Statistikk og matematikk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Statistikk og matematikk"

Transkript

1 Statistikk og matematikk Halvor Aarnes Revidert Innholdsfortegnelse Sannsynlighetsregning... 3 R din nye kalkulator... 7 Matriser, matriseregning og vektorer Vektorer og vektorrom Praktiske øvelser Myntkast Bernoulli Binomial Bernoullifordeling Fordelingsfunksjon og sannsynlighettetthetsfunksjon Geometrisk fordeling Den sentrale tendens Binomial fordeling Forventning og varianse Sentralgrenseteoremet og de store talls lov Konfidensintervall t-fordelingen Forventet verdi og varianse i binomialfordelingen n fakultet (n!) og Pascals trekant Telle antall måter å ordne objekter Flervalgseksamensoppgaver Mengdelære, union, snitt og Venn-diagram Kortstokk Terningkast Betinget sannsynlighet de Méré og gambling Studentenes måltall Eksperimenter og hypotesetesting Chi(χ 2 )-kvadratfordeling Regresjon og korrelasjon Myntkast og GLM

2 Bayes regel og falske positiver loglikelihood, x kjent p ukjent Old Faithful Hår- og øyefarge Topologi Polygoner, polyedre og Euler-karakteristikk Kjeder og ledd Fraktaler Fibonacci-tall og spiraler Grupper og symmetri Eliptiske kurver Hyperkomplekse tall, kvaternioner og E Travelling Salesperson Problem (TSP) Diverse funksjoner Kardioide Asteroide Sommerfuglkurve Heksen til Agnesi Episykloide Eliptisk integral: beregning av buelengder Gauss konstant Minste kvadraters metode Vekstkurver Populasjoner og vekst Stokastiske modeller Tetthetsavhengig vekst (logistisk modell) Stokastistitet i logistisk vekstkurve Diskret populasjonsvekst logistisk vekstkurve Differensialligning med tidsforsinkelse Konkurransemodell Demografi

3 Sannsynlighetsregning Lengde, areal, volum eller masse er eksempler på mål av fysiske eller geometriske objekter. Målteori er koblet til egenskaper som at et volum består av addisjon av delvolumer av et objekt, additive mengdefunksjoner. Det er en nær sammenheng mellom målteori, sannsynlighetsregning, mengdelære og integrasjon. Den franske matematikeren Hènri Lèon Lebesgue ( ) var den som innførte moderne mål- og integrasjonsteori. En type mål er sannsynlighet for at en hendelse skal skje, for eksempel observasjon av en fugleart eller pattedyrart. Teorier om sannsynlighet har sin opprinnelse fra 1654 og de to franske matematikere Blaise Pascal og Pierre de Fermat. Pascal bygget den første regnemaskin, pascaline drevet av tannhjul, som kunne addere og subtrahere. Den franske adelsmannen Chevalier de Méré var interessert i gambling og terningspill. Et av spillene bestod i å vedde penger på å få minst en dobbel sekser ved å kaste to terninger 24 ganger. Méré mente at det var gunstig å satse på et slikt veddemål, men hans egne beregninger viste det motsatte, og han startet derved å brevveksle med Pascal og Fermat om problemet. Dette var starten på teorien bak sannsynlighetsregning. På basis av disse brevene skrev nederlenderen Christiaan Huygens ( ) en lærebok om sannsynlighet ved gambling, De ratiociniis in ludo aleae (1657). Jakob Bernoulli ( ) og Abraham de Moivre ( ) videreutviklet teoriene om sannsynlighet. Pierre de Laplace ( ) skrev i 1812 Theorie analytique des probabilies. 3

4 Sannsynlighetsregningen ble ikke bare brukt i forbindelse med spill og gambling, men også innen forsikring, økonomi, finans og statistisk mekanikk. Andre bidragsytere var Andrej Andrejevitsj Markov ( ), Pavnutij Lvovitsj Tsjebysjev ( ), Richard von Mises ( ) og Andrej Kolmogorov ( ). Vi treffer også stadig på de matematiske konstantene pi (π), det naturlige tallet e og gamma (Г) i sannsynlighetsregning. Florence Nightinggale laget statistikk og grafisk presentasjon av statistikk over døde og sårede under krimkrigen i form av et rosediagram, og fikk på grunnlag av dette britiske myndigheter til å bedre sanitærforholdene og behandlingen av de skadete. library(histdata) data(nightingale) 4

5 I dag produseres enorme mengder data innen molekylærbiologi (sekvensering av nukleinsyrer og proteiner, evolusjon, biokjemiske omsetningsveier og enzymer, bestandsdata og demografi), astronomi (bildebehandling, signaloverføring), økologi (miljødata og miljøovervåkning), medisin (epidemiologi) og språk (oversettelse og gramatikk), som behandles med statistiske algoritmer. Det er skapt en ny måte å drive forskning basert på numeriske beregningsmetoder. I Sloan Digital Sky Survey brukes vidvinkel optisk teleskop (30 CCD hver med piksler=125 megapiksler) til å avfotografere hele himmelen og enorme datamengder legges ut på internett. Disse bildene sammen med bilder fra Hubbleteleskopet brukes i Google Sky. Epidemiologen Sir William Richard Shaboe Doll ( ) brukte statistikk for å finne koblingen mellom røyking, lungekreft og økt risiko for hjertesykdom. Doll studerte også sammenheng mellom stråling fra radioaktive isotoper og leukemi, samt industrirelaterte skader av nikkel, tjære og asbest. Via Google, Facebook, Youtube, Twitter og andre medier lastes det opp enorme datamengder, mange zettabyte (ZB), trilliarder byte (1 yottabyte (YB)=10 24 byte, 1 ZB=10 21 byte,1 Exabyte(EB)=10 18 bytes, 1byte=8bits, 1 bits er et binært siffer 0 eller 1), som kan brukes i statistiske undersøkelser, for dem som har adgang til dem. Pionérene var utviklingen av datamaskiner var Charles Babbage ( ) som laget utkastet til hvordan en regnemaskin, Analytical engine, burde konstrueres. Alan Mathison Turing ( ) var med å lage en Turingmaskin, deltok i løsningen av Enigma-koden og utviklingen av kryptografi. Samt ungareren Janos von Neumann ( ), som ga viktige bidrag til kvantemekanikk, økonomi og spillteori bl.a. med boka Theory of games and economic behaviour (1944) skrevet sammen med O. Morgenstern, var opptatt av utvikling av datamaskiner i sine siste leveår. Ole-Johan Dahl og Kristen Nygaard ved Norsk Regnesentral ga viktige bidrag i utviklingen av objektorienterte programeringsspråk. 5

6 Larry Page Sergey Brin ved Standford universitetet utviklet PageRang algoritmen som søkemotoren Google bruker til å rangere nettsider på verdensveven www. Nettsidene får tildelt numerisk vekting på logskala avhengig av hvor mange lenker det er til sidene, et indeksert rangordnet hierarki basert på lenkepopularitet og siteringsanalyse. Søkemotorene leter igjennom alt som publiseres på internet, og sorterer, indekserer og lagrer innholdet. Det kan gjøres teoretiske beregninger vedrørende sannsynligheten for å havne på en nettside ved å klikke på en lenke. Søkeord bringer deg sannsynligvis til den mest aktuelle nettsiden. Web-sidene betraktes som noder koblet i et nettverk,graf-teori, hvor man ser på sannsynligheten for å forflytte seg tilfeldig fra en side lenket til en annen, en form for Markov-kjede. PageRangverdiene kan man også finne igjen som en egenvektor til en stokastisk matrise. PageRang algoritmen kan brukes til å beregne siteringsindekser for forskning (ISI), eller til å rangere gater for å prediktere hvor mange fotgjengere og biler som vil befinne seg i disse. Eulers studium av de syv bruene i Königsberg var introduksjonen til Graf-teori. Graf-teori og nettverksanalyse brukes også innen ligvistikk, sosiologi, biologi, kjemi og fysikk. En graf tegnes som punkter eller sirkler som er forbundet med hverandre med rette eller buete streker, eventuell retning kan angis med piler. En graf er et abstrakt topologisk objekt slik at avstander og størrelser har ingen betydning, bare koblingen mellom dem. En graf blir enklest representert via en matrise, e.g. en nxn naboskapsmatrise hvor n er antall nodier. Andre problemstillinger tilknyttet grafteori er bl.a. : firefarge-, reisende selger (TSP)-, korteste vei-, og Hamiltonvei-problemet. Statistikkmaskin-translasjon (e.g. Google translate)brukes i oversettelse av språk basert på statistikk fra flerspråkelige tekst corpora (ent. corpus). Oversettelsen er basert på statistikk, Shannons informasjonsteori. Man kan bruke flere metoder for oversettelse: gramatikk og ordliste, fraser, 6

7 syntaks. Rekkefølgen på subjekt, verb og objekt varierer også mellom språk. Oversettelse basert på statistikk og ordrekkefølge har også utfordringer bl.a. skille mellom hans og hennes. Claude Edward Shannon publiserte i 1948 en artikkel A mathematical theory of communication, hvor han innførte et mål på informasjon i form av bit. Entropi er et mål på usikkerhet tilknyttet en tilfeldig variabel. Et myntkast, Bernoulli-eksperiment, har entropi 1 bit. Entropiraten er 1 bit per myntkast. Entropi innen informasjonsteori er et mål på uforutsigbarhet. En mynt har maksimal entropi, det er umulig å forutsi sikkert om hva utfallet vil bli, mynt eller kron. Innen termodynamikk er entropi et mål på uorden, introdusert av Ludwig Bolzmann ( ), og Josiah Willard Gibbs ( ). Den tyske fysikeren Rudolph Julius Emmanuel Clausius ( ) brukte ordet entropi (gr. evolusjon) for å indikere tilknytning til energi. Kolmogorov brukte begrepet entropi om dynamiske systemer, Kolmogorov-Sinai entropi, med måleenhet invers tid. KS-entropi angir et mål på hastigheten på tap av forutsigbarhet, og er lik summen av positive Lyapunov-eksponenter (Kaplan-Yorke-konjektur). Et fullstendig tilfeldig system har uendelig KS-entropi og et periodisk system har null entropi. Innen statistisk oversettelse og talegjenkjenning har man den betingete sannsynligheten p(e f), gitt tekststrengen f på et språk som skal oversettes til tekststreng e på et annet språk. I oversettelsen blir det et kompromis mellom søketid og nøyaktighet i oversettelsen. R din nye kalkulator Du finner arbeidsmappen som R bruker, og kan sette inn din egen. Det kan fra File i menylinjen velge en ny arbeidsmappe med Change dir. Ved å skrive dir() får du utskrift over filene som ligger i mappen du har valgt. Hver gang du nå leser inn en datafil vil R lete i arbeidsmappen for å se om filen ligger der, hvis ikke får du en feilmelding. Her leses data inn i R i form av en txt-fil som blir til en dataramme, objektet a, og 7

8 hvor første rad inneholder variabelnavn. R betrakter NA som manglende data. NaN (not a number) og Inf (uendelig) angir manglende numeriske verdier. Det finnes mange spesialmuligheter for innlesing av data i R fra en rekke filformater a<-read.file filnavn.txt,header=t) R bruker punktum (.)og ikke komma (,) i desimaltallene. Hvis du har en fil med komma må du gi R beskjed om dette: a<-read.file filnavn.txt,dec=,,header=t) Noen andre kommandoer getwd() #arbeidsmappe setwd("mappeadresse") #lager ny mappeadresse Er du koblet til internett er det mange søkemuligheter: help(rsitesearch) Du kan lage tallrekker og sekvenser med data 1:10 #ordnet sekvens av heltall 1-10 [1] (1:10) [1] seq(from=1,to=4,by=0.5) #1-4 i trinn 0.5 seq(1,4,0.5) [1] Repeterte sekvenser rep(6,5) #6 repetert 5 ganger [1] rep(1:4,2) #1-4 repetert 2 ganger [1] rep(1:4,each=3) [1] Vi kan finne ut hvilken klasse et objekt tilhører: x<-c(3,6,2,3,8,12,4,9,5,6);x [1] class(x) [1] "numeric" sort(x) #sorter rekkefølge [1] sort(x,decreasing=t) #sorterer minskende T=TRUE [1] m<-c("lav","medium","høy");m [1] "lav" "medium" "høy" class(m) [1] "character" 8

9 Det er logiske operatorer sann (TRUE) (T) eller falsk (FALSE) (F) a<-c(true,false);a [1] TRUE FALSE class(a) [1] "logical" x>5 [1] FALSE TRUE FALSE FALSE TRUE TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE x!=3 #ikke lik [1] FALSE TRUE TRUE FALSE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE a<-1:3;a [1] y<-4:6;y [1] a+y #addisjon [1] a-y #subtraksjon [1] a*y #multiplikasjon [1] a/y #divisjon [1] sqrt(9) #kvadratrot [1] 3 2^4 #potens 2 i 4 fjerde [1] 16 Tall som mangler (ikke tilgjengelig) betegnes NA ( not available ). NA kan fjernes fra et datasett med na.rm() b<-c(1:3,6,8,na);b [1] NA Data kan skrives i matriser med rader og kolonner: X<-matrix(letters[1:6],nrow=2);X [,1] [,2] [,3] [1,] "a" "c" "e" [2,] "b" "d" "f" A<-matrix(month.abb[1:12],ncol=2);A [,1] [,2] [1,] "Jan" "Jul" [2,] "Feb" "Aug" [3,] "Mar" "Sep" [4,] "Apr" "Oct" [5,] "May" "Nov" [6,] "Jun" "Dec" 9

10 Komplekse tall, plottet som grafisk eller geometrisk representasjon med reell akse og imaginær akse. Du kan bruke alle de kjente regneoperasjonene på de komplekse tallene og du kan regne med komplekse funksjoner. z<-2+3*1i #komplekst tall z=3+3i #plotter komplekst tall med tekst og akser plot(z,col=4,pch=16,cex=2,xlim=c(0,2.5),ylim=c(0,3), main="z=a+bi") arrows(0,0,2,3,col=2,lwd=3) text(1,1.7,"r",cex=3,col=3) text(0.5,0.3,expression(theta),col=3,cex=3) abline (h=0,v=0,lty=2) Vi kan finne modulus til et komplekst tall, det vil si avstanden (r) fra origo til koordinatene (a,b) i et komplekst tall z=a+bi, i vårt eksempel (2,3). Argumentet til det komplekse tallet er vinkelen mellom reell akse og vektoren som går fra origo (0,0) til (a,b), regnet mot klokka. Et komplekst tall kan derved skrives i form av polarkoordinater (r,φ). Mod(z) #modulus [1] Arg(z) #argument [1] Matriser, matriseregning og vektorer En kolonnevektor K er en nx1 matrise med bare en kolonne. 10

11 En radvektor R er en 1xn matrise med bare en rad: En mxn matrise A har m rader og n kolonner: En nxn kvadratmatrise B har n rader og n kolonner En nxn diagonalmatrise D har 0 i alle ledd bortsett fra hoveddiagonalen: En diagonalmatrise hvor alle tallene på hoveddiagonalen er lik 1 og resten lik 0 (a ij =1 når i=j og a ij =0 når i j)kalles en identitetsmatrise (enhetsmatrise) av orden n (I n ) En matrise nxn A multiplisert med identitetsmatrisen gir den opprinnelige matrisen: A<-matrix(c(1,1,2,-4,-2,-5,6,1,4),nrow=3);A [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] I3<-diag(1,nrow=3) A%*%I3 [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] Nullmatrisen 0 har alle tall lik 0: 11

12 Matrisen A multiplisert med nullmatrisen gir en nullmatrise. I en transponert (transposert) matrise A T bytter rader og kolonner plass, men hoveddiagonalen blir lik den opprinnelige matrisen A: X<-matrix(1:9,nrow=3);X [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] t(x) #transponert matrise X^T [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] Hvis vi i stedet er en 2x3 matrise så vil den transponerte matrisen bli en 3x2 matrise: X2<-matrix(c(1,4,2,5,3,6),nrow=2);X2 [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] t(x2) #transponert matrise X^T [,1] [,2] [1,] 1 4 [2,] 2 5 [3,] 3 6 Hvis den kvadratiske transponerte nxn matrisen A T er lik den opprinnelige matrisen A har vi en symmetrisk matrise. Vi kan utføre matrisealgebra. A og B er to mxn matriser, og summen av dem A+B=B+A (kommutativ lov) blir lik summen av enkeltelementene. Tilsvarende for matrisesubtraksjon,men da A- B. 12

13 X2<-matrix(c(1,4,2,5,3,6),nrow=2);X2 [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] X3<-matrix(1:6,nrow=2);X3 [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] X2+X3 [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] En matrise kan bli multiplisert med en skalar k ved at alle elementene i matrisen blir multiplisert med k: k<-2 #skalar k*x2 [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] Har vi en nxn kvadratmatrise A kan vi finne determinanten til matrisen deta. For en 2x2 matrise blir determinanten: Det vil si lik produktet av diagonalen øv-nh minus produktet diagonalen øh-nv. For en 3x3 matrise M blir determinanten detm= M : M<-matrix(c(1,2,-2,3,6,0,0,4,2),nrow=3);M 13

14 [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] det(m) #determinanten til matrisen M [1] -24 Vi kan også regne med determinanter. De kan adderes, bli multiplisert med en skalar. Hvis vi har to nxn matriser A og B så vil: En kvadratisk nxn matrise er singulær hvis determinanten til matrisen er lik 0: M2<-matrix(c(2,2,-1,3,6,0,0,4,2),nrow=3);M [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] det(m2) [1] 0 Tilsvarende, for en kvadratmatrise hvor determinanten er forskjellig fra 0, så er matrisen ikke-singulær. For to nxn matriser A og B hvor så er B en invers matrise til A, og A er en invers matrise til B. Det er bare mulig å invertere en matrise hvis determinanten til matrisen er forskjellig fra null. Hvis vi har en inverterbar matrise A: så vil den inverse matrisen A -1 være lik: 1 Hvis den transponerte nxn matrisen A T er lik den inverse matrisen A -1, (A T =A -1 )så kalles matrisen ortogonal. Vi kan løse lineære ligninger analytisk, dvs. vi trenger ikke bruke rekkereduksjon, og Gauss-Jordan eliminasjon:

15 Med matrisealgebra har vi: A<-matrix(c(1,1,2,-4,-2,-5,6,1,4),nrow=3);A [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] det(a) #A er inverterbar deta forskjellig fra null [1] -1 B<-matrix(c(10,5,-3),nrow=3);B [,1] [1,] 10 [2,] 5 [3,] -3 solve(a,b)#løser ligningsystemet [,1] [1,] 124 [2,] 75 [3,] 31 Det vil si: x=124, y=75, z=31 Hvis A er en kvadratisk nxn matrise og determinanten til A er forskjellig fra null så får vi en entydig løsning av Ax=B lik x=a -1 B. Hvis deta=0 og B 0 så har Ax=B ingen eller uendelig mange løsninger. Vi kan organisere tallene i en matrise som kolonner eller rader. Kommandoene matrix(), data.frame() og array() har litt forskjellige muligheter. C<-matrix(1:4,ncol=2);C [,1] [,2] [1,] 1 3 [2,] 2 4 D<-matrix(1:4,nrow=2);D [,1] [,2] [1,] 1 3 [2,] 2 4 Vi kan plukke ut elementer fra en matrise D[,1] [1] 1 2 D[,2] [1] 3 4 D[1,1:2] [1]

16 Identitetsmatrisen I n har 1-tall i diagonalen og 0 for resten I4<-diag(1,nrow=4);I4 [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] En nxn matrise M er invertibel hvis det eksisterer en invers matrise M -1 og matrisemultiplisering (%*%) av disse blir lik identitetsmatrisen: M<-matrix(c(1,1,2,4,6,4,0,1,2),nrow=3);M [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] Minv<-solve(M);Minv [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] M%*%Minv [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] Hvis det finnes en invertibel matrise C slik at sammenhengen med to nxn matriser K og L er slik at: så er matrisene K og L formlike. Det betyr også at matrisene K og L har like egenverdier. For eksempel diagonalmatrisen D til K har egenverdiene langs diagonalen, og K sies å være diagonaliserbar hvis diagonalmatrisen D er formlik med K. Hvis en slik nxn matrise er diagonaliserbar har den n egenvektorer som er lineært uavhengige. Vi kan finne determinanten, egenverdier, egenvektorer og den transposerte matrisen. Hvis vi har en kvadratmatrise M så vil matrisen ganger egenvektorene (ν) være lik egenverdiene (skalarverdier λ ) ganger egenvektorene: 16

17 Egenverdien med størst absoluttverdi kommer først. Egenvektorer og egenverdier benyttes i stabilitetsanalyse av differensialligninger via Jacobi-matrise med partiellderiverte, i prinsipalkomponentanalyse ved multivariabel statisikk, eller i generelle likevektsstudier. I dette eksemplet blir egenverdiene og egenvektorene komplekse tall eigen(m) #egenverdier og egenvektorer $values [1] i i i $vectors [,1] [,2] [,3] [1,] i i i [2,] i i i [3,] i i i Hvis vi har en 2x2 matrise så vil determinanten være. Mer komplisert utregning for større tall av n: det det(m) #determinanten [1] 8 t(m)# transposert matrise, rader og kolonner bytter plass [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] M<-matrix(c(1,1,2,4,6,4,0,1,2),nrow=3);M [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] colsums(m) #kolonnesummer [1] rowsums(m) #radsummer [1] diag(m) #diagonalen [1] sum(diag(m))#sum av diagonal [1] 9 rowmeans(m) #gjennomsnitt rader [1] colmeans(m) #gjennomsnitt kolonner [1]

18 Datarammer, as.data.frame(),data.frame() er en type matriser som kan inneholde forskjellige datatyper, men lister, list(), kan i tillegg inneholde alt mulig rart. Bruker vi oppsummering summary() kommer svaret som en liste. Art<-c(rep(c("Hvete","Hvete","Rug","Rug"),2)) N<-c(rep(c("Lav","Høy"),4)) vekt<-c(210,320,160,205,345,455,180,230) lengde<-c(55,69,82,88,76,79,92,99) G<-as.data.frame(cbind(Art,N,vekt,lengde));G Art N vekt lengde 1 Hvete Lav Hvete Høy Rug Lav Rug Høy Hvete Lav Hvete Høy Rug Lav Rug Høy Man kan plukke ut deler av en matrise med subset G2<-subset(G,N=="Lav");G2 Art N vekt lengde 1 Hvete Lav Rug Lav Hvete Lav Rug Lav G3<-subset(G,N=="Lav"& Art=="Hvete");G3 Art N vekt lengde 1 Hvete Lav Hvete Lav G4<-expand.grid(Art=c("Hvete","Rug"),N=c("Lav","Høy"));G4 Art N 1 Hvete Lav 2 Rug Lav 3 Hvete Høy 4 Rug Høy #liste list(x=x,matrise=m, mnd=a,p=seq(0,1,0.2)) $x [1] $matrise [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] $mnd 18

19 [,1] [,2] [1,] "Jan" "Jul" [2,] "Feb" "Aug" [3,] "Mar" "Sep" [4,] "Apr" "Oct" [5,] "May" "Nov" [6,] "Jun" "Dec" $p [1] Generere faktornivåer med gl-funksjonen: #genererer faktornivåer #2x2x2 tabell jn<-c("j","n") #ja, nei alkohol<-gl(2,4,8,labels=jn) sigarett<-gl(2,2,8,labels=jn) antall<-c(911,538,44,456,3,43,2,279) narkotika<-jn a<-data.frame(alkohol, sigarett,narkotika, antall);a alkohol sigarett narkotika antall 1 J J J J J N J N J 44 4 J N N N J J 3 6 N J N 43 7 N N J 2 8 N N N 279 M<-matrix(c(688,21,650,59),nrow=2, + dimnames=list("faktor"=c("røyking","ikke røyking"),"kreft"=c("ja","nei")));m Kreft Faktor Ja Nei Røyking Ikke røyking expand.grid()kan brukes til å lage alle mulige faktorkombinasjoner, for eksempel kombinasjon av faktorene a, b og c: b<-expand.grid(list(a=seq(0,4,2),b=c(1,2),c=seq(0,1)));b a b c

20 Skal man gjenta prosesser er det flere muligheter: replicate() apply() eller løkker for(i in 1:n){FUN} hvor FUN er funksjonen som du velger å bruke apply() kan brukes på rader (MARGIN=1) eller kolonner (MARGIN=2) i matriser. lapply() utfører apply på hvert element i en liste eller dataramme, og returnerer svaret som en liste. En lignende utgave er sapply(). Her et eksempel med å regne ut gjennomsnitt av 10 normalfordelte tall og gjenta dette 1000 ganger: hist(sapply(1:1000,function(x)mean(rnorm(10))),col="lightgreen ",breaks=20,xlab="",main="") Man kan også gjøre det på denne måten: hist(replicate(1000,mean(rnorm(10))),col="lightblue",breaks=20,xlab="",main="") #Den lille multiplikasjonstabellen x<-1:10;x #objekt med tallene 1-10 names(x)<-x;x #navn på objektene lik 1-10 x%o%x #matrisemultiplisering %o%

21 #Tabell y (kolonne) opphøyd i x-te (y^x) x<-1:10 #objekt med tallene 1-10 names(x)<-paste(x,":",sep="") #navn på objektene x lik 1-10 y<-1:10 names(y)<- paste(y,":",sep="") outer(y, x,fun="^") #matrise med y^x 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 1: : : : : : : : : : Matriser er svært velegnet til å løse ligningssystemer Løsningen av matrisen X vil være solve(a,b). Det er mulig å utføre QR-dekomposisjon, en nyttig teknikk i statistikk ved løsning av ligninger og beregning av regresjonskoeffisienter. Vi kan løse ligningssystemet: Dette er tre linjer i rommet som skjærer hverandre i et punkt Ligningene satt opp i matriseform: A<-matrix(c(1,3,1,1,6,-1,2,-1,-4),nrow=3);A [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] B<-c(1,0,3);B [1] X<-solve(A,B);X #finner x,y,z [1] e e e-17 Vi ser at løsningen er (2,-1,0) Vi kan også løse et ligningssystem med komplekse tall:

22 A<-matrix(c(4-1*1i,2+0*1i,2+0*1i,4-3*1i),nrow=2);A [,1] [,2] [1,] 4-1i 2+0i [2,] 2+0i 4-3i B<-c(3-1*1i,2+1*1i);B [1] 3-1i 2+1i solve(a,b) [1] i i Løsningene (x,y) i kompleksplanet er lik ( i, i) Vektorer og vektorrom En geometrisk vektor er en pil i et todimensjonalt euklidsk vektorrom R 2 (et plan), i et tredimensjonalt euklidsk vektorrom R 3 (et 3D-rom) eller i et n-dimensjonalt euklidsk vektorrom R n. Hvis vektoren utgår fra et origo kalles den en fastvektor. Vektorer i et vektorrom kan også beskrives som algebraiske vektorer som koordinater i et koordinatsystem, for eksempel radvektoren [x,y,z] i R 3. Et punkt er en nullvektor. Vektorer kan summeres, og man kan multiplisere en vektor med en skalar, som igjen gir en ny vektor. Lengden av en vektor i det euklidske tredimensjonale rom,som går fra origo (O) til punktet P med koordinatene (x,y,z), er Denne er lik lengden av hypotenusen av en rettvinklet trekant som fremkommer hvis vektoren projiseres ned i planet, har koordinatene P 0 (x,y,0) og bruker vi Pythagoras blir lengden av vekten i planet Vi kan finne avstanden d mellom to punkter i rommet A[x 1,y 1,z 1 ] og B[x 2,y 2,z 2 ]: Hvis vi har to vektorer a og b med samme utgangspunkt så blir skalarproduktet, lengden av vektorene multiplisert med hverandre og multiplisert med cosinus til vinkelen mellom dem. skalarproduktet blir lik et tall:, 22

23 Hvis vektorene står ortogonalt (vinkelrett på hverandre) blir cosinus til vinkelen lik 0, og skalarproduktet blir lik null. For to ortogonale vektorer a og b som ikke er nullvektorer blir skalarproduktet lik null: 0 skalarproduktet kan også skrives som koordinater:,,,, Regning med skalarprodukter følger vanlige regneregler: 2 2 Hvis vi har to kolonnevektorer x og y i R 3 : så vil skalarproduktet x y bli lik: Generelt hvis vi har to vektorer x og y i et n-dimensjonalt vektorrom R n så vil skalarproduktet bli: 23

24 Den tilsvarende absoluttverdien x, eller normen som den også kalles, blir: Hvis absoluttverdien x =1 så har vi en enhetsvektor. To vektorer som står vinkelrett på hverandre er ortogonale. To vektorer x og y i R n er ortogonale hvis x y=0. Assosiativ og kommutativ lov gjelder for summering av vektorer. Summen av to n-dimensjonale vektorer blir en ny n-dimensjonal vektor. Hvis en skalar multipliseres med en n-dimensjonal vektor så blir svaret en n-dimensjonal vektor. Hvis vi har k vektorer v 1, v 2,,v k og skalarene (tall) c 1, c 2,,c k, hvor ikke alle er lik null, så vil vektoren y være en lineær kombinasjon av disse hvis følgende gjelder: Hvis vi har en mengde lineært avhengige vektorer v 1, v 2,,v k i R n så kan dette også uttrykkes som en vektorligning, hvor vi erstatter c med x: 0 som har flere løsninger enn den trivielle hvor x 1 =x 2 = =x n =0. Hvis derimot den eneste løsningen av vektorligningen er de trivielle løsningene lik 0 så er vektorene v 1, v 2,,v k lineært uavhengige. Hvis vi har en vektor y, og vektorene v 1, v 2 og v 3 kan vi undersøke om disse er lineært avhengige hvis vi finner skalarverdiene c 1 og c 2 : som tilfredsstiller ligningen: Det betyr å finne c 1, c 2 og c 3 som tilfredsstiller:

25 C<-matrix(c(1,3,2,2,3,2,4,2,1),nrow=3);C [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] det(c)#determinanten [1] 1 B<-matrix(c(3,2,3),nrow=3);B [,1] [1,] 3 [2,] 2 [3,] 3 solve(c,b) [,1] [1,] -15 [2,] 19 [3,] -5 Ja, v 1, v 2 og v 3 er lineært avhengige, c 1 =-15, c 2 =19,c 3 =-5. Hvis derimot y=0: B2<-matrix(c(0,0,0),nrow=3);B2 [,1] [1,] 0 [2,] 0 [3,] 0 solve(c,b2) [,1] [1,] 0 [2,] 0 [3,] 0 så ser vi at løsningen bare er de trivielle, det vil si v 1, v 2 og v 3 er lineært uavhengige. Alle vektorer x i det tredimensjonale vektorrommet R 3 kan skrives i form av tre lineært uavhengige enhetsvektorer som basis, en standardbasis: Vektorene u 1, u 2,,u k fra et undermengde av M vil danne en basis for M hvis alle vektorene x i M kan skrives som: 25

26 Hvis man tar to basiser S={s 1,s 2,,s n } og T={t 1,t 2, t n } for R n, så kan vektorene i basis S skrives i form av vektorene med basis T hvor koeffisientene a nn danner en transformasjonsmatrise. hvor transformasjonsmatrisen er: Man kan ha lineære transformasjoner fra et vektorrom til et annet, for eksempel fra R 3 til R 2, ved hjelp av en transformasjonsmatrise. For eksempel rotasjon av 2-D koordinatsystem rundt origo, så vil punktet P (a,b) får nye koordinater (x,y) i det nye koordinatsystemet, hvor (a,b) dreies vinkelen θ mot klokka. Se på en figur og finn at : eller: hvor transformasjonsmatrisen er: Eller omvendt: Egenverdier og egenvektorer Vi har en matrise M med egenvektor ν og egenverdi λ: 26

27 0 0 hvor I 2 er enhetsmatrisen, og Iν=ν Vi setter Vi skal finne egenvektoren med de ukjente α og β: Dette tilsvarer ligningene i følgende homogene ligningssystem, hvor α og β er ukjente: 0 0 Vi ønsker ikke-trivielle løsninger og derfor må følgende determinant være lik null. 0 Fra den karakteristiske ligningen bestemmes egenverdiene λ og deretter kan egenvektorene bestemmes. Følgende matrise har egenverdiene λ 1 =5 og λ 2 =2: M<-matrix(c(4,2,1,3),nrow=2);M [,1] [,2] [1,] 4 1 [2,] 2 3 eigen(m) #egenverdier og egenvektorer $values [1] 5 2 $vectors [,1] [,2] [1,] [2,] Egenverdiene kan også være komplekse tall. Hvis vi har en nxn matrise M hvor alle verdiene er positive og summen av verdiene i alle kolonnene er lik 1 så har vi en transformasjonsmatrise til en Markov-kjede. 27

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6 Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...

Detaljer

Galton-brett og sentralgrenseteorem

Galton-brett og sentralgrenseteorem Halvor Aarnes, IBV, 2014 Galton-brett og sentralgrenseteorem På et Galton-brett (Sir Francis Galton) beveger kuler for eksempel erter eller klinkekuler seg som følge av tyngdekraften på et skråstilt brett

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

Myntkast og binomialfordelingen

Myntkast og binomialfordelingen Myntkast og binomialfordelingen Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Myntkast... 1 Fakultetsfunksjonen og binomialkoeffisienter... 6 Bernoullifordeling... 8 Binomialfordelingen og Bernoulli-eksperimenter...

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

Matriser og matriseregning

Matriser og matriseregning og matriseregning Halvor Aarnes, UiO, 2014 Matriser Innhold Matriser... 1 Determinant... 6 Ligningsystemer... 8 Matriseaddisjon og matrisesubtraksjon... 11 Matrisemultiplisering... 11 Egenverdier og egenvektorer...

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver

Oppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler STK1000 Uke 36, 2016. Studentene forventes å lese Ch 1.4 (+ 3.1-3.3 + 3.5) i læreboka (MMC). Tetthetskurver Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler Fra histogram til tetthetskurver Anta at vi har kontinuerlige

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable

Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

Øving 2 Matrisealgebra

Øving 2 Matrisealgebra Øving Matrisealgebra Gå til menyen Edit Preferences... og sett Format type of new output cells til TraditionalForm hvis det ikke allerede er gjort. Start med to eksempelmatriser med samme dimensjon: In[]:=

Detaljer

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009:

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Beregning av sannsynlighet i en binomisk forsøksrekke generelt Sannsynligheten for at suksess intreffer X

Detaljer

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser

Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes

Detaljer

Beskrivende statistikk.

Beskrivende statistikk. Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut

Detaljer

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene.

Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. Pensum i lineæralgebra inneholder disse punktene. 1) Løsning av lineære ligningssystem. Finne løsning hvis den fins og også avgjøre om løsning ikke fins. Entydig, flertydig løsning. 2) Overføre en matrise

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk.

Sannsynlighetsregning og Statistikk. Sannsynlighetsregning og Statistikk. Leksjon Velkommen til dette kurset i sannsynlighetsregning og statistikk! Vi vil som lærebok benytte Gunnar G. Løvås:Statistikk for universiteter og høyskoler. I den

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data ved tall Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter

ÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter ÅRSPLAN Skoleåret: 2015/16 Trinn: 5 Fag: Matematikk Utarbeidet av: Trine og Ulf Mnd. Kompetansemål Læringsmål (delmål) kriterier for måloppnåelse Aug Sep Okt Nov Beskrive og bruke plassverdisystemet for

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Statistikk 1. Nico Keilman. ECON 2130 Vår 2014

Statistikk 1. Nico Keilman. ECON 2130 Vår 2014 Statistikk 1 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Pensum Kap 1-7.3.6 fra Løvås «Statistikk for universiteter og høgskoler» 3. utgave 2013 (eventuelt 2. utgave) Se overspringelsesliste på emnesiden Supplerende

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning

Detaljer

MA155 Statistikk TI-nspire cx Kalkulator Guide

MA155 Statistikk TI-nspire cx Kalkulator Guide MA155 Statistikk TI-nspire cx Kalkulator Guide Magnus T. Ekløff, Kristoffer S. Tronstad, Henrik G. Fauske, Omer A. Zec Våren 2016 1 Innhold 1 Basics... 4 2 1.1 Dokumenter... 4 1.1.1 Regneark... 4 1.1.2

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Kapittel 3: Studieopplegg

Kapittel 3: Studieopplegg Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere

Detaljer

Høgskolen i Gjøviks notatserie, 2001 nr 5

Høgskolen i Gjøviks notatserie, 2001 nr 5 Høgskolen i Gjøviks notatserie, 2001 nr 5 5 Java-applet s for faget Statistikk Tor Slind Avdeling for Teknologi Gjøvik 2001 ISSN 1501-3162 Sammendrag Dette notatet beskriver 5 JAVA-applets som demonstrerer

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Introduksjon til statistikk og dataanalyse. Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013

Introduksjon til statistikk og dataanalyse. Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013 Introduksjon til statistikk og dataanalyse Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013 Introduksjon til statistikk og dataanalyse Hollywood-filmer fra 2011 135 filmer Samla budsjett: $ 7 166

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Lineære likningssett.

Lineære likningssett. Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,

Detaljer

Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling

Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling Kapittel 8 Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Til nå... Definert sannsynlighet og stokastiske variabler (kap. 2 & 3).

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

Øving 1 TMA4240 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab

Øving 1 TMA4240 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab Øving 1 TMA4240 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab For grunnleggende introduksjon til Matlab, se kursets hjemmeside https://wiki.math.ntnu.no/tma4240/2015h/matlab. I denne øvingen skal vi analysere to

Detaljer

Pilkast og kjikvadrat fordelingen

Pilkast og kjikvadrat fordelingen Pilkast og kjikvadrat fordelingen Halvor Aarnes, IBV, 014 Innhold Pilkast... 1 Simulering av pilkast... Kjikvadratfordelingen og gammafordelingen... 3 Rayleigh-fordelingen... 5 Pilkast brukt til å estimere

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

statistikk, våren 2011

statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER

EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

Lineære likningssystemer

Lineære likningssystemer Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så

Detaljer

En innføring i MATLAB for STK1100

En innføring i MATLAB for STK1100 En innføring i MATLAB for STK1100 Matematisk institutt Universitetet i Oslo Februar 2017 1 Innledning Formålet med dette notatet er å gi en introduksjon til bruk av MATLAB. Notatet er først og fremst beregnet

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

Eksempel på data: Karakterer i «Stat class» Introduksjon

Eksempel på data: Karakterer i «Stat class» Introduksjon Eksempel på data: Karakterer i «Stat class» Introduksjon Viktige begreper for å beskrive data: Enheter som er objektene i datasettet «label» som av og til brukes for å skille enhetene En variabel er en

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål

Detaljer

Øving 3 Determinanter

Øving 3 Determinanter Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er

Detaljer

Øving 1 TMA4245 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab

Øving 1 TMA4245 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab Øving 1 TMA4245 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab For grunnleggende bruk av Matlab vises til slides fra basisintroduksjon til Matlab som finnes på kursets hjemmeside. I denne øvingen skal vi analysere

Detaljer

Norsk informatikkolympiade runde. Sponset av. Uke 46, 2016

Norsk informatikkolympiade runde. Sponset av. Uke 46, 2016 Norsk informatikkolympiade 2016 2017 1. runde Sponset av Uke 46, 2016 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.

Detaljer

Norsk informatikkolympiade runde

Norsk informatikkolympiade runde Norsk informatikkolympiade 2016 2017 1. runde Sponset av Uke 46, 2016 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Fra første forelesning:

Fra første forelesning: 2 Fra første forelesning: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag opulasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 30. november 1992. Tid for eksamen: 09.00 15.00.

Detaljer

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Denne uken: Kapittel 4.3 og 4.4

Denne uken: Kapittel 4.3 og 4.4 Sist: Kapittel 4.1, 4.2, 4.5 Tilfeldighet Sannsynlighetsmodeller Regler for sannsynlighet Denne uken: Kapittel 4.3 og 4.4 Tilfeldige variable Forventning og varians til tilfeldige variable Litt repetisjon:

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen

MAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av

Detaljer

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen

Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012) 1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel

Detaljer

Norsk informatikkolympiade runde

Norsk informatikkolympiade runde Norsk informatikkolympiade 2015 2016 1. runde Sponset av Uke 46, 2015 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.

Detaljer

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009

Matriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009 Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Torsdag 9. oktober 2008. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet er på

Detaljer