Etterutdanning i matematikk - Modul 2 Kristiansund 2006/07

Transkript

1 Mona Røsseland Matematikksenteret Etterutdanning i matematikk - Modul 2 Kristiansund 2006/07 - Fokus på hovedområdene 14-Oct-06 Kursoversikt 1.kursdag: Tall Tallforståelse, naturlige tall, de fire regneartene 2.Kursdag(6.feb): Tall Utvidelse av tallområdet til hele tall og rasjonale tall som brøk, desimaltall og prosent. 3.kursdag( 17.apr): Geometri Geometriens kjerneområde; beskrive og analysere, transformasjon, gjøre beregninger 4.kursdag(8.mai): Målinger/statistikk/sannsynlighet 14-Oct-06 2 Dagsoversikt kursdag 1 Tallbegrep og tallforståelse Addisjon og subtraksjon Multiplikasjon og divisjon 14-Oct

2 Tallbegrep og tallforståelse En kardinal forståelse av tall vil si at en kan spørre hvor mange. Dette betyr at: Barn kan telle, det vil si at de kan telleramsen ved å si tallrekken i rekkefølge samtidig som hvert tallord er tilordnet hvert objekt som det teller. 14-Oct-06 4 En kardinal forståelse Det betyr at barn har en èn til èn korrespondanse, at det til et element i en mengde finnes et tilhørende element i en annen mengde. Er det 6 personer som skal spise, må det være 6 tallerker for at alle skal få hver sin. Parkobling Barn kan se en mengde, og de er ikke avhengig av å telle opp antallet.. Se at det er 4 på terningen, i stedet for å måtte telle opp Ved å gruppere elementer kan en lettere få oversikt over antallet, f.eks i femmer eller tiergrupper. 14-Oct-06 5 En kardinal forståelse Barn har forståelse for mengdekonservering. At mengden er like stor om en har den samlet eller om den er spredt utover: aaa = a a a Antallskonservering (Piaget) 14-Oct

3 Ordinal forståelse En ordinal forståelse av tall vil si at en kan spørre i hvilken rekkefølge Det betyr at: Barn vet hvem som er først, andre. 14-Oct-06 7 Ordinal forståelse Jeg er først til og kaste terningen, så er du andremann Barn klarer å sette gjenstander opp i stigende/synkende rekkefølge, den lille geitekillingen, den mellomstore geitekillingen og den største geitekillingen Barn vet at 4 er en mer enn 3, og at 4 en mindre enn 5 Barn kjenner relasjonsbegreper som stor større størst, liten mindre minst Rekkefølgeord: først, sist, i midten, etterpå, til slutt, etter, foran, bak, framfor, bakom 14-Oct-06 8 Kardinal- og ordinaltallbegrepet Kardinaltallbegrepet og ordinaltallbegrepet henger tett sammen. Vi ser at telling og ordning er gjensidig avhengig av hverandre. 14-Oct

4 Kardinal- og ordinaltallbegrepet Petra og Pontus tok buss 43 fra byen og betalte 18 kroner hver. De gikk av på det tredje stoppestedet. Derfra måtte de to gå 10 minutter, bærende på 2 kilo poteter, 3 liter appelsinjucie, 28 bokser kattemat. De var glade da de endelig var hjemme i Portveien 7. Gå igjennom alle tallordene som er nevnt i teksten og se på hvordan de kan representere ulike aspekter ved tallbegrepet. 14-Oct Oppsummering Kardinaltall: tallord forteller om hvor mange. Dette kalles også mengdetall eller antall. To hovedtyper: A. Tallordet angir antall objekter. Eksempel: Bente har seks biler. B. Tallordet angir måleenheter. Eksempel: to liter brus Ordenstall: Tallordet forteller om objektets plassering i en serie. Dette kalles også ordenstall eller rekkefølgetall. Eksempel: Per skal begynne først i morgen. Tall som identitet: Tallordet blir brukt som identifikasjon, et slags navn. Eksempel: Buss Oct Tallforståelse hos barn Tallforståelse er ikke det samme som telling og oppramsing av tallene. Det er mye mer enn det. God tallforståelse forutsetter at barn i tillegg har: Kjennskap til rekkefølge (første, andre, tredje ) Kjenne tallverdien (2 <3<4) Kjenne mengdebegrepet Ha seriell (etterfølgende, tallinje) og holistisk (helhetlig, gruppering) oppfatning av tallene Kjenne til og forståelse for posisjonssystemet 14-Oct

5 De fire regningsartene 14-Oct-06 Arbeid med de fire regneartene innbærer kjennskap til: Regnestrategier; det å forenkle, se sammenhenger, utnytte kunnskaper med tall Posisjonssystemet Tabellkunnskap; se system og mønster i addisjon-og multiplikasjonstabellene Additive og multiplikative strukturer; kunne tolke og kjenne igjen en situasjon. Avgjøre hvilke regneart som er relevant å bruke. Algoritmer; Regne med flersifrete tall. Bruke egne eller standardalgoritemer. 14-Oct Regnestrategier og se matematiske sammenhenger 14-Oct

6 posisjonssystemet = Oct Gje og ta Skriv eit fire-, fem-, eller sekssifra tal på et ark. Ikkje vis talet til motspelar Talet skal ikkje innehalde 0 eller nokon like siffer. 14-Oct Hundreruta 14-Oct

7 Addisjon og subtraksjon i fire kategorier Problemstillinger som inkluderer addisjon og subtraksjon kan ha svært varierende strukturer. Oppgavens struktur spiller en stor rolle for hvor vanskelig oppgavene vil være for elevene. Viktig at lærerne vet hvilke additive strukturer som finnes. Nødvendig at elevene får gjort erfaringer med alle disse aspektene ved addisjon og subtraksjon slik at de får utvikle rike begreper. Dvs at de både vet når det er passende å bruke de ulike regneoperasjonene, og at de har gode faktakunnskaper og ferdigheter som kan tas i bruk i selve regnearbeidet. 14-Oct Endring Her har man et antall av et eller annet, så får man noen til (sammenslåing), eller noe forsvinner (separering), slik at en får et nytt antall til slutt. Tre ulike typer oppgaver (A + B = C) 1. Anne har 8 epler. Hun plukker 5 til. Hvor mange epler har hun nå? C er ukjent 2. Anne har 8 epler. Hun plukker noen flere, slik at hun har 13 stykker. Hvor mange plukket hun? B er ukjent 3. Anne har noen epler. Hun plukker 5 til. Da har hun 13 epler. Hvor mange hadde hun først? A er ukjent. 14-Oct Endring Eksempel på separering: A B = C Også her finner en tre ulike typer. 1. Anne har 13 epler i en pose. Så gir hun bort noen til broren. Da har hun 8 igjen. Hvor mange epler gav hun til broren? B er ukjent. Kan dere finne eksempel på de to andre typene? 14-Oct

8 2. Kombinere Her kombineres to mengder av et eller annet, eller en mengde separeres i to. A1 + A2 = B A = B1 + B2 Her kan en lage oppgaver av to forskjellige typer, avhengig hva som er ukjent. 1.Anne har 13 epler. 5 røde og resten grønne. Hvor mange grønne har hun? B2 er ukjent 2.Anne har 5 røde og 8 grønne epler. Hvor mange epler har hun? B er ukjent 14-Oct Sammenligne I oppgaver i denne kategorien handler det om å sammenligne antallet i to mengder. Denne strukturen kan illustreres slik: A1 A2 D A1 og A2 er de to mengdene, mens D er differansen mellom dem. 14-Oct Eksempler på oppgaver: 1. Anne har 13 epler, mens Berit har 5. Hvor mange flere har Anne? 2. Berit har 5 epler, mens Anne har 8 flere. Hvor mange epler har epler? 3. Anne har 13 epler. Hun har 5 flere enn Berit. Hvor mange epler har Berit? Igjen ser vi tre typer oppgaver: 1. Differansen er ukjent (D) 2. Den største mengden er ukjent 3. Den minste mengden er ukjent. 14-Oct

9 4. Å gjøre likt Oppgaver av denne kategorien er omtrent som i sammenligningskategorien, men her skal vi utligne forskjellen. Eksempler: 1. Anne har 13 epler, mens Berit har 5. Hvor mange flere må Berit få for at hun skal ha like mange som Anne? 2. Berit har 5 epler. Hvis hun får 8 til, vil hun ha like mange som Anne. 3. Anne har 13 epler. Hvis Berit får 8 til, vil hun ha like mange som Anne. Hvor mange epler har Berit? 14-Oct For at elevene skal utvikle gode begreper, er det nødvendig både med regneferdigheter og med kunnskap om når faktaene og ferdighetene bør brukes. Elevene må få gjøre erfaringer med alle de forskjellige strukturene hvor begrepet kan bringes på bane. Dette gjøres gjennom en bevisst variasjon i strukturen i oppgavene elevene arbeider med, og i hvilken av størrelsene som er den ukjente. 14-Oct Subtraksjonsspill Kast en terning etter tur. Skriv antall øyne i en av rutene. Etter fem runder er alle rutene fylt ut. Trekk det tosifrede tallet fra det tresifrede. Den med størst differanse, vinner. I stedet for å kaste terning kan man trekke kort eller bruke en spinner (fra 1 9) for å lage sifrene. Ved at det tallet en starter med har ett siffer mer, slipper en å ende opp med negative tall, noe som kan skje om tallene har like mange sifre. 14-Oct

10 14-Oct Multiplikative strukturer Multiplikative strukturer kan både lede til oppgaver som kan løses med multiplikasjon og divisjon. Ved å forandre på hva som er kjent og ukjent, kan oppgavene gjøres om til divisjonsoppgaver. 14-Oct A x B = C C ukjent = multiplikasjon A eller B ukjent = divisjon 14-Oct

11 Multiplikative strukturer Noen spesielle ting omkring divisjon: Det finnes to typer divisjon: Delingsdivisjon, hvor det er et eller annet som skal fordeles på et bestem antall. Da er det ukjent hvor mye hver får. Eksempel: 52 kort deles på fire personer, hvor mange kort får hver? Målingsdivisjon. Her skal også noe fordeles, men nå vet ikke hvor mange som får et bestemt antall. Eksempel: 52 kort legges I bunker med 13 kort i hver, hvor mange bunker blir det? 14-Oct Ulike multiplikative oppgavestrukturer 1. Like grupper: Her dreier det seg om grupper med likt antall: 3 barn har 4 kaker hver. Hvor mange kaker har de i alt? Oppgavene kan løses ved gjentatt addisjon. 14-Oct Ulike multiplikative oppgavestrukturer 2. Forhold (multiplikativ sammenligning): Dette er såkalt multiplikativ økning, f.eks at det er tre ganger så mange regndager i Bergen som soldager. John har 3 ganger så mange epler som Kari. Kari har 4 epler. Hvor mange epler har han? Her blir det vanskelig å bruke gjentatt addisjon, for det kommer ikke klart frem av settingen at en mengden skal gjentas så og så mange ganger. Det er heller ikke uvanlig at en i disse oppgavene har to forskjellig størrelser som står i forhold til hverandre, som f.eks det er fire ganger flere katter enn hunder 14-Oct

12 3. Rekker Igjen er det snakk om grupper med like mengder, men nå er de arrangert i et mønster med rekker og rader. Også her kan en bruke gjentatt addisjon, men denne oppgavetypen legger mer opp til å bruke multiplikasjon i løsningen. Rutenett 14-Oct Kartesisk produkt Kombinatorikk Her finner vi den kombinatoriske tankegangen, dvs å finne par av alle kombinasjonsmulighetene, f.eks hvor mange ulike påkledninger kan klovnen ha når han har tre skjorter og to bukser. Ola skal kjøpe pizza og brus. På butikken har de 5 slags pizza og 20 typer brus. Hvor mange valgmuligheter har han? 14-Oct Oppdage og utnytte sammenhenger i multiplikasjon Dobling: 2 x 6 = 12 4 x 6 = 24 8 x 6 = 48 Halvering og dobling: 5 x x 4 En mer og en mindre: 6 x 7 =?. 5 x 7 = = 42 Gange med hele tiere og hundrere 14-Oct

13 Oppdage og utnytte sammenhenger i multiplikasjon Kommutative lov: a x b = b x a 2 x 7 = 7 x 2 Assosiative lov: a x (b x c) = (a x b)x c 6 x 40 (4 x 10) = (6 x 4) x x 17 = 10 x ( 2 x 17) eller (10 x 17) x 2 Distributive lov: a x (b +c) = a x b + a x c 6 x 15 = 6 x x 5 14-Oct Ulike måter å multiplisere tosifrede tall Multipliser: 43 x 23 = uten å bruke standardalgoritmen 14-Oct Personnummer Folkeregistering: Hovedbegrunnelsene for å opprette et slikt register var for det første å skaffe et grunnlag for å utarbeide skatte- og valgmanntall og å føre befolkningsstatistikk. I 1905 kom loven som ga kommunene adgang til å føre folkeregister, men de ble ikke pålagt dette før en ny lov kom i I Norge fødes det ca barn årlig. Når et nytt barn blir født, sendes det blant annet melding til folkeregisteret i morens bostedskommune (eventuelt fødekommune). 14-Oct

14 Personnummer Under registreringen her får barnet tildelt et fødselsnummer på grunnlag av fødselsdato og kjønn. Fødselsnummeret er på 11 sifre og består av fødselsdatoen (6 sifre) og personnummeret (5 sifre). 14-Oct DDMMÅÅ 111 KK Fødseldato Individnr. Kontrollnr Det 3-sifrede individnummeret skiller mellom personer som er født på samme dag. Alle som var født på 1800-tallet, ble tildelt et individnummer fra 500 til 749. Personer som er født på 1900-tallet, har blitt tildelt individnummer fra 000 til 499. fra år 2000 tok man i bruk individnummerserien Oct Individnummer De som har samme fødselsdato, må altså tildeles forskjellige individnummer. Hvilket individnummer du får, kan være litt tilfeldig. Det er ikke sikkert at to som er født med ett sekunds mellomrom, får to etterfølgende tall som individnummer. Individnummeret viser også om personen er mann eller kvinne. Dette er kodet i det tredje individsifferet I 3. Kvinner får tildelt individnummer der I 3 er et partall (0,2,4,6 eller 8), mens menn får tildelt et oddetall (1,3,5,7 eller 9). Individnummer-systemet gir oss i utgangspunktet 500 nummer å bruke per dag; 250 på jenter og 250 på gutter. 14-Oct

15 Kontrollnummer 1 Fødselsdatoen og individnummeret gir oss et nisifret tall som brukes til å beregne kontrollsifrene K 1 og K 2 slik at vi får hele fødselsnummeret. For å finne K 1 regner vi først ut kontrollverdien V 1 : V 1 =3D 1 +7D 2 +6M 1 +1M 2+ 8å 1 +9å 2 +4I 1 +5I 2 +2I 3. Deretter deler vi V 1 på 11. Da får vi et resttall (et tall mellom 0 og 10). Hvis resttallet er 0, er K 1 =0, ellers er K 1 lik 11 minus dette resttallet. 14-Oct Kontrollnummer 2 Tilsvarende beregnes det andre kontrollsifferet K 2 fra de ti andre sifrene: Kontrollverdien K 2 regnes ut ved V 2 =5D 1 +4D 2 +3M 1 +2M 2 +7å 1 +6å 2 +5I 1 +4I 2 +3I 3 + 2K 1 Så deler vi V 2 på 11 og får igjen et resttall. Hvis resttallet er 0, er K 2 =0, ellers er K 2 lik 11 minus dette resttallet. Vi ser at siden både K 1 og K 2 skal være et siffer, må vi ta vekk alle individnummerne som vil gi K 1 og K 2 lik 10. Dette gir oss i realiteten 450 individnummer å bruke per dag. 14-Oct Ulike aktiviteter Restkappløpet Bygge kvadrater Grubliser Loop Fylle slangen Multiplikasjonsbingo med kort Utforsk tallene. Hvilke kan vi bygge rektangler med? Juniper green 14-Oct