Tratarea numerică a semnalelor

Transkript

1 LUCRAREA 3 Tratarea umerică a semalelor Aaliza semalelor î domeiul frecveţă Istrumetele pricipale care fac trecerea reprezetării uui semal di domeiul timp î domeiul frecveţă şi ivers sut Trasformatele Fourier directă şi iversă. Trasformata Fourier Cotiuă (TFC) Fie u semal aalogic defiit pe suport ifiit, reprezetat î domeiul timp pri fucţia. I domeiul frecveţă, va fi reprezetată de fucţia H(f). Legătura ditre şi H(f) este dată de următorul set de relaţii: TFC directă : TFC iversă: H ( f ) TF( ) jπft e dt (3.1) 1 jπft TF ( H ( f )) H ( f ) e df H(f) defieşte spectrul de frecveţă al semalului. H(f) este o fucţie complexă. I cazul cel mai geeral, dacă este o fucţie cotiuă oarecare pe suport ifiit, H(f) este tot o fucţie cotiuă pe suport ifiit. I particular, dacă este o fucţie periodică de perioadă T, adică: t + T) atuci TFC a fucţiei ia forma particulară a descompuerii î serie Fourier. I acest caz, H(f) este o fucţie discretă, iar se scrie ca o sumă ifiită de umere complexe, după relaţia: jπft (3.) (3.3) α e (3.4) ude α sut coeficieţii complecşi ai seriei Fourier, care se calculează cu relaţia: 1 T j ft e π T α dt (3.5) Trasformata Fourier Discretă (TFD) TFD se obţie di TFC pri discretizarea fucţiilor şi H(f) î domeiile timp, respectiv frecveţă. Fie semalul oarecare, defiit pe itervalul de timp T. Pri discretizarea semalului cu perioada de eşatioare T, se obţie secveţa ) de lugime, ude: T T (3.6)

2 sut: Algoritmii de calcul ai celor două perechi de trasformate, TFD directă şi TFD iversă TFD directă : H ( ) TFD( )) 1 ) e jπ (3.7) TFD iversă: ) TFD ( H ( )) H jπ ( ) e Secveţele ) şi H() sut secveţe de umere complexe, ambele de dimesiue. (3.8) Observaţie: I urma calculului spectrului de amplitudie cu relaţia (3.7), valorile compoetelor spectrale rezultă îmulţite cu costata /. ) eşatioae H() eşatioae ( (f) ΔtT f + Δf f _ TT Δf Reprezetarea semalului î domeiul timp Reprezetarea î domeiul frecveţă Figura 1 După cum se observă di deseul de mai sus, secveţa H(), care reprezită spectrul de amplitudie al semalului, este simetrică, adică: H ( ) H ( 1); H (1) H ( );... H ( ) H ( 1) Primele / eşatioae reprezită domeiul frecveţelor pozitive sau reale (domeiul f + ), iar ultimele / eşatioae reprezită domeiul frecveţelor egative (domeiul f - ), care u au corespodeţă î realitate. I ceea ce priveşte spectrul de fază, arg(h()), acesta rezultă atisimetric faţă de mijlocul secveţei, adică: arg( H ( )) arg( H ( 1) Rezoluţia î timp (Δ este itervalul de timp ditre două eşatioae cosecutive ale reprezetării semalului î domeiul timp. Rezoluţia î timp coicide cu perioada de eşatioare. Δ t Rezoluţia î frecveţă (Δf) este itervalul de frecveţe ditre două eşatioae cosecutive ale reprezetării semalului î domeiul frecveţă. Dacă T este lugimea ferestrei de eşatioare, atuci: T (3.9)

3 Spectrul de putere al secveţei ) este dat de secveţa: 1 1 f Δ f (3.1) T T H *( ) H ( ) H ( ) SP ( ) (3.11) ude H() TFD()), iar H*() este cojugata complexă a lui H(). Aplicaţia 1 a) Să se costruiască secveţa ) obţiută di eşatioarea semalului cotiuu: cos (π5 cu frecveţa f 1 Hz, pe iterval de o perioadă. b) Să se calculeze S() TFD()) cu ajutorul programului Lab. Să se determie Re(S()) şi Im(S()) şi să se vizualizeze grafic cele două secveţe. c) Să se calculeze rezoluţia î frecveţă, Δf, petru Re(S()). Se observă poziţia fudametalei î secveţă şi replica ei î domeiul frecveţelor egative. d) Să se determie coordoatele polare ale lui S() (amplitudiea, S() şi faza, θ(s())) şi să se reprezite grafic. e) Să se aplice TFD -1 lui S(). Se cofrută cu semalul iiţial, ). f) Să se costruiască o ouă secveţă, s 1 (), formată di perioade di acelaşi semal,. g) Să se reprezite grafic S 1 () şi să se calculeze Δf î acest caz. Se observă î spectru poziţia fudametalei şi se calculează frecveţa acesteia relativ la rezoluţie. h) Să se costruiască secveţa s () corespuzătoare eşatioării semalului: s ( si (π5 cu frecveţa f 1 Hz, pe iterval de o perioadă. i) Să se determie Re(S ()) şi Im(S ()). Se discută legătura ditre paritatea secveţelor ) şi s () şi trasformatele lor Fourier. Trasformata Fourier Rapidă (TFR) TFR este u algoritm de calcul rapid al TFD, aplicabil petru cazul î care umărul de eşatioae al secveţei este o putere a lui, adică: (3.11) I acest caz particular, umărul de calcule ecesar obţierii TFD se reduce de faţă de cazul î care u este îdepliită codiţia (3.11). log 3

4 Aplicaţia a) Să se costruiască semalul siusoidal ) cu următorii parametri: , f,1, A1. Se determiă timpul de calcul al TFD utilizâd Lab. b) Să se costruiască semalul de mai sus cu aceiaşi parametri, dar cu Se determiă di ou timpul de calcul al TFD. c) Explicaţi difereţa ditre cele două rezultate. Aplicaţia 3 Apariţia şi observarea î spectru a erorii de alias a) Să se costruiască semalul siusoidal ) de frecveţă f Hz, eşatioat cu f Hz, pe o perioadă ( 1). b) Să se calculeze şi să se reprezite grafic TFD( )). Se calculează rezoluţia î frecveţă Δf şi se determiă frecveţa corespuzătoare fudametalei di reprezetarea spectrală ( Hz). c) Să se costruiască acelaşi semal, dar eşatioat cu f 5 Hz, petru aceeaşi lugime a ferestrei, 1. Aceasta îseamă că avem pe o perioadă ep f /f 1,5 eşatioae/perioadă. Deoarece 1,5 <, îseamă că u este îdepliită teorema lui Shao. Se calculează rezoluţia î frecveţă î acest caz (Δf 5 Hz). d) Să se calculeze şi să se reprezite grafic TFD()). Se observă î spectru poziţia fudametalei, care acum corespude frecveţei de x 5 5 Hz şi u de Hz, cât este frecveţa reală a semalului. Se calculează frecveţa alias corespuzătoare cu relaţia (3) de la Lucrarea 1 şi se cofrută rezultatele. Eroarea de leaage. Utilizarea ferestrelor de poderare Petru aaliza uui semal emărgiit î timp este ecesară truchierea lui, adică prelevarea di acesta a uei porţiui pe u iterval de timp T, deumit fereastră de eşatioare. Eşatioarea î domeiul timp a semalului, realizată pri îmulţirea acestuia cu o fuc ţie pieptee, implică periodizarea spectrului acestuia î domeiul frecveţă. Aalog, faptul că spectrul este o fucţie discretă î domeiul frecveţă presupue periodizare şi î domeiul timp, adică semalul, pe tot domeiul său de defiiţie, este costituit di succesiuea porţiuilor de semal prelevate petru aaliză (figura ). Dacă semalul este periodic de perioadă T s, este ecesar ca fereastra de eşatioare să aibă lugimea egală cu o perioadă sau u multiplu îtreg de perioade a semalului, adică: T mts m Z (3.1) Altfel, la recostituirea semalului di spectrul său pri aplicarea TFD -1 vor apărea î domeiul timp salturi, iexistete î semalul iiţial, care î domeiul frecveţă se traduc pri împrăştierea sau scurgerea puterii compoetelor spectrale existete spre compoete spectrale de frecveţe superioare, care alterează spectrul iiţial al semalului. Se produce astfel eroarea de leaage, care trebuie dimiuată cât de mult posibil sau elimiată. 4

5 ) H() h () T T S Corect TFD TFD -1 ) H() h () T 1,5T S Leaage Figura O posibilitate de dimiuare a acestor tipuri de erori date de modul de truchiere a semalului este utilizarea ferestrelor de poderare (FP) (î egleză smoothig widows ferestre de etezire). FP sut fucţii de timp cu care se îmulţeşte secveţa iiţială atuci câd u este posibilă eşatioarea astfel îcât să fie îdepliită relaţia (3.1). Rolul FP este de ateuare a salturilor laterale date de truchiere aşa îcât trecerea de la o perioadă la alta î domeiul timp să se facă cât mai eted. I acest fel se ateuează iflueţa frecveţelor superioare î spectru, reducâduse poderea lor faţă de frecveţele reale. Aplicaţia 4 Studiul ferestrelor de poderare a) Să se geereze utilizâd programul Lab următoarele ferestre (4), salvâdu-se î semale diferite: dreptughiulară, Hammig, Haig, triughiulară, Blacma, flat-top, Kaiser-Bessel (cu beta,;,8; 1,5; 4) şi expoeţială. Se observă particularităţile fiecăreia. b) Se vizualizează cocomitet: Hammig cu Haig, Haig cu Blacma, Hammig cu Kaiser-Bessel cu beta4 şi se observă difereţele ditre ele. 5

6 Aplicaţia 5 Reducerea erorilor de leaage a) Să se costruiască secveţa ) proveită ditr-u semal siusoidal de amplitudie A, eşatioat cu f,5, pe parcursul uei perioade ( ). b) Se reprezită S() şi se observă poziţioarea corectă a compoetelor î spectru. c) Să se costruiască aceeaşi secveţă de mai sus, dar pe parcursul a 1,5 perioade (5). d) Se reprezită S() şi se observă eroarea de leaage. e) Să se costruiască o fereastă Haig cu acelaşi umăr de eşatioae ca al semalului ) (5). Se îmulţeşte fereastra cu ), obţiâdu-se semalul poderat s 1 () )w(). Se observă reprezetarea î timp a lui s 1 (). f) Să se costruiască spectrul de amplitudie, S 1 (), al oului semal (semalul poderat cu fereastra Haig). Se vizualizează î comparaţie cu S(). Se fac observaţii privitoare la iflueţa ferestrei asupra erorii de leaage. g) Se aplică î mod asemăător o fereastră Hammig. Se compară cu rezultatul de la puctul f. h) Se aplică şi alte ferestre (de ex. triughiulară, Blacma, Flat-top). Se compară rezultatele. i) Se trag cocluzii privitoare la acţiuea diferitelor ferestre asupra spectrului afectat de eroare de leaage. Aplicaţia 6 Semale deformate Semalele deformate sut semale periodice a căror formă se abate de la forma siusoidală. Ele coţi evetual o compoetă cotiuă, ce reprezită valoarea medie a semalului, fudametala, compoeta armoică de frecveţă egală cu frecveţa semalului şi u umăr fiit sau ifiit de armoici, ale căror frecveţe sut multipli îtregi ai fudametalei. Fiecare armoică este caracterizată de modul şi fază. Semalele deformate se costruiesc î Lab di meiul Costruire semale Porid de la fuctia aalitica Deformat. a) Să se costruiască u semal deformat format di fudametală şi 3 armoici, avâd următoarele amplitudii: A11; A,; A3 şi A4,5. Frecveţa ormalizată a fudametalei este f 1,1 şi 1 eşatioae. Care este valoarea maximă a lui f 1 petru care este îdepliită teorema lui Shao petru 1 toate armoicile semalului? ( f ude este ragul armoicii celei mai mari di max semal diferite de zero). b) Să se costruiască spectrul de amplitudie al semalului. Se observă poziţioarea corectă î spectru a celor 4 compoete spectrale. c) Să se costruiască acelaşi semal, dar cu f1, (u se mai îdeplieşte teorema lui Shao petru armoica a 4-a). d) Se realizează spectrul şi se observă lipsa armoicii a 4-a di spectru. 6

7 Aplicaţia 7 Calculul coeficieţilor Fourier U semal periodic se poate descompue î serie Fourier după relaţia: A + A cos 1 1 πft + B si π ft ude A este compoeta cotiuă a semalului, iar A şi B sut amplitudiile armoicilor (coeficieţii Fourier). Aceste compoete se calculează cu relaţiile: T a dt T T a cosπ ft dt T T b si πft dt T Dacă este fucţie pară, atuci b. Dacă este fucţie impară, atuci a. Se cosideră semalul periodic di figura de mai jos. A T/ T 3/T T a) Să se calculeze coeficieţii Fourier petru acest semal (R: a A; a ; b A/π pt. impar, b pt. par). b) Să se costruiască secveţa ) obţiută di semalul pri eşatioare cu f 16 Hz pe parcursul uei perioade, ştiid că f 4 Hz şi A 1. c) Să se costruiască spectrul de amplitudie al semalului utilizâd TFD şi să se verifice valorile coeficieţilor Fourier găsiţi, care trebuie să fie aceiaşi cu amplitudiile di spectrul semalului. d) Să se determie spectrul de putere al semalului ) şi să se compare cu spectrul obţiut pri TFD. Aplicaţia 8 Să se arate că trasformata Fourier a uei secveţe impuls Dirac este o secveţă costată şi, ivers, trasformata Fourier a uei secveţe costate este o secveţă impuls Dirac. t 7