E k s e m p e l o p p g a v e oktober 2000

Transkript

1 E k s e m p e l o p p g a v e oktober 000 Matematikk 1MX Bokmål Les opplysningene på neste side.

2 Eksamenstid: 5 timer Hjelpemidler: Andre opplysninger Vedlagt formelark. Formelsamling utgitt av Eksamenssekretariatet/Gyldendal Norsk Forlag (. utgave) Grafisk lommeregner Egenlaget elevbok Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåter og hjelpemidler. Du skal føre inn nødvendig mellomregning. Skriv en forklaring som er så fullstendig at det ikke kan være tvil om hvordan du løste oppgaven. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. På første side av svararket skal du skrive navn og type på den lommeregner du har brukt ved eksamen. Grafer - bruk av grafisk lommeregner Oppgi de lommeregnerfunksjonene du har brukt. Det er ikke nødvendig å oppgi alle tastetrykkene. Husk å skrive målestokk og enheter på aksene når du tegner grafer i besvarelsen. Du behøver ikke føre inn tabell over utregnede funksjonsverdier dersom det ikke er spurt spesielt etter det i oppgaven. Ved grafisk løsning på lommeregner er det tilstrekkelig at du skisserer kurvens form i besvarelsen. På skissen skal det vises tydelig hvordan du kom fram til svaret. Vurdering Karakteren fastsettes etter en helhetlig vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser grunnleggende fagkunnskap viser forståelse ved å anvende fagkunnskap i nye situasjoner gjennomfører logiske resonnementer kan bruke hjelpemidler ser sammenhenger i faget og er oppfinnsom vurderer om svar er rimelige forklarer fremgangsmåten og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger. Oppgavesettet har 7 sider medregnet forsiden. VG1330-eksempeloppgave-okt-000

3 OPPGAVE 1 I denne oppgaven er det tre deloppgaver med valgfrie alternativer med ulik vanskelighetsgrad. På hver deloppgave skal du velge enten Alternativ I med lavest vanskelighetsgrad eller alternativ II med størst vanskelighetsgrad. Ved sensur vil en kunne få mest uttelling for alternativet med størst vanskelighetsgrad. a) enten I Regn ut 0 3 a a a 4 a b) Løs likningssettet ved regning enten I x+ y= 1 x y= 5 eller II På jorda er tyngdeakselerasjonen 9,8 m/s, mens den på månen bare er 1,6 m/s. Regn ut verdien til tyngdeakselerasjonen g på Mars etter formelen g = k M der r k = 6, , M = 6, og r = 3, eller II 3 x y= 1 1 x+ y= 3 c) Trekk sammen enten I 1+ (1+ 3 a) 3(a+ ) eller II a+ 1 5a a 1 3a 3 OPPGAVE Telenor har bl.a. disse abonnementene beregnet på private mobiltelefonkunder: "PROFF", "PRIVAT" og "RING KONTANT". Abonnementspriser per 1. oktober 000: PROFF PRIVAT RING KONTANT Abonnementspris per måned 49,00 50,00 0,00 Samtaler i Norge (kroner per minutt): Mobil i Telenors mobilnett kl ,89 1,99 1,99 kl ,89 1,39 1,99 Vurder hvilke abonnement man bør velge ut fra når man ringer og hvor mye man ringer. Ved sensur blir det lagt spesielt vekt på: hvor klart og oversiktlig du presenterer dine beregningene hvor realistiske dine forutsetninger er VG1330-eksempeloppgave-okt-000 3

4 OPPGAVE 3 Tre 16-åringer planlegger å starte en dataklubb. De vil verve medlemmer via Internett og starte en klubb der de kan utveksle erfaringer, diskutere dataspill og lære av hverandre. Medlemstallet utvikler seg slik det første året: Måned nr Medlemstall a) Bruk lommeregneren til å undersøke hvor godt ulike funksjoner kan beskrive utviklingen av medlemstallet i dataklubben. Tegn skisse av de ulike funksjonene. Da de startet, ønsket de å øke medlemstallet med 50 % per måned. For å unngå at klubben blir altfor stor, satte de en øvre grense for medlemstallet på åringenes mål for utviklingen av medlemstallet kan uttrykkes ved en modell der en bruker denne formelen: f(x) = 3 1, 50 x f(1) er medlemstallet i måned nr. 1, f() er medlemstall i måned nr. osv. b) Lag en skisse av grafen til denne funksjonen. c) Vurder hvor godt modellen for målsettingen samsvarer med den virkelige utviklingen av medlemstallet, slik det framgår av tabellen øverst. d) Finn ved regning hvor lang tid det tar før medlemstallet når 1000 ifølge modellen. VG1330-eksempeloppgave-okt-000 4

5 OPPGAVE 4 Her er noen resultater fra en medisinsk undersøkelse: I aldersgruppen 16-4 år røyker 30 % av guttene og 30 % av jentene daglig. I den samme aldersgruppen er det 0 % av guttene som aldri trener eller mosjonerer. Blant jentene er denne andelen 10 %. Vi velger tilfeldig en gutt og to jenter i denne aldersgruppen. a) Hva er sannsynligheten for at gutten ikke røker daglig? b) Hva er sannsynligheten for at ingen av jentene røker daglig? c) Hva er sannsynligheten for at minst en av jentene røyker daglig? Overlege Frisk uttaler til Dagavisen: "40 % av unge jenter og 50 % av unge gutter enten røyker eller trener ikke. Dette er et alvorlig problem for folkehelsa." d) Legen har tydeligvis lagt sammen 30 % og 10 % for jentene, og 30 % og 0 % for guttene. Er du enig i hans beregninger? OPPGAVE 5 a) Løs likningen: x + x 8 = 0 b) Faktoriser uttrykket: x + x 8 c) For hvilke verdier av a har likningen x + ax 8 = 0 heltallige løsninger? VG1330-eksempeloppgave-okt-000 5

6 OPPGAVE 6 I begynnelsen av en influensaepidemi økte antall smittede etter modellen t F( t) = , 15 der t er tiden målt i døgn. a) Hvor mange var smittet ved tidspunktet 1) t = 0 ) t = 0 b) Finn gjennomsnittlig vekst (vekstfart) 1) fra t = 0 til t = 0 ) fra t = 0 til t = 30 Hva forteller svarene? c) Finn momentan vekst (vekstfart) for 1) t = 0 ) t = 5 Hva forteller svarene? Du skal enten løse oppgave 7A eller oppgave 7B eller oppgave 7C. Disse tre alternativene vil ved sensur i utgangspunktet telle omtrent like mye. Valgoppgave OPPGAVE 7A Lufttrykk og høyde over havet Normalt lufttrykk avtar med 1 % for hver kilometer høyden over havet øker. Normalt lufttrykk ved havoverflaten er 1013 millibar. a) Finn en sammenheng (uttrykt ved en formel, graf eller tabell) mellom normalt lufttrykk og høyden over havet. b) Bestem normalt lufttrykk på Galdhøpiggen (469 m.o.h.) c) Hvor høyt over havet befinner vi oss når normalt lufttrykk er 580 millibar? VG1330-eksempeloppgave-okt-000 6

7 Valgoppgave OPPGAVE 7B Prosjektarbeid Du må ikke bruke for mye tid på denne oppgaven. Svaret på oppgaven bør ikke være på mer enn én side. Dette skoleåret har du hatt et større skriftlig arbeid eller en prosjektoppgave i matematikk. Gi en kort orientering om dette arbeidet eller denne oppgaven. Orienteringen skal være slik at den skal kunne leses og forstås av en person som aldri før har sett eller hørt om besvarelsen din. Samtidig skal den være kortfattet uten at du forteller alle detaljer fra arbeidet. Ved vurdering av svaret ditt blir det blant annet lagt vekt på: hvor klart og oversiktlig du presenterer målet for arbeidet ditt hvor godt du får fram resultatene fra arbeidet i hvilken grad du klarer å trekke fram matematikken du har lært gjennom arbeidet Valgoppgave OPPGAVE 7C Historisk datering Sumtangen deler Finnsbergsvannet nesten i to og har trolig fått navnet sitt etter svømmende reinsdyr. Ved tangen finnes tallrike spor etter fortidens fangstfolk. En gruppe arkeologer ville undersøke førhistorisk bosetning på Hardangervidda. De fant en plass der reinen på sine vandringer måtte svømme over et smalt sund i Finnsbergvannet (Sumtangen), og de begynte sine undersøkelser der. Etter en god del leting og graving fant de rester etter et leirsted under mye torv. De sendte rester fra leirbålet til C-14 datering. Resultatet de fikk tilbake, fortalte at karbonet i prøven inneholdt 36,7 % av opprinnelig mengde. Halveringstida for C-14 er omtrent 5730 år. Hvor gammelt vil du anslå leirbålet til å være? VG1330-eksempeloppgave-okt-000 7

8 E k s e m p e l o p p g a v e Matematikk 1MY oktober 000 Bokmål Les opplysningene på neste side.

9 Eksamenstid: 5 timer Hjelpemidler: Andre opplysninger Vedlagt formelark. Formelsamling utgitt av Eksamenssekretariatet/Gyldendal Norsk Forlag (. utgave) Grafisk lommeregner Egenlaget elevbok Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåter og hjelpemidler. Du skal føre inn nødvendig mellomregning. Skriv en forklaring som er så fullstendig at det ikke kan være tvil om hvordan du løste oppgaven. Dersom oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. På første side av svararket skal du skrive navn og type på den lommeregner du har brukt ved eksamen. Grafer - bruk av grafisk lommeregner Oppgi de lommeregnerfunksjonene du har brukt. Det er ikke nødvendig å oppgi alle tastetrykkene. Husk å skrive målestokk og enheter på aksene når du tegner grafer i besvarelsen. Du behøver ikke føre inn tabell over utregnede funksjonsverdier dersom det ikke er spurt spesielt etter det i oppgaven. Ved grafisk løsning på lommeregner er det tilstrekkelig at du skisserer kurvens form i besvarelsen. På skissen skal det vises tydelig hvordan du kom fram til svaret. Vurdering Karakteren fastsettes etter en helhetlig vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser grunnleggende fagkunnskap viser forståelse ved å anvende fagkunnskap i nye situasjoner gjennomfører logiske resonnementer kan bruke hjelpemidler ser sammenhenger i faget og er oppfinnsom vurderer om svar er rimelige forklarer fremgangsmåten og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger. Oppgavesettet har 8 sider medregnet forsiden. VG1331-eksempeloppgave-okt-000

10 OPPGAVE 1 I denne oppgaven er det tre deloppgaver med valgfrie alternativer med ulik vanskelighetsgrad. På hver deloppgave skal du velge enten Alternativ I med lavest vanskelighetsgrad eller alternativ II med størst vanskelighetsgrad. Ved sensur vil en kunne få mest uttelling for alternativet med størst vanskelighetsgrad. a) enten I Regn ut 0 3 a a a 4 a b) Løs likningssettet ved regning enten I x+ y= 1 x y= 5 eller II På jorda er tyngdeakselerasjonen 9,8 m/s, mens den på månen bare er 1,6 m/s. Regn ut verdien til tyngdeakselerasjonen g på Mars etter formelen g = k M der r k = 6, , M = 6, og r = 3, eller II 3 x y= 1 1 x+ y= 3 c) Trekk sammen enten I 1+ (1+ 3 a) 3(a+ ) eller II a+ 1 5a a 1 3a 3 OPPGAVE Telenor har bl.a. disse abonnementene beregnet på private mobiltelefonkunder: "PROFF", "PRIVAT" og "RING KONTANT". Abonnementspriser per 1. oktober 000: PROFF PRIVAT RING KONTANT Abonnementspris per måned 49,00 50,00 0,00 Samtaler i Norge (kroner per minutt): Mobil i Telenors mobilnett kl ,89 1,99 1,99 kl ,89 1,39 1,99 Vurder hvilke abonnement man bør velge ut fra når man ringer og hvor mye man ringer. Ved sensur blir det lagt spesielt vekt på: hvor klart og oversiktlig du presenterer dine beregningene hvor realistiske dine forutsetninger er VG1331-eksempeloppgave-okt-000 3

11 OPPGAVE 3 Meter over havet Grufsehø 100 Endelia Unnerdal 600 Storstøl Antall km På figuren over er det tegnet en løypeprofil i terrenget mellom Storstøl og Endelia. x-aksen viser vannrett avstand i kilometer fra Storstøl, mens y-aksen viser høyden over havet i meter. a) Du og en venninne skal gå fra Storstøl, via Grufsehø og Unnerdal til Endelia. Bruk figuren til å beskrive turen dere har foran dere. b) Vurder hvor godt grafen til 3. gradsfunksjonen f gitt ved 3 f ( x) = 0,19x 10,3x + 154x stemmer med løypeprofilen på figuren ovenfor. VG1331-eksempeloppgave-okt-000 4

12 OPPGAVE 4 Her er noen resultater fra en medisinsk undersøkelse: I aldersgruppen 16-4 år røyker daglig 30 % av guttene og 30 % av jentene. I den samme aldersgruppen er det 0 % av guttene som aldri trener eller mosjonerer. Blant jentene er denne andelen 10 %. Vi velger tilfeldig en gutt og to jenter i denne aldersgruppen. d) Hva er sannsynligheten for at gutten ikke røker daglig? e) Hva er sannsynligheten for at ingen av jentene røker daglig? f) Hva er sannsynligheten for at minst en av jentene røyker daglig? Overlege Frisk uttaler til Dagavisen: "40 % av unge jenter og 50 % av unge gutter enten røyker eller trener ikke. Dette er et alvorlig problem for folkehelsa." d) Legen har tydeligvis lagt sammen 30 % og 10 % for jentene, og 30 % og 0 % for guttene. Er du enig i hans beregninger? VG1331-eksempeloppgave-okt-000 5

13 OPPGAVE 5 9 cm 9 cm Figur 1 Kvadrat til fraktaltegning Figur Fraktaltre a) Du skal forme et fraktal med blyant og linjal. Bruk et kvadrat med mål som på figur 1. Følg disse reglene: I hvert hjørne inne i kvadratet skal du tegne et kvadrat som har sider som er 1 av sidene i det forrige kvadratet. 3 Fortsett med å tegne tilsvarende kvadrater i hvert av kvadratene som du har tegnet, til sammen tre ganger. b) På figur ser du eksempel på en fraktal. Lag din egen fraktal. VG1331-eksempeloppgave-okt-000 6

14 OPPGAVE 6 a) Tegn tre gylne rektangler med disse kravene: 1) Rektangel 1 skal ha kortside,0 cm. ) Rektangel skal ha langside 6,0 cm. 3) Rektangel 3 skal ha flateinnhold 10 cm. På figuren er ABCD et gyllent rektanglet. Vi deler ABCD i to, slik at AEFD blir et kvadrat. b) Vis - uten å gjøre målinger på figuren - at også EBCF er et gyllent rektangel! Du skal enten løse oppgave 7A eller oppgave 7B eller oppgave 7C. Disse tre alternativene vil ved sensur i utgangspunktet telle omtrent like mye. Valgoppgave OPPGAVE 7A Lufttrykk og høyde over havet Normalt lufttrykk avtar med 1 % for hver kilometer høyden over havet øker. Normalt lufttrykk ved havoverflaten er 1013 millibar. d) Finn en sammenheng (uttrykt ved en formel, graf eller tabell) mellom normalt lufttrykk og høyden over havet. e) Bestem normalt lufttrykk på Galdhøpiggen (469 m.o.h.) f) Hvor høyt over havet befinner vi oss når normalt lufttrykk er 580 millibar? VG1331-eksempeloppgave-okt-000 7

15 Valgoppgave OPPGAVE 7B Prosjektarbeid Du må ikke bruke for mye tid på denne oppgaven. Svaret på oppgaven bør ikke være på mer enn én side. Dette skoleåret har du hatt et større skriftlig arbeid eller en prosjektoppgave i matematikk. Gi en kort orientering om dette arbeidet eller denne oppgaven. Orienteringen skal være slik at den skal kunne leses og forstås av en person som aldri før har sett eller hørt om besvarelsen din. Samtidig skal den være kortfattet uten at du forteller alle detaljer fra arbeidet. Ved vurdering av svaret ditt blir det blant annet lagt vekt på: hvor klart og oversiktlig du presenterer målet for arbeidet ditt hvor godt du får fram resultatene fra arbeidet i hvilken grad du klarer å trekke fram matematikken du har lært gjennom arbeidet Valgoppgave OPPGAVE 7C Historisk datering Sumtangen deler Finnsbergsvannet nesten i to og har trolig fått navnet sitt etter svømmende reinsdyr. Ved tangen finnes tallrike spor etter fortidens fangstfolk. En gruppe arkeologer ville undersøke førhistorisk bosetning på Hardangervidda. De fant en plass der reinen på sine vandringer måtte svømme over et smalt sund i Finnsbergvannet (Sumtangen), og de begynte sine undersøkelser der. Etter en god del leting og graving fant de rester etter et leirsted under mye torv. De sendte rester fra leirbålet til C-14 datering. Resultatet de fikk tilbake, fortalte at karbonet i prøven inneholdt 36,7 % av opprinnelig mengde. Halveringstida for C-14 er omtrent 5730 år. Hvor gammelt vil du anslå leirbålet til å være? VG1331-eksempeloppgave-okt-000 8

16 Formelark 1MX/1MY-okt-000 1

17 Formelark 1MX/1MY-okt-000

18 Formelark 1MX/1MY-okt-000 3

19 Formelark 1MX/1MY-okt-000 4

20 Språkbruk i eksamensoppgaver i matematikk (utdrag fra Informasjon SUE/Vg ) (Dette gjelder generelt for alle matematikkfagene på grunnkurs, videregående kurs I og II.) Det er behov for en viss presisering av språkbruken i sentralgitte eksamensoppgaver i forbindelse med bruk av lommeregner. Oppgavene forutsetter at eksaminanden disponerer lommeregner med grafisk vindu. Oppgavene vil ofte ta utgangspunkt i virkelighetsnære situasjoner, der eksaminanden selv skal kunne finne matematiske formuleringer og løsningsmetoder. Vanligvis er det opp til eksaminanden å vurdere hvilke hjelpemidler, innenfor læreplanens rammer, som skal brukes ved problemløsningen. Ofte vil lommeregneren ikke være til hjelp ved løsning av oppgaver. I andre tilfeller vil oppgaven ikke kunne løses uten å bruke lommeregneren som hjelpemiddel. Problemstillinger som før var utilgjengelige på grunn av stort eller vanskelig regnearbeid, er nå innen rekkevidde. Hvis det er meningen at en oppgave skal løses uten å bruke lommeregner, hvor den kunne ha vært brukt, vil dette bli presisert i oppgaveteksten. Formuleringer som Løs likningen ved regning Finn ved regning Bestem eksakte løsninger betyr at oppgaven skal løses «for hånd» på papiret, ved hjelp av bl.a. konvensjonell symbolregning. Lommeregneren skal da ikke brukes til annet enn å utføre operasjoner knyttet til de fire regningsartene og utregning av funksjonsverdier. Ved andre formuleringer er eksaminanden fri til å bruke lommeregnerens muligheter fullt ut. Ordlyden «løs likningen» f.eks. legger ikke opp til en bestemt framgangsmåte. Likningen kan løses grafisk, ved regning, ved å benytte f.eks. «solve», «G-solv», «root», «trace», «intersection» eller ved å gjette og deretter verifisere gjennom innsetting. Ved bruk av grafiske løsningsmetoder må grafen tegnes eller skisseres i besvarelsen. Argumentasjonen må framgå i tilknytning til figuren. Det er ikke tilstrekkelig å henvise til en graf på lommeregneren, som sensor ikke kan se. I forbindelse med kurvedrøfting vil f.eks. følgende formulering være aktuell: «Finn eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til f ved regning». Språkbruk-matematikk-okt-000 1

21 Her må eksaminanden vanligvis finne uttrykket for den deriverte, ved regning. tegne fortegnslinja eller grafen til den deriverte. avgjøre om vi får topp- eller bunnpunkt. Vurderingen kan selvsagt også knyttes til fortegnet for f (x) der f (x) = 0 Tilsvarende gjelder ved bestemmelse av vendepunkt. Ved en formulering som «Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til f», er det ikke stilt krav til framgangsmåte. Avlesning på grafen, tegnet eller skissert i besvarelsen, vil være tilstrekkelig. Det må framgå hvordan avlesningen er foretatt. Ved bestemmelse av asymptoter er det ikke fullgodt bare å regne ut noen funksjonsverdier for store verdier av den frie variable, eller å skrive at nevneren blir null for en bestemt x-verdi. Problemet bør analyseres nærmere ved grenseverdibetraktninger. Mellomregning og mellomresultater må tas med i rimelig omfang også når eksaminanden bruker grafisk lommeregner. Eksaminanden må kort gjøre rede for hvilke sentrale funksjoner på kalkulatoren som er brukt. Det er sjelden nødvendig å gjengi alle tastetrykkene. Det er viktig at inntastingsfeil og avlesningsfeil kan avsløres som slike og ikke forveksles med manglende forståelse. Flere aktuelle lommeregnere inneholder ferdige prosedyrer for løsning av sammensatte problemer. Det gjelder f.eks. innlagte programmer for bestemmelse av tangent, løsning av likninger og likningssystemer og automatiserte prosedyrer knyttet til finansfunksjoner og hypotesetesting. Hvis slike funksjoner på lommeregneren tas i bruk, er det særlig viktig at eksaminanden redegjør for tankegangen bak løsning av oppgaven. Det samme gjelder hvis eksaminanden benytter egne programmer, som ikke er standard på vedkommende lommeregner. I slike tilfelle bør både løsningsmetode og resonnement dokumenteres forholdsvis detaljert. Det tilstrebes en positiv sensur ved eksamen. Sensorene vil vurdere hva eksaminanden kan, framfor å finne ut hva han ikke kan. Det er derfor sjelden verdiløst om eksaminanden løser oppgaven på en annen måte enn oppgaveteksten ber om, selv om svaret da ikke kan betraktes som fullgodt. Dersom det oppstår tvil og ulike oppfatninger av oppgaveteksten, vil sensorene være åpne for rimelige tolkninger. Språkbruk-matematikk-okt-000