Eðlisfræði Bylgjur, bylgjustafnar og ölduker Bylgjur, bylgjustafnar og ölduker Bylgjur, bylgjustafnar og ölduker

Transkript

1 S I S Menntaskólinn 14.1 Bylgjur, bylgjustafnar og ölduker R E Y K SIGILLUM J A V SCHOLÆ I C E N í Reykjavík Eðlisfræði 1 Kafli 14 - Bylgjur í fleti 21. mars 2007 Kristján Þór Þorvaldsson kthth@mr.is - Mynd 1: Ölduker Bylgjur, bylgjustafnar og ölduker Ölduker er notað til að rannsaka gárur á yfirborði vatns. Kerið er grunnur vatnsfylltur bakki með sléttum gegnsæjum botni. Yfir kerinu hangir lítill bjartur ljósgjafi og undir því er skermur þar sem skuggamyndir koma fram af gárum á vatnsborðinu. Vegna ljósbrots beina öldutoppar á vatninu ljósinu saman á skerminn og undir þeim koma fram ljósrákir en öldudalir dreifa ljósinu þannig að undir þeim koma fram dekkri rákir Bylgjur, bylgjustafnar og ölduker Ef fingri er dýft í vatn í öldukeri má sjá hringlaga bylgjur breiðast út frá fingrinum. Við að rannsaka ölduhreyfingu í keri má sjá að hún dofnar eftir því sem fjær dregur frá upptökum. Þetta kemur til vegna útbreiðslu orku á sífellt stærra svæði. Útbreiðslustefna bylgna, þegar bylgjuhreyfing er skoðuð í keri, er þvert á bylgjustafna. Bylgjustafn er ferill sem dreginn er eftir öldu þannig að allir punktar á honum eru á sama stað í sveiflu. 2 4

2 14.1 Bylgjur, bylgjustafnar og ölduker Bylgjur sem breiðast út í rúmi geta haft bylgjustafna með ýmsu lagi. Dæmi um slíkar bylgjur eru hljóð- og rafsegulbylgjur. Bylgjur sem breiðast út í rúmi og hafa bylgjustafna sem slétta fleti og orkuflæði allt í eina stefnu nefnast almennt planbylgjur. Í planbylgju helst orkuþéttleikinn jafn og dofnar bylgjan ekki á ferð sinni Bylgjubognun Þegar beinar bylgjur í öldukeri fara í gegnum op á vegg koma bylgjurnar í keilu út frá opinu. Það má segja að þær bogni við að fara um gatið. Þeim mun meiri verður bognunin eftir því sem opið verður minna miðað við öldulengd. Þegar opið er örlítið ganga nánast hálfhringlaga bylgjur út frá því en ef opið er mun stærra en öldulengd verður bognunin fremur lítil. Bylgjubognun verður þegar öldur lenda á enda fyrirstöðu Bylgjur, bylgjustafnar og ölduker 14.2 Bylgjubognun Mynd 2: Í kúlubylgju eru stafnar sammiðja kúlur. Styrkur bylgjunnar I, sem er afl á flatareiningu, minnkar með tvíveldi fjarlægðar þ.e. I r 2. Mynd 3: Þegar opið er mun stærra en öldulengd verður bognunin fremur lítil og keilulaga (vinstra megin) en ef opið er örlítið ganga nánast hálfhringlaga bylgjur út frá því (hægra megin). 6 8

3 14.3 Regla Huygens Christiaan Huygens var frumkvöðull í bylgjurannsóknum. Hann túlkaði bognun sem verður þegar bylgjur fara í gegnum örlítið op þannig að það mætti hugsa sér sérhvern punkt á öldustafni sem sjálfstæðan bylgjugjafa. Regla Huygens er: Líta má á sérhvern punkt á bylgjusafni sem sjálfstæðan bylgjugjafa sem sendir út hringlaga frumbylgjur. Við samliðun byggja frumbylgjurnar upp nýjan bylgjustafn Endurvarp beinna bylgna Þegar beinar bylgjur í öldukeri rekast á vegg endurkastast þær þannig að útfallshorn og innfallshorn verða jafnstór. Hornin eru mæld milli öldustafs og fyrirstöðu eða milli hreyfistefnu bylgjunnar og þverlínu fyrirstöðu. Í ljósfræði er viðtekin venja að miða við þverlínu. Frumbylgjur eru sterkastar í stefnu upphaflegu bylgjunnar Regla Huygens 14.4 Endurvarp beinna bylgna Mynd 4: Frumbylgjur frá beinum bylgjustafni mynda nýjan stafn við samliðun. Mynd 5: Myndin sýnir bylgju sem lendir á vegg. Innfallshornið er α og áðurnefnd viðmið gilda

4 14.4 Endurvarp beinna bylgna 14.5 Bylgjubrot Mynd 6: Lögmál um endurvarp leitt út með reglu Huygnes. Útfallshornið ú og innfallshornið i eru jafnstór. 13 Mynd 7: Bylgjur fara af djúpu inn á grunnt svæði og breyta um stefnu Bylgjubrot 14.5 Bylgjubrot Þegar beinar bylgjur fara af djúpu vatni í öldukeri yfir á grunnt breyta þær yfirleitt um stefnu. Skýringin liggur í að öldurnar fara hægar á grunninu og fara því styttri vegalengd á hverjum sveiflutíma það er öldulengdin styttist. Fyrirbærið nefnist bylgjubrot og er þekkt fyrir aðrar tegundir bylgna svo sem ljós. Mynd 8: Stækkun á djúpu og grunnu svæði á mynd

5 14.5 Bylgjubrot Út frá rétthyrndu þríhyrningunum PAB og QAB á mynd 8 má sjá að Tekið saman gefur þetta sin (α 1 ) = sin (α 2 ) = λ1 sin (α 1 ) sin (α 2 ) = A B λ 2 A B λ 1 A B λ 2 A B = λ 1 λ Bylgjubrot Sýnidæmi 14. A: Beinar bylgjur með tíðni 20Hz og öldulengd 2, 5cm koma yfir á grynningu þar sem bylgjuhraðinn er 40 cm s. Innfallshornið er 30. Hvert verður brothornið? Lausn: Athugum að hraðinn á djúpinu Notum nú brotlögmálið v 1 = λ 1 f = 2, 5cm 20Hz = 50 cm s sin(α 2 ) = v 2 sin (α 1 ) = 40cm s sin (30 ) v 1 50 cm s Bylgjubrot Samband tíðni og tíma er v = λ f og þar sem tíðnin er sú sama á grunninu og djúpinu fæst sin(α 1 ) sin(α 2 ) = λ 1 f λ 2 f = v 1 v 2 Hér eru v 1 og v 2 bylgjuhraðar á djúpi og grunni. Þetta lögmál nefnist brotlögmálið Bylgjubrot Sýnidæmi 14. A (frh.) Hornið verður þá α 2 ( 40 cm s = arcsin = arcsin = 23, 6 50 cm s ( ) ) 2 Því verður stefna bylgnanna á grunninu undir 23, 6 horni

6 14.6 Samliðun hringbylgna Þegar tveir hringbylgjugjafar sveiflast með sömu tíðni í öldukeri myndast sérkennilegt samliðunarmynstur. Í mynstrinu má sjá bogadregnar rákir sem liggja milli bylgjugjafanna þar sem bylgjuhreyfing er engin. Þessir ferlar nefnast hnútalínur. Milli þessara lína er mikil ölduhreyfing á svæðum sem nefnast bugalínur. Í framhaldinu verður gert ráð fyrir samfasa bylgjugjöfum Samliðun hringbylgna Lítum á punkt P á hnútalínu eins og á mynd 9. Til að bylgjurnar frá S 1 og S 2 eyði hvor annarri í P verður mismunur fjarlægða P frá bylgjugjöfunum að standa á hálfri öldulengd eða réttara sagt á n + 1 öldulengd þar sem 2 n = 0, 1, 2,... Í þessu tilfelli er mismunur á lengdum S 1 P og S 2 P hálf öldulengd. Nákvæmlega sama gildir fyrir punktinn P þar sem hann er á sömu hnútalínu Samliðun hringbylgna 14.6 Samliðun hringbylgna Punktar Q og Q eru hins vegar á hnútalínum þar sem mismunur fjarlægðanna frá bylgjugjöfunum er ein og hálf öldulengd. Ef bylgjugjafarnir tveir, S 1 og S 2, eru samfasa má rita skilyrðið fyrir eyðandi samliðun í tilteknum punkti P = S1 P S 2 P ( = n + 1 ) λ 2 Mynd 9: Myndin sýnir hnútalínur í mynstri tveggja hringbylgjugjafa (S 1 og S 2 ). Hringbylgjurnar eyða hvor annarri þar sem þær koma saman í gagnfasa (ölduhæð á móti öldudal). 22 þar sem n = 0, 1, 2,... Mismunur milli fjarlægða punkts P frá bylgjugjöfunum tveimur stendur á hálfri öldulengd. 24

7 14.6 Samliðun hringbylgna Milli hnútalínanna er mikil ölduhreyfing, styrkjandi samliðun, á ferlum sem nefnast bugalínur. Fyrir sérhvern punkt P á bugalínu gildir að mismunur fjarlægðanna frá bylgjugjöfunum er heill fjöldi öldulengda þar sem n = 0, 1, 2,... = S1 P S 2 P = n λ 14.7 Ljós sem bylgja - tilraun Young Árið 1802 gerði Thomas Young tilraun þar sem hann sýndi fram á bylgjueðli ljóss með því að fá fram mynstur þar sem skiptast á styrkjandi og eyðandi samliðun. Young lét sólargeisla falla á tvær mjóar samsíða raufar með millibili innan 1mm. Ljósið í geislanum svara nokkurn veginn til planbylgju og út frá raufunum dreifist ljósið sem tvær hringbylgjur vegna bylgjubognunar. Í samliðunarmynstri eru buga- og hnútalínur sem svara til lítils og mikils ljósstyrks Samliðun hringbylgna 14.7 Ljós sem bylgja - tilraun Young Mynd 10: Myndin sýnir bæði bugalínur (dökkgráir ferlar) og hnútalínur (brotnir ferlar) í mynstri tveggja hringbylgjugjafa. Tölurnar segja til um hver vegalendarmunur er í öldulengdum fyrir hverja línu. 26 Mynd 11: Myndin sýnir hvernig 1. ljóslágmark myndast. Brotnu bogarnir tákna ljósbognun út frá raufunum. Mismunur vegalengdanna sem ljósið fer frá rauf R 1 og frá rauf R 2 til punkts P er hálf öldulengd. Bylgjurnar mætast í gagnfasa og eyða hver annarri í P. Í O mætast þær í fasa og þar verður styrkjandi samliðun. 28

8 14.7 Ljós sem bylgja - tilraun Young 14.8 Mæling á öldulengd ljóss Mynd 12: Mynstrið sem kemur fram handan við tveggja raufa gler er sýnt sem graf af ljósstyrk. Tölurnar við hámörkin sýna númer þeirra talin frá miðju. Línurnar sem dregnar eru frá raufunum í ljóshámark nr. 2 tákna ljósgeisla og lengdarmunur geislanna er tvær öldulengdir. Mynd 13: Þríhyrningurinn er afmarkaður af línu milli miðpunkta raufanna, striki þvert á geislana tvo og lengdarmuni geislanna. Þríhyrningurinn er rétthyrndur Mæling á öldulengd ljóss Samliðunarmynstur tveggja raufa má nota til að ákvarða öldulengd ljóss. Gerum ráð fyrir að fjarlægð raufaglersins frá skermi L, þar sem mynstrið kemur fram á, sé miklu stærra en raufabilið d. Lítum á tvo geisla sem koma úr raufunum og sameinast í punti á skermi sem samsíða geisla. Við útleiðslu á öldulengdinni er mynd 13 notuð Mæling á öldulengd ljóss Þegar lengdarmunur geislanna er heill fjöldi öldulengda koma þeir í sama fasa og mynda hágildi í ljósstyrk. Þar sem vikhorn geislanna frá upphafsstefnu ljóssins er jafnstórt og hvassa hornið í þríhyrningnum á mynd 13 gildir Fyrir hágildi í ljósstyrk sin (θ) = d = n λ d sin (θ n ) = n λ d þar sem θ n er horn fyrir ljóshámark númer n

9 14.8 Mæling á öldulengd ljóss 14.9 Margra raufa gler - ljósgreiða Sýnidæmi 14. B: Einlitt ljós með öldulengd 630nm skín þvert á raufagler með óþekktu raufabili. Á skermi í L = 2m fjarlægð kemur fram samliðunarmynstur þar sem bil milli ljóshámarka er x = 8mm. Hvert er raufabilið? Lausn: Fyrir fyrsta ljóshámark gildir að sin (θ 1 ) = 1 λ d svo þá fæst að raufabilið d = λ L x 630nm 2m = 8mm x L = 157, 5µm Mynd 14: Myndin sýnir hvernig geislar frá fjórum raufum beinast til fyrsta hámarks (til vinstri) og samanburð frá tveimur raufum og átta raufum með sama raufabil (til hægri) Margra raufa gler - ljósgreiða Við nákvæmnismælingar á öldulengd ljóss eru jafnan notuð raufagler með fjölmörgum raufum í stað tveggja. Það sem vinnst með því að fjölga raufunum er að ljóshámörkin verða mjórri vegna þess að skilyrðin fyrir samliðun verða strangari. Margra raufa gler er kallað ljósgreiða vegna þess hvernig það aðgreinir litina í hvítu ljósi Litrófsgreining Þegar hvítur ljósgeisli (sólarljós) er sendur í gegnum ljósgreiðu og látinn falla á skerm kemur litróf með öllum litum regnbogans í stað einfaldra ljósráka fyrir einlitt ljós. Hvítt ljós er blanda ljóss af öllum öldulengdum á bilinu [400; 700] nm og svarar hver litur til hlutbils á þessu sviði öldulengda. Skilyrðin fyrir styrkjandi samliðun eru því mismunandi fyrir hina ýmsu liti og koma þeir fram undir misstóru horni. Rautt ljós hefur lengsta öldulengd og þarf því að beygja meira en aðrir litir til að samliðun verði styrkjandi

10 14.10 Litrófsgreining Litrófsgreining Sýnidæmi 14. C: Leisisljós með öldulengd 630nm er sent þvert á ljósgreiðu með 510 raufum á mm. Hve mörg litróf koma fram? Lausn: Vikhornið er aldrei meira en 90. Fáum þá að sin (θ n ) = n λ d n = d λ sin (θ n) Mynd 15: Myndin sýnir hvernig fjólublátt ljós, með stysta öldulengd, og rautt ljós koma á mismunandi staði í fyrsta litrófi. = 1 1mm nm sin (90 ) Litrófsgreining Samliðun í þunnum himnum Þegar ljós sem hin ýmsu frumefni senda frá sér er skoðað í litsjá sýnir sig að þau senda ekki út samfelld róf. Í litrófi frumefna í glóandi gasi eru vissar öldulengdir sem koma fram sem ljóslínur í litsjánni. Þá er talað um einkennislínur viðkomandi frumefnis. Litrófsgreining getur gefið mjög nákvæmar upplýsingar um efnainnihald sýnis. Mynd 16: Í þunnum himnum verður samliðun milli ljóss sem endurvarpast af efra og neðra borði þunnhimnu. Geisli sem lendir á efra borði himnunnar endurvarpast þaðan að hluta en hluti fer áfram og endurvarpast aftur af neðri borði. Upp af himnunni koma því tveir endurvarpsgeislar og þar sem himnan er þunn er bilið milli geislanna svo lítið er þeir falla saman og samliðast

11 14.11 Samliðun í þunnum himnum Ljós sem rafsegulalda Fyrir hámarksendurvarp (styrkingu) gildir að 2 d = λ Fyrir lágmarksendurvarp (eyðingu) gildir jafna 2 d = λ 2 Mynd 17: Myndin sýnir afstöðu rafsviðs, eftir y-ás, og segulsviðs, efitr z-ás, í bylgju sem ferðast eftir x-ás. Í hverjum punkti eru sviðin síbreytileg í tíma Ljós sem rafsegulalda Young sýndi fram á að ljós hefur bylgjueðli. Um 1870 leiddi Maxwell rök fyrir því að ljósið væri rafsegulbylgja. Bylgjuhreyfingin grundvallaðist af síbreytilegu raf- og segulsviði. Þessi svið mynda rétt horn innbyrðis og við útbreiðslustefnuna Ljós sem rafsegulalda Rafsegulbylgjan á mynd 17 er skautuð það er sviðin sveiflast hvort um sig í ákveðnu plani. Rafsviðið er skautað í xy-plani og samkvæmt venju er sagt að bylgjan sé skautuð í sama plani og rafsviðið. Ljós frá venjulegum ljósgjöfum er óskautað það er rafsviðið sveiflast óreglulega í öllum plönum. Þegar ljós fer í gegnum viss efni skautast það og þá kemst aðeins annar þáttur rafsviðs í gegn

12 14.12 Ljós sem rafsegulalda Heimildir Eðlisfræði 1 eftir Davíð Þorsteinsson. Aflfræði 2 eftir Davíð Þorsteinsson. University Physics eftir Harris Benson. University Physics with Modern Physics eftir Hugh D. Young og Roger A. Freedman. Mynd 18: Myndin sýnir hvernig ljós skautast við að fara í gegnum skautunarsíu. Örvarnar tákna sveiflu rafsviðsins fyrir og eftir skautun Ljós sem rafsegulalda Mynd 19: Stystu öldulengdir rafsegulrófsins eru gammageislar. Á hinum endanum eru sjónvarps- og útvarpsbylgjur. Sum sviðin skarast til að mynda röntgen- og gammageislar. Sýnilegt ljós er á bilinu [400; 700] nm. 46