Estatistika POPULAZIOA ETA LAGINA ALDAGAI ESTATISTIKOAK MAIZTASUNAK ABSOLUTUAK ETA ERLATIBOAK ADIERAZPEN GRAFIKOAK ZENTRALIZAZIO-NEURRIAK

Transkript

1 Estatistika POPULAZIOA ETA LAGINA ALDAGAI ESTATISTIKOAK KUALITATIBOAK KUANTITATIBOAK DISKRETUAK JARRAITUAK MAIZTASUNAK ABSOLUTUAK ETA ERLATIBOAK METATUAK ADIERAZPEN GRAFIKOAK ZENTRALIZAZIO-NEURRIAK BATEZ BESTEKOA MEDIANA MODA SAKABANATZE-NEURRIAK IBILTARTEA ETA BATEZ BESTEKO DESBIDERATZEA BARIANTZA ETA DESBIDERATZE TIPIKOA ALDAKUNTZA- KOEFIZIENTEA 9

2 Jainkoak salba beza erregina! Sidney Herbert Gerrarako Estatuko Idazkariak karrera politikoko erabakirik arriskutsuena hartu zuen. Izan ere, haren lagun Florence Nightingale-ren esku utzi zuen aire zabaleko erizainen gorputza antolatzea, Krimeako Gerrako ospitaleak hobetzeko.. urtea zen eta bere etorkizun politikoa dama haren esku zegoen. Gatazka-gunera joateko prestatzen ari zela, herrialde osoa astindu zuen Brigada Arinaren deuseztapenak, errusiarren baterien aurkako eraso suizidaren ondoren. Ekintza hori ez zuten hondamen gisa zabaldu, ingelesen kemenaren eta ohorearen froga gisa baizik. Nightingale neurri higienikoak aplikatzen hasi zen, eta datuak bilduz eta grafikoen bidez antolatuz joan zen, errazago irakurtzeko. Txostena Gerrako Idazkariari bidali zioten, eta bertan laguntza eskatzen zen armadako buruzagiek jarritako oztopoak ezabatzeko. Amaieran, eskuizkribu bat ageri zen. Honela zioen eskuizkribuak: Urtarrilean,. bajetatik,. gaixotasun kutsakorrek eragin zituzten, gerrako zauriek eta beste arrazoi batzuek Gure ospitaleek etsaiaren kanoiek baino baja gehiago eragiten dituzte. Jauna, ez utzi Ingalaterraren ohorea ospitale bateko gela batean lurperatzen. Jainkoak salba beza erregina! Adierazi oharreko datuak grafiko egoki baten bidez. Datuak adierazteko, barra- edo sektore-diagrama erabil dezakegu; dena den, egokiena sektore-diagrama erabiltzea da. Bajak (pertsonak) BARRA-DIAGRAMA Kutsatuta Gudan Bestelakoak Arrazoiak SEKTORE-DIAGRAMA Bestelakoak Gudan F F Kutsatuta

3 Estatistika ARIKETAK 00 Ikastetxe bateko DBHko. mailako ikasleen oinetakoen neurriari buruzko azterketa estatistikoa egin nahi dugu. a) Zein da populazioa? b) Aukeratu lagin bat. Zer neurri du? a) Populazioa: ikastetxeko DBHko. mailako ikasle guztiak. b) Lagin bat: ikasgeletako bateko ikasleak. Neurria ikasgelako ikasle kopurua da. 00 Adierazi zer kasutan komeni den populazioa ala lagina aztertzea. a) Makina batek egiten dituen torlojuen luzera. b) Urte bateko turista guztien garaiera. c) Bost laguneko talde baten pisua. a) Lagina, ezin ditugu torloju guztiak neurtu. b) Lagina, turista asko daude-eta. c) Populazioa, talde txikia delako. 00 Hona hemen egunkari bateko izenburu bat. «ESPAINIARREN BATEZ BESTEKO PISUA 9 KG DA.» a) Zure ustez, nola lortzen da ondorio hori? Populazio osoa aztertu ote da? b) Zer ezaugarri izan behar ditu lagin osoak? Izan al litezke adin berekoak lagineko banako guztiak? Guztiak emakumeak badira, zuzena al litzateke lagina? a) Lagin esanguratsu bat hartu da, kontuan izanda zer taldetan bana daitekeen populazio osoa; inkesta egin eta batez bestekoa kalkulatu da. Ia ezinezkoa da espainiar guztiei galdetzea. b) Laginak esanguratsua izan behar du adin eta sexu guztietarako; populazioko proportzio berean ageri behar dute. 00 Pentsatu eta idatzi azterketa estatistikoa egiteko populazioaren adibide bat. Zer lagin har dezakegu? Adierazi zein diren banakoak eta zer neurri duen laginak. Populazioa: futbol-taldeetan inskribatutako hiri jakin bateko gazte guztiak. Lagina: futbol-talderen batean aritzen diren ikastetxeko gazte guztiak. Banakoak: aurreko lagineko gazte bakoitza. Laginaren neurria: aurreko lagineko gazte kopurua. 9

4 ERANTZUNAK 00 Adierazi kualitatiboak ala kuantitatiboak diren aldagai estatistiko hauek. a) Jaiotza-urtea. b) Ile-kolorea. c) Pertsona baten ogibidea. d) Perimetro torazikoa e) Egoera zibila. f) Gerriaren perimetroa. g) Zenbat aldiz bidaiatu den hegazkinez. Kualitatiboak: b), c) eta e). Kuantitatiboak: a), d), f) eta g). 00 Sailkatu aldagai hauek kualitatibotan eta kuantitatibotan; bigarren kasuan, bereizi diskretuak eta jarraituak. a) Norbera bizi den probintzia. b) Eraikin bateko auzotar kopurua. c) Aitaren ogibidea. d) Gasolina-kontsumoa 00 km-ko. Kuantitatiboak: b) eta d). Kualitatiboak: a) eta c). Diskretua: b) eta jarraitua: d). 00 Aldagai estatistiko kuantitatibo batek infinitu balio har baditzake, diskretua ala jarraitua da? Printzipioz, ez du zertan diskretua ala jarraitua izan. Esan dezakeguna hau da: aldagai bat jarraitua bada infinitu balio har ditzake. Aldagaia diskretua bada, tarte bakoitzean har dezakeen balio kopurua finitua da, baina aldagaiak infinitu balio har ditzake. Esate baterako, zenbaki arrunt gustukoena zein den galdetuz gero, printzipioz infinitu erantzun daude, zenbaki arrunt guztiak, hain zuzen ere. Hala ere, aldagaia diskretua da. 00 Hona hemen gazteren altuera (cm-tan): Egin tarteka antolatutako taula bat, zenbatu datuak eta lortu tarte bakoitzeko klase-markak. Tartea [0, 0) [0, 0) [0, 0) Klase-marka Zenbaketa 0 9

5 Estatistika lagunen ile-koloreak (B = beltzarana, I = ilehoria, G = ilegorria) hauek dira: B I G B B B B I I G G B B B B B B G I I I G B B B B I B B B Egin maiztasun-taula. Ile-kolorea h i F i H i Beltzarana 0, 0, Ilehoria 0, 0, Ilegorria 0, 0 Guztira 0 00 Zergatik dira tauletako tarteak alde batetik itxiak eta bestetik irekiak? Bi aldeetatik irekiak balira, puntu jakin bat ez zen tarte bakar batean ere egongo, eta bi tarteak itxiak balira, puntu jakin bat bi tartetan egongo litzateke. Eta bi egoera horiek ez dira zuzenak. 0 0 lagunek ordenagailuaren bidez lanean egunean ematen dituzten orduak: a) Zer motatako aldagai estatistikoa da? b) Egin maiztasun-taula. a) Aldagai kuantitatibo diskretua da. b) Orduak h i 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, Guztira Hona hemen 0 laguni egindako adimen-test baten emaitzak: Egin maiztasun-taula, 0 zabalerako tarteak hartuta. Adina h i [, ) 0, [, ) 0, [, 9) 0, [9, 0) 0, [0, ) 0, [, ) 0, Guztira 0 9

6 ERANTZUNAK 0 Zer gertatzen da maiztasun absolutuen batura eta guztizko datu kopurua ez badira berdinak? Daturen bat ez dugu zenbatu edo bestela okertu egin gara kalkuluren bat egitean. 0 Hona hemen lagunen pisuak (kg-tan):,,, 9,, 9,,,,, 0,, 0, 0, 0, 0,, 9, 9,,, 0 a) Bildu 0 zabalerako tartetan eta egin maiztasun-taula. b) Zenbatek dute 0 kg-tik beherako pisua? c) Kalkulatu zer ehuneko adierazten duen guztizkoarekiko maiztasun absolutu handieneko tarteak. a) Tartea [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 90) F i 9 0 h i / = 0, / = 0, / = 0, / = 0, / = 0, / = 0,0 H i 0, 0, 0, 0, 0,9 b) Maiztasun absolutu metatuen zutabeari, F i, erreparatuz, 9 lagunek 0 kg baino pisu txikiagoa dutela ikusten da. c) Maiztasun handieneko tartea [0, 0) da: = eta h i = 0, %. 0 Hona hemen 0 ikasleren egun bateko batez besteko ikasketa-orduak: Egin maiztasun-taula. Zer esanahi dute maiztasun metatuek? Orduak h i 0 0, 0, 0, 0, 0, 0, Guztira 0 F i 0 H i 0, 0, 0, 0, 0,9 Maiztasun metatuek egunean gehienez ordu kopuru jakin bat ikasten ematen duten ikasle kopurua edo ehunekoa adierazten dute. 99

7 Estatistika 0 Azaldu nola osatuko zenukeen maiztasun-taula bat, maiztasun absolutu metatuak soilik jakinda. Lehen maiztasun absolutu metatua eta lehen maiztasun absolutua berdinak dira. Gainerako maiztasun absolutuak kalkulatzeko, ondoz ondoko maiztasun absolutu metatuen kenketak egin behar dira. f = F = F i F i Laginaren neurria azken maiztasun absolutu metatua da, eta hortik abiatuta, maiztasun erlatiboak kalkulatzen dira. 0 Eraikin batean, etxebizitza daude. Etxebizitzetako telebista kopurua: 0 0 a) Egin maiztasun-taula. Zer aldagai mota da? Arrazoitu erantzuna. b) Egin datuen barra-diagrama eta maiztasun-poligonoa. c) Egin gauza bera maiztasun metatuekin. a) Aldagai kuantitatibo diskretua da. Telebistak h i 0 0, 0, 0, 0, Guztira F i H i 0, 0, 0, b) MAIZTASUN ABSOLUTUAK c) MAIZTASUN METATUAK Auzotarrak Auzotarrak 0 0 Telebistak 0 Telebistak 0 Aparkaleku publiko batean, auto gorri, 9 hori, zilar-koloreko 9, 0 zuri, berde, 0 urdin eta 0 beltz zeuden. a) Egin maiztasun-taula. c) Egin b) Kalkula al ditzakezu maiztasun metatuak? barra-diagrama. a) Kolorea Gorria Horia Zilar-kolorea Zuria Berdea Urdina Beltza h i /00 = 0, 9/00 = 0,09 9/00 = 0,9 0/00 = 0, /00 = 0, 0/00 = 0, 0/00 = 0,0 00

8 ERANTZUNAK b) Ezin dira maiztasun metatuak kalkulatu, aldagaia kualitatiboa delako. c) G H Zil. Z Ber. U Belt. 09 Egin aurreko ariketako grafikoak maiztasun erlatibo eta guzti. Zer hauteman duzu? 0, 0,0 0, 0,0 0, h i G H Zil. Z Ber. U Belt. Grafiko bera da, baina maiztasunen eskala aldatuta. 00 Hona hemen kilkerren luzera (cm-tan):,,9,,,,,9,,,,,,9,,, a) Egin tarteak eta idatzi maiztasun-taula. b) Adierazi datuak histograma eta maiztasun-poligono banaren bidez. c) Egin sektore-diagrama. Zure ustez, zer grafiko da egokiena? a) Tartea c) [,; ) [;,) [,; ) [,; ) [,; ) [;,) b),, Histograma da egokiena, datuak aldagai kuantitatibo batenak direlako. 0

9 Estatistika 0 Adierazi grafikoki datu hauek: 0 ikasleko gela batean; ikaslek ez dute irakasgaia gainditu; 0ek Nahiko atera dute; %k, Oso ongi; eta gainerakoek, Bikain. Notak Gutxiegi Nahiko Oso ongi Bikain 0 0 Bikain Gutxiegi Oso ongi Nahikoa 0 Egin grafikoari dagokion maiztasun-taula. Aldagaia h i [0, 0) 0,0 [0, 0) 0 0, [0, 0) 0, [0, 0) 0 0, [0, 0) 0, [0, 0) 0, Total Y X DBHko. mailako ikasleren altuerak (cm-tan) hauek dira: a) Bildu tartetan. b) Kalkulatu batez bestekoa, mediana eta moda. a). 90 Tartea x i x i b) x = [, 0),.0, =, [0, ) 9,., Me =, [, 0),.0,.90, Mo =, 0 Interpretatu ikasleren Gutxiegi kopuruen zentralizazio-neurriak Gutxiegi kopurua h i 0 0, 0, 0, 0, 0, F i 9 H i 0, 0, 0,0 0, 0

10 ERANTZUNAK x = = = Ikasle bakoitzak gutxiegi ditu, batez beste. Bi moda daude: Mo = eta Mo =. Me = denez, ikasleen erdiek irakasgaitan gutxiegi atera dute, gehienez. 0 Erantsi mediana aldatuko ez duen balio bat. 9 Mediana da eta edozein balio sartuta ere izango da. Izan ere, balio kopurua bikoitia da eta beste balio bat batzean, bakoitia izango da. Beraz, bi etako batek balio zentrala izaten jarraituko du. 0 Beheko datuek 0 langilek zenbat baja-egun izan dituzten erakusten dute. Kalkulatu datu multzoaren kuartilak Bajak F i Guztira 0 0 0, =, Q = , = Q = Me = =, 0 0, =, Q = 0 Interpretatu aurreko ariketan kalkulatutako kuartilak. Bajan egon ez diren langileak % dira, gutxienez; langileen erdiak gehienez egun bat egon dira bajan, eta langileen %, gehienez egun. 0 Oposizio-deialdia egin dute 0 lanpostu betetzeko eta 00 pertsona aurkeztu dira. Hona hemen emaitzak. Notak Oposiziogileak fi Zer nota behar da lanpostua lortzeko? 0 lanpostuak bat datoz hirugarren kuartilarekin, 0 pertsonak ez dituztelako lortu: % ek. Behar den nota da

11 Estatistika 09 Hona hemen torlojuen lagin bateko luzerak (mm-tan). Kalkulatu sakabanatze-neurriak, klase-markak erabiliz. Tartea [, ) [, ) [, ) [, ) Tartea [, ) [, ) [, ) [, ) x i,,,, 0 x i 0, 0,, 9, 90, x i x x i x (x i x) x = =, 0 BBD = = 0, σ = =, σ=, Ikasle batek nota hauek lortu ditu bost azterketatan:,,, eta. Eta beste batek, berriz, hauek:, 9,, eta. Zer ikaslek du sakabanatze handiena? Lehen ikaslea: H = = x i x i x i x x i x (x i x),, 0,,,,, 0,,,,,,9 0,,,,, x = =, BBD = =,,, σ= =, AK = = 0,, Bigarren ikaslea: H = 9 = x i 9 x i 9 x i x x i x (x i x),, 0,,,,, 0,,, 0,,,9 0,,,9 9,0 0, x = =, BBD = =,0 9,, σ= =, AK = = 0,, Beraz, bigarren ikasleak du sakabanatze handiena. 0

12 ERANTZUNAK 0 Galdetu adina eta altuera ikaskideri. Alderatu bi aldagaien sakabanatzea. Emaitzak laginaren araberakoak izango dira. ARIKETAK 0 Ikasleek irakurtzen ematen duten denborari buruzko azterketa egin nahi dugu. a) Aukeratu lagina, azterketa egiteko. b) Zer neurri du aukeratutako laginak? c) Zein da populazioa? a) Esate baterako, ikasgelako ikasleak. b) Ikasgelako ikasleen kopurua. c) Ikastetxeko ikasle guztiak. 0 Azaldu zer aldagai estatistiko mota ari garen aztertzen eta adierazi zer den onena kasu bakoitzean: lagina ala populazioa aztertzea. a) Zure familiako kideen programa gustukoena. b) Ikastetxe bateko ikasleen oinetakoen neurria. c) Zure probintziako eguneroko batez besteko tenperatura. d) Herrialde bateko biztanleen adina. e) Herri bateko biztanleen sexua. f) Zure lagunek astebetean gastatutako dirua. g) Sendagai berri baten eraginak gizakiarengan. h) Zure gelako ikaskideen ile-kolorea. a) Kualitatiboa. Populazioa. b) Kuantitatibo diskretua. Lagina. c) Kuantitatibo jarraitua. Populazioa. d) Kuantitatibo diskretua. Lagina. e) Kualitatiboa. Lagina. f) Kuantitatibo diskretua. Populazioa. g) Kualitatiboa. Lagina. h) Kualitatiboa. Populazioa. 0

13 Estatistika 0 Behean ageri diren aldagaietatik zein dira diskretuak? a) Maskota kopurua. b) Oinetakoen neurria. c) Burezurraren perimetroa. d) Fruta-denda bateko eguneroko diru-sarrerak. e) Astebetean ikastetxe bateko jangelan kontsumitutako okela-kilogramoak. Diskretuak: a) eta b). Jarraituak: c), d) eta e). 0 Atzerrira zenbat aldiz joan diren galdetu zaie 0 pertsonari. Hona hemen emaitzak: a) Egin zenbaketa eta antolatu datuak. b) Egin maiztasun-taula. a) Datuak ordenatuta:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. b) x i 0 F i 0 h i /0 = 0,0 /0 = 0, /0 = 0, /0 = 0,0 /0 = 0, /0 = 0,0 H i 0,0 0,0 0, 0, 0,90 % Hona hemen Gorputz Hezkuntzako 0 ikasleren oinetakoen neurria: Egin barra-diagrama eta maiztasun-poligonoa, eta adierazi maiztasun absolutuak eta maiztasun absolutu metatuak. MAIZTASUN ABSOLUTUAK MAIZTASUN METATUAK Ikasleak 0 Ikasleak Neurriak 9 0 Neurriak 0

14 ERANTZUNAK 0 Hona hemen gazteren altuerak (cm-tan): a) Erabili zabalerako tarteak, maiztasun-taula egiteko. b) Adierazi datuak histograma batean, maiztasun absolutuak eta maiztasun absolutu metatuak erabiliz. a) Tartea [0, ) [, 0) [0, ) [, 0) [0, ) [, 0) x i,,,,,, F i h i / = 0,0 / = 0, / = 0, / = 0, / = 0, / = 0, H i 0,0 0, 0, 0,9 0, b) MAIZTASUN ABSOLUTUAK MAIZTASUN METATUAK Gazteak Gazteak Altuera (cm) Altuera (cm) 0 Afari batera joan diren 0 lagunetatik, % 0k txahala jan zuen; % 0k, arkumea; eta gainerakoek, arraina. Adierazi aldagai estatistikoa eta antolatu emaitzak maiztasun-taula batean. Ondoren, adierazi datuak sektore-grafiko batean. Jatekoa h i Txahala 0, Arkumea 0, Arraina 0, 0 Arkumea () Txahala () Arraina () 0

15 Estatistika 09 Grafikoan, kiroldegi bateko teniseko pista hil bakoitzean zenbat aldiz alokatu den ageri da a) Kalkulatu maiztasun erlatiboak eta metatuak. b) Hilen zer ehunekotan alokatu zen pista 0 alditan baino gehiagotan? c) Adierazi maiztasun absolutu metatuen poligonoa. a) Hila Urt Ots Mar Api Mai Eka Uzt Abu Ira Urr Aza Abe U O M A M E U A I U A A b) Urtarrilean, maiatzean, ekainean, uztailean, urrian eta abenduan 0 aldiz alokatu zen pista, hilen % 0 baino gehiagoan. c).000 F i F i h i 0,09 0,0 0,0 0,00 0,09 0, 0,09 0,0 0,0 0, 0,0 0,0 H i 0,09 0, 0, 0, 0, 0,90 0, 0, 0, 0, 0, UOMAMEUA I UA A 00 Kalkulatu datu segida honen zentralizazio-neurriak x i 0 9 F i Batez best.: x = =,9 Mediana: Me = Moda: Mo = 0

16 ERANTZUNAK 0 Egin aurreko ariketa zabalerako tarteak hartuta. Emaitza berak lortu al dituzu? Zure ustez, zergatik gertatzen da hori? Aldagaia x i [0, ) 0 [, ) 0 [, ) [, ) [, 0) 9 F i Batez bestekoa: x = =, Mediana: Me = [, ) Moda: Mo = [, ) Emaitzak desberdinak dira. Hori gertatzen da datuak biltzean klase-markan daudel suposatzen dugulako, eta beraz, eragiketak aldatu egiten dira. 0 Kalkulatu datu hauen mediana. a) x i b) Bar. [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) a) N = = denez, mediana. eta. lekuan dauden x i balioei dagokie. Kasu honetan: + x = eta x = Me = =, b) N = = denez eta F = 9 > Me = [0, 0) tarteko klase-marka = 0 Kalkulatu taula honetako datuen batez bestekoa, mediana, moda eta kuartilak. x i a) Taulako balio guztiak z biderkatuz gero, zenbatekoa litzateke batez bestekoa? Eta mediana? Eta moda? b) Aldagai baten balio guztiei zenbaki bera kendu edo haiek zenbaki beraz zatitzen baditugu, zenbatekoa izango da batez besteko berria? x = = =, 0 0 N = 0 denez, 0. eta. lekuetan dauden x i balioak dira mediana. Kasu honetan, Me =, Q = eta Q = 0. Gehien ageri den balioa hau da: Mo =. ( ) + ( ) + ( 0) + ( ) a) x = = 0 ( ) = = x aurrekoa 0 Kasu honetan, x berria =, =,. Beraz, Me = =, Q =, Q = 90 eta Mo =. b) Balio guztiei zenbaki bera kenduz gero, x berria = x zenbakia. Eta balio guztiak zenbaki beraz zatituz gero, x berria = x : zenbakia. 09

17 Estatistika 0 0,, a, 9,, b, datuen batez bestekoa, mediana eta moda 9 dira. Zenbatekoak dira a eta b? a b + x = = a + b = 9 = a + b = a b - a-k 9 (moda) izan behar duenez 9 + b = b =. 0 Demagun datuen multzo hau: 9 x y Jakinik batez bestekoa 0 eta moda direla, zenbatekoak dira x eta y? x + y + 0 = 0 = + x + y x + y = Moda Mo = bada, x-k edo y-k (edo biek) izan behar dute. x = y = balira x + y = + =. Beraz, x = y = =. 0 Hona hemen etxeetako irrati kopuruari buruzko inkesta bateko datuak. Irrati kopurua 0 Etxe kopurua...00 a) Zenbat irrati dituzte etxeen laurdenek? b) Eta etxeen % ek? c) Zer esanahi du medianak?. a) =., Q = Etxeen % ek irrati bat du edo bat ere ez.. b) =., Q = Etxeen % ek irrati edo gutxiago dituzte. c) Mediana bera baino datu handiagoen eta txikiagoen kopuru bera duen balioa da. X i F i Ebatzi ariketa hau, kalkulagailua erabiliz. Hilabetean, zortzi saltzailek aire girotuzko gailuen kopuru hauek saldu zituzten. Kalkulatu batez bestekoa, desbideratze tipikoa eta aldakuntza-koefizientea. 0

18 ERANTZUNAK Datuak ordenatuko ditugu: x = = = 0, σ = ( 0,) ( 0,) = = 0, +, + 0, +, + 0, =, = = 0, σ = 0, =, AK = 0, = 0, 0 Planetarioa bisitatu duten lehen 0 lagunen adinak (urtetan) hauek dira: Kalkulatu neurri estatistikoak. Datuak ordenatuko ditugu: x = = = 0, 0 0 Me = 0 Mo = 0 H = σ ( 0,) = (0 0,) = 0, σ =,9 σ =, 9 =, AK = = 0, 0, 09 EGIN HONELA NOLA ALDERATZEN DA BI ALDAGAI ESTATISTIKOREN SAKABANATZEA? Jaioberrien lagin bateko batez besteko pisua x =,-koa da, eta desbideratze tipikoa, σ= kg. Amen batez besteko pisua x = kg da, eta desbideratze tipikoa, σ= kg. Zer banaketatan da handiena sakabanatzea? LEHENA. Aldakuntza-koefizienteak kalkulatu. AK jaioberriak = = 0, = % AK amak = = 0, = %, BIGARRENA. Koefizienteak alderatu behar dira. 0, > 0, Sakabanatzea handiagoa da jaioberrien pisuan amen pisuan baino, desbideratze tipikoei erreparatuz gero aurkakoa dirudien arren: <.

19 Estatistika 00 Albertok nota hauek atera ditu azterketatan:,,, eta. Anek, berriz:,, 0, 0 eta. Bietatik zein da erregularrena errendimendu akademikoan? Albertoren kasuan, neurri estatistikoak hauek dira: x = =,, σ = = 0, σ = 0, 0, AK = = 0,, Aneren kasuan, neurri estatistikoak hauek dira: 0 x = = σ = =, σ =, 9 9, AK = = 0, Beraz, Ane da erregularrena errendimendu akademikoan. 0 Kalkulatu datu hauen batez bestekoa, mediana, moda eta desbideratze tipikoa. Pisua [, ) [, ) [, 9) [9, ) [, ) Ikasle kopurua Pisua [, ) [, ) [, 9) [9, ) [, ) x i 0 F i x i (x i x) (x i x),,,,,,, 00,, 0,.0, 90 x = =, Me = [, ) Mo = [, ) σ =. 0 =, 9 σ =,

20 ERANTZUNAK 0 Hona hemen 0 ikaslek Musikan lortu dituzten notak: Musika-gela Kalkulatu datuen batez bestekoa eta desbideratze tipikoa, aldagaia diskretu gisa hartuta, lehendabizi, eta ondoren, datuak tarte hauetan bilduz: [0, ), [, ), [, 9) eta [9, 0]. Zer alde hautematen da? Lehendabizi, datuak ordenatuko ditugu: x = =, 0 σ (0,) = (0,) =, 0, σ=, =, AK = = 0,0 0 Datuak tartetan bilduko ditugu: Tartea [0, ) [, ) [, 9) [9, 0] Klase-marka,,, 9, 0 x =, , = =, 0 0 σ = (,,) (9,,) 0 =, σ=,, =, AK = = 0,0 0 Batez bestekoa eta desbideratze tipikoa aldatu egin dira.

21 Estatistika 0 Taulan, etxebizitzen hileko alokairuen prezioak ageri dira. Prezioa ( ) Etxebizitza kopurua a) Zenbatekoa da batez besteko alokairua? b) Adierazi zer prezio ageri den gehien. c) Kalkulatu mediana. Zer esan nahi du? d) Kalkulatu bariantza eta desbideratze tipikoa. Zertarako dira zenbaki horiek? Prezioa ( ) F i x i (x i x) (x i x).00,00.00,00.900, ,00 9,.,9,,.,0.00,.0,0.90,.,9., 0.,. 00 a) x = =, b) Gehien ageri den prezioa moda da: Mo = 00. c) Mediana Me = 0 da eta prezio horren azpitik daude alokairuen erdiak. 0., d) σ = =., σ = 0, Zenbaki horiek datuen sakabanatzea ikusteko balio dute; kasu honetan, alokairu batzuen eta beste batzuen artean alde handia dagoen ikusteko, hau da, ea alokairuen prezioa homogeneoa den ala ez. 0 Grafiko hauetatik abiatuta, egin maiztasun-taula, eta kalkulatu datuen batez bestekoa, mediana, moda eta desbideratze tipikoa. a) Y 9 0 X

22 ERANTZUNAK b) Y 0 X 0 a) x i 9 0 b) x = =, N = denez, mediana. tokian dagoen balioa da Me =. Moda hau da: Mo =. σ = (,) (0,) =, σ=, =, Tartea [0, ) [, ) [, ) [, ) [, ) 0 x i 0,,,,, 0, , x = =, Me =, Mo =, σ = (0,,) (,,) =, σ=, =, 0 EGIN HONELA NOLA INTERPRETATZEN DIRA BATEZ BESTEKOA ETA DESBIDERATZE TIPIKOA BATERA? Saskibaloi-talde batek hegaleko bat behar du. Azken bost partidetan taulan adierazitako puntu kopurua lortu duten bi jokalariak aukeratu dira. Nor hautatuko zenuke? A jokalaria B jokalaria LEHENA. Batez bestekoa eta desbideratze tipikoa kalkulatu behar dira. x A = x B = A jokalaria B jokalaria σa =,09 σb =, BIGARRENA. Aurreko emaitzak aztertu behar dira. Batez bestekoak berdinak direnez, entrenatzaileak jokalari erregular bat nahi balu, A jokalaria aukeratuko luke (desbideratze tipiko txikiak antzeko datuak adierazten ditu). Baina pizgarri bat nahi izanez gero, B aukeratuko luke; izan ere, oso partida onak eta txarrak egiten ditu (desbideratze tipiko handiak datu desberdinak adierazten ditu). 0

23 Estatistika 0 proba egin ondoren taulan ageri diren emaitzak lortu dituzte bi ikaslek. Alderatu bien errendimendua. Jon Ane 0 9 Jon: batez bestekoa =, desbideratze tipikoa =,. Ane: batez bestekoa =, desbideratze tipikoa =,. Batez besteko bera izanda, Jon da konstanteena emaitzetan, desbideratze tipiko txikiena duelako. 0 Lehen ebaluazioan, gela bateko 0 ikasleetatik, % 0ek dena gainditu zuen, % 0k irakasgai bat suspenditu zuen; % 0ek bi irakasgai suspenditu zituen, eta gainerakoek, bi baino gehiago. Egin maiztasun-taula, datu horiek erabiliz. Bi irakasgai baino gutxiago zenbat ikaslek suspenditu zituzten galderari erantzuteko maiztasunik ba al dago? Arrazoitu erantzuna. Gutxiegi kopurua h i 0 0, 0, 0, baino gehiago 0, Guztira 0 F i 9 0 H i 0, 0, 0, Bi irakasgai baino gutxiago suspenditutako ikasleak adierazteko en maiztasun absolutu metatua erabiltzen da; hau da, 9 ikasle. 0 Lasterkari batek astelehenetik ostiralera egiten ditu entrenamenduak.,,, eta km egiten ditu, hurrenez hurren. Larunbatean ere entrenamendua egiten badu: a) Zenbat kilometro egin behar ditu batez bestekoa ez aldatzeko? b) Eta mediana ez aldatzeko? c) Eta moda ez aldatzeko? x = =,. Mediana:. Moda:. a) Larunbatean, km egin behar ditu. b) km edo handiagoa den edozein distantzia. c), edo km ez den edozein distantzia.

24 ERANTZUNAK 09 Buruzko kalkuluko (BK) proba eta psikomotrizitate-proba (P) bana egin zaie ikasgela bateko ikasleei. Emaitza hauek lortu dira: a) Zer probatan lortu dituzte emaitza onenak (batez besteko handiena)? b) Zer probatan izan da sakabanatze handiena? (Erabili aldakuntza-koefizientea.) a) Batez bestekoak kalkulatuko ditugu: x BK = = 90 x CM = =, x P = =. 00 x P = =, Psikomotrizitate-proban lortu dituzte emaitza onenak. b) σ (,) BK = (,) =. 9, σ CM = =,0 σ BK =,9 σ, 9 AK = AK = = 0, x, Puntu kopurua [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 0) BK σ (,) P = (,) =.,, σ P = =, σ P =, AK = = 0,, Sakabanatzea ia bera izan da bi probetan. P 9 00 galderako proba bati erantzun zioten 0 ikasleetatik, % 0ek zuzen erantzun zien galderari; % 0ek, ri; % 0ek, 0i; eta gainerakoek, proba osoari. Kalkulatu datuen batez bestekoa, mediana eta moda. Kalkulatu desbideratze tipikoa. Lehendabizi, maiztasun-taula egingo dugu: x = = 0 Mediana. eta º posizioetako balioen batez bestekoa da, N = 0 baita; kasu honetan, Me =. handiena duen balioa Mo = da. σ ( ) = ( ) =, σ =, 0 x i 0 %0 0 = %0 0 = %0 0 = %0 0 =

25 Estatistika 0 Gestio-informatikan diplomadunek, lehen lanpostuan,.0 -ko batez besteko soldata dute. Desbideratze tipikoa 0 -koa da. Bestalde, sistemen informatikako diplomadunek.0 -ko batez besteko soldata dute eta 0 -ko desbideratze tipikoa. Gestio-informatikako diplomadun bati.00 -ko soldata eskaini diote, eta sistemen informatikako diplomadun bati,.0 -ko soldata: a) Nori egin diote eskaintza onena? b) Arrazoitu zergatik den hobea eskaintza bat..0.0 Erantzunak bistakoa dirudi,.00 >.0 baita. Beraz, itxuraz eskaintza onena gestio-informatikako diplomadunari egin diotena da. Hala ere, banako bakoitza zer populaziotakoa den aintzat hartuta alderatzeko, talde bakoitzeko batez besteko soldata eta sakabanatzea kontuan hartu beharko ditugu. Gestio-informatika:.00 irabazten dituzte eta sakabanatzea 0 -koa da taldeko batez bestekoaren gainetik (.0 ). Desbideratzea (0 ) eta talde horretan ageri den sakabanatzea alderatuko 0 ditugu: σ =0, = 0,, eta zenbat eta handiagoa izan zenbaki hori 0 orduan eta urrunago egongo da batez besteko soldatatik. Sistemen informatika:.0 irabazten dituzte eta sakabanatzea 0 -koa da taldeko batez bestekoaren gainetik (.0 ). Desbideratzea (0 ) eta taldeko sakabanatzea alderatuko ditugu: 0 σ=0, = 0,. 0 Beraz, eskaintza onena sistemen informatikako diplomadunari egin diotena da, 0, > 0, delako, eta horren ondorioz, egin dioten eskaintza gehiago urruntzen da taldeko batez besteko soldatatik. 0 Zenbaki oso positibo desberdinek osatutako datu multzo baten batez bestekoa da. Kontuan hartuta datu bat 9 dela eta datu guztien batura 9, zein da datu multzoan egon daitekeen zenbakirik handiena? 9 9 x = = N = = da datu kopurua. N Datu bat 9 denez, gainerakoek ahalik txikienak izan beharko dute:,,, eta. Zazpigarren zenbakia hau da: 9 ( ) =. Beraz, da egon daitekeen zenbakirik handiena.

26 ERANTZUNAK 0 Datu multzo hau dugu: x Kalkulatu x, datuen mediana eta batez bestekoa berdinak izan daitezen. x baino handiagoa bada, mediana izango da, eta batez bestekoa izatea nahi dugunez, bost gaien baturak 0 izan behar du. Beraz, x = 0 ( ) =. ez denez baino handiagoa, ezinezkoa da. x bada, mediana izango da, eta batez bestekoa izatea nahi dugunez, bost gaien baturak izan behar du. Beraz, x = ( ) = ; eta hori ezinezkoa da. x baino txikiagoa bada, mediana izango da, eta batez bestekoa izatea nahi dugunez, bost gaien baturak 0 izan behar du. Beraz, x = 0 ( ) =. Eta baino txikiagoa denez, ebazpena x = da. 0 Bost datuko multzo batean, batez bestekoa 0 da, eta mediana,. Zein da ibiltarteak har dezakeen baliorik txikiena? Mediana denez, edo handiagoak diren bi balio egon behar dute eta edo txikiagoak diren beste bi balio. Eta ibiltartea minimoa izan dadin, bi balio handienek ahalik txikienak izan behar dute (mediana batez bestekoa baino handiagoa denez), eta beraz, balioa izango dute. Bost gaien baturak 0 izan behar du eta hiru gairen batura da. Beraz, beste bi gaien baturak izan behar du. Ibiltartea minimoa izan dadin, balio txikienak ahalik handiena izan behar du, eta hori gertatzen da bi balio txikienak berdinak badira; beraz, balioa izango dute. Balioak,,,,, izango dira, eta ibiltartea,. 0 0,,,,,, x datu multzoaren batez bestekoa, mediana eta moda goranzko ordenan idazten baditugu, progresio aritmetiko bat lortuko dugu. Kalkulatu x aldagaiak har ditzakeen balio guztiak. Moda da, edozein kasutan. x baino txikiagoa bada, mediana izango da; beraz, progresio aritmetikoa izateko, batez bestekoak ere izan behar du, eta hori ezinezkoa da. x bada, mediana izango da; beraz, progresioa aritmetikoa izateko, batez bestekoak, edo izan behar du, eta hori ezinezkoa da. x edo handiagoa bada, mediana da; eta batez bestekoak baino balio handiagoak hartzen dituenez, progresio aritmetikoa izateko, batez bestekoak izan behar du. Beraz, gaien batura da: x = ( ) =. 9

27 Estatistika 0 Zazpi datuko multzo bat ordenatu ondoren, lehenengo lau datuak hartuz gero, batez bestekoa izango da; baina azken lau datuak hartuz gero, batez bestekoa izango da. Zenbaki guztien batez bestekoa bada, zenbatekoa da mediana? x = x + x + x + x + x + x + x = x + x + x + x = 0 = x + x + x + x + x + x + x + x = x + x + x + x = = + x x = Mediana da. EGUNEROKOAN 0 Ikasleen Matematikako errendimendua balioesten ari da Hezkuntza Saila. Hori dela-eta, iazko ikasturtean Bigarren Hezkuntzako ikasleek Matematikan izandako emaitzak erakusten dituen txostena egin du. Grafikoetan, txosten horren laburpena ikus daiteke. Sektore-diagrama egiteko, notarik handienak, OSO ONGI eta BIKAIN, bildu eta nota bakoitza % % lortu duten % ikasleen ehunekoak % sartu dira. % GUT NAH ONG OSO BIK GUT NAH ONG OSO + BIK Txostenaren arabera, NAHIKO nota atera duten ikasleak. izan dira. Grafikoei eta ehunekoei erreparatu, kalkulatu zenbat ikasle ebaluatu dituzten guztira eta zenbat ikaslek atera duten BIKAIN Ikasle guztien %. badira Guztira = =. 0 ikasle. 0 Ongi eta nahiko lortu dutenen kopurua = 0. 9 ikasle Oso ongi lortu dutenen kopurua 0 =. ikasle Bikain lortu dutenen kopurua =. 09 ikasle 00 0

28 ERANTZUNAK 0 Telebista-kate bateko ikusle kopuruaren araberakoa da kate horretan ematen den publizitatearen kostua. Horregatik, aldizka audientzia-indizeak jakinarazten dira. Audientzia-indize handieneko bi telebista-kateek urteko lehen lau hiletako emaitzak aurkeztu dituzte. Hona hemen zenbait komunikabidetan agertu diren grafikoak. Milakoak Milakoak MIRO TELEBISTA Urt. Ots. Mar. Api. Bi kateek gorakada handia izan dute, baina MIRO TELEBISTAko arduradunek diote haien telebistaren gorakada handiagoa izan dela. Zenbat ikusle irabazi ditu kate bakoitzak? Zer adierazpenek islatzen du ondoen egoera? FREE KATEA Urt. Ots. Mar. Api. Komunikabideetan argitaratutako grafikoetan ikus daitekeen moduan, Free Kateak baino gorakada handiagoa izan dugu. Bi grafikoen eskalak desberdinak dira, eta horregatik dirudi MIRO TELEBISTAren gorakada handiagoa dela; dena den, FREE KATEA telebistako audientziaren gorakada 0.000koa da, gutxi gorabehera. Beste kateko audientziaren gorakada, berriz, txikiagoa da: ikusentzule gehiago, gutxi gorabehera. Gorakada hobeto ikus daiteke MIRO TELEBISTAren grafikoan, eta adierazteko bi moduak baliozkoak diren arren, informazioa alderatzeko, eskala bera erabili behar genuke.