DOI MATEMATICIENI ÎN TOP 100 -GENII

Transkript

1 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 Motto: Nu sper ând vezi mişeii L izândă făând punte, Te-or întree nătărăii, De i fi u ste în frunte versuri din poezi GLOSSA, de Mihi Eminesu DOI MATEMATICIENI ÎN TOP 100 -GENII NECULAI STANCIU 1 Compni internţionlă Cretors Synetis lătuit în otomrie 007, topul elor 100 de genii în viţă din domeniul ştiinţei, politiii, rtei şi din mediul de feri. Primul lo fost împărţit de inventtorul Internetului, Sir Tim Berners-Lee şi himistul elveţin, Alert Hofmnn - desoperitorul proprietăţilor hluinogene le LSD. Pe ultimul lo figureză numele regizorului merin Quentin Trntino. În totl, pe listă sunt 4 de ritnii şi 43 de merini. Dor 15 dintre ele 100 de genii sunt femei. Cele 100 d e genii u fost lese în funţie de 5 ftori - rolul jut în shimre sistemului de viziune supr lumii, reunoştere puliă, forţ inteletului, suesele şi importnţ ulturlă. În est top sunt şi doi mtemtiieni Grigory Perelmn (Rusi) şi Andrew Wiles (Mre Britnie). Meritele elor doi sunt demonstrre două onjeturi elere. Termenul de onjetură fost introdus de Dvid Hilert, în formulre elor 3 de proleme supuse 1 Prof., Şol George Emil Plde, Buzău (n.3 inurie 186, Königserg, în Prusi, (um Kliningrd, Rusi) d.14 ferurie 1943) fost un mtemtiin germn. Prin profunzime ideilor şi modului de exprimre, Bzele geometriei lui Hilert devenit rte de temelie mtemtiilor moderne şi metod xiomtizării în sensul Hilert fost generliztă pentru tote rmurile noi le mtemtiii. Totuşi, pentru uşurre înţelegerii geometriei fine şi eulidiene, stăzi se doptă o onstruţie geomet riei u jutorul unei xiomtizări zte pe lger liniră. Aest fpt este în onordnţă u shimările determinte de noul urriulum, de noul sistem de evlure şi de noile mnule.

2 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 spre rezolvre omunităţii internţionle mtemtiienilor l l II-le Congres internţionl l mtemtiienilor din 1900 de l Pris. În mod oişnuit, prin onjetură se înţelege orie expliţie presupusă unui fenomen (eveniment) onstituită fără ertitudine şi în fr oriărei dovezi (proe) pleând de l prenţe su presupuneri. În ord u Hilert (utorul termenului de onjetură) se înţelege prin onjetură e prolemă deshisă re pote furniz rhitetur unei teorii în mtemtiă (su o direţie nouă) su vnsre unui nou domeniu. Pierre de Fermt 3 vs. Sir Andrew John Wiles 4 (n.17 ugust 1601, Montun, Frnţ - d.1 inurie 1665, Cstres, Frnţ) (n. 11 prilie 1953, Cmridge, Englnd Residene United Kingdom) 3 A fost un mtemtiin frnez, preursor l lulului diferenţil, geometriei nlitie şi lulului proilităţilor. Lui îi este triuit într -o măsură mi miă lulul modern, în speil, pentru mun s referitore l tngente şi punt stţionr. El este onsidert âteodtă "părinte" l lulului diferenţil şi l teoriei numerelor. A vut ontriuţii şi în geometri nlitiă şi proilitte.s- năsut în orşul Beumont-de-Lomgne.Ttăl lui er un ogt negustor de piei.su presiune fmiliei,fermt s - îndreptt spre o rieră în dministrţi ivilă.în 1631 fost numit onsilier l Deprtmentul de Soliitări din Toulouse.În 165 fost fett de o formă iumei,re ântui Europ elor ni.a întreţinut o vstă orespondenţă u Digy,Wllis,Mersenne. 4 Professor de mtemtiă l Prineton University(USA), oţinut premii notile :Fermt Prize (1995),Wolf Prize (1995/6),Royl Medl (1996),IMU Silver Plque (1998),Shw Prize (005)

3 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 Pierre Fermt (părintele teoriei numerelor) produs 48 onjeturi (trei s -u dovedit flse) re u reprezentt proleme de eretre pentru mulţi mtemtiieni ( Guss 5, Cuhy 6, Riemnn 7, et). Ultim onjetură lui Fermt (unosută Mre n n n teoremă lui Fermt) fost ă euţi x y z pentru n 3 nu re soluţii în Z \{0}. Mre teoremă lui Fermt fost enunţtă de Pierre de Fermt în nul 1637, ir demonstrţi ompletă fost găsită de -i 357 de ni mi tîrziu, în 1994 de ătre mtemtiinul englez Andrew Wiles. Pentru n=, enunţul nu este devărt. Există triplete de numere nturle (x,y,z) u re se pot form lturile unui triunghi dreptunghi; de ii, onform teoremei lui Pitgor, vem x + y = z. De exemplu (3,4,5) su (5,1,13). Există hir o infinitte de stfel de triplete, form lor generlă fiind x=uv,y=u -v, z=u +v, unde u şi v sunt numere nturle orere. Pentru n>, dor zul n=4 dmite o demonstrţie elementră, shiţtă de Fermt însuşi. Chir şi pentru zul n=3 demonstrţi depăşeşte nivelul mnulelor de lieu; primul re s- oupt de zul n=3 fost mtemtiinul Leonhrd Euler 8 în În 185, frnezii Johnn Peter Gustv Lejeune Dirihlet 9 şi Adrien-Mrie Legendre 10 trnşeză zul n=5, demonstrţi vând punt de plere o idee m i vehe lui Mrie-Sophie Germin Crl Friedrih Guß, ltinizt Crolo Friderio Guss, (n.30 prilie 1777, Brunshweig - d. 3 ferurie 1855, Göttingen) fost un mtemtiin, fiziin şi stronom germn eleru 6 Augustin Louis Cuhy (n. 1 ugust d. 3 mi 1857) fost unul dintre ei mi importnţi mtemtiieni frnezi. A demrt un proiet importnt de reformulre şi demonstrre rigurosă teoremelor de lgeră, fost unul dintre pionierii nlizei mtemtie şi dus o serie de ontriuţii şi în domeniul fiziii. Dtorită perspiităţii şi rigurozităţii metodelor sle, Cuhy vut o influenţă extrordinră supr ontempornilor şi prede esorilor săi. Ctoli şi roilist fervent, mnifestă o prezenţă soilă tivă 7 Georg Friedrih Bernhrd Riemnn (n. 17 septemrie 186 d.0 iulie 1866) fost un mtemtiin germn u importnte ontriuţii în nliz mtemtiă şi geometri diferenţilă, unele dintre ele deshizând drumul ulterior spre teori reltivităţii generlizte. 8 (n. 15 prilie 1707, Bsel, Elveţi - d. 18 septemrie 1783, Snkt Petersurg, Rusi) fost un mtemtiin şi fiziin elveţin. Leonhrd Euler este onsidert fi fost forţ dominntă mtemtiii seolului l 18-le şi unul dintre ei mi remrili mtemtiieni şi svnţi multilterli i omenirii. Alături de influenţ onsiderilă pe re exeritt--o supr mtemtiii şi mtemtizării ştiinţelor stu tât litte şi profunzime, ât şi prolifiitte extrordinră srierilor sle, oper s exhusivă (dă r fi pulită vreodtă) putând u uşurinţă umple de volume de dimensiuni stndrd. 9 (n. 13 ferurie d. 5 mi 1859) fost mtemtiin germn, eleru prin ontriuţiile vlorose în nliz mtemtiă şi teori numerelor. 10 (n. 18 septemrie d. 10 inurie 1833) fost mtemtiin frnez, unosut pentru ontriuţiile sle în domeniile: sttistiă, teori numerelor, lgeră strtă şi nliză mtemtiă.

4 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 După âţiv ni, este finliztă demonstrţi pentru n=7,de ătre frnezul Père de Griel Léon Jen Bptiste Lmé 1. L mijloul seolului XIX, Ademi Frneză instituie un premiu de 3000 frni (o sumă enormă tuni ) pentru o demonstrţie ompletă teoremei. Demonstrţii pentru numere prime mi mii 100 u fost dte proximtiv în eeşi periodă,de ătre mtemtiinul germn Ernst Edurd Kummer 13. În 1908, mgntul germn Pul Wolfskehl loă uriş sumă de de mări elui e v demonstr teorem ('ofert' fiind vlilă până în 007). După priţi lultorelor eletronie,u fost ordte zuri prtiulre pentru vlori tot mi mri le lui n;prin nii 1980,eru eluidte tote zurile în re n< În ultimii ni de dininte găsirii demonstrţiei omplete pentru orie n>, mtemtiienii eru onvinşi ă pri n metode elementre nu se mi pote due nimi nou. În nul 1983, mtemtiinul germn Gerd Fltings 14 demonstrt ă există el mult o mulţime finită de ontr -exemple l mre teoremă lui Fermt. În septemrie 1994, mtemtiinul englez Andrew Wiles dt demonstrţi ompletă teoremei, după e, în 1993, propusese o ltă demonstrţie, re se dovedise fi greşită. 11 (n. 1prilie 1776 d. 7 iunie 1831) fost o mtemtiină frneză u ontriuţii importnte în geometri diferenţilă şi teori numerelor. 1 (n. iulie 1795 d.1 mi 1870) fost un mtemtiin frnez 13 (n.9 inurie 1810 d.14 mi 1893) fost un mtemtiin germn. 14 Gerd Fltings-(n. 8iulie 1954 în Gelsenkirhen-Buer, Germni) este un mtemtiin germn

5 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 Jules Henri Poinré 15 vs. Grigori Perelmn 16 (n.9 April 1854 d.17 July 191) ( n.13 iunie 1966, Snkt Petersurg, Rusi) În nul 000, Institutul mtemti Cly (USA) lnst în drul unei Conferinţe niversre entenrului ongresului internţionl l mtemtiieni lor din 1900, un număr de 7 proleme (numite prolemele mileniului trei 17 ) spre rezolvre: fiere prolemă este ottă u un premiu de de dolri.printre este şpte proleme se flă şi Conjetur Poinre. În 1904, Poinré enunţ fimos s onjetură. Enunţul ei, în zul el mi generl, este următorul: O vriette simplu onexă din sptiul u n+1 dimensiuni este homeomorf u o sfer n - dimensionl. Pentru zul mi generl, pentru n>4, demonstrţi fost reliztă de ătre Zemn 18 (196), Stllings 19 (1960)şi Smle 0 (1960), ir pentru zul n=4 demonstrţi 15 A fost onsidert un mtemtiin universl u ontiuţii în tote domeniile mtemtiii 16 Tlentt l mtemti, urmez ursurile unui prestigios lieu leningrden renumit pentru speilizre s în fizi si mtemti. Rezulttele sle nu se ls steptte si, în 198, devine memru l lotului sovieti pentru Olimpid Interntionl de Mtemti si otine medli de ur u sorul mxim posiil: 4 de punte. A refuzt Medli Fields(006) şi premiul de de dolri oferit de Cly Mthemtis Institute. 17 Cele şpte proleme le Mileniului stilite de Cly Institute din Cmrige, Msshussetts sunt următorele:p versus NP,Conjetur lui Hodge,Ipotez Riemnn,Existenţ "golului de msă" Yng -Mills,Prolem de existenţă Nvier - Stokes,Conjetur lui Birh-Sinnerton-Dyer,Conjetur lui Poinré - singur rezolvtă. 18 Zemn 19 John Stllings(n. iulie d. 4 noiemrie 008 în Berkeley) fost un mthemtiin merin. A primit Medli Fields în Stephen Smle(n. 15 iulie 1930) este un mtemtiin merin.a primit Medli Fields în 1966.

6 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 fost reuşită de ătre Freedmn 1 în 198. Rămăsese de demonstrt zul în re n=3, diă vrint, prent, e mi simplă. Willim Thurston, un mtemtiin de l Prineton, propus, pe l îneputul nilor 1970, o lsifire vriettilor 3 -dimensionle. El onsider tât timp ât vriettile 3-dimensionle pot ve diferite forme, ele nu vor prefer o numit geometrie, întomi o ţesătur din mătse re v lu form mne hinului pe re este şeztă. El firmt ă fiere dintre vrietăţile 3 -dimensionle pote fi desompusă în unul pân l opt omponente, inlusiv un de tip sferi, în sensul topologi l uvântului. Avem um de- fe u o nouă onjetură, Conjetur geometrizării, re este o generlizre Conjeturii lui Poinré. În 198, nul în re Thurston prime Medli Fields 3, un lt mtemtiin, Rihrd Hmilton 4, de l Universitte Cornell, propune un progrm de demonstrre Conjeturii geometrizării. El ple de l ş-numit Curgere Rii. Hmilton îşi propune să rte ă o suprfţă simplu onexă pote fi deformtă ontinuu stfel înât orire punt l ei să jungă pe suprfţ unei sfere (sfer în sensul lrg, topologi). Prolem er ă pe măsură e se pli deformre, în timp, se întâmpl să pră zone u singulrităţi. Aeste singulrităţi îl împiediu pe Hmilton să relizeze deformre ontinuă pe re o dore. Aii intervine rtiolul genil l lui Perelmn din 00, re re 39 de pgini. În The entropy formul for the Rii flow nd its geometri pplitions Perelmn indi o le prin re singulrităţile pot fi făute să dispră. El pliă un proedeu prin re mrimile re intervin în deformre sunt netezite. Lurre lui Perelmn nu reprezentt demonstrre ompletă onjeturii Poinré, i numi relizre unui shelet de demonstrţie. După mi multe dezvoltări, demonstrţi ompletă fost reliztă de ătre Hui-Dong Co 5 şi Xi-Ping Zhu 6. 1 Mihel Hrtley Freedmn (n. 1 prilie 1951 în Los Angeles, Cliforni, U.S.) este mtemtiin l Mirosoft Sttion Q.În 1986, primit medli Fields pentru eretrile sle referitore l Conjetur Poinré Willim Pul Thurston (n. 30 otomrie 1946)- este un mtemtiin merin.a primit Medli Fields în Medli Fields - Medli Fields este e mi importntă distinţie din lume mtemtiii, fiind unosută un fel de Premiu Noel pentru mtemtiă. Medli este dtortă mtemtiinului John Chrles Fields ( ), re propus în 193, în drul unui ongres internţionl l mte mtiienilor re vut lo l Toronto, înfiinţre unei distinţii re să reompenseze relizările mjore din mtemtiă. L morte s, în 193, lăst drept moştenire tote unurile pentru finnţ medli re ve să îi porte numele. Spre deosei re de Premiul Noel, re se ordă nul, Medli Fields este triuită l fiere 4 ni, în drul unui ongres internţionl de mtemtiă. De menţiont ă medliţii Fields treuie să iă o vârstă mi miă de 40 de ni. 4 Rihrd Streit Hmilton (n.1943) este un mtemtiin merin. A fost les memru în Ntionl Ademy of Sienes în 1999 şi în Amerin Ademy of Arts nd Sienes în 003.A primit premiul AMS Leroy P. Steele Prize în Mtemtiin de origine hineză tiveză l Deprtmentul de Mtemti l Universităţii, Lehigh, SUA

7 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 Demonstrţi, se întinde pe 3 8 de pgini. Terene To 7, profesor de mtemtiă l Universitte din Cliforni, spune ă relizre lui Perelmn este "e mi frumosă demonstrţie pe re văzut-o în ultimii zee ni". Îninte de muri, Hilert fost întret, dă r învi după 500 de ni, e întrere r pune, şi el răspuns: dă fost rezolvtă ipotez lui Riemnn 8. În ee e priveşte topul universităţilor (007), există un lsment relizt de Times Higher Edution Supplement (THES) si firm Ququrelli Symonds (QS) ( Universitte din Buuresti este singur universitte din Români re intrt în topul primelor 500 din lume, pe loul 47) şi un lsment relizt de Universitte Jio Tong din Shnghi (şi ii topul este împânzit de universităţile merine, în prime le 10 poziţii le topului, 8 sunt din Sttele Unite, ir din Mre Britnie). Cele mi multe universităţi din topul Shnghi sunt merine (159), urmte numr de ele ritnie (4), germne (40), jponeze (31) şi de ele ndiene (1). Cu ozi o ngresului mtemtiienilor români, Institutul de Mtemti "Simion Stoilow l Ademiei Române redtt un rport în re preizez: "Tote universităţile de top din Ameri u el puţin un profesor de mtemtiă român şi peste 300 de profesori români de mtemtiă predu l universităţile din Sttele Unite, Frnţ, Nou Zeelnd, Mre Britnie, Germni, Itli. Sttisti elortă de Institutul de Mtemtiă, rtă în ontinure: "În domeniul mtemtiii sunt mi puţin de 500 de solvenţi de stud ii superiore nul, din re 10-0 intră în eretre mtemtiă. De ni uni se mnifestă o migrţie prope totlă "superreierelor" din domeniu spre universităţile din SUA şi Europ de Vest înă din primii ni de după fultte su hir după lieu. Un stfel de mtemtiin român (după unii speilişti el mi ine ott tânăr mtemtiin român) este Dniel Tătru 9. Mtemtiinul, fost un pretendent român l Noelul mtemtiii. Chir dă l - rtt, Tătru rămîne un ndidt serios l reunoştere mondilă. În 00 primit prestigiosul Premiu Boher, distinţie ordtă l fel de greu, o dtă l trei ni, în elşi timp u Terene To, el u re făut ehipă în eretre l Prineton între 1995 şi Mtemtiin de origine hineză tiveză l Deprtmentul de Mtemtiă l Universităţii Zhongshn, Gungzhou, Chin 7 Terene Chi-Shen To (n. 17 iulie 1975, Adelide, South Austrli) este un mtemtiin ustrlin (suprnumit Mozrt în mtemtiă).în ugust 006, primit Medli Fields, ir o lună mi târziu primit premiul MArthur Fellowship. A fost les Fellow of the Royl Soiety pe 18 mi 007 şi în est n (009) devine memer of Amerin Ademy of Arts nd Sienes.Cel mi tânr profesor de mtemtiă (4 de ni). 8 ipotez lui Riemnn - Funţi: ζ(s)= 1 drepte s n1 n,unde sc re zerourile în C situte pe 1 s i u R.Aestă onjetură reprezintă e mi importntă şi difiilă prolemă mtemtiii ontemporne. 9 (n. 6 mi 1967, Pitr Nemţ). L Prineton, unde Dniel Tătru efetut studiile postdotorle, lureză englezul Andrew Wiles şi lurt înepînd din 1993 şi rusul Grigori Perelmn.

8 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 Câtev tipuri de euţii trigonometrie Prof. Cojoru Cmeli Şol Nr. 1 Chirftei Jud. Glţi Eutiile e ontin neunosute su semnul funtiilor trigonometrie se numes eutii trigonometrie. Cele mi simple eutii trigonometrie sunt eutii le de tipul sinx =, osx =, tgx =, tgx =, R. (1) Cum rezolvre eutiilor trigonometrie se redue l rezolvre eutiilor de tipul (1) (utiliznd diferite trnsformri), vom minti firmtiile de z referitor solutiile eutiilor (1). 1. Euti sinx =, R, () pentru > 1 solutii nu re, ir pentru 1 multime solutiilor ei se ontine in formul x = (-1) n rsin + n, n Z, (3) unde rsin [-[()/ ];[()/ ]] este unghiul, sinusul rui este egl u, ir Z desemnez multime numerelor intregi, su, ehivlent (tinnd sem de pritte lui n), in totlite x = rsin + k, x = - rsin + k, k Z. (4) Os 1. D in euti () {0;-1;1} solutiile ei (3) se sriu mi simplu, si nume sinx = 0 x = n, n Z, sinx = 1 x = / + n, n Z, sinx = -1 x = - / + n, n Z. Exp 1. S se rezolve eutiile

9 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 Rezolvre. ) Cum onform (3) solutiile eutiei dte sunt su tinnd sem se otine ) Similr exemplului ) se otine su, tinnd sem rsinus funti este o funtie impr, ) Cum rezult euti dt nu re solutii.. Euti osx = (5) pentru > 1 nu re solutii, ir pentru 1 multime solutiilor ei se ontine in formul x = ros + n, n Z, (6) unde ros [0;] este unghiul, osinusul rui este egl u. Os. D in euti (5) {0;1;-1} solutiile ei (6) se sriu mi simplu, si nume osx = 0 x = / + n, n Z, osx = 1 x = n, n Z, osx = -1 x = + n, n Z. Exp. S se rezolve eutiile: ) osx = - 1 / ; ) osx = / 3 ; )

10 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 Rezolvre. ) Cum onform (6) solutiile eutiei dte sunt su tinnd sem se otine ) Similr exemplului ) se otine ) Cum euti dt nu re solutii. 3. Euti tgx =, R (7) re solutiile x = rtg + n, n Z, (8) unde rtg (- / ; / ) este unghiul, tngent rui este egl u. 4. Euti tgx =, R (9) re solutiile x = rtg + n, n Z, (10) unde rtg (0;) este unghiul, otngent rui este egl u. Exp 3. S se rezolve eutiile ) tgx = 1; ) tgx = -; ) tgx = -1; d) tgx = 3. Rezolvre. ) Conform (8) solutiile eutiei dte sunt x = rtg1 + n, n Z, su tinnd sem se otine

11 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 ) Similr exemplului preedent se otine x = rtg(-) + n, n Z, su tinnd sem rtngent este o funtie impr, x = -rtg + n, n Z. ) Se tine sem de (10) si se otine su, um x = rtg (-1) + n, n Z, d) Similr exemplului ) se otine x = rtg3 + n, n Z. Os. Eutiile sin f(x) =, os f(x) =, tg f(x) =, tg f(x) = (11) prin intermediul sustitutiei f(x) = t se redu l rezolvre eutiilor (1). Exp 4. S se rezolve eutiile Rezolvre. ) ) sin(x - 1) = 1; ) os(x + 4) = -1; ) d) tgx 3 = -. sin(x - 1) = 1 sint = 1, t = x - 1, x - 1 = / + n, n Z x = / + n + 1, n Z x = / 4 + n + 1 /, n Z. ) os(x + 4) = -1 ost = -1, t = x + 4, x + 4 = + n, n Z, + n 4, x = + n - 4, n = 1,,3,... n = 1,,3,... (se tine sem rdilul de ordin pr exist dor din vlori nenegtive). ) x = / 3 + n, n Z d) tgx 3 = - x 3 = rtg(-) + n, n Z

12 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 Euti Eutii trigonometrie redutiile l eutii de grdul l doile sin x + sinx + = 0,,, R, 0 (1) prin intermediul sustitutiei t = sinx, ( t 1) se redue l euti ptrt t + t + = 0. Exp 5. S se rezolve eutiile ) sin x - 5sinx + = 0; ) sin x - sinx = 0; ) sin x - sinx + 6 = 0. Rezolvre. ) Se notez sinx = t si euti devine t - 5t + = 0, de unde t 1 = 1 / si t =. Cum t 1, rmne t = 1 / si prin urmre euti initil este ehivlent u euti sinx = 1 /, solutiile rei sunt ( se vede (3)) ) Se notez sinx = t si se otine euti ptrt t - t = 0 u solutiile t 1 = 0 si t = 1. Astfel euti initil este ehivlent u totlitte de eutii de unde sinx = 0, sinx = 1, ) Similr exemplelor preedente se otine euti ptrt t - t + 6 = 0, re nu re solutii. Rezult si euti trigonometri nu re solutii. Eutiile unde,, R, 0 se rezolv similr eutiei (1). os x + osx + = 0, (13) tg x + tgx + = 0, (14) tg x + tgx + = 0, (15)

13 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 In zul eutiei (13) se tine sem t = osx in modul urmez s nu intre unu, ir pentru t = tgx (t = tgx) in euti (14) (respetiv (15)) restritii nu sunt. Exp 6. S se rezolve eutiile ) 6os x - 5osx + 1 = 0; ) tg x - 4tgx + 3 = 0; ) Rezolvre. ) Se notez osx = t si se otine euti ptrt 6t - 5t + 1 = 0 u solutiile t = 1 / 3 si t = 1 /. Cum mele solutii verifi onditi t 1 se otine totlitte osx = 1 / 3, de unde osx = 1 /, ) Se notez tgx = t si se otine euti ptrt t - 4t + 3 = 0 u solutiile t 1 = 1 si t = 3. Prin urmre de unde tgx = 1, tgx = 3, x = rtg3 + k, k Z, ) Se rezolv similr exemplului preedent si se otine x = rtg + k, n, k Z. Euti os x + sinx + = 0, (16) utiliznd identitte trigonometri de z sin x + os x = 1, se redue l rezolvre unei eutii de tipul (1): (1 - sin x) + sinx + = 0. Similr, euti sin x + osx + = 0 (17) se redue l rezolvre unei eutii de tipul ( 13):

14 Revist Eletroniă MteInfo.r o ISSN nr. ugust 010 (1 - os x) + osx + = 0. Utiliznd formulele eutiile osx = 1 - sin x, osx = os x - 1 osx + sinx + = 0, (18) osx + osx + = 0, (19) se redu l rezolvre eutiilor de tipul ( 1) si respetiv (13). Biliogrfie: Mnul pentru ls IX-, Mtemti- Geometrie si trigonometrie, A. Cot, Mrt Rdo, M. Rdutiu, F. Vorniesu.

15 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 ASUPRA UNOR PROBLEME PROPUSE LA OLIMPIADELE INTERNAŢIONALE DE MATEMATICĂ Corneliu Mănesu-Avrm Not de fţă onţine soluţii lterntive su generlizări le unor prolem e propuse l O.I.M. Am indit in prnteză după fiere prolemă olimpid şi ţr ărei delegţie propus prolem respetivă. Pentru soluţiile originle se pote onsult iliogrfi. 1. Să se determine vlore minimă lui + ând (, ) prurge tote perehile de numere rele pentru re euţi x 4 + x 3 + x + x + 1 = 0 re el puţin o rădăină relă. Luăm, mi generl, o euţie reiproă de grd pr u oefiienţi reli (A 15- O.I.M., Suedi) x n + 1 x n 1 + x n n x n + n 1 x n x + 1 = 0 şi dorim să determinăm vlore minimă expresiei stfel înât euţi dtă să iă el puţin o rădăină relă. Dă x 0, tuni euţi dtă reprezintă în oordontele ( 1,,..., n ) un hiperpln în spţiul eulidin n dimensionl. Expresi l ărei minim se ere este pătrtul distnţei de l origine l est hiperpln, re este eglă, onform unui rezultt din geometri nlitiă, u f (x) =. Funţi f este pră, dei ne putem restrânge l intervlul (0, ), şdr vom determin vlore minimă funţiei f pe est intervl. Vom răt ă x = 1 este punt de minim l funţiei f, dei f (x) f (1) =. Aestă ineglitte este ehivlentă u n 1 +. Pentru o demonstr, este sufiient să rătăm ă 1, dă 1 k n 1 şi, ineglităţi re sunt devărte, deoree sunt ehivlente respetiv u

16 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust , Fie, două numere nturle. Împărţind + l + se oţine âtul q şi restul r. Să se determine tote perehile (, ) pentru re q + r = (A 19- O.I.M., R.F.G.) L prolemele de est gen, nul desfăşurării onursului este utilizt nu pentru semnifiţi lui strlă, i pentru onţinutul mtemti. Să -l deriptăm! Dă numărul 1977 se înlouieşte u un număr nturl n ritrr re nu este pătrt perfet, vom demonstr eglitte q = [ ]. Folosim relţiile + = q( + ) + r, 0 r < + (1) şi sustituţi s = +. Medi pătrtiă este mi mre deât medi ritmetiă, şdr + = q( + ) + r = qs + r < (q + 1)s. Rezultă r < s < (q + 1), dei r q + 1, de unde n = q + r q + q + 1 = (q + 1), şdr q [ ], deoree n nu este pătrt perfet. Din n = q + r q, rezultă q [ ], şdr q = = [ ]. Am determint şi r = n q. Dă q este un număr pr, tuni euţi din (1) se srie () + = + r. Orie soluţie (x 0, y 0 ) în numere întregi euţiei x + y = + r ne dă o soluţie euţiei (), dei şi euţiei (1) : =, =, dă + > r. Pentru n = 1977 se oţine q = [ 1977] = 44, r = = 41 şi + r = 1009, re este un număr prim ongruent u 1 modulo 4, dei se srie în mod uni su form unei sume de pătrte de numere nturle, strţie făânnd de ordine termenilor : 1009 = , ee e due l soluţiile (, ) {(7, 50), (50, 7), (37, 50), (50, 37)}. 3. Doi întregi x, y nenuli, dr nu nepărt pozitivi, sunt stfel înât x + y divide pe x + y şi âtul este un divizor l lui Să se demonstreze ă x = y. (A 0- O.I.M., Mre Britnie, list lungă)

17 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 Considerăm în loul numărului 1978 un număr N = p 1 p... p m, unde p 1,..., p m sunt numere prime distinte, ongruente u 3 modulo 4. Dă d este un divizor l lui N şi p este un divizor prim l lui d, tuni x + y 0 (mod p). O onseinţă legii reiproităţii pătrtie (dr est fpt pote fi demonstrt şi elementr) impune x y 0 (mod p). Eglitte x + y = d (x + y) devine în finl, după simplifiări suesive, u + v = (u + v) (1) su u + v = u + v (), unde x = du, y = dv. Euţi (1) se srie (u 1) + (v 1) =, u soluţi uniă u = v = (u, v sunt nenule!), ir euţi () se srie ( u 1) + (v 1) =, u soluţi uniă u = v = 1. Din u = v rezultă x = y. Notă. Dă p 3 (mod 4) este un număr prim şi există x, y stfel înât x + y 0 (mod p), tuni x y 0 (mod p). Aest fpt pote fi demonstrt fără utiliz lege reiproităţii pătrtie. Într-devăr, în est z p este un orp, deoree p este un număr prim. Presupunem 0 şi 0 în p ; există tuni stfel înât = în p. Din + = 0 rezultă, prin înmulţire u, = = 1. Ordinul grupului multiplitiv este egl u p 1 şi 0, dei = 1 (teorem lui Fermt). Pe de ltă prte, este un număr impr, dei = = 1 = 1, ontrdiţie. 3. Să se demonstreze ă pe erul e tree prin puntele (0, 0), (0, 1978), (1978, 0), (1978, 1978) (vârfuri le unui pătrt), nu există lt punt re să iă mele oordonte întregi. (A 0- O.I.M., Olnd, list lungă) Se inlouieşte numărul 1978 u n, unde n este produs de numere prime distint e, ongruente u 3 modulo 4. Euţi erului e tree prin puntele dte este ( x n) + (y n) = n. Asemănător u soluţi prolemei preedente, fie ( u, v) stfel înât u + v = n şi p un divizor prim l lui n. Din u + v 0 (mod p) şi p 3 (mod 4) rezultă u v 0 (mod p) şi în finl u = nu 1, v = nv 1, u u 1, v 1. Euţi = re soluţi uniă u 1 = v 1 = 1, dei pe erul dt există numi ptru punte de oordonte întregi, nume (0, 0), (0, n), (n, 0), (n, n). 4. Dă p şi q sunt numere nturle stfel înât = ,

18 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 să se dovedesă fptul ă p este diviziil u (A 1- O.I.M., R.F.G.) Dă N = 6k + 5 este un număr prim (k ) şi p, q sunt numere nturle stfel înât = , tuni p este diviziil u N. Avem = = Numitorii termenilor sunt numere nturle onseutive, ir numărul termenilor este 4 k + 3 (k + ) + 1 = (k + 1), dei este un număr pr. Sum doi numitori egl depărtţi de extreme este k + + i + 4k + 3 i = 6k + 5 = N, 0 i k. Dă se dună frţiile, se oţine l numărător un număr diviziil u N, ir ftorul prim N nu se simplifiă, deoree toţi numitorii sunt numere strit mi mii deât N. Rezultă ă p este diviziil u N. În prtiulr, N = 1979 = = este prim şi ultim frţie re numitorul = Trei eruri ongruente u un punt omun O şi sunt situte în interiorul unui triunghi dt. Fiere er este tngent l două din lturile triunghiului. Să se demonstreze ă puntul O şi entrele erurilor însris şi irumsris triunghiului sunt olinire. (A - O.I.M., U.R.S.S.) Fie ABC triunghiul dt, D, E, F entrele erurilor tngente l âte două dintre lturile triunghiului şi I entrul erului însris în triunghi. Luăm erul irumsris triunghiului ABC drept er unitte, folosim oordontele omplexe şi notăm fixele puntelor u literele mii orespunzătore. Puntele D, E, F sunt egl depărtte de lturile triunghiului ABC, dei dreptele AD, BE, CF sunt onurente în puntul I, fiind isetorele interiore le unghiurilor triunghiului ABC. Considerăm omoteti de entru I şi rport k (0, ), (z) = kz + (1 k)i. Triunghiurile ABC şi DEF u lturile prlele, dei există o omotetie de entru I re-l trnsformă pe unul în elăllt. Determinăm k orespunzător estei omotetii. Fie r lungime omună rzelor elor trei eruri. Puntul O este entrul erului irumsris triunghiului DEF, deoree el

19 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 se flă l eeşi distnţă de vârfuri, dei prin estă omotetie el orespunde puntului O (0), entrul erului irumsris triunghiului ABC. Rezultă ă fixul lui O este (0) = (1 k)i, ir d = = () = k + (1 k)i. Euţi erului u entrul în D şi de rză r este = r. Aest er tree prin puntul O, dei = k = k = r. Puntele I (i), O((1 r)i) şi O (0) sunt olinire. Notă. Configurţi re şi lte proprietăţi, dintre re unele u fost puse în evidenţă şi demonstrte de Ţiţei : i) dă A, B, C sunt elellte punte de interseţie le erurilor, tuni erul irumsris triunghiului A B C re rz r şi entrul în ortoentrul triunghiului DEF ; ii) ortoentrul triunghiului A B C este puntul O, entrul erului irumsris triunghiului DEF. 6. Se onsideră, pe digonlele AC, CE le unui hexgon regult ABCDEF, puntele interiore M, respetiv N, stfel = = r. Să se determine r stfel înât B, M, N să fie olinire. (A 3- O.I.M., Olnd) Lurre [] prezintă o soluţie re utilizeză numerele omplexe (l O.I.M. se er soluţii sintetie), dr rezulttul r = este eront. Dăm mi jos soluţi oretă : Alegem origine în entrul erului irumsris hexgonului şi x relă treând prin A. Luăm unitte rz erului şi notăm vârfurile hexgonului în sens trigonometri, şdr A(1), B(ε), C(ε ), E(ε 4 ), unde ε = os + i sin. Avem ε = ε 1, ε 3 = 1, ε 4 = ε. Dă M(m), N(n), m, n, din ipoteză se oţine m 1 = (ε 1)r, n ε = (ε 4 ε )r, u r (0, ). Puntele B, M, N sunt olinire dă şi numi dă puterile mi mri le lui ε în expresii re să onţină pe ε l putere întâi : m = (ε )r + 1, n = (1 ε)r + ε 1.. Trnsformăm Din = 1 ε rezultă = (ε + 1)r + 1, = (ε 1)r ε.

20 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 Eglitte = ondue, după efeture lulelor, l 3 r = 1, u soluţi onvenilă r =. 7. Să se determine tote numerele rele pentru re euţi 16x 4 x 3 + ( + 17)x x + 16 = 0 re ptru rădăini rele distinte, e formeză o progresie geometriă. (A 3- O.I.M., Bulgri, list surtă) Împărţim prin 16 şi determinăm, mi generl, perehile ( m, n) de numere rele pentru re euţi x 4 mx 3 + nx mx + 1 = 0 re ptru rădăini rele distint e în progresie geometriă. Fie x, qx, q x, q 3 x rădăinile euţiei. Atuni x 0 şi putem presupune > 1, dei < < < <. Euţi este reiproă, dei este rădăină ei, şdr = q 3 x, de unde q = =. Rezultă ă rădăinile sunt x,,,. Cu sustituţi z = + relţiile lui Viète se sriu z 3 z = m, (z ) + z = n. Soluţiile omune onvenile z le estor euţii sunt ele pentru re între ele două euţii şi oţinem eglitte. Eliminăm z m 4 (n + 1)m + n n 3 = 0. Dă se mi unoşte o euţie re onţine m şi n şi este independentă de z, tuni este numere pot fi determinte. 8. Fie ABCD un ptrulter insriptiil. Fie P, Q, R piiorele perpendiulrelor din D pe dreptele BC, CA, AB respetiv. Să se rte ă PQ = QR dă şi numi dă isetorele unghiurilor ABC şi ADC se interseteză pe AC. (A 44- O.I.M., Finlnd) Folosim oordontele omplexe, luăm origine în entrul erului irumsris ptrulterului, rz erului eglă u unitte şi notăm u litere mii fixele puntelor orespunzătore. Sunt devărte [4] eglităţile p = d + +, q = d + +, r = d + +.

21 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 Din = = = = 1 şi PQ = QR rezultă, după efeture lulelor, =, diă AB CD = AD BC, dei ptrulterul ABCD este rmoni. Există [5] numerose proprietăţi rteristie le ptrulterelor rmonie, printre re şi e referitore l isetorele unghiurilor opuse le ptrulterului. S-o demonstrăm : pe digonl [AC] există un punt uni determint E re împrte est segment într-un rport dt, ir puntul E se flă pe isetorele din B şi D dă şi numi dă = =, dei dă şi numi dă ptrulterul ABCD este rmoni. Biliogrfie [1] Cuulesu, I., Olimpidele internţionle de mtemtiă le elevilor, Editur Tehniă, Buureşti, 1984 [] Dină, M., Chiriţă, M., Numere omplexe în mtemti de lieu, ALL Edutionl, Buureşti, 1996 [3] Djukić, D., Jnković, V., Mtić, I., Petrović, N., The IMO Compendium, Springer, 006 [4] Mihăilenu, N. N., Utilizre numerelor omplexe în geometrie, Editur Tehniă, Buureşti, 1968 [5] Mihlesu, C., Geometri elementelor remrile, Soiette de Ştiinţe Mtemtie din Români, Buureşti, 007 CATEDRA DE MATEMATICĂ, GRUPUL ŞCOLAR DE TRANSPORTURI PLOIEŞTI E-mil : vrm05065@yhoo.om

22 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 Triunghiul orti. Teorem lui Feuerh Prof. Rdu Lur Lieul u Progrm Sportiv, Glti Definiţie: Se numeşte triunghi orti triunghiul determint de piiorele înălţimilor unui triunghi dt. Teoremă: Fie ABC un triunghi şi puntele A prbc A, B prac B, C prabc. Atuni : 1) Triunghiurile AB'C', BA'C', CB'A' sunt triunghiuri semene u triunghiul ABC. ) Semidreptele [A'A, [B'B si [C'C sunt isetorele unghiurilor triunghiului orti. 3) Ortoentrul triunghiului ABC este entrul erului însris în triunghiul orti A'B'C', ir vârfurile triunghiului ABC sunt entrele erurilor exînsrise triunghiului orti A'B'C'. 4) Tngent în puntul A l erul irumsris triunghiului ABC este prlel ă u drept B'C'. 5) Dintre tote triunghiurile însrise în triunghiul ABC, triunghiul orti re perimetrul minim (Teorem lui Feuerh). A P B C B 5 4 C 3 1 H B A C Fig.1 1

23 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 Demonstrţie: 1) Ştim ă BC'C CB'B, vând măsurile de 90º, de unde deduem ă ptrulterul BCB'C' este insriptiil. Rezultă ă : m(abc) + m(cb'c') = 180º ABC AB'C' (1) m(ab'c') + m(cb'c') = 180º m(acb) + m(bc'b') = 180º m(ac'b') + m(bc'b') = 180º ACB AC'B' () Din relţiile (1) şi () rezultă ă AB'C' ~ ABC. Anlog se demonstreză şi elellte două semănări. ) Conform puntului 1) rezultă ă C'A'B B'A'C( BAC). Atuni A 1 A fiind omplementele două unghiuri ongruente, de unde rezultă ă [A'A este isetore unghiului B'A'C'. 3) Din puntul ) se dedue ă ortoentrul H l triunghiulu i ABC se flă l interseţi isetorelor triunghiul orti şi dei este entrul erului însris în triunghiul orti A'B'C'. Fie C" puntul în re semidrept [A'C' intersetez erul irumsris triunghiului. Ştim ă C ' 3 C ' 4, din puntul 1), C ' 3 C ' 5 fiind opuse l vârf, rezultă ă C ' 4 C ' 5. Dei semidrept [C'A este isetore unghiului B'C'C". În mod nlog se demonstreză ă semidrept [B'A este isetore unghiului C'B'B". Rezultă ă puntul A este entrul erului exînsris triunghiului A'B'C' tngent lturii [B'C']. 4) Avem ă m(bap) este jumătte din măsur rului mi AB. De semene m( ACB) este tot jumătte din măsur rului mi AB. Rezultă ă BAP ACB, dr ACB AC'B' din relţi (), de unde oţinem ă BAP AC'B' (lterne interne) ee e demonstreză ă tngent în puntul A l erul irumsris triunghiului ABC este prlelă u drept B'C'. 5) Se oservă ă dă M prurge drept BC, tuni B'M+MC' este minimă dă B'MC C'MB (Fig. ). Într-devăr, fie B 1 simetriul lui B' fţă de BC. Se uneşte C' u B 1. Fie {M 1 }=BC C'B 1. Orire r fi puntul MBC, M M 1 vem: M 1 C'+M 1 B'=M 1 C'+M 1 B 1 =C'B 1 <C'M+MB 1 =C'M+MB'. Am oţinut stfel ă puntul M 1 onstruit nterior este puntul de pe drept BC u propriette ă MC'+MB' este minimă. Dr unghiurile C'M 1 B şi B'M 1 C sunt ongruente deoree fiere este ongruent u B 1 M 1 C.

24 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 C A B B B M M 1 C C B 1 B A C Fig. Fig. 3 Fie um un triunghi A'B'C' însris în triunghiul ABC, A' (BC), B'(AC), C'(AB). Fixând două âte două vârfurile estui triunghi, se oţine ă minimul perimetrului se tinge ând lturile triunghiului A'B'C' sunt egl înlinte pe lturile triunghiului ABC, dei ând unghiurile mrte pe figură sunt ongruente (Fig. 3). Folosind elşi rţionment în demonstrţi puntului ), se oţine ă A, B şi C sunt entrele erurilor exînsrise triunghiului A'B'C'. Rezultă ă [A'A este isetore unghiului B'A'C', dei C'A'C B'A'A. Rezultă AA' BC. Anlog se oţine BB' AC şi CC' AB. Prin urmre A'B'C' este triunghiul orti. 3

25 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 Apliţii: Prolem 1 Se onsideră triunghiul ABC şi fie DEF triunghiul său orti. Dă M, N, P sunt mijloele lturilor BC, AC, AB, ir X, Y, Z sunt mijloele lturilor FE, FD, DE, să se demonstreze ă dreptele MX, NY şi PZ sunt onurente. Demonstrţie : A P X E N F H Z Y B D M C Ptrulterul BCEF este insriptiil în erul de dimetru BC, dei entrul estui er este hir puntul M, ir ltur FE triunghiului orti este o ordă în est er. Puntul X fiind mijloul estei orde, rezultă ă MX este meditore segmentului FE. În mod nlog se rtă ă NY este meditore segmentului FD şi PZ este meditore segmentului DE. Cele trei drepte MX, NY şi PZ sunt meditorele triunghiului orti, de unde rezultă ă este drepte sunt onurente în entrul erului irumsris triunghiului orti, re este de fpt entrul erului lui Euler. 4

26 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 Prolem Se onsideră triunghiul ABC în re se du înălţimile AD, BE si CF. Aeste interseteză erul irumsris triunghiului in M, N si P. Să se rte ă este devrtă ineglitte : [ MNP] AD BE CF 9. [ DEF ] AM BN CP Demonstrţie: A 1 N E P F H B 1 D C M Avem ă A 1 B 1 deoree suîntind elşi r MC, d r A 1 B vând elşi omplement C, rezultă ă B 1 B, de unde deduem ă BDM BDH şi de ii MD=DH. Anlog NE=EH şi PF=FH. Dei segmentele DE, EF şi FD sunt linii mijloii în triunghiurile HMN, HNP şi respetiv HPM, ele sunt prlele u zele şi egle u jumtte zelor. Rezultă imedit ă triunghiurile DEF şi MNP sunt semene şi u rportul de semnre egl u 1. [ MNP] [ DEF] 1 4 5

27 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 AD AM BE BN CF CP AD AD DM BE BE EN CF CF FP 3 1 DM AD 3 EN 1 BE 1 FP CF (s- folosit ineglitte mediilor, m m h ) 3 HD AD 9 HE BE HF CF 3 HD BC AD BC 9 HE AC BE AC HF CF AB AB 9 [ ABC] 3 [ ABC] 9 4 [ MNP] AD BE CF 9 Dei 4 9 [ DEF ] AM BN CP 4 demonstrt. [ MNP] AD BE CF 9 [ DEF ] AM BN CP, ee e treui Prolem 3 Fie ABC un triunghi orere, vând tote unghiurile suţite. Dă D, E, F sunt piiorele înălţimilor din vârfurile A, B şi C, H este ortoentrul, ir R rz erului irumsris triunghiului ABC, să se rte ă : ) HD os A HE os B HF osc 6R os Aos B osc ; HA HB HC ) tgatgb tgbtgc tgctga 3. HD HE HF Demonstrţie: A E F H 3 1 B D C 6

28 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 AB BC AC ) În triunghiul ABC pliăm teorem sinusurilor : R. (1) sin C sin A sin B BF BF BCF os B BC () BC os B Unghiul H 1 din BHF este ongruent u unghiul A l triunghiului ABC, vând elşi omplement ABE. BHF BF tgh 1 HF BF HF tga (3) Din () şi (3) rezultă ă HF tga HF sin A BC. Înlouind pe BC în teorem sinusurilor oţinem : os B os A os B HF sin A R sin A os A os B HF R os A os B HF osc R os A os B osc. În mod nlog oţinem HE os B R os A os B osc şi HD os A R os A os B osc. Însumând ultimile trei relţii vem : HD os A HE os B HF osc 6R os A os B. HA HB HC AD HD BE HE CF HF AD BE CF ) Clulăm 3 HD HE HF HD HE HF HD HE HF Din puntul ) vem : HD R os B osc HE R os A osc HF R os A os B. T.sin În ABD AD AB sin B În BCE BE BC sin C T.sin R sin B sin C R sin A sin C T.sin În CAF CF AC sin A R sin A sin B Înlouind în relţi (4), oţinem : HA HB HC R sin B sin C R sin Asin C R sin Asin B 3 HD HE HF R os B osc R os AosC R os Aos B tgbtgc tgatgc tgatgb 3 HA HB HC Dei tgatgb tgbtgc tgctga 3. HD HE HF. (4) 7

29 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust 010 Biliogrfie : 1. Cuulesu I., Stănăşilă O., ş.., Mtemtiă-Fiziă-Chimie-Culegere de proleme pentru dmitere în învăţământul superior, Ed. Ştiinţifiă şi Enilopediă, Buureşti, Drăghiesu I.C., Msgrs V., Proleme de geometrie, Ed. Tehniă, Buureşti, 1987 ; 3. Niolesu L., Boskoff V., Proleme prtie de geometrie, Ed. Tehniă, Buureşti,

30 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust Proleme rezolvte u ineglitti geometrie in triunghi pentru gimnziu si lieu Prof. Andrei Dore 1. S se demonstreze o medin unui triunghi este mi mi det semisum lturilor lturte u e. Solutie: Fie triunghiul ABC si medin AA ; prelungim est medin u o lungime [A A ] [AA ]. Se demonstrez usor, ongruent triunghiurilor ABA si CA A ( zul de ongruent, ltur, unghi ltur ), de unde rezult [AB] [CA ]. In triunghiul ACA vem [AA ] < [AC] + [CA ] si, um [A A ] [AA ], rezult AA <.. S se rte,in triunghiul ABC, in re [ AB ] < [ AC ], vem [ AD ] < [ AC ], orire r fi D ( BC ). Solutie: Cum din ipotez [ AB ] < [ AC ], rezult B > C. Dr, <ADC > <B si <B, onform unghiului exterior. Din ADC > B si B > C, urmez in triunghiul ADC vem [ AC ] > [ AD ].

31 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust Fie triunghiul ABC, in re m ( BAC ) > m ( ABC ) + m ( ACB ) si fie D mijloul segmentului [BC].S se rte AD <. Solutie: Avem m ( BAC ) = m ( BAD ) + m ( DA1C ) > m ( ABC ) + m ( ACB ), din ipotez. otine AD <. De ii rezult : su m ( BAD ) > m ( ABC ), de unde BD AD ; su m ( DAC ) > m ( ACB ), de unde DC > AD.Din BD > AD si DC > AD, dunndu-le, se 4. Se i un punt orere M in interiorul unui triunghi ABC. S se demonstreze, sum MA + MB + MC este uprins intre semiperimetrul si perimetrul triunghiului ABC. Solutie: Din triunghiul MBC, MCA si MAB rezult, respetiv, BC < MB + MC, CA < MC + MA si AB< MA + MB ; dunndu-le, se otine ( AB + BC + CA ) < MA + MB + MC. In ontinure, deoree lini poligonl (frnt) BAC inonjor lini frnt BMC, urmez MB + MC < AB + AC. Anlog vem, MA + MC < AB + BC si MA + MB < AC + BC. Din este trei ineglitti, rezult ineglitte erut. 5. Fie O un punt in interiorul triunghiului ABC. Dreptele BO si CO intersetez AC si AB in D, respetiv E. Stiind unghiul BAC este otuz, s se rte BD + CE > BE + ED + DC. Solutie:

32 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust Din triunghiurile AEC,ABD si AED rezult, respetiv, EC > AD + DC, BD > AE + BE si ED < AE + AD.Apoi, EC + BD > AD + DC + AE + BE si, um AE + AD > ED, urmez ineglitte erut. 6. In triunghiul ABC re lo ineglitte BC > AC.D AD si BE sunt inltimi din A, respetiv din B, s se rte BC + AD AC + BE. S se preizeze, poi, nd re lo eglitte. Solutie: Notm BC =,AC =, AD =,BE =.Atuni, relti erut se srie: + +, su + +, di ( - ) ( 1 - ) 0. Cum, prin ipotez >, eglitte re lo pentru = 1, di pentru triunghiul dreptunghi in C. 7. Dou triunghiuri sunt sezte stfel int u o ltur omun, ir lte dou lturi se intersetez.s se demonstreze, sum lungimilor ltureilor re se intersetez este mi mre det sum lingimilor lturilor re nu se intersetez. Solutie:

33 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust Fie AC ltur omun triunghiurilor ABC si ADC si, fie E puntul de intersetie l lturilor AD si BC.Din triunghiurile AEB si CDE, rezult, respetiv, AE + BE > AB si EC + ED > CD, re, dunte memru u memru, si tinnd sem AE + ED = AD, ir BE + EC = BC, ondu l AD + BC > AB + CD. 8. Medinele orespunztore lturilor BC si AC le triunghiului ABC sunt perpendiulre. S se demonstreze Solutie: Fie AD, BE, CF, medinele triunghiului ABC si fie G puntul lor de intersetie.notm AB =, BC = si AC =. Din triunghiul dreptunghi AGB, rezult GF=. Construim prlelogrmul ACBC (AC BC si AC BC). Cum CF=, urmez CC = 3. Folosind rezulttul unosut, nume intr-un prlelogrm sum ptrtelor digonlelor este egl u sum ptrtelor tuturor lturilor, putem srie: + = +, = +. Deoree - +, urmez 5 + si, pe de lt prte, 5 +. Ineglitte 5 + este ehivlent u , de unde rezult. LA si BC Solutie: 9. In triunghiul ABC, fie [BL isetore unghiului ABC, L AC. S se rte BA LC. Unul dintre unghiurile BLA, BLC este mi mre su el putin egl u. Fie m (BLA) ; tuni, din triunghiul ABL vem AB > AL. Aum, m (BLC) > m (LBC), deoree BLC este unghi exterior triunghiului ABL si ABL LBC. Atuni, din triunghiul BLC rezult BC > LC.

34 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust Fie ABC un triunghi dreptunghi in A. S se rte AD > AB + AC BC, unde D este piiorul inltimii din A. Solutie: Ineglitte din enunt mi pote fi sris: AD + BC > AB + AC su > si um + =, ir AB e devine > 0, ee e este evident. 11. S se rte, d,, sunt lungimile lturilor unui triunghi orere, tuni re lo ineglitte + +. Solutie: Din +, otinem suesiv: ( + - ) - 0, -, ( + ) ( ) 0, ultim fiind, evident, devrt deoree prim prntez este pozitiv, ir dou este negtive. 1. S se demonstreze in orie triunghi ABC u lo ineglittile: 1) h h h h h h p ) h h h p Solutie: 1)Se ştie : S h h h,prin h h urmtorele: 4S h h Sp h h rp R S Rp R S S p S S S 4S æ 1 ç è 1 1 ö 4S ø ee e ondue l: h h h h h h p u eglitte in zul triunghiului ehilterl. ) Fie triunghiul ABC si A ' Î BC, B ' Î AC, C ' Î AB

35 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust stfel inât AA ' BC, BB ' AC, CC ' AB. In triunghiul AA B, m A ' m ÐB, Ð ee e impli: >h. In triunghiul ACC, m C m ÐA Ð ' şi dei >h, ir in triunghiul BB C, B m ÐC Ð ' de unde >h Prin urmre, >h, >h si >h ee e ondue l ++>h +h +h si dei: h +h +h >p m ÐA 90 ) 13. Fie ABC un triunghi dreptunghi u 0 Atuni re lo ineglitte : h p 1 Solutie: Se ştie : h şi p Û 1 1 Din relti 0 ³ este sufiient s verifim:. Prin urmre, ineglitte din enunt devine: otinem Û Û ³,ir ³ 1 ³ Û ³ 0 ³ 4 4 (*) Û re este devrt Eglitte vem d =, di in zul triunghiului dreptunghi isosel. dei pentru demonstr (*)

36 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust S se demonstreze in orie triunghi ABC u lo ineglittile: 1) m p, m p, m p ) m,m, m 3) p m m m p Solutie: 1) Fie triunghiul ABC şi A ' Î BC In triunghiul ABA : m, ir in triunghiul ACA : m, dei m =++, de unde m <p Celellte reltii se otin in mod nlog. ) Fie triunghiul ABC şi A ' Î BC. Considerm puntul M fiind simetriul lui A ft de mijloul segmentului (BC) Prin urmre AM=AA +A M=m +m. Triunghiurile AA C şi MA B sunt ongruente (L.U.L) ee e impli: BM=AB= In triunghiul ABM vem: AM<AB+BM, ee e impli m <+. Celellte reltii se otin in mod similr 3) Fie triunghiul ABC şi A Î BC, C ' Î AB, B ' Î AC onform puntului ) vem: m, m, ee e impli m ' stfel inât AA, BB, CC sunt medine

37 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust m m m di m m m p (*) Considerm puntul N fiind interseti dreptei BC u prlel prin A l medin BB. Notm u E AN Ç MB, unde M este simetriul lui A ft de mijloul segmentului (BC), ir u F AB Ç MN. Oservm AEBB este prlelogrm de unde rezult EB=AB =/ şi u BM=AC=, otinem ME=3/. In triunghiul MNA vem: NA este medin ir BE=ME/3 şi BM=ME/3 prin urmre, NA, ME şi AF sunt B AF Ç ME Ç NA. medine De semene, AM=m, NM=m, AN=m, ir ME ; NA ' ; AF (**) Conform reltiilor din puntul ) vom vem in triunghiul ANM: AF<AN+AM, ME<MA+MN, NA <NA+NM, dr vând in vedere reltiile (**) otinem: 3 m m, 3 m m de unde rezult 3(++)<4(m +m +m ) re este ehivlent u : 3 p m enunt. m m, dr 3 p p şi dei p<m +m +m, re impreun u (*) ne d dul ineglitte din 15. Se notez u M,N şi P respetiv mijloele lturilor (BC); (AC) şi (AB) le triunghiul ABC orere. Dreptele AM, BN şi CP intersetez erul irumsris triunghiul ABC in Q,S,T. S se rte : AM MQ BN NS CP PT ³ 9 Solutie: Putere puntului M ft de er impli: AM/MQ=BM/BC dr BM=MC=A/ ir AM 4m AM=m de unde rezult dei MQ

38 Revist Eletroniă MteInfo.ro ISSN nr. ugust m MQ AM. In mod nlog otinem 4 m NS BN şi 4 m PT CP. Având ele trei reltii şi folosind teorem medinei vem: m m m PT CP NS BN MQ AM ø ö ç è æ ø ö ç è æ ø ö ç è æ ³. In onluzie 9 ³ PT CP NS BN MQ AM. Biliogrfie: Ion Vârtopenu, Olimpi Vârtopenu Geometrie plnă pentru gimnziu şi lieu. Criov, Editur Sii 1994 Chiţei, Gh. A. Metode pentru rezolvre prolemelor de geometrie. Buureşti, Editur Didtiă şi Pedgogiă 1969