10 Funksjoner. Lineære funksjoner

Transkript

1 10 Funksjoner Lineære funksjoner 1 En bedrift skal produsere postkasser og kalkulerer med faste kostnader på kroner og variable kostnader på 50 kroner per kasse. a) Hva koster det totalt å produsere 500 kasser? De totale kostnadene K(x) er gitt ved K(x) = 50x når bedriften produserer x kasser. b) Bedriften regner med å selge kassene for 110 kroner per. Hva blir inntektene I(x) hvis det selges x kasser? c) Framstill K(x) og I(x) i det samme koordinatsystemet. La x ha verdier mellom 0 og d) Bestem grafisk og ved regning hvor mange postkasser som må produseres og selges for at kostnadene og inntektene skal bli like store? e) Bestem grafisk hvilken x-verdi som gir et overskudd på kroner. 2 Idrettslaget Frisk skal sette opp et budsjett for det kommende året. Prisen på elektrisk energi er kr 500 i fast årlig avgift og 37,4 øre for hver kilowattime (kwh) i forbruk. Staten skal i tillegg ha 23 % i merverdiavgift av beløpene. Idrettslaget hadde et forbruk på kwh for klubbhuset året før. a) Hvor mye betalte de for elektrisiteten det året? b) Vis at den årlige utgiften, y kr, kan uttrykkes ved funksjonen nedenfor, dersom forbruket er x kwh per år: y = ,46002x c) Tegn grafen til funksjonen. Bruk 5000 (kwh og kr) som enheter. Idrettslaget synes at strømutgiftene er for store. Energiverket tilbyr idrettslaget en ny finansieringsordning for elektrisk energi. Tilbudet har en større fast årlig avgift, men en lavere pris per kilowattime i forbruk. Funksjonen som uttrykker det nye tilbudet, er g: g(x) = ,3053x d) Finn ut ved hvilket forbruk det nye tilbudet er best.

2 3 Kari skal kjøpe ny bil. Valget står mellom to biler. Den ene har bensinmotor og koster kroner. Den andre har dieselmotor og koster kroner. Hun regner med å kunne bruke bilen i ti år og setter derfor den årlige avskrivningen til 10 % av kjøpesummen. Hun antar at utgiftene til forsikring, årsavgift og vedlikehold kommer på kroner i året for begge biltypene. Bensinprisen er kr 7,20 per liter, og bensinforbruket er beregnet til 0,80 liter per mil. Dieselprisen er kr 3,38 per liter, og dieselforbruket er beregnet til 0,50 liter per 10 km. I tillegg kommer det en avgift på 16 øre per kilometer for dieselbilen. a) Regn ut de totale kostnadene per år for begge biltypene dersom den årlige kjørelengden er km. For en årlig kjørelengde på x km kaller vi totalkostnadene for bensinbilen B(x) kroner. For dieselbilen er de tilsvarende kostnadene D(x) kroner. b) Vis at B(x) = ,576 x c) Finn funksjonsuttrykket for D(x). Kari bestemmer seg for å kjøpe bil med bensinmotor. Gjennomsnittskostnaden for denne bilen er G(x) kroner per kilometer ved en årlig kjørelengde på x kilometer. d) Finn G(x). e) Tegn grafen til G. Bruk 2000 km som enhet på førsteaksen og 1 krone som enhet på andreaksen. f) Finn ved hjelp av grafen hvilke kjørelengder som gir lavere gjennomsnittskostnad enn kr 3,00. Vi antar at Kari kjører km i året. Bensinprisen øker slik at gjennomsnittskostnaden går opp med 3,0 %. g) Hvor mange prosent øker bensinprisen med? Gruppeoppgave 4 Dere skal gjøre oppgave 3 ved å innhente nødvendige opplysninger om faste kostnader (forsikring, årsavgift, osv.) og variable kostnader (bensin- og dieselpriser). Dere kan for eksempel ta utgangspunkt i bensin- og dieselmodellen til VW Golf. 5 Ved omlegging av skattesystemet ble det foreslått to modeller for beregning av skatt på arbeidsinntekt: modell 1: Det betales 30 % skatt av all inntekt. modell 2: Det betales ikke skatt av de første kronene. Av den inntekten som overstiger kroner, skal det betales 40 % skatt. I tillegg skal det betales en toppskatt på 15 % av den delen av inntekten som overstiger kroner.

3 Vi kaller arbeidsinntekten for x kroner. a) Skriv et funksjonsuttrykk S 1 (x) for skatten etter modell 1. b) Vis at funksjonsuttrykket S 2 (x) for skatten etter modell 2 kan skrives som S 2 (x) = 0 for x ε [0, ] S 2 (x) = 0,40x for x ε <30 000, ] S 2 (x) = 0,55x for x ε < > c) Tegn grafene til S 1 og S 2 i det samme koordinatsystemet. La 1 cm på førsteaksen svare til kroner og 1 cm på andreaksen svare til kroner. d) Finn av diagrammet hvilke inntekter som gjør modell 1 mer gunstig enn modell 2 for en vanlig skattebetaler. Lars har en årslønn på kroner. Lønnen hans øker med kroner. e) Hvor mange prosent av lønnsøkningen måtte Lars ha betalt i skatt dersom 1) modell 1 hadde blitt vedtatt? 2) modell 2 hadde blitt vedtatt? Etter modell 2 skulle Kristine ha betalt 40 % skatt av sin årslønn. f) Hva er årslønnen til Kristine? Finn resultatet både grafisk og ved regning. 6 Et gartneri regner ut at produksjonen av sommerblomster medfører disse utgiftene: faste kostnader på kr 7000 utgifter til frø, veksttorv, gjødsel, osv. på kr 4 per plante a) Hva blir de samlede kostnadene ved produksjon av 3000 planter? Kostnadene ved produksjon av x planter er K(x) kroner. b) Bestem funksjonsuttrykket for K(x). c) Tegn grafen til K. La 1 cm på førsteaksen svare til 500 planter og 1 cm på andreaksen svare til kr Gartneriet regner med å få solgt alle de plantene som de produserer, til disse prisene per plante: kr 10 for de første 1000 plantene kr 8 for de neste 1000 plantene kr 6 for resten av plantene Inntekten ved salg av x planter er I(x) kroner.

4 d) Forklar at funksjonsuttrykket til I(x) er gitt ved 1) I(x) = 10x når x ε < 0, 1000] 2) I(x) = x når x ε <1000, 2000] 3) I(x) = x når x ε <2000, > e) Tegn grafen til I i det samme koordinatsystemet som grafen til K. f) Bruk grafene til å bestemme hvor mange planter gartneriet må produsere og selge for å få overskudd. Kontroller svaret ved regning. g) Hvor mange prosent blir overskuddet på ved produksjon og salg av tre tusen planter? h) Bruk også grafene til å bestemme hvor mange planter gartneriet må produsere og selge for å få kr 8000 i overskudd. Andregradsfunksjoner 7 Framstill funksjonene f(x) = x 2 g(x) = (x 2) 2 h(x) = (x + 2) 2 i det samme koordinatsystemet. Forklar det du ser. 8 Framstill funksjonene f(x) = x 2 g(x) = 0,5x 2 h(x) = 2x 2 i det samme diagrammet. Forklar hva du ser. 9 Hvilken rolle spiller konstantene a og b i den generelle andregradsfunksjonen y = f(x) = ax 2 + bx + c når vi tegner grafene til parabelfunksjonene? 10 a) Linjen m er gitt ved y = 2 1 x + 3. Tegn linjen i et koordinatsystem. Bruk 1 cm som enhet på begge aksene. b) Funksjonen f er gitt ved f(x) = 2 1 x 2 2x + 3.

5 1) Bestem løsningen til likningen f(x) = 0 2) Regn ut koordinatene til bunnpunktet på grafen til f. 3) Tegn grafen i det samme koordinatsystemet som linjen m. 4) Bestem koordinatene til skjæringspunktet mellom m og grafen til f grafisk og ved regning. 5) Løs oppgavene1), 2), 3) og 4) på lommeregneren. c) Linjen n er gitt ved y = ax + b der a og b er reelle tall. Linjen går gjennom punktet (2, 1) for alle verdier av a og b. Bestem verdiene av a og b grafisk når m, n og grafen til f går gjennom det samme punktet. 11 Et prosjektil skytes opp og utover havet fra en fjelltopp, se figuren nedenfor. Prosjektilets høyde over havflaten er gitt ved h(t) = t 4,9t 2. t er tiden i sekunder etter oppskytingen. Høyden h(t) er målt i meter. a) Regn ut prosjektilets høyde over havoverflaten etter 2,2 sekunder. b) Hvor høyt over havflaten er utskytningsstedet? c) Finn ut når prosjektilet er i en høyde av 180 m over havflaten. d) Finn ut når prosjektilet når sin største høyde over havflaten og bestem denne høyden. 12 Funksjonen f er gitt ved f(x) = 2x 2 3x + 2 D f = R. a) Finn eventuelle nullpunkter for f både ved regning og ved bruk av lommeregneren. b) Regn ut koordinatene til bunnpunktet på grafen til f. c) Tegn grafen i et koordinatsystem. Bruk 1 cm som enhet langs begge aksene. Den rette linjen m går gjennom punktene ( 4, 1) og (4, 3). d) Bestem likningen for m ved regning og ved å bruke regresjon på lommeregneren. e) Finn skjæringspunktene mellom m og grafen til f.

6 13 En produksjonsbedrift har funnet ut at prisen på en bestemt vare kan beskrives med funksjonen p gitt ved p(x) = ,1x (x ε <0,7000>) der p(x) er målt i kroner og x er det antallet enheter som produseres og selges. a) Vis at salgsinntekten I(x) kan skrives som I(x) = 0,1x x. Kostnadene kan uttrykkes ved funksjonen K gitt ved K(x) = 150x der K(x) er målt i kroner. b) Finn overskuddsfunksjonen O(x), og finn ved regning hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd. Hvor stort er overskuddet i dette tilfellet? c) Hva skjer dersom de faste kostnadene øker fra kroner til kroner? 14 En bedrift opererer med denne funksjonen for overskuddet når den produserer og selger x enheter: O(x) = 0,1x x , x ε [0, 1200]. a) Hva kaller vi grafen til denne funksjonen? b) Skisser grafen og finn dekningspunktene (punktene der inntektene og kostnadene er like store, dvs. der overskuddet er lik null). c) Finn den vinningsoptimale produksjonsmengden, dvs. den produksjonsmengden som gir det største overskuddet. d) Hvor stort er det maksimale overskuddet? 15 I en bedrift er de totale kostnadene gitt ved K(x) = 0,0012x x der x er antall produserte og solgte enheter. Kostnadene per produsert enhet finner vi ved å dele de totale kostnadene på antall produserte enheter. a) Vis at uttrykket for enhetskostnadene, G(x), kan skrives slik: G( x) = 0,012x x (Enhetskostnader er det samme som gjennomsnittskostnader.) b) Finn den laveste kostnaden per enhet (også kalt kostnadsoptimal produksjonsmengde).

7 Overskuddsfunksjonen er gitt ved O(x) = 0,05x x c) Finn et uttrykk for inntekten, I(x). d) Finn ut hvor mange enheter som må selges for at inntekten skal bli størst mulig. Hva blir salgsprisen per enhet i dette tilfellet? For hver enhet x som bedriften selger, går økningen i inntekten ned. Det kan vi uttrykke ved denne funksjonen: M(x) = 0,006x e) Tegn grafen til funksjonen. Bruk x-verdier fra x = 0 til x = f) Finn arealet mellom x-aksen og grafen fra x = 0 til x = Hva uttrykker dette arealet? 16 Firmaet Nordfrys har en kostnadsfunksjon K(x) for ett av sine fryseprodukter. K er kostnaden i kroner, og x står for antall produserte enheter per uke: K(x) = 0,012x x a) Tegn grafen til K. La x variere fra 0 til b) Les av på grafen hvor mye det koster å produsere 750 enheter per uke. c) Les av på grafen hvor mange enheter som er produsert når kostnaden er kroner. Nordfrys kan selge produktet sitt for 45 kroner per enhet. d) Hvor stor blir salgsinntekten for 750 enheter? e) Tegn grafen til funksjonen for salgsinntekten, I(x), i det samme diagrammet som K. f) Bruk grafene til å finne ut hvor mange enheter firmaet må produsere og selge per uke for at overskuddet skal bli størst mulig. 17 Funksjonen f er gitt ved f(x) = 1,5x x D f = R. a) Finn nullpunktene til f. b) Regn ut koordinatene til toppunktet til f. c) Tegn grafen til f. Bruk 1 cm som enhet på førsteaksen og 0,5 cm som enhet på andreaksen. En kasse har kvadratisk grunnflate (bunn). Kassen er uten lokk. Vi setter sidene i grunnflaten lik x dm og høyden av kassen lik h dm. Summen av høyden og omkretsen av grunnflaten er 30 dm. Det vil si at 4x + h = 30. d) Hvilke verdier kan x ha?

8 e) Overflaten av kassen kaller vi O(x) dm 2. Vis at O(x) kan skrives som O(x) = 10 f(x) der f er funksjonen ovenfor. f) Hva må x være for at overflaten av kassen skal bli størst mulig? Hvor stor er overflaten da? 18 Funksjonen f er gitt ved f(x) = ax 2 0,5x + 0,5 D f = R. Grafen til f går gjennom punktet ( 2, 2,5). a) Finn verdien av a. I resten av oppgaven lar vi a ha verdien ( 1). b) Finn nullpunkter og ekstremalpunkter (topp-/bunnpunkter) både ved regning og på lommeregneren. c) Finn verdimengden til funksjonen f. Den rette linjen m går gjennom punktet (1, 1) og har stigningstallet ( 0,5). d) Bestem likningen til linjen. e) Løs likningen f(x) = 0,5x 0,5. Gjør rede for hva løsningen innebærer. 19 En gullsmed skal lage et sølvsmykke. Smykket skal bestå av en firkantet plate PQRS som er festet til en rektangulær ramme ABCD. Disse målene er gitt: AB = 2,0 cm, BC = 4,0 cm og AP = BQ = CR = DS = x cm. a) Vis at arealet av platen PQRS er f(x) cm 2, der f(x) = 2x 2 6x + 8. Hvilke verdier av x kan brukes her? b) Hva er det minste arealet som platen kan ha?

9 Platen PQRS skal være 0,4 cm tykk. Den lages av en sølvlegering der 1,0 cm 3 har massen 10,0 g. Legeringen inneholder 83 % rent sølv. c) Hvor mange gram rent sølv må gullsmeden minst bruke for å lage platen PQRS? 20 Elevene ved en skole skal selge pizza. Dersom pizzaene selges for p kroner per stykk, planlegger elevene å lage T(p) pizzaer, der T(p) = 7 p p 50 når 5 < p < 40 eller p ε <5,40>. Etter en spørreundersøkelse kommer elevene fram til at etterspørselen etter pizza er bestemt av funksjonen S gitt ved 1 S(p) = p når 5 < p < 40 eller p ε <5,40>. S(p) er det antallet pizzaer som blir solgt når prisen er p kroner per stykk. a) Vis ved å løse en likning at en pris på kr 20 per stykk gir balanse mellom tilbud (salg) og etterspørsel (kjøp). Hvor mange pizzaer blir solgt til denne prisen? b) Tegn grafene til de to funksjonene i det samme diagrammet med prisen p langs førsteaksen og antallet pizzaer langs andreaksen. Velg passende enheter på aksene. c) Bruk grafene til å forklare sammenhengen mellom salg og kjøp ved ulike priser på pizzaene. Lærerne ønsker å sikre produksjonen av pizza ved å garantere elevene en minstepris per stykk. Dersom kundene ikke kjøper alle pizzaene til denne prisen, lover lærerne å kjøpe resten. d) Lærernes minstepris er kr 25. Hvor mange pizzaer må lærerne kjøpe i henhold til resultatet av spørreundersøkelsen ovenfor? 21 a) Funksjonen F er gitt ved F(x) = 500x x x ε [0, 12]. 1) Bestem likningen for symmetrilinjen til grafen til F. Finn koordinatene til bunnpunktet på grafen. 2) Tegn grafen til funksjonen. Bruk 1 cm som enhet på førsteaksen. La 1 cm på andreaksen svare til 2000.

10 b) To rette veier krysser hverandre som vist på figuren nedenfor: En bil kjører på den ene veien med konstant fart på 20 m/s. På den andre veien kjører en traktor med konstant fart på 10 m/s. Både bilen og traktoren kjører mot krysset, og begge kjøretøyene er ved et bestemt tidspunkt 100 m fra krysset. 1) Regn ut avstanden i luftlinje mellom kjøretøyene to sekunder senere. Etter x sekunder er avstanden mellom kjøretøyene s(x) meter. 2) Vis at (s(x)) 2 = F(x) der F er funksjonen gitt i oppgave a). 3) Bestem den minste avstanden mellom kjøretøyene. 22 a) Funksjonen f er gitt ved f(x) = 5 x 2 + 3x ) Regn ut f(1), f( ) og f( ) ) Bestem nullpunktene til funksjonen. 3) Regn ut koordinatene til toppunktet på grafen til f. 4) Tegn grafen til f. Bruk 2 cm som enhet langs begge aksene. b) Tre bord (fjøler) er alle 4,80 m lange og 0,15 m brede. Hvert bord skal skjæres i fire deler. Delene skal brukes som sider i en kasse med rektangelformet bunn, der bredden er x meter. Bordene skal settes oppå hverandre, slik at kassen blir 0,45 m høy. Vi ser bort fra tykkelsen på bordene.

11 1) Forklar at kassen får lengden (2,40 x) meter. 2) Vis at volumet V(x) av kassen, målt i kubikkmeter, er V(x) = 0,36 f(x) der f(x) er uttrykket gitt i oppgave a). Hvilke verdier for x kan brukes her? 3) Bestem lengden på kassesidene når kassen har størst mulig volum. Hvor stort er volumet da? 4) Bestem grafisk og ved regning hvilke verdier av x som gjør at kassen rommer minst 480 liter. 23 Vi har funksjonen 1 1 f(x) = x 2 + x a) Finn ved regning funksjonens bunnpunkt og skjæringspunkter med aksene. b) Kontroller utregningene ved å løse problemene på lommeregneren. En rett linje, g(x), med stigningstallet 3 5 går gjennom punktet (2, 0). c) Finn funksjonen for den rette linjen. d) Finn ved regning eventuelle felles punkter mellom f(x) og g(x). 24 Den generelle andregradsfunksjonen er y = f(x) = ax 2 + bx + c (parabel). En parabel går gjennom punktet (1, 2) og har et toppunkt på (3, 4). a) Finn a, b og c ved regning, og vis at parabelfunksjonen kan skrives som y = f(x) = 0,5x 2 +3x 0,5. b) Finn nullpunktene til funksjonen og skjæringspunktet med y-aksen ved regning. Kontroller svaret på lommeregneren. Tegn grafen til f. 25 (Regresjon) Bruk lommeregneren til å bestemme en andregradsfunksjon som går gjennom 2 4 punktene ( 6, 11 ), (0, 3) og ( 3, ). Tegn grafen til funksjonen. Finn nullpunktene og 3 3 topp-/bunnpunktet.

12 26 En bedrift skal gjennomføre et byggeprosjekt i løpet av et halvt år. Bedriften regner med at antallet ansatte kommer til å variere i denne perioden. Antallet er tilnærmet gitt ved funksjonen T, der T(x) = 1,2x 2 +36x x ε [1, 26]. x er antall uker etter byggestart. a) Når kommer antallet ansatte til å være størst, og hvor mange ansatte har bedriften på dette tidspunktet? b) Tegn grafen til T. La 1 cm på førsteaksen svare til to uker og 1 cm på andreaksen til 40 personer. c) Bruk grafen til å finne ut i hvilken periode det kommer til å være minst 210 ansatte i bedriften. Om funksjonen F vet vi at F(x) = k T(x) D F = D T der T er funksjonen gitt i oppgave a). d) Bestem konstanten k når F har sin minste verdi lik a) Funksjonen f som er gitt ved f(x) = x 2 2x 3, har et bunnpunkt i (1, 4). Vis at funksjonen f kan skrives som f(x) = (x 1) 2 4 b) Vis at den generelle parabelfunksjonen f(x) = ax 2 + bx + c som har et ekstremalpunkt (topp-/bunnpunkt) i (h, k), kan skrives som f(x) = a(x h) 2 + k (Vis at b h = og 2a k 2 b = c ). 4a 28 Finn funksjonen til en parabel som har bunnpunktet (1, 2), og som går gjennom punktet (3, 4). a) Bruk formelen f(x) = a(x h) 2 + k. b) Bruk f(x) = ax 2 + bx + c, og bestem a, b og c ved hjelp av de «tre» opplysningene som er gitt. (Punktet (1, 2) er et vanlig punkt og i tillegg et bunnpunkt, dvs. at dette altså er to opplysninger.)

13 29 Vi definerer funksjonene f og g ved f(x) = x + 2 og g(x) = 3 2x + 1. a) Hva er definisjonsmengden til de to funksjonene? Hva er verdimengdene? b) Bruk lommeregneren til å løse likningen x + 2 = 3 2x Løs likningene nedenfor grafisk: 2 1) 25 x = 3x 5 2) 3 x + 7 2x = 0 31 I denne oppgaven ønsker vi å tilpasse en parabel til et tallmønster slik at vi kan finne en formel for tallmønsteret. Problemet vårt er å finne en formel som gir verdien av et spesifikt trekanttall. Vi forklarer trekanttall ved å sette opp kjegler som danner likesidede trekanter (tenk på bowling). Denne tabellen viser de fem første trekanttallene t n : n t n ? 7? 8? a) Finn ved regresjon den parabelfunksjonen som passer best til de fem første punktene. b) Vis at formelen for trekanttallet n er n( n +1) t n = 2

14 der n uttrykker antall trekanter. (På figuren ovenfor regnes den nederste kjeglen som en «trekant»). Fyll ut med flere kjegler i figuren ovenfor og sjekk om formelen stemmer for henholdsvis seks, syv og åtte kjegler. Brøkfunksjoner 32 Et busselskap har en rabattordning for tenåringer. Ordningen er slik at tenåringene hver måned kan kjøpe et busskort til 130 kroner og i tillegg betale syv kroner for hver tur. Jens reiser ofte med bussen og kjøper derfor busskort for januar måned. I den måneden reiser han 35 ganger med bussen. a) Hvor mye kostet det Jens å reise med bussen i januar måned? b) Jens kjøpte også busskort for februar måned. Vi antar at han reiste x ganger med bussen denne måneden. La E(x) være gjennomsnittsprisen per tur. Forklar at 130 E ( x) = + 7. x c) Skisser grafen til E(x) i et koordinatsystem når x har verdier mellom 10 og 60. d) Bestem ved hjelp av grafen hvor mange ganger Jens hadde måttet reise med bussen for at gjennomsnittsprisen skulle bli 10 kroner. 33 Funksjonen f er gitt ved f(x) = 11x x D f = R\{0} a) Tegn grafen til f. La 1 cm på førsteaksen svare til , og la 1 cm på andreaksen svare til 2. b) Løs likningen f(x) = 9,5 grafisk og ved regning. 34 En familie ønsker å leie en bil til en ferietur. De må betale et fast leiebeløp på 1800 kroner. I tillegg må de betale 3 kroner per kjørt kilometer. a) Regn ut hvor mye det i alt koster å leie bilen hvis familien kjører 700 km. b) Forklar hvorfor gjennomsnittskostnaden G(x) kroner per kilometer er gitt ved 1800 G( x) = 3 + x når x er antallet kjørte kilometer. c) Hvor langt må familien minst kjøre hvis prisen per kilometer ikke skal overstige kr 5,50? Finn svaret både grafisk og ved regning. e) Hvor mange prosent synker gjennomsnittskostnaden med når kjørelengden øker fra 500 km til 800 km?

15 35 En bedrift har 1000 kroner i faste utgifter ved produksjonen av en vare. I tillegg koster det bedriften 200 kroner for hver enhet av varen som produseres. a) Vis at gjennomsnittskostnaden per enhet er gitt ved funksjonen g, der 1000 g(x) = x x ε [1, >. x er antall enheter og g(x) antall kroner. b) Tegn grafen til g i et koordinatsystem der førsteaksen går fra 0 til 16 og andreaksen fra 0 til c) Bruk grafen til å finne hvor mange enheter som må produseres for at gjennomsnittskostnaden skal bli 300 kroner. Finn svaret også ved regning. d) Bruk grafen til å finne hvor mange enheter som må produseres hvis gjennomsnittskostnaden skal ligge mellom 300 kroner og 700 kroner. e) Hva nærmer gjennomsnittskostnaden seg når vareproduksjonen blir større og større? 36 En familie ønsker å leie et TV-apparat. De får to tilbud: tilbud A: kr 200 i fastleie pluss kr 2,50 per dag tilbud B: kr 300 i fastleie pluss kr 1,50 per dag a) Avgjør ved regning hvilket tilbud som er best for familien dersom leietiden er 90 dager. Vi lar leietiden være x dager. Det som familien må betale i kroner per dag etter tilbud A, kaller vi f(x). Det familien må betale i kroner per dag etter tilbud B, kaller vi g(x). 200 b) Vis at f (x) = 2,50 +. Finn funksjonsuttrykket for g(x). x c) Framstill grafene til f og g i det samme koordinatsystemet når leietiden kan variere fra 25 til 400 dager. d) Bruk grafene til å finne ut hvor lang leietiden må være for at de to tilbudene skal være like gode. Finn svaret også ved regning. 37 Et bilutleiefirma tar kr 1000 i faste utgifter pluss kr 2,50 per kilometer for en av utleiebilene sine. Den prisen som kundene betaler per kjørt kilometer, kan uttrykkes ved denne funksjonen når x er antallet kjørte kilometer: 1000 f(x) = + 2, 50 x a) Hva er definisjonsmengden til funksjonen? b) Hvor mye koster det per kilometer å kjøre henholdsvis 40 km og 400 km? c) Hvor langt må det kjøres for at kilometerprisen skal være kr 3,00? d) Framstill funksjonen grafisk. La 1 cm på x-aksen være 20 km.

16 38 En familie skal reise på en lang ferietur med bil. Familiens egen bil «skranter» litt, og de ønsker derfor å leie bil av et utleiefirma. Familien regner med en kjøredistanse på mellom 3000 km og 5000 km. De innhenter tilbud fra to bilutleiefirmaer. Det ene firmaet tilbyr det som er nevnt i oppgave 37, og det andre bilutleiefirmaet tilbyr en fast pris på kr Drøft hvilket av tilbudene som er gunstigst for familien? 39 Etter x minutter i en stekeovn kan temperaturen i en bestemt matrett uttrykkes slik: y = 19 + Ax 0,8 y er temperaturen målt i celsiusgrader og A er en konstant. a) Ti minutter etter at maten blir satt i ovnen, er temperaturen blitt 38 C. Vis at A = 3. b) Hvor lang tid tar det før temperaturen blir 100 C? c) Tegn grafen til funksjonen, og kontroller svaret i oppgave b). 40 En bedrift opererer med disse funksjonene for de totale kostnadene, K(x), og de totale inntektene, I(x), for x produserte og solgte enheter: K(x) = 0,008x x I(x) = 0,002x x a) Vis at overskuddet, O(x), kan uttrykkes ved funksjonen O(x) = 0,01x x b) Finn de enhetsmengdene som gjør at bedriften går i balanse (dekningspunktene)? c) Finn hvilken enhetsmengde som gir det største overskuddet (den vinningsoptimale mengden). Hvor stort er dette overskuddet? K ( x) d) Finn et uttrykk (funksjonsuttrykket) for. Framstill funksjonen grafisk. Finn x bunnpunktet. Hva tror du bunnpunktet gir informasjon om her? Polynomfunksjoner 41 En postpakke har form som et rett kvadratisk prisme. Sidekantene i endeflatene er x cm og høyden er y cm (se figuren nedenfor).

17 Betingelsen for at pakken kan sendes som småpakke, er i dette tilfellet at x + y 72. I hele denne oppgaven er x + y = 72. Vis at volumet V til pakken da kan skrives som V(x) = x x 2 a) Hvilke verdier kan x ha i denne oppgaven? b) Tegn grafen til V. c) Finn det største volumet til pakken. Svaret skal oppgis i liter. Hva er høyden til pakken i dette tilfellet? d) Finn overflaten til pakken uttrykt ved x. e) Hvor stor er overflaten når pakken har form som en terning? 42 Funksjonen f er gitt ved f(x) = 4x 0,25x 3. a) Bruk lommeregneren til å bestemme nullpunktene og topp- og bunnpunktene på grafen til f. Oppgi svarene med én desimal. b) Tegn grafen til f. Bruk 1 cm som enhet langs begge aksene. Vi skal lage en eske uten lokk. Esken skal ha en kvadratisk grunnflate der sidene er x dm. Høyden i esken skal være y dm. c) Vis at eskens overflate F dm 2 er gitt ved F = x 2 + 4xy. For å lage esken går det med 16,0 dm 2 papp. d) Finn y uttrykt ved x. e) Bestem det største volumet som esken kan ha. 43 En fjerdegradsfunksjon går gjennom punktene ( 2 2, 0), ( 1, 0), (1, 0) og (2 2, 0). Finn fjerdegradsfunksjonen ved regning. Finn skjæringspunktet med y-aksen ved regning. Finn ekstremalpunktene (topp-/bunnpunktene). Eksponentialfunksjoner 44 Ved en bedrift er gjennomsnittslønnen for hver arbeider kroner. Ved lønnsforhandlingene blir disse to tilbudene satt fram for de neste fem årene: 4 % lønnsøkning per år et fast lønnstillegg på 8000 kroner per år a) Regn ut hva lønnen blir for begge alternativene etter 1) ett år 2) fem år

18 b) Lag funksjonsuttrykkene f I (x) og f II (x) som gir lønnen etter x år for hvert av de to tilbudene ovenfor. c) Framstill de to funksjonene i det samme diagrammet. Hva kaller vi de to funksjonene? d) Finn den totale lønnsutbetalingen per arbeidstaker i løpet av disse fem årene for begge alternativene. Kommenter svaret. 45 En familie vant i lotto. For en del av gevinsten kjøpte familien en bil som kostet kroner. I tillegg kjøpte de seg en myntsamling til en verdi av kroner. Verdien av bilen sank med 17 % per år, mens verdien av myntene årlig steg med 15 %. Finn grafisk og ved regning hvor mange år det tok før bilen og myntsamlingen hadde samme verdi. (De som ikke klarer oppgaven, kan prøve seg fram på lommeregneren). Proporsjonalitet 46 Størrelsen y er omvendt proporsjonal med størrelsen x. Finn y uttrykt ved x når du får oppgitt at x = 3 når y = 6,5. 47 Størrelsene x og y varierer slik at (x + 1) er omvendt proporsjonal med (y 2). Når x har verdien ( 11), har y verdien 1,5. Bruk disse opplysningene til å finne y uttrykt ved x. 48 (Regresjon)18. juli 2000 viste VG en oversikt over antall ecstasytabletter som ble beslaglagt i Norge i perioden (fram til første halvår i 2000). Tallene framgår av denne tabellen: År *) Antall * ) gjelder per 30. juni a) Framstill punktene i et diagram. Velg passende enheter langs aksene. b) Finn funksjonen til en graf som er «best» tilpasset punktene i diagrammet (regresjon). c) Kommenter tallene og utviklingen og foreslå tiltak som kan redusere bruken av disse tablettene. 49 En pilleeske eller fyrstikkeske består av en ytre og en indre del. Esken har form som et rett prisme. Den ytre delen er åpen i begge ender. Den indre delen er uten topp og passer nøyaktig inn i den ytre delen. Materialet er så tynt at vi kan se bort fra tykkelsen. Vi ser også bort fra skjøter og overlappinger. En type pille- eller fyrstikkeske har lengde 6 cm, bredde 4 cm og volum 36 cm 3. a) Regn ut arealet av materialet som brukes til å lage denne esken.

19 Produsenten vil lage en ny type pilleeske (fyrstikkeske). Esken skal fortsatt bestå av en ytre og en indre del, og ha form som et rett prisme. Volumet skal fortsatt være 36 cm 3, og bredden av esken skal være 3 2 av lengden. b) Bestem et uttrykk for høyden i denne esken, og vis at arealet av materialet, målt i kvadratcentimeter, er A(x) = 288 2x 2 + x der x er lengden målt i centimeter. c) Bruk lommeregneren til å bestemme det minst mulige materialforbruket, målt i kvadratcentimeter, som denne esken kan ha. Finn lengden, bredden og høyden i dette tilfellet. Datering av historiske funn 50 I 1992 ble det godt bevarte liket av alpemannen og jegeren Ötzi funnet innefrosset i isen på grensen mellom Østerrike og Italia. a) Hvor stor prosentdel av 14 C-atomer var det igjen i kroppen hvis vi antar at Ötzi levde for 5000 år siden? b) Hvor gammel var Ötzi hvis 14 C-mengden var på 64 % av den opprinnelige verdien? 51 Likkledet i Torino (Italia), et tøystykke (fire meter langt og én meter bredt) som ifølge legenden skal være brukt til å svøpe Jesu legeme i etter korsfestelsen, er utsatt for omstridte dateringer. Forskere i ulike deler av verden foretok C14-dateringer i 1988 som viste at kledet var fra perioden e.kr. a) Hvor stor prosentandel av 14 C-atomer fant forskerne ut at likkledet hadde mistet fra henholdsvis 1260 og 1390 fram til 1988? Andre forskere mente at C14-dateringen i 1988 var feil fordi det ikke ble tatt hensyn til at likkledet var utsatt for brann rundt En forsker mener at historiske kilder viser at likkledet ble kokt i linolje i Derfor ble C14-dateringen feil. b) I hvilket år foregikk korsfestelsen av Jesus hvis innholdet av 14 C-atomer er på 78,777 % av den opprinnelige verdien i 2001? 52 Luren (et blåseinstrument) fra Osebergskipet er en av de mange gjenstandene som ble funnet i den rikt utstyrte gravhaugen til en norsk dronning som i henhold til C14- dateringer ble gravlagt i 834. Hva er den høyest mulige verdien av 14 C-atomer som denne luren kan ha i 2001?

20 53 Finn stoff om Halvdanshaugen og Halvdan Svarte. Kan det tenkes at Halvdanshaugen er eldre enn Halvdan Svarte? 54 Har Kanariøyene hatt en vikingkoloni? Let fram stoff og følg diskusjonen om dette spørsmålet.