Kompendium for LEI102 Matematikk. Petter N. Sæterdal 28. oktober Kompendium for matematikk LEI102 side 1/49

Transkript

1 Kompendium for LEI102 Matematikk Petter N. Sæterdal 28. oktober 2015 Kompendium for matematikk LEI102 side 1/49

2 Forord Dette kompendiet er skrevet for studentene på linjen "Landmåling og eiendomsdesign" ved Høgskolen i Bergen. Mange av studentene har lite matematikk fra videregående skole, kanskje bare matematikk fra første året ved vidreregående. Pensumet som vi presenterer i dette kurset går delvis utenfor det som er undervist i videregående skole på andre- og tredje året. Da er det særlig elementer fra linær algebra, statistikk og regresjon jeg tenker på. Men også et fokus på øvelser i trigonomtri og polarkoordinater som er mer fyldig enn det som er vanlig i videregående skole. Kompendiet er skrevet med OpenOffice Gangetegnet er skrevet med Alt250 Grader er skrevet med Alt248 Matriser er skrevet i formeleditor ved f.eks. E = left[ matrix {1#2##3#4 } right] Som skilletegn inni en formel har jeg brukt tilde-tegnet ~ som kommer ved AltGr~ og så SPACE. Inni formeleditor for matriser har jeg brukt tegnet Alt196 fordi vanlig minustegn virker dårlig. Dette er særlig sammen med høyrejustering av tallene i matrisen slik matrix{ 5## alignr 3} Alt246 har også vært brukt som minustegn. Pilen i vektortegnet a er laget i formeleditoren og skrives vec a. Det spesielle krysset som er brukt ved kryssprodukt er Alt0215 Hevet skrift i teksten slik som dette er gjort med Ctrl+Alt+P. Partiell derivasjon: Tegnet er skrevet med koden partial i formeleditoren. Integraltegnet er skrevet med koden int i formeleditoren. Kompendium for matematikk LEI102 side 2/49

3 Innhold 1 Matriser Addisjon og subtraksjon Transponering Multiplikasjon Determinant Invers Cramers Rule Gaussisk eliminasjon Cholesky Ligninger på matriseform Likt antall ligninger og ukjente Flere ligninger enn ukjente Trigonometri Vinkler Trekanter Funksjonene sinus, cosinus og tangens Historisk Polarkoordinater Koordinatsystemer Arealberegning Rette linjer Den rette linjen Skjæring mellom to rette linjer Vektorer Teknisk tegning Isometrisk Oblique Statistikk Standardavvik Linær Regresjon Vektet gjennomsnitt Derivasjon Notasjon Grunnleggende om derivasjon Derivasjonsregler Partiell derivasjon Antiderivert eller integrasjon Øvingsoppgaver Fasit til øvingsoppgavene...45 Kompendium for matematikk LEI102 side 3/49

4 1 Matriser 1.1 Addisjon og subtraksjon For at man skal kunne addere eller subtrahere matriser må de ha samme dimensjon. Ulovlige operasjoner vil være f.eks A+C og M+E Eksempel 1: A=[1 2 ] B=[3 4 ] A+B=[ ]=[4 6] Eksempel 2: C=[ 2] D=[ 1 4] C+D=[ 3 2+4] 1+3 [ = 4 6] Eksempel 3: E=[ 1 2 F 3 4] =[ 5 6 E+F 7 8] =[ ] [ = ] Eksempel 4: G=[ ] E=[ ] G E=[ ] [ = ] Eksempel 5: M =[ ] =[ 1 2 1] =[ N 3 4 M +N ] [ 2 4 = ] 1.2 Transponering Når matrisen transponeres blir den liksom både speilvendt og "veltet". En transponert matrise kan skrives med symbolet T slik at A T er den transponerte av A. Eksempel 1: A=[1 2 ] A =[ 2] T 1 Eksempel 2: D=[ 3 4] D T =[3 4] Eksempel 3: E=[ ] E T =[ ] =[ 1 2 8] Eksempel 4: M 5 6 M =[ T ] 7 Kompendium for matematikk LEI102 side 4/49

5 1.3 Multiplikasjon Når to matriser multipliseres skal antallet kolonner i den første være likt med antallet rader i den andre. Det er det eneste kravet til dimensjon. Resultatet blir en matrise som har like mange rader som den første og like mange kolonner som den andre. Legg spesielt merke til AD som ikke er lik DA. Eksempel 1: A=[1 2 ] D=[ 3 4] AD=[ ] = [3+8] = [11] Eksempel 2: D=[ 4] 3 A=[1 2 ] DA=[ ] [ = ] Eksempel 3: E=[ 1 2 H 3 4] =[ 5 E H 6] =[ ] [ = 17 39] Eksempel 4: J =[5 6] E=[ ] J E=[ ] = [23 34] Eksempel 5: M =[ Eksempel 6: 23] 8] C =[ 2] =[ ] [ 5 MC = A=[1 2] S=[ ] AS=[ ] = [ ] Eksempel 7: N =[ T Eksempel 8: N 2 4 1] =[ 1 2 1] 3 4 N T N =[ ] [ = 0 M =[ ] E=[ ] ME=[ ] ] [ 7 10 = ] Matrisen kan også multipliseres med en konstant. Da blir hvert tall i matrisen multiplisert likt: E=[ ] k=5 ke = [ ] Kompendium for matematikk LEI102 side 5/49

6 1.4 Determinant Determinanten kan bare regnes fra matriser som er kvadratiske. Eksempel med 2x2 matrise: E=[ ] det( E) = det( ) kanogså skrives = = 4 2 = 2 Eksempel med 3x3 matrise: Q=[ ] det(q) = (-2) (-2) = Ved beregning av determinanter kan det være nyttig å skrive matrisen på denne formen: [ ] Da kan man regne slik at tallene (-2) adderes positivt, [ ] mens tallene (3 5 7) - (1 6 8) -(-2 4 9) subtraheres (eller adderes med negativt fortegn). 1.5 Invers Invers kan i likhet med determinant bare regnes fra matriser som er kvadratiske. Men ikke alle matriser har en invers. F.eks. hvis determinanten til en matrise er lik null, da har matrisen ikke en invers. En matrise med determinant lik null kalles en singulær matrise. A=[ ] B=[ ] Siden matrisene A og B er inverse kan de multipliseres AB = BA = I = [ ] Matrisen I med diagonal som består av 1'tall og ellers bare nuller kalles for en identitetsmatrise. På de neste sidene vil jeg gjennomgå noen metoder for invertering av matriser. Metodene er nevnt i historisk kronologisk rekkefølge, Cramers Rule fra 1700-tallet, Gaussisk eliminasjon fra ca og Cholesky's algoritme fra ca Kompendium for matematikk LEI102 side 6/49

7 1.5.1 Cramers Rule Gabriel Cramer ( ) Jeg vil gjennomgå to metoder for beregning av inverse matriser. Den første metoden kalles "Cramers Rule". Hvis man leser om dette finner man også uttrykk som "Cofactor expansion rule" og "cofactor matrix". Jeg skal vise to eksempler med invertering av matriser, én 2x2 matrise og én 3x3 matrise. Jeg starter med matrisen A: A=[ ] C=[ ] adjungert = C T = [ ] Matrisen C kalles cofactor-matrisen. Denne forståes slik at man dekker over med et kryss den raden og kolonnen som man beregner. Jeg starter med å beregne 1. rad og 1. kolonne. Derfor har jeg dekket over med et svart kryss i A-matrisen den posisjonen i C-matrisen som jeg holder på å beregne. Da ser vi at 7-tallet står udekket i A-matrisen. Dette fører vi inn på den første plassen i C- matrisen. I C-matrisen er annenhver celle negativ liksom i et sjakkbrett. A=[ ] [ A= ] [ A= ] [ A= ] C=[ ] C= [ positiv negativ negativ positiv ] Den adjungerte ajd (A)=C T =[ ] vil være den transponerte av C-matrisen. Den inverse kan nå beregnes ved å dividere den adjungerte matrisen med determinanten til A. A 1 = adja 1 deta Jeg beregner determinanten til A deta = = -1 og vi kan beregne den inverse etter formelen for A -1 som er vist ovenfor A =[ ] Kompendium for matematikk LEI102 side 7/49

8 Ved invertering av 3x3 matrise blir metoden "Crames Rule" litt vanskeligere og vi bruker blant annet determinanter inni matrisen. Jeg bruker matrisen Q som ble vist på siden om determinanter. Q=[ ] positiv negativ positiv Tar også hensyn til positive og negative negativ positiv negativ C=[ ] positiv negativ positiv Cellen C 11 beregnes ved determinanten til de tallene i Q som ikke er dekket over. 11 C=[C ] Q=[ 1 2 9] 3 [ C 11 =det (5 6 3 ] 8 9 ) = = -3 C= C 12 C=[C ] Q=[ ] [ C 12 =det ( ) = = -6 C= C 12 C 13 C=[C ] Q=[ 11 C 12 C 13 C=[C ] C 21 Q=[ 11 C 12 C 13 C=[C ] C 21 C 22 Q=[ 11 C 12 C 13 C=[C ] C 21 C 22 C 23 Q=[ Q=[ 11 C 12 C 13 C=[C ] C 21 C 22 C 23 C 31 C 32 Q=[ C=[C 11 C 12 C 13 C 24 C 25 C 26 C 31 ] ] 9] [ => = -3 C= ] 9] [ => = -42 C= ] ] => = C=[ ] ] [ ] => (-2) 7 = 22 C= ] [ ] => (-2) = -27 C= C 12 C 13 C=[C C 21 C 22 C 23 C 31 C 32 C 33] Q=[ ] [ => = -6 C= ] 9] [ => (-2) 4 = 13 C= ] Kompendium for matematikk LEI102 side 8/49

9 Matrisen C kalles "cofactor-matrisen". C=[ ] Denne skal transponeres og kalles den adjungerte: Adj(Q) = C T =[ Nå gjenstår kun å beregne A 1 = adja 1 deta ] Determinanten til Q ble beregnet til 24 (under avsnittet "Determinant"). [ Q [ = adjq = = ] ] Gaussisk eliminasjon Johann Carl Friedrich Gauß ( ) Den andre metoden for invertering av matriser kalles "Gaussisk eliminasjon". Jeg starter med å skrive opp matrisen A (fra forrige eksempel) og til høyre for denne har jeg skrevet en identitetsmatrise. Deretter må man flytte på tallene slik at man ender opp med identitetsmatrisen på venstre side. For hver skillestrek har jeg regnet etter gitte regler. Dette er reglene: Alle tallene i en linje kan multipliseres med ett valgt tall. To linjer kan adderes eller subtraheres som om hver linje var en matrise. Det er også lovlig å rokkere to linjer, dvs. at de bytter plass L1-L L1-L / / Jeg velger å starte med å gange første linje med 2 fordi da får man to 2-tall over hverandre. Slik planlegger jeg den andre operasjonen som er L1-L2, for slik har jeg en plan for å få et 0-tall som første tall i den andre linjen. Det neste jeg gjør er å se på andre kolonne. Der har vi nå tallene 8 og 1. Da tenker jeg at hvis jeg ganger den andre linjen med 8 vil jeg få to 8-tall over hverandre. Slik at det øverste 8-tallet kan bli til null ved L1-L2. Så har jeg delt begge linjene på 2 og 8 slik at vi ender med identitetsmatrisen lengst til venstre. Tallene som står lengst til høyre nå er den inverse matrisen. I det neste eksemplet vises invertering av en 3x3 matrise med Gaussisk eliminasjon. For å unngå brøker eller desimaler velger jeg å multiplisere opp tallene til minste felles multiplum. Vi starter med matrisen som som skal inverteres i venstre kolonne og setter en identitetsmatrise til høyre. Deretter Kompendium for matematikk LEI102 side 9/49

10 gjøres linjeoperasjoner helt til vi har identitetsmatrisen til venstre og den inverse til høyre * * * L2-L L3-L / * * / L3-L * L2+L L1*5 + L / / L1-L3* / Cholesky André-Louis Cholesky ( ) Metoden Gaussisk eliminasjon er videre studert og bearbeidet av den polsk-franske matematiker og landmåler Cholesky og kalles gjerne Cholesky's algoritme eller "Cholesky's decomposition" som kan brukes ved programmering av matriseinvertering. Dette nevner jeg bare i dette kompendiet slik at interesserte har et navn som lenke til videre studier. Kompendium for matematikk LEI102 side 10/49

11 1.6 Ligninger på matriseform Jeg vil vise eksempler på ligninger med to- og flere ukjente og hvordan disse kan skrives på matriseform. Vanligvis vil jeg kalle matrisene i slike ligninger for A, x og L, der x er en vektor som inneholder de ukjente. Vi starter med et eksempel med to ligninger med to ukjente Likt antall ligninger og ukjente 2x + 3y = 4 5x + 6y = 7 Ligningene er ordnet slik at x og y står ordnet i to kolonner på venstre side av likhetstegnet. Jeg sett inn tallene i A og L matrisen slik: A = [ ] x = [ x y] L = [ 4 7] Vi ser at venstre side av ligningen kan skrives som: Ax = [ ][ x y] [ = 2x+3y 5x+6y] Derfor kan ligningene skrives på matriseformen: Ax = L Når ligningen skal løses må som vanlig x komme alene på venstre side. Ved matriseregning kan man ikke dividere på hver side med A, men man kan multiplisere med invers A på hver side slik: A 1 A blir en identitetsmatrise I. A 1 Ax = A 1 L A 1 A = I Ix = x Ix = [ ][ x y] [ = 1x+0y 0x+1y] [ = x y ] Dermed kan man skrive: x = A 1 L [ 2 1 Den inverse til A må beregnes: A 1 = x = A 1 L = [ ] 3 3][ 2 4 7] [ = 5 ] [ = ] = [ 1 2] Jeg vil vise en kontroll av x: Ax = [ ][ 1 2] [ = 2 ( 1) ( 1)+6 2] [ = 4 som er lik L 7] Kompendium for matematikk LEI102 side 11/49

12 1.6.2 Flere ligninger enn ukjente Vi kan tenke oss at matrisene på forrige side så slik ut: A=[ Hvis vi har tre ligninger med to ukjente vil matrisene se slik ut: A=[ Men denne A-matrisen er ikke kvadratisk og derfor ikke inverterbar. For å få x alene på venstre side kan man følge denne metoden: Ax= L ] x=[ ] L=[ ] ] ] x=[ ] L=[ A T A x=a T L man multipliserer med A T på hver side (A T A) 1 A T A x=( A T A) 1 A T L man multipliserer med (A T A) -1 på hver side x=(a T A) 1 A T L legg merke til at (A T A) -1 A T A = I Eksempel: x + 2y = 10 1x + 2y = 10 Først må vi skrive x + 3y = 12 1x + 3y = 12 x + 4y = 14 det usynlige 1-tallet 1x + 4y = 14 Så skriver vi ligningene på matriseform Ax=L: A=[ A T A = [ 1 1 4][ ] = [ 3 9 Invers A T A beregnes med Cramers Rule: 14] 4] x=[ x y ] 1 L=[ A 9 29] L=[ T ][ ] [ 112] = 36 Beregner determinant av A T A: det(a T A) = = 6 Beregner cofaktormatrisen C = [ ] Beregner den adjungerte Adjungert = C T = [ ] Beregner den inverse (A T A) 1 Adjungert(A T A) = Determinant (A T A) [ = ] 1 6 Beregner x=(a T A) 1 A T 1 L 6[ ][ 112] 36 = [ ( 9) ] = 1 6[ 36 12] [ = 6 2] Resultatet er x = [ x y] = [ 6 2] Kompendium for matematikk LEI102 side 12/49

13 2 Trigonometri 2.1 Vinkler Lengden av buen langs en halv sirkel er omtrent 3.14 ganger radiusen (R). R Tallet osv.. kalles π og skrives som pi() eller pi i regneark og andre dataprogrammer. En vinkel tilsvarer størrelsen på et kakestykke. I eksemplet til høyre har jeg skåret ut en firedel av en kake. En slik vinkel kan beskrives ved radianer, grader eller gon. Radianer: Halve sirkelen kalles π Kakestykket er π/2 Grader: Halve sirkelen er 180 Kakestykket er 180 /2 = 90 Gon: Halve sirkelen er 200 gon Kakestykket er 200 gon/2 = 100 gon Vinkelen på tegningen under er omtrent en tredel av den som er tegnet ovenfor, altså 90 /3 = 30. I skolematematikken er det vanlig at vinkler tegnes slik at de går mot urviseren, slik som man løper på en idrettsbane. Men i landmåling er dette ofte annerledes, slik at vinkler tegnes med urviseren. Buen b Radius R Vinkel α (gresk tegn = alfa) α b Forholdet er slik: med ord: α = b / R vinkel = bue / radius R Eksempel: Buen b på tegningen er målt til 16 millimeter. Radius er målt til 30 millimeter. Da er vinkelen α rad = b/r = 16/30 = radianer Det kan omregnes til grader: α grader = α rad 180/π = Omregning til gon: α gon = α rad 200/π = gon 2.2 Trekanter Jeg kaller sidene for a b c og vinklene for α β γ (alfa beta gamma) Bokstaven gamma tilsvarer ikke en c, men gamma er den tredje bokstaven i det greske alfabetet. Jeg pleier å skrive vinkelen a på motsatt side av trekantes side a. Tilsvarende med de andre vinklene og sidene. b γ a α β c Kompendium for matematikk LEI102 side 13/49

14 En rett vinkel i en trekant, dvs 90, tegnes gjerne med et kvadratisk symbol. Når en trekant inneholder en rett vinkel slik som denne kan man kalle den lengste siden, c for hypotenusen. De to andre sidene, a og b kalles for kateter. Sammenhengen mellom disse lengdene er Pytagoras sin læresetning: a 2 + b 2 = c 2 a b c Forholdet mellom sidelengdene og vinklene kan skrives med funksjoner som kalles sinus, cosinus og tangens. Disse forkortes til sin, cos, tan. sinus til en vinkel = motstående katet hypotenusen I trekanten som er tegnet til høyre: sinus tilβ = b c Dette kan skrives slik: sinβ = b c c b eller slik: sin(β) = b c β a som kan skrives slik: cosinus til envinkel = hosliggende katet hypotenusen cosβ = a c b tangens til en vinkel = motstående katet hosliggende katet a β c som kan skrives slik: tan β = b a Til høyre på denne siden har jeg tegnet trekanter på to forskjellige måter. Som landmåler må man øve på begge disse trekantene. Kompendium for matematikk LEI102 side 14/49

15 De inverse funksjonene til sinus kalles arc sinus, arcus sinus, asin arcsin eller sin -1 eller invers.sinus. Det er tilsvarende navn for invers cosinus- og tangensfunksjon. Ordet arcus er latin og betyr bue. Når man kjenner tallverdien av f.eks. sinβ kan man beregne β ved den inverse sinusfunksjonen. sinβ = b c => β = asin( b c ) Når man bruker den inverse sinus-, cosinus-, eller tangensfunksjonen må man også være oppmerksom på om vinkelen β skal vises i radianer, grader eller gon. Regneark og beregningsprogrammer på datamaskin vil som regel ha radianer som standard. Derfor må vinkelen omregnes til grader ved β 180/π og til gon ved β 200/π. For alle trekanter, både med og uten en rett vinkel i trekanten beskriver sinussetningen og cosinussetningen forholdet mellom vinklene og sidelengdene i trekanten. γ Sinussetningen sin α a = sin β b = sin γ c b a Cosinussetningen a 2 = b 2 +c 2 2bccos α α β Eksempel 1: a = gon a = 54 mm b = 62 mm Vi skal beregne vinkel β sin α a = sin β b sinβ = sin α a b β = asin( sin α a b) β = asin( β = gon c sin ( gon) 62mm) 54mm Eksempel 2: α = gon b = 62 mm c = 40 mm Vi skal beregne vinkel β Nå er det umulig med sinussetningen. a 2 = b 2 +c 2 2bccos α a = (b 2 +c 2 2bc cos α) Så kan man bruke sinussetn. slik som den er utledet i eksempel 1. sinβ = sin α a b a= ( cos(65.953)) a = β = asin( β = gon sin ( gon) 62mm) 54mm Kompendium for matematikk LEI102 side 15/49

16 2.3 Funksjonene sinus, cosinus og tangens Sinus, cosinus og tangens er funksjoner som er så kompliserte at man vanligvis aldri beregner dem selv, men lar kalkulator eller et program f.eks. i datamaskinen gjøre det for oss. Vi sender et tall til funksjonen, tallet behandles, og vi mottar et nytt tall tilbake fra funksjonen. Man sier at funksjonen har ett argument. Argumentet er det tallet man sender inn til funksjonen og resultatet er det tallet som kommer tilbake. På denne måten kan begrepet argument minne om slik det brukes i dagligtale. Da kaster man et argument inn i en sak og resultatet kan bli at argumentet får bedydning for avgjørelser som tas i saken. Noen av de matematiske funksjonene kan ha flere argumenter. De enkleste eksemplene kan være addisjon og subtraksjon. Ved addisjon "kaster" man to eller flere tall inn i addisjons-funksjonen og så kommer resultatet tilbake og kalles summen. Multiplikasjon og divisjon kan også forståes som funksjoner der man "kaster" inn to tall og da kalles resultatet hhv. produkt og dividend. Tangensfunksjonen er litt annerledes enn sinus og cosinus fordi den egentlig også er en funksjon med to argumenter. I sin enkleste form, slik den er på en vanlig kalkulater, er den bare en funksjon med ett tall som argument; Argumentet er motsående katet dividert på hosliggende katet. Tangensfunksjonen gjelder kun for vinkler mellom 0 og π. Men i landmåling bruker man stadig retningsvinkler mellom 0 og 2π og da er ikke tangensfunksjonen alene god nok. Da bruker man en utvidet tangensfunksjon som finnes i alle avanserte kalkulatorer og i regneprogrammer på datamaskin. Denne utvidede tangensfunksjonen kalles atan2 og blir omtalt senere. Den har to argumenter slik at både hosliggende katet og motstående katet er argumenter i funksjonen. I figuren under har jeg vist sinusfunksjonens forløp med vinkler fra 0 til 2π. Figuren til venstre viser vinkelen α. Vi ser at dette er en vinkel som er litt mindre enn π/2, eller litt mindre enn 90. α 1 α π 2π vinkel I figuren til høyre ser vi også vinkelen α, men da er den tegnet langs en akse som går mot høyre. Sinusfunksjonen har tall fra 0 til 2π som argument og resultatet er et tall mellom -1 og 1. Man kan også legge inn argumenter som er større enn 2π i sinusfunksjonen, men det betyr bare at man har startet på en ny runde. Resultatet blir likevel et tall mellom -1 og Cosinusfunksjonen er nesten lik sinusfunksjonen, men kun med den forskjell at cosinusfunksjonen starter med 1 som resultat når argumentet er null. Og når sinusfunksjonen har 1 som resultat, da har cosinusfunksjonen null som resultat. 1 α π 2π vinkel -1 Kompendium for matematikk LEI102 side 16/49

17 2.4 Historisk I 1970-årene ble det vanlig med kalkuatorer, så før den tid hadde man tabeller eller regnestaver eller andre metoder for å beregnede trigonometriske funksjonene. Når vi trykker på sinus og cosinus på en kalkulator eller hver gang denne funksjonen kjøres i en datamaskin må vi være klar over hvilken omfattende historie som ligger bak disse funksjonene og hvilken beregning som landmålerne før oss hadde i det daglige arbeidet. Det var helt vanlig frem til 1980-årene at landmålerne gjorde lite arbeid ute om vinteren, ikke bare fordi snøen lå over alle fastmerker, grensemerker og andre punkt i terrenget, men også fordi man f.eks. i Jordskifteverket brukte hele sommersessongen til målearbeid og vinteren til beregningsarbeid. En av mine kolleger i Jordskifteverket sa en gang at det var ikke datamaskinen som var den største "nyvinningen" i arbeidet, men kalkulatoren. Da tenkte han særlig på funksjonene sinus, cosinus, tangens og de inverse trigonometriske funksjonene. Man kan lese om greske, indiske, islamske, kinesiske og europeiske matematikere som har engasjert seg i arbeidet med å definere de trigonometriske funksjonen gjennom de siste 2000 år. Til slutt kom europeerne. Kjente folk som Copernicus, Newton, Euler, Taylor og Maclaurin har arbeidet med dette. Beregningen av de trigonometriske funksjonen kan gjøres som rekker og følger disse formlene: sin x = x x3 3! + x5 5! x7 x2 + cos x = 1 7! 2! + x4 4! x6 6! + Utropstegnet i nevneren (!) kalles for fakultet. Det beregnes slik: 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 Tangensfunksjonen er beskrevet på flere måter, blant annet disse: (a) tan x = x+ 1 3 x x x x9 + gjelder for vinkler fra 0 til 90. (b) tan x = x 1 x 1 3 x 1 5 x 1 7 x 1 De to funksjonene (a) og (b) har jeg testet i et regneark. I andre kolonne "tangens" har jeg brukt den innebygde funksjonen =tan(x) i regnearket og i kollonnen (a) har jeg brukt nøyaktig slik som formelen er vist ovenfor. Mens i kolonnen (b) har jeg gått videre til 9 slik som i (a). Ut fra dette ser jeg at formelen (b) kanskje blir regnet litt mer presis enn formelen (a). Men i begge tilfeller konkluderer jeg med at de som har programmert regnearket har brukt flere iterasjoner enn 9. vinkel tangens (a) (b) -1-1, , , ,8-1, , , ,6-0, , , ,4-0, , , ,2-0, , , ,2 0, , , ,4 0, , , ,6 0, , , ,8 1, , , , , , Kompendium for matematikk LEI102 side 17/49

18 3 Polarkoordinater Nord Punktet p i koordinatsystemet kan beskrives med rettvinkelkoordinater eller med polarkoordinater. N φ E D p Øst Når punktet beskrives med rettvinkelkoordinater er det med lengden N langs Nord-aksen og lengden E langs Øst-aksen. De polare koordinatene for p er retningsvinkelen φ og avstanden D. Vi har altså fire størrelser som kan beskrive et punkt: N E eller φ D Nord Nord Øst For de fleste vil det være begrepet retningsvinkel som trenger mest forklaring. Når vi bruker utrykket retninger eller retningsvinkler snakker vi også om vinkler, men da er det relatert til et referansesystem. Den lange i pilen i tegningen til venstre har en retningsvinkel på omtrent 50 gon og da er retningsvinkelen i forhold til Nord-aksen. Legg merke til at når vi bruker aksene Nord og Øst og gon som vinkel, da starter gjerne retningsvinklene ved nordaksen og beveger seg med urviseren. Øst Dette eksemplet er en pil med retningsvinkel som er omtrent 150 gon. 10 timer eller 333 gon I dette eksemplet har jeg tegnet en pil med retningsvinkel omtrent 333 gon. Vi ser at retningsvinkelen er vinkelen mellom nord-aksen og pilen når man følger urviseren. At 10 timer tilsvarer 333 gon kan beregnes slik: 400 gon 10timer / 12timer = 333 gon Kompendium for matematikk LEI102 side 18/49

19 10 1 Dette eksemplet ligner klokke. Vi ser at den ene viseren peker på 10 og den andre på 1. Spørsmålet er: Hvor mange timer er det fra klokken 10 til klokken 1? 330 g 28 g Det er selvsagt lett å se at dette er 3 timer, men for å regne dette kan man gjøre det slik: 1 10 = 9 Men 9 er et litt dumt resultat. Derfor adderer man 12 timer og får = 3 timer I dette eksemplet har vi en tilsvarende situasjon med to retningsvinkler, den ene 28 gon og den andre 330. Vi vil regne ut vinkelen mellom disse to retningsvinklene. Vinkel = = 302 gon Men for å unngå negative vinkler kan man addere 400 slik: Vinkel = = 98 gon Nord N q φ E D Øst p I dette eksemplet vil jeg vise symbolene N og E. Det er vanlig i matematikken å bruke slik symboler, men i skolematematikken bruker man gjerne x og y. Forskjellen fra denne figuren og den som er vist på forrige side er at jeg har tegnet en vektor (pil) fra punkt q til p. Da viser N den nordlige økningen fra q til p, mens E viser den østlige økningen fra q til p. Eksempel: Koordinater i millimeter: N E q 9 17 p Her kan man beregne N = 28-9 = 19 E = = 39 Vi ser at tan(φ) = E/ N D 2 =Δ N 2 +Δ E 2 Fra dette kan man beregne φ og D slik: φ = atan( E/ N) D= (Δ N 2 +Δ E 2 ) Vi beregner med tall: φ = atan(39/19) = gon D= ( ) = mm Oppgaver: (1) Kontroller avstandene N, E og D med linjal, og vinkelen φ med en vinkelmåler. (2) Beregn φ og D slik som vist ovenfor (selvstendig uten å se etter utregningen) Oppgave (2) som jeg har gitt her er sentralt og må øves helt til man kan det. Kompendium for matematikk LEI102 side 19/49

20 IV III Nord I II Øst Når vi har et Nord-Øst koordinatsystem som dreier med urviseren kommer første kvadrant, andre-, tredje- og fjerde kvadrant i den rekkefølgen som er vist på tegningen til venstre. Dette får betydning når vi skal regne ut retningsvinkler fordi en vanlig kalkulator vil ikke forstå at en retningsvinkel kan være i kvadrant II eller III. Dette vil jeg vise i et eksempel nedenfor. Nord a φ Når vinkelen φ er større enn 100 gon får vi en negativ verdi for N. Derfor vil en vanlig tangensfunksjon på en kalkulator ikke regne riktig. I dette eksemplet har vi størrelsene: N = -3 cm E = 1 cm φ = atan( 1 3 ) = gon N E D b Øst Her "vet ikke" kalkulatoren at vi har en retningsvinkel i fjerde kvadrant (IV), men vi ser jo av tegningen at retningsvinkelen er i andre kvadrant (II). Derfor må man addere 200 gon til den beregnede retningsvinkelen φ slik: φ = gon gon = gon. IV III Nord I II Øst De vanligste regneprogrammene på datamaskin har en egen funksjon som virker slik at retningsvinkelen alltid blir riktig. Denne funksjonen kalles vanligvis for atan2. Denne funksjonen beregner retningsvinkler mellom -π og p. Deretter må man selv regne dette om til f.eks. gon mellom 0 og 400. Hvis man arbeider med en kalkulator kan man regne slik: Kvadrant I: if N>0 and E>0 then φ = atan( E/ N) Kvadrant II: if N<0 and E>0 then φ = atan( E/ N) + π Kvadrant III: if N<0 and E<0 then φ = atan( E/ N) + π Kvadrant IV: if N>0 and E<0 then φ = atan( E/ N) + 2π Hvis kalkulatoren er innstilt på gon kan man addere hhv. 200 og 400 gon istedenfor π og 2π. Nå har vi sett på beregning av φ og D når N og E er gitt. Dette kan kalles for "å regne fra rettvinkelkoordinater til polarkoordinater". Kompendium for matematikk LEI102 side 20/49

21 Nå skal vi se på den motsatte beregningen, som er å beregne N og E Dette kan kalles for "å regne fra polarkoordinater til rettvinkelkoordinater". Nord N q φ E D Øst p cosφ = Δ N D sin φ = Δ E D => Δ N = D cos(φ) => Δ E = D sin(φ) Formelen er gyldig i alle de fire kvadrantene. Eksempel: Koordinater: N E q 9 17 D = φ = gon Her kan man beregne N = D cos(φ) E = D sin(φ) N = cos(71.396) = 19 E = sin(71.396) = 39 Deretter må man beregne koordinatene for punkt p slik: pn = qn + N pe = qe + E pn = = 28 pe = = 56 Oppgaver: (1) La punktet p være gitt [28 56] slik som over og beregn punkt q når avstanden D = og retningen φ = gon. (2) Beregn koordinaten for punkt b når punkt a har koordinatene Nord=4 og Øst=2 avstanden D = og retningen φ = gon. Fasit for b: [Nord=1 Øst=3] Nord a φ N D E b Øst Kompendium for matematikk LEI102 side 21/49

22 Z langs tommelen 4 Koordinatsystemer Tenk det at du er i selskap, leker mimeleken og skal vise en revolvermann som trekker to revolvere samtidig og skyter fremover. Se på hendene dine, sammenlign med tegningen under og lær forskjellen mellom høyre- og venstrehånds koordinatsystemer. venstrehåndssystem høyrehåndssystem Z langs tommelen X langs pekefinger X langs pekefinger Y langs langfinger Y langs langfinger I vår kontekst er det vanlig at landmåling gjøres i venstrehånds-systemer. Da kaller man x-aksen for Nord og y-aksen for Øst. Når venstrehåndssystem med aksene Nor og Øst benyttes vil jeg alltid bruke gon som vinkelenhet og tilsvarende når et høyrehåndssystem benyttes med aksene x og y vil jeg alltid prøve å huske på å bruke grader som vinkelenhet. Dette gjelder i dette matematikkurset og jeg håper det også vil gjelde for hele denne skolen slik at de andre lærerne også har den samme oppfatningen. Det kan også være aktuelt at noen skal arbeide med programmering på bilder (GIS). Dette kan man se ved vanlige bildeprogrammer som f.eks. Paint i Windows. Da går x-aksen mot høyre og y-aksen nedover skjermen, i et venstrehånds-system. I den alminnelige skolematematikken brukes konsekvent høyrehåndssystem. Da er vanligvis x-aksen tegnet liggende og peker mot høyre, mens y-aksen er stående og peker oppover langs arket. Innenfor oljeindustrien har jeg sett at noen anlegg bruker et venstrehånds system, mens andre bruker høyrehåndssystem. Kompendium for matematikk LEI102 side 22/49

23 5 Arealberegning Arealer kan beregnes etter trapesmetoden slik Areal=G a+b 2 Dette kan gjøres for alle punktene i et polygon. I eksemplet til høyre ser vi et polygon som består av de fire punktene A, B, C og D. Disse punktene er gitt ved koordinatene: nord D C A B a G b nord øst A B C D øst Arealet av polygonet er og kan beregnes som summen av alle trapesene. Vi ser at arealet av trapesene BC og CD blir negative fordi de er beregnet i vestlig retning. Area AB =(Bø Aø) Bn+An 2 Area BC =(Cø Bø) Cn+Bn 2 Area CD =(Dø Cø) Dn+Cn 2 Area DA =( Aø Dø) An+Dn 2 = (48-37) (34+42) / 2 = 418 = (35-48) (27+34) / 2 = = (25-35) (34+27) / 2 = = (37-25) (42+34) / 2 = 456 Anvendelser Denne metoden er lett å programmere og blir sannsynligvis brukt til beregning av arealer for polygoner i GISog CAD-programvare. I avsnittet om vektorer viser jeg metoden kryssprodukt som også kan brukes til arealberegning. Trapesmetoden som er omtalt her på denne siden er begrenset til arealer i 2D, mens metoden kryssprodukt kan brukes til å beregne arealer for trekanter i 3D, dvs en metode som vil regne ut arealer for trekanter uansett hvilken retning trekantene har i rommet. Kompendium for matematikk LEI102 side 23/49

24 6.1 Den rette linjen 6 Rette linjer Figuren viser et høyrehånds koordinatsystem med y en rett linje. Den rette linjen krysser gjennom y- aksen 1 cm over origo. Den rette linjen har stigningstallet 0.5 som kan forståes slik: For hver b x centimeter langs x-aksen stiger linjen 0.5 cm. Stigningstallet beregnes som y/ x. Alle punkt x langs linjen kan beskrives som y = a x + b. I denne formelen er a stigningstallet og b er det punktet der x=0 og linjen skjærer gjennom y-aksen. Formelen for den rette linjen i dette eksemplet er y = 0.5 x er stigningstallet som kommer fra y/ x = 1/2 = 0.5 Tallet 1 viser hvor linjen skjærer y-aksen. (Her har jeg brukt centimeter som lengde-enhet i koordinatsystemet) y y b = 5 Eksempel 2: Jeg vil tegne linjen y = 5 2x Vi ser at denne krysser y-aksen ved y=5 og at stigningstallet er -2, fordi y/ x = -2/1 (Her har jeg også brukt centimeter som lengde-enhet i koordinatsystemet) x y x Eksempel 3: Hvis linjen kalles y = 1 vil den se slik ut som vist på tegning til høyre. y x Eksempel 4: Hvis linjen kalles y = x er den egentlig y = 1 x + 0 y x Kompendium for matematikk LEI102 side 24/49

25 6.2 Skjæring mellom to rette linjer Skjæringspunktet mellom to rette linjer kan beregnes på flere måter. Det kan beregnes som to likninger med to ukjente. I dette eksemplet bruker jeg linjene som er vist i eksempel 3 og 4 ovenfor. y = x y = 1 Her ser vi at løsningen blir x=1 fordi y=1 Løsningen kan vi også få ved å se på tegningen hvor linjene krysser. y x I et litt vanskeligere eksempel vi beregne skjæringspunktet mellom linjene 5y = x + 5 y = 3 3x Disse kan skrives om til formen y = ax+b og ligningene skrives slik: y = 0.2x + 1 y = -3x + 3 Tegningen blir slik som vist til høyre og vi kan se at skjæringspunktet blir omtrent x=0.6 og x=1.1 Dette vil jeg beregne som to ligninger. Jeg skriver dem slik som vist i innledningen: y y = x + 5 y = 3 3x x Jeg setter x og y på venstre side: -x + 5y = 5 3x y = 3 Nå setter jeg ligningene på matriseform: M =[ ] h= [ 5 3] Løsningen vil da være M -1 h som kan beregnes til [ ] Kompendium for matematikk LEI102 side 25/49

26 7 Vektorer Vektorer kan forståes som piler i planet eller i rommet. Vektoren har en retning og en lengde. Jeg vil vise noen av funksjonene på vektorer: addisjon og subtraksjon, skalar multiplikasjon, norm av en vektor, prikkproduktet (skalarprodukt/indreprodukt/dot product) og kryssproduktet (cross product) v u v u Addisjon v+ u= w + = w Subtraksjon v u= a -u = v a v -u Skalar 2 v = v = v 2v norm av en vektor Dette er vektorens lengde eller kalles også vektoren absoluttverdi. Skrivemåte kan var slik v = norm( v ) I 2d beregnes den slik: v = (Δ X 2 +ΔY 2 ) I 3d beregnes den slik: v = (Δ X 2 +ΔY 2 +Δ Z 2 ) skalarproduktet v v w= v w cosα a kalles på engelsk dot product w α er vinkelen mellom v og w På matriseform: v w = v w T = [vx vy ] [ wx wy] Kryssproduktet a b b a Kryssproduktet av a og b en vektor a b som står vinkelrett på planet ab og lengden av vektoren a b, a b er lik 2 arealet som utspennes av a og b. tilsvarer b a Areal Eksempel med u og v : u = [1 2 2] v = [3 0 1] u v = [ ] Kryssproduktet beregnes ved kofaktorekspansjon og determinanter som vist i kap Legg merke til at den 2. cellen er negativ. Kompendium for matematikk LEI102 side 26/49

27 Normalvektoren til et plan i et tre-dimensjonalt rom er tegnet som n i figuren til høyre. Likningen for et slikt plan er a x + b y + c z = d Verdiene a, b og c er det samme som normalvektoren n=[a b c] z n y x Anvendelser I bildet ser vi et rør som er produsert for oljeindustrien. En slik spool som på bildet veier omtrent 100 kg og flensene i endene av røret har en diameter på 280 mm i dette eksemplet. Oppmåleren skal kontrollere rørets dimensjoner og bruker teorien om normalvektoren til et plan når rapporten for målingene av røret skal lages. De tre flensene i bildet skal kanskje ligge presis i xz-planet, xy-planet og yz-planet. Men målingen viser noen avvik. Når slike flenser kontrolleres kan det gjøres ved nettopp å beregne normalvektoren til planet. Eksempel: Den nærmeste flensen i bildet er beregnet med normalvektoren [ ] Normalvektoren i dette eksemplet er oppgitt som 1 meter lang. Det viktige er å vurdere c=0.017 og om dette er større eller mindre enn et gitt toleransekrav. I en terrengmodell av typen TIN (Triangulated Irregular Network) har vi tegnet hver trekant slik at den har forskjellig lys eller mørke bestemt etter et klokkeslett for hvor solen står. Terrengmodellen er en innmålt steinhaug, ca 60 m lang og 3 m høy. Man tenker seg at solen står i sørøst. Derfor er de trekantene som vender mot sørøst farget lyse, mens de som vender mot nordvest er mørke. Kartet er laget ved beregne kryssproduktet for hver trekant. Trekanten tegnes mørk hvis kryssproduktet er en vektor som peker mot nordøst, og trekanten tegnes lys hvis kryssproduktet er en vektor som peker mot sørvest. Kompendium for matematikk LEI102 side 27/49

28 Eksempler: 3 2 b c Addisjon a = [ 3 1] og b = [ 2 2] c = a+ b = [ 3 1] + [ 2 2] = [ 5 3] 1 a kan også skrives slik: a = [3 1] og b = [2 2 ] c= a+ b=[3 1]+[2 2] = [5 3 ] Skalar multiplikasjon a = [ 3 1] 1.42 a = 1.42 [ 3 1] [ = ] Norm av en vektor (lengde) a = [ 3 1] a = = 10 a b = [ 2 2] a = = 8 3 Skalarprodukt (dot product) a = [ 3 1] og b = [ 2 2] 2 b a b = a T b = [3 1] [ 2 2] = 8 1 a Viberegner vinkelen mellom a og b: a 1 b cosa 2 3 a b = a b cos(α) cos(α) = a b a b α = acos( a b 8 ) = acos( a b 10 8 ) = Kompendium for matematikk LEI102 side 28/49

29 8 Teknisk tegning 8.1 Isometrisk Aksene er tegnet med 60 mellom z- og y-aksen. Det er også 60 mellom z- og x-aksen. z y x Eksempel på isometrisk tegning med lengder i millimeter. Legg merke til at lengdene ikke har riktig målestokk i dette eksemplet. Her er det tegnet på et ISO-papir, dvs papir med rutenett på 60 grader. 8.2 Oblique Flaten som vender mot "oss" er tegnet som et rektangel i xz-planet. Streker som følger y-aksen tegnes i 45 vinkel i forhold til x- og z-aksen. z 45 vinkel x Kompendium for matematikk LEI102 side 29/49

30 9 Statistikk 9.1 Standardavvik Gjennomsnitt, residual, feilkvadratsum, overbestemmelser, varians, og standardavvik. Begrepene er skrevet opp i den rekkefølgen som man beregner dem. måling nr lengde x v v 2 x x x x I tabellen over starter vi med å summere lengdene = 208 Denne summen deles på antallet observasjoner som gir gjennomsnittet: x = 208/4 = 52 Kolonnen v viser residualene mellom målt- og gjennomsnitlig lengde. Kolonnen v 2 viser kvadratet av v. Summen av alle v 2 kalles feilkvadratsummen SSE = = 14 Antallet målinger kalles gjerne for N eller n. N=4 Overbestemmelser (df) beregnes som N-1 i dette tilfellet df = N-1 = 4-1 = 3 Varians beregnes som SSE/df var = SSE/df = 14/3 Standardavvik = varians s = varians = 2.16 Ordliste: Gjennomsnitt Residual Feilkvadratsum Overbestemmelser Standardavvik average, mean, x restfeil, avvik, error, v Sum of Squares Error (SSE), Σ vv, Σv 2, v T v frihetsgrader, degrees of fredom (df) Standard deviation, stdv, s eller s (sigma) Beregningen kan gjøres med matriser. Vi har tidligere vist at ligninger kan skrives på formen Ax = L Men når vi har flere målinger enn ukjente trenger vi å skrive formelen slik: Da er v en vektor som inneholder residualene. [1 1] A = 1 x = [ gjennomsnitt ] L=[ ] Ax = L+v Gjennomsnittet beregnes slik: x=(a T A) 1 A T L = 52 [ 2 1] = 0 v= Ax L = SSE=v T v = 14 df =4 1=3 standardavvik SSE 3 df = 2.16 Kompendium for matematikk LEI102 side 30/49

31 9.2 Linær Regresjon Vi fortsetter med eksemplet fra avsnittet som er en rett linje gjennom tre punkt. Vi gjør en liten endring slik at tre punkter ikke ligger helt presis på en rett linje. Dette er for at residualene ikke skal bli helt lik null. Hensikten med dette eksemplet er å vise et eksempel med beregning av standarddavvik der frihetsgradene (df) beregnes som som df = 3 2. (3 ligninger minus 2 ukjente) y De tre punktene er x y Formelen for en rett linje er ax+b = y der a er stigningstallet og b viser hvor linjen krysser y-aksen x A=[ ] x=[ a b] L=[ 2 3 4] x=( A T A) 1 A T L v= Ax L SSE =v T v s= SSE df Resultatet blir: x=[ ] v=[ 0.05] SSE= s=0.16 formel for linje: y = 0.39x Residualene v = [ ] T kan forståes som avstanden fra hvert punkt og opp eller ned til linjen. Standardavviket er et uttrykk for den midlere avstand fra punkt til linje. Kompendium for matematikk LEI102 side 31/49

32 9.3 Vektet gjennomsnitt Noen ganger kan det være riktig å legge forskjellig vekt på målinger slik at man ikke beregner et alminnelig gjennomsnitt. Et enkelt eksempel kan være slik: Lengden på et gulv skal måles og de som måler er litt forskjellige folk. En 7-åring måler gulvet til En tilfeldig voksen person måler En profesjonell gulvlegger måler meter meter meter Vi skal ta hensyn til alle målingene og beregne et vektet gjennomsnitt. I dette tilfellet kan vi velge vektene f.eks. slik: 7-åring vekt=1, voksen vekt=3, gulvlegger=7 vektet snitt = (måling vekt) (vekt ) = = Beregning av vektet gjennomsnitt på tabellform lengde vekt lengde vekt En 7-åring 12, ,37 En tilfeldig voksen 12, ,17 En profesjonell gulvlegger 12, ,954 sum=11 Sum=136,494 Vektet gjennomsnitt = 136,494 / 11 = 12,409 Beregning av vektet gjennomsnitt på matriseform A=[ 1 1] 1 L=[ ] P=[ ] x=(at P A) 1 A T P L Beregning i Matlab A=[1 1 1]'; L=[ ]'; P=[1 0 0;0 3 0;0 0 7]; x=(a'*p*a)^-1*a'*p*l Kompendium for matematikk LEI102 side 32/49

33 10 Derivasjon I forrige kapittel beregnet vi stigningstallet for en rett linje. Hvis en rett linje har formelen y = 3x + 7 da er stigningstallet 3. Dette er det samme som den deriverte. I de tilfellene man deriverer en rett linje blir den deriverte et tall, stigningstallet for den rette linjen Notasjon Notasjon betyr "skrivemåte". Det finnes flere notasjoner for derivasjon. Den som er brukt i videregående skolen er Lagrange-notasjonen. Da brukes en apostrof ' som tegn for derivasjon. Da kan man skrive den deriverte slik: y = 3x + 7 y'(x) = 3 y derivert med hensyn på x er lik 3. I dette kurset vil jeg legge vekt på Leibniz-notasjonen fordi denne er mest vanlig i matematikk- og fysikkbøker, artikler og dataprogrammer. I litteratur om landmåling er også Leibniz-notasjonen brukt slik at det kan være en fordel om vi klarer å bli vant til å lese dette. Etter Leibniz-notasjonen skrives det samme uttrykket slik: y = 3x + 7 dy dx =3 eller d dx y= Grunnleggende om derivasjon Jeg vil bruke eksemplet y = x 2 Funksjonen har en graf som er vist til høyre. Hvis man ser på grafen med forstørrelsesglass i det området der x=3 vil stigningen være omtrent slik som vist i figuren nedenfor. Hvis vi "zoomer" langt nok inn i bildet av grafen vil vi ikke se at y=x 2 går i en bue (eller parabel). Det vil se ut som en liten del av en rett linje med stigningstallet dy/dx. Lengst til venstre i denne lille trekanten er y1= x 2 og lengst til høyre er y2=(x+dx) 2. Av dette kan vi beregne dy= y2 y1 og videre: dy = (x+dx) 2 x 2 som omregnes til x 2 +2 x dx+dx 2 x 2 = 2 x dx+dx 2 = (2 x+dx) dx Så kan vi beregne stigningstallet for linjen: dy dx = (2 x+dx) dx dx = 2x+dx y2 dy Dermed kan vi si at y1 den deriverte av x 2 er lik 2x fordi dx er en liten avstand langs x-aksen, en avstand med lengde helt ned mot null. x dx x+dx Kompendium for matematikk LEI102 side 33/49

34 10.3 Derivasjonsregler Konstant C dc dx =0 Den deriverte av en konstant (et tall) er null Potensregelen Addisjon Produktregelen Brøkregelen Kjerneregelen d dx X n =nx n 1 d du (u+v)= dx dx + dv dx d dx dv du (u v)=u +v dx dx du dv d dx ( u v u v )= dx dx v 2 dy dx = dy du du dx Derivasjon av trigonometriske funksjoner: sinus cosinus tangens d sin x=cos x dx d cos x= sin x dx d 1 tan x= dx cos 2 x Nevner ganger teller derivert minus teller ganger nevner derivert delt på nevner i annen. Eksempler med potensregelen d dx X n =nx n 1 d dx X 2 =2X 2 1 =2x 1 =2x d dx 4X 3 =4 3X 3 1 =12x 2 d dx X 1 = X 1 1 = 1x 2 = 1 x 2 x 1 = 1 x Eksempel med produktregelen d dx dv du (u v)=u +v dx dx d ( x sin x)=x cos x+sin x dx d ( x cos x)=cos x xsin x dx Kompendium for matematikk LEI102 side 34/49

35 Eksempel med brøkregelen du dv d dx ( u v u v )= dx dx v 2 d dx ( sin x x cos x sin x )= x d dx ( x sin x x 2 )=sin x+x cos x sin 2 x Eksempler med kjerneregelen y=(3x+1) 2 u=3x+1 y=u 2 dy dx = dy du du dx y skal deriveres med hensyn på x du dx =3 dy du =2u dy dx =2u 3 = 6(3x+1) = 18x+6 y=sin( x 2 ) u=x 2 y=sin(u) dy dx = dy du du dx y skal deriveres med hensyn på x du dx =2x dy du =cos(u) dy dx =cos(u) 2x = 2x cos( x 2 ) Eksempel med kjerner y=sin 2 (x 3 ) u=x 3 du dx =3x2 dy dx = dy dv dv du du dx v=sin u y=v 2 dv du =cosu dy dv =2v dy dx =2v cos u 3x2 = 2sin(u) cos(u) 3x 2 = 6x 2 sin( x 3 ) cos( x 3 ) Kompendium for matematikk LEI102 side 35/49

36 10.4 Partiell derivasjon I forrige avsnitt så vi på funksjoner som har ett argument, slik som f.eks. y=2x+3 hvor høyresiden av dette uttrykket inneholder kun én variabel (eller ett argument) nemlig x. En slik funksjon kan tegnes i et todimensjonalt koordinatsystem med x og y. Funksjoner kan ha flere variable (eller argumenter) slik som Eksempel 1: funksjonen z= x 2 + y y x %Matlab-kode for i=1:9 for j=1:9 x=i-5; y=j-5; z(i,j)=x^2+y; end end surf(z); Et lite utdrag av denne funksjonen kan se slik ut, tegnet med Matlab. Hvis denne sees fra venstre slik at man sikter langs y-aksen, da ser den ut som en U eller z=x 2. Hvis man sikter fra høyre, langs x-aksen, da ser man ikke U'en men kun noe som ligner en rett stigende linje z=y. Ved partiell derivasjon kan man tenke seg at man deriverer funksjonen z slik den ser ut ved å sikte langs x-aksen eller y-aksen. Når z deriveres med hensyn på x kan variabelen y forståes som en konstant slik at z= x 2 + y deriveres på samme måte som z= x 2 +5 og det vil si at den deriverte er z x =2x Tilsvarende når man deriverer z med hensyn på y. Da kan x forståes som en konstant og z= x 2 + y kan deriveres på samme måte som z=5 2 + y og det vil si at den deriverte er z y =1 Her har jeg brukt et tegn som er vanlig i matematikkbøker når man beskriver partiell derivasjon. Eksempel 2: Figuren viser en "klosse" og man kan tenke seg at det er en ost. Grunnflaten av denne er G = a b Volumet er V = G h V h = G a b h Den deriverte av Volumet mhp. høyden er grunnflaten. Den deriverte er liksom en skive av osten, en skive som er så tynn at den ikke har noe volum. Kompendium for matematikk LEI102 side 36/49

37 Eksempel 3: Figuren viser en sylinder. Denne har radius lik 15 mm og høyde lik 10 mm. Hva vil gi mest volumøkning av å øke radius eller øke høyden? V Volumet V =π r 2 h h = π V r2 = 2 π r h r Her også ser vi at den deriverte mhp. høyden er grunnflaten eller "lokket". Den deriverte mhp radius er arealet til sylinderveggene. Hvis vi øker høyden med 1 millimiter utgjør det et volum på Hvis vi øker radius med 1 millimeter ugjør det et volum på V h = π r2 = 225 π V = 2 π r h = 300 π r Eksempel 4: I dette eksemplet vil jeg vise at V h = π r2 For en gitt høyde er volumet V1=π r 2 h Hvis vi øker denne høyden litt med h kan vi skrive V2=π r 2 (h+ h) Volumøkningen er V = V2 V1 = π r 2 (h+ h) - π r 2 h = π r 2 h+π r 2 h π r 2 h Her kan vi stryke to stk π r 2 h = π r 2 h Den deriverte V h = π r2 h h = π r 2 Så vil jeg også vise at V r = 2 π r h For en gitt radius er volumet Hvis vi øker radius litt med r kan vi skrive Volumøkningen er V = V2 V1 V1=π r 2 h V2=π(r+ r) 2 h = π(r+ r) 2 h - π r 2 h = π(r 2 +2r r+ r 2 )h π r 2 h = π r 2 h+2πr h r+π h r 2 π r 2 h Her kan vi stryke to π r 2 h = 2π r h r + π h r 2 = (2π r h + π h r) r Den deriverte V h = (2 π r h + π h r) r r = 2π r h + π h r Det siste leddet π h r forsvinner når r er et tall som er helt ned mot null. Kompendium for matematikk LEI102 side 37/49

38 10.5 Antiderivert eller integrasjon Som pensum i dette kurset skal integrasjon bare såvidt nevnes og får ikke et eget kapittel i kompendiet. Integrasjon kan brukes til å beregne arealet under kurven til en matematisk funksjon, og integrasjon er det motsatte av derivasjon og kalles derfor også for antiderivert. Eksempel: Funksjon: y=x 2 Derivert: Integral skrives slik: dx dy dx =2 x Integral av 2 x= x 2 +C hvor C er et tall Den generelle formelen for integrasjon med potens-uttrykk er slik: x n dx = Formelen gjelder for alle n utenom n = 1. Når n = 1 gjelder: ln(x) kalles den naturlige logaritmen og skrives som ln(x) eller LN i de aller fleste kalkulatorer eller regneprogram. Figuren til høyre viser funksjonen y = ln(x) y = ln(x) har en motsatt funksjon som kalles x = e y Denne kalles eksponentialfunksjonen. Den kalles gjerne e x på kalkulatoren og exp(x) i andre regneprogrammer. Hvis vi ser i plottet nederst til høyre på denne siden finner vi at LN(x) = 1 når x = 2.7. Dette kalles for tallet e Du kan gjerne undersøke dette på kalkulatoren og skrive inn 1 og deretter trykke på LN. Da kommer tallet e = Det finnes flere desimaler på dette som kalles Eulers tall. xn+1 n+1 +C 1 dx = ln(x )+C x 1828 er Henrik Ibsens fødeår. Med tallet e = i kalkulatoren kan du trykke på LN(x) og se at du kommer tilbake til 1. Figuren under viser funksjonen y = e x Funksjonene LN(x) og EXP(x) har en "kusine og fetter" som heter LOG(x) og 10x. Disse ligner helt, men kun med den forskjellen at de er litt "hissigere", med det mener jeg - LOG(x) vil redusere argumentet x mye mer enn LN(x) 10 x vil løfte opp argumentet x mye mer enn e x Kompendium for matematikk LEI102 side 38/49

39 11 Øvingsoppgaver 1) Multiplikasjon av matriser. Beregn B A og A B A=[ 1 3] 2 B=[5 7 2] 2) Bruk metoden Gauss-eliminasjon og beregn den innverse av matrisen. A=[ 1 2 En 2x2-matrise kan også inverteres ved Cramers Rule Kontroller at den inverse er riktig beregnet ved AA -1 3) Ligninger på matriseform Et ligningssett er gitt ved: 2x -3y +5z = 3 x +4y -2z = 0 x + y = 7 Vis hvordan ligningene kan skrives på matriseform 4) Minste kvadraters metode Start med Ax=L og beregn deg frem til x=(a T A) -1 A T L ) A=[ 3 7 3] [ B= Beregn A+B, A-B, AB 2 0 1] T og A T B 1 6) M =[1 4] P=[ 1 7) E=[ ] F =[ ) N =[ ] 5 6] Beregn MP og 1] Beregn EF og FE PT MT Beregn invers av N ved hjelp av både Gaussisk eliminasjon og Cramers Rule og kontroller resultatet ved N -1 N 9) x + 3y + 3z = 3 Skriv ligningene på matriseform og 2x + 5y + 3z = 8 løs ligningene, dvs. beregn x, y og z. 1x + 8z = 2 3 4] 10) Beregn for hånd og kontroller deretter med dataprogram determinanten av en selv-valgt 3x3 matrise (A). Beregn også den adjungerte (engelsk = adjoint) slik som vist i video om Cramers Rule. Beregn deretter den inverse til matrisen A ved hjelp av formelen A -1 = adj(a) 1/det(A) Kontroller resultatet for A -1 ved å invertere den i et dataprogram. Undersøk også at man kan beregne den adjungerte ved adj(a) = A -1 det(a) Kompendium for matematikk LEI102 side 39/49

40 11) En rettvinklet trekant har kateter med lengdene 3 og 4. Beregn hypotenusen. 12) Beregn alle vinklene i trekanten i oppgave 11. Svar i gon. 13) Beregn arealet av trekanten i oppgave ) Hypotenusen i en rettvinklet trekant er 100 m. Den spisse vinkelen er 1 gon Hvor lang er den korte kateten? 15) Hypotenusen i en rettvinklet trekant er 100 m. Den spisse vinkelen er gon Hvor lang er den korte kateten? 16) Hvor stor er den spisse vinkelen hvis hypotenusen er 100 m og den korte kateten er 1 cm? (svar i gon) 17) Hvor stor er den spisse vinkelen hvis den lange kateten er 100 m og den korte kateten er 1 cm? (svar i gon) 18) Hypotenusen er 30 m. Vinkelen α er 70 gon. Hvor lange er katetene? 19) Den lange katet er 65, den korte er 8. Hvor stor er da vinkelen α? 20) En trekant har sidelengdene 4, 5 og 9. Hvor store er vinklene i trekanten? 21) En trekant har sidelengdene 5, 5 og 9. Hvor store er vinklene i trekanten? α α b γ a 22) Beregn alle vinklene når a = 30 mm, b = 37 mm og c = 42 mm. α c β 23) Beregn alle vinklene når a = 42 mm, b = 21 mm og c = 30 mm. c β a α b γ 24) En trekant har tilsvarende form og navn som i oppgave 22. Vinkelen α er 56 gon, vinkelen β er 70 gon. Sidelengden c er 42 mm. Beregn sidelengdene a og b. 25) Gitte koordinater N E A B C D Tegn skisse-kart over punktene for å se hvordan punktene er i forhold til hverandre og for å unngå grove feil i dine svar. Regn først alt med symboler (formler) som viser til en tegning. Beregn avstandene AB, AC og AD. Beregn retningsvinklene AB, AC og AD. Retningsvinkelen skal være mellom 0 og 400 gon. Beregn avstanden fra punkt D til den rette linjen AC. Beregn avstanden fra punkt D til den rette linjen BC. Beregn arealet av polygonet ABCD. Kompendium for matematikk LEI102 side 40/49

41 26) Punkt North East a b Vinkelen bac er målt: 115 gon Horisontal avstand ac er 50 meter Beregn koordinatene til c (2 desimaler) 27) Gitte punkt: Punkt North East a b Målt vinkel bac = 370 gon Målt horisontal avstand ac = 70 meter Beregn koordinater for c (2 desimaler) 28) Ah = høyde i pkt A, en kjent høyde over havet Ph = høyde i pkt P, en ukjent høyde i = instrumenthøyde over bolt i A s = siktehøyde (prismets høyde over bolt i P) Z = målt zenitvinkel (Z=0.000 er rett oppover) Ds = Distanse på skrå (målt skråavstand) Skriv en formel som gjelder for Ph i begge tilfeller som er tegnet ovenfor og forklar hvorfor formelen er riktig. Kompendium for matematikk LEI102 side 41/49

42 29) Koordinatene er gitt på punktene a og b: N E a b Den målte horisontalvinkelen i punkt a er gon slik som vist på tegningen. Fra a til c er det målt en skrå avstand Ds= meter. Til denne skrå avstand er det målt en zenit-vinkel Z= gon Beregn koordinatene for punktet c. 30) En rett linje L er gitt ved: 2y = 4 x En annen linje M er: 5y = 5 x (a) Beregn linjenes stigninstall og hvor de krysser y-aksen (b) Beregn koordinater for punktet der linjene L og M krysser. (c) Beregn avstand fra et punkt P( ) til linjen L. (3 desimaler) (d) Beregn formelen til en paralell linje som går over linjen L med avstand til L. (e) Beregn arealet som er begrenset av linjen L, M og y-aksen. 31) Gitte punkt: A = [1 2] B = [2 5] (a) Hvordan kan du på enklest mulig måte ved en liten kommando beregne avstanden mellom disse to punkt ved hjelp av Matlab? (b) Beregn avstanden ved hjelp av kalkulator. (c) Beregn dot-produktet mellom vektorene [fra Origo til A] og [fra Origo til B]. 32) Gitte punkt: A = [ ] B = [ ] (a) Tegn en isometrisk tegning av punktene A og B og linjen mellom dem. (b) Beregn avstanden mellom A og B. 33) Gitte punkt: a = [7 2 3] b = [-3 1 1] c = [1 6 5] (a) Tegn en isometrisk tegning av punktene A, B C. (b) Beregn en normal-vektor til planet ABC. (En normal-vektor er vinkelrett til planet ABC) (c) Skriv kode som du kunne brukt i Matlab for å beregne kryssproduktet. Kompendium for matematikk LEI102 side 42/49

43 34) I en utjevningsberegning er det 7 observasjoner og 3 ukjente. Feilkvadratsummen = 36. Beregn standardavviket. 35) I en utjevningsberegning er det 3 observasjoner og 2 ukjente. Feilkvadratsummen = 9. Beregn standardavviket. 36) I en utjevningsberegning har A- og x-matrisene slike dimensjoner som vist i figuren til høyre. (Hver rund prikk representerer et tall i matrisen) Residualene er v = [ ] T Beregn standardavviket. 37) Målinger med ulik vekt: En avstand er målt på tre forskjellige måter og vi har bestemt at det skal beregnet et vektet gjennomsnitt. lengde vekt 1. måling 14 meter 1 2. måling 15 meter 1 3. måling 17 meter 3 Vis hvordan et vektet gjennomsnitt kan beregnes (a) Ved å gjøre dette i en tabell (b) Ved å beregne dette med matriser (og evt. Kalkulator) (c) Skriv beregningen fra innlegging av A og L og beregning av vektet gjennomsnitt og standardavvik med Matlab koding. (sse = vtpv) (Du må selvsagt få samme resultat i (a) og (b) og (c)) 38) Deriver utrykkene med hensyn på x: a) y = x b) y = x 2 c) y = 3 x 2 d) y = 2x 1 e) y = x 3 /3 + x 2 /2 + x f) y = x 4-7x 3 + 2x g) y = (3x - 1)(2x + 5) h) y = (x - 1) / (x + 7) i) y = 3 / x 2 39) a) y = 1 + x cosx b) y = 1/x + 5sinx c) y = 3x + xtanx d) y = 4/cosx 40) a) y = sin(x+1) b) y = cos(5x) c) y = tan(2+x) d) y = (2x+1) 5 e) y = (4-3x) 9 f) y = sin 2 (3x-2) g) y = (1+cos(2x)) 2 Kompendium for matematikk LEI102 side 43/49

44 41) Beregn partiellderivert x og y: a) f(x,y) = 2x b) f(x,y) = 3y c) f(x,y) = 4 d) f(x,y) = 2x 3y 4 e) f(x,y) = x(y 1) f) f(x,y) = x 2 + y 2 g) f(x,y) = x 2 xy + y 2 h) f(x,y) = (x+2)(y+3) i) f(x,y) = 5xy 7x 2 y 2 + 3x 6y + 2 j) f(x,y) = 1/(x+y) k) f(x,y) = x 2 + y 2 L) f(x,y) = x/(x 2 + y 2 ) m) f(x,y) = (x + y)/(xy 1) o) f(x,y) = sin(x+y) p) f(x,y) = tan 1 ( y x ) Kompendium for matematikk LEI102 side 44/49

45 12 Fasit til øvingsoppgavene 1) BA=[25] AB=[ ] ) Vi har gjennomgått metoden med 3x3-matriser, men det er enklere med 2x2-matriser. Hvis man starter med matrisen A=[ ] Kontroller på papir at da vil Cofaktor-matrisen bli C=[ ] Denne skal transponeres og blir da den adjungerte adj( A)=[ ] Deretter regner man determinanten av matrisen A slik det(a) = = -2 Nå beregnes den inverse slik invers(a) = adj(a)/det(a) Kontroller selv at dette blir invers( A)=[ ] 3) Ligningene kan skrives på matriseformen Ax = L Innholdet i matrisene er A=[ ] L=[ 3 7] 0 x=[ x y Den sistnevnte av disse matrisene, x inneholder de ukjente som er x, y og z. 4) er vist på side ] [ ] [ ) [ ) MP=[11 17 P 23 29] T M T =[ ] 7) EF = [4] FE=[ ] 8) Ingen fasit på denne. 9) A=[ ] L=[ ) Ikke fasit på denne. 2] x=[ x y z] 22 9] [ ] z] = [ ) Hypotenusen = katet 2 + katet 2 = kvadratrot ( ) = 5 12) gon, gon og 100 gon. 0.5] Kompendium for matematikk LEI102 side 45/49

46 13) 6 14) m 15) m eller 1.57 mm 16) gon 17) Omtrent det samme som i oppgave 16. Man må ha mange desimaler for å se forskjellen. 18) m og m. 19) gon 20) Hvis lengdene er presist målt til 4, 5 og 9 vil ikke dette være en trekant, men hvis den lengste er ørlite lengre enn vil trekanten ha vinkler som er tilnærmet 0, 0 og 200 gon. 21) To stk som er gon og én som er gon. 22) alfa beta gama Beregning vist i notisblokk. 23) alfa beta gama ) a = b = ) distab = distac = distad = retningab = retningac = retningad = 300 D til AC = D til BC = areal = ) Punkt North East c ) c ) Ph=Ah+i+Ds*cos(Z)-s Denne er lettest å se i den øverste tegningen, men er også riktig i den nederste tegningen fordi cos(z) gir negativt fortegn når Z er større enn 100 gon. 29) N= E= ) (a) L: stigning = -1/2 og y = 2 M: stigning = -1/5 og y = 1 (b) (3.33, 0.33) (c) (d) y = x/2 (e) ) A = [1 2] B = [2 5] norm(b-a)=3.16 dot(a,b)=12 32) Avstand AB=2.37 Kompendium for matematikk LEI102 side 46/49