b) Hva er sannsynligheten for at re tilfeldig utvalgte bilmotorer alle har en levetid på minst 17 år?

Transkript

1 Oppgave 1 Levetiden T til en bestemt type bilmotor er normalfordelt med forventning µ = 15 år og standardavvik σ = 3 år. a) Vis at sannsynligheten for at en tilfeldig utvalgt bilmotor har en levetid på minst 17 år er (tilnærmet) lik b) Hva er sannsynligheten for at re tilfeldig utvalgte bilmotorer alle har en levetid på minst 17 år? c) Hva er sannsynligheten for at minst én av re tilfeldig utvalgte bilmotorer har en levetid på minst 17 år? La H betegne hendelsen at en motor av denne typen havarerer i løpet av det første året, og la O betegne hendelsen at motoren har en oljelekkasje. Firmaet som produserer denne typen bilmotorer oppgir at sannsynligheten P (H) for at motoren havarerer i løpet av det første året er lik Videre oppgir rmaet at dersom motoren havarerer i løpet av det første året, er sannsynligheten P (O H) for at motoren har en oljelekkasje lik 0.6. Dersom motoren ikke havarerer i løpet av det første året, er sannsynligheten P ( O H ) for at motoren har en oljelekkasje lik d) Hvor sannsynlig er det at en motor som har en oljelekkasje havarerer i løpet av det første året? Oppgave 2 For 65 millioner år siden ble jorden truet av en asteroide som i stor grad bidro til at dinosaurene ble utryddet. Asteroidenedslag av denne størrelsen forventes å forekomme omtrent én gang per 50 millioner år. I denne oppgaven skal det antas at antall asteroidenedslag X i løpet av en bestemt tid t er poissonfordelt med parameter λt, hvor λ = 1/50 per million år. a) Finn sannsynligheten for at det ikke vil forekomme asteroidenedslag i løpet av 100 millioner år. b) Finn sannsynligheten for at det vil forekomme nøyaktig ett asteroidenedslag i løpet av 100 millioner år. c) Finn sannsynligheten for at det vil forekomme minst ett nedslag i løpet av 30 millioner år. I medieinnslag som omhandler asteroidenedslag, møter man ofte på forskere og journalister som presenterer et statistisk resonnement av følgende type: "Asteroidenedslag av samme størrelse som utryddet dinosaurene forventes å forekomme omtrent én gang per 50 millioner år. Det er nå 65 millioner år siden forrige nedslag, og vi forventer derfor at det snart vil inntree et nytt nedslag." d) Under antagelsen at poissonfordelingen gir en god beskrivelse av asteroidenedslag, forklar hvorfor resonnementet ovenfor ikke er holdbart. 1

2 Oppgave 3 En healer kan dokumentere at 60% av individene hun behandler for ryggplager blir friske. Hun mener at dette beviser at healing kan kurere sykdommer. Gundersen, som er professor i medisin, vet at mange ryggplager ofte går over av seg selv. Han ønsker derfor å undersøke om andelen individer som blir friske blant ryggpasienter som ikke mottar noen form for behandling er mindre enn 60%. Professor Gundersen bestemmer seg for å utføre et medisinsk forsøk hvor han undersøker hvor mange pasienter som har blitt friske blant 250 tilfeldig utvalgte ryggpasienter som ikke har mottatt behandling. Det antas at de 250 tilfeldig utvalgte ryggpasientene er trukket ut fra en populasjon som er mye større enn utvalget. La X betegne antall ryggpasienter som har blitt friske blant de 250 som undersøkes, og la p betegne den ukjente andelen ryggpasienter av populasjonen som har blitt friske. a) Forklar hvorfor X kan antas å være tilnærmet binomisk fordelt med parametere n = 250 og p. Etter å ha gjennomført det medisinske forsøket, nner professor Gundersen at 145 av de 250 ryggpasientene har blitt friske av seg selv. b) Foreslå en estimator ˆp for p. Finn et punktestimat for p, og vis at det er rimelig å anta at X er tilnærmet normalfordelt. c) Gir resultatet av det medisinske forsøket grunnlag for å hevde at andelen ryggpasienter p som blir friske uten behandling er mindre enn 60%? Konstruér en hypotesetest for problemet ved å formulere en nullhypotese og en alternativ hypotese, og gjennomfør hypotesetesten med 5% signikansnivå. Hva bør professor Gundersen konkludere ut i fra resultatet av denne testen? d) Finn et (tilnærmet) 95% kondensintervall for andelen ryggpasienter p som blir friske uten behandling. Forklar kort hva resultatet betyr. 2

3 Vedlegg: Tabell 1 3

4 Vedlegg: Tabell 2 4

5 Vedlegg: Tabell 3 5

6 Vedlegg: Tabell 4 6