lang Løsningsforslag 2 Vi løser med likning: hypotenus 2 = katet katet 2 2 h 2 = h 2 = h 2 = 29 h = 29 h 5,4 Vi bruker vanligvis ikke benevning i en likning. Hypotenusen er omtrent 5,4 cm lang 53 Det er viktig å være klar over at ingen av de to aktivitetene på sidene 51 og 52 er noe bevis for Pytagoras læresetning, bare en verifisering. eviset kommer på side 58. Side 53 Det kan være lurt å repetere begrepet kvadratrot før gjennomgangen av eksempel 1. Vurder dette ut fra resultatene på førtesten. Eksempel 1 Eksemplet viser to løsningsforslag. Siden elevene har lært hovedprinsippene for likninger i Maximum 8, kapittel 5, kan det tradisjonelle likningsoppsettet være et riktig alternativ for høytpresterende elever. Det er også et mål at alle elevene etter hvert skal bruke denne fremgangsmåten, siden den er mest effektiv. Likevel er det løsningsforslag 1 som gir dypest forståelse av hva vi gjør for å finne den ukjente siden, og mange elever får god hjelp av illustrasjonen. Grunnleggende ferdigheter ktiviteten på side 52 øver på digitale ferdigheter samtidig som den gir et grunnlag for å utvikle regneferdigheter. Å kunne gjøre utregninger ved hjelp av Pytagoras læresetning er en sentral ferdighet knyttet til trekantberegning og geometrisk forståelse. Forenkling La eventuelt være å bruke tid på selve konstruksjonen. Lag en halvferdig figur i en fil som elevene laster ned. Etterpå foretar elevene bare måling og utforsking. Mer utfordring / Flere aktiviteter Oppgavegenerator med terninger Elevene bruker to terninger, enten vanlige eller D10. Resultatet gir sidelengden til katetene i en rettvinklet trekant. Elevene skal tegne trekanten, regne ut lengden av hypotenusen og kontrollmåle at resultatet stemmer. Kapittel 2 Geometri og design 53

7 Faglig innhold Pytagoras læresetning Eksempel 2 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 7 cm og en av katetene 3 cm. Hvor lang er den andre kateten? Løsningsforslag 1 Vi tegner opp og bruker kvadratmetoden. Vi tegner en hjelpefigur og setter på de kjente målene. Deretter regner vi ut arealene av kvadratene på de kjente sidene. realet av kvadratet på den andre kateten: (49 9) cm 2 = 40 cm 2 9 cm2 3 cm 7 cm 49 cm2 Når vi kjenner arealet av kvadratet, finner vi sidekanten ved å ta kvadratroten av arealet: 40 6,3 Kateten er omtrent 6,3 cm lang Løsningsforslag 2 Vi løser med likning: hypotenus 2 = katet katet = k = k 2 k 2 = 49 9 k 2 = 40 k = 40 k 6,3 Kateten er omtrent 6,3 cm lang 2.2 Finn lengden av den siste siden i trekantene. a b c 5 cm 12 cm 6 cm 8 cm 13 cm 4 cm 2.3 ruk linjal og mål lengden og bredden av pulten din. Regn ut lengden av diagonalen. Sjekk svaret ditt ved å måle diagonalen på pulten. Kommentarer Eksempel 2 Dette eksemplet kan sammenliknes med eksempel 1 foran. En av årsakene til at det kan være en fordel å bruke løsningsforslag 1, er at elevene lettere ser om de skal finne summen av eller differansen mellom de to kjente arealene. Uansett er det viktig at elevene læres opp til å kontrollere rimeligheten av svaret. Hvis elevene regner helt mekanisk, er det fort gjort å bruke feil regneart og dermed ende opp med feil svar. 2.2 llerede her blander vi figurer der eleven må vurdere om det er en hypotenus eller en katet som er den ukjente siden. Dette skal bevisstgjøre eleven på betydningen av regneart fra starten av. 2.3 Sjekk hvordan elevene fører. Det er fort gjort å misbruke likhetstegnet i slike oppgaver hvis de setter inn tallene direkte i setningen. Elevene bør beregne summen av kvadratene på de to korteste sidene, deretter sammenlikne dette med kvadratet av den lengste siden. 2.5 Notasjonen for kvadratrot kan variere for ulike regneark, men =rot(tall) eller =sqrt(tall) er de vanligste. Vis også elevene hvordan de runder av tall til et passe antall desimaler. 2.6 Oppgaven viser praktisk bruk av matematikk. Målet 60, 80, 100 er anvendelig for innendørs måling. Ved utendørs måling er det like vanlig å bruke 300, 400, 500 (cm). Dette kalles noen ganger for «snekkertrekanten». Se også kommentar til oppgave 2.78 side Det er oppgitt at garasjen har rektangulær grunnflate. Minn elevene på hva det forteller om vinklene. 2.8 For å løse denne oppgaven må elevene huske Tales setning fra Maximum 9, side 209. Hvis elevene 54 Maximum 10 Lærerens bok

8 Oppgavebok 2.4 Finn ut om trekantene er rettvinklede når lengdene av sidene er a 5 cm, 7 cm, 9 cm c 1,8 cm, 2,5 cm, 3,0 cm b 8 m, 15 m, 17 m d 2,0 cm, 2,1 cm, 2,9 cm ruk regneark og regn ut lengdene av de sidene som mangler i de rettvinklede trekantene. 2.30, 2.31 Katet 1 Katet 2 Hypotenus Trekant Trekant 2 9,5 10,7 Trekant 3 13,0 14,8 2.6 Snekkere og tømrere trenger ofte rette vinkler når de lager møbler og bygger hus. Det pytagoreiske trippelet 60, 80, 100 er mye brukt til å kontrollere om for eksempel et innvendig hjørne i et rom er rett. Mål 60 cm fra hjørnet langs den ene veggen og 80 cm langs den andre veggen. Mellom de to merkene skal det være nøyaktig 1 meter (akkurat plass til meterstokken) hvis vinkelen er 90. a Undersøk om et hjørne i klasserommet eller hjemme er 90 ved å bruke metoden med det pytagoreiske trippelet 60, 80, 100. b Finn tre andre tripler som du kan bruke til å sjekke om en vinkel er rett. Et pytagoreisk trippel er en gruppe av tre naturlige tall som passer inn i Pytagoras' læresetning. 60 cm 100 cm 80 cm 2.7 Olsens garasje har rektangulær grunnflate med bredde 4 m og lengde 6 m. Hvor lang er diagonalen? 2.8 Diameteren i en sirkel er 12 cm. Det finnes et punkt på sirkelbuen slik at er 4 cm. Hvor lang er? 2.9 En pyramide har kvadratisk grunnflate med side lik 8 m. Høyden i pyramiden er 10 m. Finn arealet av en av de trekantede sideflatene. Kapittel 2 Geometri og design 55 har behov for å repetere stoffet, finner de Tales setning på side Siden grunnflaten er kvadratisk, er avstanden fra sentrum av grunnflaten til sidekanten halvparten av sidekantens lengde, altså 4 cm. Ved hjelp av dette målet og pyramidens høyde finner vi høyden på trekanten som utgjør sideflaten. Dermed kan arealet av sideflaten regnes ut. Grunnleggende ferdigheter Oppslaget fokuserer i hovedsak på regneferdigheter, men også kombinert med digitale ferdigheter (se oppgave 2.5). Det er visuell støtte til en del av oppgavene. Å lese en oppgave handler derfor om å tolke både tekst og figur. Forenkling La elevene arbeide sammen to og to. La dem lese eksemplet høyt og diskutere de to løsningsforslagene. La dem forklare for hverandre hva de har forstått. Deretter kan de samarbeide om å løse de første oppgavene. Mer utfordring / Flere aktiviteter Pytagoreiske tripler Oppgave 2.6 med snakkeboblen introduserer pytagoreiske tripler. Elevene kan finne noen flere pytagoreiske tripler ved å bruke formelen (m 2 1) 2 + (2m) 2 = (m 2 + 1) 2, der m > 1 Finn så mange pytagoreiske tripler du kan, lag en plakat, skriv dem ned og vis at de er pytagoreiske tripler. Matematikeren Diofantos ville løse problemet med å finne alle såkalte primitive pytagoreiske tripler. Primitive tripler betyr at alle tre tallene i trippelet har 1 som største felles faktor, for eksempel 3, 4, 5. Han fant at ved å velge passende verdier for p og q i likningen finner en alle primitive tripler: (p 2 q 2 ) 2 + (2pq) 2 = (p 2 + q 2 ) 2 Finner du passende verdier for p og q slik at dette stemmer, har du funnet et primitivt pytagoreisk trippel. Kapittel 2 Geometri og design 55

9 Faglig innhold Spesialtilfeller med Pytagoras Utstyr Kortstokk Spesialtilfeller med Pytagoras I rettvinklede trekanter med bestemte mål på de spisse vinklene kan vi bruke Pytagoras' læresetning i kombinasjon med andre egenskaper Studer figuren til venstre. Den loddrette linja deler den store trekanten i to like deler. a Hva slags trekant er den store trekanten? b Hva slags trekant er den blå trekanten? 60 c Hvor lang er den korteste kateten i den blå trekanten når sidekanten i den store trekanten er 10 cm? d Hvor lang er sidekanten i den store trekanten når den korteste kateten i den blå trekanten er 7 cm? e Regn ut høyden til trekantene i c og i d. I en trekant der vinklene er 30, 60 og 90, er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten. Eksempel 3 Regn ut lengdene av de ukjente sidene i trekanten. Løsningsforslag 30 Siden dette er en trekant med vinkler på 30, 60 og 90, er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten. 9 m Vi kaller den minste kateten x. Da blir hypotenusen 2x. 60 Pytagoras læresetning gir: hypotenus 2 = katet katet 2 (2x) 2 = x 2 4x 2 x 2 = 9 2 x 2 = 27 x = Maximum 10 3x 2 = 81 x 5,2 x 2 = 81 2x 10,4 3 Den minste kateten er omtrent 5,2 m, og hypotenusen er omtrent 10,4 m Kommentarer I dette oppslaget gjennomgår vi hvordan Pytagoras læresetning kan brukes sammen med andre opplysninger. Å gjenkjenne slike situasjoner krever høyere kompetanse enn bare å bruke læresetningen. Læreren må vurdere om alle elevene vil ha utbytte av å arbeide med disse sidene. Det er imidlertid viktig å utvikle elevenes evne til problemløsning Denne oppgaven er primært ikke tenkt som hjemmearbeid. La elevene jobbe to og to med oppgaven før dere drøfter resultatene i plenum. Setningen om trekanten er introdusert tidligere (Maximum 8, side 110). Eksempel 3 I en sammensatt problemstilling som dette er bruk av likning den mest nærliggende løsningsstrategien. Poengter at (2x) 2 = 4x Elevene må kombinere kunnskapen om likebeinte trekanter med Pytagoras læresetning Det viktigste er ikke hvilket svar dere kommer frem til, men den refleksjonen samtalen rundt problemstillingen gir. Oppgaven gir i tillegg anledning til å snakke om måleusikkerhet og beregninger. Resonnement 1 Kontrollregning viser at utregningen i boblen er riktig. Vi forkaster utsagn. 7,1 7, og dermed er det figuren som er upresis, ikke utregningen. Det kan derfor ikke stemme at trekanten er rettvinklet. Utsagn må forkastes, men utsagn er riktig. 7,1 gir en marginalt lengre grunnlinje enn figuren viser. Med de andre målene intakt blir spiss, ikke stump. Utsagn D kan forkastes, og står igjen som eneste sanne utsagn. Resonnement 2 Figuren og målene 5 og 7 er opprinnelige. Da har rett og feil. Måltallet 8,7 er mer nøyaktig enn tallene 5 og 7. Måltallet 7 kan representere mål i intervallet [6,5, 7,5>. 7,1 er innenfor dette intervallet. Utregningen er riktig, men avrundingen er for presis i forhold til målingene som er gjort. I 56 Maximum 10 Lærerens bok

10 Oppgavebok 2.11 I en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 er den lengste kateten 14 cm. Hvor lange er de to andre sidene? Kort katet Lang katet Hypotenus Trekant I tabellen har alle trekantene vinkler Trekant 2 12 på 30, 60 og 90. Trekant 3 16 Finn målene som mangler Thales' setning er en trekant der er diameter i en sirkel. Hvis = 90, ligger på sirkelperiferien. Og omvendt, hvis ligger på sirkelperiferien, er En trekant har vinkler på 30, 60 og 90. Hypotenusen er 10 cm. a ruk Thales setning til å konstruere trekanten. b Finn arealet av trekanten I en trekant er hypotenusen tre ganger så lang som den korteste kateten. Den lengste kateten er 7 m. Lag figur og finn lengdene av de ukjente sidene I en rettvinklet, likebeint trekant er hypotenusen 12 cm. a Tegn figur. Hvor store er vinklene i trekanten? b Finn lengdene av katetene. Trekanten er rettvinklet Hvem av elevene har rett? Trekanten er ikke rettvinklet. 8, = 75,69 25 = 50,69 Utregningen er ikke riktig. Vinkel er stump. D 5 8,7 50,69 7,1 7 denne tolkningen er riktig og de andre gale. Det finnes trolig flere mulige resonnementer. Grunnleggende ferdigheter åde oppgaver og eksempel gir rom for muntlig aktivitet. Ha fokus på å uttrykke deg presist. I tillegg til regneferdigheter bør du fokusere på skriftlige ferdigheter både hvordan en utregning skal presenteres, og hvordan en figur skal tegnes. Forenkling Oppgavegenerator med kortstokk Elever som trenger å regne flere oppgaver der bare bruk av Pytagoras læresetning inngår, kan gjøre følgende: Stokk en kortstokk og del den i to bunker. Trekk et kort fra hver bunke. I annenhver oppgave repre- senterer den høyeste verdien hypotenusen og den laveste verdien en av katetene i en rettvinklet trekant. Eleven skal så regne ut lengden av den andre kateten. De andre gangene (eller hvis kortene har samme verdi) representerer de lengden av hver av de to katetene, og eleven skal regne ut lengden av hypotenusen. Mer utfordring / Flere aktiviteter Regn med nøyaktige verdier Gi elevene trening i å regne med nøyaktige verdier. Finn diagonalen i et kvadrat der 10 arealet er Mange elever vil først finne sidekanten i kvadratet ved å regne ut en avrundet verdi for 10 Figuren viser at dette bare gir en unødig avrundingsfeil. realet på katetene må nødvendigvis også være 10. Da er kvadratet på hypotenusen 20, og lengden av den er 20 = 4 5 = 2 5 Studer en likesidet trekant En likesidet trekant har omkretsen 24 cm. Hva er arealet av trekanten vi får når vi drar linja mellom de tre midtpunktene på de tre sidekantene i den store trekanten? ruk nøyaktige verdier i utregningen. 8 cm Kapittel 2 Geometri og design 57

11 Faglig innhold evis for Pytagoras læresetning Parvis like store vinkler ktivitet Utstyr Kopioriginal K evis for Pytagoras læresetning Metode 1 Geometrisk reorganisering Dere trenger ruteark farget og hvitt med like store ruter saks linjal Fremgangsmåte Klipp ut to like store kvadrater, et hvitt og et farget. 1 Marker et punkt et tilfeldig sted på den ene sidekanten av det fargede kvadratet. Roter kvadratet 90 og sett av et merke på tilsvarende sted på neste sidekant. Gjenta til du har merker på alle sidekantene. 2 Tegn opp kvadratet som har hjørnene i de fire merkene. 3 Klipp ut de fire trekantene som dannes i hjørnene, og legg dem oppå det hvite kvadratet som på figuren. b a a c c b b c c a 4 Kall katetene i en trekant for a og b og hypotenusen for c. 5 Finn et bokstavuttrykk for det hvite arealet i midten. a b 6 Flytt de fargede trekantene slik at du får to gule rektangler oppå det hvite kvadratet. 7 Hvordan kan du nå finne et bokstavuttrykk for det hvite arealet? Metode 2 lgebraisk Studer figuren. lle trekantene er rettvinklede og like store. Kall korteste katet for a, lengste katet for b og hypotenusen for c. 1 Skriv et bokstavuttrykk for arealet av det store kvadratet. 4 Finn summen av svarene i 2 og 3, og forenkle mest mulig. 5 Hva er sammenhengen mellom svaret i 1 og svaret i 4? 2 Skriv et bokstavuttrykk for arealet av de fire trekantene. 3 Skriv et bokstavuttrykk for arealet av det lille kvadratet. Kommentarer ktivitet evis for Pytagoras læresetning Det finnes flere bevis for Pytagoras læresetning. Vi har valgt å ta med to. Metode 1 Når de fargede trekantene skal reorganiseres, kan det gjøres på ulike måter, men uansett er det lurt å legge to og to trekanter sammen til rektangler. lternativ 1: a a b b lternativ 2: a a b b I begge alternativene ser vi at det hvite arealet, som først kunne beskrives som c 2, nå er fordelt på to kvadrater med arealene a 2 og b 2. Siden ingen lengdemål er endret, kan vi konkludere med at a 2 + b 2 = c 2. Metode 2 Det er en stund siden elevene arbeidet med bokstavregning. Derfor kan metode 2 regnes for noe mer krevende enn metode 1. Dere kan eventuelt velge å gå tilbake til dette beviset i tilknytning til algebra i kapittel 3. 1 c 2 ab = 2ab 3 (b a) 2 = (b a)(b a) = a 2 2ab + b 2 N: Elevene har ikke lært kvadratsetningene, men kan multiplisere ut parentesuttrykkene. 4 a 2 + b 2 5 Hele kvadratet er like stort enten vi regner arealet som en stor flate eller som summen av fem flater. Det vil si at a 2 + b 2 = c Oppgaven skal forberede elevene på å føre bevis for formlikhet. egre- 58 Maximum 10 Lærerens bok

12 Oppgavebok Å vise formlikhet De to ikonene til høyre er formlike fordi de har samme form, det er bare størrelsen som er forskjellig. På samme måte er de to trekantene formlike. Selv om den ene er større og dreid litt i forhold til den andre, er formen til trekantene helt lik. Formen til en trekant er bestemt av vinklene. Når vi skal vise formlikhet, tar vi utgangspunkt i vinklene. Vi kan ikke måle vinklene, men forklare ut fra oppgitte mål og matematiske sammenhenger hvorfor vinklene er like. To trekanter er formlike dersom de har parvis like store vinkler Studer figurene. Forklar hvorfor de to markerte vinklene er like store. a b c d l m l m betyr at l og m er parallelle linjer. l m To vinkler er like store hvis de er oppgitt med samme vinkelmål vi kan regne ut at de har samme vinkelmål de er sammenfallende (på samme sted) de er toppvinkler de er samsvarende vinkler ved parallelle linjer vinkelbeina står parvis vinkelrett på hverandre Kapittel 2 Geometri og design 59 pene toppvinkler, nabovinkler og samsvarende vinkler ble behandlet i Maximum 8, kapittel 2. Vurder i hvilken grad begrepene må repeteres. Regelramme La elevene arbeide seg gjennom lista i den nederste regelrammen. Her er det ulike forhold som kan gjøre at to vinkler er like store. La dem diskutere hva ordene betyr, slik at de forstår alle begrepene som brukes i regelrammen. Sjekk om de forstår begreper som vinkelmål, sammenfallende, toppvinkler, samsvarende osv. Illustrer gjerne med en liten tegning til enkelte av kulepunktene for å styrke forståelsen. Grunnleggende ferdigheter Muntlige ferdigheter / skriftlige ferdigheter La elevene forklare hverandre muntlig hvorfor det første beviset er mulig. Elevene må forstå beviset godt for å kunne forklare det til en annen. I tillegg styrkes kunnskapen når de selv må sette egne ord på det de har forstått. I bevis nr. 2 må elevene bruke symboler og skrive for å bevise Pytagoras læresetning. La elevene forklare hverandre hvordan de tenker, og hva de har forstått. Forenkling Elevene samarbeider og studerer det første av de to bevisene for Pytagoras læresetning ved å flytte på figurene. La elevene få bruke K Klipp ut en mal av figurene øverst på side 58, slik at de kan bruke malen til beviset. De klipper ut både de gule trekantene og det store hvite kvadratet som trekantene skal legges oppå. Mer utfordring / Flere aktiviteter Flere Pytagoras-bevis Søk etter «Pytagoras-bevis» / «Pythagoras proof» på Internett og finn flere måter å bevise Pytagoras læresetning på. La elevene gå sammen i grupper på tre og tre og velge seg ett bevis som de skal arbeide med. Elevene jobber sammen for å forstå beviset. La elevene presentere beviset for en annen gruppe i klassen eller eventuelt for hele klassen. Kapittel 2 Geometri og design 59

13 Faglig innhold Formlikhetsbevis Eksempel 4 Vis at ~ DE. E Symbolet ~ betyr «er formlik med». D Løsningsforslag Vi finner parvis like store vinkler: = ED = 90 = DE, fordi det er en felles vinkel. Da blir = DE, fordi vinkelsummen i en trekant er 180. Trekantene har parvis like store vinkler, derfor er ~ DE a Vis at ~ D. b Vis at D ~ D. D 2.19 DE. Vis at ~ DE. E D 60 Maximum 10 Kommentarer I et bevis for formlikhet argumenterer vi punktvis for at trekantene har parvis like store vinkler. Det skal føres tre argumenter, selv om det tredje argumentet alltid kan føres med utgangspunkt i de to første og vinkelsummen i en trekant. Elevene må også huske på å konkludere etter at de tre punktene er ført. For å finne argumenter for like vinkler kan eleven ta utgangspunkt i lista i blå ramme nederst på side 59. kommando, «Forhold mellom to objekter»,? a = b Ved å klikke på to antatt parallelle linjestykker, her a og e, vil GeoGebra analysere forholdene mellom dem i et eget vindu. D b e c F GeoGebra - For... f d a har ikke samme lengde som e (sjekket numerisk) a E x 2.22 Oppgaven egner seg for utforsking med et dynamisk geometriprogram. lle figurer tegnet etter denne anvisningen vil inneholde fem formlike trekanter, derav fire kongruente. I GeoGebra finnes en a og e er ikke like (sjekket numerisk) a og e er parallelle (alltid sant) OK 60 Maximum 10 Lærerens bok

14 Oppgavebok DE. Vis at ~ DE. D E Finn eksempler på formlike trekanter på figuren. Forklar hvorfor de er formlike. D 2.35 E F 2.22 Forsøk både med en spissvinklet og en stumpvinklet trekant. Tegn en irregulær trekant. Finn midtpunktet på hver side og kall punktene for D, E og F. Tegn opp trekant DEF. a Hvor mange formlike trekanter har du til sammen på figuren du har tegnet? Forklar. b Vil svaret i a gjelde for alle mulige trekanter? egrunn svaret Hvilke av elevene nedenfor sier noe sant? Jeg tror alle trekantene på figuren er formlike. Jeg tror det finnes tre par med formlike trekanter. På figuren er D midtnormalen til. D E Jeg tror det finnes to par med formlike trekanter. Jeg ser seks trekanter som alle er formlike med hverandre. D 2.23 e elevene studere figuren nøye og først lete etter hvor mange trekanter som finnes på figuren (8). I uttalelsene brukes begrepet formlikhet. I tilknytning til denne oppgaven kan vi også bruke begrepet kongruent. Kongruente figurer er like både i form og areal, det vil si at de dekker hverandre nøyaktig. Utsagnet er feil. Vi ser blant annet at Δ D ikke er formlik med sin egen halvdel, Δ ED. Utsagnet er riktig: Δ ED ΔDE, Δ E Δ E, Δ D Δ D. Det er riktig at det finnes to par, men det er ikke presist fordi det finnes flere enn to. D Utsagnet er ikke riktig. Det finnes tre par, altså seks trekanter, men de er formlike bare parvis, ikke på tvers av parene. Grunnleggende ferdigheter Å føre et formlikhetsbevis på en ryddig, oversiktlig og logisk måte fordrer at elevene har skriftlige ferdigheter. Muntlige ferdigheter øves gjennom samarbeid, og er spesielt nødvendig i oppgave Forenkling ruk kulepunktene fra regelrammen på side 59 og la elevene samarbeide to og to om å finne parvis like store vinkler i trekantene i eksempel 4 og i oppgavene Mer utfordring / Flere aktiviteter Tegn formlike trekanter med dynamisk geometriprogram Ta utgangspunkt i punktlista på side 61. e elevene tegne egne eksempler på formlike, ikke kongruente trekanter som er slik at argumentene i punktlista gjelder. ruk tegningene til å lage en collage som viser alle de ulike variantene. betyr «er kongurent med». To figurer er kongurente når de både har samme form og samme areal, altså at figurene kan dekke hverandre. Speilvendte figurer regnes som kongurente. Kapittel 2 Geometri og design 61

15 eregne lengder ut fra formlikhet y-akse 7 6 Den gule trekanten ligger oppå den grønne trekanten. Den grønne trekanten ligger oppå den røde trekanten osv x-akse Her fikk jeg beskjed å lage en forløpning Figuren viser fire formlike trekanter som ligger oppå hverandre. Tabellen viser forholdet mellom de to katetene i hver av trekantene. Lengste katet Minste katet Gul trekant 4 2 Grønn trekant 7 3,5 Rød trekant 10 5 lå trekant 12 6 Lengste katet minste katet 4 2 = 2 7 3,5 = = = ruk de fire trekantene på figuren ovenfor. a Regn ut lengdene av de fire hypotenusene. Hypotenus Minste katet Hypotenus minste katet b Lag en tilsvarende tabell og fyll ut. Gul trekant Grønn trekant Rød trekant lå trekant c Lag en tilsvarende tabell som i b og finn forholdet mellom hypotenusen og den lengste kateten i hver trekant. d Velg to av trekantene. Kall den ene trekant 1 og den andre trekant 2. Regn ut disse forholdene: Minste katet 1 minste katet 2 Lengste katet 1 lengste katet 2 Hypotenus 1 hypotenus 2 e Forklar med egne ord hva resultatene i d betyr. 62 Maximum 10 Faglig innhold Forholdsregning med utgangspunkt i formlikhet Utstyr Kopioriginal K Kommentarer For å forstå fagtekst og oppgaver riktig er det vesentlig at elevene ser figuren øverst på side 62 som fire formlike trekanter som ligger oppå hverandre. Det kan være lurt å lage en modell i papir, der trekantene faktisk ligger lagvis og kan studeres hver for seg. Koordinatsystemet er lagt under for at det skal være enkelt å lese av lengden på katetene. Trekantene finnes i kopioriginal K Skriv gjerne ut i et forstørret format og laminer. Trekantene kan festes til koordinatsystemet, for eksempel med «lærertyggis». Samtal om figuren øverst på side 62 og forviss deg om at elevene har forstått hva den viser. I tabellen midt på samme side vises avleste verdier for katetene og utregnet forhold mellom katetene. La elevene kommentere hva tabellen viser. Still tilleggsspørsmål: Hvordan kan vi vite at trekantene er formlike? (alle har en felles vinkel med toppunkt i origo, alle har en rett vinkel, da må tredje vinkel også være lik) Hvis vi lager en større trekant på samme figur der lengste katet er 16, hva blir korteste katet i trekanten? (8) Hvis vi lager en ny trekant på samme figur der korteste katet er 10, hva må lengste katet være? (20) 2.24 Oppgaven følger opp fagteksten øverst på siden og bør gjøres på en måte som gir elevene anledning til å diskutere resultatene. Faktaruta øverst på side 65 oppsummerer det som er vist i fagteksten og oppgave Legg merke til at det er flere mulige forhold som kan beskrives. Eksempel 5 Her er det gjort et valg om ikke å innføre kryssmultiplikasjon. egrunnelsen er for det første at kryssmultiplikasjon er en mekanisk tilnærming til likningsløsning, for det andre at en 62 Maximum 10 Lærerens bok

16 Oppgavebok For to formlike trekanter er forholdet mellom de samsvarende sidene likt. F D E ~ DEF. Da gjelder: DE = DF = EF DE = DF = EF = DE DF Eksempel 5 ~ DE. = 7 cm, D = 4 cm og DE = 3 cm. Regn ut lengden av. E Når det er oppgitt at trekantene er formlike, trenger vi ikke bevise det. D Løsningsforslag Siden ~ DE, er forholdet mellom de samsvarende sidene likt. DE = D 3 = = = 21 4 = 5,25 Lengden av er 5,25 cm Kapittel 2 Geometri og design 63 slik strategi bare vil gi en ekstra linje i løsningen. En lur strategi er å sette opp forholdet slik at vi har den ukjente lengden i telleren i den venstre brøken. Da blir likningen alltid lett å løse. Grunnleggende ferdigheter Her brukes formlikhet til å regne ut lengder i ulike trekanter. Elevene leser eksempel 5 og studerer føringen av løsningsforslaget. Eksemplet viser en eksemplarisk føring ved å bruke likninger til å regne ut ukjente sider i formlike trekanter. Forenkling ruk kopioriginal K og klipp ut alle de fire formlike trekantene slik at det blir veldig tydelig for elevene hva illustrasjonen viser. La dem legge de ulike trekantene oppå hverandre for å lage illustrasjonen selv. Mer utfordring / Flere aktiviteter Presentasjon av formlike trekanter La to eller tre elever samarbeide om å lage en læringsstøttende plakat om beregning av lengder i formlike trekanter. La dem velge seg en problemstilling ut fra en figur der de kan bruke formlikhet til å regne ut ukjente sidekanter. La elevene muntlig presentere problemstilling, strategi og beregninger de gjorde for å løse problemet. Heng eventuelt opp plakatene på veggen. La elevene presentere plakatene de har laget for hverandre. ruk forhold til å sjekke om trekanter er formlike På side 60 og 62 førte elevene formlikhetsbevis ved å se på vinklene. Formlikhet kan også vises ved å sjekke forhold mellom samsvarende sider. Sider i original: 3,0 6,0 7,0 Hvilken av trekantene er formlik med originalen? 5,0 7,0 9,0 4,5 9,0 10,5 6,0 12,0 15,0 La elevene lage tilsvarende oppgaver til hverandre. Utfordre dem til å bruke både forstørring og forminskning. Kapittel 2 Geometri og design 63

17 Faglig innhold Forholdsregning med utgangspunkt i formlikhet Utstyr Kopioriginal K Målebånd eller målehjul Pinner, flagg eller noe annet å sikte etter 2.25 Petter måler skyggen av en flaggstang til 15 m. Etterpå setter han meterstokken vinkelrett mot bakken og måler skyggen av den til 1,25 m. a Lag en tegning av situasjonen og sett mål på tegningen. b Hvor høy er flaggstangen? 2.26 amilla har en lekestue som er 2,75 m bred, 3,85 m lang og har en mønehøyde på 2,20 m. Farfar skal snekre et hundehus som er formlikt med lekestua. Hva blir lengden og bredden av hundehuset når mønehøyden skal være 80 cm? 2.27 a Vis at ~ DE. b Finn lengdene av sidene DE, E og. c Regn ut avstanden fra til E. d Er E formlik med og DE? egrunn svaret E D 2 cm 3 cm For trekanter vet vi at de er formlike hvis to og to vinkler er like store. Det gjelder ikke for andre mangekanter. Vi ser her tre rektangler, og vi vet at alle vinklene er 90. Likevel ser vi at ikke alle rektanglene er formlike. 3 cm Eksempel 6 2 cm 4,5 cm 4,5 cm Vis ved regning hvilke av rektanglene til venstre som er formlike. Løsningsforslag Hvis rektanglene er formlike, er forholdet mellom lengden og bredden det samme. lengde : bredde = 3 2 = 1,5 lengde : bredde = 4,5 2 = 2,25 lengde : bredde = 4,5 3 = 1,5 lengde Vi ser at forholdet er det samme for rektanglene bredde og. Rektanglene og er formlike 64 Maximum Kommentarer 2.25 Denne oppgaven kan sammenliknes med den utforskende oppgaven på side 49. Dersom den oppgaven ikke ble gjort, kan dere gå tilbake og bruke oppgaven i tilknytning til egrepet mønehøyde kan være fremmed. Se illustrasjonen i margen Her kan vi bruke argumentet om at vinkelbein står parvis vinkelrett på hverandre. Sammenlikn med ED, først de høyre vinkelbeina, dernest vinkelbeina til venstre. Maximum 10 Lærerens bok Eksempel 6 I eksemplet viser vi hvordan vi bruker forholdet mellom lengdene til å forklare om to rektangler er formlike eller ikke. Elevene må forstå at vi kan gjøre dette fordi vi i utgangspunktet vet at alle vinklene er parvis like store. Vi vil også vise at regelen om at parvis like store vinkler beviser formlikhet, ikke er tilstrekkelig når figuren har mer enn tre kanter. Grunnleggende ferdigheter Elevene blir utfordret til å diskutere to og to for å finne egenskaper ved ulike figurer i oppgave Denne metoden kan også brukes til å forstå andre oppgaver og for å avklare metode som kan brukes til å løse andre problemstillinger. Illustrasjonene i margen er laget for å konkreti- sere problemstillingene. Vis elevene hvordan disse er nyttige å lage selv om de ikke er en del av problemstillingen. Forenkling Formlike figurer med tangram: ruk tangram fra kopioriginal K eller tangrambrikker. Sorter først brikkene, og bli enige om hva de enkelte figurene heter.

18 2.28 Et rektangel har bredde lik 7 m og lengde lik 12 m. Et formlikt rektangel skal være 18 m langt. Hva blir bredden i rektanglet? Gruppe 2.29 To elevgrupper gjør målinger for å regne ut bredden av hver sin elv. a Regn ut bredden av elva til gruppe. b Regn ut bredden av elva til gruppe Diskuter to og to. a Hva kaller vi figurene D? b Hvilken egenskap er felles for disse figurene? Er figurene formlike? c Er deler av figurene formlike? D 18 m 36 m 48 m Gruppe 72 m 56 m 45 m Oppgavebok , , En trekant har grunnlinje 4,0 cm og høyde 5,5 cm. a Hva er arealet av? b Hvor lang er hvis høyden treffer 3,0 cm fra? c Trekanten DEF er formlik med trekanten. Hva må høyden i trekanten DEF være når grunnlinja er 8,0 cm? d Hva er arealet av DEF? F E D 2.32 I en regulær sekskant er den lange diagonalen D = 8 cm. Hvor lang er den korte diagonalen E? 2.33 I en pyramide med kvadratisk grunnflate er bredden a = 35 m og høyden h = 30 m. a Hvor lang er sidekanten s? h s b Hvor stor er overflaten av pyramiden? a Kapittel 2 Geometri og design 65 egynn med å sammenlikne de tre ulike trekantstørrelsene. Sammenlikn sidekanter og areal. Hva er forholdet mellom arealene? (1 : 2 og 1 : 4) Er forholdet mellom sidekantene det samme? (nei) Sett sammen flere brikker for å lage nye trekanter som også er formlike med de første. Tegn rundt trekantene for å dokumentere størrelsen, og sorter dem fra minst til størst. Hvor mange ulike størrelser er det mulig å bygge med brikker fra et tangramsett? (5) Finn to trekanter der forholdet mellom sidene er 1 : 2. Hva er da forholdet mellom arealene? (1 : 4) Se på henholdsvis kvadratet og parallellogrammet. ruk flere brikker til å lage formlike figurer med dem. Hvor mange ulike størrelser kan lages av hver figur? (tre kvadrater og tre parallellogrammer) Mer utfordring / Flere aktiviteter Flaggstangmåling med speil Metoden til å måle høyder basert på skygger og formlikhet har sine begrensninger og fungerer ikke når sola ikke skinner. En alternativ fremgangsmåte er å bruke et speil som du legger på bakken i en gitt avstand fra flaggstangen. Følg den rette linja fra foten av flaggstangen gjennom speilet videre til du ser kula på flaggstangen i speilet. Mål din egen øyehøyde og avstanden din til speilet. Gjør så en beregning av høyden til flaggstangen med forholdsregning. Det er mulig siden vi vet at ved refleksjon er alltid utfallsvinkel lik innfallsvinkel. ruk gjerne begge metodene og sammenlikn resultatet. Hvor bred er elva? La elevene få gjøre oppgave 2.29 i virkeligheten. Del elevene i to grupper. De bruker de to fremgangsmåtene til å beregne bredden av en elv ved hjelp av formlikhet. Marker en «tenkt» elv med ukjent bredde på fotballbanen. La elevene gjøre målinger ved elva slik at de kan beregne bredden av elva på begge måtene. Kapittel 2 Geometri og design 65

19 Faglig innhold Målestokk Utstyr Egenvurderingsskjemaet E.10.2 Kopioriginal K Kopioriginal K Kart og målestokk Mål HER SKL DU LÆRE Å finne målestokk som forholdet mellom avbildning og original bruke målestokk til å beregne avstander på kart lage og bruke arbeidstegninger FR «PIPPI EGYNNER PÅ SKOLEN» Frøken syntes nok at hun var et vanskelig barn, og så satte hun alle sammen til å tegne. Pippi kom nok til å sitte rolig da, tenkte frøken. Hun fant fram papir og blyanter, som hun delte ut til alle barna. Dere kan få lov til å tegne hva dere vil, sa hun, og så satte hun seg ved kateteret og begynte å rette skrivebøker. Da det var gått en stund, løftet hun hodet for å se hvordan det gikk. Da satt alle barna og så på Pippi, som lå på gulvet og tegnet av hjertens lyst. Men Pippi, sa frøken, hvorfor tegner du ikke på papiret? Å, det har jeg da tegnet fullt for lenge siden, og hele hesten min får da ikke plass på den papirlappen, sa Pippi. kkurat nå holder jeg på med forbeina, men når jeg kommer til halen, må jeg nok gå ut på gangen. strid Lindgren forhold mellom samsvarende sider er likt i to formlike figurer åde barn og voksne kan le av Pippi som ikke skjønner at hun må forminske hesten når hun skal tegne hesten på et papirark. Vi kan tenke oss at Pippis hest er 175 cm høy og 180 cm lang. For at tegningen skal bli realistisk, må høyden og lengden forminskes i samme forhold for å få plass på arket. 66 Maximum Et 4-ark er omtrent 21 cm 29 cm stort. Foreslå høyde og lengde på Pippis hestetegning slik at den får plass på et 4-ark. Kommentarer Side 66 Dette er en samtaleside. Start med læringsmålene. La elevene bruke egenvurderingsskjema og kommenter hva de vet om kart, målestokk og arbeidstegninger fra før. Hvilke ord er ukjente? Finn ut om noen har spesiell erfaring knyttet til temaet, for eksempel som orienteringsløper. Trekk linjer til andre fag dersom elevene selv ikke kommer på at de bruker målestokk i geografidelen av samfunnsfag og i orientering i kroppsøving. I arbeidet med arbeidstegninger i kunst og håndverk brukes også målestokk, men da gjerne som forstørringer av små ting og ikke forminskninger som et kart utgjør i forhold til terrenget. Vi minner om at det i oppslaget snakkes om lineær forstørrelse og forminskning (mer om dette i oppgave 2.43, side 71). Eksempel 7 I eksemplet viser vi hvordan vi finner målestokken ved å sammenlikne bildet med virkeligheten. Tydeliggjør for elevene at det første tallet alltid stammer fra avbildningen, og at det siste tallet stammer fra virkeligheten. Tallene skal ha samme enhet, men enheten inngår ikke når vi uttrykker målestokken. Vi forkorter så mye som mulig, likevel ikke mer enn at vi stadig opererer med hele tall på begge sider. En målestokk på 2 : 5 skal ikke forkortes til 1 : 2,5. Grunnleggende ferdigheter Elevene leser og diskuterer utdraget fra «Pippi begynner på skolen». De skal kunne forklare hvordan vi praktisk kan forminske tegningen av en hest slik at den har riktige forhold mellom for eksempel høyde og lengde. De skal bruke forhold mellom størrelser til å kunne beregne formlike, forminskede figurer. La elevene videre lese fagtekst og regelramme på side 67. e dem forklare sin egen forståelse av begrepene avbildning, forminskning og målestokk. Forenkling ruk en dobbel tallinje for å finne målestokken. Vi setter målet på avbildningen øverst og målet i virkeligheten nederst. 0 1 cm 3 cm 66 Maximum 10 Lærerens bok 0? 324 m = cm

20 Oppgavebok Finne og bruke målestokk På bildet ser vi Kari, som i virkeligheten er 164 cm høy. Hun står foran en dumper på Norsk vegmuseum. Vi sier at bildet er en avbildning av virkeligheten. I dette tilfellet er avbildningen en forminskning Målestokk er forholdet mellom en lengde på avbildningen og tilsvarende lengde på originalen. Målestokken 1 : 100 vil si at 1 enhet på avbildningen svarer til 100 enheter på originalen. Eksempel 7 ruk bildet og opplysningene i teksten ovenfor til å finne høyden på dumperen. Løsningsforslag På bildet er Kari 2,0 cm. I virkeligheten er Kari 164 cm høy. Målestokk: 2 : 164 Vi forkorter begge tallene med 2. 1 : 82 Vi måler høyden på dumperen til 8,4 cm på bildet. Målestokken forteller oss at 1 cm på bildet svarer til 82 cm i virkeligheten. 8,4 cm 82 = 688,8 cm 6,9 m Dumperen er omtrent 6,9 m høy Vi sier at målestokken er 1 til 82. avbildning hvert punkt på bildet har et tilsvarende punkt i originalen 2.35 Eiffeltårnet er 324 m høyt. I en suvenirbutikk selger de små nøkkelringkopier av tårnet som er 3 cm høye. Hvilken målestokk er kopiene laget i? 2.36 Oslo rådhus er på sitt høyeste 66 m. På et postkort er den tilsvarende høyden 7,5 cm. Hva slags målestokk har bildet på postkortet? Kapittel 2 Geometri og design ,0 cm 9,9 cm 0? 66 m = cm Mer utfordring / Flere aktiviteter Tegn avbildningen ruk kopioriginal K Velg om elevene skal tegne avbildningen i målestokk 2 : 1 eller 3 : 1. Krymp katta ruk kopioriginal K og en linjal med centimetermål. ruk punktet P som projiseringspunkt. Tegn hjelpelinjer mellom P og katta og finn et projisert punkt til hvert punkt på katta i halv avstand fra P. Finn så målestokken på avbildningen. Kapittel 2 Geometri og design 67