Oblig 3 - fasit. 1. Avgjør hvilken konvergenstest som vil avgjøre konvergensen til rekka (og stopp der; du skal ikke utføre testen): n ln n.
|
|
- Bernt Aasen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oblig 3 - fasit. Avgjør hvilken konvergenstest som vil avgjøre konvergensen til rekka og stopp der; du skal ikke utføre testen): a) b) c) d) e) n n ln n n te-terms-test. Den divergerer. n n n n 3 + n. Fortrinnsvis forholdstest eller n -test. Det fungerer 3 n også om du tar grensesammenligning mot et enklere uttrykk og tar forholdstest eller n -test på dette. n n n. Fortrinnsvis forholdstest eller n n 3 n -test. Det fungerer + n! n også om du tar grensesammenligning mot et enklere uttrykk og tar forholdstest eller n -test på dette.. Grensesammenligningstest mot et uttrykk du så tar p-test n + n på. Integraltest vil også kunne fungere her. ) n+3. Alternerende rekke-test. Her vil også absolutt konvergenstest fungere, siden du da får uttrykket n + n over.
2 4. Vis hvordan du ville regne ut f) der 4 e når < 3 f) når 3 < 4 når < når Du trenger ikke regne ut integralet, kun sette det opp som en sum av lett utregnbare integraler) 4 4 f)d f)d + e d f)d + d + 4d + f)d + 4 d 4 f)d Mellomregningen er ikke nødvendig her. Kun rett svar. 3. Hvilke to integralformler i 5. i Haugans formelsamling trenger du for å regne ut Fourier sinus-koeffisienten b k π π π sin) sink)d For hvilken verdi av k skiller da b k seg fra de andre? 44 for k, og 36 for k. 47 kan også brukes for k, men blir tungvint. Det er da selvfølgelig b som skiller seg fra de andre b k ene. Feil: Det å regne ut koeffisienter til Fourier-rekker ved hjelp av formler, og glemme å se hva som skjer i de tilfellene der formelen ikke er gyldig, er en svært vanlig feil. I en utregning som over ville mange ha glemt å regne ut b spesielt.
3 4. Like og ulike funksjoner. Du trenger ikke skrive begrunnelse. a) Vurder sin a, cos a, tan a,,, e der a er et vilkårlig tall. i. Hvilke av disse er like funksjoner? cos a, ii. Hvilke av disse er ulike funksjoner? sin a, tan a, iii. Hvilke av disse er verken like eller ulike funksjoner? e b) Hvilke av disse er alltid riktige? i. Når f) er lik, er ii. Når f) er ulik, er iii. Når f) er lik, er iv. Når f) er ulik, er f)d - Nei f)d - Ja f)d f)d f)d - Ja c) Hvilke av disse er alltid riktige a er et vilkårlig tall)? i. Når f) er lik, er ii. Når f) er ulik, er iii. Når f) er lik, er iv. Når f) er ulik, er f)d - Nei f) sina)d - Ja f) sina)d - Nei f) cosa)d - Nei f) cosa)d - Ja 5. Finn Maclaurinrekka til f) Kan du gjøre dette / begrunne svaret ditt uten å måtte regne ut og sette opp tabell? Maclaurinrekka til et polynom er alltid polynomet selv. Så svaret er Finn Maclaurinrekka til g) e. Kan du gjøre dette / begrunne svaret ditt uten å måtte regne ut og sette opp tabell? Vi bruker substitusjon som i eksempel i Thomas Calculus, kapittel 8.7, og Maclaurinrekka til e Haugan, s. 7), og får n e n n 3
4 7. Flervariable funksjoner..3 i. Vi har ingen, brøker eller andre funksjoner som krever begrensninger i hva vi kan sette inn som argumenter, så alle og y kan brukes. D f R {, y), y R} ii. Setter vi kan vi få en hvilken som helst verdi ved å sette y lik denne verdien, så V f R <, >. iii. Vi finner nivåkurven for tallet c, og ser hva slags formel vi får når vi setter f, y) c: y c y + c. Nivåkurvene er rette linjer. iv. Ingen rand. Feil: i. y >, så D f {, y) y > } Det er ingen funksjoner som krever at y >, så dette svaret er kun resulatet av å prøve å følge et eksempel blindt!) d) i. Vi finner først c. c f, y ) f, ) 6 ) ) ii. Vi setter f, y) c, og finner ligningen: 6 y 4 + y 4
5 .. 3 y y y y + 3 y + 5 ) + y + ) 3 3 ) ) + ) ) + 3 ) ) y) +5 y) + ) y +5 y ) y + y y ) + y ) + 5 Men så mye mellomregning er fullstendig overkill, og vil være sløsing med tida på en eksamen.)..4 Derfor er y ) : y) + y y,y),) y + y),y),) y 5
6 ..35 Vi velger y, og får langs denne linja at + y + { < > Så vi får to forskjellige grenser om vi kommer inn ovenfra eller nedenfra : f, ) f, ) Siden grensene er ulike, finnes ingen felles) grense, 8. Mathematica: a) Tegn grafen til funksjonen i..9 b) Tegn nivåkurver til funksjonen i..9 c) Tegn grafen til funksjonen i..35 d) Tegn nivåkurver til funksjonen i..35 Se eget Mathematica-ark eller vedlegg på de to siste sidene. + y. 6
7 Oblig3.nb y f@_, y_d : + y Plot3D@f@, yd, 8,, <, 8y,, <, PlotPoints 5, ViewPoint 8.3,,.<, Mesh TrueD ContourPlot@f@, yd, 8,, <, 8y,, <D SurfaceGraphics ContourGraphics
8 Oblig3.nb y_d : y Plot3D@f@, yd, 8,, <, 8y,, <, PlotPoints 5, ViewPoint 8.3,,.<, Mesh TrueD ContourPlot@f@, yd, 8,, <, 8y,, <D SurfaceGraphics ContourGraphics
Oblig 4-fasit 11.1: Funksjoner av flere variable
Oblig 4-fasit.: Funksjoner av flere variable..3 i. Vi har ingen, brøker eller andre funksjoner som krever begrensninger i hva vi kan sette inn som argumenter, så alle og y kan brukes. D f = R = {, y),
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 18. feb. 4 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 8 Antall oppgaver: 5 Antall
DetaljerSIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag
SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et
DetaljerOversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/
Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss
DetaljerLøsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
DetaljerFigur 2: Fortegnsskjema for g (x)
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 998 Oppgave a) g) = e ) = e ) Figur : Fortegnsskjema for g) g) > 0 for < 0 og > og g) < 0 for 0 <
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerPotensrekker. Binomialrekker
Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.
DetaljerLøsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004
Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 3. des Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 3. des. 3 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 7 Antall oppgaver: 6 Antall
Detaljer1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av
Detaljer= x lim n n 2 + 2n + 4
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
DetaljerEKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA-109 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Turid Knutsen, Øystein Alvik
EKSAMEN EMNE: MA- FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Turid Knutsen, Øystein Alvik Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): Antall oppgaver: Antall
DetaljerSENSORVEILEDNING. Emnenavn: Matematikk 2. Dato:
SENSORVEILEDNING Emnekode: IRF2004 Emnenavn: Matematikk 2 Eksamensform: Skriftlig Dato: 26..8 Faglærer(e): Tore August Kro Eventuelt: Dette er revidert versjon av sensorveiledningen. Denne sensorveiledningen
DetaljerLøsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 28. oktober 2010 2 Fremdriftplan I går 7.7 Uegentlige integraler 8.1 Følger I dag
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
DetaljerTaylor- og Maclaurin-rekker
Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =
DetaljerKorreksjoner til fasit, 2. utgave
Korreksjoner til fasit,. utgave Kapittel. Oppgave.. a): / Oppgave.. e):.887, 0.58 Oppgave..9: sin00πt). + ) x Oppgave.7.5 c): ln for 0 < x. x Oppgave.8.0: Uttrykket for a + b) 7 skal være a + b) 7 = a
DetaljerHøgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN Emnekode: MA 40 Emnenavn: Analyse Dato: 9. desember 999 Varighet: 09.00-5.00 Antall sider inklusivt forside: Tillatte hjelpemidler: Merknader: 2 Alle, også
DetaljerOPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
DetaljerMAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag
MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
DetaljerEKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid:
EKSAMEN EMNE: MA6 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): 5 Antall oppgaver: Antall vedlegg:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
DetaljerFlervariable funksjoner: Kjerneregel og retningsderiverte
Flervariable funksjoner: Kjerneregel og retningsderiverte Forelest: 5. Nov, 2004 Først skal vi ta for oss kjerneregelen for funksjoner av flere variable. Se metodeark 7 og 8 for flervariable funksjoner.
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
Detaljerx t + f y y t + f z , og t = k. + k , partiellderiverer vi begge sider av ligningen x = r cos θ med hensyn på x. Da får vi = 1 sin 2 θ r sin(θ)θ x
TMA4105 Matematikk 2 Vår 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus:
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første
DetaljerIR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT1110, 13/6-07
Løsningsforslag til eksamen i MAT, 3/6-7 Oppgaveteksten er gjengitt i kursiv Oppgave : a) Finn de stasjonære (kritiske) punktene til f(x, ) = x + 4x Løsning: Finner først de partiellderiverte: (x, ) x
DetaljerLøsningsforslag eksamen 18/ MA1102
Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus
DetaljerLøsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
Detaljer2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =
Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
DetaljerHøgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert
DetaljerVelkommen til eksamenskurs i matematikk 1
Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i MAT111 Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Grunnkurs i matematikk I Løsningsforslag Onsdag 9. mai, kl. 9. 4. Bokmål Oppgave a) La R være området mellom kurvene Finn
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerGunnar Staff Institutt for Matematiske fag Norges Teknologiske Naturvitenskapelige Universitet N 7491 Trondheim
måter å integrere på Gunnar Staff Institutt for Matematiske fag Norges Teknologiske Naturvitenskapelige Universitet N 749 Trondheim --9 Sammendrag Dette notatet er laget på initiativ fra Overstudass SIF57.
DetaljerUendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier
Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier : Et absolutt nødvendig, men ikke tilstrekkelig vilkår for konvergens er at: lim 0 Konvergens vha. delsummer :,.,,,. I motsatt fall divergerer rekka.
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
DetaljerFasit til obligatorisk oppgave i MAT 100A
3. november, 000 Fasit til obligatorisk oppgave i MAT 00A Oppgave a) Grensen er et 0 0-uttrykk, og vi bruker l Hôpitals regel: ln cos π (ln ) (cos π ) ( sin π ) π b) Vi må først skrive uttrykket på eksponentiell
Detaljervære en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A
MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
DetaljerMA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs Analyse I Høst 7 9.5. a) Har at + x b arctan b = π + x [arctan x]b (arctan b arctan ) f) La oss først finne en
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
DetaljerMatematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag
Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner
DetaljerArne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
DetaljerObligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe
DetaljerMA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerTMA4120 Matematikk 4K Høst 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,
DetaljerEKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:
DetaljerRekker, Konvergenstester og Feilestimat
NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. 1a) 1, 0, 2, sin 5 4cos sin 54cos sin 8 sin cos cos 54cos 8 sin cos 5cos 4cos 8sin cos 5cos 4cos Dersom vi plotter grafen for vil vi se hvor vokser og avtar. 1 Fra grafen for ser vi følgende
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT1100 Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 011. Tid for eksamen: 09.00 1.00. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerVelkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1 med Jørgen Endal Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesning 1 (kap.
DetaljerMa-1410: Analyse, Obligatorisk øvelse 2, høsten løsningsforslag
Ma-40: Analyse, Obligatorisk øvelse, høsten 00 - løsningsforslag Ma-40: Analyse, Obligatorisk øvelse, høsten 00 - løsningsforslag. Løsningsforslag: Oppgave. Oppgave : (Numerisk integrasjon. Du får bruk
DetaljerUbestemt integrasjon.
Ukeoppgaver, uke 4, i Matematikk 0, Ubestemt integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 4 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea04
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:
Detaljer13.1 Fourierrekker-Oppsummering
3. Fourierrekker-Oppsummering Fourierrekken til en periodisk funksjon f med periode = L er gitt ved F f (x) = a + a n cos(nωx) + b n sin(nωx) der x D (konvergensområdet) a = / / f(x) dx = L b n = f(x)
DetaljerTMA4135 Matematikk 4D Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D Høst 04 Eksamen. desember 04 Integralet er en konvolusjon, så vi har Laplace-transformasjon gir yt) y cos)t)
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 11. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerFlervariable funksjoner: Linearisering
Flervariable funksjoner: Linearisering Forelest: 10. Nov, 2004 Vi har nå kommet til høyepunktet i pensumet for flervariable funksjoner, der vi lærer å regne omtrentlig på en nøyaktig måte. Metoden heter
DetaljerFYS2140 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig 1
FYS4 Kvantefysikk, Løsningsforslag for Oblig. januar 8 Her er løsningsforslag for Oblig som dreide seg om å friske opp en del grunnleggende matematikk. I tillegg finner dere til slutt et løsningsforslag
DetaljerAnalyse og metodikk i Calculus 1
Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Løsningsforslag Øving 1 Kapittel 7.1: Substitusjon Teorem 1. Hvis u = g() så er f(g())g
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks
Detaljerf =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. V.008. Løsningsforslag til eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. mai 008 kl. 0900-1400 Vi har ligningen der α er
DetaljerEksempel: s d taylor sin x, x = 0, 9
Maple kan selv konstruere taylorpolynomer til en gitt funksjon om et gitt punkt. Kommandoen er taylor der vi må taste inn funksjonen, punktet a vi finner polynomet om, og hvilken orden n vi vil at polynomet
DetaljerFølger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
DetaljerAnvendelser av potensrekker
Anvendelser av potensrekker Forelest: 6 Okt, 2004 Vi kan bare skrape på toppen av isfjellet som er anvendelsene av potensrekker En spesielt viktig anvendelse er innenfor enhver form for differensialligninger
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerNotat om trigonometriske funksjoner
Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks
DetaljerSeksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerMatematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister 8. desember 2003
E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister Bokmål 8. desember 2003 Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Les opplysningene
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen Tlf: 46432506 Eksamensdato: 3. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerEKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
Detaljer